2020年江西省新余市高考数学二模试卷1 (含答案解析)
2020届江西省新余市高考数学二模试卷(理科)(有答案)(加精)
2019年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足：，则复数z的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．已知集合A={x|log2（x﹣1）＜1}，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱5．如图所示程序框图，其功能是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且（n∈N+），则S100=（）A．0 B．1300 C．2600 D．26028．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l 与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．329．2019年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六人队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种B．48种C．96种D．144种10．函数（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象是（）A．B．C．D．11．如图，已知椭圆C1：，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，则的值是（）A．正数B．0 C．负数D．皆有可能12．已知函数f（x）=|lnx|，若方程|f（x）+g（x）|=a有4个实根，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2﹣ln2）C．[1，2﹣ln2]D．[1，2﹣ln2）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数则不等式f（x）＞1的解集为．14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．15．设非零向量与夹角是，且，则的最小值是．16．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，D是BC边上的一点．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若AC=7，AD=5，DC=3，求AB的长．18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．（1）求证：EH⊥平面ABCD；（2）在线段BC上是否存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．19．2016年10月21日，台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县（市、区）189.9万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．经济损失不超过4000元经济损失超过4000元总计捐款超过500元60捐款不超过500元10总计附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.82820．已知直线y=x﹣1过椭圆C：的右焦点，且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）以椭圆C：的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为F2，试判断△PF2Q的周长是否为定值，若是求出该定值．21．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a 的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（1）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；（2）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离最大值及点P．若不存在，请说明理由．选修4-5：不等式选讲23．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．2019年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足：，则复数z的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由，得=1﹣i，则复数z的虚部为：﹣1．故选：D．2．已知集合A={x|log2（x﹣1）＜1}，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用对数函数的单调性化简集合A，利用不等式的解法可得B，再利用简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：由log2（x﹣1）＜1，可得0＜x﹣1＜2，解得1＜x＜3．∴A=（1，3）．由＜0，⇔（x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣1＜x＜3．∴B=（﹣1，3）．则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．故选：A．3．已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）．双曲线my2﹣x2=1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），∵双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，∴=2，∴m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：A．4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．5．如图所示程序框图，其功能是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】EF：程序框图．【分析】由已知的程序框图，我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，结合输入的x值与输出的y值相等，我们分类讨论后，即可得到结论．【解答】解：由题意得该程序的功能是：计算并输出分段函数y=的值，又∵输入的x值与输出的y值相等，当|x|≤1时，x=x3，解得x=0，或x=±1，当|x|＞1时，x=ln|x|，无解．故满足条件的x值共有3个．故选：B．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．7．在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且（n∈N+），则S100=（）A．0 B．1300 C．2600 D．2602【考点】8E：数列的求和．【分析】奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，偶数项：a2k+2=1+（﹣1）2k+a2k=2+a2k，所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2，由此能求出S奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，故能求出S100．【解答】解：奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，偶数项：a2k+2=1+（﹣1）2k+a2k=2+a2k所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2a100=a2+49×2=100，S100=50×a1+50×（a1+a100）×=50+50（2+100）×=2600．故选：C．8．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l 与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32【考点】9R：平面向量数量积的运算；H2：正弦函数的图象．【分析】由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解【解答】解：由f（x）=2sin（）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故选D9．2019年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六人队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种B．48种C．96种D．144种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、先分析队长，由题意易得其站法数目，②、甲、乙两人必须相邻，用捆绑法将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，③、将甲乙整体与其余3人进行全排列；由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、队长主动要求排在排头或排尾，则队长有2种站法；②、甲、乙两人必须相邻，将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，有A22=2种情况；③、将甲乙整体与其余3人进行全排列，有A44=24种情况，则满足要求的排法有2×2×24=96种；故选：C．10．函数（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：函数（﹣π≤x≤π且x≠0），f（﹣x）=（﹣x+）（﹣sinx）=（x﹣）sinx=f（x），函数是偶函数，排除选项C、D．当x=时，f（）=（）×＜0，排除A，故选：B．11．如图，已知椭圆C1：，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，则的值是（）A．正数B．0 C．负数D．皆有可能【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意设出A，B的坐标，再设出过原点的直线l的方程，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系可得，再结合，得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），过原点的直线l：y=tx，联立，得x2﹣tx﹣1=0．则x1+x2=t，x1x2=﹣1．∴=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（t2+1）x1x2+t（x1+x2）+1=﹣（t2+1）+t2+1=0．而，，∴=．故选：B．12．已知函数f（x）=|lnx|，若方程|f（x）+g（x）|=a有4个实根，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2﹣ln2）C．[1，2﹣ln2]D．[1，2﹣ln2）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】令h（x）=f（x）+g（x），求出h（x）的解析式，判断h（x）的单调性，作出|h（x）|的图象，根据图象得出a的范围．【解答】解：f（x）=|lnx|=，g（x）=，∴f（x）+g（x）=，令h（x）=f（x）+g（x），当0＜x≤1时，h（x）是减函数，当1＜x≤2时，h′（x）==＜0，∴h（x）在（1，2]上是减函数，当x＞2时，h′（x）=＞0，∴h（x）在（2，+∞）上单调递增．作出h（x）的函数图象如图所示：将x轴下方的图象翻折到x轴上方，得到y=|h（x）|的函数图象，如图：由图象可知，当1≤a＜2﹣ln2时，|h（x）|=a有4个解．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数则不等式f（x）＞1的解集为．【考点】5B：分段函数的应用；7J：指、对数不等式的解法．【分析】根据题意，由f（x）＞1，变形可得①或②，解①②再取并集可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数的解析式为，若不等式f（x）＞1，①或②，解①可得：﹣1＜x≤0，解②可得：0＜x＜，综合可得：x的取值范围：﹣1＜x＜，即（x）＞1的解集为（﹣1，）；故答案为：（﹣1，）．14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a 的值来，然后再由规律求出常数项【解答】解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为4015．设非零向量与夹角是，且，则的最小值是．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由可知=﹣，根据数量积的定义可得=﹣||||，从而得出||=||，计算的平方得出关于t的函数，从而得出最小值．【解答】解：∵，∴=+2+，即=﹣=﹣||2，∵=||||cos=﹣||||，∴﹣||2=﹣||||，即||=||，∴（）2==t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，∴当t=1时，取得最小值．故答案为．16．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为（1，）．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，画出区域Ω，由=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，结合图象，连接PA，可得斜率最大，再由双曲线的a，b，c关系和离心率公式计算即可得到所求范围．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，抛物线y2=﹣4x的准线1：x=1，渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，如图，=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，求得A（1，），B（1，﹣），连接PA，可得斜率最大为，由题意可得﹣1＜0，可得＜3，即3a＞b，9a2＞b2=c2﹣a2，即c2＜10a2，即有c＜a．可得1＜e＜．故答案为：（1，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，D是BC边上的一点．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若AC=7，AD=5，DC=3，求AB的长．【考点】HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据三角形内角和定理和正弦定理化简可得角B的大小；（Ⅱ）根据余弦定理，求出∠ADC，在利用正弦定理即可求AB的长．【解答】解：（Ⅰ）由，得，即，根据正弦定理，．∴，又0°＜B＜180°，∴B=45°．（Ⅱ）在△ADC中，AC=7，AD=5，DC=3，由余弦定理得=，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理，得，故得AB=．18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．（1）求证：EH⊥平面ABCD；（2）在线段BC上是否存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AB⊥EA，AB⊥AD，从而AB⊥EH，再求出EH⊥AD．由此能证明EH ⊥平面ABCD．（2）由AD，OH，HE两两垂直，建立空间直角坐标系H﹣xyz，利用向量法能求出结果．【解答】证明：（1）因为AB∥EF，EF⊥EA，所以AB⊥EA．因为AB⊥AD，且EA∩AD=A，所以AB⊥平面AED．因为EH⊂平面AED，所以AB⊥EH．因为AE=ED，H是AD的中点，所以EH⊥AD．又AB∩AD=A，所以EH⊥平面ABCD．解：（2）因为AD，OH，HE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系H﹣xyz，则A（1，0，0）D （﹣1，0，0），F（0，1，1），O（0，1，0），C （﹣1，2，0）．设点P（m，2，0）（﹣1≤m＜1），于是有，．设平面PDF的法向量，则，即．令x=2，得y=﹣（m+1），z=m﹣1，所以．平面BDF的法向量，所以，解得m=﹣1．所以点P的坐标为（﹣1，2，0），与点C的坐标相同，所以BP=BC=2．19．2016年10月21日，台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县（市、区）189.9万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．经济损失不超过4000元经济损失超过4000元总计捐款超过500元60捐款不超过500元10总计附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828【考点】BO：独立性检验的应用；B2：简单随机抽样；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，求出K2，得到有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．（Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率．由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，且ξ～B（3，）．由此能求出ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，则表格数据如下经济损失不超过4000元经济损失超过4000元总计捐款超过500元602080捐款不超过500元101020总计7030100k2的观测值．因为4.762＞3.841，P（K2≥3.841）=0.05．所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．（Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，ξ～B （3，），，，，，从而ξ的分布列为ξ0123P，．20．已知直线y=x﹣1过椭圆C：的右焦点，且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）以椭圆C：的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为F2，试判断△PF2Q的周长是否为定值，若是求出该定值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）直线y=x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），得椭圆的半焦距c．又离心率，得a2=9，b2=8．即可求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0，利用根与系数的关系、弦长公式表示及直线PQ与圆x2+y2=8相切，表示出PQ，距离公式表示PF2，QF2由=，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为直线y=x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由题意得椭圆的半焦距c=1．又已知离心率，所以a2=9，所以b2=8．所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）根据题意作出图形如图所示，设直线PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0，所以△=（18km）2﹣4（8+9k2）（9m2﹣72）=288（9k2﹣m2+8）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，所以==，因为直线PQ与圆x2+y2=8相切，所以，即，所以，因为，，同理（也可用焦半径公式），所以=因此，△PF2Q的周长是定值，且定值为6．21．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a 的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（1）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；（2）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离最大值及点P．若不存在，请说明理由．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）首先，将直线l中的参数，化为普通方程，曲线的极坐标方程C1中消去ρ，θ，得到直角坐标方程；（2）首先，假设存在这样的点，然后，利用点到直线的距离建立等式确定即可．【解答】解：（1）直线l得：y=x+1，由曲线C1得：…（2）由题意可知（其中ϕ为参数），…∴P到l得距离为…∴，…此时，即，…，∴，即．…故存在这样的点，满足条件．选修4-5：不等式选讲23．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，求出M的范围即可；（2）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（1）f（x）=，当x＜﹣2时，由x﹣3＞0得，x＞3，舍去；当﹣2≤x≤时，由3x+1＞0得，x＞﹣，即﹣＜x≤；当x＞时，由﹣x+3＞0得，x＜3，即＜x＜3，综上，M=（﹣，3）；（2）证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x||y|＜3+3+3×3=15．。
2020-2021学年江西省六校联考高考数学二模试卷(理)含解析
江西省六校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z满足z2=3﹣4i，则z的模是（）A．B．5 C．D．12．若全集U={1，2，3，4，5}，且∁U A={x∈N|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有（）A．3 B．4 C．7 D．83．函数的单调增区间是（）A．（﹣1，1] B．（﹣∞，1）C．[1，3） D．（1，+∞）4．在一个半球中，挖出一个体积最大的长方体，挖后几何体的俯视图如图，则下列正视图正确的是（）A．B．C．D．5．设随机变量X～N（2，1），则P（|X|＜1）=（）附：（若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）=99.72%）A．13.59% B．15.73% C．27.18% D．31.46%6．《算法统宗》是中国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升．由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升．A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.37．上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有（）种．A．24 B．36 C．42 D．608．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ﹣cosαsinβ=1，则cos（2α﹣β）的取值范围为（）A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．9．已知在等腰△AOB中，若|OA|=|OB|=5，且，则的取值范围是（）A．[﹣15，25）B．[﹣15，15] C．[0，25）D．[0，15]10．已知双曲线C：=1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=且，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．311．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O是△ABC外接圆的圆心，若，且，则m的值是（）A．B．C．D．12．已知，其中ω＞0，若函数在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．阅读程序框图，该算法功能是输出数字A的末两位数字是．14．若的展开式中各项的系数之和为729，则该展开式中x2的系数为．15．抛物线y2=2px（p＞0）与过焦点且垂直于其对称轴的直线所围成的封闭图形面积是6，则p= ．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有3个不相等的实根，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．18．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04．周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益10万元8万元5万元（1）求p及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．19．如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=1，AD=2BC=，若△PAD是以AD为底边的等腰直角三角形，且PA⊥CD．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求直线AB与平面PBC所成的角的大小．20．已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的△AF1F2中，满足∠AF1F2=．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线BC，CD，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1•k2=k3•k4，求OB2+OC2的值．21．已知f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足，设点P的轨迹为曲线C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求线段AB的长度．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）=．（1）当a=2时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对任意a∈（0，1），x∈{x|x≠0}，不等式f（x）≤b恒成立，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z满足z2=3﹣4i，则z的模是（）A．B．5 C．D．1【考点】A8：复数求模．【分析】由复数模的公式求解即可．【解答】解：∵复数z满足z2=3﹣4i，∴|z|2==5，∴|z|=，故选A．2．若全集U={1，2，3，4，5}，且∁U A={x∈N|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】16：子集与真子集．【分析】根据题意，有补集的定义可得集合A，再由集合真子集的定义可得A的真子集有∅、{4}、{5}，即可得答案．【解答】解：根据题意，全集U={1，2，3，4，5}，且∁U A={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，则A={4，5}，A的真子集有∅、{4}、{5}，共3个；故选：A．3．函数的单调增区间是（）A．（﹣1，1] B．（﹣∞，1）C．[1，3） D．（1，+∞）【考点】3G：复合函数的单调性．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步求出内函数在定义域内的减区间，再由复合函数的单调性得答案．【解答】解：令t=﹣x2+2x+3，由﹣x2+2x+3＞0，得﹣1＜x＜3．函数t=﹣x2+2x+3的对称轴方程为x=1，二次函数t=﹣x2+2x+3在[1，3）上为减函数，而函数y=为定义域内的减函数，∴函数的单调增区间是[1，3）．故选：C．4．在一个半球中，挖出一个体积最大的长方体，挖后几何体的俯视图如图，则下列正视图正确的是（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由题意，挖出一个体积最大的长方体，由俯视图，可知正视图投影线不能到底部，即可得答案．【解答】解：由题意，挖出一个体积最大的长方体，由俯视图，可知正视图投影线不能到底部，排除A，D选项．B选项视图可知，挖出是一个正方体，∴B不对．故而C满足题意．故选C5．设随机变量X～N（2，1），则P（|X|＜1）=（）附：（若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）=99.72%）A．13.59% B．15.73% C．27.18% D．31.46%【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由题意，P（1＜X＜3）=0.6826，P（﹣1＜X＜5）=0.9972，利用P（|X|＜1）=[P（﹣1＜X＜5）﹣P（1＜X＜3）]，可得结论．【解答】解：由题意，P（1＜X＜3）=0.6826，P（﹣1＜X＜5）=0.9972，∴P（|X|＜1）=[P（﹣1＜X＜5）﹣P（1＜X＜3）]=0.1573，故选B．6．《算法统宗》是中国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升．由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升．A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.3【考点】8B：数列的应用．【分析】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，由等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组求出a1，d，由此能求出中间两节可盛米的容积，可得结论．．【解答】解：要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，由题意得，解得a1=1.306，d=﹣0.06，∴中间两节可盛米的容积为：a4+a5=（a1+3d）+（a1+4d）=2a1+7d=2.292这根八节竹筒盛米的容积总共为：2.292+3.9+3≈9.2（升）．故选：C．7．上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有（）种．A．24 B．36 C．42 D．60【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，按3人选择通道口的数目分3种情况讨论，①、3人选择同一个通道口进站，②、3人选择2个通道口进站，③、3人选择3个通道口进站，分别求出每一种情况的进站方式数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、3人选择同一个通道口进站，通道口有3种选择，3个人的前后顺序有A33种情况，则此时有3×A33=18种进站方式，②、3人选择2个通道口进站，先将3人分成2组，有C32=3种分组方法，在3个通道口中任选2个，有A32=6种情况，考虑2人组的前后顺序，有A22=2种情况，此时有3×6×2=36种进站方式，③、3人选择3个通道口进站，将3人全排列，对应3个通道口即可，有A33=6种进站方式，则这个家庭3个人的不同进站方式有18+36+6=60种；故选：D．8．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ﹣cosαsinβ=1，则cos（2α﹣β）的取值范围为（）A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由范围α，β∈[0，π]，可求α﹣β∈[﹣π，π]，利用两角差的正弦函数公式可得sin（α﹣β）=1，可求α﹣β=，进而求得2α﹣β的范围，利用余弦函数的图象即可得解．【解答】解：∵α，β∈[0，π]，则α﹣β∈[﹣π，π]，又∵sinαcosβ﹣sinβcosα=sin（α﹣β）=1，∴α﹣β=，∴2α﹣β∈[，]，∴cos（2α﹣β）∈[﹣1，0]．故选：B．9．已知在等腰△AOB中，若|OA|=|OB|=5，且，则的取值范围是（）A．[﹣15，25）B．[﹣15，15] C．[0，25）D．[0，15]【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据=|﹣|，两边平方求出•≥﹣15；再利用平面向量数量积的定义求出•＜25，从而得出的取值范围．【解答】解：在等腰△AOB中，|OA|=|OB|=5，=|﹣|，∴≥，即+2•+≥﹣•+，∴25+2•+25≥﹣•+，解得•≥﹣15；又•=5×5×cosA＜25，∴﹣15≤•＜25；即的取值范围是[﹣15，25）．故选：A．10．已知双曲线C：=1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=且，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．3【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理和离心率公式，计算即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则PQ=2R，OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=，由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①，在△OQA中，=，所以R2=a2②①②结合c2=a2+b2，解得c2=b2=（c2﹣a2），即为3c2=7a2，可得e===．故选：B．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O是△ABC外接圆的圆心，若，且，则m的值是（）A．B．C．D．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】由，得，即cosA=，得A=．由，得，⇒则m=2×=2×=2×．【解答】解：∵，∴⇒⇒，∴cosA=，得A=．∵O是△ABC外接圆的圆心，∴由，得，⇒⇒⇒∴m=2×=2×=2×=．故选：C12．已知，其中ω＞0，若函数在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．【解答】解：，其中ω＞0，则函数=sin2（x）+sinωx﹣=﹣cosωx+sinωx﹣=sin（ωx﹣），可得T=≥π，0＜ω≤2，f（x）在区间（π，2π）内没有零点，结合三角函数可得，或，解得≤ω≤或0＜ω≤，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．阅读程序框图，该算法功能是输出数字A的末两位数字是16 ．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的A，i的值，当i=2018时满足条件i＞，退出循环，输出A的值为62018，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：A=6，i=1执行循环体，A=62，i=2，不满足条件i＞，执行循环体，A=63，i=3不满足条件i＞，执行循环体，A=64，i=4…不满足条件i＞，执行循环体，A=62018，i=2018满足条件i＞，退出循环，输出A的值为62018，可得输出数字A的末两位数字是16．故答案为：16．14．若的展开式中各项的系数之和为729，则该展开式中x2的系数为﹣1280 ．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】令x=1，则3n=729，解得n=6，再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：令x=1，则3n=729，解得n=6，∴展开式的通项公式：T r+1=（﹣1）r（4x）6﹣r=（﹣1）r46﹣r，6﹣=2，解得r=3．∴该二项式的展开式中x2项的系数为﹣1280．故答案为﹣1280．15．抛物线y2=2px（p＞0）与过焦点且垂直于其对称轴的直线所围成的封闭图形面积是6，则p= 3 ．【考点】67：定积分．【分析】直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，则抛物线与直线的交点为（，±p），y2=2px（p＞0）⇒x=，根据定积分的几何意义得2（）dy=p2﹣6，即可求p．【解答】解：直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，则抛物线与直线的交点为（，±p），y2=2px（p＞0）⇒x=，根据定积分的几何意义得2（）dy=p2﹣6，∵（）′=，∴2×=p2﹣6，解得p=3，故答案为：3．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有3个不相等的实根，则m的取值范围是（﹣∞，1）∪{2} ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，作出f（x）的图象，设t=f（x），将方程转化为一元二次方程，解方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解：化简可得f（x）=，当x≥0时，f（x）≥0，f′（x）==，当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，故当x=时，函数f（x）有极大值f（）==；当x＜0时，f′（x）=＜0，f（x）为减函数，作出函数f（x）对应的图象如图：∴函数f（x）在（0，+∞）上有一个最大值为f（）=．设t=f（x），则关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0，即为t2﹣mt+m﹣1=0，解得t=1，或t=m﹣1．当t=1时，方程t=f（x）有3个不等实根，要使关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有3个不相等的实数根，即有t=m﹣1=1，即m=2或无实数根．当m﹣1＜0，即m＜1时，t=m﹣1无实数根．则m的取值范围是（﹣∞，1）∪{2}．故答案为：（﹣∞，1）∪{2}．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由已知数列递推式可得a n+1=2a n，再由数列{a n}是等比数列求得首项，并求出数列通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入数列，可得数列是递减数列，可知当n=9时，数列的项为正数，n=10时，数列的项为负数，则答案可求．【解答】解：（1）由a n+1=1+S n得：当n≥2时，a n=1+S n﹣1，两式相减得：a n+1=2a n，∵数列{a n}是等比数列，∴a2=2a1，又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n=9时，数列的前项和T n取最大值．18．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04．周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益10万元8万元5万元（1）求p及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由两天都下雨的概率求出p的值，写出基地收益X的可能取值，计算对应的概率；写出该基地收益X的分布列，计算数学期望E（X）；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，计算数学期望E（Y），比较E（X）、E（Y）即可得出结论．【解答】解：（1）两天都下雨的概率为（1﹣p）2=0.04，解得p=0.8；该基地收益X的可能取值为10，8，5；（单位：万元）则：P（X=10）=0.64，P（X=8）=2×0.8×0.2=0.32，P（X=5）=0.04；所以该基地收益X的分布列为：X1085P0.640.320.04则该基地的预期收益为E（X）=10×0.64+8×0.32+5×0.04=9.16（万元），所以，基地的预期收益为9.16万元；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益：E（Y）=11×0.8+6×0.2﹣0.5=9.5（万元）；此时E（Y）＞E（X），所以该基地应该外聘工人．19．如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=1，AD=2BC=，若△PAD是以AD为底边的等腰直角三角形，且PA⊥CD．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求直线AB与平面PBC所成的角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明PA⊥PC，通过计算求解证明PC⊥PD，然后证明PC⊥平面PAD．（2）建系求出相关点的坐标，求出平面PBC的法向量，设直线AB与平面PBC所成的角是θ利用空间向量的数量积求解直线AB与平面PBC所成的角即可．【解答】（1）证明：由已知得：PA⊥PD，PA⊥CD，所以PA⊥平面PCD，即PA⊥PC 在直角梯形ABCD中，AB=1，，由△PAD是以AD为底边的等腰直角三角形得：AP=PD=1由PC2+AP2=AC2，得，可算得：PC2+PD2=CD2所以：PC⊥PD，即PC⊥平面PAD．（2）如图建系，可得：A（1，0，0），，D（0，0，1），P（0，0，0），，设平面PBC的法向量为，则有，令x=1得：，设直线AB与平面PBC所成的角是θ，∴所以直线AB与平面PBC所成的角是．20．已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的△AF1F2中，满足∠AF1F2=．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线BC，CD，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1•k2=k3•k4，求OB2+OC2的值．【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）在△AF1F2中，由正弦定理得a，结合焦点坐标求出c，求解b，可得椭圆方程．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1）．通过斜率乘积转化求解OB2+OC2的值即可．【解答】解：（1）在△AF1F2中，由正弦定理得：，所以，解得，b=1，所以椭圆C的方程为：．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1）．由，所以，即，于是有，即∴．21．已知f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，求a的取值范围．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用导函数的符号判断函数的单调性，求解单调区间即可．（2）由不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，得到恒成立，设，求出利用函数的单调性求出函数的最值，即可求解a的范围．【解答】解：（1）由得：由于定义域为{x|x≠0}，所以由y'＞0得：0＜x＜1或﹣1＜x＜0所以由y'＜0得：x＜﹣1或x＞1即得函数在区间（0，1），（﹣1，0）上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减．（2）由不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，即恒成立设得：，因为它们的定义域（0，+∞），所以易得：函数g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减；这两个函数在x=1处，g（x）有最小值，h（x）有最大值，所以要使不等式恒成立，则只需满足，即a＜﹣1﹣e．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足，设点P的轨迹为曲线C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求线段AB的长度．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出C1，C2的普通方程，即可求C1，C2的极坐标方程；（2）利用极径的意义，求线段AB的长度．【解答】解：（1）设点P（x，y），M（2cosα，2+2sinα），则由得：x=4cosα，y=4+4sinα，消参得：x2+（y﹣4）2=16．转化为极坐标方程得：ρ=8sinθ，所以C2的极坐标方程ρ=8sinθ，同理可得C1的极坐标方程ρ=4sinθ．（2）在极坐标系，可得，，所以．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）=．（1）当a=2时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对任意a∈（0，1），x∈{x|x≠0}，不等式f（x）≤b恒成立，求实数b的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为b≥f（x）max=a+2，求出b的范围即可．【解答】解：（1）当a=2时，由f（x）＞1得，|2x+1|﹣|2x﹣1|＞|x|，x＞时，2x+1﹣2x+1＞x，解得：x＜2；0≤x≤时，2x+1+2x﹣1＞x，解得：x＞0，﹣＜x＜0时，2x+1+2x﹣1＞﹣x，解得：x＞0（舍），x≤﹣时，﹣2x﹣1+2x﹣1＞﹣x，解得：x＞2（舍），所以不等式f（x）≥1的解集为（0，2）；（2）不等式f（x）≤b得：b≥f（x）max，，∴b≥f（x）max=a+2，又因为对任意的a∈（0，1）恒成立，所以b≥3．。
江西省新余市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷含解析
江西省新余市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ） A ．1 B．C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设直线l 的方程为x ＝12y 2p+，与抛物线联立利用韦达定理可得p ． 【详解】 由已知得F （2p，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0）， ∴y 1+y 2＝p ，又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2,故选C ． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．2．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知()()20191f f =-，代入函数表达式即可得解. 【详解】由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.3．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可知复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定z i -，即可得z i -的最大值. 【详解】由1z =知，复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，z i -表示复数z 对应的点与点()0,1间的距离，又复数z 对应的点所在圆的圆心到()0,1的距离为1， 所以max 112z i -=+=. 故选：B 【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.4．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．5．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为A ．16B ．23C ．53D ．56【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()2sin()33g x x ωωππ=+-的图象，因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，所以sin()1633ωωπππ+-=±，即,6332k k ωωππππ+-=+π∈Z ，所以52,3k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为53．故选C ． 6．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．3【答案】C 【解析】 【分析】先根据奇偶性，求出()()f x g x -的解析式，令1x =，即可求出。
江西省新余市高考二模数学试题（理）含答案
新余市高三“二模”考试 数学试题卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2|560A x x x =-+≥，{}|210B x x =->，则A B ⋂=（ ）A ．(][),23,-∞⋃+∞B ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[)1,23,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦2.已知复数z 满足：()3112z i i i i+=--则复数z 的虚部为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 3.已知下列命题：①在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()()1,0N σσ>，若X 在()0,1内取值范围概率为0.4，则X 在()0,2内取值的概率为0.8； ②若a ，b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的充分而不必要条件； ③已知命题12:,p x x R ∀∈，()()()()21210f x f x xx --≥，则p ⌝是：12,x x R ∃∉，()()()()21210f x f x x x --<；④ABC ∆中，“角A ，B ，C 成等差数列”是“)sin 3sin cos C A A B =+”的充分不必要条件；其中，所有真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A =“第一次取到的是奇数”B =“第二次取到的是奇数”，则()P B A =（ ） A ．12 B ．25 C.310 D ．155.为迎接中国共产的到来，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的6名学生中选派4名学生参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么不同的朗诵顺序的种数为（ ）A ．320B ．324 C.410 D ．4166.在()12201820170a x a x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的展开式中，5x项的系数等于264，则()02axex dx +⎰等于（ ）A ．23e +B ．24e + C.1e + D ．2e +7.在如图所示的程序框图中，若输入的98m =，63n =，则输出的结果为（ ）A ．9B ．8 C.7 D ．6 8.已知关于x 的方程()sin sin 2x x m ππ⎛⎫-++=⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()5,1- B ．(5,1⎤⎦ C.5⎡⎣D ．[)0,19.斜率为k 的直线l 过抛物线()220y px p =>焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点()00,P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ） A ．0ky 为定值 B ．OA OB ⋅为定值 C.点P 的轨迹为圆的一部分 D ．点Q 的轨迹是圆的一部分 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．136πB ．144π C.36π D ．34π11.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F ，2F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF ∆内一点，满足123PG PF PF =+，12F PF ∆的内心为I ，且有12IG F F λ=（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e 等于（ ） A ．13 B ．12 C.23D 312.定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()()'1f b f a f x b a -=-，()()()'2f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是（ ） A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 23,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．61,5⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(),1a x =，()1,2b =，()1,5c =-，若()2//a b c +，则a = ．14.若实数x ，y 满足不等式组023010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最小值是 ．15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c ,2220b c a -+=,tan 3tan CB=,则a = ．16.对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，下列5个结论正确的是 （把你认为正确的答案全部写上）．（1）任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤； （2）函数()y f x =在[]4,5上单调递增；（3）()()()22f x kf x k K N +=+∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立； （4）函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；（5）若关于x 的方程()()0f x m m =<有且只有两个不同的实根1x ，2x ，则123x x +=. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且n S 为n a 与1na 的等差中项. （1）求证：数列{}2n S 为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设()1nnnb a -=，求{}n b 的前n 项和n T .18. “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下： 步量性别 0~20002001~50005001~8000 8001~10000>10000男 1 2 3 6 8 女21062（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型 懈怠型 总计 男 女 总计附：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.7063.8415.0246.635（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X 人，超过10000步的有Y 人，设X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望.19.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN . （1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60，求二面角P AM N --的余弦值.20. 已知动圆过定点()0,2，且在X 轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求直线420x y -+=与曲线C 围成的区域面积；（2）点P 在直线:20l x y --=上，点()0,1Q ，过点P 作曲线C 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，证明：存在常数λ，使得2PQ QA QB λ=⋅，并求λ的值. 21. 已知函数()()221x f x ax bx e -=++（e 为自然对数的底数）.（1）若12a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若()11f =，且方程()1f x =在()0,1内有解，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l 的参数方程为3222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点. （1）求圆心的极坐标；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，求PA PB +. 23.选修4-5：不等式选讲设不等式2120x x -<--+<的解集为M ，,a b M ∈.（1）证明：111364a b +<； （2）比较14ab -与2a b -的大小.试卷答案一、选择题1-5:DCCAB 6-10:ACDCD 11、12：BA 二、填空题13.10 14.3215.4 16.（1）（4）（5）三、解答题17.解答：（1）由题意知，即，①当n=1时，由①式可得S1=1；又n≥2时，有a n=S n﹣S n﹣1，代入①式得整理得．∴是首项为1，公差为1的等差数列．（2）由（Ⅰ）可得，∵{a n}是各项都为正数，∴，∴（n≥2），又，∴．（3），当n为奇数时，当n为偶数时，∴{b n}的前n项和．18.解：（1）积极型 懈怠型 总计 男 14 6 20 女 8 12 20 总计221840()2240141268403.8412020221811K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，故没有95%以上的把握认为二者有关； （2）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为18，超过10000步的概率为14，且当0X Y ==或1X Y ==时，0ξ=，12551129888464P C =⨯+⋅=；当1X =，0Y =或0X =，1Y =时，1ξ=，1122151530884864P C C =⋅+⋅=；当2X =，0Y =或0X =，2Y =时，2ξ=，221154864P ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即的分布列为：58E ξ=. 19.【解析】【试题分析】（1）连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．根据菱形有BD AC ⊥，根据等腰三角形有BD PO ⊥，所以以BD ⊥平面PAC ， BD PC ⊥.利用线面平行的性质定理有//MN BD ，故//BD MN ，所以MN PC ⊥.（2）以O 为坐标原点建立空间直角. 【试题解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O ⋂=且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ， 因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN ⋂平面PBD MN =， 所以//BD MN ，所以MN PC ⊥．（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以13,22AO PA PO PA ==，因为3PA AB =，所以36BO PA =． 分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2PA =，则()()()()33130,0,0,1,0,0,0,,0,1,0,0,0,,0,0,0,3,,0,3322O A B C D P H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()233330,,0,,0,,1,,0,1,0,33223DB AH AB AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则111112303{3322n DB y n AH x z ⋅==⋅=-+=， 令10x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223{ 30n AB x y n AP x z ⋅=-=⋅=-=， 令21x =，则2233,y z ==231,3,n ⎛= ⎝⎭， 记二面角P AM N --的大小为θ，则12121239cos cos ,13n n n n n n θ⋅===⋅． 所以二面角P AM N --的余弦值为3913． 20.曲线方程联立求交点坐标，根据定积分求曲边形面积可得结果；（Ⅱ）设()11,A x y 、()22,B x y ，()00,P x y ，根据导数求切线斜率，设切线方程，由韦达定理2PQ 、QA QB⋅用0x ，表示可得1λ=.试题解析：（Ⅰ） 设动圆圆心的坐标为(),x y ，由题意可得，()222222y x y +=+-，化简得24x y =，联立方程组24420x y x y ⎧=⎨-+=⎩，解得114x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩或21x y =⎧⎨=⎩，所以直线420x y -+=与曲线C 围成的区域面积为22111194248x x dx -⎛⎫+-=⎪⎝⎭⎰；（Ⅱ）设()11,A x y 、()22,B x y ，则由题意可得，切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，切线PB 的方程为()2222x y y x x -=-，再设点()00,P x y ，从而有()()1010*******{2x y y x x x y y x x -=--=-，所以可得出直线AB 的方程为()20000011422222x x x y y x x y y x x x y -=-⇒-=⨯-=-⨯，即002x y x y =-． 联立方程组002{24x y x y x y=-=，得200240x x x y -+=，又002y x =-，所以有()2002420x x x x -+-=，可得1201202{48x x x x x x +==-，()()222222000000||13269PQ x y x x x x =+-=+-=-+，()()2222121212121211114444x x x x QA QB y y y y y y ⋅=++=+++=⋅+++=()()2212121221164x x x x x x +-++=()()()220002004822481269164x x x x x ---++=-+，所以常数2||=1PQ QA QBλ=⋅． 21. 解: （I ）当21=a ，x e bx x x f -++=)1()(2，x e b x b x x f --+-+-=']1)2([)(2 令0)(='x f ，得11=x ，b x -=12.当0=b 时，0)(≤'x f .当0>b ，11<<-x b 时，0)(>'x f ，b x -<1或1>x 时，0)(<'x f . 当0<b ，b x -<<11时，0)(>'x f ，b x ->1或1<x 时，0)(<'x f .∴0=b 时，)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞；0>b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(b --∞，),1(+∞；0<b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(-∞，),1(+∞-b（II ）由1)1(=f 得e b a =++12，a e b 21--=，由1)(=x f 得122++=bx ax e x ，设12)(2---=bx ax e x g x ，则)(x g 在)1,0(内有零点.设0x 为)(x g 在)1,0(内的一个零点，则由0)1(,0)0(==g g 知)(x g 在区间),0(0x 和)1,(0x 上不可能单调.设)()(x g x h '=，则)(x h 在区间),0(0x 和)1,(0x 上均存在零点，即)(x h 在)1,0(上至少有两个零点 b ax e x g x --='4)(，a e x h x 4)(-='.当41≤a 时，0)(>'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递增，)(x h 不可能有两个及以上零点； 当4e a ≥时，0)(<'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递减，)(x h 不可能有两个及以上零点； 当441e a <<时，令0)(='x h 得)1,0()4ln(∈=a x ，所以)(x h 在区间))4ln(,0(a 上递减，在)1),4(ln(a 上递增，)(x h 在区间)1,0(上存在最小值))4(ln(a h .若)(x h 有两个零点，则有：0))4(ln(<a h ，0)0(>h ，0)1(>h .)441(1)4ln(46)4ln(44))4(ln(e a e a a a b a a a a h <<-+-=--=设)1(,1ln 23)(e x e x x x x <<-+-=ϕ，则x x ln 21)(-='ϕ，令0)(='x ϕ，得e x =. 当e x <<1时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ递增，当e x e <<时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ递减，01)()(max <-+==e e e x ϕϕ，所以0))4(ln(<a h 恒成立.由0221)0(>+-=-=e a b h ，04)1(>--=b a e h ，得2122<<-a e . 当2122<<-a e 时，设)(x h 的两个零点为21,x x ，则)(x g 在),0(1x 递增，在),(21x x 递减，在)1,(2x 递增，所以0)0()(1=>g x g ，0)1()(2=<g x g ，则)(x g 在),(21x x 内有零点. 综上，实数a 的取值范围是)21,22(-e . 22. 解：（1）由4sin ρθ=,得24sin ρρθ=,得224x y y +=,故圆C 的普通方程为2240x y y +-=,所以圆心坐标为()0,2,圆心的极坐标为2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）把322x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2240x y y +-=得24t =，所以点A 、B 对应的参数分别为122,2t t ==-令202t +=得点P 对应的参数为04t =- 所以10202424628PA PB t t t t +=-+-=++-+=+=.法二：把322x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩化为普通方程得323y x =-+， 令0y =得点Ｐ坐标为(23,0)P ，又因为直线l 恰好经过圆C 的圆心，故2222(230)(02)8PA PB PC +==-+-=.23. 解：当2x <-时，原不等式可化为230-<<，显然不成立；当21x -≤≤时，原不等式可化为121x -<-<，解得1122x -<<；当1x >时，原不等式可化为230-<-<显然不成立。
江西省新余市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
江西省新余市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX <【答案】C【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.【详解】13X =表示取出的为一个白球，所以()14116233C P X C ===.12X =表示取出一个黑球，()12116123C P X C ===，所以()121832333E X =⨯+⨯=. 23X =表示取出两个球，其中一黑一白，()11422268315C C P X C ===，22X =表示取出两个球为黑球，()22226115C P X C ==，24X =表示取出两个球为白球，()242266415C P X C ===，所以()2816103241515153E X =⨯+⨯+⨯=.所以()()1233P X P X =>=，12EX EX <. 故选：C【点睛】 本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.2．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3πB．2 C ．12π D ．24π【答案】C【解析】【分析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =Q ，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =， 22PB =Q 211822AO PA x ∴==+ 1222AG BC x ==Q ，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=， 即222211822x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：2x =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：()()2221122422322x AO +=+==，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C .【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.3．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题：①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个； ②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为213③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】①：由抛物线的定义可知15AF a =+=，从而可求A 的坐标；②：做A 关于准线1x =-的对称点为'A ，通过分析可知当',,A P O 三点共线时PA PO +取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值'A O ；③：设出直线l 方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求0MB MC k k +=，从而可判断出,OMB OMC ∠∠的关系；④：计算直线,OD OB 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点B O D 、、在同一条直线上.【详解】解：对于①，设(),A a b ，由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=， 故4a =，所以()4,4A 或()4,4-，所以满足条件的点A 有二个，故①不正确；对于②，不妨设()4,4A ，则A 关于准线1x =-的对称点为()'6,4A -，故''PA OP PA OP A O +=+≥==，当且仅当',,A P O 三点共线时等号成立，故②正确；对于③，由题意知，()1,0M - ，且l 的斜率不为0，则设l 方程为：()10x my m =+≠，设l 与抛物线的交点坐标为()()1122,,,B x y C x y ，联立直线与抛物线的方程为，214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，整理得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，所以 21242x x m +=+，()()221212114411x x my my m m =++=-++= 则()()()()1221121212121212121122211111MB MC y x y x y y y y my y k k x x x x x x x x ++++++=+==+++++++ 2242404211m m m ⨯-⨯==+++.故,MB MC 的倾斜角互补，所以OMB OMC ∠=∠，故③正确. 对于④，由题意知()21,D y - ，由③知，12124,4y y m y y +==- 则12114,OB OD y k k y x y ===- ，由12211440OB OD y y k k y y y +-=+==， 知OB OD k k =，即三点B O D 、、在同一条直线上，故④正确.故选:C.本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值. 4．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在等差数列{a n }中，若a 2＞a 1，则d ＞0，即数列{a n }为单调递增数列，若数列{a n }为单调递增数列，则a 2＞a 1，成立，即“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”充分必要条件，故选C ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．5．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.【答案】D【解析】【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.对于A 选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于B 选项，20002004-投资总额为1119253537127++++=亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到374148⨯=，故描述正确.对于D 选项，令10t =代入回归直线方程得9917.510274+⨯=亿元，故D 选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.6．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值【答案】C【解析】【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果.【详解】A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC所以1B M AE ⊥，所以存在C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离，所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离，所以1h 为定值所以四面体FA 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ）A ．()B ．()C ．()D ．()【答案】A【解析】【分析】 由已知先确定出双曲线方程为2213y x -=，再分别找到12F PF △为直角三角形的两种情况，最后再结合122PF PF -=即可解决.【详解】由已知可得22a =，2c a=，所以1,2,a c b ==== 2213y x -=，不妨设点P 在双曲线C 右支上运动，则122PF PF -=，当12PF PF ⊥时， 此时221216PF PF +==122()2PF PF -+12PF PF ，所以126PF PF =，122()PF PF +=22122PF PF ++1228PF PF =，所以12PF PF += 当2PF x ⊥轴时，221216PF PF =+，所以121682PF PF =+=，又12F PF △为锐角三角形，所以12PF PF +()∈.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到12F PF △为锐角三角形的临界情况，即12F PF △为直角三角形，是一道中档题.8．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．1【答案】A【解析】【分析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案.【详解】 解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得：()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥，当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.9．已知复数21ai bi i -=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ）A ．12i -+B ．1C ．5D 【答案】D【解析】 试题分析：由21ai bi i-=-,得()21,1,2ai i bi b i a b -=-=+∴=-=,则12,12a bi i a bi i +=-+∴+=-+== D.考点：1、复数的运算；2、复数的模. 10．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ）A ．40B ．60C ．80D ．100 【答案】D【解析】【分析】由正态分布的性质，根据题意，得到(110)(60)P X P X ≥=≤，求出概率，再由题中数据，即可求出结果.【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，则正态分布曲线的对称轴为85x =，根据正态分布曲线的对称性，求得(110)(60)0.50.30.2P X P X ≥=≤=-=，所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为5000.2100⨯=人，故选:D .【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.11．已知直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289C ．329D ．327 【答案】C【解析】【分析】根据()2222x y t t t R +=-∈表示圆和直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，得到403t ≤≤，再利用二次函数的性质求解. 【详解】因为()2222x y t t t R +=-∈表示圆，所以220->t t ，解得02t <<，因为直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，所以圆心到直线的距离d r ≤，即≤ 解得403t ≤≤， 此时403t ≤≤， 因为()()()224424=-=-+=--+f t t t t t t ，在40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增， 所以()4t t -的最大值34329⎛⎫=⎪⎝⎭f . 故选：C【点睛】 本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．185【答案】D【解析】【分析】直接根据几何概型公式计算得到答案.【详解】 根据几何概型：809200S p ==，故185S =. 故选：D .【点睛】本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年江西省新余市高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）1.已知集合，集合，集合，则( )A. B. C. D.2.已知复数，且，则( )A. B. C. 1 D. 23.执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为( )A. B.C. D.4.下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是( )A. B. C. D.5.在的展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中常数项为( )A. 90B. 135C.D.6.已知命题p：，；命题q：，则下列命题中为真命题的是( )A. p且qB. 且qC. p且D. 且7.设等差数列的前n项和为，且，，则当最大时，( )A. 1011B. 1010C. 1009D. 10128.已知圆：与圆：有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为( )A. B. C. D.9.三棱锥的体积为，底面ABC，且的面积为4，三边AB，BC，CA的乘积为16，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.10.已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为( )A. B. C. D.11.若存在两个正数x，y，使得不等式成立，其中，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.12.已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增．其中所有正确结论的序号是( )A. ①④B. ②③C. ②④D. ②③④13.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______.14.若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是______.15.如图是数学家Ger min alDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型称为“Dandelin双球”；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为3和1，球心距离，截面分别与球，球切于点E，F，是截口椭圆的焦点，则此椭圆______.的离心率等于16.右图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为设，则______；P是平面图形边上的动点，则的取值范围是______.17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____.求角C的大小；若，求AB的中线CD长度的最小值．18.如图，已知直三棱柱中，侧面为正方形，，D，E，F分别为AC ，BC，的中点，，G为线段DE上的点，且证明：；求二面角的余弦值．19.学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动每天两局时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动每天两局，各局比赛互不影响．求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；设李明在这5天的“四人赛”活动每天两局中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为求p为何值时，取得最大值．20.已知双曲线过点的直线与双曲线交于S，T两点，若点N是线段ST的中点，求直线ST的方程；直线l：与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线．21.已知函数讨论函数的单调性；设，为两个不等的正数，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l和曲线C的普通方程；直线l与曲线C相交A，B两点，若，且，求直线l的方程．23.已知函数求满足不等式的最大整数a；在的条件下，对任意x，，若，求的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，集合，集合，，则故选：由全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.【答案】D【解析】解：因为，所以，所以，因为，所以，，所以故选：根据，直接求出z，然后由，求出a，b的值，再求出本题考查了复数的运算性质，考查了方程思想，属基础题．3.【答案】C【解析】解：考查所给的函数：A.是奇函数，则输入该函数时输出的结果为：“是奇函数”；B.，且函数不是奇函数，则输出的结果为“非负”；C.不是奇函数，且，此时输出函数；D.，且函数不是奇函数，则输出的结果为“非负”；故选：结合流程图逐一考查函数的性质即可确定输出值，然后选择题意要求的函数即可．本题考查了函数的性质，流程图及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．4.【答案】A【解析】解：，则是奇函数，，故A正确，B.，不是奇函数，不满足条件．C.，是偶函数，不满足条件．D.，定义域为，，不满足条件．故选：分别判断函数的奇偶性和函数值是否满足条件，进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性以及函数值的判断，利用函数奇偶性的定义进行判断是解决本题的关键，是中档题．5.【答案】B【解析】解：由的展开式中，所有二项式系数和为64，则，解得，则的展开式的通项公式为，令，解得，则该展开式中常数项为，故选：先由二项式系数和求出n，再结合二项式展开式通项公式求解即可．本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，对于p，，，，则无解，p是假命题；对于q，设，有，在区间上，，为减函数，在区间上，，为增函数，故，即：，为真命题，故p且q、p且和且都是假命题，且q为真命题，故选：根据题意，分析命题p、q的真假，又由复合命题真假的判断方法分析选项，即可得答案．本题考查命题真假的判断，注意全称命题、特称命题真假的判断，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，是等差数列，得，则，又，所以，而，故，所以当时，最大．故选：根据题意，由等差数列前n项和的性质可得和，再由等差数列的性质可得答案．本题考查等差数列前n项和的性质和等差数列的性质，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：圆：与圆：有且仅有两条公共切线，所以两个圆相交，圆：的圆心，半径为1，所以，又，解得故选：求出圆的圆心与半径，利用两个圆的切线的条数，列出不等式，求解即可．本题考查圆的位置关系的应用，考查计算能力，是基础题．9.【答案】B【解析】解：三棱锥的体积为且的面积为4，，由底面ABC，所以球心到底面的外接圆圆心的距离为1，另，两式相除，由正弦定理知底面的外接圆半径为1，所以三棱锥的外接球的半径为，表面积为，故选：首先根据三棱锥的体积可得球心到底面的距离为1，由正弦定理可得底面的外接圆半径为1，故而通过勾股定理可求得球的半径．本题考査三棱锥的外接球体积以及正弦定理在解三角形中的应用，考査学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键．10.【答案】A【解析】解：，，，即，，数列为等差数列，，数列满足，，…………，时也成立，，令，，可得：函数在上单调递减；在上单调递增．而，，数列的最小值为故选：，，两边取倒数可得：，，利用等差数列的通项公式可得，数列满足，，再利用等差数列的求和公式可得，利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、利用导数研究函数的单调性、累加法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由得，即，设，则，则条件等价为，即有解，设，为增函数，因为，所以当时，，当时，，即当时，函数取得极小值为，即，若有解，则，即，又因为，所以，所以实数a的取值范围为故选：设，则，条件等价为，即有解，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④．本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的综合能力，属于中档题．【解答】解：由函数，令，则函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，由，得，则，1，2，3，即，，故③正确；对于①，，，当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；对于②，周期，由，，故②正确；对于④，，又又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．故正确序号为：②③，故选：13.【答案】11【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为故答案为：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．14.【答案】【解析】解：所有三位数的个数为，任取一个“十全十美三位数”，共54个，分三类，①包含含有一个0的三位数：，分别为：109，190，901，910，208，280，802，820，307，370，703，730，406，460，604，640，505，550，②含有相同数字的三位数：，分别为：118，181，811，226，262，622，334，343，433，442，244，424，③不含有0，并且没有相同数字的三位数．，分别为：127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，235，253，352，325，523，532，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是故答案为：利用列举法得到“十全十美三位数的个数，再求出所有三位数的个数即可．本题考查排列组合的应用，考查分类讨论思想的应用，是难题．15.【答案】【解析】解：如图，圆锥面与其内切球、分别相切与B，A，连接，，则，，过作于D，连接，，EF 交于点设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为在中，，，，∽，，解得即则椭圆的离心率故答案为：利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为的余弦值，即可得出椭圆离心率．本题考查了“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦与圆锥母线与轴的夹角的余弦之比，考查了推理能力与计算能力，属于难题．16.【答案】【解析】解：以I为原点，BG，IO所成直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为G，B，I三点共线，所以，由正六边形的内角均为，且边长为1，知，，，设，所以，令，则，原问题转化为求该直线在y轴上截距的取值范围，当该直线经过点时，截距最大，对应的z值最大，为，当该直线经过点时，截距最小，对应的z值最小，为，所以，所以故答案为：1；以I为原点，BG，IO所成直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，由G，B，I三点共线，知；设，可得，令，原问题转化为求直线在y轴上截距的取值范围，再根据线性规划，即可得解．本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的坐标运算，利用线性规划求最值是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：选择条件①，由及正弦定理，可得，则，由余弦定理，得，因为，所以选择条件②，由及正弦定理，可得，即即在中，，所以，即，因为，所以，所以因为，所以选择条件③，由及正弦定理，可得，因为，所以在中，，可得，故因为，所以，则，故因为，所以，整理可得，在中，由余弦定理可得，因为，当且仅当时取等号，所以，即，所以，即，即CD长度的最小值为【解析】选择条件①，利用正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理得，结合范围，可求C的值．选择条件②，由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得，结合范围，可求C 的值．选择条件③，利用正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得，进而可求C的值．由题意可得，利用余弦定理可得，整理可得，进而根据余弦定理，基本不等式即可求解．本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换在解三角形中的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：证法一：在直三棱柱中，侧面为正方形，所以，，而，，，平面，所以平面，所以平面，平面，所以，故以B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，如图，，，，，，，，即；证法二：在正方形中，，又，，又，平面，又平面由可知，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，则设平面的法向量为，则，即，则，令，则，则，设二面角的平面角为，结合图形，可知为锐角，故二面角的余弦值为【解析】法一：推导出，，，得到平面，平面，，以B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明；法二：推导出，，，，得到平面，由此能证明求出平面的法向量和设平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线面垂直的判定与性质、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：的所有可能取值为5，6，7，8，9，10，，，，，，所以X的分布列为X5678910P由题意知“每天得分不低于3分”的概率为，所以5天中恰有3天每天得分不低于3分的概率，，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以当时，取得最大值．【解析】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．可取5，6，7，8，9，10，求出X取每个值的概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可；先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率，再根据导数求出函数的单调区间，即可得出答案．20.【答案】解：设，，则，两式相减得，即若N为ST的中点，则，即直线ST的斜率为1，所以直线ST的方程为，即联立方程组得，满足，故直线ST的方程为联立方程组得，因为，且M是双曲线与直线l唯一的公共点，所以，得，所以点M的坐标为，其中因为过点M且与直线l垂直的直线为，令，得，令，得，所以，故P的轨迹方程为，其中，则P的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为20，虚轴长为10且不包含两个顶点的双曲线．【解析】本题考查双曲线的方程和运用，以及直线与双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．设，，分别代入双曲线的方程，两式相减，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，可得所求直线的方程；联立直线l的方程与双曲线的方程，由判别式为0，求得M的坐标，可得过点M且与直线l垂直的直线，求得，，消去m，k可得P的轨迹方程和轨迹．21.【答案】解：由，得，所以当，，在上单调递增，当，，在上单调递减．令，，则，依题意得实数，满足且不等式恒成立，由及知，法1：不等式恒成立知，，，又函数在单调递减，，又，所以，即，两边取对数得对恒成立．设，，则①当时，对恒成立，此时在上单调递增，故恒成立，符合题意，②当时，，则，，此时在上单调递减，故，不符合题意．综上所述，所求取值范围是法2：由，令，则，，所以不等式令，依题意恒成立．，，①当时，，递增，从而，所以在上递增，故恒成立．②当时，由得，所以在上递减，所以，，在上递减．故，，，不合题意．③当时，由，知，不合题意．综上所述，所求取值范围是【解析】对求导，判断导函数在各区间上的符号，再求出单调区间即可；令，，依题意得实数，满足且不等式恒成立，然后结合条件构造函数，利用导数求出实数的取值范围即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．22.【答案】解：直线l的参数方程为为参数，，转换为普通方程为；曲线C的极坐标方程为，根据，转换为普通方程为；将直线的参数方程，代入，得到，故，；由于，故，整理得；由于，所以；故直线l的方程为【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果、本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：因为，所以，即：①，解得；②，解得；③，解得，故不等式的解集为，所以满足不等式的最大整数a为1；由得x，，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为【解析】根据零点分段法解不等式，即可求出a的值；由，结合基本不等式，利用乘“1”法即可求得z的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．。
2020届江西省新余市高考数学二模试卷(理科)(有答案)(已纠错)
2019年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足：，则复数z的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．已知集合A={x|log2（x﹣1）＜1}，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱5．如图所示程序框图，其功能是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且（n∈N+），则S100=（）A．0 B．1300 C．2600 D．26028．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．329．2019年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六人队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种B．48种C．96种D．144种10．函数（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象是（）A．B．C．D．11．如图，已知椭圆C1：，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，则的值是（）A．正数B．0 C．负数D．皆有可能12．已知函数f（x）=|lnx|，若方程|f（x）+g（x）|=a有4个实根，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2﹣ln2）C．[1，2﹣ln2]D．[1，2﹣ln2）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数则不等式f（x）＞1的解集为．14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．15．设非零向量与夹角是，且，则的最小值是．16．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，D是BC边上的一点．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若AC=7，AD=5，DC=3，求AB的长．18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．（1）求证：EH⊥平面ABCD；（2）在线段BC上是否存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．19．2016年10月21日，台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县（市、区）189.9万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．附：，其中n=a+b+c+d20．已知直线y=x﹣1过椭圆C：的右焦点，且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）以椭圆C：的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为F2，试判断△PF2Q的周长是否为定值，若是求出该定值．21．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a 的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（1）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；（2）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离最大值及点P．若不存在，请说明理由．选修4-5：不等式选讲23．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．2019年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足：，则复数z的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由，得=1﹣i，则复数z的虚部为：﹣1．故选：D．2．已知集合A={x|log2（x﹣1）＜1}，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用对数函数的单调性化简集合A，利用不等式的解法可得B，再利用简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：由log2（x﹣1）＜1，可得0＜x﹣1＜2，解得1＜x＜3．∴A=（1，3）．由＜0，⇔（x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣1＜x＜3．∴B=（﹣1，3）．则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．故选：A．3．已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）．双曲线my2﹣x2=1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），∵双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，∴=2，∴m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：A．4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．5．如图所示程序框图，其功能是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】EF：程序框图．【分析】由已知的程序框图，我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，结合输入的x值与输出的y值相等，我们分类讨论后，即可得到结论．【解答】解：由题意得该程序的功能是：计算并输出分段函数y=的值，又∵输入的x值与输出的y值相等，当|x|≤1时，x=x3，解得x=0，或x=±1，当|x|＞1时，x=ln|x|，无解．故满足条件的x值共有3个．故选：B．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．7．在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且（n∈N+），则S100=（）A．0 B．1300 C．2600 D．2602【考点】8E：数列的求和．【分析】奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，偶数项：a2k+2=1+（﹣1）2k+a2k=2+a2k，所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2，由此能求出S奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，故能求出S100．【解答】解：奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，偶数项：a2k+2=1+（﹣1）2k+a2k=2+a2k所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2a100=a2+49×2=100，S100=50×a1+50×（a1+a100）×=50+50（2+100）×=2600．故选：C．8．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32【考点】9R：平面向量数量积的运算；H2：正弦函数的图象．【分析】由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解【解答】解：由f（x）=2sin（）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故选D9．2019年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六人队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种B．48种C．96种D．144种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、先分析队长，由题意易得其站法数目，②、甲、乙两人必须相邻，用捆绑法将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，③、将甲乙整体与其余3人进行全排列；由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、队长主动要求排在排头或排尾，则队长有2种站法；②、甲、乙两人必须相邻，将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，有A22=2种情况；③、将甲乙整体与其余3人进行全排列，有A44=24种情况，则满足要求的排法有2×2×24=96种；故选：C．10．函数（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：函数（﹣π≤x≤π且x≠0），f（﹣x）=（﹣x+）（﹣sinx）=（x﹣）sinx=f（x），函数是偶函数，排除选项C、D．当x=时，f（）=（）×＜0，排除A，故选：B．11．如图，已知椭圆C1：，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，则的值是（）A．正数B．0 C．负数D．皆有可能【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意设出A，B的坐标，再设出过原点的直线l的方程，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系可得，再结合，得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），过原点的直线l：y=tx，联立，得x2﹣tx﹣1=0．则x1+x2=t，x1x2=﹣1．∴=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（t2+1）x1x2+t（x1+x2）+1=﹣（t2+1）+t2+1=0．而，，∴=．故选：B．12．已知函数f（x）=|lnx|，若方程|f（x）+g（x）|=a有4个实根，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2﹣ln2）C．[1，2﹣ln2]D．[1，2﹣ln2）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】令h（x）=f（x）+g（x），求出h（x）的解析式，判断h（x）的单调性，作出|h（x）|的图象，根据图象得出a的范围．【解答】解：f（x）=|lnx|=，g（x）=，∴f（x）+g（x）=，令h（x）=f（x）+g（x），当0＜x≤1时，h（x）是减函数，当1＜x≤2时，h′（x）==＜0，∴h（x）在（1，2]上是减函数，当x＞2时，h′（x）=＞0，∴h（x）在（2，+∞）上单调递增．作出h（x）的函数图象如图所示：将x轴下方的图象翻折到x轴上方，得到y=|h（x）|的函数图象，如图：由图象可知，当1≤a＜2﹣ln2时，|h（x）|=a有4个解．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数则不等式f（x）＞1的解集为．【考点】5B：分段函数的应用；7J：指、对数不等式的解法．【分析】根据题意，由f（x）＞1，变形可得①或②，解①②再取并集可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数的解析式为，若不等式f（x）＞1，①或②，解①可得：﹣1＜x≤0，解②可得：0＜x＜，综合可得：x的取值范围：﹣1＜x＜，即（x）＞1的解集为（﹣1，）；故答案为：（﹣1，）．14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a 的值来，然后再由规律求出常数项【解答】解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为4015．设非零向量与夹角是，且，则的最小值是．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由可知=﹣，根据数量积的定义可得=﹣||||，从而得出||=||，计算的平方得出关于t的函数，从而得出最小值．【解答】解：∵，∴=+2+，即=﹣=﹣||2，∵=||||cos=﹣||||，∴﹣||2=﹣||||，即||=||，∴（）2==t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，∴当t=1时，取得最小值．故答案为．16．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为（1，）．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，画出区域Ω，由=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，结合图象，连接PA，可得斜率最大，再由双曲线的a，b，c关系和离心率公式计算即可得到所求范围．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，抛物线y2=﹣4x的准线1：x=1，渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，如图，=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，求得A（1，），B（1，﹣），连接PA，可得斜率最大为，由题意可得﹣1＜0，可得＜3，即3a＞b，9a2＞b2=c2﹣a2，即c2＜10a2，即有c＜a．可得1＜e＜．故答案为：（1，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，D是BC边上的一点．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若AC=7，AD=5，DC=3，求AB的长．【考点】HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据三角形内角和定理和正弦定理化简可得角B的大小；（Ⅱ）根据余弦定理，求出∠ADC，在利用正弦定理即可求AB的长．【解答】解：（Ⅰ）由，得，即，根据正弦定理，．∴，又0°＜B＜180°，∴B=45°．（Ⅱ）在△ADC中，AC=7，AD=5，DC=3，由余弦定理得=，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理，得，故得AB=．18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．（1）求证：EH⊥平面ABCD；（2）在线段BC上是否存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AB⊥EA，AB⊥AD，从而AB⊥EH，再求出EH⊥AD．由此能证明EH ⊥平面ABCD．（2）由AD，OH，HE两两垂直，建立空间直角坐标系H﹣xyz，利用向量法能求出结果．【解答】证明：（1）因为AB∥EF，EF⊥EA，所以AB⊥EA．因为AB⊥AD，且EA∩AD=A，所以AB⊥平面AED．因为EH⊂平面AED，所以AB⊥EH．因为AE=ED，H是AD的中点，所以EH⊥AD．又AB∩AD=A，所以EH⊥平面ABCD．解：（2）因为AD，OH，HE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系H﹣xyz，则A（1，0，0）D（﹣1，0，0），F（0，1，1），O（0，1，0），C（﹣1，2，0）．设点P（m，2，0）（﹣1≤m＜1），于是有，．设平面PDF的法向量，则，即．令x=2，得y=﹣（m+1），z=m﹣1，所以．平面BDF的法向量，所以，解得m=﹣1．所以点P的坐标为（﹣1，2，0），与点C的坐标相同，所以BP=BC=2．19．2016年10月21日，台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县（市、区）189.9万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．附：，其中n=a +b +c +d【考点】BO ：独立性检验的应用；B2：简单随机抽样；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，求出K 2，得到有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．（Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率．由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，且ξ～B （3，）．由此能求出ξ的分布列，期望E （ξ）和方差D （ξ）．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，则表格数据如下k 2的观测值．因为4.762＞3.841，P （K 2≥3.841）=0.05．所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．（Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，ξ～B （3，），，，，，从而ξ的分布列为，．20．已知直线y=x﹣1过椭圆C：的右焦点，且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）以椭圆C：的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为F2，试判断△PF2Q的周长是否为定值，若是求出该定值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）直线y=x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），得椭圆的半焦距c．又离心率，得a2=9，b2=8．即可求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0，利用根与系数的关系、弦长公式表示及直线PQ与圆x2+y2=8相切，表示出PQ，距离公式表示PF2，QF2由=，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为直线y=x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由题意得椭圆的半焦距c=1．又已知离心率，所以a2=9，所以b2=8．所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）根据题意作出图形如图所示，设直线PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0，所以△=（18km）2﹣4（8+9k2）（9m2﹣72）=288（9k2﹣m2+8）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，所以==，因为直线PQ与圆x2+y2=8相切，所以，即，所以，因为，，同理（也可用焦半径公式），所以=因此，△PF2Q的周长是定值，且定值为6．21．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a 的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（1）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；（2）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离最大值及点P．若不存在，请说明理由．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）首先，将直线l中的参数，化为普通方程，曲线的极坐标方程C1中消去ρ，θ，得到直角坐标方程；（2）首先，假设存在这样的点，然后，利用点到直线的距离建立等式确定即可．【解答】解：（1）直线l得：y=x+1，由曲线C1得：…（2）由题意可知（其中ϕ为参数），…∴P 到l 得距离为…∴，…此时，即，…，∴，即．…故存在这样的点，满足条件．选修4-5：不等式选讲23．已知f （x ）=|x +2|﹣|2x ﹣1|，M 为不等式f （x ）＞0的解集． （1）求M ；（2）求证：当x ，y ∈M 时，|x +y +xy |＜15． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x 的范围，解关于x 的不等式，求出M 的范围即可； （2）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（1）f （x ）=，当x ＜﹣2时，由x ﹣3＞0得，x ＞3，舍去；当﹣2≤x ≤时，由3x +1＞0得，x ＞﹣，即﹣＜x ≤；当x ＞时，由﹣x +3＞0得，x ＜3，即＜x ＜3，综上，M=（﹣，3）；（2）证明：∵x ，y ∈M ，∴|x |＜3，|y |＜3，∴|x +y +xy |≤|x +y |+|xy |≤|x |+|y |+|xy |=|x |+|y |+|x ||y |＜3+3+3×3=15．。
江西省新余市2019-2020学年高考数学模拟试题含解析
江西省新余市2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .【详解】 因为22|sin()||sin |22()66()1()1x x f x f x x x--===+-+ ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |242()61111f πππππ==++11101122<-=-=+,故排除B , 因为2|sin |22()2()621()2f ππππ==+426164ππ+42616444>-+46662425=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23 B ．25C ．28D ．29【答案】D【解析】 【分析】由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可. 【详解】解：{}n a Q 是等差数列95981S a ∴==59a ∴=，又45a =Q ， ∴公差为4d =，410629a a d ∴=+=，故选：D 【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题. 3．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时，（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】C 【解析】 【分析】1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34内的单调性即可．【详解】解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增， 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+=222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭，是以12p =为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选：C ． 【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 4．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.5．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（ ）A 5B ．3C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】PBA ∠为所求的二面角的平面角，由DAP CPB ~n n 得出PAPB，求出P 在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出PBA ∠的最大值对应的余弦值 【详解】DA l ⊥Q ，αβ⊥，l αβ⋂=，AD β⊂ AD α∴⊥，同理BC α⊥DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒DAP CPB ∴~n n ，12PA DA PB BC == 在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >， ()()2222233x y x y ∴++=-+()22516x y ++=P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆 Q 平面PBC ⋂平面BC β=，PB BC ⊥，AB BC ⊥PBA ∴∠为二面角P BC D --的平面角，∴当PB 与圆相切时，PBA ∠最大，cos PBA ∠取得最小值此时4843PM MB MP PB PB ==⊥=，，，433cos PB PBA MB ∠===故选B 【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．6．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,2]C ．(,0][2,)-∞+∞UD ．(,1)[2,)-∞⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】 设32y k x -=-，则k 的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论.解：设32y k x -=-，则k 的几何意义为点(,)P x y 到点(2,3)D 的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点D 的直线平行于x 轴时，此时302y k x -==-成立； 32y k x -=-取所有负值都成立； 当过点A 时，32y k x -=-取正值中的最小值，1(1,1)0x A x y =⎧⇒⎨-=⎩，此时3132212y k x --===--； 故32y x --的取值范围为(,0][2,)-∞+∞U ； 故选：C. 【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．7．已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充分必要条件【答案】D 【解析】 【分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a 、b ，由大边对大角定理知“a b >”⇒“A B >”，“A B >”⇒“a b >”.因此，“a b >” 是“A B >”的充分必要条件.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 8．若函数()x f x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ） A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，可转化为曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点，可转化为方程2ln ax x -=有两解，构造函数2ln ()xh x x+=，利用导数研究函数单调性，分析即得解 【详解】函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在ln y x =上，即曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点， 即方程2ln ax x -=有两解，即2ln xa x+=有两解， 令2ln ()xh x x +=，则21ln ()xh x x --'=，则当10x e<<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<，故1x e =时()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值， 当0x →时，()h x →-∞；当x →+∞时，()0h x →， 所以0a e <<满足条件． 故选：D 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.9．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为A ．3B ．3.4C ．3.8D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数. 【详解】由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为,3,1x 和 一个底面半径为12，高为5.4x -的圆柱组合而成. 该几何体的表面积为()()233 5.442.2x x x π+++⋅-=，解得4x =， 故选：D. 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.10．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-< D ．1,0a b >->【答案】C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +…，即1a -…时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.11．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数模的计算、复数的除法化简复数z ，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】Q ()55(1)5513451222i i z i z i i -+=+=⇒===-+， ∴z 对应的点55(,)22-，∴z 对应的点位于复平面的第四象限.故选：D. 【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.12．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D 【解析】根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届江西省新余市高考数学二模试卷(理科)(有答案)(精校版)
2019年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足：，则复数z的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．已知集合A={x|log2（x﹣1）＜1}，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱5．如图所示程序框图，其功能是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且（n∈N+），则S100=（）A．0 B．1300 C．2600 D．26028．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．329．2019年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六人队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种B．48种C．96种D．144种10．函数（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象是（）A．B．C．D．11．如图，已知椭圆C1：，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，则的值是（）A．正数B．0 C．负数D．皆有可能12．已知函数f（x）=|lnx|，若方程|f（x）+g（x）|=a有4个实根，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2﹣ln2）C．[1，2﹣ln2]D．[1，2﹣ln2）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数则不等式f（x）＞1的解集为．14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．15．设非零向量与夹角是，且，则的最小值是．16．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，D是BC边上的一点．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若AC=7，AD=5，DC=3，求AB的长．18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．（1）求证：EH⊥平面ABCD；（2）在线段BC上是否存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．19．2016年10月21日，台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县（市、区）189.9万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．附：，其中n=a+b+c+d20．已知直线y=x﹣1过椭圆C：的右焦点，且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）以椭圆C：的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为F2，试判断△PF2Q的周长是否为定值，若是求出该定值．21．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a 的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（1）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；（2）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离最大值及点P．若不存在，请说明理由．选修4-5：不等式选讲23．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．2019年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足：，则复数z的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由，得=1﹣i，则复数z的虚部为：﹣1．故选：D．2．已知集合A={x|log2（x﹣1）＜1}，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用对数函数的单调性化简集合A，利用不等式的解法可得B，再利用简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：由log2（x﹣1）＜1，可得0＜x﹣1＜2，解得1＜x＜3．∴A=（1，3）．由＜0，⇔（x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣1＜x＜3．∴B=（﹣1，3）．则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．故选：A．3．已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）．双曲线my2﹣x2=1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），∵双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，∴=2，∴m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：A．4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．5．如图所示程序框图，其功能是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】EF：程序框图．【分析】由已知的程序框图，我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，结合输入的x值与输出的y值相等，我们分类讨论后，即可得到结论．【解答】解：由题意得该程序的功能是：计算并输出分段函数y=的值，又∵输入的x值与输出的y值相等，当|x|≤1时，x=x3，解得x=0，或x=±1，当|x|＞1时，x=ln|x|，无解．故满足条件的x值共有3个．故选：B．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．7．在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且（n∈N+），则S100=（）A．0 B．1300 C．2600 D．2602【考点】8E：数列的求和．【分析】奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，偶数项：a2k+2=1+（﹣1）2k+a2k=2+a2k，所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2，由此能求出S奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，故能求出S100．【解答】解：奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，偶数项：a2k+2=1+（﹣1）2k+a2k=2+a2k所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2a100=a2+49×2=100，S100=50×a1+50×（a1+a100）×=50+50（2+100）×=2600．故选：C．8．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32【考点】9R：平面向量数量积的运算；H2：正弦函数的图象．【分析】由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解【解答】解：由f（x）=2sin（）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故选D9．2019年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六人队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种B．48种C．96种D．144种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、先分析队长，由题意易得其站法数目，②、甲、乙两人必须相邻，用捆绑法将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，③、将甲乙整体与其余3人进行全排列；由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、队长主动要求排在排头或排尾，则队长有2种站法；②、甲、乙两人必须相邻，将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，有A22=2种情况；③、将甲乙整体与其余3人进行全排列，有A44=24种情况，则满足要求的排法有2×2×24=96种；故选：C．10．函数（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：函数（﹣π≤x≤π且x≠0），f（﹣x）=（﹣x+）（﹣sinx）=（x﹣）sinx=f（x），函数是偶函数，排除选项C、D．当x=时，f（）=（）×＜0，排除A，故选：B．11．如图，已知椭圆C1：，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，则的值是（）A．正数B．0 C．负数D．皆有可能【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意设出A，B的坐标，再设出过原点的直线l的方程，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系可得，再结合，得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），过原点的直线l：y=tx，联立，得x2﹣tx﹣1=0．则x1+x2=t，x1x2=﹣1．∴=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（t2+1）x1x2+t（x1+x2）+1=﹣（t2+1）+t2+1=0．而，，∴=．故选：B．12．已知函数f（x）=|lnx|，若方程|f（x）+g（x）|=a有4个实根，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2﹣ln2）C．[1，2﹣ln2]D．[1，2﹣ln2）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】令h（x）=f（x）+g（x），求出h（x）的解析式，判断h（x）的单调性，作出|h（x）|的图象，根据图象得出a的范围．【解答】解：f（x）=|lnx|=，g（x）=，∴f（x）+g（x）=，令h（x）=f（x）+g（x），当0＜x≤1时，h（x）是减函数，当1＜x≤2时，h′（x）==＜0，∴h（x）在（1，2]上是减函数，当x＞2时，h′（x）=＞0，∴h（x）在（2，+∞）上单调递增．作出h（x）的函数图象如图所示：将x轴下方的图象翻折到x轴上方，得到y=|h（x）|的函数图象，如图：由图象可知，当1≤a＜2﹣ln2时，|h（x）|=a有4个解．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数则不等式f（x）＞1的解集为．【考点】5B：分段函数的应用；7J：指、对数不等式的解法．【分析】根据题意，由f（x）＞1，变形可得①或②，解①②再取并集可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数的解析式为，若不等式f（x）＞1，①或②，解①可得：﹣1＜x≤0，解②可得：0＜x＜，综合可得：x的取值范围：﹣1＜x＜，即（x）＞1的解集为（﹣1，）；故答案为：（﹣1，）．14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a 的值来，然后再由规律求出常数项【解答】解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为4015．设非零向量与夹角是，且，则的最小值是．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由可知=﹣，根据数量积的定义可得=﹣||||，从而得出||=||，计算的平方得出关于t的函数，从而得出最小值．【解答】解：∵，∴=+2+，即=﹣=﹣||2，∵=||||cos=﹣||||，∴﹣||2=﹣||||，即||=||，∴（）2==t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，∴当t=1时，取得最小值．故答案为．16．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为（1，）．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，画出区域Ω，由=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，结合图象，连接PA，可得斜率最大，再由双曲线的a，b，c关系和离心率公式计算即可得到所求范围．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，抛物线y2=﹣4x的准线1：x=1，渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，如图，=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，求得A（1，），B（1，﹣），连接PA，可得斜率最大为，由题意可得﹣1＜0，可得＜3，即3a＞b，9a2＞b2=c2﹣a2，即c2＜10a2，即有c＜a．可得1＜e＜．故答案为：（1，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，D是BC边上的一点．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若AC=7，AD=5，DC=3，求AB的长．【考点】HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据三角形内角和定理和正弦定理化简可得角B的大小；（Ⅱ）根据余弦定理，求出∠ADC，在利用正弦定理即可求AB的长．【解答】解：（Ⅰ）由，得，即，根据正弦定理，．∴，又0°＜B＜180°，∴B=45°．（Ⅱ）在△ADC中，AC=7，AD=5，DC=3，由余弦定理得=，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理，得，故得AB=．18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．（1）求证：EH⊥平面ABCD；（2）在线段BC上是否存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AB⊥EA，AB⊥AD，从而AB⊥EH，再求出EH⊥AD．由此能证明EH ⊥平面ABCD．（2）由AD，OH，HE两两垂直，建立空间直角坐标系H﹣xyz，利用向量法能求出结果．【解答】证明：（1）因为AB∥EF，EF⊥EA，所以AB⊥EA．因为AB⊥AD，且EA∩AD=A，所以AB⊥平面AED．因为EH⊂平面AED，所以AB⊥EH．因为AE=ED，H是AD的中点，所以EH⊥AD．又AB∩AD=A，所以EH⊥平面ABCD．解：（2）因为AD，OH，HE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系H﹣xyz，则A（1，0，0）D（﹣1，0，0），F（0，1，1），O（0，1，0），C（﹣1，2，0）．设点P（m，2，0）（﹣1≤m＜1），于是有，．设平面PDF的法向量，则，即．令x=2，得y=﹣（m+1），z=m﹣1，所以．平面BDF的法向量，所以，解得m=﹣1．所以点P的坐标为（﹣1，2，0），与点C的坐标相同，所以BP=BC=2．19．2016年10月21日，台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县（市、区）189.9万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．附：，其中n=a +b +c +d【考点】BO ：独立性检验的应用；B2：简单随机抽样；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，求出K 2，得到有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．（Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率．由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，且ξ～B （3，）．由此能求出ξ的分布列，期望E （ξ）和方差D （ξ）．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，则表格数据如下k 2的观测值．因为4.762＞3.841，P （K 2≥3.841）=0.05．所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．（Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，ξ～B （3，），，，，，从而ξ的分布列为，．20．已知直线y=x﹣1过椭圆C：的右焦点，且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）以椭圆C：的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为F2，试判断△PF2Q的周长是否为定值，若是求出该定值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）直线y=x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），得椭圆的半焦距c．又离心率，得a2=9，b2=8．即可求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0，利用根与系数的关系、弦长公式表示及直线PQ与圆x2+y2=8相切，表示出PQ，距离公式表示PF2，QF2由=，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为直线y=x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由题意得椭圆的半焦距c=1．又已知离心率，所以a2=9，所以b2=8．所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）根据题意作出图形如图所示，设直线PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0，所以△=（18km）2﹣4（8+9k2）（9m2﹣72）=288（9k2﹣m2+8）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，所以==，因为直线PQ与圆x2+y2=8相切，所以，即，所以，因为，，同理（也可用焦半径公式），所以=因此，△PF2Q的周长是定值，且定值为6．21．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a 的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（1）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；（2）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离最大值及点P．若不存在，请说明理由．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）首先，将直线l中的参数，化为普通方程，曲线的极坐标方程C1中消去ρ，θ，得到直角坐标方程；（2）首先，假设存在这样的点，然后，利用点到直线的距离建立等式确定即可．【解答】解：（1）直线l得：y=x+1，由曲线C1得：…（2）由题意可知（其中ϕ为参数），…∴P 到l 得距离为…∴，…此时，即，…，∴，即．…故存在这样的点，满足条件．选修4-5：不等式选讲23．已知f （x ）=|x +2|﹣|2x ﹣1|，M 为不等式f （x ）＞0的解集． （1）求M ；（2）求证：当x ，y ∈M 时，|x +y +xy |＜15． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x 的范围，解关于x 的不等式，求出M 的范围即可； （2）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（1）f （x ）=，当x ＜﹣2时，由x ﹣3＞0得，x ＞3，舍去；当﹣2≤x ≤时，由3x +1＞0得，x ＞﹣，即﹣＜x ≤；当x ＞时，由﹣x +3＞0得，x ＜3，即＜x ＜3，综上，M=（﹣，3）；（2）证明：∵x ，y ∈M ，∴|x |＜3，|y |＜3，∴|x +y +xy |≤|x +y |+|xy |≤|x |+|y |+|xy |=|x |+|y |+|x ||y |＜3+3+3×3=15．。
江西省新余市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
江西省新余市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()0,2=r a，()b x =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则x=（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-1【答案】B 【解析】 【分析】由题意cos 3a b a bπ⋅=r rr r ，代入解方程即可得解. 【详解】由题意1cos 32a b a b π⋅===r r r r ，所以0x >，且2x =2x =.故选：B. 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.2．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．49【答案】B 【解析】 【分析】根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为1122C C ，最后简单计算，可得结果. 【详解】 由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人 ：2233C C将选中2名女生平均分为两组：112122C CA将选中2名男生平均分为两组：112122C CA则选出的4人分成两队混合双打的总数为：221111112223322212133222222218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11224C C =所以所求的概率为42189= 故选：B 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以mm A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.3．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】 【分析】可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又12124b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，12log 21c ==-设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈； 若1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+；()f x Q 在[]1,2上是减函数；12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；12()()f x f x ∴<；()f x ∴在[]0,1上是增函数；所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=∴()()()f b f a f c <<故选：C 【点睛】考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题.4．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向右平移5π6个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向左平移5π12个长度单位【答案】D 【解析】55cos(2)sin(2)sin(2)sin 2()332612y x x x x πππππ=+=++=+=+，所以要的函数cos(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个长度单位得到，故选D5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n 天后长度，进而可得：131212212112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--，解出即可得出． 【详解】由题意可得莞草与蒲草第n 天的长度分别为1113,122n n n n a b --⎛⎫=⨯=⨯ ⎪⎝⎭据题意得：131212212112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--， 解得2n ＝12， ∴n 122lg lg ==232lg lg +≈1． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( ) A ．1 B ．2 C．2D【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，q 0>，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q ． 【详解】由题意，正项等比数列{}n a 中，153759a a 2a a a a 16++=，可得222337737a 2a a a (a a )16++=+=，即37a a 4+=，5a 与9a 的等差中项为4，即59a a 8+=，设公比为q ，则()2237q a a 4q 8+==，则q =负的舍去)，故选D ．【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．7．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．247-B ．1731-C ．247D ．1731【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义得到4tan 3α=，故24tan 27α=-，再利用和差公式得到答案.【详解】∵角α的终边过点(3,4)P --，∴4tan 3α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--. ∴241tan 2tan1774tan 2244311tan 2tan 1147παπαπα-++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-⋅+⨯. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力. 8．已知cos(2019)πα+=，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式得cos(2019)cos παα+=-，sin(2)cos 22παα-=，再利用倍角公式，即可得答案.【详解】由cos(2019)3πα+=-可得cos()3πα+=-，∴cos 3α=，∴225sin(2)cos22cos 121299πααα-==-=⨯-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.9．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形， 且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。