高一下学期数学第一次月考试卷附带答案
新课标人教版高一年级数学第二学期第一次月考检测含答案
新课标人教版高一年级数学第二学期第一次月考试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在△ABC 中，AB AC ＝1，A ＝30°，则△ABC 的面积为（ ）2．设数列{}n a 的前n 项和3S n n =，则4a 的值为( )A 15B 37C 27D 643．已知△ABC 中，2=a ，3=b ，︒=60B ，那么角A 等于A 、︒135B 、︒90C 、︒45D 、︒304．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（ ）A ．90° B．120° C ．135° D．150°5．在等差数列{}n a 中， 22a =，3104,a a =则＝( )A ．12B ．14C ．16D ．186．在ABC ∆中，已知A C B sin cos 2sin =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形7．在ABC ∆中，若21cos ,3==A a ，则ABC ∆的外接圆半径为（ ）A ．32B ．34C ．23D ．38．在ABC ∆中，ab c b a =-+222，则=C cos （ ）A ．21B ．22C ．21-D ．239．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 610．在ABC ∆中，00090,60,30===C B A ，那么三边之比a ∶b ∶c 等于（ ）A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．1∶3∶2D ．2∶3∶111．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若965=•a a ，则=+++1032313log log log a a a( )A ．12B ．10C ．8D ．2+log3512．已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项和为210，则此等差数列共有（ ）A 、8项B 、7项C 、6项D 、5项二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC 中，A ＝60˚，AC ＝4，BC ＝ABC 的面积等于__________．14．已知数列{}n a 的前n 项和132++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式 ．15．在△ABC 中，若10103cos =A ，C ＝150°，BC ＝1,则AB ＝______ 16．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若n a n 2sin π=，则2014S 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）一个等比数列{}n a 中，14232812a a a a +=+=，，求这个数列的通项公式.18.(12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cosBcosC －sinBsinC ＝12. (1)求A ；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．19.（12分）等差数列{}n a 满足145=a ，207=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 证明数列{}n b 是等比数列.20.（12分）有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。
陕西省西安市高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
高一数学试题说明：1．本试卷共4页，考试时间100分钟，满分100分. 2．请将所有答案都涂写在答题卡上，答在试卷上无效.第I 卷（选择题）一、单项选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在平行四边形中，为上任一点，则等于（） ABCD M ABAM DM DB -+ A.B.C.D.BC AB AC AD【答案】B 【解析】【分析】根据相反向量的意义及向量加法的三角形法则，化简可得答案． AM DM DB -+【详解】 AM DM DB -+ AM MD DB =++ AD DB AB =+=故选：．B 2. 对于任意的平面向量，下列说法正确的是（ ） ,,a b cA. 若且，则B. 若，且，则//a b //b c //a c a b a c ⋅=⋅0a ≠b c =C. 若且，则D.a b = b c = a c = ()()a b c a b c ⋅=⋅【答案】C 【解析】【分析】平面向量共线的传递性可得A 错误，由向量数量积的定义可判断B ，根据向量相等的概念可判断C ，根据数量积及共线向量的概念可判断D.【详解】对A ，若且，则当为零向量时，与不一定共线，即A 错误；//a b //b c b a c 对B ，若，则，a b a c ⋅=⋅ cos ,cos ,a b a b a c a c ⋅=⋅ 又，所以，0a ≠ cos ,cos ,b a b c a c = 因为与的夹角不一定相等，所以不一定成立，即B 错误；,b c a b c =对C ，若且，则，即C 正确；a b =b c =a c =对D ，因为与共线，与共线，()c a b ⋅ c ()a b c ⋅a 所以不一定成立，即D 错误.()()a b c a b c ⋅=⋅故选：C ．3. 内角的对边分别为，已知，则（ ） ABC A ,,A B C ,,a b c 222b c a bc +-=A =A.B.C.D.6π56π3π23π【答案】C 【解析】【分析】利用余弦定理求出，再求出即可.cos A A 【详解】,，，.222b c a bc +-= 2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===0A π<< 3A π∴=故选：C4. 已知边长为3的正，则（ ） 2ABC BD DC= A ，AB AD ⋅=A. 3B. 9C.D. 6152【答案】D 【解析】【分析】由数量积的运算律化简后求解【详解】由题意得，2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+故，AB AD ⋅= 1233AB AB AB AC ⋅+⋅221233cos60633=⨯+⨯⨯︒=故选：D5. 在中，已知，且，则是（ ）ABC A ||||AB AC AB AC +=-sin 2sin cos A B C =ABC A A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由两边平方得，由化简得，得||||AB AC AB AC +=- AB AC ⊥sin 2sin cos A B C =B C =为等腰直角三角形.ABC A 【详解】由得，所以，所以||||AB AC AB AC +=-()()22AB ACAB AC +=- 0AB AC ⋅= AB AC⊥，所以为直角三角形；ABC A 由得，sin 2sin cos A B C =()()sin πsin 2sin cos B C B C B C --=+=所以 ，所以， sin cos cos sin 2sin cos +=B C B C B C sin cos cos sin 0B C B C -=即，因为，所以，所以为等腰三角形； ()sin 0B C -=π<πB C --<0B C -=ABC A 综上，为等腰直角三角形. ABC A 故选：C6. 在中，已知，D 为BC 中点，则（ ） ABC A π2,3,3AB AC A ==∠=AD =A. 2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据边长和角先求出，根据D 为BC 中点，可知，两边同时平方，将AB AC ⋅u u u r u u u r()12AD AB AC =+ 数带入计算结果即可.【详解】解：因为，所以， π2,3,3AB AC A ==∠=1cos 2332AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⋅⋅= 因为D 为BC 中点，所以,两边同时平方可得：()12AD AB AC =+，(()2211192469444AD AB AB =+⋅⋅=++=所以AD = 故选:D7. 己知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为,a b12a b ⋅= - a c b c - π6a c - （ ）A.B. 1C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】设，，.从而得到等边三角形,进一步可得的轨迹是两段圆弧,画出OA a = OB b =OC c = OAB A C 示意图可知当AC 是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|，从而可解.A AB ||a c -【详解】向量,向量均为单位向量， 12a b⋅=,a b,.111cos ,2a b ∴⨯⨯<>= π,3a b ∴<>=如图，设.则是等边三角形. ,,OA a OB b OC c ===OAB A 向量满足与的夹角为, .c -a cbc -π6π6ACB ∠=∴因为点在外且为定值,C AB ACB ∠所以的轨迹是两段圆弧,是弦AB 所对的圆周角.C ACB ∠因此：当AC 是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|, A AB ||a c -在中,由正弦定理可得:ABC A . 2sin 30ABAC ︒==取得最大值2.|a c ∴- ∣故选：D【点睛】关键点睛：设，关键能够根据已知条件确定的轨迹是弦AB 所对的两段圆弧,从而确定当AC ,,OA a OB b OC c ===C 是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|，即可求解.A AB ||a c -8. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，若且，则ABC A (cos )a C C b c =+5a =的周长的最大值为（ ）ABC A A. 15 B. 16C. 17D. 18【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理，两角和公式及辅助角公式可得，然后根据余弦定理及基本不等式可得60A =︒，即得.10b c +≤【详解】由已知及正弦定理得，sin cos sin sin sin A C A C B C +=+∴， ()sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，因为， sin cos sin sin A C A C C =+sin 0C ≠，即，因为， cos 1A A -=()1sin 302A -︒=3030150A -︒<-︒<︒所以，从而，3030A -︒=︒60A =︒由余弦定理得，即，2222cos a b c bc A =+-()222253b c bc b c bc =+-=+-又，2332b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∴，即， ()()22134b c bc b c +-≥+()21254b c ≥+∴，当且仅当时等号成立，从而， 10b c +≤5b c ==15a b c ++≤∴的周长的最大值为15. ABC A 故选：A.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的符0分.）9. 在中，，则角B 的值可以是（ ） ABC A π10,6a c A ===A.B.C.D.π12π47π123π4【答案】AC 【解析】【分析】由已知结合正弦定理可求C ，然后结合三角形的内角和定理可求.【详解】∵， π10,6a c A ===由正弦定理可得 ，得 ， sin sin a c A C =10sin C =sin C =∵，∴， a c <A C <则或，由，则角或． π4C =3π4C =πB A C =--7π12=B π12B =故选：AC.10. 若向量满足，则（ ）,a b||||2,||a b a b ==+=A.B. 与的夹角为2a b ⋅=- a bπ3C. D. 在上的投影向量为(2)a a b ⊥-a b - b 12b r 【答案】BC 【解析】【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂直，求2a b ×=a b 解投影向量即可得结论.【详解】因为，所以||||2==r r a b a b +====则，故A 不正确；2a b ×=又，，所以，即与的夹角为，故B 正21cos ,222a b a b a b ⋅===⨯⋅0,πa b ≤≤ π,3a b = a b π3确；又，所以，故C 正确；2(2)24220a a b a a b ⋅-=-⋅=-⨯=(2)a a b ⊥- 又在上的投影向量为，故a b - b ()221cos ,2a b b b b a b b a b a b b a bb b ba b bb b-⋅⋅---⋅=-⋅=⋅=--⋅D 不正确. 故选：BC.11. 中，为上一点且满足，若为线段上一点，且（ABC A D AB 3AD DB =P CD AP AB AC λμ=+λ，为正实数），则下列结论正确的是（ ）μA.B.1344CD CA CB =+432λμ+=C. 的最大值为 D.的最小值为3 λμ112113λμ+【答案】AD 【解析】【分析】由题设结合三点共线可得，再应用基本不等式求、43AP AD AC λμ=+433λμ+=λμ的最值，利用向量加减、数乘的几何意义求的线性关系. 113λμ+,,CD CA CB【详解】由题设，可得，又三点共线， 43AP AD AC λμ=+,,D P C ∴，即，B 错误； 413λμ+=433λμ+=由，为正实数，，则，当且仅当时等号成立，故C 错λμ433λμ+=≥316λμ≤31,82λμ==误；，当且仅当时等号成1111111(3)(5)(5333333343λμλμλμλμμλ+=++=++≥+=32μλ=立，故D 正确；，又，14CD CB BD CB BA =+=+ BA BC CA =+ ∴，故A 正确.131()444CD CB BC CA CB CA =++=+故选：AD.12. 在中，若，下列结论中正确的有（ ） ABC A ::4:5:6a b c =A. B. 是钝角三角形sin :sin :sin 4:5:6A B C =ABC AC. 的最大内角是最小内角的2倍D. 若，则 ABC A 6c =ABC A 【答案】ACD 【解析】【分析】根据正弦定理，余弦定理逐一判断即可.【详解】根据正弦定理由，因此选项A 正确； ::4:5:6sin :sin :sin 4:5:6a b c A B C =⇒=设，所以为最大角，4,5,6a k b k c k ===C ，所以为锐角，因此是锐角三角形，2222221625361cos 022458a b c k k k C ab k k +-+-===>⋅⋅C ABC A 因此选项B 不正确；，显然为锐角，2222222536163cos 22564b c a k k k A bc k k +-+-===⋅⋅A，23cos 2cos 1cos cos 224C C C A =-⇒====因此有，因此选项C 正确； 22CA C A =⇒=由1cos sin 8C C =⇒===外接圆的半径为：D 正确，ABC A 112sin 2c C ⋅==故选：ACD【点睛】关键点睛：根据正弦定理、余弦定理是解题的关键.第II 卷（非选择题）三、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.）13. 已知向量，，当时，__________.(1,2)a =- (sin ,cos )b αα= a bA tan α=【答案】## 12-0.5-【解析】【分析】由向量平行可得，进而可求出结果.2sin cos -=αα【详解】由可得，，得，//a b 2sin cos -=αα1tan 2α=-故答案为：. 12-14. 向量的夹角为，且，则等于__________．a b ，π3||1,||2a b == ||a b - 【解析】【分析】由向量的数量积的定义可得，再由向量的平方即为模的平方，计算化简即可得到所求·1a b =值．【详解】向量，的夹角是，，，a bπ3||1a = ||2b = 则， π1||||cos 12132a b a b ==⨯⨯=AA 则22||()a b a b -=-，22212143a a b b =-+=-⨯+= A即有||a b -=15. 已知中，，若满足上述条件的三角形有两个，则的范围是__________． ABC A π,23A AB ==BC【答案】)2【解析】【分析】由已知可得,从而得解. sin A AB BC AB ⋅<<【详解】解：如图所示，作，交于点为，垂足为，若要满足题π3A ∠=,BC AB '=AD 'C BC AC '''⊥C ''意，则有， sin BC A AB BC AB BC '''=⋅<<=易知∴的范围是.2,BC BC '''==BC )2故答案为：)216. 在中，，，，则的面积为__________．ABC A 1AB =3BC =1AB BC ⋅=-ABC A【解析】【分析】根据平面向量的夹角公式可求得，从而可得到，再根据三角形的面积公式即可求解．cos B sin B 【详解】依题意可得，解得，()()=cos π=13cos =1AB BC AB BC B B ⋅⋅⋅-⨯⨯-- 1cos =3B又，所以， ()0,πB ∈sin B所以的面积为 ABC A 11sin 1322ABC S AB BC B =⋅⋅⋅=⨯⨯=A．17. 如图，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点B 和C ，在B 点处观测到C 的方位角为，B155︒点和C 点相距25千米．某日两个观测站都观测到了A 处出现火情，在B 点处观测到A 的方位角为125︒．在C 点处，观测到A 的方位角为，则观测站C 与火情A 之间的距离为________．80︒【解析】【分析】由正弦定理求解即可【详解】在中，，，ABC A 15512530ABC ∠=-=︒︒︒180********BCA ∠=︒-︒+︒=︒，，1803010545BAC ∠=︒-︒-︒=︒25BC =由正弦定理可得，即，sin sin AC BCABC BAC =∠∠25sin 30sin 45AC =︒︒所以， 25sin 30sin 45AC ⨯︒==︒所以观测站与火情之间的距离为千米 C A故答案为18. 如图，在平面四边形中，，，，若点ABCD AB BC ⊥AD CD ⊥60BCD ∠=︒CB CD ==为边上的动点，则的最小值为_______.M BC AM DM ⋅【答案】 214【解析】【分析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出， ，B BA x BC y A D C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【详解】如图所示：以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，B BA x BC y 过点作轴，过点作轴，D DP x ⊥D DQ y ⊥∵，，，AB BC ⊥AD CD ⊥120BAD ∠=︒CB CD ==∴，，，，()00B ，()20A ，(0,C (D 设，则，，()0,M a ()2,AM a =- (3,DM a =-故，故答案为． (22121644AM DM a a a ⎛⋅=+=+≥ ⎝ 214【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．四、解答题：（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. 已知(2,4),(3,1)a b ==- （1）设的夹角为，求的值；,a b θcos θ（2）若向量与互相垂直，求k 的值．k + a b - a kb 【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据平面向量的夹角公式即可解出；（2）根据垂直的数量积表示及模长即可解出．【小问1详解】 ，()23412a b ⋅=⨯-+⨯=- ，a ==b ==因为，所以cos a b a b θ⋅=⋅⋅ cos a b a b θ⋅===⋅ 【小问2详解】因为向量与互相垂直，所以， a kb +r r a kb - ()()2220a kb a kb a k b +⋅-=-= 所以，即，解得：.222a k b= 22010k =k =20. 已知在△ABC 中，D 为边BC 上一点，，，． 3CD =23AC AD ==1cos 3CAD ∠=（1）求AD 的长；（2）求sinB ．【答案】（1）2；（2【解析】 【分析】(1)在中，利用余弦定理建立方程求解即可；ACD A (2)利用(1)的结论求出，再在中由正弦定理计算可求．cos C ABC A sin B 【小问1详解】依题意，在中，由余弦定理得，ACD A 2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠即，解得； 2223313()2223AD AD AD AD =+-⋅⋅⋅2AD =【小问2详解】在中，由(1)知，由余弦定理可得， ACD A 3AC =2222223327cos 22339AC CD AD C AC CD +-+-===⋅⨯⨯则有，sin C ==在中，由正弦定理得． ABC A sin sin AC B C AB ===． sin B ∴=21. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________．在ABC A①；tan tan tan tan A C A C +=②； 2ABCS BC =⋅A③. πcos cos 2b C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个填在横线上，补充完整上面的问题，并进行解答．（1）求角B 的大小；（2）若角B 的内角平分线交AC 于D ，且，求的最小值．1BD =4a c +【答案】（1） 2π3B =（2）9【解析】【分析】（1）若选①：根据两角和差正切公式化简已知等式可求得，由()tan A C +()tan tan B A C =-+可求得，进而得到；若选②：根据三角形面积公式和平面向量数量积定义可构造方程求得tan B B tan B ，进而得到；若选③：利用正弦定理边化角，结合诱导公式可求得，进而得到；B tan B B （2）根据，利用三角形面积公式化简可得，由ABC ABD BCD S S S =+△△△111a c+=，利用基本不等式可求得最小值. ()1144a c a c a c ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【小问1详解】若选条件①，由得：， tan tan tan A C A C +-=)tan tan 1tan tan A C A C +=-， tan tan 1tan tan A C A C+∴=-()tan A C +=则，. ()()tan tan πtan B A C A C ⎡⎤=-+=-+=⎣⎦()0,πB ∈2π3B ∴=若选条件②，由得：，2ABC S BC =⋅△ sin cos ac B B =，则，. sin ∴=B B tan B =()0,πB ∈2π3B ∴=若选条件③，，则， πcos cos 2b C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos b C B =由正弦定理得：，sin sin cos B C C B =，，，则，()0,πC ∈ sin 0C ∴≠sin ∴=B B tan B =又，. ()0,πB ∈2π3B ∴=【小问2详解】，， ABC ABD BCD S S S =+A A A 12π1π1πsinsin sin 232323ac c BD a BD ∴=⋅+⋅，，， =+a c ac ∴+=111a c ac a c +∴=+=（当且仅当，即时取等()11444559a c a c a c a c c a ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭4a c c a =23a c ==号），的最小值为.4a c ∴+922. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知． ABC A 2cos (cos cos )A c B b C a +=（1）求A ；（2）若为锐角三角形，且的取值范围． ABC A a =223b c bc ++【答案】（1）π3（2）(]11,15【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再结合和差公式整理即可得的值，进而即可求解； cos A A （2）结合（1），先根据正弦定理得，，再根据余弦定理得，从而2sin b B =2sin c C =223b c bc +=+可得到，结合题意可得到的取值范围，从而确定的取值范22π378sin 26b c bc B ⎛⎫++=+- ⎪⎝⎭B π26B -围，再结合正弦型函数的性质即可求解．【小问1详解】根据题意，由正弦定理得()2cos (sin cos sin cos )2cos sin 2cos sin sin A C B B C A B C A A A+=+==，又在中，有，所以，ABC A ()0,πA ∈sin 0A ≠所以，所以． 1cos 2A =π3A =【小问2详解】结合（1）可得，， sin A =2ππ3B C A +=-=由，得，， a =2sin sin sin a b c A B C ===2sin b B =2sin c C =根据余弦定理有，得，2222cos a b c bc A =+-223b c bc +=+所以 222π334316sin sin 316sin sin 3b c bc bc B C B B ⎛⎫++=+=+=+- ⎪⎝⎭， 2π3cos 8sin 724cos 278sin 26B B B B B B ⎛⎫=++=+-=+- ⎪⎝⎭又为锐角三角形，则有，，得， ABC A π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2ππ0,32B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，所以， ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦故． (]22π378sin 211,156b c bc B ⎛⎫++=+-∈ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：根据正弦定理，余弦定理将求的范围转化为求正弦型函数223b c bc ++的值域，结合题意得到的取值范围，再结合正弦型函数的性质是解答小问()π78sin 26f B B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B （2）的关键．。
安徽省淮北师范大学附属实验中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题(含答案解析)
安徽省淮北师范大学附属实验中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若||a b|=|，则a b = ；③若AB DC = ，则四边形ABCD 是平行四边形；④若m n = ，n k = ，则m k = ；⑤若//a b ，//b c，则//a c ；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是A ．2B ．3C ．4D ．52．在三角形ABC ∆中，若点P 满足1231,3344AP AB AC AQ AB AC =+=+，则APQ ∆与ABC ∆的面积之比为（）A ．1:3B ．5:12C ．3:4D ．9:163．已知向量a ，b 满足1a = ，b = ，且a 与b的夹角为6π，则()()2a b a b +⋅-= （）A ．12B ．32-C ．12-D ．324．若向量i ，j 为互相垂直的单位向量，2a j i =- ，m b j i =+ ，且a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(－∞，－2)∪12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．222,,33⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．设,a b均为单位向量,则“a 与b 的夹角为23π”是“||a b += 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知向量()1,1a = ，()1,b m = ，其中m 为实数，O 为坐标原点，当两向量夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭变动时，m 的取值范围是A ．()0,1B ．3⎛ ⎝C ．(3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭U D ．(A ．M ，N ，P 三点共线B ．M ，N ，Q 三点共线C ．M ，P ，Q 三点共线D ．N ，P ，Q 三点共线8．下面是如皋定慧寺观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线DB 前进51米达到E 点，此时看点C 点的仰角为45°，若23BC AC =，则该观音塔的高AB 约为（） 1.73≈）A ．8米B ．9米C ．40米D ．45米二、多选题9．下列运算正确的是（）A ．()326a a-⋅=-B ．()()223a b b a a+--=C ．()()220a b b a +-+= D ．()2362a b a b -=-10．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是（）A ．2GH OG =B ．0GA GB GC ++=C ．2AH OD=D ．ABG BCG ACGS S S == 11．下列说法正确的有（）A ．若//a b r r ，//b c，则//a cB ．若a b =，b c = ，则a c= C ．若//a b r r，则a 与b 的方向相同或相反D ．若AB 、BC共线，则A 、B 、C 三点共线12．已知ABC 是正三角形，则在下列结论中，正确的为（）A ．AB BC BC CA +=+ B ．AC CB BA BC +=+C ．AB AC CA CB +=+D ．AB BC AC CB BA CA ++=++三、双空题13．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若320OA OB OC -+= ，则AB =______BC ，AB BC= ______．四、填空题14．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a＋(2－m ) b 共线，则实数m 的值为___．15．如图，在四边形ABCD 中，DA DB DC ==，且DA DC DB +=，则ABC ∠=______．16．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，2AB =，则BC DC += ______．五、解答题17．已知111,,()()42a ab a b a b =⋅=+⋅-= ．(1)求||b的值；(2)求向量a b - 与a b +夹角的余弦值．18．在直角梯形ABCD 中，90A ∠=︒，30B ∠=︒，AB =2BC =，点E 在线段CD上.若AE AD AB λ=+，求实数λ的取值范围.19．如图所示，A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，在山顶P 处测得三点的俯角分别为α，β，γ.计划沿直线AC 开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算隧道DE 的长度.20．已知OAB 中，点B 是点C 关于点A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近B 的三等分点，设,AB a AO b ==．(1)用向量a 与b 表示向量OC ，CD；(2)若45OE OA =，求证：C ，D ，E 三点共线．21．如图，ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设,BA a BC c ==.（1）用a ，c 表示向量AE；（2）若点F 在AC 上，且1455BF a c =+ ，求:AF CF .22．设1e ，2e 是不共线的非零向量，且122a e e =- ，123b e e =+ ．若1243e e a ub λ-=+，求λ，u 的值．参考答案：1．C【详解】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若a b = ，方向不确定，则a 、b不一定相同，∴②错误；对于③，若AB DC = ，AB 、DC不一定相等，∴四边形ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m n = ，n k =，则m k = ，④正确；对于⑤，若//a b ，//b c，当0b = 时，//a c 不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个，故选C.2．B【分析】由题目条件所给的向量等式，结合向量的线性运算推断P 、Q 两点所在位置，比较两个三角形的面积关系【详解】因为1233AP AB AC =+ ，所以12()()33AP AB AC AP-=-，即2BP PC = ，得点P 为线段BC 上靠近C 点的三等分点，又因为3144AQ AB AC =+ ，所以31()()44AQ AB AC AQ -=-，即3BQ QC = ，得点Q 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，所以512PQ BC =，所以APQ ∆与ABC ∆的面积之比为512APQ ABCS PQ S BC == ，选择B 【点睛】平面向量的线性运算要注意判断向量是同起点还是收尾相连的关系再使用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算，借助向量的数乘运算可以判断向量共线，及向量模长的关系3．A【分析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】因为1a =，b = ，且a 与b的夹角为6π，所以c 362os b b a a π=⋅=，因此()()2223122322b b a b a a b a +⋅-=+-=⋅+-= .故选：A.4．B【分析】由a 与b夹角为锐角，可得0a b ⋅ ＞且b a ，不共线，再代入向量解不等式即可得到答案．【详解】由题意可得：∵a 与b夹角为锐角，∴⋅=a b （2i j - ）()m i j ⋅+= 1-2m ＞0，且b a ，不共线∴12m ＜当a b时，可得m ＝﹣2所以实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，12）．故选B ．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积表示解决两个向量的夹角问题，当a 与b的夹角为锐角可得，0a b ⋅＞且b a ，不共线，但是学生容易忽略两个向量共线并且同向的情况.5．D【解析】按照向量的定义、充分条件和必要条件的定义，分别从充分性和必要性入手去判断即可.【详解】因为,a b 均为单位向量,且a 与b 的夹角为23π，所以||1a b +=== ,所以由“a 与b 的夹角为23π”不能推出“||a b +=若||a b +=则||a b += ==解得1cos ,2a b 〈〉= ,即a 与b 的夹角为23π,所以由“||a b += 不能推出“a 与b 的夹角为23π”.因此,“a 与b 的夹角为23π”是“||a b += 的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查数量积的应用，考查充分条件和必要条件的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.6．C【分析】设向量a 、b的起点均为O ，终点分别为A 、B ，可得出OA 与x 轴正方向的夹角为4π，设向量OB 与x 轴正方向的夹角为θ，由题意可得出63ππθ<<且4πθ≠，由tan m θ=可得出实数m 的取值范围.【详解】设向量a 、b的起点均为O ，终点分别为A 、B ，可得出OA 与x 轴正方向的夹角为4π，设向量OB 与x 轴正方向的夹角为θ，由于0,12AOB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则,464AOB πππθ⎛⎫⎛⎫=-∠∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或,443AOB πππθ⎛⎫⎛⎫=+∠∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即B 在1B 与2B （不与A 重合）之间，(tan ,13m θ⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭U ，因此，实数m 的取值范围是(3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭U ，故选：C.【点睛】本题考查利用向量夹角的取值范围求参数，解题时充分利用数形结合法，找到临界位置进行分析，可简化运算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．B【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可．【详解】28NP a b =-+，3()PQ a b =- ，283()5NQ NP PQ a b a b a b ∴=+=-++-=+ ，5MN a b =+ ，MN NQ ∴= ，由平面向量共线定理可知，MN 与NQ为共线向量，又MN 与NQ有公共点N ，M ∴，N ，Q 三点共线，故选：B ．8．D【分析】设AC x =，根据已知条件得32BC BE x ==，52AB x =，根据ADB ∠的正切表示出BD ，再表示出DE ，由51DE =列出方程，解出x 即可得出AB 的长．【详解】解：设AC x =，根据条件可得32BC BE x ==，52AB AC BC x =+=，tan AB ADB BD ∠==，BD ∴=，3()5122DE BD BE x ∴=-=-=，18.0522x ∴=，5452AB x ∴=≈米，故选：D ．9．ABD【分析】根据向量的加减和数乘运算，即可得出结论.【详解】由题意，A 项，()326a a -⋅=- ，A 正确.B 项，()()222223a b b a a b b a a +--=+-+=，B 正确.C 项，()()22220a b b a a b b a +-+=+--=，C 错误.D 项，()2362a b a b -=- ，D 正确.故选：ABD.10．ABCD【分析】由重心的性质以及向量的加法运算法则判断选项A ；结合三角形相似及重心性质判断选项A 与C ；利用重心性质及高的比例判断选项D.【详解】在ABC 中，O ，H ，G分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示．对于B 选项，根据三角形的重心性质由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且2GA GD =-，又D 为BC 的中点，所以2GB GC GD +=，所以20GA GB GC GD GD ++=-+= ，故选项B 正确；对于A 与C 选项，因为O 为ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD BC ⊥，所以AH OD ∥，∴AHG DOG ∽，∴2GH AH AGOG OD DG===，∴2GH OG =，2AH OD =，故选项A ，C 正确；对于D ，过点G 作GE BC ⊥，垂足为E ，∴DEG DNA △∽△，则13GE DG AN DA ==，∴BGC 的面积为11112233BGC ABC S BC GE BC AN S =⨯⨯=⨯⨯⨯=△△；同理，13AGC AGB ABC S S S ==△△△，选项D 正确.故选：ABCD 11．BD【分析】取0b =可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若0b = ，a 、c 均为非零向量，则//a b r r ，//b c成立，但//a c 不一定成立，A 错；对于B 选项，若a b =，b c = ，则a c = ，B 对；对于C 选项，若0b = ，0a ≠r r，则b 的方向任意，C 错；对于D 选项，若AB 、BC共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.12．ACD【分析】利用向量的数量积的运算律求解即可.【详解】AB BC AC += ，BC CA BA +=，而AC BA = ，故A 正确；设正三角形的边长为2a ，所以2BA BC += ，2AC CB AB a +==，所以AC CB BA BC +≠+，故B 不正确；2A B AC=+，2C A CB=+,所以AB AC CA CB+=+，故C正确；24AB BC AC AC a++==，24CB BA CA CA a++==，所以AB BC AC CB BA CA++=++，故D正确．故选:ACD.13．22【分析】先化简为()2OA OB OB OC-=-，再利用向量的减法法则化简即得解.【详解】∵320OA OB OC-+=，∴()2OA OB OB OC-=-，∴2BA CB=，∴2AB BC=，∴2ABBC=．故答案为：2，2.14．－1或3【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】由题意知m a－3b＝λ[a＋(2－m) b]，∴()32mmλλ=⎧⎨-=-⎩解得m＝－1或m＝3.故答案为－1或3.【点睛】本题考查了向量共线定理，属于基础题．15．120︒【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.【详解】因为DA DC DB+=，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，又因为DA DB DC==，所以四边形ABCD是菱形，且60DAB∠=︒，所以120ABC∠=︒．故答案为：120︒16．【分析】根据向量加法运算结合菱形的性质及角度，求出模长即可【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O ,BC DC AD AB AC +=+=．因为120ABC ∠=︒，所以60BAD ∠=︒，所以ABD △为等边三角形．又AC BD ⊥，2AB =，所以1OB =．在Rt AOB △中，AO = ，所以2BC DC AC AO +=== ．故答案为:17．(1)2；4.【分析】（1）根据11,()()2a ab a b =+⋅-= 即可求b ；（2）设向量a b + 与a b - 大角为θ,()()cos a b a b a b a b θ+⋅-=+⨯- .【详解】（1）()()2212a b a b a b +⋅-=-= ，1a = ，21||2b ∴=，b ∴= （2）22211212242a b a a b b +=+⋅+=+⨯+=,a b ∴+= 22211212142a b a a b b -=-⋅+=-⨯+= ,1a b ∴-= ，设向量a b + 与a b - 大角为θ,()()12cos a b a b a b a b θ+⋅-∴=+⨯- 18．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据梯形的几何性质和向量的线性运算可得DE ABλ= ，可求得实数λ的取值范围.【详解】由图分析知cos30DC AB BC =-︒∵AE AD AB λ=+ ,∴AE AD AB λ-= ，即DE AB λ= ，∴DE ABλ=.又0DE ≤≤，AB =uu u r 102λ≤≤.综上，实数λ的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查向量的线性运算，关键在于运用梯形的几何性质得出向量间的线性关系，属于基础题.19．隧道DE 的长度为9【解析】首先利用同角三角函数的关系求出3sin 5γ=，再利用两角差的公式求出()sin 60γ︒-，在△PBC 中，利用正弦定理求出PB ，在△PAB 中，求出AB ，由DE =AB -AD -EB 即可求解.【详解】解：由4cos 5γ=，γ为锐角，可得3sin 5γ=，则()sin 60sin 60cos cos60sin γγγ︒︒︒-=-=.在△PBC 中，60BPC γ︒∠=-，PCB γ∠=，12BC =-由正弦定理可得，()3(12sin 5sin 60BC PB γγ︒-⨯==-在△PAB 中，∠PAB =45°，∠APB =75°，PB =由正弦定理可得，sin759sin452PBAB︒︒⋅==+所以DE=AB-AD-EB=9，所以隧道DE的长度为9.【点睛】本题考查了正弦定理求不可直接测量的两点间的距离，属于基础题.20．(1)OC a b=--uuu r r r，5133CD a b=+；(2)证明见解析.【分析】(1)根据向量的加法，减法，数乘运算的几何意义求解；(2)求证CE，CD共线即可.【详解】（1）因为点B是点C关于点A的对称点，所以AC AB=-，又AB a=，所以AC a=-，因为OC OA AC=+，OO A bA=-=-，所以OC a b=--uuu r r r，因为点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，所以13BD BO=，由已知22CB AB a==，BA AB a=-=-，所以11151()2()33333 CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b=+=+=++=+-+=+.；（2）∵413()555CE OE OC b a b a b CD=-=-++=+=∴CE与CD平行，又∵CE与CD有公共点C，∴C，D，E三点共线.21．（1）1344AE c a=-；（2）:4:1AF CF=.【分析】（1）由于点D是AC的中点，点E是BD的中点，所以12AD AC=，1()2AE AB AD=+，而AC BC BA c a=-=-，从而可求得结果，（2）设AF ACλ=，从而可得BF BA AF BA ACλ=+=+，再用a，c表示，然后结合1455BF a c=+，可求得λ的值，从而可求得:AF CF的值【详解】（1）因为AC BC BA c a=-=-，点D是AC的中点，所以11()22AD AC c a==-，因为点E是BD的中点，所以1111113()()2222444AE AB AD AB AD a c a c a=+=+=-+-=-.（2）设AF AC λ= ，所以()(1)BF BA AF BA AC a c a a c λλλλ=+=+=+-=-+ .又1455BF a c =+ ，所以4=5λ，所以45AF AC = ，所以:4:1AF CF =.22．31u λ=⎧⎨=⎩【分析】根据向量线性运算化简已知条件，由此列方程组来求得λ，u 的值.【详解】由1243e e a ub λ-=+ ，得()()()()12121212432323e e e e u e e u e u e λλλ-=-++=++-+ ，得4233u u λλ+=⎧⎨-+=-⎩，解得31u λ=⎧⎨=⎩．。
四川省成都市2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题含答案
武侯高中高2023级2023——2024下期第一次月考试题数学（答案在最后）学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、单选题1.如图，四边形ABCD 中，AB DC =，则必有（）A.AD CB= B.DO OB= C.AC DB= D.OA OC= 【答案】B 【解析】【分析】根据AB DC =，得出四边形ABCD 是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．【详解】四边形ABCD 中，AB DC =，则//AB DC 且AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形；则有AD CB =-，故A 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是DB 中点，则DO OB =，B 正确；由图可知AC DB≠，C 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是AC 中点，OA OC =-，D 错误．故选：B ．2.下列说法正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥，则a c∥ B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.两个单位向量的长度相等D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】C 【解析】【分析】A.由0b =判断；B.由平面向量的定义判断；C.由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断.【详解】A.当0b = 时，满足a b ∥ ，b c ∥，而,a c 不一定平行，故错误；B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；C.由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；故选：C3.若a b ，是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）A.,a b b a --B.21,2a b a b++ C.23,64b a a b-- D.,a b a b+- 【答案】D 【解析】【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()b a a b -=-- ，所以a b b a -- ，共线，不能作为基底.B 选项，1222a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ，所以12,2a b a b ++ 共线，不能作为基底.C 选项，()64223a b b a -=-- ，所以64,23a b b a --共线，不能作为基底.D 选项，易知a b a b +-，不共线，可以作为基底.故选：D4.将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A.12x π=B.6x π=-C.3x π=-D.12x π=-【答案】B 【解析】【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到2cos(2)13y x π=++，再整体代入即可求得对称轴方程.【详解】将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2cos 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再向左平移3π个单位，得到2cos[2()]12cos(2)1333y x x πππ=+-+=++，令23x k π+=π，Z k ∈，则26k x ππ=-，Z k ∈.显然，=0k 时，对称轴方程为6x π=-，其他选项不符合.故选：B5.设a ，b 是非零向量，“a a bb =”是“a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【详解】由a a b b =表示单位向量相等，则,a b 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a b =，由a b =表示,a b 同向且模相等，则a a b b = ，所以“a a bb =”是“a b =”的必要而不充分条件.故选：B6.已知向量,a b ，且2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则下列一定共线的三点是（）A.,,A B CB.,,B C DC.,,A B DD.,,A C D【答案】C 【解析】【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．【详解】2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则不存在任何R λ∈，使得AB BC λ=，所以,,A B C 不共线，A 选项错误；则不存在任何R μ∈，使得BC CD μ=，所以,,B C D 不共线，B 选项错误；由向量的加法原理知242BD BC CD a b AB =+=+=．则有//BD AB ，又BD 与AB有公共点B ，所以,,A B D 三点共线，C 选项正确；44AB BC a b AC ==-++，则不存在任何R t ∈，使得AC tCD = ，所以,,A C D 不共线，D 选项错误．故选：C ．7.已知sin α＝5，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（）A.4π B.34π C.3π D.23π【答案】B 【解析】【分析】先求出tan α12=，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.【详解】sin α，且α为锐角，则cos α5=，tan αsin 1cos 2αα==.所以tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-＝13211(3)2--⨯-＝－1.又α＋β∈3(,22ππ，故α＋β＝34π.故选：B8.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m .在筒车转动的一圈内，盛水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为（）A.9秒B.12秒C.15秒D.20秒【答案】D 【解析】【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.【详解】假设,,A O B 所在直线垂直于水面，且4AB =米，如下示意图，由已知可得12,4OA OB OP OP ====，所以1111cos 602OB POB POB OP ∠==⇒∠=︒，处在劣弧 11PP 时高度不低于4米，转动的角速度为360660︒=︒/每秒，所以水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为120206=秒，故选：D.二、多选题9.已知函数()cos f x x x =+，则下列判断正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称 B.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π2π,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()1,1f x ∈-【答案】BC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的值域可判断D 选项.【详解】因为()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A选项，ππ2sin 63f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象不关于直线π6x =对称，A 错；对于B 选项，π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，B 对；对于C 选项，当2π03x -≤≤时，πππ266x -≤+≤，则函数()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；对于D 选项，当π2π33x -<<时，ππ5π666x -<+<，则1πsin 126x ⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，所以，()(]π2sin 1,26f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，D 错.故选：BC.10.下图是函数()sin()(0π)f x A x ωϕϕ=+<<的部分图像，则（）A.2πT =B.π3ϕ=C.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）【答案】BCD 【解析】【分析】由图象可得πT =，由2πT ω=可求出ω，再将π12⎛⎝代入可求出ϕ可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ，D .【详解】根据图像象得35ππ3ππ246124T T =-=⇒=⇒=ω，故A 错误；π12x =时，πππ22π2π1223k k ⨯+=+⇒=+ϕϕ，0πϕ<< ，π3ϕ∴=，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 正确；因为πππ20663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 正确；令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈．故D 正确．故选：BCD .11.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为πcos 63y A x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（其中0A >，0ω>），其中y （单位：m ）为港口水深，x （单位：h ）为时间()024x ≤≤，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h ，且中午12点的水深为8m ，为保证安全，当水深超过8m 时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（）A.π6ω=B.最高水位为12mC.该港口从上午8点开始首次限制船只出入D.一天内限制船只出入的时长为4h 【答案】AC 【解析】【分析】根据题意可求得6π=ω，可知A 正确；由12点时的水位为8m 代入计算可得4A =，即最高水位为10m ，B 选项错误；易知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，即可判断C 正确，D 错误.【详解】对于A ，依题意π62T ω==，所以6π=ω，故A 正确；对于B ，当12x =时，ππcos 126863y A ⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭，解得4A =，所以最高水位为10m ，故B 错误；对于CD ，由上可知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，令8y ≥，解得812x ≤≤或者2024x ≤≤，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，故C 正确，D 错误.故选：AC.三、填空题12.设e为单位向量，2a =r ，当,a e 的夹角为π3时，a 在e 上的投影向量为______.【答案】e【解析】【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.【详解】根据题意可得向量a 在e 上的投影向量为22π21cos 31a e e a e e e e ee e⨯⨯⋅⋅⋅=== .故答案为：e13.已知向量a 、b 满足5a = ，4b = ，a 与b 的夹角为120，若()()2ka b a b -⊥+ ，则k =________.【答案】45##0.8【解析】【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.【详解】因为5a = ，4b = ，a 与b的夹角为120 ，所以1cos12054102a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.因为()2ka b -⊥()a b +r r ，所以()()()()222222521610215120ka b a b kab k a b k k k -⋅+=-+-⋅=-⨯--=-=，解得45k =.故答案为：45.14.已知1tan 3x =，则1sin 2cos 2x x +=______【答案】2【解析】【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.【详解】2222222211121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 332cos 2cos sin 1tan 113x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⨯ ⎪+++++⎝⎭====--⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：2四、解答题15.已知1a b a == ，与b 的夹角为45︒．（1）求()a b a +⋅的值；（2）求2a b -的值【答案】（1）2（2【解析】【分析】（1）先求2,a a b ⋅ ，再根据运算法则展开计算即可；（2）先计算2b，再平方，进而开方即可.【小问1详解】因为22||1,||||cos 451122a a a b a b ==⋅=︒=⨯=所以2()112a b a a a b ++⋅=⋅=+=【小问2详解】因为22||2b b ==，所以2222|2|(2)444242a b a b a b a b -=-=+⋅=+--=所以|2|a b -=16.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭且()85f θ=-，求cos 2θ的值.【答案】（1）π（2）410-【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；（2）将θ代入可求出πsin 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合π26+θ的范围，求出πcos 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ππ2266θθ=+-，由两角差的余弦公式求出结果.【小问1详解】()2π22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==【小问2详解】()π82sin 265f θθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以π4sin 265θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1π25π3663π,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，所以π3cos 265θ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3414525210-⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭.17.如图，在ABC 中，6AB =，60ABC ∠=︒，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且满足2AD DB = ，3CE EA =，F 为BC 中点.（1）若DE AB AC λμ=+，求实数λ，μ的值；（2）若8AF DE ⋅=-，求边BC 的长.【答案】（1）23λ=-，14μ=.（2）8【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.（2）利用转化法化简8AF DE ⋅=-，从而求得BC 的长.【小问1详解】∵2AD DB = ，3CE EA= ，∴23AD AB = ，14AE AC = ∴1243DE AE AD AC AB =-=- ，∴23λ=-，14μ=.【小问2详解】12AF BF BA BC BA =-=- ，()1212154343412DE AC AB BC BA BA BC BA =-=-+=+ ，22115115241282412AF DE BC BA BC BA BC BC BA BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设BC a = ，∵6AB = ，60ABC ∠=︒，221115668824212AF DE a a ⋅=-⨯⨯-⨯=- ，即2560a a --=，解得7a =-（舍）或8a =，∴BC 长为8.18.设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =cot x y θ=，sec r xθ=，csc r y θ=．（Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()sin cos tan cot sec +csc f θθθθθθθ=++++的最小值．【答案】（Ⅰ）定值为3；（Ⅱ）min ()1f θ=-；【解析】【分析】（Ⅰ）由题可知，分别将6个三角函数分别代入，进行简单的化简，即可得到定值3；(Ⅱ)将()f x 中的未知量均用sin ,cos θθ来表示，得到1sin cos ()sin cos sin cos sin cos g θθθθθθθθθ+=+++，运用换元法设sin cos t θθ+=，化简成2()111g t t θ=-++-，再利用对勾函数的性质即可得到最值．【详解】解：（Ⅰ）222222222222222222sin cos tan cot sec +csc =y x y x r r r x y r y xθθθθθθ+--++--++2222222221113x y r y r x r x y+--⇒++=++=；（Ⅱ）由条件，1cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ=令()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11sin cos +cos sin cos sin θθθθθθθθ=++++1sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+++，令sin cos t θθ+=，则sin cos =2sin()4t πθθθ=++[2,2]∈-，1t ≠±，且21sin cos 2t θθ-=，从而2222()11t g y t t t θ==++--22(1)1t t t +=+-221111t t t t =+=-++--，令1u t =-，则21y u u =++，[21,21]u ∈---，且0u ≠，2u ≠-．所以，(,122][322,)y ∈-∞-⋃++∞．从而()221f y θ=≥-，即min ()221f θ=-．19.已知函数()2000ππ2sin sin 2sin 266f x x x x C ωωω⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（R C ∈）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为π2（1）求函数()f x 的解析式，并求其对称轴方程；（2）将()f t 向右平移π6个单位，再将横坐标伸长为原来的24π倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到()g t ，则可以用函数()sin()H g t A t B ωϕ==++模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H 随时间t （单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a ，b 两个座舱里，且a ，b 中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h 关于时间t 的函数解析式，并求最大值．【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ32k x =+，Z k ∈（2）ππ()50sin 126f x t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，50【解析】【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得()0π2sin 216f x x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再结合最值及周期即可得解析式；（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则ππ50sin 126h H H ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭甲乙，再求最值即可.【小问1详解】()00001cos 2π22sin 2cos 2cos 2126x f x x C x x C ωωωω-=⨯++=-++0π2sin 216x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以2121C C ++=⇒=-，因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以半周期为ππ22T T =⇒=，故002ππ12=⇒=ωω，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令ππππ2π6232k x k x -=+⇒=+，Z k ∈【小问2详解】()f t 向右平移π6得到π2sin 22y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将横坐标伸长为原来的24π倍，得到ππ2sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将纵坐标扩大为原来的25倍，得到ππ50sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将其向上平移60个单位，得到ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了2ππ4243⨯=，令ππ50sin 60122H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭甲，则π5π50sin 60126H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭乙，则πππ5π50sin sin 122126h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙π1πcos 12212t t =-ππ50sin 126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12ω=，24T =，024t ≤≤，故πππ11π61266t -≤-≤，当πππ1262t -=或3π82t ⇒=或20时，max 50h =。
天津市2021年宁河区高一下学期第一次月考数学试卷
1、若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A与B的交集是？A、{1}B、{4}C、{2,3}D、{1,2,3,4}（答案：C。
解析：交集是指两个集合中都有的元素组成的集合。
A与B共有的元素是2和3，所以A∩B={2,3}。
）2、下列哪个数不是自然数？A、0B、1C、-1D、2（答案：C。
解析：自然数是从0开始的正整数序列，包括0和所有正整数。
-1不是自然数。
）3、在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为？A、45°B、60°C、75°D、90°（答案：C。
解析：三角形内角和为180°，已知∠A=60°，∠B=45°，则∠C=180°-60°-45°=75°。
）4、若a>b，c<0，则下列不等式中成立的是？A、a+c>b+cB、a-c>b-cC、ac>bcD、a/c>b/c（答案：B。
解析：对于不等式，当两边同时加上或减去同一个数时，不等号方向不变；当两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变。
根据这些性质，只有B选项a-c>b-c成立。
）5、下列哪个选项不是复数？A、3+4iB、5-2iC、7D、√-1（答案：D。
解析：复数是由实部和虚部组成的数，其中虚部是实数与虚数单位i的乘积。
3+4i、5-2i都是复数，7可以看作是实部为7、虚部为0的复数，而√-1是虚数单位i，它本身不是复数，而是复数的一部分。
）6、若一个数列的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n，则第n项an的表达式为？A、2n+1B、2n-1C、2n+2D、2n（答案：A。
解析：数列的第n项an等于前n项和Sn减去前n-1项和S(n-1)。
由题意知Sn=n2+2n，则S(n-1)=(n-1)2+2(n-1)。
代入an=Sn-S(n-1)，化简得an=2n+1。
安徽省高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
月考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知，若函数有四个零点，则关于的方程的实数根的个数R a ∈()22f x x x a =--x 2210ax x ++=为（ ） A. 2个 B. 1个 C. 0个D. 与的取值有关a 【答案】A 【解析】【分析】由函数有四个零点，求出a 的范围，再利用判别式求方程的()22f x x x a =--2210ax x ++=实数根的个数.【详解】∵，()22f x x x a =--①当，即时，，∴，解得：. 20x a -≥2a x ≥()220f x x x a =-+=440a ∆=->1a <②当，即时，，∴，解得：，2x 00-<2a x <()220f x x x a =+-=440a ∆=+>1a >-∴，11a -<<当时，，只有三个零点，不合题意，0a =()()()2222,022,0x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩∴且，11a -<<0a ≠∴关于x 的方程中，2210ax x ++=由时，方程为一元二次方程，， 0a ≠440a ∆=->方程有两个不相等的实数根. 故选：A.2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）2i z =-iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】由复数的几何意义，求复数在复平面内对应的点所在象限 【详解】∵的实部是2，虚部是-1，2i z =-∴复数在复平面内对应的点为，在第四象限.2i z=-(2,1)-故选：D.3. 已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量（ ）M ABC A BC E AC 2EC AE =EM =A.B.1123AC AB +1162AC AB +C . D.1126AC AB + 1263AC AB + 【答案】B 【解析】和减法运算可得，结合条件,可得答EM EC CM =+ CB AB AC =-案.【详解】由，则2EC AE =23EC AC = 则 ()212113231622EM EC CM AC CB A AB AC AB A C C =+=+=+=-+故选：B4. 已知单位向量，满足，且，则（ ）a b14a b ⋅= 2c a b =+ sin ,a c =A.B.C.D.38【答案】C【分析】根据已知条件，利用平面向量的数量积的运算求出的长度，并计算，然后利用夹角公式求c a c ⋅夹角余弦值，再求解正弦值【详解】单位向量，满足，且，a b14a b ⋅= 2c a b =+ 所以c === ，()21922244a c a ab a a b ⋅=⋅+=+⋅=+=所以. cos ,a c a c a c ⋅===⋅所以sin ,a c ==故选:C.5. 已知，记函数，且的最小正)()cos cos cos (0)a x x b x x ωωωωω==>，，，()f x a b =⋅()f x 周期是，则（ ） πω=A.B.C.D.1ω=2ω=12ω=23ω=【答案】A 【解析】【分析】由向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简，再由最小正周期为即可求出. ()f x πω【详解】因为 ,cos ),(cos ,cos )(0)a x x b x x ωωωωω==>所以， ()()21π1cos +cos +1cos 2=sin 2++262f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故， 0ω> 2ππ2T ω==.1ω∴=故选：A.6. 已知，，则（ ） ()1sin 3αβ+=()1sin 4αβ-=tan tan αβ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.B. C. 2 D.2-12-12【分析】先利用三角公式求出，即可求得. tan α7tan β=【详解】∵()()11sin αβsin αβ34+=-=，11sin αcos βcos αsin βsin αcos βcos αsin β34∴+=-=，∴， 71sin αcos βcos αsin β2424==，二者相除得：tan α7tan β=，则.tan α2tan β⎛⎫==⎪⎝⎭故选：C.7. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，ABC A A B C a b c ABC A S 2223163()c S b a =+-，则 tan B =A.B.C.D.23324334【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由， 2223163()c S b a =+-则， 22233316c a b S +-=即， 132cos 16sin 2ac B ac B ⨯=⨯所以，且， 3cos 4sin B B =cos 0B ≠所以. 3tan 4B =故选：D【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题.8. 在中，若，则的最大角与最小角之和是（ ） ABC A 578BC CA AB ===，，ABC A A.B.C.D.90︒120︒135︒150︒【分析】最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边CA 所对的角为θ，则最大角与最小角的和是，利用余弦定理求解即可.180θ︒-【详解】根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5， 设长为7的边CA 所对的角为θ，则最大角与最小角的和是， 180θ︒-由余弦定理可得，，2564491cos 2582θ+-==⨯⨯由为三角形内角，∴，θ60θ=︒则最大角与最小角的和是. 180120θ︒-=︒故选：B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9. 已知向量，满足，，且，则（ ）a b 1a b ⋅= 1= b a b += A.B.2=a ()a ab ⊥- C. 与的夹角为D. 与的夹角为a bπ3a bπ6【答案】AC 【解析】.【详解】因为，，a b += 1a b ⋅= 所以，即，解得，故A 正确；2227a a b b +⋅+=r rr r 22117a +⨯+=2=a 因为，，所以，故B 错误；1a b ⋅= 2= a ()2410a a b a a b ⋅-=-⋅=-≠ 因为，，，所以，又因为，所以与的夹角1a b ⋅= 2= a 1= b 1cos ,2a b a b a b ⋅==0,πa b ≤>≤ a b 为，故C 正确，D 错误． π3故选：AC.10. 关于复数（i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ） 22cos sin 33z i ππ=+A. B. 在复平面上对应的点位于第二象限 1z =z C.D.31z =210z z ++=【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数的运算法则，共轭复数的定义，几何意义即可求解【详解】 221cosisin 332z ππ=+=-+所以 1z ==故A 正确，则在复平面上对应的点为位于第三象限 12z =-z 1,2⎛- ⎝故B 错误12z =-⇒2222111122222z ⎛⎫⎫⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+⨯-+=- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎭222321111122222z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-+-=--+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21313i 14444=-=+=故C 正确21111022z z ++=---++=故D 正确 故选：ACD11. 函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>0ϕπ<<（ ）A. 把函数图象上的所有点，向左平移个单位，就可得到该函数的图象22sin3y x =3πB. 把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，就可得到该函数的2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭32图象C. 当时，函数的图象与直线的所有交点的横坐标之和为 03x π<<()f x 1y =72πD. 该函数图象的对称中心为， ,03k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭Z k ∈【答案】BC 【解析】【分析】首先根据函数的图象求函数的解析式，再根据函数的图象变换以及函数性质判断选项. 【详解】由图象可知， ，得， 2A =244πππω⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭23ω=当时，，，解得， 4x π=22342k ππϕπ⨯+=+Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以，0ϕπ<<3πϕ=所以，()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A .函数图象上的所有点，向左平移个单位，得22sin3y x =3π，故A 不正确； ()2222sin 2sin 3339y x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭32，故B 正确；()22sin 33y x f x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭C. ，得，得，或()22sin 133f x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭21sin 332x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭22336x k πππ+=+252336x k πππ+=+，，且， Z k ∈03x π<<解得：或，所以，故C 正确；1114x π=234x π=121137442x x πππ+=+=D.令，得， 233x k ππ+=322x k ππ=-+所以函数的对称中心是，，故D 不正确. ()f x 3,022k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈故选：BC12. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） (0,)+∞A. B. C.D.||e x y =tan y x =cos y x =222xy +=【答案】AD 【解析】【分析】利用奇偶性定义、三角函数的性质判断奇偶性，根据函数解析式及指数复合函数的单调性判断区间单调性.【详解】A ：且上单调递增，满足题设； ||||e e x x -=(0,)+∞B ：为奇函数，不满足题意．tan y x =C ：在上有增有减，不满足题意； cos y x =(0,)+∞D ：，又在上单调递增，单调递增，故在上单调22()2222x x-++=22t x =+(0,)+∞2t y =222xy +=(0,)+∞递增，满足题设. 故选：AD ．第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知复数（为虚数单位），则______. 32iz i+=i z =【解析】【分析】化简得到，得到模长. 12i z =-+【详解】，. 32212i iz i ii ++===-+-z =【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，意在考查学生的计算能力. 14. 设函数（是常数，，）.若在区间上具有单调()()sin f x x ωϕ=+ωφ，0ω>π2ϕ<()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦性，且，则下列有关的命题正确的有___________.（把所有正确的命题序号()()2013f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()f x 都写上）①的最小正周期为2； ()f x ②在上具有单调性；()f x 51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦③当时，函数取得最值； 13x =()f x ④为奇函数； 56y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⑤是的图象一个对称中心. (,)ϕϕω--()y f x x ω=+【答案】①③④⑤ 【解析】【分析】由在区间上具有单调性确定最小正周期的范围，再由确定对()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()2013f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭称中心与对称轴，进一步求出，对各命题依次辨析即可. ()f x 【详解】设的最小正周期为， ()f x T ∵在区间上具有单调性，∴，， ()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦121233T ≥-=43T ≥又∵， ()()2013f f f ⎛⎫==-⎪⎝⎭∴图象上的点和关于直线对称，()f x ()()0,0f 22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13x =点和关于点对称，22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1,1f 5,06⎛⎫⎪⎝⎭即图象一个周期内相邻的一条对称轴和一个对称中心分别为直线和点， ()f x 13x =5,06⎛⎫⎪⎝⎭∴，∴，∴，∴. 5114632T =-=2π2T ω==πω=()()sin πf x x ϕ=+又∵为图象的一条对称轴，13x =()()sin πf x x ϕ=+∴，，即，，∵，∴，1πππ32k ϕ⨯+=+Z k ∈ππ6k ϕ=+Z k ∈π2ϕ<π6ϕ=∴. ()πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭对于①，的最小正周期，故①正确；()f x 2T =对于②，由，，解得，， ππππ62x k +=+Z k ∈1+3x k =Z k ∈∴图象的对称轴为直线，，()f x 1+3x k =Z k ∈当时，为图象的一条对称轴，在区间上不单调，故②错误； 1k =43x =()f x ()f x 51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于③，为图象的一条对称轴，当时，函数取得最值，故③正确； 13x =()f x 13x =()f x 对于④，设，， ()()5πsin πsi 6n πs 5π6in π6x g f x x x x ⎡⎤⎛⎫+=+=- ⎪⎢⎥⎛⎫=+=+⎣⎦⎪⎭ ⎝⎝⎭R x ∈，，且，R x ∀∈R x -∈()()()sin πsin πx x g x g x -=-=--=∴为奇函数，故④正确；()56y g x f x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭对于⑤，∵，，∴点即， πω=π6ϕ=(,)ϕϕω--1π(,66--设 ()()π=sin ππ6h x f x x x x ω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，11π1πsin ππsin ππ66666h x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--++--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11π1πsin ππsin ππ66666h x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴，即关于点对称，11π6626h x h x ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()h x 1π(,66--∴是的图象一个对称中心，故⑤正确. (,)ϕϕω--()y f x x ω=+故答案为：①③④⑤.15. 已知向量，若，则___________.()()1,3,,1a b m ==- a b ⊥ m =【答案】3【解析】【分析】由向量垂直的坐标运算求解.【详解】向量，若，则，解得()()1,3,,1a b m ==- a b ⊥ 30m -=3m =故答案为：3.16. 已知向量，则函数的单调递增区间())sin2,2cos ,a x x b x ==()1,,22f x a b x ππ⎡⎤=⋅-∈-⎢⎥⎣⎦ 为__________.【答案】 ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据数量积的坐标公式，结合三角恒等变换公式化简可得，再求解单调递()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭减区间，结合求解即可 ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【详解】由题意，，故 的单()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭()f x 调递增区间：，即，故在()222262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ()36k x k k ππππ-≤≤+∈Z ()f x 的单调递增区间为 ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为： ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 复数，求实数m 的取值范围使得：2(1i)(8i)156i(R)z m m m =+-++-∈（1）z 为纯虚数；（2）z 在复平面上对应的点在第四象限．【答案】（1）5m =（2）23m -<<【解析】【分析】（1）根据z 为纯虚数，列出方程，即可求解；（2）根据z 在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；【小问1详解】，()()222(1i)(8i)156i=8156i z m m m m m m =+-++---++-若z 为纯虚数，则，解得：.22815=060m m m m ⎧-+⎨--≠⎩5m =【小问2详解】由题意知，，解得：. 22815>060m m m m ⎧-+⎨--<⎩23m -<<18. 已知P 为的边BC 上一点，，，若，用、表示.ABC A AB a = AC b = 2ABP ACP S S =△△a b AP 【答案】. 1233AP a b =+ 【解析】【分析】由题可得，然后根据向量线性运算的几何表示结合条件即得. 23BP BC = 【详解】因为，所以，即， 2ABP ACP S S =△△23ABP ABC S S =△△23BP BC = 所以， ()23AP AC AB AB -=- 所以. 12123333AP AB a AC b =++= 19. 已知函数的图象过点P （，0），且图象上与P 点最近的()πsin (0,0,2y A x A ωϕωϕ=+>><π12一个最高点坐标为（，5）. π3（1）求函数的解析式；（2）指出函数的增区间；（3）若将此函数的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位长度得到图象正好关于轴(0)m m >()g x y 对称，求的最小正值.m 【答案】（1）； π5sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）； ()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（3）. π12【解析】【分析】（1）由题可得，，进而可得，然后根据五点法结合条件可得，即得； 5A =πT =2ω=π6ϕ=-（2）利用正弦函数的性质即得；（3）由图象变换知，根据函数的对称性可得，进而即()π5sin 26(22)g x x m +--=π2π,Z 6m k k -=∈得． 【小问1详解】由已知可得，， 5A =πππ43124T =-=∴，即,2ππT ω==2ω=∴，()5sin 2ϕ=+y x 由得，， π5sin 2012ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭π2ϕ<所以，即， π06ϕ+=π6ϕ=-∴； π5sin(26y x =-【小问2详解】由，得， πππ2π22π(Z)262k x k k -≤-≤+∈ππππ(Z)63k x k k -≤≤+∈∴函数的增区间是； ,(Z)6πππk k k ⎡-∈⎢⎣【小问3详解】 由题可得，又图象正好关于轴对称， ()π5sin 26(22g x x m +--=()g x y 则， π2π,Z 6m k k -=∈解得， ππ,Z 212k m k =+∈当时，的最小正值为. 0k =m π1220. 在锐角中，角的对边分别是，且. ABC ∆A B C ，，a b c ，，sin cos sin cos 0a A C c A A +-=（1）求角的大小；A （2）若，求面积的最大值.4a =ABC ∆【答案】（1）；（2） 60A =︒【解析】【分析】（1）利用正弦定理边转化为角，逐步化简，即可得到本题答案；（2）由余弦定理得，，综合，得，从而可得222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-222b c bc +≥16bc ≤到本题答案.【详解】（1）因为， sin cos sin cos 0a A C c A A +-=所以， 2sin cos sin Csin cos 0A C A A B +=即， ()sin sin cos cos sin 0A A C A C B +-=所以， sin sin 0A B B =又，所以，由为锐角三角形，则； sin 0B ≠sin A =ABC ∆60A =︒（2）因为，2222cos ,60,4a b c bc A A a ︒=+-==所以， 222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-所以，即（当且仅当时取等号），162bc bc bc ≥-=16bc ≤4b c ==所以11sin 16sin 6022ABC S bc A ∆=≤⨯⨯︒=【点睛】本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，以及余弦定理和基本不等式综合运用求三角形面积的最大值.21. 在△ABC 中，已知，，. 45A =︒4cos 5B =10BC =（1）求的值；sin C （2）求的面积.ABC A【答案】（1 （2）42【解析】【分析】（1）由已知得 ，，由此能求出结果；3sin 5B ==()sin sin 135C B =- （2）由正弦定理得解得，利用三角形面积公式可求出三角形ABC 的面积。
高一下学期第一次月考数学试题(解析版
（1）求角 ；
（2）求 的取值范围.
【18题答案】
【答案】（1）条件选择见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①由正弦定理得 即可求出 ；若选②由正弦定理得 即可求出 .
（2）用正弦定理得表示出 得到 利用三角函数求出 的取值范围.
【小问1详解】
若选①则由正弦定理得
【解析】
【分析】由题可得 .作差法可判断A；用基本不等式可判断B；分别化简不等式左边和右边可判断C；假设法可判断D.
【详解】如图
易知 .
A： （当 时取等号） 故A正确；
B： （当 时取等号）故B正确；
C：
又 （当 时取等号） 故C正确；
D：假设 成立
则
即
即
当 且 时上式不成立故D错误.
故选：ABC.
同理由 三点共线则存在实数 使得
所以 解得 所以 所以A正确.
又由 且
可得 解得 则
可得 所以B正确；
又由
当且仅当 时等号成立所以C正确.
又由 可得 所以D不正确.
故选：ABC.
12.设 分别为 中ab两边上的高 的面积记为S.当 时下列不等式正确的是( )
A. 【20题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由最大值和最小值求得 的值由 以及 可得 的值再由最高点可求得 的值即可得 的解析式由正弦函数的对称中心可得 对称中心；
（2）由图象的平移变换求得 的解析式由正弦函数的性质可得 的值域令 的取值为 的值域解不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得： 可得 所以
A. B.
C. D.
河南省高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知平面向量，，则向量（ ）()1,1a =()1,1b =- 1322a b -= A ． B ． ()2,1--()2,1-C ． D ．()1,0-()1,2-【答案】D【分析】利用平面向量坐标的线性运算法则可得出的坐标.1322a b -【详解】，，， ()1,1a =r Q ()1,1b =-r ()()()131311311,11,1,,1,222222222a b ⎛⎫⎛⎫∴-=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r 故选D.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，解题的关键就是利用平面向量坐标的运算律，考查计算能力，属于基础题. 2．若，则（ ） i 2i z =+z =A ． B ．C ．D ．12i +12i -+12i -12i --【答案】A【分析】根据复数的运算规则以及共轭复数的定义即可. 【详解】， ； 2i12i iz +==-12i z =+故选：A.3．已知中，，则c =（ ）ABC A 3,,612a A B ππ===A ．1 BC ．D【答案】C【分析】根据三角形内角和求出，再根据正弦定理求出. C c 【详解】因为，所以， 3,,612a A B ππ===36124Cππππ=--=由正弦定理可得，sin sin a Cc A===故选：C.4．如图，是水平放置的的直观图，则的面积是'''O A B ∆OAB ∆OAB ∆A ．6B ．C ．D ．12【答案】D【详解】由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，直角边，AOB ∆'6,2''4OA OA OB O B ====，故选D. 11641222AOB S OA OB ∆∴=⋅=⨯⨯=5．已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么a b 6032a b +=A B ．1 C D ．4【答案】C【详解】由题意，，所1cos 602a b ⋅=︒=22232(32)9124a b a b a a b b +=+=+⋅+ 19124192=+⨯+=以C ．32a b+=点睛：向量的数量积的性质之一：，由此公式求向量模的运算常常转化为向量的平方（数22a a = 量积）计算．6．在中，分别是角的对边，若，则角等于（ ） ABC A ,,a b c ,,A B C 222a b c -=A A ． B ．或 135 60 120 C ． D ．或45 135 45 【答案】C【分析】由余弦定理化简后求解【详解】，又余弦定理得222a b c -=222cos 2b c a A bc +-==故 45A =︒故选：C7．若复数满足 (为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） z ()12i 13i z -+=+i z A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先求，再用复数的乘除运算法则进行计算，从而得到复数在复平面内对应的点所13i +z 在的象限.【详解】1+z ==复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. z ⎛⎝故选：C8．已知圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的表面积为（ ） A ． B ．C ．D ．30π18π24π27π【答案】C【分析】根据圆锥的母线长为5，高为4，求得圆锥的底面半径，然后由圆锥的表面积公式求解. 【详解】因为圆锥的母线长为5，高为4， 所以圆锥的底面半径为3，所以圆锥的表面积为． 235324πππ⨯⨯+⨯=故选：C9．如图，在平行四边形中，E 是的中点．若，，则（ ）ABCD DC AB a = AD b =BE =A ．B ．C ．D ．12a b -+ 12a b -- 12a b + 12a b - 【答案】A【分析】根据图形，利用向量的加，减，数乘运算，即可判断选项. 【详解】12BE BC CE BC DC =+=- .1122AD AB b a =-=- 故选：A10．已知，若的终点坐标为（3，-6），则的起点坐标为（ ） ()1,2a =- a a A ．（-4，-8） B ．（-4，8）C ．（4，-8）D ．（4，8）【答案】C【分析】用向量的坐标运算求解即可.【详解】设的起点坐标为，a(),x y 的终点坐标为（3，-6）， a rQ，(3,6)(,)(3,6)a x y x y ∴=-=---又， ()1,2a =- ，解得，3162x y -=-⎧∴⎨--=⎩48x y =⎧⎨=-⎩的起点坐标为， a()4,8-故选：C.11．在中，角所对的边分别为，向量，若ABC A ,,A B C ,,a b c (cos ,cos ),()m A B n a b ==- //m nu r r，则内角A 的大小为（ ） A ．B ．C ．D ．π36ππ2π4【答案】D【分析】利用向量平行列出方程，结合正弦定理求得的大小.A【详解】由于，所以，//m n u r r)cos cos A b a B ⋅-=由正弦定理得，)cos sin sin cos AC B A B -=，cos sin cos sin cos C A B A A B -=，()cos sin cos sin cos sin sin C A A B B A A B C =+=+=由于， 0π,sin 0C C <<>， 1,cos 0A A ==>所以三角形的内角为锐角，所以. ABC A π4A =故选：D12．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的个数是（ ） （1）与平行 （2）与是异面直线 AF CN BM AN （3）与是异面直线 （4）与是异面直线AF BM BN DEA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】把平面图还原正方体，由正方体的结构特征判断（1）与（2）；由异面直线的定义判断（3）与（4）．【详解】解：把正方体的平面展开图还原原正方体如图，由正方体的结构特征可知，与异面垂直，故（1）错误；AF CN 与平行，故（2）错误；BM AN 平面，平面，平面，，BM ⊂BCMF F ∈BCMF A ∉BCMF F BM ∉由异面直线定义可得，与是异面直线，故（3）正确； AF BM 平面，平面，平面，，DE ⊂ADNE N ∈ADNE B ∉ADNE N DE ∉由异面直线定义可得，与是异面直线，故（4）正确． BN DE 所以正确的个数是2个. 故选：B ．二、填空题13．已知平面向量，，若，则___________. ()1,2a = ()3,b m =- a b ⊥ m =【答案】32##1.5【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】由，得，即，解得.a b ⊥ 0a b ⋅=320-+=m 32m =故答案为：3214．如图，是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为E 1111ABCD A B C D -11C D 1BD CE ___________.【分析】取的中点，连接，根据题意得出为异面直线与所成的11A B F 1,,BF EF D F 1FBD ∠1BD CE 角，利用余弦定理求值即可.【详解】取的中点，连接，11A B F 1,,BF EF D F 因为分别为的中点，所以, ,F E 1111,A B C D //,=EF BC EF BC 所以四边形为平行四边形，所以， BCEF //BF CE 所以为异面直线与所成的角.1FBD ∠1BD CE设正方体的棱长为2，则1111ABCD A B C D -1BD ==， 1D F BF ===所以根据余弦定理，得1cos FBD ∠===. 15．一船以每小时的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在北偏东处；行驶后，15km A B 60︒4h 船到达处，看到这个灯塔在北偏东处.这时船与灯塔的距离为_______. C 15︒km 【答案】.【分析】由题意画出示意图，求出各角的度数后，由正弦定理即可得解. 【详解】解：由题意画出示意图，如图：可得，，， 30CAB ∠= 105BCA ∠= 60AC =则，1803010545B ∠=--= 在中，由正弦定理得，即，ABCA sin sin BC ACCAB B=∠12CB =解得. CB =故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了转化化归思想，属于基础题. 16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ．若，，△ABC 的面积为3A π=4c =，则△ABC 的外接圆的半径为________． 【答案】2【分析】利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径.2b =a =【详解】由．．解得．14sin 23b π⨯⋅=2b =22224224cos 123a π∴=+-⨯⨯=a =，解得．24R ∴==2R =故答案为:．2三、解答题17．当实数m 满足什么条件时，复数分别满足下列条件？()()22563i m m m m -++-(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数；【答案】(1)或 0m =3m =(2)且 0m ≠3m ≠(3) 2m =【分析】由复数的概念列出方程求出的值.m 【详解】（1）当，即或时，复数为实数； 230m m -=0m =3m =()()22563i m m m m -++-（2）当，即且时，复数为虚数；230m m -¹0m ≠3m ≠()()22563i m m m m -++-（3）当，解得2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩2m =所以当时，复数为纯虚数.2m =()()22563i m m m m -++-18．已知，求分别在下列条件下的值.||4,||2a b ==a b ⋅ (1)；,120a b 〈〉=(2)； a b ⊥ (3).//a b 【答案】(1)； 4-(2)； 0(3). 8±【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可； （2）根据互相垂直的两个向量数量积的性质进行求解即可；（3）根据平面向量数量积的定义，结合共线向量的性质进行求解【详解】（1）1cos1204242a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭（2）因为，所以.a b ⊥ 0a b ⋅=（3）因为，所以与的夹角为或，a bA a b 0 180 所以.()428a b a b ⋅=±=±⨯=±19．在中，角所对的边分别为.已知. ABC A ,,A B C ,,a b c 2,3,3===πa c B （1）求的值； b （2）求的面积. ABC A S 【答案】（12 【分析】（1）由a ，c 及cosB 的值，利用余弦定理即可求出b 的值； （2）利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积． 【详解】（1） ，由余弦定理可得2,3,3a c B π=== ,2222cos 7b a c ac B =+-=,∴b =（2）1sin 2S ac B ==【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．20．如图，棱锥中，底面是平行四边形，为的中点.求证：面.S ABCD -E SD //SB AEC【答案】证明见解析【分析】连接交于，连接,先证明，再证明面.BD AC O EO //OE SB //SB AEC【详解】 .连接交于，连接BD AC O EO 四边形为平行四边形，ABCD 为的中点.∴O AC 为中点,.E SD //OE SB ∴又面，面， OE ⊂AEC SB ⊄AEC 面.//SB ∴AEC 【点睛】本题主要考查空间直线平面平行的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．在中，角、、所对的边分别为、、． ABC A A B C a b c cos sin C c B =+(1)求角的值；B(2)若外接圆的半径面积的最大值． ABC A R =ABC A 【答案】(1)3B π=(2)【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得tan B B 角的值；B （2）求出的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式可b ac 求得面积的最大值．ABC A【详解】（1， cos sin C c B =+cos sin sin B C C B A +=， ()cos sin sin cos sin B C C B B C B C B C +=+=因为，则，所以，，则， ()0,C π∈sin 0C >sin B B =tan B =，因此，.()0,B π∈ 3B π=（2）解：由正弦定理可得，2sin 6b R B ==由余弦定理可得，即， 22222262cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+-≥-=36ac ≤当且仅当时，等号成立，6a c ==第 11 页 共 11 页故面积的最大值为ABC A 136sin 23π⨯⨯=22．已知向量，且，求： 33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）及；a b ⋅ ||a b + （2）若的最小值为，求实数的值． ()2||f x a b a b λ=⋅-+ 32-λ【答案】（1）， （2）. cos 2a b x ⋅= ||2cos a b x += 12λ=【分析】（1）利用向量的数量积和向量的模的坐标运算公式，直接运算，即可求解；（2）由（1）求得函数，令，得到2()2cos 4cos 1,[0,]2f x x x x πλ=--∈cos [0,1]t x =∈，结合二次函数的性质，即可求解. 2241,[0,1]y t t t λ=--∈【详解】（1）由题意，向量， 33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 可得， 33333cos ,sin cos ,sin cos cos sin sin cos()cos 22222222222x x x x x x a b x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1=所以.||2cos a b x +==== （2）由（1）可得， ()2||cos 24cos ,[0,]2f x a b a b x x x πλλ=⋅-+=-∈ 即， 2()cos 24cos 2cos 4cos 1,[0,2f x x x x x x πλλ=-=--∈令，所以，cos [0,1]t x =∈2241,[0,1]y t t t λ=--∈对称轴为，t λ=若，则，不符合题意；0λ≤min 1y =-若，则，解得（舍去）； 1λ≥min 3142y λ=-=-58λ=若，则，解得， 01λ<<2min 3122y λ=--=-12λ=综上可得：. 12λ=。
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高一下学期数学第一次月考试卷附带答案（满分150分 时间：120分钟）一.单选题。
（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知（1+i ）z=3－i ，其中i 为虚数单位，则|z |=（ ） A.5 B.√5 C.2 D.√22.已知复数z=1+2i1+i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ̅在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图，正方形O’A’B’C’的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A.4B.6C.8D.2+2√2（第3题图） （第4题图）4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ） A.2√33B.23C.√24D.135.设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题正确的是（ ） A.若b ∥α，c ⊂α，则b ∥c B.若b ⊂α，b ∥c ，则c ⊂α C.若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β D.若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β6.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A.4√2πB.2√2πC.4πD.（4√2+4）π7.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为4π5，则该圆锥的体积为（ ） A.62√213π B.32√6π C.16√6π D.32√213π8.已知在正方体中，AD 1，A 1D 交于点O ，则（ ）A.OB⊥平面ACC1A1B.OB⊥平面A1B1CDC.OB∥平面CD1B1D.OB⊥BC1二．多选题.（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知复数z=3+4i，下列说法正确的是（）A.复数z的实部为3B.复数z的共轭复数为3－4iC.复数z的虚部为4iD.复数z的模为510.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A. B. C. D.11.如图，一个圆柱盒一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为2πR2B.圆柱与球的表面积比为32C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱与球的体积比为32（第11题图）（第12题图）12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF 以及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEHD.HG⊥平面AEF二.填空题。
(共4小题，每小题5分，共20分)13.设复数z=1+2i，（i是虚数单位），则在复平面内，复数z2对应的点的坐标为.14.设复数z=1+（m2+2m－15）i为实数，则实数m的值是.m+515.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面以及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为.16.已知圆柱的轴截面是正方形，若圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比为.三.解答题。
17.（10分）求实数m的值或取值范围，使得复数z=m2+m－2+（m2－1）i分别满足：（1）z是实数.（2）z是纯虚数.（3）z是平面中对应的点位于第二象限.18.(12分)蒙古包是蒙古族牧民的居住一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称穹庐，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥和一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.（1）求该蒙古包的侧面积.（2）求该蒙古包的体积.19.（12分）已知复数z使得z+2i∈R，z∈R，其中i是虚数单位.2－i（1）求复数z的共轭复数.（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.20.（12分）如图，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD与CE不相等，AC=AD=AB=1，BC=√2，，F为BC的中点，求：四棱锥B-ACED的体积为12（1）CE的长度.（2）证明：AF∥平面BDE.（3）平面BDE∥平面BCE.21.（12分）已知有正方体ABCD-A1B1C1D1中，截下一个四棱锥E-ABCD，AA1=4，E为CC1的.中点.（1）求四棱锥E-ABCD的表面积.（2）求四棱锥E-ABCD的体积与剩下部分的体积之比.（3）若点F是AB上的中点，求三棱锥C-DEF体积.22.(12分)已知点O是正方形ABCD两对角线的交点，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE.（1）求证：EO⊥平面AFC.（2）试问在线段DF（不含端点）上是否存在一点R，使得CR∥平面ABF，若存在，请指出R的位置，若不存在，说明理由.参考答案一.单选题。
（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知（1+i ）z=3－i ，其中i 为虚数单位，则|z |=（ B ） A.5 B.√5 C.2 D.√22.已知复数z=1+2i1+i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ̅在复平面内对应的点位于（ D ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图，正方形O’A’B’C’的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是（ B ）A.4B.6C.8D.2+2√2（第3题图） （第4题图）4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ D ） A.2√33B.23C.√24D.135.设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题正确的是（ D ） A.若b ∥α，c ⊂α，则b ∥c B.若b ⊂α，b ∥c ，则c ⊂α C.若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β D.若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β6.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ A ）A.4√2πB.2√2πC.4πD.（4√2+4）π7.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为4π5，则该圆锥的体积为（ D ） A.62√213π B.32√6π C.16√6π D.32√213π8.已知在正方体中，AD 1，A 1D 交于点O ，则（ C ）A.OB ⊥平面ACC 1A 1B.OB ⊥平面A 1B 1CDC.OB∥平面CD1B1D.OB⊥BC1二．多选题.（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知复数z=3+4i，下列说法正确的是（ABD ）A.复数z的实部为3B.复数z的共轭复数为3－4iC.复数z的虚部为4iD.复数z的模为510.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（AD ）A. B. C. D.11.如图，一个圆柱盒一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（BCD ）A.圆锥的侧面积为2πR2B.圆柱与球的表面积比为32C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱与球的体积比为32（第11题图）（第12题图）12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF 以及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（BCD ）A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEHD.HG⊥平面AEF二.填空题。
(共4小题，每小题5分，共20分)13.设复数z=1+2i，（i是虚数单位），则在复平面内，复数z2对应的点的坐标为（﹣3，4）.14.设复数z=1+（m2+2m－15）i为实数，则实数m的值是 3 .m+515.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面以及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为54π.16.已知圆柱的轴截面是正方形，若圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比为32.三.解答题。
17.（10分）求实数m的值或取值范围，使得复数z=m2+m－2+（m2－1）i分别满足：（1）z是实数.（2）z是纯虚数.（3）z是平面中对应的点位于第二象限.（1）由题意知：m2－1=0m=±1（2）由题意知：{m2+m－2=0 m2－1≠0解得m=﹣2（3）由题意知：{m2+m－2＜0 m2－1＞0解得m的取值范围是（﹣2，﹣1）18.(12分)蒙古包是蒙古族牧民的居住一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称穹庐，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥和一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.（1）求该蒙古包的侧面积.（2）求该蒙古包的体积.（1）已知BC=DE=3m ，AE=2m ，BE=3m ∴AD=√32+22=√13m圆柱的侧面积：2π×BC ×BE=2π×3×3=18π平方米 圆锥的侧面积：12×2π×DE ×AD=12×2π×3×√13=3√13π 蒙古包侧面积：（3√13π+18π）平方米（2）圆锥的体积：V=13Sh=13×π×32×2=6π立方米 圆柱的体积V=Sh=π×32×3=27π立方米 蒙古包体积：6π+27π=33π立方米19.（12分）已知复数z 使得z+2i ∈R ，z 2－i∈R ，其中i 是虚数单位.（1）求复数z 的共轭复数.（2）若复数（z+mi ）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.（1）设z=a+bi∴z+2i=a+（b+2）i ∈R ∴b=﹣2 ∴ z2－i =（a －2i ）（2+i ）(2－i)(2+i)=2x+25+x －45i ∈R∴x －45=0解得x=4 ∴z=4－2i ∴z ̅=4+2i（2）∵m 为实数（z+mi ）2=（12+4m －m 2）+8（m －2）i∴{12+4m －m 2＞08（m －2）＜0解得﹣2＜m ＜2∴m 的取值范围是（﹣2，2）20.（12分）如图，AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，AD 与CE 不相等，AC=AD=AB=1，BC=√2，四棱锥B -ACED 的体积为12，F 为BC 的中点，求：（1）CE 的长度.（2）证明：AF ∥平面BDE.（3）平面BDE ∥平面BCE.（1）∵四边形ABCD 为梯形，且平面ABC ⊥∥ACED∵BC 2=AC 2+AB 2∴AB ⊥AC∵平面ABC ∩平面ACED=AC∴AB ⊥平面ACEDVB -ACED=13×12（AD+CE ）×AC ×AB=13×12×（1+CE ）×1×1=12∴CE=2（2）取BE 的中点G ，连接GF ，GD ，则GF 为三角形BCE 的中位线。