山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期末考试数学试题(含答案)
3
3.
……………………………10 分
若选 ②：
由正弦定理得 sin Asin B sin B cos( A ) . 6
…………………………2 分
因为 0 B ，所以 sin B 0 ， sin A cos( A ) ， 6
化简得 sin A 3 cos A 1 sin A ， ………………………………………4 分
所以 an = 2n .
…………………………………………………5 分
（2） bn (an 1)2an =(2n 1)4n .
……………………………………………6 分
所以 Tn 1 41+3 42 +5 43 + +(2n 1)4 n
4Tn
1 42+3 43+ +(2n 3) 4 n (2n 1) 4 n1 . ……7 分
不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在 n 1 与 n 2 之
中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）
22.已知函数
f
(x)
1 2
x2
ax ln
x
2ax
3 4
x2
，其中 0
a
e
.
（1）求函数 f (x) 的单调区间； （2）讨论函数 f (x) 零点的个数；
山东省烟台市 2020 届高三上学期期末考试数学试题
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A x | x2 x 2 0 ， B x | y x ，则 A B （ ）
3
13.
4
四、解答题
14. 0.1
15. 2 16. 52 ， 4
17.解：若选①：
由正弦定理得 (a b)(a b) (c b)c ，
………………………………2 分
即 b2 c2 a2 bc ，
所以 cos A b2 c2 a2 bc 1 ，
2bc
2bc 2
……………………………………4 分
21.某企业拥有 3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，
1
且出现故障的概率为 .
3
4
（1）求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率； （2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每 月只有及时维修 1 条生产线的能力，且每月固定工资为 1 万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下， 每条生产线创造 12 万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造 8 万元的利润；如果出现故障
3
BC 4 ，则：（1）球 O 的表面积为__________；（2）若 D 是 BC 的中点，过点 D 作球 O 的截面，则截面
面积的最小值是__________．
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
2
2
即 tan A = 3 ，因为 0 A ，所以 A .
3
6
…………………………6 分
又因为 a2
b2
c2
2bc cos
，
6
所以 bc (b c)2 a2 = 62 (2 6)2 ，即 bc 24 12 3 ， ……………8 分
2 3
2 3
所以
SABC
1 bc sin 2
两式相减得：
3Tn 4+2 (42+43+ +4 n) (2n 1) 4 n1 ， …………………9 分
3Tn
4+2
42 4n+1 1 4(2nFra bibliotek1)
4
n1
，
…………………11 分
化简得
Tn
20 9
+
(6n
5)4n1 9
.
……………………………………12 分
19.解：（1）连接 BD 交 AC 于点 F ,连接 EF .
.
求 ABC 的面积.
18.已知数列an 的前 n 项和 Sn 满足 2Sn n 1an n N ，且 a1 2 .
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设 bn an 1 2an ，求数列bn 的前 n 项和 Tn .
19.如图，在四棱锥 S ABCD 中， ABCD 为直角梯形， AD / /BC ， BC CD ，平面 SCD 平面 ABCD ， SCD 是以 CD 为斜边的等腰直角三角形， BC 2 AD 2CD 4 ， E 为 BS 上一点，且 BE 2ES .
两式相减得 2an1 (n 2)an1 (n 1)an ，
整理得 nan+1 = (n +1)an ，.
………………………………………………2 分
即 an+1 = an ， n N* ，所以{ an } 为常数列.
n +1 n
n
所以 an a1 2 ， n1
………………………………………4 分
14.已知随机变量 X N 1, 2 ， P 1 X 1 0.4 ，则 P X 3 __________．
15.设点 P 是曲线 y ex x2 上任一点，则点 P 到直线 x y 1 0 的最小距离为__________． 16.已知三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上，PA 平面 ABC ，PA 6 ，AB 2 3 ，AC 2 ，
C. 有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D. 有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
10.已知函数
f
x
sin
3x
2
2
的图象关于直线
x
4
对称，则（
）
A.
函数
f
x
12
为奇函数
B.
函数
f
x
在
12
,
3
上单调递增
2
C.
若
f
x1
f
x2
2 ，则
，若方程
f
x
2x
m
有且只有两个不相等的实数根，则实数
m
的取值
范围是 （ ）
A. , 4
B. , 4
C. 2, 4
D. 2, 4
二、多项选择题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了 50 名男生和 50 名女生，每位学生对食堂的服务
因为 A (0, ) ，所以 A . 3
…………………………………………6 分
又 a2 b2 c2 bc (b c)2 3bc ，
a 2 6 ， b c 6 ，所以 bc 4 ， …………………………………………8 分
5
所以
SABC
1 bc sin 2
A
1 4sin 2
（1）证明：直线 SD / / 平面 ACE ； （2）求二面角 S AC E 的余弦值.
20.已知椭圆 x2 y2 a2 b2
1a b 0 的离心率为
3 ， F 是其右焦点，直线 y kx 与椭圆交于 A ， B 两点， 2
AF BF 8 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设 Q 3, 0 ，若∠AQB 为锐角，求实数 k 的取值范围.
所以 cos A = 2 sin A cos A ， ………………………………………………4 分
2
22
因为 0 A ， 0 A ，所以 cos A 0 ，
22
2
∴ sin A = 1 ， A ，所以 A .
22 26
3
……………………………6 分
又 a2 b2 c2 bc (b c)2 3bc ，
D. 直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为
6 3
12.已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F 、准线为 l ，过点 F 的直线与抛物线交于两点 P x1, y1 ，Q x2, y2 ，
点 P 在 l 上的射影为 P1 ，则 （ ）
A. 若 x1 x2 6 ，则 PQ 8 B. 以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切
C. 设 M 0,1 ，则 PM PP1 2 D. 过点 M 0,1 与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条
第Ⅱ卷（共 90 分）
三、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.
已知向量
a
,
b
满足
|
a
|
1
，
|
b
|
2
，
a
(a
b)
，则
a
与
b
夹角的大小是______．
a 2 6 ， b c 6 ，所以 bc 4 ， ………………………………………8 分
所以
SABC
1 bc sin 2
A
1 4sin 2
3
3.
…………………………10 分
18.解：（1）因为 2Sn = (n +1)an ， n N* ，
6
所以 2Sn+1 = (n + 2)an+1 ， n N* .
x1 x2
的最小值为
3
D. 函数 f x 的图象向右平移 个单位长度得到函数 y cos 3x 的图象
4
11.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 在线段 B1C 上运动，则 （ ）
金考卷：人教版山东省2019-2020学年七年级数学上学期期末原创卷(含解析版答案)
……内………………外………… 学校：__山东省2019-2020学年上学期期末原创卷七年级数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．考试范围：人教版七上全册。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．比–1小2的数是 A ．3B ．1C ．–2D ．–32．一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为 A ．2.18×106B ．2.18×105C ．21.8×106D ．21.8×1053．我市冬季里某一天的最低气温是–10℃，最高气温是5℃，这一天的温差为 A ．–5℃B ．5℃C ．10℃D ．15℃4．下列各组中的两项属于同类项的是A ．2a b 与2abB ．2a 与3a -C ．3a 与3xD ．23与2a5．下列图形中__________可以折成正方体．A ．B ．C ．D ．6．如果x y =，那么下列各式中正确的是 A ．11ax ay -=+B ．x ya a=C ．a x a y -=-D ．x a y a -=+7．如图，AO ⊥BO 于点O ，∠AOC =∠BOD ，则∠COD 等于A ．80︒B ．90︒C ．95︒D ．100︒8．已知x =2是2x +a =5的解，则a 的值为 A ．1B ．32C ．–1D ．239．角5218︒'的补角等于 A ．3742︒'B ．3818︒'C ．12742︒'D ．12842︒'10．如图，点C 是线段AB 上一点，点D 是线段AC 的中点，则下列等式不成立的是A ．AD +BD =ABB ．BD –CD =CBC ．AB =2ACD ．AD =12AC 11．如图为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），可知该无盖长方体的容积为A ．4B ．6C ．12D ．812．某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天．若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成，则甲、乙一共用几天可以完成全部工作？设甲、乙一共用x 天完成，则符合题意的方程是A ．222214530x -+= B ．222213045x ++=C ．222214530x ++=D ．2213045x x -+= 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．如图，将长方形ABCD 绕AB 边旋转一周，得到的几何体是__________．………内………………此………外………………14．点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是__________．15．如图，O为直线AB上一点，∠COB=29°30′，则∠1=__________．16．某品牌手机的进价为1200元，按定价的八折出售可获利14%，则该手机的定价为__________．17．已知a2+2a=1，则3a2+6a+2的值为__________．18．如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这样第__________次移动到的点到原点的距离为2018．三、解答题（本大题共9小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分6分）（1）2+（–1）2019+（2+1）（–2–1）–|–3×13|；（2）777(5)98222222⎛⎫⨯-+-⨯-⨯⎪⎝⎭．20．（本小题满分6分）解方程：（1）–2x+9=3（x–2）；（2）12x–2=926x-．21．（本小题满分6分）先化简再求值：2（x3–2y2）–（x–2y）–（x–3y2+2x3），其中x=–3，y=–2．22．（本小题满分8分）如图，在平面内有A，B，C三点．（1）画直线AC，线段BC，射线AB；（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD；（3）数数看，此时图中线段的条数．23．（本小题满分8分）某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要配两个螺母，要想每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？24．（本小题满分10分）若“△”表示一种新运算，规定a△b=a×b–（a+b）．（1）计算：–3△5；（2）计算：2△[（–4）△（–5）]；（3）（–2）△（1+x）=–x+6，求x的值．25．（本小题满分10分）如图，O为直线AB上一点，OD平分AOC∠，90DOE∠=︒.（1）若50AOC∠=︒，求COE∠和∠BOE的度数；（2）猜想：OE是否平分BOC∠？请直接写出你猜想的结论.26．（本小题满分12分）2018年9月7日，财政部和国税总局发布了《关于2018年第四季度个人所得税减除费用和税率适用问题的通知》，通知规定：我国自2018年10月1日起，个人所得税起征点从3500元提高到5000元．月收入不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收3%的个人所得税……，例如：某人月收入6000元，他应缴纳个人所得税为（6000–5000）×3%=30（元）．按此通知精神完成下面问题：（1）某人2018年10月月收入为5860元，他应缴纳个人所得税多少元？（2）当月收入超过5000元而又不超过8000元时，写出应缴纳个人所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式；（3）如果某人2019年1月缴纳个人所得税81元，那么此人本月收入是多少元？27．（本小题满分12分）观察下列等式：第1个等式：a1=114⨯=13×（11–14）；第2个等式：a2=147⨯=13×（14–17）；第3个等式：a3=1710⨯=13×（17–110）；第4个等式：a4=11013⨯=13×（110–113）；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5=__________=__________；第n（n为正整数）个等式：a n=__________=__________；（2）求a1+a2+a3+a4+…+a2019的值．2019-2020学年上学期期末原创卷七年级数学·全解全析1．【答案】D【解析】–1–2=–3，故选D ． 2．【答案】A【解析】2180000的小数点向左移动6位得到2.18，所以2180000用科学记数法表示为2.18×106，故选A ． 3．【答案】D【解析】5−（−10）=5+10=15（℃）．故选D ． 4．【答案】B【解析】A ．a 2b 与ab 2中所含字母的指数不同，不是同类项，故A 错误； B ．2a 与–3a 中所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，故B 正确； C ．a 3与x 3中所含字母不同，不是同类项，故C 错误； D ．32与a 2中所含字母不同，不是同类项，故D 错误． 故选B ． 5．【答案】B【解析】A ，C ，D 围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体；只有B 能围成正方体．故选B ． 6．【答案】C【解析】此题考查等式的性质；在等式的两边同时加上或减去同一个数仍是等式；在等式的两边同时乘以或除以（一个不为零）同一个数仍是等式；所以此题中A 错误：应该为11ax ay -=-或11ax ay +=+才正确；B 错误，因为等式两边同时除的数a 不知是否为零，所以错误；C 正确，同时乘以–1然后在同时加上a ；D 错误，应该为x a y a -=-或x a y a +=+才正确，故选C ． 7．【答案】B【解析】∵∠AOC =∠BOD ，∴∠AOB =∠COD ，∵AO ⊥BO ，∴∠AOB =∠COD =90°.故选B ． 8．【答案】A【解析】将x =2代入方程得：4+a =5，解得：a =1，故选A ．9．【答案】C【解析】5218︒'的补角等于：180°–5218︒'=12742︒'．故选C ． 10．【答案】C【解析】由图可得，AD +BD =AB ，故选项A 中的结论成立，BD –CD =CB ，故选项B 中的结论成立，∵点C 是线段AB 上一点，∴AB 不一定时AC 的二倍，故选项C 中的结论不成立， ∵D 是线段AC 的中点，∴12AD AC =，故选项D 中的结论成立， 故选C ． 11．【答案】D【解析】长方体的高是1，宽是3–1=2，长是6–2=4，长方体的容积是4×2×1=8．故选D ． 12．【答案】A【解析】设甲、乙共用x 天完成，则甲单独干了（x –22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的145，乙每天完成全部工作的130.根据等量关系列方程得:2245x -＋2230=1，故选A ．13．【答案】圆柱【解析】将长方形ABCD 绕AB 边旋转一周，得到的几何体是圆柱体，故答案为：圆柱． 14．【答案】–2【解析】∵点A 在数轴上表示的数是2，∴点A 表示的数的相反数是–2．故答案为：–2． 15．【答案】150.5°【解析】∵1180BOC ∠+∠=，∴180293018029.51118050.5BOC ︒︒'︒︒∠-=︒=∠﹣＝﹣＝． 故答案为：150.5°． 16．【答案】1710元【解析】设手机的定价为x 元，由题意得，0.8x –1200=1200×14%，解得：x =1710． 该手机的售价为1710元．故答案为：1710元． 17．【答案】5【解析】当a 2+2a =1时，原式=3（a 2+2a ）+2=3+2=5，故答案为：5． 18．【答案】1345【解析】第1次点A 向左移动3个单位长度至点B ，则B 表示的数，1–3=–2； 第2次从点B 向右移动6个单位长度至点C ，则C 表示的数为–2+6=4；………内……………… 此………外………………第3次从点C 向左移动9个单位长度至点D ，则D 表示的数为4–9=–5； 第4次从点D 向右移动12个单位长度至点E ，则点E 表示的数为–5+12=7； 第5次从点E 向左移动15个单位长度至点F ，则F 表示的数为7–15=–8； …；由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：–12（3n +1），当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：322n +． 故当移动次数为奇数时，–12（3n +1）=–2018，解得：n =1345， 当移动次数为偶数时，32=20182n +，n =40343（不合题意）． 故答案为：1345．19．【解析】（1）()()()2019121212||133+-++-⨯---()()21331=+-+⨯-- ()()2191=+-+--=2+（–1）+（–9）–19=-；（3分）（2）()777598222222⎛⎫⨯-+⨯-⨯ ⎪⎝⎭- ()()()759822=⨯-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()72222=⨯- 7=-．（6分）20．【解析】（1）去括号得：–2x +9=3x –6，移项合并得：–5x =–15，解得：x =3；（3分）（2）去分母得：3x –12=9x –2， 移项合并得：–6x =10， 解得：x =–53．（6分） 21．【解析】2（x 3–2y 2）–（x –2y ）–（x –3y 2+2x 3）=2x 3–4y 2–x +2y –x +3y 2–2x 3=–y 2–2x +2y ，（3分）当x =–3，y =–2时，原式=–（–2）2–2×（–3）+2×（–2）=–4+6–4=–2．（6分） 22．【解析】（1）如图，直线AC ，线段BC ，射线AB 即为所求；（3分）（2）如图，线段AD 即为所求；（4分）（3）由题可得，图中线段有AC 、AB 、AD 、BD 、DC 、BC 共6条.（8分） 23．【解析】设生产螺栓的工人有x 名，则生产螺母的工人有（28–x ）名，根据题意得：12x ×2=18（28–x ），（3分） 解得：x =12．（5分）当x =12时，28–x =16．答：生产螺栓的工人有12名，则生产螺母的工人有16名，才能使当天生产的螺栓和螺母与第一天生产的刚好配套．（8分）24．【解析】()()()135353515217-=-⨯--+=--=-；（3分）()()()2245⎡⎤--⎣⎦()()()24545⎡⎤=-⨯----⎣⎦229=()229229=⨯-+ 27.=（7分）（3）根据题意可得()()21216x x x -+--++=-+， 解得：72x =-（10分）25．【解析】（1）∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD =∠AOD =11502522AOC ∠=⨯︒=︒． ∵∠DOE =90°，∴∠COE =∠DOE –∠COD =90°–25°=65°，∴∠BOE =180°–∠AOD –∠DOE =180°–25°–90°=65°；（5分）（2）结论：OE 平分∠BOC ．理由如下： 设2AOC α∠=．∵OD 平分AOC ∠，2AOC α∠=，∴12AOD COD AOC α∠=∠=∠=． 又∵90DOE ∠=︒，∴90COE DOE COD α∠=∠-∠=︒-． 又∵1801809090BOE DOE AOD αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-=︒-， ∴COE BOE ∠=∠，即OE 平分BOC ∠．（10分） 26．【解析】（1）（5860–5000）×3%=25.8（元）．应缴纳个人所得税=25.8（元）；（4分） （2）y =（x –5000）×3%=0.03x –150， 即y =0.03x –150（5000≤x ≤8000）；（8分）（3）把y =81代入y =0.03x –150，得0.03x –150=81，解答x =7700， 此人本月收入是7700元．（12分） 27．【解析】（1）按以上规律知第5个等式为a 5=11316⨯=13×（111316-）， 第n 个等式a n =1(32)(31)n n -+=13×（113231n n --+），故答案为：11316⨯，13×（111316-），1(32)(31)n n -+，13×（113231n n --+）．（8分）（2）a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2019 =111447+⨯⨯+1710⨯+…+1(320192)(320191)⨯-⨯⨯+=13×（1–14）+13×（1147-）+13×（11710-）+…+13×（1160556058-）=13×（1–14+14–11710-+…+16055–16058） =13×（1–16058） =13×60576058 =20196058．（12分）。
2020-2021学年山东省烟台市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．sin17°cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tan x B．y＝3x C．D．y＝x33．设a＝log0.33，，c＝log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a4．函数f（x）＝x3+3x﹣2的零点所在区间为（）A．B．C．D．5．已知函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα＝（）A．B．C．D．6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝log a（x+b）图象的一部分，ABC 是函数y＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．98．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）.9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）图象关于点对称C．f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD．当时，f（x）取得最小值11．已知函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）A．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log a2C．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）三、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．14．若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为．15．函数y＝的定义域为．16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．19．（1）求函数y＝，的值域；（2）解关于x的不等式：（a＞0，且a≠1）．20．已知函数．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2e x，其中e ＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，+∞），使成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．sin17°cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．解：sin17°cos13°+sin73°cos77°＝sin17°cos13°+cos17°sin13°＝sin（17°+13°）＝，故选：B．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tan x B．y＝3x C．D．y＝x3解：y＝tan x在定义域上不具备单调性，不满足条件．y＝3x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．y＝的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．y＝x3是增函数，是奇函数，满足条件．故选：D．3．设a＝log0.33，，c＝log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a 解：∵log0.33＜log0.31＝0，，log23＞log22＝1，∴c＞b＞a．故选：A．4．函数f（x）＝x3+3x﹣2的零点所在区间为（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x3+3x﹣2是连续函数且单调递增，∵f（）＝+﹣2＝﹣＜0，f（）＝+﹣2＝＞0∴f（）f（）＜0，由零点判定定理可知函数的零点在（，）．故选：C．5．已知函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα＝（）A．B．C．D．解：令x+3＝0，求得x＝﹣3，y＝4，函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（﹣3，4），角α的终边经过点P，则cosα＝＝﹣，故选：B．6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝log a（x+b）图象的一部分，ABC 是函数y＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．解：由三角函数的图象知M＝，＝8﹣5＝3，即T＝12，则，得ω＝，则y＝sin（x+φ），由函数过B（5，），得sin（×5+φ）＝，得sin（+φ）＝1，即+φ＝2kπ+，得φ＝2kπ﹣，∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝﹣，则y＝sin（x﹣），（4≤x≤8），排除B，D，当x＝4时，y＝sin（×4﹣）＝sin＝×＝2，即A（4，2），y＝log a（x+b）过（0，0），则log a b＝0，则b＝1，则y＝log a（4+1）＝log a5＝2，得a＝，则y＝log（x+1），（0≤x＜4），排除A，故选：C．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．9解：设他至少经过t小时候才可以驾车，则0.6×100（1﹣10%）t＜20，即3×，即t×，所以t，所以t≥11，即至少经过11个小时即次日最早7点才可以驾车，故选：B．8．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝（）A．B．C．D．解：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos[2（x+φ）﹣]＝cos（2x+2φ﹣），若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，则f（x1）＝1，g（x2）＝﹣1或f（x1）＝﹣1，g（x2）＝1，不妨设f（x1）＝1，g（x2）＝﹣1，则2x1﹣＝2k1π，2x2+2φ﹣＝2k2π+π，k1∈Z，k2∈Z，即2x1＝2k1π+，2x2+＝2k2π+π﹣2φ+，两式作差得2（x1﹣x2）＝2（k1﹣k2）π+2φ﹣π，即（x1﹣x2）＝（k1﹣k2）π+φ﹣，∵|x1﹣x2|的最小值为，∴当k1﹣k2＝0时，最小，此时|φ﹣|＝，∵0＜φ＜，∴φ﹣＝﹣，得φ＝﹣＝，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数解：对于A，经过30分钟，钟表的分针转过﹣π弧度，不是﹣2π弧度，所以A错；对于B，由sinθ＞0，cosθ＜0，可知θ为第二象限角，所以B对；对于C，sinθ+cosθ＞1⇒sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＞1⇒2sinθcosθ＞0，又sinθ+cosθ＝1＞0，所以sinθ＞0，cosθ＞0，即θ为第一象限角，所以C对；对于D，函数y＝sin|x|是偶函数，但不以π周期，如f（）＝1，f（π+）＝﹣1，二者不等，所以D错；故选：BC．10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）图象关于点对称C．f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD．当时，f（x）取得最小值解：函数f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+），当x∈（，π）上，x+∈（，），故f（x）在上单调递减，故A 正确；令x＝，求得f（x）＝0，可得f（x）图象关于点对称，故B正确；f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为＝π，故C正确；当x＝+2kπ，k∈Z时，f（x）＝，为最大值，故D错误．故选：ABC．11．已知函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）A．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log a2C．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称解：函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），对于选项A，令x＞0且a﹣x＞0，解得0＜x＜a，故函数f（x）的定义域为（0，a），故选项A正确；对于选项B，f（x）＝log a x+log a（a﹣x）＝log a[（a﹣x）x]＝log a（﹣x2+ax），因为y＝﹣x2+ax图象开口向下，故y有最大值，但若0＜a＜1时，函数y＝log a x单调递减，此时f（x）无最大值，故选项B错误；对于选项C，若f（x）在（0，2）上单调递增，①当0＜a＜1时，则y＝﹣x2+ax在（0，2）上单调递减，故，解得a≤0，故不符合题意；②当a＞1时，则y＝﹣x2+ax在（0，2）上单调递增，故，解得a≥4，故选项C错误；对于选项D，f（x）＝log a x+log a（a﹣x），则f（a﹣x）＝log a（a﹣x）+log a x＝f（x），所以f（x）图象关于直线对称，故选项D正确．故选：AD．12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）解：对于A，由题意a⊗a＝log2（2a+2a）＝a+1，故A错误；对于B，（a⊗b）⊗c＝[log2（2a+2b）]⊗c＝log2[2+2c]＝log2（2a+2b+2c]，a⊗（b⊗c）＝a⊗[log2（2b+2c）]＝log2[2a+2]＝log2（2a+2b+2c]＝（a⊗b）⊗c，故正确；对于C，a⊗b＝log2（2a+2b），2a+2b≥2≥2＝2+1，所以log2（2a+2b）≥log22+1，即，故正确；对于D，（a⊗b）﹣c＝log2（2a+2b）﹣c（a﹣c）⊗（b﹣c）＝log2（2a﹣c+2b﹣c）＝log22＝log22﹣c+log2（2a+2b）＝﹣c+log2（2a+2b），故正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．解：函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，即方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不等实根，故△＝（﹣2）2﹣4×（﹣a）＞0⇒a＞﹣1，故答案为：（﹣1，+∞）．14．若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为﹣1．解：由函数是幂函数，所以m2﹣m﹣1＝1，解得m＝﹣1或m＝2；当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣1，图象不经过原点，满足题意；当m＝2时，f（x）＝x8，图象经过原点，不满足题意；所以m＝﹣1．故答案为：﹣1．15．函数y＝的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．解：要使函数有意义，则sin x+≥0，及sin x≥﹣，及2kπ﹣≤x≤2kπ+，即函数的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为．解：可以分为三步，每步走60°，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到P的距离为半径，第一步：r＝2，L1＝，第二步：r＝，L2＝，第三步：r＝1，L3＝，所以当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为L1+L3+L3＝＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．解：（1）原式＝＝＝．（2）由于tanα＝﹣2，原式＝＝＝＝﹣1．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．解：若选①：（1）由已知得，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）因为f（x）图象过点，所以，即，）又因为，所以，故．（2）由已知得，于是，解得，故g（x）的单调递增区间为．若选②：（1）由已知得，，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为f（x）图象关于直线对称，所以，即又因为，所以，故．（2）由已知得．由，）即．故g（x）的单调递增区间为．若选③：（1）由已知得，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为f（x）图象关于点对称，所以，即，又因为，所以，故．（2）由已知得，由，k∈Z，即故g（x）的单调递增区间为．19．（1）求函数y＝，的值域；（2）解关于x的不等式：（a＞0，且a≠1）．解：（1）解：令t＝log2x，由于，则t∈[﹣1，1]．于是原函数变为，由于y（t）图象为开口向上的抛物线，对称轴，且，故当，y取最小值；当t＝1时，y取最大值2．所以原函数的值域为．（2）解：当a＞1时，原不等式可化为：，解得．故a＞1时，原不等式的解集为．当0＜a＜1时，原不等式可化为：，即，解得﹣1＜x＜1．故0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．综上可得，a＞1时，原不等式的解集为．0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．20．已知函数．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．解：（1）＝＝＝，∵，所以2x+∈[﹣，]，故当，即时，函数f（x）取得最小值1；当，即时，函数f（x）取得最大值．（2）由，得．于是＝＝．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．解：（1）如图，PM＝40﹣30cosθ，PN＝40﹣30sinθ，于是S＝（40﹣30sinθ）（40﹣30cosθ）＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，其中，，故S关于θ的函数关系式为S＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，（0≤θ≤）；（2）令t＝sinθ+cosθ，则，又，当时，，所以，于是＝450t2﹣1200t+1150，S（t）为开口向上的抛物线，对称轴，又，故当t＝1时，S取得最大值为400 m2，此时，θ＝0或．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2e x，其中e ＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，+∞），使成立，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知f（x）+g（x）＝2e x，①可得f（﹣x）+g（﹣x）＝2e﹣x，由f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），所以﹣f（x）+g（x）＝2e﹣x，②于是①+②可得2g（x）＝2 e x+2 e﹣x，即g（x）＝e x+e﹣x，所以f（x）＝e x﹣e﹣x；（2）由已知f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）上恒成立，又因为f（x）为R上的奇函数，所以f（x2+3）＞f（ax﹣1）在（0，+∞）上恒成立，又因为f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的增函数，所以x2+3＞ax﹣1在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，所以．因为，当且仅当，即x＝2时取等号．所以a＜4；（3）设h（x）＝e﹣|x﹣m|，f（x）在[m，+∞）上的最小值为f（x）min，h（x）在[0，1]上的最小值为h（x）min，由题意，只需f（x）min≤h（x）min，因为f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的增函数，所以．当m≥0时，因为h（x）在（﹣∞，m）单调递增，在（m，+∞）单调递减，所以当x∈[0，1]时，h（x）min＝min{h（0），h（1）}．于是，由h（0）＝e﹣|m|≥e m﹣e﹣m得e m≤2 e﹣m，即e2m≤2，解得．考虑到，故h（1）＝e﹣11﹣m|＝e m﹣1≥e m﹣e﹣m，即，解得．因为，所以．当m＜0时，h（x）在[0，1]单调递减，所以．又e m﹣1＞0，e m﹣e ﹣m＜0，所以对任意m＜0，恒有h（1）＝e m﹣1≥e m﹣e﹣m＝f（x）min恒成立．综上，实数m的取值范围为．。
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案命题教师：张金荣一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0]D ．以上都不对2．函数f(x)=ln(x-2)-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1,2） B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)3．函数f(x)=的定义域为（ ）A ． B. C. D.4．设a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b5．以下说法错误的是( )A ．命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”B ．“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题D ．若命题p:∃x 0∈R,使得+x 0+1<0,则﹁p:∀x ∈R,则x 2+x+1≥06．函数y=lg|x |x 的图象在致是（ ）7．偶函数y=f （x ）在x ∈时，f （x ）=x-1，则f(x －1)＜0的解集是( )A ．{x|-1＜x ＜0B ．{x|x ＜0或1＜x ＜2C ．{x|0＜x ＜2D ．{x|1＜x ＜28．函数f(x)= 满足对任意成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x(0,)恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a≥0B ．a≥-2C ．a≥-D ．a≥-310．已知函数f (x )＝的值域为[0，＋∞)，则它的定义域可以是（ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，() A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14]∪[4，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b= .14．已知函数f(x)是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x-1)<f()的x 的取值范围为__________15．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．16．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝(12)1－x ，则 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题(共70分)17．(12分)给定两个命题：：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果P ∨q 为真，P ∧q 为假，求实数的取值范围．18．（12分）对定义在实数集上的函数f (x )，若存在实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么称x 0为函数f (x )的一个不动点．(1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)有不动点(1,1)、(－3，－3)，求a 、b ；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围．19．(12分)已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0]时，函数解析式f (x )＝14x －a 2x (a ∈R)． (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．20．(12分)C D E AB P 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．21．(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且,，AD ，BE 相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；(II) AP ⊥CP 。
2020届山东省临沂市高三上学期期末考试数学试题(解析版)
高三期末检测数学考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}160A x x x =-->，{}20B x x =->，则A B =（ ）A. {}6x x > B. {}12x x <<C. {}1x x <D. {}26x x <<【答案】C 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，然后利用交集的定义可得出集合A B .【详解】()(){}{1601A x x x x x =-->=<或}6x >，{}{}202B x x x x =->=<，因此，{}1A B x x ⋂=<. 故选：C.【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题. 2.设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（ ） A. 1355i -+ B.1355i - C. 3155i -+ D. 3155i -- 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法计算出z ，再根据定义求出z .【详解】解：因为12z i i i=+-，所以()()()(1)2(1)(1)(2)31222555i i i i i i i z i i i i +++-++====-+--+， 则1355z i =-. 故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的运算，属于基础题. 3.“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据烟台是山东省的一个地级市，所以如果甲在烟台市，那么甲必在山东省，反之不成立，即可判断它们之间的关系.【详解】解：因为烟台是山东省的一个地级市，所以如果甲在烟台市，那么甲必在山东省，反之不成立，故“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的充分不必要条件 故选：A .【点睛】本题考查充分条件、必要条件，属于基础题. 4.函数()22xf x =-（0x <）的值域是（ ）A. 1,2B. (),2-∞C. ()0,2D. 1,【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域，结合指数函数的性质，可得2x 的取值范围，即可求出函数的值域. 【详解】解：0x <，021x ∴<<， 120x ∴-<-<1222x ∴<-<. 即()()2221,xf x =-∈故选：A【点睛】本题考查函数值域的计算，属于基础题.5.62x ⎛⎝的展开式的中间项为（ ） A. -40 B. 240x -C. 40D. 240x【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定义可知62x ⎛ ⎝一共有7项，通项为()6162k kkk T C x -+⎛= ⎝可知第4项为中间项，计算可得.【详解】解：62x ⎛ ⎝的展开式的通项为()6162k kkk T C x -+⎛= ⎝则中间项为313333234631(2)202404T x x C x -⨯⎛⎛⎫=⨯⨯-⨯=- ⎪ ⎭⎝=⎝. 故选：B.【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题，属于基础题.6.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且AB CD ==2BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为（ ）A. 30B.C. 33D. 【答案】B 【解析】 【分析】由,,BC CD AB BC AB CD ⊥⊥⊥判断出球心的位置，由此求得求的直径.利用张恒的结论求得π的值，进而根据球的表面积公式计算出球的表面积.【详解】因为BC CD ⊥，所以BD =AB ⊥底面BCD ，所以球O 的球心为侧棱AD 的中点，从而球O 的直径为10.利用张衡的结论可得25168π=，则10π=，所以球O 的表面积为2104101010ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7.如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（ ）A. 3155AB AC + B.2155AB AC + C. 481515AB AC + D. 841515AB AC +【答案】D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =表示为以,AB AC 为基底来表示的形式.详解】设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，22π2cos4AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =. 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-2133AB AC =+，所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题. 8.已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ） A.13B.16 C.43D.56【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质解答. 【详解】解：2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1cos 26f x x πω⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，又因为2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于4x π=对称， 所以2()46k k Z ππωπ⨯-=∈，即12()3k k Z ω=+∈， 因为0>ω，所以ω的最小值为13.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换以及余弦函数的性质，属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.9.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A. 他们健身后，体重在区间[)90,100内的人增加了2个 B. 他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变 C. 他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD. 他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给条件分析三维饼图即可得出结论.【详解】解：体重在区间[)90,100内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人增加了2个，故A 正确；他们健身后，体重在区间[)100,110内的百分比没有变，所以人数没有变，故B 正确； 他们健身后，20人的平均体重大约减少了()()0.3950.51050.21150.1850.4950.51055kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯= ，故C 错误；因为图（2）中没有体重在区间[)110,120内的比例，所以原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查根据统计图表分析数据，属于基础题. 10.若104a =，1025b =，则（ ） A. 2a b += B. 1b a -=C. 281g 2ab >D. lg 6b a ->【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg 4lg 25lg1002a b ∴+=+==，25lg 25lg 4lg 4b a ∴-=-=， 25lg101lg lg 64=>> lg6b a ∴->24lg 2lg 54lg 2lg 48lg 2ab ∴=>=，故正确的有：ACD 故选：ACD .【点睛】本题考查对数的运算，对数和指数的互化，属于基础题.11.已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（ ） A. CB. CC. 圆D 在C 的内部D. PQ【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆方程计算可得焦距、离心率，设椭圆上点P 设为(), P x y ，求出P 到圆心D 的距离PD 的平方的最小值，可判断圆D 在椭圆C 的内部，则PQ 的最小值为min PD r -. 【详解】解：2216x y +=a ∴=1b =c ∴===C 的焦距为6c e a ===.设(), P x y （x ≤≤， 则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ 5=. 故选：BC .【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，圆与椭圆的关系，属于基础题. 12.已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则（ ） A. ()f x 为奇函数B. ()f x 在[)0,π上单调递增C. ()f x 恰有4个极大值点D. ()f x 有且仅有4个极值点 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数， 利用导数分析函数的单调性与极值.【详解】解：因为()f x 的定义域为[)2,2ππ-，所以()f x 是非奇非偶函数，()sin cos f x x x x x =+-()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x '∴=+--=+，当0,x时，()0f x '>，则()f x 在0,上单调递增.显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x=-， 分别作出sin y x =，1y x=-在区间[)2,2ππ-上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)2,2ππ-上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)2,2ππ-上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点.故选：BD .【点睛】本题考查函数 的奇偶性，有利于导数研究函数的极值与单调性，属于中档题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题.13.x =______. 【答案】4 【解析】 【分析】11=+，再利用均值不等式得到答案.112915=+--=1=，即4x =时，等号成立. 故答案为：4【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数的最值，意在考查学生的计算能力.14.已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据双曲线方程，可得实轴，虚轴12A A ，12B B 的长，再根据12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，求出1PF 的值，最后根据双曲线的定义求出2PF 的值.【详解】解：2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==， 12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PF B B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.15.现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于3本的概率是______. 【答案】25【解析】 【分析】将甲、乙、丙三人分得的书的数量用树状图列举出来，再根据古典概型的概率计算公式计算可得. 【详解】解：将甲、乙、丙三人分得的书的数量用树状图列举如下：故所求概率62155P ==. 故答案为：25【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.16.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DG DD =______，1AHHC =______. 【答案】 (1). 16(2). 38【解析】 【分析】由线面平行的性质可得//BF GE ，即可得到AF DGAB DE =，又2CE DE =，则1DG DD 可求. 连接AC 交BE 于M ，过M 作1//MN CC ，MN 与1AC 交于N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点，根据三角形相似可得线段的比. 【详解】解：1111ABCD A B C D -是正方体∴面11//A B BA 面11C D DCBF ⊂面11A B BA//BF ∴平面11CDD C ，面BFGE 面11C D DC GE =则//BF GE ，则AF DG AB DE=，即12DG DE =，又2CE DE =，则116DG DD =. 连接AC 交BE 于M ，过M 作1//MN CC ，MN 与1AC 交于N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点.因为//AB CE ，所以32AM AB MC CE ==，则132AN A C M MC N ==.所以135MN CC =，所以65MN HN FA AH ==，故138AH HC =. 故答案为：16；38【点睛】本题考查线面平行的性质及判定，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①3cos 5A =，25cos 5C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC 的面积S . 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】若选①，首先根据同角三角函数的基本关系求出sin A ，sin C ，再根据两角和的正弦公式求出sin B ，由正弦定理求出边b ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选②，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边c ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选③，由余弦定理求出边b ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，最后由面积公式求出三角形的面积. 【详解】解：选① ∵3cos 5A =，cos 5C =， ∴4sin 5A =，sin C =， ∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+4355=+=，由正弦定理得3sin 254sin 205a Bb A===，∴1199sin 32240S ab C ==⨯=. 选②∵sin sin sin c C A b B =+， ∴由正弦定理得22c a b =+. ∵3a =，∴223b c =-. 又∵60B =， ∴222192332b c c c =+-⨯⨯⨯=-， ∴4c =，∴1sin 2S ac B ==选③∵ 2c =，1cos 8A =， ∴ 由余弦定理得222123822b b +-=⨯，即2502b b --=，解得52b =或2b =-（舍去）sin A∴==∴ABC的面积115sin2222816S bc A==⨯⨯⨯=.故答案为：选①为9940；选②为③为16.【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形，属于基础题.18.设*n N∈，向量(31,3)AB n=+，(0,32)BC n=-，na AB AC =⋅.（1）试问数列{}1n n a a+-是否为等差数列？为什么？（2）求数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S. 【答案】（1）{}1n n a a+-是等差数列,理由见解析；（2）1216n n+【解析】【分析】(1)先求解出AC的坐标表示，然后根据数量积的坐标表示求解出{}n a的通项公式，再根据定义判断{}1n na a+-是否为等差数列；(2)根据(1)中结果求出1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后根据裂项相消法求解出n S的表达式.【详解】（1）(31,31)AC AB BC n n=+=++，2(31)3(31)(31)(34)na n n n n∴=+++=++.1(34)(37)(31)(34)6(34)n na a n n n n n+-=++-++=+，()()21118n n n na a a a+++∴---=为常数，{}1n na a+∴-是等差数列.（2）111133134na n n⎛⎫=-⎪++⎝⎭，1111111111347710313434341216n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查向量与数列的综合应用，难度一般.(1)等差数列常用的证明方法：<1>定义法：根据1n n a a d +-=(d 是常数)，证明等差数列.<2>等差中项法：当{}n a 满足212n n n a a a +++=时，可证明{}n a 为等差数列；(2)常见的裂项相消类型：()11111n n n n =-++、()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭、1=-19.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附表：【答案】(1)见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算214403.841247K =>得到答案. （2）先计算13p =，分别计算()16527P X ==，()2709P X ==，()4759P X ==，()88027P X ==，得到分布列，计算得到答案. 【详解】（1）22⨯列联表如下：()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==. ()3331165327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22312270339P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()21312475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X65 70 75 80()P X127 2949 82712486570758075279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.20.如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（1）证明：PO ⊥平面ABCD .（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）2211【解析】 【分析】（1）通过证明BE ⊥平面APC ，得到BE PO ⊥，再证PO AC ⊥即可证得PO ⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、直线的方向向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，//,AD BC 12BC AD =，E 为AD 的中点，则//BC DE 且BC DE =. ∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，AP BE ∴⊥.又,AB BC ⊥12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，BE AC ∴⊥，又,APAC A =BE ∴⊥平面APC ，PO ⊂平面APC ，则BE PO ⊥.AP ⊥平面,PCD PC ⊂平面PCD ，AP PC ∴⊥，又22AC AB AP ==，PAC ∴∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，PO AC ∴⊥且,ACBE O =PO ∴⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示不妨设1OB =，则(1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),P (2,1,0)D -, 则(1,1,0),BC =-(1,0,1),PB =-(2,1,1)PD =--. 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PB n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,20,x z x y z -=⎧⎨-+-=⎩即,3,x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，得(1,3,1)n =. 设BC 与平面PBD 所成角为θ， 则()2222211310122sin cos ,13111BC n θ-⨯+⨯+⨯=<>==++-+【点睛】本题考查线面垂直，线面角的计算，属于中档题.21.如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）28y x =（2）存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称【解析】 【分析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，则直线方程为2py x =-，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得123x x p +=，根据焦点弦公式12MN x x p =++，求出p 的值，即可得到抛物线方程. （2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM ，PN 关于x 轴对称，所以0PM PN k k +=，即可求出a 的值. 当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可.【详解】解：（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，l ∴的方程为2p y x =-.由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=， ∴12416x x p M p N ++===，4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=，()22222484464640k k k k ∆=+-⋅⋅=+>， 212248k x x k++=，124x x =. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a -=-，()222PN k x k x a-=-. ∴()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+--+--=-+++=-=⎡⎤⎣⎦， ∴2a =-时，此时()2,0P -.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可. 综上，存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦公式的应用，直线与抛物线的综合问题，属于中档题. 22.已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+. （3）证明：当1x >-时，()()2sin 22exf x x x <++.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出()g x 的定义域，导函数，对参数a 、b 分类讨论得到答案.（2）设函数()()()31h x f x x =-+，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.（3）由（1）可知1ln x x ≥+，可得()()22sin sin 1e 1ln 1e xx x x ⎡⎤++≥+⎣⎦，即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥又()()22sin sin 22e 1e x x x x x ++>+即可得证.【详解】（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x b x'=-， 当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增；当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减；当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2cos 31x x h x '=+-+. 因为0x ≥，所以(]20,21x ∈+，[]cos 1,1x ∈-， 则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+.（3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥，即1ln x x ≥+.当1x >-时，()210x +>，()2sin 1e 0x x +>，则()()22sin sin 1e 1ln 1e x x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦， 即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，又()()22sin sin 22e 1e x x x x x ++>+， 所以()()2sin 22e 2ln 1sin 1x x x x x ++>+++，即()()2sin 22e x f x x x <++.【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.。
山东省烟台市2019届高三上学期期末考试英语试卷(含答案)
2018—2019学年度第一学期期末学业水平诊断高三英语试题说明：本试卷由四个部分组成，共12页，满分150分，考试用时120分钟。
请把答案全部涂写在答题卡上，考试结束后，只交答题卡。
第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．What will the man probably do next?A．Watch TV． B．Go out for dinner． C．Do his homework．2．How did the woman lose weight?A．By eating special Meals．B．By going on a diet．C．By doing exercise occasionally．3．Which foreign language does Mr．Smith do well in?A．French． B．Japanese． C．Spanish．4．What does the woman complain about?A．The desk． B．The messy room． C．The heavy box．5．What color is the woman’s dress?A．Red． B．Blue． C．Black．第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
山东省烟台市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
山东省烟台市2020年中考数学试卷一、单选题（共12题；共24分）1.4的平方根是（）A. ±2B. －2C. 2D. √2【答案】A【考点】平方根【解析】【解答】解：4的平方根是±2.故答案为：A.【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求出4的平方根。
2.下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；故答案为：A．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可．3.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（）A. aB. bC. cD. 无法确定【答案】A【考点】数轴及有理数在数轴上的表示，绝对值及有理数的绝对值，有理数大小比较【解析】【解答】解：观察有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知，这三个数中，实数a离原点最远，所以绝对值最大的是：a．故答案为：A．【分析】根据有理数大小比较方法，越靠近原点其绝对值越小，进而分析得出答案．4.如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形．故答案为：B．【分析】结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项．5.如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（）A. 众数改变，方差改变B. 众数不变，平均数改变C. 中位数改变，方差不变D. 中位数不变，平均数不变【答案】C【考点】平均数及其计算，中位数，方差，众数【解析】【解答】解：如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，故答案为：C．【分析】由每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，据此可得答案．6.利用如图所示的计算器进行计算，按键操作错误的是（）A. 按键即可进入统计计算状态B. 计算√8的值，按键顺序为：C. 计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果D. 计算器显示结果为1时，若按键，则结果切换为小数格式0.3333333333【答案】B【考点】计算器在数的开方中的应用，计算器在有理数混合运算中的应用【解析】【解答】解：A、按键即可进入统计计算状态是正确的，A不符合题意；B、计算√8的值，按键顺序为：，B符合题意；C、计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，C不符合题意；D、计算器显示结果为13时，若按键，则结果切换为小数格式0．333333333是正确的，D不符合题意；故答案为：B．【分析】根据计算器的按键写出计算的式子．然后求值．7.如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA n的长度为（）A. （√2）nB. （√2）n﹣1C. （√22）n D. （√22）n﹣1【答案】B【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，探索数与式的规律【解析】【解答】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，∴OA2＝√2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴OA3＝2＝(√2)2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴OA4＝2 √2＝(√2)3．∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴OA5＝4＝(√2)4，……∴OA n的长度为（√2）n﹣1，故答案为：B．【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．8.量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 85°【答案】C【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B＝12(180°﹣140°)＝20°，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故答案为：C．【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论．9.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品—“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（）A. B.C. D.【答案】 D【考点】三角形的面积，平行四边形的性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：最小的等腰直角三角形的面积＝18× 12×42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意；故答案为：D．【分析】先求出最小的等腰直角三角形的面积＝18× 12×42＝1cm2，可得平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，再根据阴影部分的组成求出相应的面积即可求解．10.如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（）A. 1.7B. 1.8C. 2.2D. 2.4【答案】A【考点】三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵点G为△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝12AC＝1.7，故答案为：A．【分析】由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．11.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（）A. 12B. 920C. 25D. 13【答案】 D【考点】勾股定理，矩形的性质，轴对称的性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF＝√AF2−AB2=√25−9=4，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝43，∴DE＝EF＝3﹣x＝53，∴tan∠DAE＝DEAD =535=13，故答案为：D．【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．12.如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝kx的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（）A. x＜﹣1B. ﹣0.5＜x＜0或x＞1C. 0＜x＜1D. x＜﹣1或0＜x＜1【答案】 D【考点】一次函数的图象，反比例函数与一次函数的交点问题，比较一次函数值的大小【解析】【解答】解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2，∴若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．故答案为：D．【分析】根据图象，找出双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可．二、填空题（共6题；共6分）13.5G是第五代移动通信技术，5G网络下载速度可以达到每秒1300000 KB以上，这意味着下载一部高清电影只需1秒，将1300000用科学记数法表示应为________．【答案】1.3×106【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】1300000= 1.3×106．故答案为：1.3×106．【分析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10 n的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．n的值为这个数的整数位数减1，由此即可解答．14.若一个正多边形的每一个外角都是40°，则这个正多边形的内角和等于________．【答案】1260°【考点】多边形内角与外角，正多边形的性质【解析】【解答】∵一个多边形的每个外角都等于40°，∴多边形的边数为360°÷40°=9，∴这个多边形的内角和=180°×（9-2）=1260°【分析】根据任意多边形的外角和都为360°，可以求出多边形的边数，再根据多边形内角和公式180°（n-2），求出内角和。
山东烟台市2019-2020学年度第一学期学段检测高一数学试题含答案(定稿)
烟台市2019-2020学年度第一学期期中学业水平诊断高一数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰。
超出 答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分。
在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
1.已知集合{1,2,3,4,5}U =，={1,3,4}A ，={4,5}B ，则()=UA BA .{3}B .{1,3}C .{3,4}D .{1,3,4}2.命题“x ∀∈R ，21x >”的否定是 A .x ∃∈R ，21x ≤ B .x ∃∈R ，21x < C .x ∀∈R ，21x <D .x ∀∈R ，21x ≤3.设a ∈R ，则“0a >”是“20a >”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 4.我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用card()A 表示有限集合A 中元素的个数.例如，{,,}A x y z =，则card()=3A .若非空集合,M N 满足card()M =card()N ，且M N ⊆，则下列说法错误．．的是 A .M N M = B .M N N =C .M N N =D .M N =∅5.设102x <<，则(12)x x -的最大值为A .19B .29C .18D .146.下面各组函数中表示同一个函数的是A .()f x x =，2()g x =B .()f x x =，()g xC .21()1x f x x -=-，()1g x x =+D .()x f x x =，1,0,()1,0.x g x x ≥⎧=⎨-<⎩7.已知231,0,()21,0,x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩若()(1)8f a f +-=，则实数a 的值为 A .2-B .2C .2±D .3±8.若不等式2220mx mx +-<对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围为 A .(2,0)-B .(2,0]-C .(,0)-∞D .(,0]-∞9.某容器如右图所示，现从容器顶部将水匀速注入其中，注满为止. 记容器内水面的高度h 随时间t 变化的函数为()h f t =，则()h f t = 的图象可能是A .B .C .D .10.已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数，(0,1)A ，(2,1)B -是其图象上的两点，则不等式(1)1f x ->的解集为 A .(1,1)-B .(,1)(1,)-∞-+∞ C .(1,3) D .(,1)(3,)-∞+∞11.下列结论正确的有A .函数0()(1)1f x x x =-++的定义域为(1,1)(1,)-+∞B .函数()y f x =，[1,1]x ∈-的图象与y 轴有且只有一个交点C .“1k >”是“函数()(1)+f x k x k =-（k ∈R ）为增函数”的充要条件D .若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)=0f12.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,a b c ∈R ，则下列命题正确的是 A .若0ab ≠且a b <，则11a b> B .若01a <<，则3a a < C .若0a b >>，则11b b a a+>+ D .若c b a <<且0ac <，则22cb ab < 13.我们把定义域为[0,)+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：（1）对任意的[0,)x ∈+∞，总有()0f x ≥；（2）若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，下列判断正确的是 A .若()f x 为“Ω函数”，则(0)0f =B .若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[0,)+∞上为增函数C .函数0,,()1,x g x x ∈⎧=⎨∉⎩Q Q在[0,)+∞上是“Ω函数” D .函数2g()+x x x =在[0,)+∞上是“Ω函数”。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
2019-2020学年山东省菏泽市高一下学期期末数学试卷(A卷) (解析版)
2019-2020学年山东省菏泽市高一第二学期期末数学试卷（A卷）一、选择题（共8小题）.1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.45 0.45B．0.5 0.5C．0.5 0.45D．0.45 0.52．复数z＝的虚部为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．﹣3i3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者B．事C．竟D．成5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）A．63B．69C．75D．816．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2共线，则m的值为（）A．﹣2B．2C．D．7．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（）A．14B．15C．16D．178．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为（）A．4B．12C．8D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（）A．从折线图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A．若b2+c2﹣a2＞0，则△ABC为锐角三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若b＝3，A＝60°，三角形面积S＝3，则a＝D．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形11．在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．B．C．若点P是线段AD上的动点，且满足＝+，则λ+2μ＝1D．若△ABC所在平面内一点P满足＝λ（）（λ≥0），则点P的轨迹一定通过△ABC的内心12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱锥B﹣CEF的体积为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年山东省烟台市高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年山东省烟台市高一上学期期末数学试题一、单选题1．sin17cos13sin 73cos77︒︒︒︒+=（ ）．A B ．12C ．D ．12-【答案】B【分析】首先利用诱导公式进行变形，然后结合正弦和角公式即可求出结果. 【详解】sin17cos13sin 73cos77︒︒︒︒+ ()()sin17cos13sin 9017cos 9013=+-- sin17cos13cos17sin13=+()sin 1713=+ sin30=12= 故选：B.2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ）．A ．tan y x =B ．3x y =C ．y =D ．3y x =【答案】D【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可． 【详解】对A: tan y x =它是奇函数，它在区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈上递增，但在定义域上不是单调函数;对B: 3x y =是非奇非偶函数；对C: y =对D:3y x =是奇函数，在定义域内是增函数．故选：D ．3．设0.3log 3a =，132b -=，2log 3c =，则（ ）． A ．c b a >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】A【分析】确定,,a b c 的符号即得解.【详解】由题得0.30.3log 3log 10a =<=， 1030221b ，22log 3log 21c =>=，所以c b a >>. 故选：A4．函数3()32f x x x =+-的零点所在区间为（ ）． A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用零点存在定理判断.【详解】因为31113()3202228f ⎛⎫=+⨯-=-< ⎪⎝⎭，333343()32044464f ⎛⎫=+⨯-=> ⎪⎝⎭， 所以3()32f x x x =+-的零点所在区间为13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C5．已知函数33x y a +=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则cos α=（ ）．A ．35B ．35C ．45 D ．45-【答案】B【分析】令30x +=，求得定点，然后再由角α的终边经过点P ，利用三角函数的定义求解.【详解】令30x +=，则3,4=-=x y ， 所以函数33x y a+=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()3,4P -，又角α的终边经过点P ， 所以cos α=35， 故选：B6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC 长度为8（单位：百米），OA 是函数log ()a y x b =+图象的一部分，ABC是函数sin()y M x ωϕ=+0,0,||,[4,8]2M x πωϕ⎛⎫>><∈ ⎪⎝⎭的图象，最高点为435,3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则道路OABC 所对应函数的解析式为（ ）．A ．31),0443,4863x x y x x ππ+≤<⎧⎪=⎨⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ B ．31),0443,4863x x y x x ππ+≤<⎧=⎛⎫+≤≤ ⎪⎝⎭⎩ C ．51),0443,4863x x y x x ππ+≤<⎧⎪=⎨⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ D ．51),0443,4863x x y x x ππ+≤<⎧=⎛⎫+≤≤ ⎪⎝⎭⎩ 【答案】C【分析】由图象过()0,0可以求出1b =，由在ABC 段的最高点为35,3B ⎛ ⎝⎭，可得M ，由BC 间水平距离可求出ω，代入B 点可求出ϕ，进而求出A 点坐标，再将A 点代入OA 段函数表达式，即可求解a【详解】由图可知，图象过()0,0，故0log (0)a b =+，1b =，故OA 段函数表达式为log (1)a y x =+，又在ABC 段的最高点为43B ⎛ ⎝⎭，函数表达式为sin()y M x ωϕ=+0,0,||,[4,8]2M x πωϕ⎛⎫>><∈ ⎪⎝⎭，可得43M =，BC 间水平距离为3，故231246T T ππωω=⇒==⇒=,故ABC 段的函数表达式为：436y x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又函数过43B ⎛ ⎝⎭434356πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即52,62k k Z ππϕπ+=+∈， 解得2,3k k Z πϕπ=-+∈，又2πϕ<，故3πϕ=-，故ABC 段的函数表达式为：4363y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]4,8x ∈，将4x =代入得432233y ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故()4,2A ，将()4,2A 代入log (1)a y x =+可得()2log 41a =+，解得a =OA段函数表达式为1)y x =+，故道路OABC 所对应函数的解析式为1),04,4863x x y x x ππ+≤<⎧=⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭⎩ 故选：C7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL ，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（参考数据：lg30.477≈）（ ）． A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【分析】设经过x 个小时才能驾驶，则60(110%)20x ⨯-<，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【详解】解：设经过x 个小时才能驾驶，则60(110%)20x ⨯-<，即10.93x<，由于0.9x y =在定义域上单调递减， 0.91lg 3lg 3log 113lg 0.92lg 31x --∴>==≈-， ∴他至少经过11小时才能驾驶. 则他次日上午最早7点开车才不构成酒后驾车 故选：B8．将函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度得到函数()g x 的图象，若1x ,2x 使得()()121f x g x =-，且12x x -的最小值为6π，则ϕ=（ ）． A ．12πB ．6πC ．4π D ．3π 【答案】D【分析】由三角函数平移变换可得()g x ，可确定()()1211f x g x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或()()1211f x g x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩；在()()1211f xg x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时，可求得12,x x 的取值，由12min 6x x π-=可构造方程求得ϕ的值. 【详解】()()cos 223g x f x x πϕϕ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，()[]1,1f x ∈-，()[]1,1g x ∈-，∴若1x ,2x 使得()()121f x g x =-，则()()1211f x g x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或()()1211f x g x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，不妨设()11f x =，()21g x =-， 则()111223x k k Z ππ-=∈，()2222223x k k Z πϕππ+-=+∈，解得：()1116x k k Z ππ=+∈，()22223x k k Z πϕπ=-+∈， ()()121212,2x x k k k k Z πϕπ∴-=-++-∈，12min 6x x π-=，即()()1212min,26k k k k Z ππϕπ-++-=∈，又02πϕ<<，∴当120k k -=时，226πππϕϕ-+=-=，解得：3πϕ=.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数知识的综合应用，解题关键是能够通过函数值域确定12,x x 分别对应()(),f x g x 的最大值和最小值点，从而利用整体对应的方式构造方程确定12x x -的值.二、多选题9．下列说法正确的有（ ）．A ．经过30分钟，钟表的分针转过2π-弧度B ．若sin 0θ>，cos 0θ<，则θ为第二象限角C ．若sin cos 1+>θθ，则θ为第一象限角D ．函数sin ||y x =是周期为π的偶函数 【答案】BC【分析】对A 根据任意角的定义进行判断；对B 根据三角函数值的正负判断象限角；对C 解三角不等式即可判断；对D 根据周期性与奇偶性的定义进行判断.. 【详解】对A ：经过30分钟，钟表的分针转过π-弧度，故A 错误；对B ：因为sin 0θ>，则θ为第一、二象限角，因为cos 0θ<，则θ为第二、四象限角，故θ为第二象限角，故B 正确；对C ：因为sin cos 14πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭，即sin 42πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以()322444k k k Z ππππθπ+<+<+∈，即()222k k k Z ππθπ<<+∈，由此可知θ为第一象限角，故C 正确；对D ：令()sin ||f x y x ==，因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，但sin 122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，33sin 1222ff ππππ⎛⎫⎛⎫+===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 不是周期为π的函数，故D 错误. 故选：BC.10．已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ）． A ．()f x 在(,)2ππ上单调递减B ．()f x 图象关于点3,04π（）对称 C ．()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为π D ．当2()4x k k ππ=+∈Z 时，()f x 取得最小值【答案】ABC【分析】运用辅助角公式得到函数()sin cos )4f x x x x π=++，再利用正弦型三角函数性质得解【详解】函数()sin cos )4f x x x x π=+=+，当,2x ππ∈（）上，35,444x πππ+∈（），故()f x 在,2ππ（）上单调递减，故A 正确； 令34x π=，求得()0f x =，可得()f x 图象关于点3,04π（）对称，故B 正确； ()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为1221ππ⋅=，故C 正确；当24x k ππ=+，k ∈Z 时，()f x =D 错误.故选：ABC .11．已知函数()log log ()a a f x x a x =+-（0a >，且1a ≠），则（ ）． A ．()f x 定义域为(0,)aB ．()f x 的最大值为22log 2a -C ．若()f x 在(0,2)上单调递增，则14a <≤D ．()f x 图象关于直线2ax =对称 【答案】AD【分析】对A 只需求具体函数的定义域即可；对B 判断复合函数函数的单调性求值域即可；对C 根据单调性求参数的取值范围；对D 求函数的对称轴. 【详解】函数()()log log a a f x x a x =+-(0a >，且1a ≠)， 对于选项A ，令0x >且0a x ->，解得0x a <<， 故函数()f x 的定义域为(0，a )， 故选项A 正确；对于选项B ，()()()()2log log log log a a a a f x x a x a x x x ax =+-=-=-+⎡⎤⎣⎦，因为2y x ax =-+图象开口向下，故y 有最大值，但若01a <<时，函数log a y x =单调递减，此时()f x 无最大值， 故选项B 错误；对于选项C ，若()f x 在()0,2上单调递增，①当01a <<时，则2y x ax =-+在()0,2上单调递减， 故02a≤，解得0a ≤， 故不符合题意；②当1a >时，则2y x ax =-+在()0,2上单调递增， 故22a≥，解得4a ≥， 故选项C 错误；对于选项D ，()()log log a a f x x a x =+-， 则()()()log log a a f a x a x x f x -=-+=， 所以()f x 图象关于直线2ax =对称， 故选项D 正确. 故选：AD .12．定义新运算“⊗”：()2log 22x yx y ⊗=+，,x y ∈R ，则对任意实数a ，b ，c 有（ ）．A ．2a a a ⊗=B ．()()a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗C ．12a ba b +⊗≥+ D ．()()()a b c a c b c ⊗-=-⊗-【答案】BCD【分析】根据新运算“⊗”：()2log 22x yx y ⊗=+逐项求解判断.【详解】由新运算“⊗”：()2log 22x yx y ⊗=+，则: A. ()122log 22log 21a a a a a a +⊗=+===+，故错误；B. ()()()2log 22222(log 22log 22lo )g 222b a abc b c a a b c c +⎛⎫=++++ ⎪⊗⊗==⎝⎭⊗， ()()()2log 22222(log 22log 22log 222)b c b c a a b ca b c a +⎛⎫=+=+++ ⎪⊗=⎝⎭⊗⊗，故正确；C.()(()()112222222log 22log l 2og 22log log 212aa b a b ba b a b ++⎛⎫⎛⎫+⊗=+≥===+⎪ ⎪⎭+⎝⎭⎝，当且仅当a b =时，等号成立，故正确；D.()2()log 22a ba b c c ⊗-=+-，()()()()22222()()log 22log 22log 22log 22log 22a c a a a b c c b c b ba cbc c----⎡⎤⎣-⊗-=+=+=++=+-⎦，故正确； 故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题关键是由新运算“⊗”：()2log 22x yx y ⊗=+转化为对数运算而得解.三、填空题13．已知函数2()2f x x x a =--有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】1a >-【分析】解不等式2=2+40a ∆>即得解. 【详解】由题得2=2+40,1a a ∆>∴>-. 故答案为：1a >-14．若幂函数()222()1mmf x m m x+=--的图象不经过原点，则实数m 的值为________．【答案】-1【分析】根据函数()()2221mmf x m m x+=--是幂函数，由211m m --=求得m ，再图象不经过原点确定.【详解】因为函数()()2221mmf x m m x+=--是幂函数，所以211m m --=，解得1m =-或2m =；当1m =-时，()1f x x -=，图象不经过原点，满足题意；当2m =时，()8f x x =，图象经过原点，不满足题意；所以1m =-. 故答案为：1-. 15．函数1sin 2y x =+的定义域为________． 【答案】722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ 【分析】由1sin 2x ≥-，在同一坐标系中作出函数1sin ,2y x y ==-，利用数形结合法求解.【详解】因为1sin 02x +≥，即1sin 2x ≥-，在同一坐标系中作出函数1sin ,2y x y ==-如图所示：，由图象得：722,66k x k k ππππ-≤≤+∈Z ， 所以函数1sin 2y x =+的定义域为722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣， 故答案为：722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ 16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P 为正六边形的一个顶点，当点P 第一次落在桌面上时，点P 走过的路程为________．【答案】313π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】根据已知可得正六边形与桌面相邻的边与桌面所成的角为3π，可得点P 第一次落在桌面上时，点P 走过的路程为：分别以,,A B C 为圆心，,,AP BP CP 为半径，圆心角为3π的弧长和，求出三段弧长，即可得出结论. 【详解】由正六边形的关系可得，2,3AP BP == 正六边形与桌面相邻的边与桌面所成的角为3π， 点P 第一次落在桌面上时，点P 走过的路程为：3(231)(13ππ+=. 故答案为：3(1π+.四、解答题17．化简求值：（1）2302427216log log 839π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭； （2）已知tan 2α，求2sin()sin 2cos()sin(3)ππααααπ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+-的值．【答案】（1）49；（2）1-.【分析】(1)根据指数与对数的运算公式求解即可； (2)根据诱导公式，转化为其次问题进行求解即可.【详解】(1)原式2222241log log 333⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2411log 92=++49=. (2)原式2sin cos cos sin αααα+=-2tan 11tan αα+=-1=-.18．在①()f x 图象过点,12π⎛⎫⎪⎝⎭，②()f x 图象关于直线23x π=对称，③()f x 图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 问题：已知()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，________．（1）求函数()f x 的解析式； （2）将()f x 的图象上所有点向左平移12π个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据已知条件求出()f x 解析式；（2）通过平移伸缩变换求出的()g x 解析式，即可求单增区间. 【详解】解：若选①：（1）由已知得22T ππω==，则1ω=，于是()2sin()f x x ϕ=+，因为()f x 图象过点,12π⎛⎫⎪⎝⎭，所以1sin 22πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1cos 2ϕ=，又因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-，故()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由已知得()2sin 24g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，于是()222242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故()g x 的单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．若选②：（1）由已知得，22T ππω==，则1ω=，于是()2sin()f x x ϕ=+． 因为()f x 图象关于直线23x π=对称，所以()232k k Z ππϕπ+=+∈， 即()6k k πϕπ=-∈Z ，又因为02πϕ-<<，所以6πϕ=-，故()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由已知得()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．()2222122k x k k Z πππππ≤-≤+∈-，即()572424k x k k Z ππππ-≤≤+∈． 故()g x 的单调递增区间为57,()2424k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ． 若选③：（1）由已知得22T ππω==，则1ω=， 于是()2sin()f x x ϕ=+．因为()f x 图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()6k k Z πϕπ+=∈，即()6k k πϕπ=-∈Z ，又因为02πϕ-<<，所以6πϕ=-，故()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由已知得()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2222122k x k k Z πππππ≤-≤+∈-，即()572424k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 故()g x 的单调递增区间为57,()2424k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ． 19．（1）求函数()222log log x x =+，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦的值域；（2）解关于x 的不等式：()2log (1)log 3a a x x +>-（0a >，且1a ≠）．【答案】（1）1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）1a >时，原不等式的解集为{1xx -<<∣；01a <<时，原不等式的解集为{11}xx -<<∣． 【分析】（1）令2log t x =，[1,1]t ∈-，221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，然后利用二次函数的知识求解即可；（2）分1a >、01a <<两种情况，结合对数函数的单调性解出不等式即可. 【详解】（1）令2log t x =，由于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则[1,1]t ∈-．于是原函数变为221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，()y t 图象为开口向上的抛物线，对称轴12t =-，且11(1)122⎛⎫⎛⎫---<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当12t =-，y 取最小值14-；当1t =时，y 取最大值2．所以原函数的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）当1a >时，原不等式可化为：223013x x x ⎧->⎨+>-⎩，即12x x x ⎧<⎪⎨><-⎪⎩或1x <<故1a >时，原不等式的解集为{1xx -<<∣． 当01a <<时，原不等式可化为：21013x x x+>⎧⎨+<-⎩， 即121x x >-⎧⎨-<<⎩，解得11x -<<．故01a <<时，原不等式的解集为{11}xx -<<∣．综上：1a >时，原不等式的解集为{1xx -<<∣；01a <<时，原不等式的解集为{11}x x -<<∣.20．已知函数()2cos cos 13f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）设,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最值及相应x 的值；（2）设11126f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求7cos 26πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）最小值1，6x π=-；最大值52，6x π=；（2）13-．【分析】（1）对函数()f x 进行化简整理，即可求对最值及对应自变量的值； （2）根据已知角的三角函数值，凑角即可.【详解】解：1()2cos cos 12f x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos cos 1x x x =++1cos 2212x x +=++ 3sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ266x，即6x π=-时，函数()f x 取得最小值1；当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最大值52； （2）由3311sin 2sin 2121262326f ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦得1sin 233πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．于是73cos 2cos 2623πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin 23πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭13=-．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40m 的正方形空地ABCD ，若已规划出以A 为圆心、半径为30m 的扇形健身场地AEF ，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN ，其中点P 在圆弧EF上，点M ，N 分别落在BC 和CD 上，设PAB θ∠=，矩形草坪PMCN 的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式； （2）求S 的最大值以及相应θ的值．【答案】（1）S 1200(sin cos )900sin cos 1600θθθθ=-+++；（2）2400m ；0θ=或2π． 【分析】（1）由图可得4030cos PM θ=-，4030sin PN θ=-，然后可得答案；（2）令sin cos t θθ=+，可得21120090016002t S t -=-+⨯+，利用二次函数的知识求出答案即可.【详解】（1）如图，4030cos PM θ=-，4030sin PN θ=-， 于是(4030sin )(4030cos )S θθ=--1200(sin cos )900sin cos 1600θθθθ=-+++其中，02πθ≤≤．（2）令sin cos t θθ=+，则22(sin cos )11sin cos 22t θθθθ+--==．又sin cos 4t πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，且当02πθ≤≤时，3444πππθ≤+≤，所以t ∈．于是21120090016002t S t -=-+⨯+245012001150t t =-+．()S t 为开口向下的抛物线，对称轴43t =44133<-，故当1t =时，S 取得最大值为2400m ． 此时，0θ=或2π． 22．已知()f x 为R 上的奇函数，()g x 为R 上的偶函数，且()()2e x f x g x +=，其中e 2.71828=…．（1）求函数()f x 和()g x 的解析式；（2）若不等式()23(1)0f x f ax ++->在(0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若1[0,1]x ∀∈，2[,)x m ∃∈+∞，使()12x mf x e--=成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()e e x x g x -=+；()e e x x f x -=-；（2）4a <；（3）1e ,ln 2e 1⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦．【分析】（1）将x 替换为x -，得()()2xf xg x e --+-=，与已知条件联立方程，求函数的解析式；（2）利用函数的奇偶性不等式转化为()23(1)f x f ax +>-在(0,)+∞上恒成立，利用单调性转化为231x ax +>-在(0,)+∞上恒成立，参变分离后4a x x<+在(0,)+∞上恒成立，即转化为求函数的最值；（3）首先设函数||()e x m h x --=，根据条件转化为min min ()()f x h x ≤，转化为求两个函数的最小值，即得结论.【详解】（1）由题意知()()2e x f x g x +=，令x -替换x 得()()2x f x g x e --+-=，即()()2e xf xg x --+=．于是2()2e 2e x x g x -=+，解得()e e x x g x -=+； 2()2e 2e x x f x -=-，解得()e e x x f x -=-．（2）由已知()23(1)0f x f ax ++->在(0,)+∞上恒成立．因为()f x 为R 上的奇函数，所以()23(1)f x f ax +>-在(0,)+∞上恒成立．又因为()e e x x f x -=-为R 上的增函数 所以231x ax +>-在(0,)+∞上恒成立 即4a x x<+在(0,)+∞上恒成立 所以min 4a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时取等号．所以4a <． （3）设||()e x m h x --=，1[0,1]x ∀∈，2[,)x m ∃∈+∞，使()12x m f x e --=成立，所以函数()h x 的值域包含于()f x 的值域，()e e x x f x -=-，函数单调递增，所以函数的值域是),m me e -⎡-+∞⎣， ()f x 在[,)m +∞上的最小值为min ()f x ，()h x 在[0,1]上的最小值为min ()h x ，由题意，只需min min ()()f x h x ≤，因为()e e x x f x -=-为R 上的增函数，所以min ()e e m mf x -=-．当0m ≥时，因为()h x 在(,)m -∞单调递增，在(,)m +∞单调递减，所以当[0,1]x ∈时，min ()min{(0),(1)}h x h h =．于是1(0)e e e(1)e e e m m mm m mh h -----⎧=≥-⎪⎨=≥-⎪⎩由||(0)ee e m m m h --=≥-得e 2e m m -≤，即2e 2m ≤，解得1ln 22m ≤．考虑到1ln 212m ≤<，故()111mm m m h e e e e ----==≥-，即2e e e 1m ≤-，解得1eln 2e 1m ≤-．因为e 2e 1<-，所以1e 0ln 2e 1m ≤≤-． 当0m <时，()h x 在[0,1]单调递减，所以1min ()(1)e m h x h -==．又1e 0m ->，e e 0m m --<，所以对任意0m <，恒有1min (1)ee e ()m m m hf x --=≥-=恒成立．综上，实数m 的取值范围为1e ,ln 2e 1⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．。