福建省邵武一中2020学年高二数学上学期期末试题理

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福建省2020学年高二数学上学期期末考试试题

高二数学上学期期末考试试题本试卷有第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分. 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题: 本题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2673,11,a a S ===则A ．51B ．50C ．49D ．482. “1x >且2y >”是“3x y +>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知双曲线的渐近线方程为y =，实轴长为4，则该双曲线的方程为 A ．22142x y -= B ．22142x y -=或22148y x -= C ．221168x y -= D ．221168x y -=或2211632y x -= 4. 已知正方体1111,ABCD A B C D - 点E 是上底面11A C 的中心, 若1AE AA xAB y AD =++, 则x y +等于 A. 13 B. 12C. 1D. 25. 如果实数x ,y 满足条件1,220,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值为 A. 1 B ．2 C ．4 D ．56. 设0,0a b >>，若1是2a 与b 的等差中项，则21a b+的最小值为 A. 5 B ．92C ．4D ．37. 已知数列{}n a 满足11a =，1(2)n n a a n n --=≥, 则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2019项和等于A.20191010 B. 40402021C. 20192020D. 403620198. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，1,BC=1CC =，则异面直线1AB 与1BC所成角的大小为A ．60︒B ．60︒或120︒C ．45︒D ．135︒或45︒9. 已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点，且H 恰为线段2EF 的中点，则双曲线C 的离心率为 ABCD10. “垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物第8题图单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的45. 若这堆货物总价是425655n⎛⎫- ⎪⎝⎭万元，则n 的值为A ．7B ．8C ．9D ．10二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分 11. 若0a b >>，则下列不等式中正确的是A.11a b> B.11a b a <- C. 2211a b c c >++ D. 22a b >12. 如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是A. 平面11D A P ⊥平面1A APB. 1AP DC ⋅不是定值C. 11B D PC -三棱锥的体积为定值D. 11DC D P ⊥第II 卷（非选择题共90分）三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置 13. 命题“2,13x R x x ∀∈+≤”的否定是：________________14. 已知直线l 与椭圆22184x y +=交于,A B 两点, 若AB 的中点坐标为(1,1)-, 则直线l 的方程是________________15. 设不等式220x x --≤的解集为A , 关于x 的不等式220x x a -+≤（a 为常数）的解集为B ，若A B ⊆，则a 的取值范围是________________16. 顶点在坐标原点，焦点为(0,1)F 的抛物线上有一动点A ，圆22(1)(4)1x y ++-=上有一动点M ，则||||AM AF +的最小值等于__________ ，此时||||AF AM 等于__________ (本小题第一个空3分，第二个空2分)四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）已知命题p : x R ∀∈，()2110x a x -++>；命题 q : 函数2()2f x x ax =-在区间(),0-∞ 上单调递减．（Ⅰ）若命题p 为真命题，求a 的取值范围；（Ⅱ）若命题p q ∨为假命题，求a 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 12a =，12n n a S +=+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足221log n n n b a a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，90o ADC ∠=，1BC CD ==，2AD =，PA PD ==E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证:BE ∥平面PCD ；（Ⅱ）若点F 在线段PC 上, 满足23PF PC =，求直线PA 与平面ADF 所成角的正弦值．20. （本小题满分12分）设抛物线Γ：22(0)y px p =>上一点(4,)P m 到焦点F 的距离为5．（背面还有试题）（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）过点(2,0)Q 的直线1l 与抛物线Γ交于,A B 两点, 过点A 作直线2:2l x =-的垂线，垂足为A '，判断: A O B '、、三点是否共线，并说明理由．21. (本小题满分12分)随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：415,t t N ≤≤∈，平均每趟地铁的载客人数()f t （单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足下列函数关系：()()21250109,491250,915t t f t t ⎧⎪--≤<=⎨≤≤⎪⎩，其中t N ∈．（Ⅰ）若平均每趟地铁的载客人数不超过1000人，试求发车时间间隔t 的值；（Ⅱ）若平均每趟地铁每分钟的净收益为[]6()930()f t g t t-=415,()t t N ≤≤∈（单位：元），问当发车时间间隔t 为多少分钟时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．22.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为4)3P ，直线l 与圆O : 221x y +=相切，且与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求三角形OAB 面积的取值范围．稿纸数学试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题: 本题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. C2. A 3．B 4. C 5. C 6. B 7. A 8．C 9. D 10. B二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。

福建省邵武一中高二数学上学期期末试题理

1高二数学理科试卷本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1. i 是虚数单位，则复数=-+ii13（ C ） A ．i 21-- B ．i 42+ C ．12i +D ．i -22.. 对于ab b a R b a 2,,≥+∈+……大前提xx x x 121⋅≥+……小前提所以21≥+xx ……结论以上推理过程中的错误为（ B ） A ．大前提 B ．小前提C ．结论D ．无错误3．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（C ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 4．()()x f x xx f 则设函数,122+-=（ C ） A ．在（－∞，＋∞）单调增加B ．在（－∞，＋∞）单调减少C ．在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加D ．在（－1，1）单调增加，其余区间单调减少5．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( B )A ．1，-1B ．3，-17C ．1，-17D ．9，-196．用反证法证明命题：“在一个平面中，四边形的内角中至少有一个不大于90度”时，反设正确的是（ D ）A.假设四内角至多有两个大于90度B.假设四内角都不大于90度C.假设四内角至多有一个大于90度D.假设四内角都大于90度7. 李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙． “五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（ B ）Ａ．24Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9 8. 函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ A ）A ．32B ． 1C ． 2D ．129. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（ C ）Ａ．48 Ｂ．36 Ｃ．28 Ｄ．20 10. 若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ B ） A.3113≥≤≤--≤k k k 或或 B.3113<<-<<-k k 或C.22<<-kD.不存在这样的实数k二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为_____43π____。

福建省2020-2021学年高二数学上学期期末模拟试题2套(含答案)

福建省高二数学上学期期末模拟试题含答案一.选择题（每小题5分，共50分，每小题仅有一个选项是符合题目要求的）.1、命题“x ∃∈R ，2450x x ++≤”的否定是（）A ．x ∃∈R ，2450x x ++>B ．x ∃∈R ，2450x x ++≤C ．x ∀∈R ，2450x x ++>D ．x ∀∈R ，2450x x ++≤2、某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（）A ．20辆B ．40辆C ．60辆D ．80辆3、等比数列{}n a 中，44a =，则26a a 等于（）Ａ．4Ｂ．8Ｃ．16Ｄ．324、焦距为6，离心率53=e ，焦点在y 轴上的椭圆标准方程是（） 15422=+y x A 、 1251622=+y x B 、 14522=+y x C 、 1162522=+y x D 、5、下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是 ( )A ．2213x y -=与22193x y -=B ．2213x y -=与2213x y -=C ．2213x y -=与2213y x -= D ．2213x y -=与22139y x -=6、条件:11p x +>，条件131:>-xq ，则q ⌝是p ⌝的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件7、若椭圆19922=++m y x 的离心率是21，则m 的值等于( )A ．49-B ．41C ．49-或3 D ．41或38、已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<与y 轴交于A 、B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则ABF 面积的最大值为( )A ．1B ．2C ．4D ．89、设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，A 为椭圆上的点，且0212=⋅F F AF ，cos ∠AF 1F 2＝322，则椭圆的离心率为( ) A ．810 B ． 410C ．42D ． 22班级：姓名：座号 ……………………………………密……………………………………封……………………………………线…………………………… ----------------密----------封----------线----------内----------不----------得-----------答-----------题------------10、若11011020145555k k k k a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅，其中k a ，1k a -，，0a N ∈，05k a <<，10k a -≤，2k a -，，1a ，05a <. 现从01,,,k a a a 中随机取两个数分别作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在椭圆221169x y +=内的概率是( ) A.1125B.1325C.1725D.1116二.填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分.）11、一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。

福建省2020学年高二数学上学期期末考试试题文

高二数学上学期期末考试试题文(满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上)1.从2503名学生中选取50名学生参加全国诗词大会,若采用下面的方法选取；先用简单随机抽样从2503人中剔除3人，剩下的2500人再用系统抽样的方法抽取,则每人入选的概率( ).都相等, 且为150.B 都相等, 且为502503 .C 不全相等 .D 均不相等2. 用秦九韶算法求多项式5432()531f x x x x x x =-++-+当2x =时的值时，3v =( )3- .B 5- .C 9- .D 21-3.为了解某地区1500名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17~18岁的高三男生体重(kg )，得到频率分布直方图如图。

根据图示，估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]kg 的学生人数是( )390 .B 510 .C 600 .D 6604. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的经过点(2,1)-，则它的离心率为（）2 .B 2.C .D 5．O 为坐标原点, F 为抛物线:C 22y x =的焦点, 00(,)P x y 为上一点,若032PF x =,则POF ∆的面积为（）6.以椭圆221169x y +=的焦点1F ,2F 为双曲线的焦点，P 为双曲线上的一点，12PF PF ⊥,且212PF PF ⋅=,则双曲线的方程是（）22124x y -= .B 2216x y -= .C 22124y x -= .D 2216y x -= 7.在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（）()()p q ⌝∨⌝为真命题 .B ()p q ∨⌝为真命题()()p q ⌝∧⌝为真命题 .D p q ∨为真命题8.函数32()x x f x x+=的单调递增区间是（）1(,)ln 2+∞ .B (ln 2,)+∞ .C 1(ln ,0),(0,)2+∞ .D 1(,0),(0,)ln 2-∞ 9.给出下列命题：①命题“2000R ,14x x x ∃∈+>”的否定是“2R,14x x x ∀∈+≤”；②命题“若x y >，则x y >”的逆命题是真命题；③把(2)1010化为十进制为11；④“方程221925x y k k+=--表示椭圆”的充要条件是“925k <<”．其中正确命题的个数为（）1 .B2 .C3 .D 4、、10．如图是某工厂对一批新产品长度(单位: mm )检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为( )22.5 20 .B 22.5 22.7522.75 22.5 .D 22.75 2511．函数322()6f x x ax bx a a =--+-在2x =处有极值为8，则a ＝（）4-或6 .B 4或6- .C 6 .D 4-12．已知椭圆的一个焦点F ,若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短半轴为半径的圆与线段PF 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（）23.B 59 .C 2 .D 3第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案直接写在答题卷相应位置上)13. 如图所示的程序框图中，输出S 的值为 ****** 14. 曲线()sin 21f x x x =+-在点0x =处切线方程是******15.在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为,a b ，则方程22221x y a b -=表示离心率小于的双曲线的概率为******16.设p ：5(1,)2x ∃∈，使2()lg(44)f x ax x =+-有意义。

2023-2024学年福建省福州一中高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年福建省福州一中高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．正项等比数列{a n }中，a 2，a 8是方程x 2﹣10x +16＝0的两根，则log 2a 5的值是（） A ．2B ．3C ．4D ．52．若双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为√3，则双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为（） A ．1B ．√3C ．2D ．2√33．已知某物体的运动方程是s =t +19t 3（s 的单位为m ），该物体在t ＝3s 时的瞬时加速度是（）A ．2m /sB ．4m /sC ．2m /s 2D ．4m /s 24．若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（） A ．√5−12B ．√33C ．√22D ．√635．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n +1＝1−1a n(n ∈N ∗)，则2S 2024＝（） A ．2024B ．2025C ．2026D ．20276．已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替．该种昆虫最开始的身体长度记为a 1，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少为原来的56，此时昆虫的长度记为a 2；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的12，此时昆虫的长度记为a 3，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若a 4＝25，则a 1＝（） A ．18B ．272C ．24D ．243167．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与直线x +2y ﹣4＝0相切，则a 的值不可能是（）A ．√3B ．2C ．3D ．3.98．某数学兴趣小组研究曲线C 1：√x 2+√y =1和曲线C 2：x 44+y 4=1的性质，下面同学提出的结论正确的有（）甲：曲线C 1，C 2都关于直线y ＝x 对称乙：曲线C 1在第一象限的点都在椭圆C 3：x 24+y 2=1内丙：曲线C 2上的点到原点的最大距离为√5 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知点P是椭圆x24+y23=1上的一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A．存在点P，使得∠F1PF2＝75°B．|PF1|+|PF2|＝4C．△PF1F2的面积最大值为2√3D．1≤|PF1|≤310．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，动点N在平面ABCD内的轨迹为曲线Γ．则下列结论正确的是（）A．当MN⊥B1N时，Γ是圆B．当动点N到直线DD1，BB1的距离之和等于4时，Γ是椭圆C．当直线MN与平面ADD1A1所成的角为60°时，Γ是双曲线D．当动点N到点M的距离等于点N到直线BC的距离时，Γ是抛物线11．“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛．设A是一个“0，1数列”，定义数列f（A）：数列A中每个0都变为“1，0，1”，A中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列．例如数列A：1，0，则数列f（A）：0，1，0，1，0，1．已知数列A1：1，0，1，0，1，且数列A k+1＝f（A k），k＝1，2，3，⋯，记数列A k中0的个数为a k，1的个数为b k，数列A k的所有项之和为S k，则下列结论正确的是（）A．数列{a k+b k}为等比数列B．数列{a k﹣b k}为等比数列C．数列{S k+S k+1}为等比数列D．数列{S k﹣S k+1}为等比数列三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．等差数列{a n}的前n项和记为S n，且S5＝10，S10＝50，则S14＝．13．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4√2，|DE|＝2√5，则C的焦点到准线的距离为．14．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图，一个光学装置由有公共焦点F1、F2的椭圆Γ与双曲线Ω构成，Γ与Ω的离心率之比为3：4，现一光线从左焦点F1发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Ω去掉，如右图，此光线从点F1发出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒，则t2t1=．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数f （x ）＝lnx +ax 3（a ∈R ），且f '（1）＝4．（1）求a 的值；（2）设g （x ）＝f （x ）﹣lnx ﹣x ，求y ＝g （x ）过点（1，0）的切线方程． 16．（15分）已知动点M （x ，y ）满足：√(x −1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=2√2．（1）求动点M 的轨迹方程C ；（2）若过点P(1，12)的直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程．17．（15分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n+12−S n 2=8n ．（1）求S n ；（2）若b n =2S n −1，从{S n }中删去{b n }中的项，按照原来的顺序构成新的数列{c n }，求{c n }的前100项和T 100．18．（17分）若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点是F （2，0），且离心率为2．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知点M （0，1），过焦点F 的直线l 与双曲线C 的两支相交于A ，B 两点，求直线MA 和MB 的斜率之和的最大值．19．（17分）已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n2，数列{b n }满足：b 1＝3，b n +1＝2b n ﹣1（n ∈N *）．（1）证明：{b n ﹣1}是等比数列；（2）设数列{c n }的前n 项和为T n ，且c n ＝（﹣1）n 2a n +1(a n +1)log 2(b n −1)，求T n ；（3）设数列{d n }满足：d n ={a n+1a n 2a n+22，n =2k −1a 2nb n，n =2k ，k ∈N *．证明：∑ 2n k=1d k ＜7336．2023-2024学年福建省福州一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．正项等比数列{a n }中，a 2，a 8是方程x 2﹣10x +16＝0的两根，则log 2a 5的值是（） A ．2B ．3C ．4D ．5解：正项等比数列{a n }中，a 2，a 8是方程x 2﹣10x +16＝0的两根， ∴a 52=a 2a 8＝16，∴a 5＝4，则log 2a 5＝log 24＝2．故选：A ．2．若双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为√3，则双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为（） A ．1B ．√3C ．2D ．2√3解：∵双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为√3，根据双曲线的对称性，取焦点（c ，0），渐近线为：y =bax ，即bx ﹣ay ＝0，∴c a =2，√3=bc √b +a 2=b ，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得a ＝1．故双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为2a ＝2．故选：C ．3．已知某物体的运动方程是s =t +19t 3（s 的单位为m ），该物体在t ＝3s 时的瞬时加速度是（）A ．2m /sB ．4m /sC ．2m /s 2D ．4m /s 2解：某物体的运动方程是s =t +19t 3（s 的单位为m ），则s '（t ）＝1+13t 2，s ''（t ）=2t3，当t ＝3时，s ''（t ）＝2m /s 2．故选：C ．4．若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（） A ．√5−12B ．√33C ．√22D ．√63解：设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），由B （a ，0），OABC 为正方形，可得A （a 2，a 2），C （a 2，−a2），将A 的坐标代入椭圆方程可得a 24a 2+a 24b 2=1，即有a 2＝3b 2，c 2＝a 2﹣b 2=23a 2，即有e =c a =√63．故选：D ．5．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n +1＝1−1a n(n ∈N ∗)，则2S 2024＝（） A ．2024B ．2025C ．2026D ．2027解：因为{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n +1＝1−1a n(n ∈N ∗)，所以a 2＝1−12=12，a 3＝1﹣2＝﹣1，a 4＝1﹣（﹣1）＝2，故数列的周期为3，a 1+a 2+a 3＝2+12−1=32，则2S 2024＝2×[674（a 1+a 2+a 3）+a 1+a 2]＝2×（1011+2+12）＝2027．故选：D ．6．已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替．该种昆虫最开始的身体长度记为a 1，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少为原来的56，此时昆虫的长度记为a 2；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的12，此时昆虫的长度记为a 3，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若a 4＝25，则a 1＝（） A ．18B ．272C ．24D ．24316解：由题意可知，a 2=56a 1，a 3=(1+12)a 2=32a 2=32×56a 1=54a 1，a 4=56a 3=56×54a 1=2524a 1=25，所以a 1＝24．故选：C ．7．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与直线x +2y ﹣4＝0相切，则a 的值不可能是（）A ．√3B ．2C ．3D ．3.9解：联立{x 2a 2+y 2b 2=1x +2y −4=0，消去x 得（4b 2+a 2）y 2﹣16b 2y +16b 2﹣a 2b 2＝0，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝256b4﹣4（4b2+a2）（16b2﹣a2b2）＝4a2b2（4b2﹣16+a2）＝0，所以4b2＝16﹣a2，因为0＜b＜a，所以0＜4b2＜4a2，所以0＜16﹣a2＜4a2，解得4√55＜a＜4，对比选项可知，a的值不可能是√3．故选：A．8．某数学兴趣小组研究曲线C1：√x2+√y=1和曲线C2：x44+y4=1的性质，下面同学提出的结论正确的有（）甲：曲线C1，C2都关于直线y＝x对称乙：曲线C1在第一象限的点都在椭圆C3：x24+y2=1内丙：曲线C2上的点到原点的最大距离为√5A．3个B．2个C．1个D．0个解：对于曲线C2：x44+y4=1，用y代换x，x代换y，得y44+x4=1，与原方程不相同，故曲线C2不关于直线y＝x对称，可知甲同学提出的结论不正确；若点P是曲线C1在第一象限上的点，设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则√x02+√y0=1，两边平方得x02+√x0y0+y0=1，结合√x0y0＞0，可得x02+y＜1，再平方得x024+x0y+y2＜1，因此x024+y2＜x024+x0y+y2＜1，由x024+y2＜1，可知点P在椭圆C3：x24+y2=1内部，故乙同学提出的结论正确；对于曲线C2：x44+y4=1，设Q（x1，y1）为其上一点，则x144+y14=1，联想到cos2θ+sin2θ＝1，设x12=2cosθ，y12=sinθ，其中θ∈[0，π2]，则|OQ|=√x12+y12=√sinθ+2cosθ=√√5sin(θ+φ)，其中φ＝arctan2，当sin（θ+φ）＝1时，即θ=arctan 12时，|OQ|有最大值√√5=√54，即曲线C2上的点到原点的最大距离为√54，可知丙同学提出的结论不正确．综上所述，三位同学提出结论只有乙是正确的，正确结论只有1个．故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知点P 是椭圆x 24+y 23=1上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得∠F 1PF 2＝75°B ．|PF 1|+|PF 2|＝4C ．△PF 1F 2的面积最大值为2√3D ．1≤|PF 1|≤3解：根据题意可得a ＝2，b =√3，c ＝1，对A 选项，设∠F 1PF 2的最大值为2θ，则sin θ=c a =12，θ∈[0，π2）， ∴θ＝30°，∴∠F 1PF 2的最大值为60°，∴A 选项错误；对B 选项，∵|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，∴B 选项正确；对C 选项，∵当P 为短轴顶点时，△PF 1F 2的面积最大， ∴△PF 1F 2的面积最大值为12×2c ×b =√3，∴C 选项错误；对D 选项，∵a ﹣c ≤|PF 1|≤a +c ，即1≤|PF 1|≤3，∴D 选项正确．故选：BD ．10．已知棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，动点N 在平面ABCD 内的轨迹为曲线Γ．则下列结论正确的是（） A ．当MN ⊥B 1N 时，Γ是圆B ．当动点N 到直线DD 1，BB 1的距离之和等于4时，Γ是椭圆C ．当直线MN 与平面ADD 1A 1所成的角为60°时，Γ是双曲线 D ．当动点N 到点M 的距离等于点N 到直线BC 的距离时，Γ是抛物线解：以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系：由题意D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），D 1（0，0，2），A 1（2，0，2），B 1（2，2，2），C 1（0，2，2），M （0，0，1），N （x ，y ，0），对于A ，若MN ⊥B 1N ，则MN →•B 1N →=（x ，y ，﹣1）•（x ﹣2，y ﹣2，﹣2）＝x （x ﹣2）+y （y ﹣2）+2＝0，化简并整理得（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝0，所以x ＝1，y ＝1，即此时Γ是点N （1，1，0），故A 错误；对于B ，因为DD 1⊥平面ABCD ，DN ⊂平面ABCD ，所以DD 1⊥DN ，同理BN ⊥BB 1，所以当动点N 到直线DD 1，BB 1的距离之和等于4时，有|DN|+|BN|=4=2a ＞|BD|=2√2，所以此时Γ是椭圆，故B 正确；对于C ，显然可取平面ADD 1A 1的法向量为n →=(0，1，0)，又MN →=(x ，y ，−1)，当直线MN 与平面ADD 1A 1所成的角为60°时，有|MN →⋅n →||MN →|⋅|n →|=√x 22=cos(90°−60°)=√32，化简并整理得y 23−x 2=1，即Γ是双曲线，故C 正确；对于D ，当动点N 到点M 的距离等于点N 到直线BC 的距离时，有x 2+y 2+1＝（2﹣y ）2，化简并整理得y =3−x 24，所以Γ是抛物线，故D 正确．故选：BCD ．11．“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛．设A 是一个“0，1数列”，定义数列f （A ）：数列A 中每个0都变为“1，0，1”，A 中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列．例如数列A ：1，0，则数列f （A ）：0，1，0，1，0，1．已知数列A 1：1，0，1，0，1，且数列A k +1＝f （A k ），k ＝1，2，3，⋯，记数列A k 中0的个数为a k ，1的个数为b k ，数列A k 的所有项之和为S k ，则下列结论正确的是（）A ．数列{a k +b k }为等比数列B ．数列{a k ﹣b k }为等比数列C ．数列{S k +S k +1}为等比数列D ．数列{S k ﹣S k +1}为等比数列解：∵数列A k 中，0的个数为a k ，1的个数为b k ，a 1＝2，b 1＝3， ∴a k +1＝a k +2b k ，b k +1＝2a k +b k ，两式相加得：a k +1+b k +1＝3（a k +b k ），∴数列{a k +b k }是以5为首项，3为公比的等比数列， ∴a k +b k =5×3k−1；两式相减得：a k +1﹣b k +1＝﹣（a k ﹣b k ），∴数列{a k ﹣b k }是以﹣1为首项，﹣1为公比的等比数列， ∴a k −b k =(−1)k ；则a k =5×3k−1+(−1)k 2，b k =5×3k−1−(−1)k2，S k =0×a k +1×b k =b k ， ∴S k +S k+1=5×3k−1−(−1)k 2+5×3k −(−1)k+12=5×3k−1+5×3k2=10×3k−1，∴S k −S k+1=5×3k−1−(−1)k2−5×3k−(−1)k+12＝﹣5×3k ﹣1﹣（﹣1）k ，故ABC 正确，D 错误．故选：ABC ．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，且S 5＝10，S 10＝50，则S 14＝ 5185．解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则{S 5=5a 1+5×(5−1)2d =10S 10=10a 1+10×(10−1)2d =50，解得{a 1=−25d =65，则S 14=14×(−25)+14×(14−1)2×65=5185．故答案为：5185． 13．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝4√2，|DE |＝2√5，则C 的焦点到准线的距离为 4 ．解：设抛物线为y 2＝2px ，如图|AB |＝4√2，|AM |＝2√2， |DE |＝2√5，|DN |=√5，|ON |=p 2，x A =(2√2)22p =4p，∵|OD |＝|OA |，∴√丨ON 丨2+丨DN 丨2=√丨OM 丨2+丨AM 丨2∴p 24+5=16p 2+8，解得p ＝4， ∴抛物线的方程为y 2＝8x ， C 的焦点到准线的距离为4．故答案为：4．14．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图，一个光学装置由有公共焦点F 1、F 2的椭圆Γ与双曲线Ω构成，Γ与Ω的离心率之比为3：4，现一光线从左焦点F 1发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点F 1，历时t 1秒；若将装置中的Ω去掉，如右图，此光线从点F 1发出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒，则t2t1=8．解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，在左侧图形中，由椭圆定义可得，|BF1|+|BF2|＝2a1，①由双曲线定义可得，|AF2|﹣|AF1|＝2a2，②由①②可得，|AF1|+|AB|+|BF1|＝2a1﹣2a2，∴△ABF1的周长为2a1﹣2a2；在右侧图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线ED经过F2，则△EDF1的周长为4a1，又椭圆与双曲线焦点相同，离心率之比为3 4，∴a1=43a2，又两次所用时间分别为t1，t2，而光线速度相同，∴t2t1=4a12a1−2a2=8．故答案为：8．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）＝lnx+ax3（a∈R），且f'（1）＝4．（1）求a的值；（2）设g（x）＝f（x）﹣lnx﹣x，求y＝g（x）过点（1，0）的切线方程．解：（1）f（x）＝lnx+ax3（a∈R），则f'（x）=1x+3ax2，f'（1）＝4，故f'（1）＝1+3a＝4，解得a＝1；（2）g（x）＝f（x）﹣lnx﹣x＝lnx+x3﹣lnx﹣x＝x3﹣x，点（1，0）也在g（x）的图象上，故（1，0）为切点，则g'（x）＝3x2﹣1，g'（1）＝3﹣1＝2，故y＝g（x）过点（1，0）的切线方程为y﹣0＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0．16．（15分）已知动点M（x，y）满足：√(x−1)2+y2+√(x+1)2+y2=2√2．（1）求动点M的轨迹方程C；（2）若过点P(1，12)的直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程．解：（1）因为动点M （x ，y ）满足√(x −1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=2√2，所以点M 的轨迹为以（﹣1，0），（1，0）为焦点的椭圆，所以c ＝1，a =√2，所以b 2＝a 2﹣c 2＝1，所以x 22+y 2＝1．（2）设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则{x 122+y 12=1x 222+y 22=1，作差得x 12−x 222+y 12−y 22=0，除以x 1﹣x 2得x 1+x 22+(y 1+y 2)⋅y 1−y 2x 1−x 2=0，代入中点坐标22+k =0，则k ＝﹣1，直线l 的方程是y =−x +32． 17．（15分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n+12−S n 2=8n ．（1）求S n ；（2）若b n =2S n −1，从{S n }中删去{b n }中的项，按照原来的顺序构成新的数列{c n }，求{c n }的前100项和T 100．解：（1）因为S n+12−S n 2=8n ，当n ≥2时，S n 2=(S n 2−S n−12)+（S n−12−S n−22）+…+（S 22−S 12）+S 12=8（n ﹣1）+8（n ﹣2）+…+8×1+1＝8[1+2+3+…+（n ﹣1）]+1＝8×(n−1)(1+n−1)2+1＝（2n ﹣1）2，因为a n ＞0，所以S n ＞0，所以S n ＝2n ﹣1；（2）因为S n ＝2n ﹣1，所以b n ＝22n ﹣1﹣1，则b 1＝1，b 2＝7，b 3＝31，b 4＝127，b 5＝511，…，又因为S 104＝2×104﹣1＝207，且127＜207＜511，所以数列{S n }的前104项中有数列{b n }的4项，所以T 100=104(1+207)2−（1+7+31+127）＝10650． 18．（17分）若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点是F （2，0），且离心率为2．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知点M（0，1），过焦点F的直线l与双曲线C的两支相交于A，B两点，求直线MA和MB的斜率之和的最大值．解：（1）由题意得c＝2，e=ca=2，又c2＝a2+b2，所以a2＝1，b2＝3，所以双曲线C的方程x2−y23=1．（2）由题意直线l的斜率存在，设直线l：y＝k（x﹣2），联立{x 2−y23=1y=k(x−2)，整理得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，则3﹣k2≠0，Δ＝16k4﹣4（3﹣k2）（﹣4k2﹣3）＝36k2+36k＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k2k2−3，x1•x2=4k2+3k2−3＜0，解得−√3＜k＜√3，又点M（0，1），所以k MA+k MB=k(x1−2)−1x1+k(x2−2)−1x2=2kx1x2−(2k+1)(x1+x2)x1x2=2k(4k2+3)−4k2(2k+1)4k2+3=3(2k+1)4k2+3−1，设t＝2k+1∈（1﹣2√3，1+2√3），则k MA+k MB=3tt2−2t+4−1，因为要求最大值，只需考虑t∈（0，1+2√3），当且仅当t＝2，即k=12时，等号成立，所以所求最大值为12．19．（17分）已知数列{a n}的前n项和S n=n 2+n2，数列{b n}满足：b1＝3，b n+1＝2b n﹣1（n∈N*）．（1）证明：{b n﹣1}是等比数列；（2）设数列{c n}的前n项和为T n，且c n＝（﹣1）n 2a n+1(a n+1)log2(b n−1)，求T n；（3）设数列{d n}满足：d n={a n+1a n2a n+22，n=2k−1a2n b n ，n=2k，k∈N*．证明：∑2n k=1d k＜7336．解：（1）证明：由b n+1＝2b n﹣1，得b n+1﹣1＝2（b n﹣1），又b1﹣1＝2，所以{b n﹣1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则b n−1=2×2n−1，故b n=2n+1；（2）由数列{a n}的前n项和为S n=n2+n2，可得：当n＝1时，有a1＝S1＝1，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+n2−(n−1)2+(n−1)2=n，显然a1＝1也满足，故a n＝n，又b n=2n+1，c n＝（﹣1）n 2a n+1(a n+1)log2(b n−1)，所以c n=(−1)n2n+1n(n+1)=(−1)n(1n+1n+1)，故T n=−1−12+12+13−13+⋯+(−1)n1n+(−1)n1n+1=−1+(−1)n1n+1；（3）证明：d n={a n+1a n2a n+22，n=2k−1a2n b n ，n=2k，k∈N*，当n为奇数时，d n=n+1n2(n+2)2=14[1n2−1(n+2)2]，则d1+d3+d5+...+d2n−1=14[1−132+132−152+⋯+1(2n−1)2−1(2n+1)2]=14[1−1(2n+1)2]＜14，当n为偶数时，d n=2n2n+1＜2n2n，则d2+d4+d6+⋯+d2n＜422+824+⋯+4n22n=140+241+⋯+n4n−1，设Q n=140+241+⋯+n4n−1，则14Qn=141+242+⋯+n−14n−1+n4n，两式相减得，34Qn=1+141+142+...+14n−1−n4n=1−14n1−14−n4n，Q n=169−3n+49(14)n−1＜169，所以d2+d4+d6+⋯+d2n＜16 9，所以∑2n k=1d k＜14+169=7336，故原式得证．。

福建省2020学年高二数学上学期期末考试试题理

上学期期末考试试卷高二数学理科必修5 选修2-1 2-2 选讲4-5一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=≤-=02,01x x xQ x x P ，则()Q P C R ⋂= （）A.()1,0B.(]2,0C.(]2,1D.[]2,12．已知m 为实数，i 为虚数单位，若0)1(2>-+i m m ，则=-+im im （） A. 1- B. 1 C. i - D. i3. “0<x ”是“0)1ln(<+x ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A.若βα⊥，β⊥m ，则α//m B.若α//m ，m n ⊥，则α⊥n C.若α//m ，α//n ，β⊂m ，β⊂n ，则βα// D.若β//m ，α⊂m ，n =⋂βα，则n m //5.若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（） A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2)6.设1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使0)(22=⋅+F OF （O 为原点）且21PF PF λ=，则λ的值为( )A ．2B ．21C ．3D ．317.1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．4C D8．当[]1,2-∈x 时，不等式03423≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[]3,5--B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--89,6 C ．[]2,6-- D ．[]3,4--9.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB E =，为1AA 的中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为（） A ．1010B ．51C ．53D ．1010310.在正三棱柱111C B A ABC -中，若41==AA AB ，点D 是1AA 的中点，则点A 到平面1DBC 的距离是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 11.设函数x x f ln )(=，xbax x g +=)(，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线,则当x >1时，)(x f 与)(x g 的大小关系是（） A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f < C ．)()(x g x f = D ．不确定 12.已知函数)()(b x e x f x-=)(R b ∈.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ,使得0)()(>'+x f x x f ,则b 的范围是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-65,C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-65,23 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,38 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 13. 命题“若0=a ，则0=ab ”的逆否命题是__________________. 14.=-++⎰-dx x x x 1122)4( ．15.椭圆221164x y +=上的一点A 关于原点的对称点为B ，F 为它的右焦点，若AF BF ⊥，则AFB ∆的面积是 .16.当实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x 时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围________.17. 已知函数x x x x f ln 4321)(2+--=在()1,+t t 上不单调,则实数t 的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（12分）已知()211f x x x =--+ （1）求()f x x >的解集；（2）若不等式m x x x f +-≥2)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1上解集非空，求m 的取值范围．19.（12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ，AC BC ⊥，2==AC BC ，31=AA ，D 为AC 的中点.20.（13分）已知函数4)(23-+-=ax x x f . (1) 若)(x f 在34=x 处取得极值，求实数a 的值； (2) 在(1)的条件下，若关于x 的方程m x f =)(在[]1,1-上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围；(3) 若存在),0(0+∞∈x ，使得不等式0)(0>x f 成立，求实数a 的取值范围.21.（14分）如图，点)0,3(B 是圆()163:22=++y x A 内的一个定点，点P 是圆A 上的任意一点，线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q ，当点P 在圆A 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)点)0,2(E ,)1,0(F ，直线QE 与y 轴交于点M ，直线QF 与x 轴交于点N ，求FM EN ⋅的值.22.（ 14 分）已知常数0>a ，函数22)1ln()(+-+=x xax x f . (Ⅰ)讨论)(x f 在区间()+∞,0上的单调性；(Ⅱ)若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且0)()(21>+x f x f ，求实数a 的取值范围．参考答案1-5CDBDD 6-10AACDB 11-12BA13.若，则.. 14. 15.4 16. 17.18.解：，当时，有，得；当时，有，得；当时，有，得.综上所述：原不等式的解集为.（2）由题，，设所以,当时,;当时,;当时,即19.2021.解(1)因为点在的垂直平分线上，所以，∴，从而点的轨迹是以为焦点的椭圆，这时，，，∴，所以曲线的方程为.(2)由题设知，直线的斜率存在.设直线的方程为，，，由，得，因为，，所以，所以，因为点，，共线，，所以，即，又直线与轴的交点纵坐标为，所以，，所以.22.(Ⅰ)f ′(x)＝1＋ax a －（x ＋2）22（x ＋2）－2x ＝（1＋ax ）（x ＋2）2ax2＋4（a －1）. (*) 当a ≥1时，f ′(x)>0，此时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．当0<a<1时，由f ′(x)＝0得x 1＝2a 1－a (x 2＝－2a 1－a舍去)．当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x)>0. 故f(x)在区间(0，x 1)上单调递减，在区间(x 1，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f(x)在区间a 1－a 上单调递减，在区间，＋∞1－a上单调递增.(Ⅱ)由(*)式知，当a ≥1时，f ′(x)≥0，此时f(x)不存在极值点，因而要使得f(x)有两个极值点，必有0<a<1.又f(x)的极值点只可能是x 1＝2a 1－a 和x 2＝－2a 1－a，且由f (x)的定义可知， x>－a 1且x ≠－2，所以－2a 1－a >－a 1，－2a 1－a ≠－2，解得a ≠21.此时，由(*)式易知，x 1，x 2分别是f (x)的极小值点和极大值点．而f(x 1)＋f(x 2)＝ln(1＋ax 1)－x1＋22x1＋ln(1＋ax 2)－x2＋22x2＝ln[1＋a(x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2]－x1x2＋2（x1＋x2）＋44x1x2＋4（x1＋x2）＝ln(2a －1)2－2a －14（a －1）＝ln(2a －1)2＋2a －12－2.令2a －1＝t. 由0<a<1且a ≠21知，当0< a < 21 时，－1< t <0；当21< a <1时， 0< t ＜1. 记g(t)＝ln t 2＋t 2－2.(i)当－1<t <0时，g(t)＝2ln(－t)＋t 2－2，所以g ′(x)＝t 2－t22＝t22t －2< 0，因此，g (t)在区间(－1，0)上单调递减，从而g(t)<g(－1)＝－4<0. 故当0<a<21时，f(x 1)＋f(x 2)<0.(ii)当0<t<1时，g(t)＝2ln t ＋t 2－2，所以g ′(t)＝t 2－t22＝t22t －2< 0，因此，g(t)在区间(0，1)上单调递减，从而g(t)>g(1)＝0.故当21<a<1时，f(x 1)＋f(x 2)>0.综上所述，满足条件的a 的取值范围为，11.。

2020-2021学年福建省南平市邵武桂林中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2020-2021学年福建省南平市邵武桂林中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列满足则（）A．17 B．18 C．19 D．20参考答案：B2. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面ABCD上的动点，点M在棱AB上，且AM=，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为4，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线参考答案：B【考点】抛物线的定义．【分析】作PQ⊥AD，作QR⊥D1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得 PR2﹣PQ2=RQ2=4，又已知PR2﹣PM2=4，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离．【解答】解：如图所示：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q 作QR⊥D1A1，则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得 PR2﹣PQ2=RQ2=4．又已知 PR2﹣PM2=4，∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选 B．3. 执行右上图所示的程序框图,则输出 ( )A. 9B. 10C. 16D. 25参考答案：C4. 已知空间四边形中,棱两两互相垂直则成的二面角是A． B． C． D．参考答案：B略5. “双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为x=”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）即不充分也不必要条件参考答案：A6. 若上是减函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C7. 在等差数列中，若，则的值为（）A B CD参考答案：A8. 圆柱的底面半径为r，其全面积是侧面积的倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】求出圆柱的高是底面半径的2倍，结合图象求出满足条件的概率即可．【解答】解：如图示：设圆柱的高是h，则2πr2+2πrh=?2πrh，解得：h=2r，若|PO|≤r，P在以O为圆心，以r为半径的圆内，∴使|PO|≤r的概率是：p==，故选：C．【点评】本题考查了几何概型问题，考查圆柱、圆的有关公式，是一道基础题．9. 某射手射击所得环数X的分布列如表，已知X的数学期望E（X）=8.9，则y的值为（）参考答案：B【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；方程思想；消元法；概率与统计．【分析】利用离散型随机变量的分布列和数学期望列出方程组，能求出y 的值．【解答】解：∵X的数学期望E （X ）=8.9，∴由射手射击所得环数X的分布列，得：，解得x=0.2，y=0.4．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10. 圆心是（1，-2），半径是4的圆的标准方程是（）参考答案：B 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若满足，则的最大值 .参考答案：212. 已知双曲线﹣=1的离心率为，则m= ．参考答案：2或﹣5【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线的方程，求出a ，b ，c 利用离心率求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1，当焦点在x 轴时，a 2=m+2，b 2=m+1，可得c 2=a 2+b 2=3+2m ，∵双曲线﹣=1的离心率为，∴，当焦点在y 轴时，a 2=﹣m ﹣1，b 2=﹣m ﹣2，可得c 2=a 2+b 2=﹣3﹣2m ，∵双曲线﹣=1的离心率为，∴，可得，即12+8m=7m+7，可得m=﹣5．故答案为：2或﹣5．13. 求点关于直线的对称点的坐标____________；参考答案：14. 已知变量满足，则的最大值为（）A.B. C.16 D.64参考答案： B 略15. 若，则= 。

福建省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知直线与直线垂直，则（）1:210l x ay --=2:210l x y ++==a A. B. 1C. 2D. 41-【答案】B 【解析】【分析】利用两直线垂直的条件求解.【详解】因为直线与直线垂直， 1:210l x ay --=2:210l x y ++=所以，即. ()2120a ⨯+-⨯=1a =故选：B2. 等差数列的前n 项和为，且满足，则（） {}n a n S 252,20a S ==4a =A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解.【详解】设等差数列的公差为，则，，解得{}n a d 212a a d =+=5151020S a d =+=，10,2a d ==所以. 40236a =+⨯=故选：D.3. 已知直线l 过点，方向向量为，则原点到的距离为（）(2,0)P ()1,1n =-O lA. 1B.C.D. 3【答案】B 【解析】【分析】求出直线的解析式，即可求出原点到的距离. O l 【详解】由题意，在直线中，方向向量为，l ()1,1n =-∴直线l 的斜率存在，设，则直线l 的斜率为：， :l y kx b =+111k -==-∴，:l y x b =-+∵直线l 过点， (2,0)P ∴，解得：，02b =-+2b =∴，即， :2l y x =-+:20+-=l x y∴原点到的距离为：，O l d 故选：B.4. 已知圆与圆，若与有且仅有2221:290C x y mx m +-+-=222:20C x y y +-=1C 2C 一条公切线，则实数的值为（） mA. B. C. D.1±2±【答案】C 【解析】【分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.【详解】圆可化为，圆心为2221:290C x y mx m +-+-=()221:9C x m y -+=，半径为，()1,0C m 13r =圆可化为，圆心为，半径为，222:20C x y y +-=()222:11C x y +-=()20,1C 21r =又与有且仅有一条公切线， 1C 2C 所以两圆内切，因此，即，2112r r C C =-2=解得， m =故选：C5. 在三棱锥中，点M 是中点，若，则A BCD -BC DM x AB y AC z AD =++（）x y z ++=A. 0 B.C. 1D. 212【答案】A 【解析】【分析】表达出和，得出，，的值，即可求出的值.AM DMx y z x y z ++【详解】由题意，在三棱锥中，点M 是中点， A BCD -BC 连接，，AM DM在中， ABC A ，()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r 在中，AMD A ， DM AM AD =- ∴, ()12DM AM AD AB AC AD =-=+-∴，， 12x y ==1z =-∴， 111022x y z ++=+-=故选：A.6. 已知点P 在双曲线的右支上，直线交曲线C 于点Q （异于222:1(0)y C x b b-=>OP P ），点F 为C 的左焦点，若为锐角，则b 的取值范围为（） ||4,PF PFQ =∠A.B.C.D.(0,2)(2,(2,)+∞【答案】C 【解析】【分析】设双曲线的右焦点，根据双曲线的定义，可求得，根据已知条件2F 22PF =为锐角，可判断为钝角，结合余弦定理即可求得b 的取值范围.PFQ ∠2FPF ∠【详解】如图所示：设双曲线的右焦点为，则，且，则， 2F 22PF PF a -=1a =22PF PF -=又则，又，所以， ||4,PF =22PF =2226FF c PF PF =<+=3c <而，即，解得222c a b =+219b +<0b <<又因为为锐角，且根据双曲线的对称性知，关于原点对称，PFQ ∠,P Q 22FQ F P ==，，22QFF PF F ∠=∠所以为锐角，2222PFQ QFF PFF PFF PF F ∠=∠+∠=∠+∠所以为钝角，则①，且2FPF ∠22222424204cos 024216c c FPF +--∠==<⨯⨯，又②，22041016c --<<221c b =+由①②两式解得 2<<b所以b 的取值范围为. (2,故选：C7. 在平行六面体中，1111ABCD A B C D -，，则直线111,60AB AD AA DAB BAA DAA ==∠=∠=∠=︒11(01)AQ A B λλ=<<与直线所成角的余弦值为（）1AC DQA. 0B.C.D. 112【答案】A 【解析】【分析】设，由向量的运算得出，进而得出直线1,,a AB b AD c AA ===10AC DQ ⋅= 与直线所成角的余弦值.1AC DQ 【详解】设，不妨设，则1,,a AB b AD c AA ===11AB AD AA ===12a b a c b c ⋅=⋅=⋅= ，， 1AC a b c =++ 11A B A A AB a c =+=-1111()(1)DQ DD D A A Q c b a c a b c λλλ=++=-+-=-+- ()2221(1)(1)1AC DQ a a b a c a b b b c a c b c c λλλλλλ⋅=-⋅+-⋅+⋅-+-⋅+⋅-⋅+-1111111111022222222λλλλλλ=-+-+-+-+-+-=即，则直线与直线所成角的余弦值为.1AC DQ ⊥1AC DQ 0故选：A8. 椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，以F 为圆心，为半径2222:1(0)x y E a b a b+=>>||FO 的圆与E 交于点P ，且，则E 的离心率为（） PF PA ⊥A.B.C.D.23【答案】C 【解析】【分析】由已知得，右焦点为，中利用余弦定理列方cos PF cPFA FA a c∠==+F 'PFF 'A 程，由齐次式可求E 的离心率.,a c 【详解】由题意，，，由，， PF c =FA a c =+PF PA ⊥cos PF cPFA FA a c∠==+右焦点为，连接，有，F 'PF '2PF a c '=-中，，PFF 'A ()()222222222cos 24c c a c PF FF PF c PFF PF FF c a c+--''+-'∠==='⋅+化简得，即，222c a =a =则E 的离心率为c e a ==故选：C【点睛】思路点睛：点P 在椭圆上，一是满足椭圆方程，二是到两焦点距离之和等于2a ，求椭圆离心率，结合其它条件构造齐次式即可得解.,a c 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知椭圆与椭圆，则（）221259x y +=221259x y k k+=--A. B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率9k <相等【答案】AC 【解析】【分析】分别对两个椭圆进行分析，得到对应的短轴长，焦距，离心率等，即可得出结论.【详解】由题意，在中，有，，，221259x y +=5a =3b =4c ===∴短半轴为3，长半轴为5，焦距为，离心率， 428⨯=45c e a ==在中，有，221259x y k k+=--a =b =，4c ===，428⨯=，解得：，离心率， 25090k k ->⎧⎨->⎩9k <e =∴AC 正确，BD 错误. 故选：AC.10. 如图，四边形为正方形，，平面，ABCD //EA BF EA ⊥ABCD ，点在棱上，且，则（）22AB AE BF ===M EC EM EC λ=A. 当时，平面 14λ=//DM BFCB. 当时，平面 12λ=MF ⊥EAC C. 当时，点到平面的距离为 12λ=M BCF 1D. 当时，平面与平面的夹角为 14λ=MBD ABCD π4【答案】BC 【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直A AD AB AE x y z 角坐标系，利用空间向量法逐项判断可得合适的选项.【详解】因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点，EA ⊥ABCD ABCD A 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，AD AB AE x y z则、、、、、， ()0,0,0A ()0,2,0B ()2,2,0C ()2,0,0D ()0,0,2E ()0,2,1F 对于AD 选项，当时，， 14λ=113,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，易知平面的一个法向量为，313,,222DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭BFC ()0,1,0m =因为，因此，与平面不平行，A 错，102DM m ⋅=≠ DM BFC 设平面的法向量为，，MBD ()1,,n x y z = ()2,2,0DB =-则，取，可得， 11220313222n DB x y n DM x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩3x =()13,3,2n = 易知平面的一个法向量为，ABCD ()20,0,1n =121212cos,n nn nn n⋅<>===⋅所以，平面与平面的夹角不是，D错；MBD ABCDπ4对于BC选项，当时，，12λ=()1,1,1M，，，()1,1,0FM=-()2,2,0AC=()0,0,2AE=所以，，，所以，，，220FM AC⋅=-=FM AE⋅=FM AC⊥FM AE⊥又因为，、平面，平面，B对，AC AE A⋂=AC AE⊂EAC FM∴⊥EAC点到平面的距离为，C对.M BCF1FM mdm⋅==故选：BC.11. 2022年11月29日23时08分，我国自主研发的神舟十五号载人飞船成功对接于空间站“天和”核心舱前向端口，并实现首次太空会师．我国航天员在实验舱观测到一颗彗星划过美丽的地球，彗星沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这条抛物线的焦点．当此彗星离地球4千万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，则彗星与地球的60︒最短距离可能为（单位：千万公里）（）A. B. C. 1 D. 31312【答案】CD【解析】【分析】不妨假设该抛物线开口向右，可设该抛物线的方程为，彗星离地()220y px p=>球4千万公里时假设为A点，作轴于，分在的左侧和右侧进行讨论，即可AB x⊥B B F求出最短距离【详解】不妨假设该抛物线开口向右，如图所示，可设该抛物线的方程为()220y px p=>，地球即焦点坐标为，设彗星的坐标为，,02pF⎛⎫⎪⎝⎭()()000,0x y x≥当彗星离地球4千万公里时，设彗星此时处于A 点，即， 4AF =作轴于，则， AB x ⊥B 60AFB ∠=︒当在的右侧时，B F，所以，2AB =2,2p A ⎛+ ⎝代入抛物线可得，解得 12222p p ⎛⎫= ⎪⎝⎭+2p =则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为， 00112px x +=+≥则彗星与地球的最短距离可能为1千万公里，当在的左侧时，B F，所以，2AB =2,2p A ⎛- ⎝代入抛物线可得，解得 12222p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭6p =则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为， 00332px x +=+≥则彗星与地球的最短距离可能为3千万公里，故选：CD12. 大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙．譬如松果、风梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关．在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法{}n a 来定义：，则（）()12211,1,N n n n a a a a a n *++===+∈A. 135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=B. 12320202022a a a a a +++⋅⋅⋅+=C.2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=D. 132420192021202020221220212022111111a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++=-【答案】ACD 【解析】【分析】用累加法判断选项AB ，对于C ，只需证明即可,22221231n n n a a a a a a +++++= 用数学归纳法证明;对于D ，得到，即可判断2112122111n nn n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++-==-【详解】对于A ，由，可得，则，21n n n a a a ++=+12n n n a a a ++=-342a a a =-，，564a a a =-786,,a a a =- 202120222020a a a =-将上式累加得，又，则有223570212022a a a a a a ++⋅⋅=-⋅+121a a ==.故A 正确；1320212022a a a a ++⋅⋅⋅+=对于B ，由，可得，， 21n n n a a a ++=+321a a a =+432,,a a a =+ 202220212020a a a =+将上式累加得，又，则()123202020222a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+21a =，故B 错误；123202020221a a a a a +++⋅⋅⋅=-+对于C ，有成立,用数学归纳法证明如下: 22221231n n n a a a a a a +++++= ①当时,,满足规律,1n =21121a a a ==⋅②假设当时满足成立,n k =22221231k k k a a a a a a +++++= 当时，则1n k =+222222123111k k k k k a a a a a a a a ++++++++=+ ()11k k k a a a ++=+成立，满足规律,12k k a a ++=故，令，则有22221231n n n a a a a a a +++++= 2021n =成立，故C 正确;2222123202*********a a a a a a ++++=对于D ，由可得，21n n n a a a ++=+2221121111n n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++-==-所以132420192021202020221111a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++，故D 正确 223334202120212022122020111111a a a a a a a a a a a a =-+-++- 122021202211a a a a =-故选：ACD【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 写出双曲线的一条渐近线方程__________．22:14y C x -=【答案】（或） 2y x =2y x =-【解析】【分析】由双曲线的性质求解即可.【详解】由题意可得，，则双曲线的渐近线方程为1,2a b ==22:14y C x -=.2by x x a=±=±故答案为：（或）2y x =2y x =-14. 正方体中，E 为线段的中点，则直线与平面所成角1111ABCD A BC D -1BB 1C E11A D B 的正弦值为__________．【解析】【分析】建立空间坐标系，利用法向量求解线面角.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标D 1,,DA DC DD ,,x y z 系，如图，设正方体的棱长为2，则;()()()()()1112,2,0,2,0,2,0,0,2,2,2,1,0,2,2B A D E C ；()()()11112,0,1,0,2,2,2,0,0EC BA D A =-=-=设平面的一个法向量为，则，，11A D B (),,n x y z = 11100n D A n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20220x z y =⎧⎨-=⎩A 令，则.1y =()0,1,1n =设直线与平面所成角为，则. 1C E 11A D Bθ11sin n EC n EC θ⋅===15. 在平面上给定相异的两点A ，B ，设点P 与A ，B 在同一平面上，满足，当||||PA PB λ=且时，点P 的轨迹是一个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．在中，0λ>1λ≠PAD A ，边中点为，则的最大值为__________．||||,(3,0)PA PD A =-PD (3,0)B ∠PAB 【答案】 π6【解析】【分析】设，可得，利用可得(),P x y ()6,D x y --||||PA PD =，结合图象即可得到与该圆相切时，最大()()225160x y y -+=≠PA ∠PAB 【详解】设，由边中点为可得，(),P x y PD (3,0)B ()6,D x y --因为，整理可得||||PA PD==，()()225160x y y -+=≠所以的轨迹是圆心为，半径为4的圆上（排除轴上的点）， P ()5,0Qx 则当与该圆相切时，最大，， PA ∠PAB 1tan 2PQ PAB AQ∠==因为所以 π0,2PAB ∠<<π,6PAB ∠=故答案为：π616. 平面上一系列点，其中()()()111222,,,,,,,n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11(1,2),0n n A y y +>>，已知在曲线上，圆与y 轴相切，且圆与圆n A 24y x =()()222:n n n n A x x y y r -+-=n A 外切，则的坐标为__________；记，则数列的前6项和为1n A +3A 1n n n b y y +={}n b __________．【答案】 ①. ②. 12,93⎛⎫⎪⎝⎭247【解析】【分析】由圆与y 轴相切得出圆的半径为，由圆与圆外切，得出n A n A n x n A 1n A +，进而由递推公式结合求解即可.()112n n n n y y y y ++=-12y =【详解】因为圆与y 轴相切，所以圆的半径为， n A n A n x 又圆与圆.n A 1n A +1n n x x +=+两边平方并整理得，结合， ()2114n n n n y y x x ++-=22114444n n n n y y x x ++⋅=⨯⨯，得， 10n n y y +>>()112n n n n y y y y ++=-122nn ny y y +=+即，，以此类推 121212y y y ==+323y =727y =因为，所以，故. 323y =319x =312,93A ⎛⎫⎪⎝⎭数列的前6项和为{}n b ()()()()()()1223344556672y y y y y y y y y y y y -+-+-+-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()177224y y ==-故答案为：；. 12,93⎛⎫ ⎪⎝⎭247四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，点xOy OABC ,3COA C π∠=D 为的中点，的外接圆为圆M ．AB OAC A（1）求圆M 的方程；（2）求直线被圆M 所截得的弦长．CD【答案】（1） 224(1)3x y ⎛-+= ⎝（2【解析】【分析】（1）由已知可得为正三角形，可求出圆心坐标和半径得求圆M 的方程； OAC A （2）根据相应点的坐标，得到直线CD 的方程，求圆心到直线距离，利用几何法求弦长. 【小问1详解】（1）因为，，所以为正三角形， OA OC =π3COA ∠=OAC A由，得， 2OA OC ===(20)A ，所以外接圆圆心为，又半径， OAC A M ⎛ ⎝R MO ==所以圆M 的方程为224(1)3x y ⎛-+-= ⎝【小问2详解】由题意得，，B 52D ⎛⎝直线CD 的斜率，52k ==直线CD 方程为即，1)y x =-40x +-=M 到CD 的距离为，1d 所以CD 被圆M 截得的弦长为. ==18. 已知等比数列的各项均为正数，且． {}n a 2123264,9a a a a a +==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前n 项和． 3log n n n b a a =+{}n b 【答案】（1）13n n a -=（2）()21312nn n +--【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，求出首项和公比，利用通项公式可得答案；（2）先求出的通项公式，利用分组求和法可求和. n b 【小问1详解】设正项等比数列的公比为，因为，{}n a q 2123264,9a a a a a +==所以，解得，所以. 1124261149a a q a q a q +=⎧⎨=⎩113a q =⎧⎨=⎩1113n n n a a q --==【小问2详解】由（1）可得，设数列的前n 项和为，131n n b n -=+-{}n b n S则()()21121333011n n n S b b b n -=+++=++++++++- . ()()21131311322n n n n n n --=+=+---19. 已知点，点B 为直线上的动点，过点B 作直线的垂线l ，且线段(0,1)F 1y =-1y =-的中垂线与l 交于点P ．FB （1）求点P 的轨迹的方程；Γ（2）设与x 轴交于点M ，直线与交于点G （异于P ），求四边形面积的FB PF ΓOMFG 最小值．【答案】（1） 24x y =（2【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求解轨迹方程；（2）设出直线，联立方程，得出，用表示出四边形的面积，结合基124x x =-1x OMFG 本不等式求解最值. 【小问1详解】由题意点到直线的距离与到点的距离相等，所以点P 的轨迹是以P 1y =-(0,1)F (0,1)F 为焦点，以直线为准线的抛物线， 1y =-所以方程为. 24x y =【小问2详解】设直线的方程为，，则.PG 1y kx =+1122(,),(,)P x y G x y ()1,1B x -如图，设与轴的交点为，则易知为的中位线，所以. 1y =-y N OM FNB A 1,02xM ⎛⎫⎪⎝⎭联立，得，， 214y kx x y=+⎧⎨=⎩A 2440x kx --=12124,4x x k x x +==-不妨设，则， 1>0x 214x x =-四边形面积为OMFG111221111142222222x x x S OF x OF x x ⎛⎫⎛⎫=+=-=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当.1x =OMFG 20. 世界上有许多由旋转或对称构成的物体，呈现出各种美．譬如纸飞机、蝴蝶的翅膀等．在中，．将绕着旋转到的位ABC A2,120AB BC ABC ==∠=︒ABC A BC DBC △置，如图所示．（1）求证：；BC AD ⊥（2）当三棱锥的体积最大时，求平面和平面的夹角的余弦值． D ABC-ABD BDC 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）做辅助线，先证明线面垂直，利用线面垂直证明线线垂直；（2）根据三棱锥的体积最大，确定平面的垂直关系，利用空间向量求解平面的夹角. 【小问1详解】取的中点，连接，AD E ,CE BE 由题意可知，所以； ,AC DC AB DB ==,CE AD BE AD ⊥⊥因为平面，所以平面； ,,CE BE E CE BE ⋂=⊂BCE AD ⊥BCE 因为平面，所以. BC ⊂BCE BC AD ⊥【小问2详解】由题意可知三棱锥的体积最大时，平面平面； D ABC -DBC ⊥ABC 在平面内作出，且与的延长线交于点，连接； DBC DO BC ⊥CB O OA 因为平面平面，平面平面，， DBC ⊥ABC DBC ABC BC =DO BC ⊥所以平面；根据旋转图形的特点可知，两两垂直， DO ⊥ABC ,,OD OA OC 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， O ,,OA OC OD ,,x y z因为，所以；2,120AB BC ABC ==∠=︒1OA OD OB ===；())(()0,1,0,,,0,3,0B AD C ，)(1,0,0,BA BD =-=-设平面的一个法向量为，则，， ABD (),,n x y z = 00n BA n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩y y -=-=令；y =()n =r易知平面的一个法向量为,BDC )OA =设平面和平面的夹角为，则ABD BDC θcosOA n OA nθ⋅===所以平面和平面. ABD BDC21. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为1千万元，由于管理经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为千万元，乙超市第n 年的销售额比前一年的销售额212n +多千万元．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）分别求甲、乙超市第n 年销售额的表达式；（2）若其中一家超市的年销售额不足另一家超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？【答案】（1）甲超市第n 年销售额为，乙超市第n 年销售额为1,1122n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，12323n n b -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭（2）乙超市将被甲超市收购，至少第6年【解析】【分析】（1）设甲、乙超市第年销售额分别为千万元、千万元，利用n n a n b 1n n n a S S =－-即可求出，利用累加法求出即可；n a n b （2）先解释甲超市不可能被乙超市收购，然后利用得到，通12n n b a <2213312nn n c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过得到，代入具体的值即可 10n n c c +->2n ≥n 【小问1详解】设甲、乙超市第年销售额分别为千万元、千万元，n n a n b 假设甲超市前年总销售额为，则，n n S 212n n S +=当时，， 2n ≥()2211111222n n n n n a S S n --++=-=-=-易得不满足上式，故； 11a =1,1122n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，时，，112b n =≥，1123n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭故()()()211213212221...333n n n n b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋯+-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213213n⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，12323n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭显然也适合，故；1n =12323n n b -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭【小问2详解】甲超市不可能被乙超市收购，乙超市将被甲超市收购，理由如下： ①因为，，当时，， 3n b <11a b =2n ≥23122n n a a b ≥=>所以甲超市不可能被乙超市收购；②设即，即， 12n n b a <1221334n n n ---<22130312n n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭设，2213312nn n c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令11221122131120312312633n n nn n n n c c ++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--=-⨯> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，解得，所以2231n⎛⎫ ⎪≤⎝⎭2n ≥1234c c c c <<>< ， 1104c =-<552132132320,342434243128c ⎛⎫=-=-=-< ⎪⎝⎭，662164164640,31272912729768c ⎛⎫=-=-=-> ⎪⎝⎭77210312c ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭所以，解得，22130312nn n c -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭6n ≥综上，至少第6年时乙超市将被甲超市收购22. 已知椭圆过点．2222:1(0)x y E a b a b +=>>（1）求E 的方程；（2）过作斜率之积为1的两条直线与，设交E 于A ，B 两点，交E 于C ，(1,0)T 1l 2l 1l 2l D 两点，的中点分别为M ，N ．探究：与的面积之比是否为定,AB CD OMN A TMN △值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=（2）为定值，定值为2，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可得写出关于的等式，即可求出E 的方程； ,,a b c （2）设直线与椭圆进行联立可得，同理可得:1,AB x my =+222,22m M m m -⎛⎫⎪++⎝⎭可得到直线过定点，然后利用2222,.2121m m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()221:2,m MN x y m+=+(2,0)Q 面积公式即可【小问1详解】由题意可得，解得，22222211a b c aa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩则E 的方程 22142x y +=【小问2详解】与面积之比为定值，定值为2，理由如下：OMN A TMN △设直线（），:1,AB x my =+0m ≠()()1122,,,,A x y B x y 联立可得，， 221142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222230m y my ++-=216240m ∆=+>则 12122223,,22m y y y y m m --+==++所以 122222,11,2222M M M y y m m y x my m m m m +--===+=⋅+=+++所以， 222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭设，同理可得 1:1CD x y m =+2222,.2121m m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以， ()22222222211212212MN m m m m m m k m m m -+++==-+++所以直线即 ()222212:,22m m MN x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭()2212,m x y m +=+所以恒过定点，MN (2,0)Q 设点到直线的距离分别是,O T MN 12,,d d 则 112212212OMN TMN MN d OQ S d S d TQMN d ⨯====⨯A A 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； 12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。

福建省2020-2021学年高二数学上学期期末模拟试题2套(含答案) (3)

福建省高二数学期末模拟试题含答案（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若R k ∈，则“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的( )条件A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充分必要D. 既不充分也不必要2. 采用系统抽样的方法从2005个个体中抽取一个容量为50的样本，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为（）A ．40，5B ．50，5C ．5，40D ．5，50 3.下列说法正确的是（）A. 命题“3能被2整除”是真命题B. 命题“，”的否定是“，”C. 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题D. 命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是假命题 4．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（） A.18 B. 12 C. 14D. 1 5.甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字．若甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A ．＜，甲比乙成绩稳定B ．＞，乙比甲成绩稳定C ．＞，甲比乙成绩稳定 D ．＜，乙比甲成绩稳定6.x y 广告费用x （万元） 4 2 3 5销售額y （万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程y=bx+a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额约为（）A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元7. 甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是. 现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（）8.下列各进制中，最大的值是（） A.)9(85 B.)2(111111 C.)4(1000 D.)6(210 9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内可填入的条件是(）A. B. C. D.10．已知点A 的坐标为()5,2， F 为抛物线24y x =的焦点，若点P 在抛物线上移动，设d 为P 点到X=-2的距离，当PA PF+取得最小值时，求┃PA ┃+d 的最短距离为（）A . 6 B. 5 C. 7 D. 5211. 若函数()22ln f x x x a x ＝＋＋在（0，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．0a ≥B ．0a ≤C ．4a ≥-D ．4a ≤-12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)2(=f ，当0>x 时，有0)()(2>-'xx f x f x 成立，则不等式0)(>x f 的解集是( )A ．(－2，0)∪(2，＋∞)B ．(－2，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分。

福建省2020年高二上学期期末数学试卷(理科)D卷

福建省2020年高二上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三下·成都期中) 《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等．”，则其中分得钱数最多的是（）A . 钱B . 1钱C . 钱D . 钱2. （2分） (2017高二下·西安期末) 工人月工资y（元）依劳动生产率x（千元）变化的回归直线方程为=50+80x，下列判断正确的是（）A . 劳动生产率为1000元时，工资为50元B . 劳动生产率提高1000元时，工资提高130元C . 劳动生产率提高1000元时，工资提高80元D . 劳动生产率为1000元时，工资为80元3. （2分） (2019高二上·南充期中) 某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是（）A . 7.2B . 7.16C . 8.2D . 74. （2分） (2017高二上·临淄期末) 命题p：若x≠0或y≠0，则x2+y2≠0，如果把命题p视为原命题，那么原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题中正确命题的个数为（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个5. （2分）根据下边的程序框图，输出的结果是（）A . 15B . 16C . 24D . 256. （2分）已知某几何题的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积V1 ，直径为4的球的体积为V2 ，则V1:V2=（）A . 1:2B . 2:1C . 1:1D . 1:47. （2分）(2018·泉州模拟) 已知直线：，圆： .若对任意，存在被截得弦长为，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）已知a2+c2﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A . 2B . 2C . 2D . 39. （2分） (2016高一下·玉林期末) 如果程序执行后输出的结果是990，那么在程序UNTIL后面的“条件”应为（）A . i＜9B . i＜8C . i＜=9D . i＞1010. （2分）(2014·重庆理) 设F1 ， F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|= ab，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D . 311. （2分）(2017·青岛模拟) 一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A . 5800B . 6000C . 6200D . 640012. （2分）已知直线m、n和平面α，在下列给定的四个结论中，m∥n的一个必要但不充分条件是（）A . m∥α，n∥αB . m⊥α，n⊥αC . m∥α，n⊂αD . m、n与α所成的角相等二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·涡阳月考) 命题“ ”的否定是________．14. （1分） (2018高二下·邱县期末) 某单位有420名职工，现采用系统抽样方法抽取21人做问卷调查，将420人按1,2，…，420随机编号，则抽取的21人中，编号落入区间的人数为________.15. （1分）(2019·内蒙古模拟) 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，现有如下四个结论：；平面；三棱锥的体积为定值；异面直线所成的角为定值，其中正确结论的序号是________．16. （1分）(2016·天津理) 设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F ，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（ p,0），AF与BC相交于点E. 若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为________.三、解答题 (共6题；共35分)17. （5分）用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1当x=2时的值.18. （5分） (2017高二下·安徽期中) 设p：|4x﹣3|≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若：非q是非p的充分不必要条件，求实数a取值范围．19. （5分）(2018·南京模拟) （选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线与曲线（）相切，求的值.20. （5分） (2015高二下·忻州期中) 某工厂对一批产品的质量进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图．已知样本中产品净重在[70，75）克的个数是8个．（Ⅰ）求样本容量；（Ⅱ）若从净重在[60，70）克的产品中任意抽取2个，求抽出的2个产品恰好是净重在[65，70）的产品的概率．21. （10分）(2019·武威模拟) 如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且 .（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC ，，求二面角A−PB−C的余弦值.22. （5分） (2015高二上·莆田期末) 已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴，且抛物线上点P（2，m）到焦点的距离为3，斜率为2的直线L与抛物线相交于A，B两点且|AB|=3 ，求抛物线和直线L的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共35分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。

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福建省邵武一中2020学年第一学期期末考试高二数学理科试卷本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1. i 是虚数单位，则复数=-+ii13（ C ） A ．i 21-- B ．i 42+ C ．12i +D ．i -22.. 对于ab b a R b a 2,,≥+∈+……大前提xx x x 121⋅≥+……小前提所以21≥+xx ……结论以上推理过程中的错误为（ B ） A ．大前提 B ．小前提C ．结论D ．无错误3．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（C ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 4．()()x f xxx f 则设函数,122+-=（ C ） A ．在（－∞，＋∞）单调增加 B ．在（－∞，＋∞）单调减少C ．在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加D ．在（－1，1）单调增加，其余区间单调减少5．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( B )A ．1，-1B ．3，-17C ．1，-17D ．9，-19 6．用反证法证明命题：“在一个平面中，四边形的内角中至少有一个不大于90度”时，反设正确的是（ D ）A.假设四内角至多有两个大于90度B.假设四内角都不大于90度C.假设四内角至多有一个大于90度D.假设四内角都大于90度7. 李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（ B ）Ａ．24Ｂ．14Ｃ．10Ｄ．98. 函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ A ）A ．32 B ． 1 C ． 2 D ．129. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（ C ）Ａ．48Ｂ．36Ｃ．28Ｄ．2010. 若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ B ）A.3113≥≤≤--≤k k k 或或B.3113<<-<<-k k 或C.22<<-kD.不存在这样的实数k二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为_____43π____。

12 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为5一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列是等和数列，a 1=2且公和为5，这个数列的前19项和19S 为______47_________。

13．用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，当n=1左边所得的项是1+2+3；从“k →k+1”需增添的项是（2k+2）+（2k+3）。

14. 已知函数()()3ln 1(1)2f x x x f '=++-+，则函数()f x 的解析式是 ()()()()131,1,ln 112f x f f x x x x ''=+∴=∴=+++Q 。

15.已知等差数列{}n a 中，有11122012301030a a a a a a ++++++=L L 成立.类似地，在等比数列{}n b中，有____________________30302110201211b b b b b b ΛΛ=_______ ___成立.邵武一中2020学年第一学期期末考试高二数学理科试卷答题卡一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11． 12．13． 14． 15．三、解答题（本大题共6小题，16—19每小题13分，20-21每小题14分，共80分）16．（本小题13分）设复数z 满足1z =,且(34)i z +⋅是纯虚数,求z -. 解：z -=i 5354- 或i 5354+-17．（本小题13分）已知函数，119)(23+--=x ax x x f 且12)1('-=f . （I ）求函数)(x f 的解析式；（II ）求函数)(x f 的极值.解1193)(23+--=x x x x f极大值16)1(=-f ，极小值16)3(-=f 18.（本小题13分）(1)已知n n n n ：n -+<+-+≥112,0试用分析法证明(2)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b (1)要证上式成立，即证122+>++n n n即 22)12()2(+>++n n n 即证n n n 212+>+ 即n n n 2)1(22+>+ 即n n n n 21222+>++，即证1>0所以原命题成立 (2)证法1：（分析法）要证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b 只需证明 1113b c c a a b aabbcc+-++-++-> 即证 6b c c a a b aabbcc+++++>而事实上，由a ，b ，c 是全不相等的正实数 ∴ 2，2，2b a c a c bab ac b c +>+>+> ∴ 6b c c a a b a abbcc+++++> ∴3b c a a c b a b ca b c+-+-+-++>得证． 19. （本小题13分）某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台.学校班级_____________ 座号______ _ 考生姓名__________________当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售a 台；根据市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率．．．为x (01)x <<，那么月销售量减少的百分．．率．为2x . 记销售价提高的百分率．．．为x 时，电脑企业的月利润是y （元）. （Ⅰ）写出月利润y （元）与x 的函数关系式；（Ⅱ）试确定笔记本电脑的销售价，使得电脑企业的月利润最大。

解：（Ⅰ）销售价提高后为6000（1+x ）元/台，月销售量为2(1)a x -台………2分则[]2(1)6000(1)4500y a x x =-+- ……………………4分即321500(441)(01)y a x x x x =--++<<． ……………………6分（Ⅱ）21500(1224)y a x x '=--+令0y '=，得2620x x +-=，解得12,(23x x ==-舍去）． ………………9分当10,0;2x y '<<>时当11,0.2x y '<<<时……………………11分当12x =时，y 取得最大值．此时销售价为3600090002⨯=元．答：笔记本电脑的销售价为9000元时，电脑企业的月利润最大． (13)分20. （本小题14分）已知数列}{n a 中，22+=a a （a 为常数）；n S 是}{n a 的前n 项和，且n S 是n na 与na 的等差中项.（I ）求31,a a ；（II ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明。

解：a a =143+=a a 猜想)1(2-+=n a a n21. （本小题14分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围。

解：(Ⅰ)由已知1()2(0)f x x x'=+>，……………………………………………………（2分）(1)213f '=+=.故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3.…………………………………（4分）(Ⅱ)11'()(0)ax f x a x xx+=+=>.……………………………………………………（5分）①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x > 所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.………………………………………（6分）②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-.在区间1(0,)a-上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞.………（8分）（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <.…………………………………………………（9分）max ()2g x =……………………………………………………………………………（10分）由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意.(或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.)……………………（11分）当0a <时，()f x 在1(0,)a-上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----，…………（13分）所以21ln()a >---，解得31e a <-. …（14分）。