二次函数的存在性问题(Word版解析+答案)
中考压轴题解析
二次函数的存在性问题
【典例分析】
【考点1】二次函数与相似三角形问题
【例1】已知抛物线23yaxbx与x轴分别交于(3,0)A，(1,0)B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
①如图1，设AFkAD，当k为何值时，2CFAD1.
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
【变式1-1】如图，抛物线2y2axxc经过(1,0)A，B两点，且与y轴交于点(0,3)C，抛物线与直线1yx交于A，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）坐标轴上是否存在一点Q，使得AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
（3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与ABE相似，求点P的坐标．
【变式1-2】如图，已知抛物线1(2)()yxxmm(m＞0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧.
（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H，使AH+CH的值最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【考点2】二次函数与直角三角形问题
【例2】如图，抛物线20yaxbxca的顶点坐标为2,1，图象与y轴交于点0,3C，与x轴交于A、B两点．
1求抛物线的解析式；
2设抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求ACD的面积；
3点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F，问是否存在点E使DEF为直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．
【变式2-1】如图，经过x轴上(10)(30)AB，，，两点的抛物线2(1)4ymxm（0m）交y轴于点C，设抛物线的顶点为D，若以DB为直径的⊙G经过点C，求解下列问题：
（1）用含m的代数式表示出CD，的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）能否在抛物线上找到一点Q，使BDQ△为直角三角形？如能，求出Q点的坐标，若不能，请说明理由。
【变式2-2】已知抛物线221yxxm与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．
（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线y，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线y上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形？
【考点3】二次函数与等腰三角形问题
【例3】如图，已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）若抛物线上有一动点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．
（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【变式3-1】如图，抛物线32bxaxy与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作直线轴于点，交直线于点. ①当时，求点坐标；
② 是否存在点使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【考点4】二次函数与平行四边形问题
【例4】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣32），顶点为P．
（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过A（0，﹣4），B（，0），C（，0）三点，且．
（1）求b，c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
【变式4-2】如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
(3)①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标； ②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.
【达标训练】
一、单选题
1．将抛物线y=﹣2x2﹣1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ ）
A．32个单位 B．1个单位
C．12个单位
D．2个单位 2．如图，抛物线2yx2x3与y轴交于点C，点(0,1)D，点P是抛物线上的动点，若PCD是以CD为底的等腰三角形，则tanCDP的值为（ ）．
A．122或122 B．21或21
C．212或212 D．12或12
二、填空题
3．如图，抛物线21yx的顶点为C，直线1yx与抛物线交于A，B两点．M是抛物线上一点，过M作MGx轴，垂足为G．如果以A，M，G为顶点的三角形与ABC相似，那么点M的坐标是________．
4．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．当△PAC为直角三角形时点P的坐标 ．
5．如图，已知抛物线 221yx 与 x 轴交于A、C两点，与 y 轴交于点B，在抛物线的对称轴上找一点Q，使△ABQ成为等腰三角形，则Q点的坐标是____.
6．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+4与y轴交于点C，点D（0，2），点M是抛物线上的动点．若△MCD是以CD为底的等腰三角形，则点M的坐标为_____．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果四边形ABMP是平行四边形，则点M的坐标为______．
8．已知抛物线y＝（x﹣2）2，P是抛物线对称轴上的一个点，直线x＝t分别与直线y＝x、抛物线交于点A，B，若△ABP是等腰直角三角形，则t的值为_____．
9．将抛物线21yx向右平移2个单位,得到抛物线2y的图象.P是抛物线2y对称轴上的一个动点,直线xt平行于y轴,分别与直线yx、抛物线2y交于点A、B.若ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则t ______ .
10．如图，已知抛物线2144yxbx与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．若已知A点的坐标为2,0A．点Q在抛物线的对称轴上，当ACQ为等腰三角形时，点Q的坐标为________．
11．如图，抛物线211322yxx与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点,DE分别是直线1x与抛物线上的点，若点,,,ABDE围成的四边形是平行四边形，则点E的坐标为__________.
三、解答题
12．如图，抛物线与直线交于A，B两点，交x轴于D，C两点，已知，．
求抛物线的函数表达式并写出抛物线的对称轴；
在直线AB下方的抛物线上是否存在一点E，使得的面积最大？如果存在，求出E点坐标；如果不存在，请说明理由．
为抛物线上一动点，连接PA，过点P作交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线cbxaxy2经过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0，3），连接AC、BC，将△ABC绕点C逆时针旋转，使点A落在x轴上，得到△DCE，此时，DE所在直线与抛物线交于第一象限的点F.
（1）求抛物线cbxaxy2对应的函数关系式.
（2）求点A所经过的路线长.
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P使△PDF是等腰三角形.
若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.
14．如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点B（72，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；
（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
15．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点，点是抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点.
（1）试求该抛物线的表达式；
（2）如图（1），若点在第三象限，四边形是平行四边形，求点的坐标；
（3）如图（2），过点作轴，垂足为，连接，
①求证：是直角三角形；
②试问当点横坐标为何值时，使得以点为顶点的三角形与相似？
函数的恒成立、存在性问题的方法总结大全(干货)
1
关于函数的恒成立、存在性（能成立）问题
关于二次函数的恒成立、存在性（能成立）问题是常考考点，其基本原理如下：
（1）已知二次函数2()(0)fxaxbxca，则：0()00afx恒成立；0()00afx恒成立．
（2）若表述为：“已知函数2()(0)fxaxbxca”，并未限制为二次函数，则应有：00()000aabfxc恒成立或；00()000aabfxc恒成立或．注：在考试中容易犯错，要特别注意！！！
恒成立问题与存在性（能成立）问题，在解决此类问题时，可转化为其等价形式予以解答，将此类问题的可能出现的17种情形归纳总结大全如下，并通过常考例题进行讲解：
已知定义在[,]ab上的函数()fx，()gx．
（1）[,]xab，都有()fxk（k是常数）成立等价于min[()]fxk（[,]xab）．
（2）[,]xab，都有()fxk（k是常数）成立等价于max[()]fxk（[,]xab）．
（3）[,]xab，都有()()fxgx成立等价于min[()()]0fxgx（[,]xab）．
（4）[,]xab，都有()()fxgx成立等价于max[()()]0fxgx（[,]xab）．
（5）1[,]xab，2[,]xab都有12()()fxgx成立等价于minmax[()][()]fxgx．
（6）1[,]xab，2[,]xab使得12()()fxgx成立等价于minmin[()][()]fxgx．
（7）1[,]xab，2[,]xab使得12()()fxgx成立等价于maxmax[()][()]fxgx．
（8）1[,]xab，2[,]xab使得12()()fxgx成立等价于maxmin[()][()]fxgx．
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
_ Q
_ G _ P_ O 二次函数与三角形的存在性问题
一、预备知识
1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（x1，y），Q（x2，y）
(1)线段对称轴是直线2x21xx
(2)AB两点之间距离公式：221221)()(yyxxPQ
中点公式：已知两点2211y,xQ,y,xP，则线段PQ的中点M为222121yy,xx。
2、两直线的解析式为11bxky与 22bxky
如果这两天两直线互相垂直，则有121kk
3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2
（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2
（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交
（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直
二、三角形的存在性问题探究：
三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形
（一）三角形的性质和判定：
1、等腰三角形
性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形
性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形
性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形
4、等边三角形
性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 总结：（1）已知A、B两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上
二次函数压轴题之全等三角形的存在性(讲义及答案)
课前预习
1.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2，1)，点B坐标
为(3，0)，点D为平面直角坐标系中任一点（与点O，A，B
不重合）．
（1）△AOB和△DOB的公共边为_________．
（2）若△DOB与△OAB全等，则点D的坐标为_________．
（3）在下图中画出可能的△DOB，并考虑与△AOB之间的联系．二次函数压轴题之全等三角形的存在性（讲义）
知识点睛
全等三角形存在性的处理思路1.分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合
图形形成因素（判定等）考虑分类．
注：全等三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考
虑分类．2.画图求解：
往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综
合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解．3.结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．
精讲精练
1.如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的
另一个交点为E．
（1）求抛物线C1的解析式．
（2）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线
C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为
M(a，b)，对称轴与x轴交于点G，且以M，G，E为顶点的
三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）
2.如图，抛物线213442yxx与x轴的一个交点为A(-2，
0)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点B．若点D在x
轴上，点P在抛物线上，使得△PBD≌△PBC，则点P的坐
标为_____________________________________．
3.如图，抛物线21382yxx与x轴交于A，B两点，与y轴
交于点C，直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D(6，
-8)，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE．若点F在抛物
线上，使△FOE≌△FCE，则点F的坐标为____________．
4.如图，抛物线21(2)62yx与y轴交于点C，对称轴与x
专题06 二次函数中三角形存在性问题(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
1挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编
专题06二次函数中三角形存在性问题
一．相似三角形的存在性
1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y
轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，
x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P
的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y
＝x2
﹣x﹣4；
（2）如图：
∵y
＝x2
﹣x﹣4
＝（x﹣1）2
﹣，
∴抛物线y
＝x2
﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，
在y
＝x2
﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵△PMN和△OBC相似，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，
∴∠MPN＝90°，PM＝PN，
设P（m
，m2
﹣m﹣4），
2∴|m﹣1|＝
|m2
﹣m﹣4|，
∴m﹣1
＝m2
﹣m﹣4或m﹣1
＝﹣m2+m+4，
解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，
∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，
∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．
2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交
y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求
出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，
DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，
使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的
坐标，若不存在，请说明理由．
3【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
二次函数中角度的存在性问题
二次函数中角度的存在性问题
类型一：等角构造法（作垂直，找相似）
例1：如图，抛物线y＝x2-4x＋3与x轴交于点A，B两点，与y轴交C，连接AC.抛物线上是否存在点M，使∠OBM＝∠OCA.若存求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
分析：
1. 假设∠OBM=∠OCA，过M作ME垂直x轴，构造∆MEB~∆AOC，利用对应边成比例，可求出M点坐标。
2. 利用对称性，求出点M的对称点H,可得∠HBO=∠OBM，延长BH交抛物线于点M’，
则点M’就为所求的。
类型二：2倍角构造法
（作垂直平分线，构造等腰三角形，则外
角就为已知角的两倍）
例2.如图，直线y＝-3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝-x2＋bx＋c经过点A，B．抛物线上是否存在点M，使直线AM与y轴所夹锐角是∠ABO的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
分析：
1. 作AB的垂直平分线CD,交y轴于点D,则构造等腰三角形BDA，所以∠ODA=2∠OBA，延长AD交抛物线于点M，则联立解析式可求点M坐标。
2. 利用对称性可求点M的对称点H（或者求D点的对称点），则延长AH交抛物线于M’。
类型三：半角构造法（作角平分线或向外延长作等腰三角形）
例3：如图，抛物线交x轴于A，C两交y轴于点B，连接AB.抛物线上是否存在点M，使∠ACM＝？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
分析：
方法1：作∠OAB的J角平分线AE，求出E点坐标及AE解析式。过点C作CM∥AE，则∠MCA=∠OAE=∠OAB，则点M就为所求作的。然后利用对称性，可求点M’.
4x31x31y2BAO2121
方法2：延长OA至D，使AD等于AB，构造等腰三角形BAD,则∠ADB=∠OAB，过C点作CM∥BD,则点M就为所求作的。然后一样利用对称性求出点M’。 21
中考复习专题8二次函数与矩形存在性问题(含解析)
1专题8二次函数与矩形存在性问题
1.矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角为直角的四边形是矩形．
2.题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，
坐标系中的矩形满足以下3个等式：
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下：
同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C
或D的坐标.
【例1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，
4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直
线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，
F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2【分析】（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中列方程组解出即可；
（2）利用待定系数可得直线AB的解析式，再设直线DE的解析式为：y＝mx，点D是直线DE和AB的
交点，列方程可得点D的横坐标，根据△BDO与△OCE的面积相等列等式可解答；
（3）设P（t
，﹣t2+t+4），分两种情况：作辅助线构建相似三角形，证明三角形相似或利用等角的三
角函数列等式可解答．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：
解得：；
（2）由（1）知：抛物线解析式为：y
＝﹣x2+x+4，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则
，解得：，
∴AB的解析式为：y＝2x+4，
2020年初三数学下册中考专题复习 二次函数的存在性问题【含答案】
2020年初三数学下册中考专题复习二次函数的存在性问题
一．解答题（共20小题）1．如图，在▱OABC中，A、C两点的坐标分别为（4，0）、（﹣2，3），抛物线W经过O、
A、C三点，点D是抛物线W的顶点．
（1）求抛物线W的函数解析式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线W和▱OABC同时先向右平移4个单位长度，再向下平移m（0＜m＜3）
个单位长度，得到抛物线W1和□O1A1B1C1，在向下平移过程中，O1C1与x轴交于点H，
▱O1A1B1C1与▱OABC重叠部分的面积记为S，试探究：当m为何值时，S有最大值，
并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W1的顶点为F，若点M是x
轴上的动点，点N是抛物线W1上的动点，是否存在这样的点M、N，使以D、F、M、N
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、
C（0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中
探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；
（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶
点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），
与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式．
二次函数中的存在性问题(最新整理)
二次函数中的存在性问题
1. 如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半
轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物
线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4：
解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），
设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，
将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，
故直线AC解析式为y=﹣x+3，
与抛物线解析式联立得：，解得：或，
则点D坐标为（1，）；
（3）存在，分两种情况考虑：
①当点M在x轴上方时，如答图1所示：
四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，
由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，
∴N1（2，0），N2（6，0）；
②当点M在x轴下方时，如答图2所示：
过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP=DQ=，NP=AQ=3，
将yM=﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x2+3x，
解得：xM=2﹣或xM=2+，
∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1，
∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．
综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．
2． 如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四
边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得
二次函数中的存在性问题(平行四边形)
二次函数的平行四边形问题
一、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）
1.已知抛物线baxaxy22与x轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点M,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．
解：⑴对称轴是直线：1x，点B的坐标是(3,0)． ……2分
⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，
∴AB＝4．∴．ABPC242121
在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，
∴．POPCOC3122222
∴b＝．3
当01，yx时，，aa032
∴．a33
∴．xxy3332332
⑶存在．
理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为),(yxM．
①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．
由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，3OCy．
∴x＝±4．∴点M的坐标为)3,4()3,4(或M．
②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．
过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．
∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．
∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝3．
∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．
∴点M的坐标为(2,3)M．
综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为123(4,3),(4,3),(2,3)MMM．
2.已知抛物线22yxxa（0a）与y轴相交于点A，顶点为M.直线12yxa分别与x轴，y轴相交于BC，两点，并且与直线AM相交于点N.
专题09 二次函数中的存在性问题之正方形(18南充)(解析版)
专题09 二次函数中的存在性问题之正方形
【典例1】（2018•南充）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
【点拨】（1）设出抛物线顶点坐标，把C坐标代入求出即可；
（2）由△BCQ与△BCP的面积相等，得到PQ与BC平行，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示；②设G（1，2），可得PG＝GH＝2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，分别求出Q的坐标即可；
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y＝﹣x+b，与二次函数解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系表示出NF2，由△MNF为等腰直角三角形，得到MN2＝2NF2，若四边形MNED为正方形，得到NE2＝MN2，求出b的值，进而确定出MN的长，即为正方形边长．
【解答】解：（1）设y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），
把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4＝3，即a＝﹣1，
则抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∵S△PBC＝S△QBC，
∴PQ∥BC，
①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，
∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y＝﹣x+5，
联立得：{𝑦=−𝑥+5𝑦=−𝑥2+2𝑥+3，
解得：{𝑥=1𝑦=4或{𝑥=2𝑦=3，即（1，4）与P重合，Q1（2，3）；