求二元函数极限地几种方法
二元函数的极限求法
二元函数的极限求法二元函数的极限求法是高等数学中的重要内容，它是研究二元函数在某一点处的极限值的方法。
在这篇文章中，我们将介绍二元函数的极限求法的基本概念、方法和应用。
一、二元函数的极限概念二元函数是指有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)。
在二元函数中，我们可以考虑它在某一点(x0,y0)处的极限值。
如果当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的值趋近于一个确定的常数L，那么我们就称L 为f(x,y)在点(x0,y0)处的极限值，记作：lim f(x,y) = L(x,y)->(x0,y0)其中，(x,y)->(x0,y0)表示当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的极限值存在。
二元函数的极限求法有以下几种方法：1. 二重极限法二重极限法是指先对其中一个自变量求极限，再对另一个自变量求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以先对x求极限，再对y求极限，即：lim lim f(x,y) = lim lim f(x,y) = Ly->y0 x->x0 x->x0 y->y02. 极坐标法极坐标法是指将二元函数表示为极坐标形式，然后对极角和极径分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为极坐标形式(r,θ)，即：x = rcosθy = rsinθ然后对r和θ分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(rcosθ,rsinθ) = L(x,y)->(x0,y0) r->0 θ->θ03. 直角坐标法直角坐标法是指将二元函数表示为直角坐标形式，然后对x和y分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为直角坐标形式(x0+h,y0+k)，即：x = x0 + hy = y0 + k然后对h和k分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(x0+h,y0+k) = L(x,y)->(x0,y0) h->0 k->0三、二元函数的极限应用二元函数的极限应用广泛，例如在微积分、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
二元函数求极限的微分法与导数应用
二元函数求极限的微分法与导数应用在微积分中，求二元函数的极限是一个重要的概念，它可以帮助我们研究函数在某一点的变化趋势。
本文将介绍二元函数求极限时常用的微分法和导数应用，并通过实例来说明其具体操作方法。
一、二元函数的极限首先，我们需要了解二元函数的极限定义。
对于二元函数f(x,y)，当自变量(x,y)靠近某一点(a,b)时，如果函数值f(x,y)无论取何值，都趋向于同一个确定的常数L，那么我们称L为函数f(x,y)在点(a,b)的极限，记作：lim f(x,y) = L(x,y)→(a,b)二、求二元函数极限的微分法为了求二元函数的极限，我们可以借助微分法。
以下是两种常用的微分法：1.极坐标法：对于二元函数f(x,y)，我们可以将自变量(x,y)转换成极坐标形式(r,θ)，其中：x = rcosθy = rsinθ在极坐标形式下，我们可以求得极限。
具体步骤如下：（1）将函数f(x,y)用r和θ表示。
（2）对自变量r求极限lim f(r,θ)。
（3）若该极限存在，则我们求得了二元函数的极限。
2.换元法：对于二元函数f(x,y)，我们可以进行适当的变量替换，将其简化为一元函数。
具体步骤如下：（1）选取一个适当的替换，例如令u = g(x,y)。
（2）将函数f(x,y)替换为f(u)。
（3）对变量u求极限lim f(u)。
（4）若该极限存在，则我们求得了二元函数的极限。
三、导数应用在研究二元函数的性质时，导数是非常重要的工具。
以下是导数在二元函数中的应用：1.切线与法线：对于二元函数f(x,y)，在某一点P(x0,y0)处，切线的斜率等于函数在该点的导数值。
利用切线的斜率可以求得函数在该点的局部变化趋势。
而法线与切线垂直，其斜率等于切线的负倒数。
2.全微分：全微分是函数在某一点的近似变化值。
对于二元函数f(x,y)，其全微分df可以通过以下公式计算：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy其中，(∂f/∂x)和(∂f/∂y)分别是函数f(x,y)对x和y的偏导数，dx和dy是自变量的微小增量。
求二元函数极限的几种方法
求⼆元函数极限的⼏种⽅法1.⼆元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是⼀个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈I 时，都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限⼜称为⼆重极限.2．⼆元函数极限的求法2.1 利⽤⼆元函数的连续性命题若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=.例1 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解：因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→．解：因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代⼊求极限，即()()221,1,21limy x y x +→=31．2.2 利⽤恒等变形法将⼆元函数进⾏恒等变形，例如分母或分⼦有理化等. 例3 求00x y →→00x y →→00x y →→=00x y →→=001.4x y →→==-例4 ()() 22220,0,321)31)(21(limyx y x y x +-++→．解：原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →+=()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利⽤等价⽆穷⼩代换⼀元函数中的等价⽆穷⼩概念可以推⼴到⼆元函数.在⼆元函数中常见的等价⽆穷⼩((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y :； 2(,)1cos (,)2u x y u x y -:；[]ln 1(,)(,)u x y u x y +:；tan (,)(,)u x y u x y :；arcsin (,)(,)u x y u x y :；arctan (,)(,)u x y u x y :(,)1u x y n:；(,)1(,)u x y e u x y -:；同⼀元函数⼀样，等价⽆穷⼩代换只能在乘法和除法中应⽤. 例5 求00x y →→解：当 0x →，0y →时，有0x y +→11()2x y +:，所以00001()2lim 1.2x y x y x y x y →→→→+=+=这个例⼦也可以⽤恒等变形法计算，如：0000001.2x y x y x y →→→→→→===2.4 利⽤两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是⼀元函数中两个重要极限的推⼴.例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+.解：先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→??+=+，⽽ 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→，所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→??+=例7 求 0sin()limx y axy x →→极限.解：因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →，所以 sin()1xy xy→，再利⽤极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .这个例⼦也可以⽤等价⽆穷⼩代换计算，如：当 0x →，y a →时，0xy →，sin()xy xy :.所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===2.5 利⽤⽆穷⼩量与有界量的乘积仍为⽆穷⼩量的结论0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是⽆穷⼩量， 11sin cos 1x y ≤ 是有界量，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--?--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-??-+-?? 是有界量，⼜ 32lim(3)0x y x →→-= 是⽆穷⼩量，所以， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- . 虽然这个⽅法计算实际问题上不那么多⽤，但计算对⽆穷⼩量与有界量的乘积形式的极限的最简单⽅法之⼀ .2.6利⽤变量替换法通过变量替换可以将某些⼆元函数的极限转化为⼀元函数的极限来计算，从⽽使⼆元函数的极限变得简单.但利⽤时⼀定要满⾜下⾯的定理。
二元函数极限的求法
二元函数极限的求法二元函数极限是数学中一个重要的概念，它研究二元函数在某个点处的极限值。
它不仅在函数中被广泛应用，而且在微积分学中也有重要的作用。
因此，了解二元函数极限的求法尤为重要。
一般而言，二元函数极限的求法一般是通过分析函数在某点附近的曲线行为来求解。
这种方法可以分为三种：一是按照函数在某点附近的导数来寻找极限值；二是利用函数在某点附近的凸性来求解；三是根据函数在该点处的异常情况来进行求解。
首先，如果二元函数在某点处有定义，那么该函数在该点处的极限值就是该点的函数值。
如果函数在该点处没有定义，但是函数的导数在该点处有定义，那么可以通过求导数的极限来计算函数的极限值，即：如果存在某个点，其导数的极限值存在并且为非零，那么函数在该点的极限值就是该点的函数值除以该点导数的极限值。
具体来说，如果用y=f（x）来表示一个函数，那么它在x=a处的极限值就是y=f （a）/[f（a）]，其中f（a）表示函数在x=a处的导数。
其次，如果在某点处函数的导数不存在，而且函数在该点处有定义，那么可以利用函数在该点处的凸性来求解极限值，即，如果函数在某点处不存在导数，而且该点是凸函数，则函数的极限值等于该点的函数值。
反之，如果函数在某点处不存在导数，但是该函数是凹函数，则该函数在该点处的极限值就是该点左右两处函数值的中点值。
最后，如果函数在某点处存在明显的异常情况，比如跳跃，则可以利用定义结合函数的连续性和连续导数的有界性，以及梯形定理等，来求解函数在该点处的极限值。
总之，二元函数极限的求解一般是根据函数在某点处的行为来确定的，有的时候可以利用函数的导数来求解，有的时候利用函数的凸凹性来求解，而有的时候则要利用函数的异常情况来解决。
因此，理解二元函数极限的求法就显得尤为重要。
浅析求二元函数极限的几种方法
浅析求二元函数极限的几种方法
求二元函数极限的几种方法是高等数学中的一个重要的知识点，它可以帮助我们解决许多实际问题。
在本文中，我将讨论求二元函数极限的几种方法，并对它们进行浅析。
首先，我们介绍求二元函数极限的定义。
根据数学定义，函数极限是指某个点处函数值无穷接近某个值时，此值称为该函数极限值。
因此，求二元函数极限就是求出满足此条件的极限值。
其次，我们介绍求二元函数极限的几种方法。
（1）函数的图像法。
函数的图像法是将函数的图像画出来，然
后根据函数极限的定义，从图像中推断出极限值。
（2）函数值表法。
函数值表法是先求出一定范围内函数的实际值，然后比较各个值，根据函数极限的定义，从而找出极限值。
（3）函数解析法。
函数解析法是在已知函数表达式的情况下，
根据函数极限的定义，从而直接求出极限值。
最后，我们介绍了函数极限的几种方法，并对它们进行了浅析。
函数的图像法、函数值表法和函数解析法都是可行的求极限方法。
但是，这些方法有时也会产生结论错误的可能，因此求二元函数极限时需要多次检验以避免出现计算错误。
总而言之，求二元函数极限是高等数学中的一个重要概念，今天我们主要讨论了求二元函数极限的几种方法，以及这些方法的优缺点。
我们希望大家能够充分理解这些方法，并正确使用它们来解决实际问题。
求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
二元函数求极限的定义与基本性质
二元函数求极限的定义与基本性质在数学中，二元函数是指依赖于两个变量的函数。
求解二元函数的极限是研究其变化趋势和性质的重要手段之一。
本文将介绍二元函数求极限的定义，并探讨一些基本的性质。
一、二元函数求极限的定义对于给定的二元函数 f(x, y)，当自变量 (x, y) 的取值趋近于某个点(a, b) 时，如果函数值 f(x, y) 的极限存在且唯一，那么我们称该函数在点 (a, b) 处有极限，记作：lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中 L 为极限值。
二、二元函数极限的性质1. 唯一性：二元函数的极限值在同一点处只能有唯一的取值。
2. 有界性：如果函数在某点 (a, b) 处有极限，那么它在该点周围的某个邻域内是有界的。
3. 保号性：如果函数在某点 (a, b) 处的极限存在且大于零（或小于零），那么在该点附近的某个领域内，函数的取值也大于零（或小于零）。
4. 极限的四则运算性质：设二元函数 f(x, y) 和 g(x, y) 在点 (a, b) 处有极限，则它们的和、差、乘积以及商（当g(x, y) ≠ 0）仍在该点处有极限，并且有以下运算公式：lim_(x,y)→(a,b) (f+g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) + lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f-g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) - lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f*g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) * lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f/g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) / lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)5. 极限的复合性质：设函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处有极限 L，函数 g(u) 在点 L 处有极限 M，则复合函数 g(f(x, y)) 在点 (a, b) 处也有极限 M。
二元函数求极限的方法
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解： 因为 % % （ " - !） （ # - %） （ # - %） （ " - !） $ ［ （ " - !） ］ % % % % 0 （ " - !） & （ # - %） （ " - !） & （ # - %） 0 （# -%） ! （" -!） 而 有界， ’() （" -!） （# -%） $,， % %$ "%! % & （# -%） （" -!）
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二元函数极限的求法
二元函数极限的求法
二元函数极限是一个有用的概念，它可以帮助我们讨论函数的行
为和图像的性质，同时也是很多函数中的重要部分。
学习如何求二元
函数极限可以帮助我们了解函数的行为，从而使我们更好地理解函数
的意义。
求二元函数极限的一般方法是使用切线定理。
通过切线定理，我
们可以将一个函数的行为拆分为两个单独的函数：函数本身和其切线。
通过这种拆分，我们可以使用函数本身和它的切线来求得极限。
必须找到一组合适的切线。
有时候，它只需要简单地向某个方向
切开即可，有时候可能需要尝试多个方向，但总的来说，重点是找到
可以处理的切线以及它们的slope。
然后，我们可以使用偏导数的方法来确定极限的起始点。
使用偏导数，我们可以从一个函数中寻找出对
第二个函数的影响，从而找到两个函数之间的极限。
我们可以开始求函数本身的极限。
有时，我们可以使用数学公式，例如牛顿-拉弗森方程或梯形公式来直接估算函数的极限。
而在其他情
况下，我们可能需要结合该函数本身的性质，使用查表、图像解释或
是向上、向下导数等技术，来找出函数的极限。
可以使用解析方法，将上面提到的函数极限与切线函数的极限进
行比较，以找出二元函数极限的最终结果。
如果两个函数均不存在极限，则二元函数也不存在极限。
如果两者有极限存在，则最后的极限
将是两者极限的最小值。
因此，利用切线定理和数学公式，我们可以求出二元函数极限，
并以此来更全面地理解函数的行为。
二元函数的极限求法
求解二元函数的极限需要根据具体函数形式和极限的定义进行分析。
以下是常见的二元函数极限求解方法：
代数法：对于简单的二元函数，可以直接使用代数法进行极限求解。
例如，对于二元函数f(x, y)，可以将x和y分别替换成具体的数值，然后计算函数值，观察当变量趋于某个值时函数的变化情况。
分量法：对于形如f(x, y) = g(x)h(y)的二元函数，可以使用分量法将二元函数转化为一元函数的极限问题。
将其中一个变量固定，求解关于另一个变量的一元函数的极限，然后再将这些极限组合起来求得原二元函数的极限。
二重极限法：当二元函数在某点的极限存在但与路径有关时，可以使用二重极限法求解。
首先固定其中一个变量，求解关于另一个变量的极限；然后再固定另一个变量，求解关于第一个变量的极限。
如果两个单变量极限存在且相等，则可以得到二元函数的极限。
极坐标法：对于以极坐标表示的二元函数，可以使用极坐标法求解。
将二元函数转化为极坐标表示，然后求解关于极径r和极角θ的一元函数的极限。
通路法：对于二元函数的极限存在但与路径有关的情况，可以使用通路法进行求解。
通过选取不同的路径，比如直线路径、曲线路径等，求解沿该路径的一元函数极限，并观察不同路径下的极限值是否相同。
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上述极限又称为二重极限 .
2．二元函数极限的求法
2.1 利用二元函数的连续性
命题
若函数 f (x, y) 在点 ( x0, y0 ) 处连续，则 lim f ( x, y) ( x , y ) (x0 , y0 )
f ( x0 , y0 ) .
例 1 求 f ( x, y) x2 2xy 在点 (1,2) 的极限 .
1 是有界量，又 2
lim( x 3) 0 是无穷小量，
x3 y2
所以
，
( x 3)2 ( y
lim
x y
3 2
(x
3)2
(y
2) 2) 2
0.
虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的 乘积形式的极限的最简单方法之一 .
2.6 利用变量替换法
通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，
1 ,
0 ，所以 lim(1 1 )xy e.
xy
x ya
xy
lim (1
故原式
=
x y
a
1
ea.
1 )xy xy
x2 xy( x y)
例 7 求 lim sin( xy) 极限 .
x0 ya
x
解： 因为 sin( xy) y. sin( xy) ，当 x 0, y a 时， xy 0 ，所以
x
xy
sin( xy) 1 ，再利用极限四则运算可得： xy
sin( xy)
sin(xy)
sin(xy)
lim
lim y.
lim y. lim
a.·1= a .
x0 ya
x
x0 ya
xy
y a xy 0 xy
这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如：
当 x 0 ， y a 时， xy 0 ， sin( xy) xy .
1x y 1
lim
x y
0 0
(
1
x
y
1)( 1 x
y
1)
1
lim
1 x 0
y0
x
y
1
1. 2
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2.4 利用两个重要极限
lim
sin u( x, y)
1， lim
1
1 u( x, y) u( x,y )
e
它们分别是一元函数中两个重
u (x ,y) 0 u( x, y )
u(x,y) 0
x0 y0
xy
故可知 ， lim( 3 x
11 y)sin cos
0.
x0
xy
y0
例9
求
( x 3)2 ( y
lim
x y
3 2
(x
3)2
(y
2) 2) 2
(x 3)( y 2)
解
原式 = lim
x y
3 2
(x
3)2
(y
2)2 (x
3)
因为
( x 3)( y 2) (x 3)2 ( y 2)2
(x 3)2 ( y 2)2 2 ( x 3)2 ( y 2)2
2x2
y2
=1 3
．
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2.2 利用恒等变形法
将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等 .
例3
求
2 lim
x0
y0
xy 4 xy
解：
2 lim
x0
y0
xy 4 xy
(2 lim
x0 y0
xy 4)(2 xy 4) xy(2 xy 4)
lim
x y
0 0
xy(2
xy xy 4)
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sin( xy)
xy
所以， lim
lim lim y a.
x0 ya
x
x x 0
ya
ya
2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论
例 8 求 lim( 3 x y)sin 1 cos 1
x0 y0
xy
解:
因为 lim( 3 x
y)
0 是无穷小量，
11 sin cos
1 是有界量 ，
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1.二元函数极限概念分析
定义 1 设函数 f 在 D R2 上有定义， P0 是 D 的聚点， A 是一个确定的实数 .
如果对于任意给定的正数 ，总存在某正数 , 使得 P U 0 (P0 ; ) D 时，都有
f (P) A , 则称 f 在 D 上当 P P0 时，以 A 为极限，记 lim f (P) A .
lim
x y
0 0
2
1 .
4
1 xy 4
例4
lim
x, y 0 ,0
(1 2x2 )(1 3y 2 ) 2x2 3y2
1 ．
解：
原式 lim x, y 0,0
1 2x2 1 3 y2 1
1 2x2 1 3y2 1
2x2 3 y2
1 2 x2 1 3y2 1
1 lim x,y 0,0 1 2x2 1 3y2 1 2x2 3 y2
数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用 .
例 5 求 lim 1 x y 1
x0 y0
xy
解： 当 x 0 ， y
1x y1
lim
x0 y0
xy
0 时，有 x y
0 . 1 x y 1 1 ( x y) ，所以 2
1
(x y)
lim 2
x0 y0
x
y
1 .
2
1x y1
lim
x0
xy
y0
这个例子也可以用恒等变形法计算，如：
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从而使二元函数的极限变得简单 . 但利用时一定要满足下面的定理。 定理：函数 f x, y 点 x0 , y0 的取心领域内有定义的且 cos a 、 cosb 沿向量
x
x0, y
y0
的方向余弦， 若u( x, y) ； tan u(x, y) u( x, y) ； arcsin u( x, y) u(x, y) ；
arctan u( x, y) u( x, y) ； n 1 u(x, y) 1 u( x, y) ； eu( x,y ) 1 u(x, y) ；同一元函 n
要极限的推广 .
例 6 求极限 lim(1 x ya
x2
1 )x y . xy
解： 先把已知极限化为
lim(1
x2
1 )x y
lim (1
x2
1 ) xy
xy (x y )
，而
lim
x2
1 lim
1 ,
x ya
xy
x ya
xy
x y
a xy( x
y)
x
y
y a (1 ) y
a
x
当x
, y a 时 xy
1 0 1．
2
2
6x2 y2 1 2x2 1 3y 2 1
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2.3 利用等价无穷小代换
一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数 . 在二元函数中常见的
等价无穷小 (u( x, y)
2
0) ，有 sin u(x, y) u( x, y) ； 1 cosu( x, y) u ( x, y) ； 2
解： 因为 f ( x, y) x2 2xy 在点 (1,2) 处连续，所以
lim f ( x, y)
x1 y2
lim( x2 2xy)
x1 y2
12 2 1 2
5.
例2
求极限
1
lim
x , y 1,1
2x2
y2 ．
解： 因函数在 1,1 点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即
1
lim
x, y 1, 1