2020年上海市静安区高考数学一模试卷(带答案)
第1页，共9页 2020年上海市静安区高考数学一模试卷
题号 一 二 三 总分 得分
一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. “三个实数a，b，c成等差数列”是“2b=a+c“的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 设x，y∈R，若复数是纯虚数，则点P（x，y）一定满足（ ）
A. y=x B. C. y=-x D. 3. 若展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），则展开式中a3
的系数等于（ ）
A. 在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和
B. 在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和
C. 在1，2，3，4，5中所有任取四个不同的数的乘积之和
D. 以上结论都不对
4. 某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21°方向，且塔顶的仰角为18°，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B处，此时测得塔底位于北偏西39°方向，则该塔的高度约为（ ） A. 265米 B. 279米 C. 292米 D. 306米
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 计算（1-0.9n
）=______．
6. 在单位圆中，60°的圆心角所对的弧长为______． 7. 若直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°，则l1与l2的夹角为______．
8. 若直线l的一个法向量为=（2，1），则直线l的斜率k=______． 9. 设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂为两个细胞．则7小时后，1个此种细胞将分裂为个______． 10. 设△ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2．现将△ABC（及其内部）绕斜边AB所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为______．
11. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1．则的值为______． 12. 三倍角的正切公式为tan3α=______．（用tanα表示） 13. 设集合A共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为______． 14. 现将函数y=secx，x∈（0，π）的反函数定义为反正割函数，记为：y=arcsecx．则arcsec（-4）=______．（请保留两位小数）
15. 设双曲线的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P
到坐标原点O的距离的最小值为______． 第2页，共9页
16. 设a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，我们可以证明对数的运算性质如下： 我们将⊗式称为证明的“关键步骤“．则证明（其中M＞0，r∈R）的“关键步骤”为______． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分） 17. 如图，在正六棱锥P-ABCDEF中，已知底边长为2，侧棱与底面所成角为60°． （1）求该六棱锥的体积V： （2）求证：PA⊥CE．
18. 请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同． （1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积． （2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积． 第3页，共9页
19. 设{an}是等差数列，公差为d，前n项和为Sn．
（1）设a1=40，a6=38，求Sn的最大值；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，且对任意的n∈N*，都有Tn≤20，求d的取值范围．
20. 已知抛物线Γ的准线方程为x+y+2=0，焦点为F（1，1）． （1）求证：抛物线Γ上任意一点P的坐标（x，y）都满足方程x2-2xy+y2-8x-8y=0； （2）请指出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论； （3）设垂直于x轴的直线与抛物线Γ交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
21 现定义：设a是非零实常数，若对任意的x∈D，都有f（a-x）=f（a+x），则称函数y=f（x）为“关于a的偶型函数”．
（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明； （2）设定义域为R的“关于a的偶型函数”y=f（x）在区间（-∞，a）上单调递增，求证：y=f（x）在区间（a，+∞）上单调递减；
（3）设定义域为R的“关于的偶型函数”y=f（x）是奇函数，若n∈N*，请猜测f（n）的值，并用数学归纳法证明你的结论．
2020年上海市静安区高考数学一模试卷
答案和解析 【答案】 1. C 2. B 3. A 4. C
5. 1 第4页，共9页
6. 7. 60° 8. -2 9. 27
10. 11. -3 12. 13. 720 14. 1.82
15.
16. a=（a）r=Mr． 17. 解：（1）解：∵在正六棱锥P-ABCDEF中，底边长为
2，侧棱与底面所成角为60°．
连结AD，过P作PO⊥底面ABCD，交AD于点O， 则AO=DO=2，∠PAO=60°，∴PA=2AO=4，
PO==2，
SABCDEF=6×（）=6，
∴该六棱锥的体积V===12． （2）证明：连结CE，交AD于点O，连结PG， ∵DE=CD，AE=AD，∴AD⊥CE，O是CE中点， ∵PA=PC，∴PG⊥CE， ∵PG∩AD=G，∴CE⊥平面PAD， ∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥CE．
18. 解：（1）设∠BOC=α，（）；
∴OB=cosα，BC=sinα； ∵S=2OB•BC， ∴S═2sinαcosα=sin2α；
∴当时，即OB=时，矩形面积最大为1；
（2）依题意可得：椭圆方程为：； 设：点C坐标为（m，n）即：OB=m，BC=n； ∴S=2OB•BC=2mn； ∵点C为椭圆上的点；
∴；
∵； 第5页，共9页
∴mn≤1，当且仅当=时取等号； ∴S≤2； 即矩形面积最大为2；当OB=时取等号；
19. 解：（1）a1=40，a6=38，可得d==-，
可得Sn=40n-n（n-1）•=-（n-）2+， 由n为正整数，可得n=100或101时，Sn取得最大值2020； （2）设，数列{bn}的前n项和为Tn， 可得an=1+（n-1）d，数列{bn}为首项为2，公比为2d的等比数列， 若d=0，可得bn=2；d＞0，可得{bn}为递增数列，无最大值；
当d＜0时，Tn=＜，
对任意的n∈N*，都有Tn≤20，可得20≥，且d＜0， 解得d≤log20.9． 20. 解：（1）证明：抛物线Γ的准线方程为
x+y+2=0，焦点为F（1，1），
抛物线Γ上任意一点P的坐标（x，y），由抛物线的定义可得|PF|=d（d为P到准线的距离），
即为=，两边平方化简可得x2-2xy+y2-8x-8y=0； （2）抛物线关于y=x对称，顶点为（0，0），范围为x≥-1，y≥-1， 由方程x2-2xy+y2-8x-8y=0，设抛物线上任一点（x，y）关于直线y=x对称的点为（y，x），满足原方程， 则抛物线关于直线y=x对称；由直线y-1=x-1即y=x，联立x+y+2=0，解得x=y=-1， 可得抛物线的顶点为（0，0）；由x=-1和x2-2xy+y2-8x-8y=0联立可得切点为（-1，3）， 同样由y=-1和x2-2xy+y2-8x-8y=0联立可得切点为（3，-1）， 可得抛物线的范围为x≥-1，y≥-1； （3）设垂直于x轴的直线为x=t，代入抛物线的方程x2-2xy+y2-8x-8y=0， 可得t2-（2t+8）y+t2-8t=0， 设A（t，y1），B（t，y2），可得y1+y2=2t+8， 则AB的中点为（t，t+4）， 则AB的中点的轨迹方程为直线y=x+4． 21. 解：（1）函数f（x）=cos（x-2）为“关于2的偶型函数”．
理由：由f（2-x）=cos（2-x-2）=cos（-x）=cosx，f（2+x）=cos（2+x-2）=cosx， 可得对任意的x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），故f（x）=cos（x-2）为“关于2的偶型函数”； （2）证明：设a＜x1＜x2，则-a＞-x1＞-x2，即有a＞2a-x1＞2a-x2， 由对任意的x∈R，都有f（a-x）=f（a+x），即为f（x）=f（2a-x）， y=f（x）在区间（-∞，a）上单调递增，可得f（2a-x1）＞f（2a-x2），
即有f（x1）＞f（x2），可得y=f（x）在区间（a，+∞）上单调递减；
（3）设定义域为R的“关于的偶型函数”，
2020年中考模拟上海市静安区中考数学一模试卷 含解析
2020年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题）1．已知a x y =+，b x y =-，那么ab 的值为( ) A ．2xB ．2yC ．x y -D ．x y +2．已知点P 在线段AB 上，且:2:3AP PB =，那么:AB PB 为( ) A ．3:2B ．3:5C ．5:2D ．5:33．在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，:4:5AD DB =，下列结论中正确的是( ) A ．45DE BC = B ．94BC DE = C ．45AE AC = D ．54EC AC = 4．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，如果3a b =，那么A ∠的余切值为( )A ．13B ．3C ．24D ．10105．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是( )A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r rC ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r6．如果将抛物线22y x =-平移，使平移后的抛物线与抛物线289y x x =-+重合，那么它平移的过程可以是( )A ．向右平移4个单位，向上平移11个单位B ．向左平移4个单位，向上平移11个单位C ．向左平移4个单位，向上平移5个单位D ．向右平移4个单位，向下平移5个单位 二、填空题（本大题共12题） 7．因式分解：25x x -= ．8．已知()31f x x =+，那么f （3）= ．9．方程1112x x -=+的根为 ． 10．已知：34x y =，且4y ≠，那么34x y -=- ．11．在ABC ∆中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，6AD =，那么AG = ． 12．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是 ． 13．如图，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD 底部C 的俯角为60度，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为 米．（结果保留根号）14．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为(0)x x >，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是 ． 15．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为 ．16．已知二次函数2228(y a x a x a a =++是常数，0)a ≠，当自变量x 分别取6-、4-时，对应的函数值分别为1y 、2y ，那么1y 、2y 的大小关系是：1y 2y （填“>”、“ <”或“=” )．17．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AD =，9BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，且EF 是梯形ABCD 的“比例中线”，那么DFFC= ． 18．如图，有一菱形纸片ABCD ，60A ∠=︒，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos EFB ∠的值为 ．三、解答题（本大题共7题）19．先化简，再求值：2222244x y x y x y x xy y --÷+++，其中sin 45x =︒，cos60y =︒．20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，20AC =，3sin 4A =，CD AB ⊥，垂足为D ． （1）求BD 的长；（2）设AC a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，用a r、b r 表示AD u u u r ．21．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(y x bx b =++为常数）的对称轴是直线1x =． （1）求该抛物线的表达式；（2）点(8,)A m 在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A '，求点A '的坐标； （3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．x⋯ ⋯ y⋯⋯22．如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45︒方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22︒方向上．（1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M 沿着南偏东30︒的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸？请说明理由．（参考数据：sin 220.375︒≈，cos 220.927︒≈，tan 220.404︒≈，3 1.732≈．)23．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE =g ． （1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF =g g ，求证：ABE ACD ∆∆∽．24．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0)a ≠的图象经过点(0,3)A -、(1,0)B 、(3,0)C ，联结AB 、AC ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan DBC ∠的值； （3）如果点E 在该二次函数图象的对称轴上，当AC 平分BAE ∠时，求点E 的坐标．25．已知：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，2AB BE DC =g ，:3:1DE EC =，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G ．（1）找出图中与ACD ∆相似的三角形，并说明理由； （2）当DF 平分ADC ∠时，求:DG DF 的值；（3）如图2，当90BAC ∠=︒，且DF AE ⊥时，求:DG DF 的值．参考答案一、选择题1．已知a=+b=，那么ab的值为()A．B．C．x y-D．x y+【解答】解：a=+Q，b，ab x y∴=-=-，故选：C．2．已知点P在线段AB上，且:2:3AP PB=，那么:AB PB为()A．3:2B．3:5C．5:2D．5:3【解答】解：由题意:2:3AP PB=，:():(23):35:3AB PB AP PB PB=+=+=；故选：D．3．在ABC∆中，点D、E分别在边AB、AC上，//DE BC，:4:5AD DB=，下列结论中正确的是()A．45DEBC=B．94BCDE=C．45AEAC=D．54ECAC=【解答】解：如图所示：:4:5AD DB=Q，∴49 ADAB=，//DE BCQ，ADE ABC∴∆∆∽，∴49 AE DE ADAC BC AB===，∴94 BCDE=；故选：B．4．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，如果3a b =，那么A ∠的余切值为( ) A ．13B ．3C ．24D ．1010【解答】解：Q 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，3a b =， 1cot 3b A a ∴==． 故选：A ．5．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是( )A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r rC ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， //AB CD ∴，AB CD =，Q AB AO OB =+u u u r u u u r u u u r ∴DC AB a b ==-+u u u r u u u r r r ，故选：C ．6．如果将抛物线22y x =-平移，使平移后的抛物线与抛物线289y x x =-+重合，那么它平移的过程可以是( )A ．向右平移4个单位，向上平移11个单位B ．向左平移4个单位，向上平移11个单位C ．向左平移4个单位，向上平移5个单位D ．向右平移4个单位，向下平移5个单位【解答】解：Q 抛物线2289(4)7y x x x =-+=--的顶点坐标为(4,7)-，抛物线22y x =-的顶点坐标为(0,2)-，∴顶点由(0,2)-到(4,7)-需要向右平移4个单位再向下平移5个单位．故选：D ．二、填空题（本大题共12题） 7．因式分解：25x x -= (5)x x - ． 【解答】解：25(5)x x x x -=-． 故答案为：(5)x x -．8．已知()f x =，那么f （3）=【解答】解：当3x =是，f （3）==，9．方程1112x x -=+的根为 3x = ． 【解答】解：方程两边同时乘以2(1)x +，得 2(1)1x x -=+，解得3x =，经检验，3x =是原方程的根， ∴原方程的解为3x =，故答案为3x =． 10．已知：34x y =，且4y ≠，那么34x y -- 4． 【解答】解：Q 34x y =，且4y ≠， ∴3344x y -=-． 故答案为：3411．在ABC ∆中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，6AD =，那么AG = 4 ． 【解答】解：AD Q 、BE 为ABC ∆的中线，且AD 与BE 相交于点G ， G ∴点是三角形ABC 的重心，226433AG AD ∴==⨯=， 故答案为4．12．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是 16:25 ． 【解答】解：两个相似三角形面积的比是2(4:5)16:25=． 故答案为：16:2513．如图，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD 底部C 的俯角为60度，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为 153 米．（结果保留根号）【解答】解：由题意得，90BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，15AC =， tan 315AB ABACB AC ∴∠=== 3153AB ∴==，答：大楼AB 的高度为153米．14．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为(0)x x >，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是2200400200y x x =++ ．【解答】解：根据题意，得2200(1)y x =+2200400200x x =++．故答案为2200400200y x x =++．15．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为 240 ． 【解答】解：如图所示：Q 四边形ABCD 是矩形， 90BAD ∴∠=︒，26AC BD ==，5tan 13CD DAC AC ∠==Q ， 10CD ∴=，2222261024AD AC CD ∴=-=-=，∴矩形的面积2420240AD CD =⨯=⨯=，故答案为：240．16．已知二次函数2228(y a x a x a a =++是常数，0)a ≠，当自变量x 分别取6-、4-时，对应的函数值分别为1y 、2y ，那么1y 、2y 的大小关系是：1y > 2y （填“>”、“ <”或“=” )．【解答】解：222222228(8)(4)16y a x a x a a x x a a x a a =++=++=++-， ∴对称轴4x =-，x Q 分别取6-、4-时，在对称轴左侧，y ∴随x 的增大而减小，12y y ∴>，故答案为>．17．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AD =，9BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，且EF 是梯形ABCD 的“比例中线”，那么DF FC3． 【解答】解：连接BD 交EF 于G ，如图所示： EF Q 是梯形ABCD 的“比例中线”， 24936EF AD BC ∴=⨯=⨯=， 6EF ∴=， ////EF AD BC Q ，BEG BAD ∴∆∆∽，DFG DCB ∆∆∽， ∴EG BG AD BD =，DF GF DGDC BC BD==， ∴1EG GF BG DG BD AD BC BD BD BD +=+==，即6149EG EG-+=， 解得：125EG =， 1865GF EG ∴=-=， ∴182595DF DC ==， ∴23DF FC =； 故答案为：23．18．如图，有一菱形纸片ABCD ，60A ∠=︒，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos EFB ∠的值为 17．【解答】解：如图，连接BD ．设2BC a =．Q 四边形ABC 都是菱形，2AB BC CD AD a ∴====，60A C ∠=∠=︒， BDC ∴∆是等边三角形，DE EC a ==Q ， BE CD ∴⊥，BE ∴==，//AB CD Q ，BE CD ⊥，BE AB ∴⊥， 90EBF ∴∠=︒，设AF EF x ==，在Rt EFB ∆中，则有222(2))x a x =-+， 74a x ∴=， 74a AF EF ∴==，4a BF AB AF =-=， 14cos 774a BF EFB a EF ∴∠===，故答案为17． 三、解答题19．先化简，再求值：2222244x y x y x y x xy y --÷+++，其中sin 45x =︒，cos60y =︒． 【解答】解：原式22()()(2)22(2)2()()x y x y x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y-+--++=÷==++++-+g ，当sin 45x =︒=1cos602y =︒=时，原式== 20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，20AC =，3sin 4A =，CD AB ⊥，垂足为D ． （1）求BD 的长；（2）设AC a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，用a r、b r 表示AD u u u r ．【解答】解：（1）CD AB ⊥Q ，90ADC BDC ∴∠=∠=︒， 在Rt ACD ∆中，sin CDA AC =， 3sin 20125CD AC A ∴==⨯=g ， 2222201216AD AC CD ∴=-=-=，3tan 4CD A AD ∴==， 90ACB ∠=︒Q ，90DCB B A B ∴∠+∠=∠+∠=︒， DCB A ∴∠=∠．3tan tan 1294BD CD DCB CD A ∴=∠==⨯=g g ． （2）16925AB AD DB =+=+=Q ， ∴1625AD AB =， 又Q AB AC CB a b =+=-u u u r u u u r u u u r r r ，∴161616252525AD AB a b ==-u u u r u u u r r r ．21．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(y x bx b =++为常数）的对称轴是直线1x =． （1）求该抛物线的表达式；（2）点(8,)A m 在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A '，求点A '的坐标； （3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．x⋯ 1- ⋯ y⋯⋯【解答】解：（1）Q 对称轴为2bx =-，12b∴-=， 2b ∴=-，∴抛物线的表达式为221y x x =-+；（2）Q 点(8,)A m 在该抛物线的图象上， ∴当8x =时，2221828149y x x =-+=-⨯+=． ∴点(8,49)A ，∴点(8,49)A 关于对称轴对称的点A '的坐标为(6,49)-；（3）列表：x⋯ 1- 0 1 2 3 ⋯ y⋯4114⋯描点、连线，画出图象如图：22．如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45︒方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22︒方向上．（1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M 沿着南偏东30︒的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸？请说明理由．（参考数据：sin 220.375︒≈，cos 220.927︒≈，tan 220.404︒≈，3 1.732≈．)【解答】解：（1）过点M 作MD AC ⊥交AC 的延长线于D ，设DM x =， Q 在Rt CDM ∆中，tan tan 22CD DM CMD x =∠=︒g g ，又Q 在Rt ADM ∆中，45MAC ∠=︒， AD DM ∴=，100tan 22AD AC CD x =+=+︒Q g ， 100tan 22x x ∴+︒=g ，100100167.791tan 2210.404x ∴=≈≈-︒-，答：轮船M 到海岸线l 的距离约为167.79米． （2）作30DMF ∠=︒，交l 于点F ．在Rt DMF ∆中，tan tan 30DF DM FMD DM =∠=︒g g 33167.7996.8733DM =≈⨯≈米， 167.7996.87264.66300AF AC CD DF DM DF ∴=++=+≈+=<，所以该轮船能行至码头靠岸．23．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE =g ． （1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF =g g ，求证：ABE ACD ∆∆∽．【解答】（1）证明：2OD OE OB =Q g ， ∴OE ODOD OB=， //AD BC Q ， AOD COB ∴∆∆∽， ∴OA ODOC OB =∴OA OEOC OD=//AF CD ∴，∴四边形AFCD 是平行四边形；（2）证明：//AF CD Q ，AED BDC ∴∠=∠，BEF BDC ∆∆∽，∴BE BF BD BC=，BC BD=Q，BE BF∴=，BDC BCD∠=∠，AED BCD∴∠=∠．180AEB AED∠=︒-∠Q，180ADC BCD∠=︒-∠，AEB ADC∴∠=∠．AE AF AD BF=Q g g，∴AE ADBF AF=，Q四边形AFCD是平行四边形，AF CD∴=，∴AE ADBE DC=，ABE ADC∴∆∆∽．24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数2y ax bx c=++（其中a、b、c是常数，且0)a≠的图象经过点(0,3)A-、(1,0)B、(3,0)C，联结AB、AC．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果:3:2ABD BCDS S∆∆=，求tan DBC∠的值；（3）如果点E在该二次函数图象的对称轴上，当AC平分BAE∠时，求点E的坐标．【解答】解：（1）将(0,3)A-、(1,0)B、(3,0)C代入2y ax bx c=++，得，3930ca b ca b c=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得，143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是243y x x =-+-；（2）过点D 作DH BC ⊥于H ，在ABC ∆中，设AC 边上的高为h ，则132122ABD BCDAD hS AD S DC DC h ∆∆===g g ，又//DH y Q 轴， CHD COA ∴∆∆∽， ∴25CH DC DH OC AC OA ===， 26355CH DH ∴==⨯=， 64255BH BC CH ∴=-=-=， 3tan 2DH DBC BH ∴∠==；（3）2243(2)1y x x x =-+-=--+Q ，∴对称轴为直线2x =，设直线2x =与x 轴交于点G ，过点A 作AF 垂直于直线2x =，垂足为F ，3OA OC ==Q ， 90AOC ∠=︒，45OAC OCA ∴∠=∠=︒， //AF x Q 轴，45FAC OCA ∴∠=∠=︒， AC Q 平分BAE ∠， BAC EAC ∴∠=∠，BAO OAC BAC ∠=∠-∠Q ，EAF FAC EAC ∠=∠-∠， BAO EAF ∴∠=∠，90AOB AFE ∠=∠=︒Q ， OAB FEA ∴∆∆∽， ∴13OB EF OA AF ==， 2AF =Q ， 23EF ∴=， 27333EG GF EF AO EF ∴=-=-=-=， 7(2,)3E ∴-．25．已知：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，2AB BE DC =g ，:3:1DE EC =，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G ．（1）找出图中与ACD ∆相似的三角形，并说明理由； （2）当DF 平分ADC ∠时，求:DG DF 的值；（3）如图2，当90BAC ∠=︒，且DF AE ⊥时，求:DG DF 的值．【解答】解：（1）与ACD ∆相似的三角形有：ABE ∆、ADC ∆，理由如下： 2AB BE DC =Q g ， ∴BE ABAB DC=， AB AC =Q ， B C ∴∠=∠，BE ACAB DC=， ABE DCA ∴∆∆∽． ABE DCA ∆∆Q ∽， AED DAC ∴∠=∠．AED C EAC ∠=∠+∠Q ，DAC DAE EAC ∠=∠+∠， DAE C ∴∠=∠． ADE CDA ∴∆∆∽；（2）ADE CDA ∆∆Q ∽， 又DF Q 平分ADC ∠， ∴DG DE ADDF AD CD==， 设CE a =，则33DE CE a ==，4CD a =， ∴34a ADAD a=， 解得：23AD a =， ∴233DF AD a DG CD ===（3）90BAC ∠=︒Q ，AB AC =， 45B C ∴∠=∠=︒， 45DAE C ∴∠=∠=︒DG AE ⊥Q ，45DAG ADF∴∠=∠=︒，AG DG∴====，EG∴===，AE AG EG a∴=+=+，AED DAC∠=∠Q，ADE DFA∴∆∆∽，∴AD AEDF AD=，2ADDF a AE∴===，∴DGDF==．。
上海2020高三数学一模分类汇编-平面向量、复数(详答版)
2020年一模汇编——平面向量一、填空题 【徐汇2】 向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为【答案】3【解析】向量a →在向量b →方向上的投影为3cos 31a ba ba a a bbθ→→→→→→→→→⋅⋅=⨯===⨯【闵行5】在△ABC 中，已知AB a =，BC b =，G 为△ABC 的重心，用向量a 、b 表示向量AG =【答案】2133a b + 【解析】因为G 为△ABC 的重心，设BC 边中线为AD ，交BC 于D 点，则()222121333233AG AD AB BD AB BC a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭ 【长宁，嘉定，金山6】己知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,21AB ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,23AC ,则BAC ∠= 【答案】6π【解析】向量的夹角公式23cos 222221212121=+⋅++=y x y x y y x x θ，6πθ=∴【静安7】如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.【答案】-3【解析】()()14-3AC BD AB AD AD AB ⋅=+-=-=【松江7】已知向量()1,2a →=，(),3b m →=-，若向量2a b b →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭∥，则实数m =【答案】32-【解析】()212,8a b m →→-=-，又2a b b →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭∥，()()12380m m ∴---=，解得：32m =-【长宁，嘉定，金山10】已知非零向量..a b c 两两不平行，且()(),+c ab c b a +，设c=,,,+2y=xa yb x y R +∈则x【答案】-3【解析】由题意得()()1;b c ma b xa yb y b m x a +=⇒++=+=-即1y =-，()()=1a c na a xa yb x a n y b +⇒++⇒+=-；即1x =- 23x y ∴+=-【虹口10】如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅= 【答案】1-【解析】以O 为坐标原点OA 为x 轴OB 为y 轴建立直角坐标系，可得(0,0)(1,0)(0,1)()01O A B OD AB OA AD AB OA AB AD AB AB AD AD AB OD AB OA AB →→→→→→→→→→→→→→→==+⊥∴=∴==-、、【普陀11】设P 是边长为22的正六边形123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN 的取值范围为____________. 【答案】646,882⎡⎤-+⎣⎦【解析】构建平面直角坐标系，取MN 中点C ，∴()()PM PN PC CM PC CN ⋅=+⋅+2224PC CM PC =-=-，max ||22222PC OC =+=+，min ||62PC OB OC =-=-，∴2[1046,1282]PC ∈-+，即[646,882]PM PN ⋅∈-+，另外，本题也可利用参数方程转化为三角函数求最值问题得思路解题。
上海市静安区2022届高三一模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为的直线交y 轴于点N ，交双曲线右支于点M，若，则双曲线C 的离心率为（ ）A．B．C ．2D．2.设集合.则（ ）A．B．C．D．3. 在中，，则（ ）A．B．C ．6D ．54.已知和是定义在R 上的函数，且，则“有极值点”是“和中至少有一个函数有极值点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（）A．B．C．D．6. 已知甲､乙两组数据分别为：和，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（ ）A ．甲组数据的第70百分位数为23B ．甲､乙两组数据的极差不相同C ．乙组数据的中位数为24.5D ．甲､乙两组数据的方差相同7. 函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为（ ）A ．2B ．eC．D．8. 函数的单调递减区间是（ ）A．B ．和C．D ．和9.已知在四棱锥中，底面为梯形，且的交点为，在上取一点，使得平面，四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则下面结论正确的为（ ）A．B．C ．D．10.已知函数及其导函数的定义域均为，，，且当时，，则（ ）A．B．上海市静安区2022届高三一模数学试题(1)上海市静安区2022届高三一模数学试题(1)三、填空题四、解答题C．D．11. 已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则可以为（ ）A．B．C．D．12. 某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有（ ）A ．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B ．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C ．2010年与2020年艺体达线人数相同D ．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加13. 在等比数列中，若，则___________，___________.14. 底面半径为1，高为4的圆柱的侧面积是______.15. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，底面BCD ，，且，，利用张衡的结论可得球O 的体积为________.16. 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）17. 2021年11月10日，在英国举办的《联合国气候变化框架公约》第26次缔约方大会上，100多个国家政府、城市、州和主要企业签署了《关于零排放汽车和面包车的格拉斯哥宣言》，以在2035年前实现在主要市场、2040年前在全球范围内结束内燃机销售，电动汽车将成为汽车发展的大趋势．电动汽车生产过程主要包括动力总成系统和整车制造及总装．某企业计划为某品牌电动汽车专门制造动力总成系统．(1)动力总成系统包括电动机系统、电池系统以及电控系统，而且这三个系统的制造互不影响．已知在生产过程中，电动机系统、电池系统以及电控系统产生次品的概率分别为，，．（ⅰ）求：在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率；（ⅱ）动力总成系统制造完成之后还要经过检测评估，此检测程序需先经过智能自动化检测，然后再进行人工检测，经过两轮检测恰能检测出所有次品，已知智能自动化检测的合格率为95%，求：在智能自动化检测为合格品的情况下，人工检测一件产品为合格品的概率．(2)随着电动汽车市场不断扩大，该企业通过技术革新提升了动力总成系统的制造水平．现针对汽车续航能力的满意度进行用户回访．统计了100名用户的数据，如下表：对续航能能力是否满意产品批次合计技术革新之前技术革新之后满意285785不满意12315合计4060100试问是否有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联？参考公式：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．(1)若是上一点，且，证明：平面；(2)若是的中点，点满足，是线段上的任意一点，求与平面所成角的正弦值的取值范围．19. 已知，其中.（1）当时，求的极值；（2）若，求的值.20. 如图1，已知等边△ABC与等腰梯形BCDE有公共边BC，AB =2，CD = DE = BE = 1.如图2，把△ABC沿BC折起，使点A到达点P处，连接PE，PD，且PE=2.(1)求证：平面PBC⊥平面BCDE；(2)求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的正弦值.21. 某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为．（1）问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于？（2）已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．。
2020年上海市静安区初三中考一模数学试卷及答案 Word含解析
2020年上海市静安区初三一模数学试卷一、选择题1、已知a =b =ab 的值为（ ）A. B.C.x y -D.x y +2、已知点P 在线段AB 上，且:2:3AP PB =，那么:AB PB 为（ ）A.3:2B.3:5C.5:2D.5:33、在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，:4:5AD DB =，下列结论中正确的是（ ）A.45DE BC = B.94BC DE = C.45AE AC = D.54EC AC = 4、在Rt ABC 中90C ∠=，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别是,,a b c ，如果3a b =，那么A ∠的余切值为（ ）A.13B.3 5、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，下列式子中正确的是（ ）A.DC a b =+B.DC a b =-C.DC a b =-+D.DC a b =--6、如果将抛物线22y x =-平移，使平移后的抛物线与抛物线289y x x =-+重合，那么它平移的过程可以是（ ） A.向右平移4个单位，向上平移11个单位 B.向左平移4个单位，向上平移11个单位C.向左平移4个单位，向上平移5个单位D.向右平移4个单位，向下平移5个单位二、填空题7、因式分解：25x x -= .8、已知()f x =()3f = .9、方程1112x x -=+的根是 . 10、已知：34x y =，且4y ≠，那么34x y -=- . 11、在ABC 中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，6AD =，那么AG = . 12、如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么两个三角形的面积比是 .13、如图，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD 底部C 的俯角为60，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为 米。
（结果保留根号）14、某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x （0x >），六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是 . 15、矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为 .16、已知二次函数2228y a x a x a =++（a 是常数，0a ≠），当自变量x 分别取6-，4-时，对应的函数值分别为1y 、2y ，那么1y 、2y 的大小关系是：1y 2y （填“>”、“<”、“=”）.17、平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”.在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AD =，9BC =，点E F 分别在边AB 、CD 上，且EF 是梯形ABCD 的“比例中线”，那么DFFC= . 18、如图，有一菱形纸片ABCD ，60A ∠=，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos EFB ∠的值为 .三、解答题19、先化简，再求值：2222244x y x y x y x xy y --÷+++，其中sin 45x =，cos 60y =.20、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，20AC =，3sin 5A =，CD AB ⊥，垂足为D . （1）求BD 的长；（2）设AC a =，BC b =，用a 、b 表示AD21、已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x bx =++（b 为常数）的对称轴是直线1x =. （1）求该抛物线的表达式；（2）点()8,A m 在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为'A ，求点'A 的坐标. （3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线.22、如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22方向上. （1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M 沿着南偏东30的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸？请说明理由.（sin 220.375≈，cos 220.927≈，tan 220.404≈ 1.732≈.）23、如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE =⋅.（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF ⋅=⋅，求证：ABEACD .24、在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图像经过点()0,3A -、()1,0B 、()3,0C ，联结AB 、AC . （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABDBCDSS=，求tan DBC ∠的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分BAE ∠时，求点E 的坐标.25、已知，如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，2AB BE DC =⋅，:3:1DE EC =，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G .（1）找出图中与ACD 相似的三角形，并说明理由； （2）当DF 平分ADC ∠时，求:DG DF 的值；（3）如图，当90BAC ∠=，且DF AE ⊥时，求:DG DF 的值.参考答案1-6、CDBACD7、()5x x - 8 9、3x = 10、3411、412、16:25 13、 14、()22001y x =+ 15、240 16、> 17、23 18、1719、原式2x yx y+=+=20、（1）9；（2）16162525AD a b =-； 21、（1）221y x x =-+；（2）()'6,49A -；（3）略 22、（1）167.79m ；（2）能 23、略24、（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）72,3⎛⎫- ⎪⎝⎭25、（1）ACD EBA EAD ；（2（3）24+。
2024年高考数学一模试卷附答案
2024年高考数学一模试卷附答案一、选择题（每小题5分，共40分）1. 若函数f(x) = x² - 4x + 3在区间（-∞，a）上是减函数，求实数a的取值范围。
A. a ≤ 2B. a ≤ 1C. a ≤ 3D. a ≤ 42. 已知函数g(x) = 2x - 3，若g(2a - 1) = 5，求a的值。
A. 4B. 3C. 2D. 13. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 15，S10 = 30，求公差d。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知三角形ABC的面积为6，且BC = 4，AC = 5，求sinA的值。
A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/35. 若直线l：x - 2y + 3 = 0与圆C：(x - 1)²+ (y + 2)² = 16相交于A、B两点，求线段AB的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 86. 已知函数h(x) = x³ - 3x² + 2x，求h(x)的单调递增区间。
A. (-∞，0)B. (0，2)C. (2，+∞)D. (-∞，2)7. 若数列{bn}的通项公式为bn = 3n - 2，求该数列的前10项和。
A. 150B. 160C. 170D. 1808. 若函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|的最小值为3，求x的取值范围。
A. x ≤ 1B. x ≥ 2C. x ≤ 2D. x ≥ 1二、填空题（每小题5分，共40分）9. 已知函数f(x) = x² - 2x + 1，求f(3)的值。
10. 若a² + b² = 5，且a > 0，b < 0，求a +b的取值范围。
11. 已知数列{cn}的前n项和为Tn，且Tn = 2n²+ n，求该数列的通项公式。
12. 若直线y = kx + 1与圆(x - 2)² + (y -3)² = 4相切，求实数k的取值范围。
上海市静安区达标名校2020年高考四月数学模拟试卷含解析
上海市静安区达标名校2020年高考四月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ） A ．100B ．210C ．380D ．4002．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．32C ．233D ．33．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C< C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A >D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >4．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-5． “11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”是“221x y +≤”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线上，2F G OG ⊥16|||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．22y x =±B ．3y x =C ．y x =±D ．2y x =7．当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ） A ．y x =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+D ．1y x =+9．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．810．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．8311．已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O 为坐标原点若.0PA PB =,则直线OA 与OB 的斜率之积为（ ）A ．14-B ．3-C ．18-D ．4-12．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( ) A ．2±B ．2-C ．22D ．22±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年上海市静安区中考数学一模试卷(附答案)
2020年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 已知a =√x +√y ，b =√x −√y ，那么ab 的值为（ ） A.2√x B.2√y C.x −y D.x +y2. 已知点P 在线段AB 上，且AP:PB ＝2:3，那么AB:PB 为（ ） A.3:2 B.3:5 C.5:2 D.5:33. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE // BC ，AD:DB ＝4:5，下列结论中正确的是（ ） A.DE BC=45B.BCDE=94C.AE AC=45D.EC AC=544. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90∘，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a ＝3b ，那么∠A 的余切值为（ ） A.13 B.3C.√24D.√10105. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA →=a →，OB →=b →，下列式子中正确的是（ ）A.DC →=a →+b →B.DC →=a →−b →C.DC →=−a →+b →D.DC →=−a →−b →6. 如果将抛物线y ＝x 2−2平移，使平移后的抛物线与抛物线y ＝x 2−8x +9重合，那么它平移的过程可以是（ ）A.向右平移4个单位，向上平移11个单位B.向左平移4个单位，向上平移11个单位C.向左平移4个单位，向上平移5个单位D.向右平移4个单位，向下平移5个单位二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）因式分解：x 2−5x ＝________．已知f(x)=√3x +1，那么f(3)＝________．方程x−1x+1=12的根为________．已知：xy =34，且y ≠4，那么x−3y−4=________．在△ABC 中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，AD ＝6，那么AG ＝________．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是________．如图，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD 底部C 的俯角为60度，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为________米．（结果保留根号）某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x(x >0)，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是________．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为________．已知二次函数y ＝a 2x 2+8a 2x +a(a 是常数，a ≠0)，当自变量x 分别取−6、−4时，对应的函数值分别为y 1、y 2，那么y 1、y 2的大小关系是：y 1 > y 2（填“>”、“<”或“＝”）．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD ＝4，BC ＝9，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，且EF 是梯形ABCD 的“比例中线”，那么DFFC =________．如图，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60∘，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）先化简，再求值：x−y x+2y÷x 2−y 2x 2+4xy+4y 2，其中x ＝sin 45∘，y ＝cos 60∘．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90∘，AC ＝20，sin A=34，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求BD 的长；（2）设AC →=a →，BC →=b →，用a →、b →表示AD →．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2+bx +1（b 为常数）的对称轴是直线x ＝1．（1）求该抛物线的表达式；（2）点A(8, m)在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A ′，求点A ′的坐标；（3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45∘方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22∘方向上．（1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M 沿着南偏东30∘的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸？请说明理由． （参考数据：sin 22∘≈0.375，cos 22∘≈0.927，tan 22∘≈0.404，√3≈1.732．）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，OD 2＝OB ⋅OE ．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果BC＝BD，AE⋅AF＝AD⋅BF，求证：△ABE∽△ACD．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的图象经过点A(0, −3)、B(1, 0)、C(3, 0)，联结AB、AC．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果S△ABD:S△BCD＝3:2，求tan∠DBC的值；（3）如果点E在该二次函数图象的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE⋅DC，DE:EC＝3:1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90∘，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．参考答案与试题解析2020年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1.【答案】 C【考点】二次根式的化简求值 【解析】将a 、b 直接代入ab ，利用平方差公式求值即可． 2.【答案】 D【考点】 比例线段 【解析】根据比例的合比性质直接求解即可． 3.【答案】 B【考点】相似三角形的性质与判定 【解析】由平行线证出△ADE ∽△ABC ，得出AE AC=DE BC=AD AB=49，即可得出答案．4.【答案】 A【考点】锐角三角函数的定义 【解析】根据余切函数的定义即可求解． 5.【答案】 C【考点】 *平面向量平行四边形的性质 【解析】利用平行四边形的性质与计算机向法则求出AB →即可解决问题．6.【答案】 D【考点】二次函数图象与几何变换 【解析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【答案】 x(x −5) 【考点】因式分解-提公因式法 因式分解【解析】根据提公因式法，可分解因式． 【答案】 √10【考点】 函数值 【解析】将x ＝3代入f(x)=√3x +1计算即可． 【答案】 x ＝3 【考点】 解分式方程 【解析】根据分式方程的解法，方程两边同时乘以2(x +1)，将分式方程化为整式方程求解即可． 【答案】34【考点】 比例的性质 【解析】根据分比性质可得答案． 【答案】 4【考点】 三角形的重心 三角形中位线定理 相似三角形的性质与判定【解析】由三角形的重心的概念和性质求解． 【答案】 16:25【考点】相似三角形的性质【解析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．【答案】15√3【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】解直角三角形即可得到结论．【答案】y＝200x2+400x+200【考点】二次函数的应用【解析】根据增长率问题公式列出函数解析式即可．【答案】240【考点】矩形的性质解直角三角形【解析】由矩形的性质和三角函数求出CD，由勾股定理求出AD，即可得出矩形的面积．【答案】>【考点】二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征【解析】求出二次函数的对称轴x＝−4，由于函数开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，即可求解．【答案】23【考点】梯形相似三角形的性质与判定【解析】连接BD交EF于G，由EF是梯形ABCD的“比例中线”，得出EF2＝AD×BC＝36，EF＝6，由平行线证出△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，得出EGAD =BGBD，DFDC=GFBC=DGBD，求出EGAD+GFBC=BGBD+DGBD=BDBD=1，即EG4+6−EG 9=1，解得EG=125，得出GF＝6−EG=185，即可得出答案．【答案】17【考点】等边三角形的性质与判定翻折变换（折叠问题）解直角三角形菱形的性质【解析】如图，连接BD．设BC＝2a．在Rt△BEF中，求出EF，BF即可解决问题．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【答案】原式=x−yx+2y÷(x+y)(x−y)(x+2y)2=x−yx+2y⋅(x+2y)2(x+y)(x−y)=x+2yx+y，当x＝sin45∘=√22，y＝cos60∘=12时，原式=√22+2×12√22+12=√2．【考点】特殊角的三角函数值分式的化简求值【解析】现将原式化简为x+2yx+y，再将x＝sin45∘=√22，y＝cos60∘=12代入计算即可．【答案】∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90∘，在Rt△ACD中，sin A=CDAC，∴CD＝AC⋅sin A＝20×35=12，∴AD=√AC2−CD2=√202−122=16，∴tan A=CDAD=34，∵∠ACB＝90∘，∴∠DCB+∠B＝∠A+∠B＝90∘，∴∠DCB＝∠A．∴BD＝CD⋅tan∠DCB＝CD⋅tan A＝12×34=9．∵AB＝AD+DB＝16+9＝25，∴ADAB=1625，又∵AB→=AC→+CB→=a→−b→，∴AD→=1625AB→=1625a→−1625b→．【考点】*平面向量 解直角三角形【解析】（1）解直角三角形求出CD ，AD ，再在Rt △CDB 中求出BD 即可． （2）利用三角形法则求解即可． 【答案】∵ 对称轴为x =−b2， ∴ −b2=1，∴ b ＝−2，∴ 抛物线的表达式为y ＝x 2−2x +1； ∵ 点A(8, m)在该抛物线的图象上，∴ 当x ＝8时，y ＝x 2−2x +1＝82−2×8+1＝49． ∴ 点A(8, 49)，∴ 点A(8, 49)关于对称轴对称的点A ′的坐标为(−6, 49)； −1,0,1,2,3,4,1,0,1,4 【考点】二次函数的性质二次函数图象与几何变换 二次函数图象上点的坐标特征 待定系数法求二次函数解析式【解析】（1）根据对称轴公式求得b 的值，即可求得抛物线的解析式；（2）把点A(8, m)代入解析式求得m 的值，然后根据轴对称的性质即可求得A′的坐标； （3）列表、连线，画出函数的图象即可． 【答案】过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM ＝x ， ∵ 在Rt △CDM 中，CD ＝DM ⋅tan ∠CMD ＝x ⋅tan 22∘， 又∵ 在Rt △ADM 中，∠MAC ＝45∘， ∴ AD ＝DM ，∵ AD ＝AC +CD ＝100+x ⋅tan 22∘， ∴ 100+x ⋅tan 22∘＝x ，∴ x =1001−tan 22≈1001−0.404≈167.79， 答：轮船M 到海岸线l 的距离约为167.79米． 作∠DMF ＝30∘，交l 于点F ．在Rt △DMF 中，DF ＝DM ⋅tan ∠FMD ＝DM ⋅tan 30∘=√33DM ≈√33×167.79≈96.87米，∴ AF ＝AC +CD +DF ＝DM +DF ≈167.79+96.87＝264.66<300， 所以该轮船能行至码头靠岸．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【解析】（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM ＝x ，解直角三角形即可得到结论； （2）作∠DMF ＝30∘，交l 于点F ．解直角三角形即可得到结论． 【答案】证明：∵ OD 2 ＝OE ⋅OB ， ∴ OEOD =ODOB ， ∵ AD // BC ，∴ △AOD ∽△COB ， ∴OA OC =OD OB∴ OAOC =OEOD∴ AF // CD ，∴ 四边形AFCD 是平行四边形； 证明：∵ AF // CD ，∴ ∠AED ＝∠BDC ，△BEF ∽△BDC ， ∴ BEBD =BFBC ，∵ BC ＝BD ，∴ BE ＝BF ，∠BDC ＝∠BCD ， ∴ ∠AED ＝∠BCD ．∵ ∠AEB ＝180∘−∠AED ，∠ADC ＝180∘−∠BCD ， ∴ ∠AEB ＝∠ADC ． ∵ AE ⋅AF ＝AD ⋅BF ， ∴ AEBF =ADAF ，∵ 四边形AFCD 是平行四边形， ∴ AF ＝CD ， ∴ AEBE =ADDC ， ∴ △ABE ∽△ADC ．【考点】 梯形相似三角形的判定 平行四边形的性质与判定 【解析】 （1）由已知得出OE OD=OD OB，由平行线得出△AOD ∽△COB ，得出OA OC=OD OB，证出OA OC=OE OD，得出AF // CD ，即可得出结论；（2）由平行线得出∠AED ＝∠BDC ，△BEF ∽△BDC ，得出BEBD =BFBC ，证出∠AEB ＝∠ADC ．由已知得出AEBF =AD AF，由平行四边形的性质得出AF ＝CD ，得出AE BE=AD DC，由相似三角形的判定定理即可得出结论．【答案】将A(0, −3)、B(1, 0)、C(3, 0)代入y ＝ax 2+bx +c ， 得，{c =−3a +b +c =09a +3b +c =0 ，解得，{a =−1b =4c =−3，∴ 此抛物线的表达式是y ＝−x 2+4x −3； 过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为ℎ，则S △ABDS △BCD=12AD⋅ℎ12DC⋅ℎ=AD DC =32，又∵ DH // y 轴， ∴ △CHD ∽△COA ， ∴CH OC=DC AC=DH OA =25，∴ CH ＝DH =25×3=65， ∴ BH ＝BC −CH ＝2−65=45， ∴ tan ∠DBC =DH BH=32；∵ y ＝−x 2+4x −3＝−(x −2)2+1，∴ 对称轴为直线x ＝2，设直线x ＝2与x 轴交于点G ，过点A 作AF 垂直于直线x ＝2，垂足为F ， ∵ OA ＝OC ＝3， ∠AOC ＝90∘，∴ ∠OAC ＝∠OCA ＝45∘， ∵ AF // x 轴，∴ ∠FAC ＝∠OCA ＝45∘， ∵ AC 平分∠BAE ， ∴ ∠BAC ＝∠EAC ，∵ ∠BAO ＝∠OAC −∠BAC ，∠EAF ＝∠FAC −∠EAC ，∴ ∠BAO ＝∠EAF ，∵ ∠AOB ＝∠AFE ＝90∘， ∴ △OAB ∽△FEA ， ∴ OBOA =EFAF =13， ∵ AF ＝2，∴ EF =23，∴ EG ＝GF −EF ＝AO −EF ＝3−23=73， ∴ E(2, −73)．【考点】二次函数综合题 【解析】（1）将A 、B 、C 的坐标直接代入y ＝ax 2+bx +c 即可；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为ℎ，求出AD 与DC 的比，证△CHD ∽△COA ，可求出CH ，DH ，BH 的长，可根据正切定义求出结果；（3）求出抛物线对称轴为直线x ＝2，设直线x ＝2与x 轴交于点G ，过点A 作AF 垂直于直线x ＝2，垂足为F ，证∠OAC ＝∠OCA ＝45∘，∠FAC ＝∠OCA ＝45∘，推出∠BAO ＝∠EAF ，证△OAB ∽△FEA ，即可求出AF 的长，EF 的长，EG 的长，即可写出点E 的坐标．【答案】与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：∵AB2＝BE⋅DC，∴BEAB =ABDC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BEAB =ACDC，∴△ABE∽△DCA．∵△ABE∽△DCA，∴∠AED＝∠DAC．∵∠AED＝∠C+∠EAC，∠DAC＝∠DAE+∠EAC，∴∠DAE＝∠C．∴△ADE∽△CDA；∵△ADE∽△CDA，又∵DF平分∠ADC，∴DGDF =DEAD=ADCD，设CE＝a，则DE＝3CE＝3a，CD＝4a，∴3aAD =AD4a，解得：AD＝2√3a，∴DFDG =ADCD=2√3a4a=√32；∵∠BAC＝90∘，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45∘，∴∠DAE＝∠C＝45∘∵DG⊥AE，∴∠DAG＝∠ADF＝45∘，∴AG＝DG=√22AD=√22×2√3a=√6a，∴EG=√DE2−DG2=√(3a)2−(√6a)2=√3a，∴AE＝AG+EG＝(√6+√3)a，∵∠AED＝∠DAC，∴△ADE∽△DFA，∴ADDF =AEAD，∴DF=AD2AE =√3a)2(√6+√3)a=4(√6−√3)a，∴DGDF =√6a4(√6−√3)a=2+√24．【考点】相似三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定【解析】（1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可；（2）由相似三角形的性质即可得出答案；（3）由等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案．。
2020上海静安区高三一模数学理试题及答案
2020上海静安区高三一模数学理试题及答案 静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测数学（理）试卷（试卷满分150分考试时间120分钟）2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合，，则.答案：考点：集合的描述法备考建议：强调，对集合描述法要区分集合的代表元。2．设，则.答案：考点：二项式定理解法：将代入式子中备考建议：让学生理解，二项式题型中的赋值法，并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题型。3．不等式的解集是.答案：考点：分式不等式的解法备考建议：分式不等式建议通分后再解不等式，易错点是：不等式性质中，若要两边同乘除，要注意所乘所除数的正负性。4．如图，在四棱锥中，已知底面，，底面是正方形，与底面所成角的大小为，则该四棱锥的体积是.答案：考点：锥体体积的求法备考建议：让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公式。5．已知数列的通项公式（其中），则该数列的前项和.答案：考点：数列分组求和，等比数列求和。备考建议：此类题型要让学生观察数列通项公式的结构，从而选择正确的求和方法。同时，也可带领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况。6．已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，,若=0，则=.答案：2考点：向量的数量积：解法：由于与、、的数量积都有联系，故等式两边同乘上一个。7．已知，(其中，则.答案：考点：绝对值方程的解法。解法：先解出方程，之后再解备考建议：带领学生回忆遇到绝对值的几种处理方法：分段讨论、数形结合、绝对值不等式解法。同时，不要忘记圈划题目中特殊的范围信息“(其中”8．已知△的顶点、、，则△的内角的大小是.（结果用反三角函数值表示）答案：考点：向量数量积求夹角。备考建议：回忆向量数量积求夹角公式，以及斜率求夹角公式，并分析它们的缺陷及适用情形。9．若、是一元二次方程的两根，则=.答案：考点：韦达定理的应用注意：方程判别式小于0，但不影响这道题的解答，韦达定理对一元二次方程均适用。10．已知、是方程的两根，、，则=.答案：考点：韦达定理，两角和与差的正切公式，任意角的三角比。注意：由两根的和与积可以判断出、都是负角11．直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是.答案：或考点：点到直线距离公式。备考建议：此类题型若只解出一条直线时，注意判断斜率不存在的情况。12．已知实数、满足，则的取值范围是.答案：考点：利用函数性质作图，数形结合。备考建议：画带有绝对值的函数的图像，注意利用绝对值得对称性，如本题只要画出函数在第一象限的图像，然后利用绝对值的对称性，即可得到函数其他象限的图像。同时，也可以数形结合，理解成斜率去求范围。13．一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是.答案：。考点：无穷等比数列各项和。备考建议：带领学生回忆一下，无穷等比数列需要满足各条件是，其公比分别需要满足的不同范围，以及强调在某些等比数列极限题型中，不要忘记排除的情况。14．两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分.两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有名高二年级的学生参加比赛.（结果用数值作答）答案：7或者14考点：排列组合解法：通过所有人的总分和为联系来列等式。设高二年级学生共有人，高二年级每人获得分（）于是所有人的总分和为：由于共有场比赛，所以所有人的总分和也可表示为故，得（），故备考建议：此类较新颖的题型，建议学生要仔细审题，抓住题中的关键点作为突破口入手。二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是()A．；B．；C．；D．答案：D考点：幂函数的图像及其性质备考建议：带领学生回忆考纲中涉及到的几类幂函数的性质及其图像。16．已知直线与直线，记.是两条直线与直线平行的()A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件答案：B考点：行列式判断两直线位置关系备考建议：带领学生回忆，判断直线位置关系的先后步骤，并指出二元一次方程组的解与直线位置关系之间的联系。17．已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，则表示复数的点是()A．B．C．D．答案：D考点：复平面，复数的运算备考建议：学生要理解复数与复平面坐标之间的互相联系与转化。18．到空间不共面的四点距离相等的平面个数为()A．1个；B．4个；C．7个；D．8个答案：C考点：立体几何，排列组合解法：分两种情形进行讨论1.一个点在平面的一侧，而另外三个点在平面的另一侧，故有种情况。2.两个点在平面的一侧，而另外两个点在平面的另一侧，故有种情况。（注意此处为平均分组问题，故要除以2，以以防重复。）备考建议：遇到此类，直接思考会比较复杂的题型，建议利用分类的思想，简化情况，可能会取得比较好的效果。三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足.（1）求B的大小；（2）若，的面积，求的值.
上海市静安区达标名校2020年高考二月数学模拟试卷含解析
上海市静安区达标名校2020年高考二月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论： ①AC BD ⊥； ②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -的体积的最大值为212； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②④2．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．603．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)(3,)e +∞B ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞4．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2B ．2C ．0D ．1或25．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里B ．3海里C ．2D ．36．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞7．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°9．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．3510．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图象关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min 2x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（）A ．()2,6k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦12．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ）A ．4510B ．4510-C ．32-D ．3210-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市静安区达标名校2020年高考三月仿真备考数学试题含解析
③当 时, 有唯一零点,即 有唯一零点；
④ 时, 此时无零点,即 此时无零点.
【点睛】
本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.
20．（1）见解析（2）
写出 展开式的通项公式 ，令 ，即 ，则可求系数．
【详解】
的展开式的通项公式为 ，令 ，即 时，系数为 ．故选C
【点睛】
本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．
8．D
【解析】
由题意得，函数点定义域为 且 ，所以定义域关于原点对称，
且 ，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，
故选D.
9．D
【解析】
【分析】
A． B． C． D．
11．若复数 （ 为虚数单位）的实部与虚部相等，则 的值为( )
A． B． C． D．
12． 的二项展开式中， 的系数是（）
A．70B．-70C．28D．-28
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若 ，且 ，则 的最小值是______.
14．如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数 ，分类讨论确定 的正负，确定单调区间；
（2）题意说明 ,利用导数求出 的最小值，由（1）可得 的最小值，从而得出结论．
【详解】
解：（1）定义域为
当 时，即 在 上增；
当 时，即 得 得
综上所述，当 时， 在 上增；
当 时， 在 上减，在 上增
（2）由题
在 上增
由（1）当 时， 在 上增，所以此时 无最小值；