线代第一章
线性代数第一章知识点总结
d 1
d2
d
r
,
0
0
即为所求非齐次线性方程组的一个特解．
向量aT (a1 , a2 , , an)的负向量记作 aT ,且 aT (a1 , a2 , , an).
２ 向量的线性运算
向量加法 设 aT (a1 , a2 , , an),bT (b1 , b2 , , bn),定义
向量aT 与bT 的加法为: aT bT (a1 b1 , a2 b2 , , an bn) 向量减法定义为 aT bT (a1 b1 , a2 b2 , , an bn)
c1,n c2,n
1 cr,r 1 , 2 cr,r 1 , , nr c组成 n r阶 单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系
c1,r 1 c2,r1
c1,r 2 c2,r2
定理 (1)若向量组A : a1 , a2 , , am 线性相关,则向 量组B : a1 , a2 , , am , am1也线性相关.反言之,若 向 量 组B线 性 无 关, 则 向 量 组A也 线 性 无 关.
(2)设 a
j
a1 j , b j arj
a1 j
a
a rj
r 1,
６ 向量组的秩
定义 设有向量组A,如果在A中能选出r个向量a1 , a2 , ,ar ,满足
(1)向量组 A0 : a1 , a2 , , ar 线性无关; (2)向量组A中任意r 1个向量(如果A中有r 1 个向量的话)都线性相关, 那么称向量组 A0 是向量组A的一个最大线性 无关向量组(简称最大无关组);最大无关组所含向 量个数r称为向量组A的秩.
Ax b
(4)
解向量 向量方程 (4)的解就是方程组 (3)的解向量．
线性代数课件 第一章
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
线性代数课件第一章 行列式
an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持 其余数字的位置不动，则称对这个排列施 行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置 数字的对换称为相邻对换，否则称为一般 对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6
线性代数 第一章 卢鹏修改
第二步：利用方程①消去方程②中的 x1 ：②+4×①，得到
x1 3 x2 4 x3 4 ①
6 x2 15 x3 9 ②
2x2 6x3 4 ③
第二节 高斯—约当消元法
x1 3 x2 4 x3 4 ①
6 x2 15 x3 9 ②
2x2 6x3 4 ③
x1 3x2 4x3 4 ①
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
a21
x1
a22
x2
a23
x3
b2
a31
x1
a32 x2
a33 x3
b3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
a22 x2 a23 x3 b2
a33 x3 b3
a11 x1
a22 x2
b1 b2 a33 x3 b3
组称为齐次线性方程组；若 b1 , b2 ,, bm 不全为零，则方程组称为非齐次线性方程
组。
a11
系数矩阵
A
a 21
a12
a 22
a1n a2n
am1 am2 amn
a11
增广矩阵
B
a 21
a12
a 22
a1n a2n
b1 b2
am1 am2 amn bm
四、行最简形矩阵
（4）非零行的第一个非零元为1； （5）这些非零元所在列的其他元素全为零。
第二节 高斯—约当消元法
2 1 1 1 2
例2
将 A 1 1 2 1 4 化成行最简形矩阵，并确定主元列．
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
例3 利用高斯—约当消元法求解下列方程组.
(1)
线性代数第一章word版
第一章 矩阵§1.2 Gauss 消元法1． 基本概念一般的n 元线性方程组：)( b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a m n mn m m n n n n *⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++ 22112222212********* 未知数：n x x x ,,,21系数：),,2,1,,2,1( n j m i a j i ==； 常数项：m b b b ,,,21一个解：n 元有序数组n c c c ,,,21 ，令, , , ,2211n n c x c x c x === 使（*）的所有方程变为恒等式。
解集合：（*）的全部解的集合。
不相容线性方程组：解集合为空集。
一般解（通解）：解集合中全部元素的通项表达式。
具体解（特解）：解集合中一个特定元素。
解的存在性：解集合是否为空集。
解的唯一性：非空的解集合是否只有一个元素。
线性方程组同解：解集合相同。
非齐次线性方程组：m b b b ,,,21 不全为零 齐次线性方程组：m b b b ,,,21 全为零一般的n 元齐次线性方程组：)( x a x a x a x a x a x a x a x a x a n mn m m nn n n **⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111零解：所有未知数均取零的解 非零解：未知数不全取零的解2. Gauss 消元法例 1 解线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-+524314422321321321x x x x x x x x x阶梯形方程组: 从上到下，方程中具有非零系数的第一个未知数的下标严格增大. 例如…. 注:(1) 它包含两个过程: 一是消元; 二是回代. (2) 将方程组化为阶梯形时所做的操作有如下三种: (i) 交换某两个方程, 如第i 个和第j 个,表示为j i R R ↔. (ii) 用非零常数k 乘某个方程, 如第i 个方程, 表示为 i kR . (iii) 将第i 个方程的l 倍加到第j 个方程, 表示为 i j lR R +. 这三种变换称为线性方程组的初等变换. 定理 1线性方程组的初等变换将方程组化为同解的方程组.解线性方程组的步骤:第一步 若第一个方程的1x 的系数为零，则选择一个1x 的系数不为零的方程, 如第i 个方程，交换它们的位置， 即 i R R ↔1.第二步 用变换1kR 将1x 的系数化为1.第三步 用变换1,1>+i lR R i , 将1x 从第一个方程以下的所有方程中消去。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线性代数第一章-第六节
a 11
a 12
D a i1
0
a n1 a n 2
a 11
+ ···+ 0
a n1
两a数1n之和a,1则 1 这个 a 12行列 式等于 a 1两 n 个行列式之和,即
a11
a 12
a1n
a 12
0 0 ai2
b1 c1 b 2 c 2
a nn
a n1 a n 2 a n1
依次替代 ai1 , ai2 , ···, ain ，可得
a11 a1n
ai1,1 ai1,n
b1 bn b1 Ai1 b2 Ai2 bn Ain .
ai1,1 ai1,1
an1 ann
类似地，用 b1 , b2 , ···, bn 替代 det(aij) 中旳 第 j 列，可得
或
ai1Aj1+ ai2Aj2 + ···+ ainAjn = 0 , i j ,
a1iA1j + a2iA2j + ···+ aniAnj = 0 , i j .
证明 把行列式 D = det( aij ) 按第 j 行展开，
有
a11 a1n
ai1 ain
a A j1 j1 a A j 2 j 2 a jn A jn
an1 ann
在上式中把 ajk 换成 aik ( k = 1, 2, ···, n )，可得
综合
定理 3 行列式等于它的任一行(列)的各元
素与其对应的代数余子式乘积之和,
或
D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj
大一线性代数第一章知识点
大一线性代数第一章知识点线性代数是现代数学的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射之间的关系。
在大一的线性代数课程中，第一章是介绍向量和矩阵的基本概念。
以下将对第一章的几个知识点进行论述。
一、向量的定义和性质在线性代数中，向量是一个有大小和方向的量。
它可以用一个有序的数组表示，每个数组元素代表向量在某个坐标轴上的分量。
向量有很多基本性质，包括加法、数乘、模长等。
其中，向量的加法和数乘是线性代数中最基本的运算。
向量的加法满足交换律和结合律，数乘满足结合律和分配律。
二、向量空间的定义和性质向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的公理。
在线性代数中，向量空间是向量运算的集合，它具有许多基本性质。
向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算，并且满足一些规律，如交换律、结合律和分配律等。
三、矩阵的定义和性质矩阵是线性代数中另一个重要的概念。
它由若干行和列组成的矩形阵列。
矩阵可以表示为一个矩阵元素的矩阵，每个矩阵元素代表矩阵在某个位置上的值。
矩阵有许多基本性质，包括加法、数乘、乘法等。
矩阵的加法和数乘满足一些基本规律，如交换律和结合律。
矩阵的乘法是线性代数中比较复杂的运算，它是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，满足一定的规律。
四、矩阵的行列式和逆矩阵行列式是一个与矩阵相关的数值，它可以用来判断一个矩阵的特征。
对于一个n阶矩阵，它的行列式是一个数值，代表了矩阵的一些性质。
行列式有一些基本性质，如反演性、行列式的性质和行列式的计算方法等。
逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
只有非奇异矩阵才有逆矩阵，奇异矩阵没有逆矩阵。
矩阵的逆矩阵具有一些基本性质，如逆矩阵的性质和逆矩阵的计算方法等。
五、线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它由一系列线性方程组成。
线性方程组的解是指使得方程组成立的未知数的值。
线性方程组的解法有很多种，包括高斯消元法、矩阵求逆法和向量法等。
高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法，它通过一系列消元和代入操作，将方程组转化为简化的阶梯形矩阵，进而求得方程组的解。
线性代数 第六版 第一章 行列式
2
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
(1)
(2)
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得
(a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21 ,
所以当 a11a22 a12a21 0 时，方程组有唯一解
(a12a21 a11a22 ) x2 (a13a21 a11a23 ) x3 a21b1 a11b2 a32
(a12a31 a11a32 ) x2
(a13a31 a11a33 ) x3
a31b1 a11b3
(a22 )
(a22a31 a21a32 ) x2 (a23a31 a21a33 ) x3 a31b2 a21b3 a12
3 4 2
解 按对角线法则，有 D 1 2(2) 21 (3) (4)(2) 4
12
1 2 4 例 计算三阶行列式 D 2 2 1
3 4 2
解 按对角线法则，有 D 1 2(2) 21 (3) (4)(2) 4
(4) 2(3) 2(2)(2) 114
14.
13
1 23 例3 4 0 5
解
3 D
2 3 (4) 7 0 ,
21
12 2
3 12
D1 1
1 14, D2 2
21, 1
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
7
(二) 三阶行列式
三元线性方程组
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2
线性代数教案_第一章_行列式
授课章节行列式§1.1 n阶行列式目的要求理解二阶与三阶行列式,了解全排列及其逆序数。
重点二阶与三阶行列式计算，行列式的性质，克拉默法则难点n阶行列式的计算，克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，是线性代数中的一个基本概念，它在线性代数、其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．§1 n阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的问题，行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．下面考察二元一次方程组（1.1）当时，由消元法知此方程组有唯一解，即（1.2）可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数以及常数项表示出来，这就是一般二元线性方程组的解公式。
但这个公式很不好记忆，应用时十分不方便。
由此可想而知，多元线性方程组的解公式肯定更为复杂。
因此，我们引进新的符号来表示上述解公式，这就是行列式的起源。
1、二阶行列式：由4个数及双竖线组成的符号称为二阶行列式。
注：(1)构成：二阶行列式含有两行，两列。
横排的数构成行，纵排的数构成列。
行列式中的数（）称为行列式的元素。