2011年天津市中考数学试卷及答案
天津市近年数学中考试题18题答案及解析
天津市近年数学中考试题18题答案及解析1.（天津市2006年3分）如图，已四边形纸片ABCD ，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到： ▲ （用“能”或“不能”填空）。
若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【答案】能。
如图，取四边形ABCD 各边的中点E 、G 、F 、H ，连接EF 、GH ，则EF 、GH 为裁剪线。
EF 、GH 将四边形ABCD 分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H 、F 各旋转180°，3平移，拼成的四边形满足条件。
【考点】平行四边形的判定，旋转和平移的性质。
【分析】由旋转、平移和中点，可知，MO=MH ＋HO=HG=KJ ＋JI=KI ，MK=ML ＋LK=EF=OF ＋FI=OI ，∴四边形OIKM 是平行四边形。
2.（天津市2007年3分）如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，且与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，且AOC =30，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q 。
问：是否存在点P ，使得QP=QO ； ▲ （用“存在”或“不存在”填空）。
若存在，满足上述条件的点有几个？并求出相应的∠OCP 的大小；若不存在，请简要说明理由：。
【答案】存在。
符合条件的点P共有3个：当点P在线段AO上时，∠OCP=40°；当点P在OB的延长线上时，∠OCP=20°；当点P在OA的延长线上时，∠OCP=100°。
【中考12年】天津市2001-中考数学试题分类解析 专题8 平面几何基础
2001-2012年天津市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题8：平面几何基础一、选择题1. （2001天津市3分）在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有【】A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B。
【考点】轴对称图形和中心对称图形，等边三角形、平行四边形、矩形和圆的性质。
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
因此，等边三角形只是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形；矩形和圆既是轴对称图形又是中心对称的图形。
故选B。
2.（天津市2002年3分）有如下四个结论：①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；②菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④两圆的公切线最多有4条。
其中正确结论的个数为【】（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【答案】B。
【考点】全等三角形的判定，菱形的性质，垂径定理，圆与圆的位置与切线的关系。
【分析】根据全等三角形的判定定理，菱形的对称性，垂径定理，两圆的位置与切线的关系作答：①边边角不能判定两三角形全等，故错误；②正确；③当弦也是直径时不成立，故错误；④两圆外离时，有4条公切线，正确。
故选B。
3.（天津市2003年3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】（A）等边三角形（B）平行四边形（C）等腰梯形（D）圆【答案】D。
【考点】中心对称图形，轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
因此，A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形；D、圆是轴对称图形，也是中心对称图形。
2011年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2011 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1．（ 5 分）（ 2011?天津） i 是虚数单位，复数 =（ ）A ． 2+iB ． 2﹣ iC ．﹣ 1+2iD ．﹣ 1﹣ 2i【考点】 复数代数形式的乘除运算．【专题】 数系的扩充和复数．【分析】 要求两个复数的除法运算， 分子和分母同乘以分母的共轭复数， 分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．【解答】 解：复数 = ==2 ﹣ i故选 B ．【点评】 本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大， 解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目．2 2）2．（ 5 分）（ 2011?天津）设 x ， y ∈R ，则 “x ≥2 且 y ≥2”是 “x +y ≥4”的（ A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】 简易逻辑．2222【分析】 由“x ≥2 且 y ≥2”推出 “x +y ≥4”可证明充分性；由满足 “x +y ≥4”可举出反例推翻 “x ≥2且 y ≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．2 2【解答】 解：若 x ≥2 且 y ≥2，则 x ≥4， y ≥4，所以若 x 2 +y 2≥4，则如（﹣ 2，﹣ 2）满足条件，但不满足所以 “x ≥2 且 y ≥2”是 “x 22+y ≥4”的充分而不必要条件． 故选 A ．【点评】 本题主要考查充分条件与必要条件的含义．2 2 2 2≥4；x +y ≥8，即 x +yx ≥2 且 y ≥2．3．（ 5 分）（ 2011?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】 程序框图．【专题】 算法和程序框图．【分析】 通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值． 【解答】 解：该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1 ， a=2； 经第二次循环得到 i=2 ， a=5； 经第三次循环得到 i=3 ， a=16；经第四次循环得到 i=4 ， a=65 满足判断框的条件，执行是，输出4故选 B【点评】 本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．4．（ 5 分）（ 2011?天津）已知 n7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，S n 为 {a n } 的前 n 项和， n ∈N *，则 S 10 的值为（）A ．﹣ 110B ．﹣ 90C ．90D ．110【考点】 等差数列的前 n 项和；等比数列的性质．【专题】 等差数列与等比数列．【分析】 通过 a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，公差为﹣ 2，求出【解答】 解： a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，公差为﹣ 2，所以 a 72=a 3?a 9， ∵{a n } 公差为﹣ 2，∴a 3=a 7﹣ 4d=a 7+8， a 9=a 7+2d=a 7﹣4，2所以 a 7 =（ a 7+8）（ a 7﹣ 4），所以 a 7=8，所以 a 1=20，所以 S 10= =110故选 D【点评】 本题是基础题，考查等差数列的前n 项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型．5．（ 5 分）（ 2011?天津）在的二项展开式中， x2的系数为（）A ．B ．C ．D ．【考点】 二项式定理．【专题】 二项式定理．【分析】 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 2，求出展开式中，x 2的系数，即得答案．r 2r ﹣6 r 3﹣ r【解答】 解：展开式的通项为T r+1=（﹣ 1） 2 C 6 x令 3﹣ r=2 得 r=1所以项展开式中， x 2的系数为﹣故选 C【点评】 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．6．（5 分）（ 2011?天津）如图，在△ABC 中， D 是边 AC 上的点，且AB=AD ，2AB=BD ，BC=2BD ，则 sinC 的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】根据题中条件，在△ABD 中先由余弦定理求出 cosA ，利用同角关系可求 sinA ，利用正弦定理可求 sin∠ BDC ，然后在△ BDC 中利用正弦定理求解 sinC 即可【解答】解：设 AB=x ，由题意可得AD=x ， BD=△ABD 中，由余弦定理可得∴s inA=△ABD 中，由正弦定理可得? sin∠ ADB=∴△BDC 中，由正弦定理可得故选： D．【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等知识解三角形的问题，反复运用正弦定理、余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识，并能灵活选择基本工具解决问题．7．（ 5 分）（ 2011?天津）已知，则（）A ． a＞ b＞ cB ．b＞ a＞ c C． a＞ c＞b D ．c＞ a＞ b【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】 比较大小的方法：找 1 或者 0 做中介判断大小， log 43.6＜ 1，log 23.4＞ 1，利用分数指数幂的运算法则和对数的运算法则对 c 进行化简，得到 ＞ 1＞b ，再借助于中间值 log 2 进行比较大小，从而得到结果． ，【解答】 解：∵ log 23.4＞1， log 43.6＜ 1，又 y=5 x是增函数，∴a ＞ b ，＞= =b而 log 23.4＞ log 2 ＞ log 3 ，∴a ＞ c故 a ＞ c ＞ b ． 故选 C ．【点评】 此题是个中档题．本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小， 以及中介值法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．8．（ 5 分）（ 2011?天津）对实数 a 与 b ，定义新运算“? ”： ．设函数 f（x ）=（x 2﹣ 2）? （ x ﹣ x 2），x ∈R ．若函数 y=f （x ）﹣ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 函数与方程的综合运用．【专题】 函数的性质及应用．f （ x ） =（ x 2﹣2） ? （x ﹣ x 2）的解析式，并求出 f【分析】 根据定义的运算法则化简函数（x ）的取值范围，函数 y=f （ x ）﹣ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为 y=f （ x ），y=c 图象的交点问题，结合图象求得实数 c 的取值范围．【解答】 解：∵，∴函数 f （ x ）=（ x 2﹣ 2）? （ x ﹣ x 2） =，由图可知，当 c ∈∴c 的取值范围是，故选 B ．【点评】 本题考查二次函数的图象特征、 函数与方程的综合运用，及数形结合的思想． 属于基础题．二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9．（ 5 分）（2011?天津）一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人数为12 ．【考点】 分层抽样方法． 【专题】 概率与统计．【分析】 根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目， 得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果． 【解答】 解：∵田径队有男运动员 48 人，女运动员36 人，∴这支田径队共有48+36=84 人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，∴每个个体被抽到的概率是 ，∵田径队有男运动员 48 人，∴男运动员要抽取48× =12 人，故答案为： 12．【点评】 本题考查分层抽样， 在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等， 这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题．10．（ 5 分）（ 2011?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为 6+π m 3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积．【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2，高为 3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1则 V 圆锥 =?π?3= πV 长方体 =1 ×2×3=6则 V=6+ π故答案为： 6+π【点评】本题考查的知识是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析几何体的形状是解答本题的关键．11．（5 分）（ 2011?天津）已知抛物线C 的参数方程为（ t 为参数），若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（222（ r＞ 0）相切，则 r=．x﹣ 4）+y =r【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线的参数方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．【分析】由抛物线 C 的参数方程为我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率222为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（ x﹣ 4）+y =r （ r＞0）相切，我们根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于 r 的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵抛物线 C 的参数方程为2则抛物线的标准方程为：y =8x则抛物线 C 的焦点的坐标为（2， 0）又∵斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点则直线的方程为y=x﹣ 2，即经 x﹣ y﹣2=02 2 2由直线与圆（ x﹣ 4） +y =r ，则r==故答案为：【点评】本题考查的知识点是直线与的圆位置关系，抛物线的简单性质及抛物线的参数方程，其中根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于 r 的方程，是解答本题的关键．12．（ 5 分）（ 2011?天津）如图，已知圆中两条弦AB 与 CD 相交于点F，E 是 AB 延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE 的长为．【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】设出 AF=4k ， BF=2k ， BE=k ，由 DF ?FC=AF ?BF 求出 k 的值，利用切割定理求出CE．【解答】解：设 AF=4k ，BF=2k ， BE=k ，由 DF?FC=AF ?BF，得 2=8k 2，即 k=，∴AF=2 ， BF=1 ， BE= ， AE=，2= ，由切割定理得 CE =BE ?EA=∴CE=．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，常考题型．13．（ 5 分）（ 2011?天津）已知集合A={x ∈R||x+3|+|x ﹣ 4|≤9} ，B=，则集合 A ∩B= {x| ﹣ 2≤x≤5}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合 A ，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出 A ∩B ．【解答】解：集合 A={x ∈R||x+3|+|x ﹣4|≤9} ，所以 A={x| ﹣4≤x≤5} ；集合，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x ≥﹣ 2} ，所以 A ∩B={x| ﹣ 4≤x≤5} ∩{x|x ≥﹣ 2}={x| ﹣ 2≤x≤5} ，故答案为： {x| ﹣ 2≤x≤5} ．【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．14．（ 5 分）（ 2011?天津）已知直角梯形ABCD 中， AD ∥ BC，∠ ADC=90 °，AD=2 ，BC=1 ，P 是腰 DC 上的动点，则的最小值为5．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则 A （ 2，0），B（ 1，a），C（ 0， a）， D（0， 0），设 P（ 0， b）（ 0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA ， DC 分别为 x， y 轴建立平面直角坐标系，则A （ 2， 0）， B（ 1，a）， C（ 0， a）， D（ 0，0）设 P（ 0， b）（ 0≤b≤a）则=（2，﹣ b），=（ 1， a﹣ b），∴=（ 5，3a﹣ 4b）∴=≥5．故答案为5．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．三、解答题（共 6 小题，满分80 分）15．（ 13 分）（ 2011?天津）已知函数f（ x） =tan（ 2x+），（1）求 f（ x）的定义域与最小正周期；（2）设α∈（ 0，），若f（）=2cos2α，求α的大小．【考点】正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦；正切函数的定义域．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；（Ⅱ）通过，化简表达式，结合α∈（0，），求出α的大小．【解答】解：（Ⅰ）由 2x+≠+k π， k∈Z．所以 x≠，k∈Z．所以f（x）的定义域为： f （x）的最小正周期为：．（Ⅱ）由得 tan（）=2cos2α，整理得因为α∈（ 0，），所以sinα+cosα≠0 因此（ cosα﹣ sinα）2 =即 sin2α= 因为α∈（ 0，），所以α=【点评】本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、正切函数公式，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力．16．（ 13 分）（ 2011?天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、 2个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在 1 次游戏中，（i ）摸出 3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E（ X ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（ I ）（ i ）甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出22 2 个球，事件数是 C5 C3，摸出 3 个白球事件数为211（ ii ）获奖包含摸出 2 个白球和摸出 3 个C3 C2 C2；由古典概型公式，代入数据得到结果，白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出 2 个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果．（II）连在 2次游戏中获奖次数 X 的取值是0、 1、 2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．【解答】解：（Ⅰ）（ i）设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件 A i（ i= ， 0，1， 2， 3），则P（A 3）=，（ii ）设“在一次游戏中获奖”为事件 B，则 B=A 2∪A 3，又P（A 2）=，且 A 2、A 3互斥，所以 P（ B ）=P（ A 2） +P（ A3）=；（Ⅱ）由题意可知X 的所有可能取值为 0， 1， 2．P（ X=0 ） =（ 1﹣）2=，1（1﹣） = ，P（ X=1 ） =C2P（ X=2 ） =（2，） =所以 X 的分布列是X012pX 的数学期望 E（ X ） =0×．【点评】此题是个中档题．本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．17．（ 13 分）（ 2011?天津）如图所示，在三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中， H 是正方形 AA 1B1B 的中心， AA 1=21111．， C H⊥平面 AA B B，且 C H=（1）求异面直线 AC 与 A 1 B1所成角的余弦值；（2）求二面角 A ﹣ A 1C1﹣ B1的正弦值；（3）设 N 为棱 B 1C1的中点，点 M 在平面 AA 1B 1B 内，且 MN ⊥平面 A 1B1C1，求线段 BM 的长．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点．（Ⅰ）求出中的有关向量，然后求出异面直线AC 与 A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）利用求出平面AA 1C1的法向量，通过求出平面 A 1B1C1的法向量，然后利用求二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值；（Ⅲ）设 N 为棱 B 1C1的中点，设 M（ a，b，0），利用 MN ⊥平面 A 1B1C1，结合求出 a， b，然后求线段 BM 的长．方法二：（ I ）说明∠ C1A 1B1是异面直线 AC 与 A 1B1所成的角，通过解三角形C1A 1B1，利用余弦定理，．求出异面直线 AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．（II ）连接 AC 1，过点 A 作 AR ⊥ A 1C1于点 R，连接 B1R，说明∠ ARB 1为二面角 A ﹣A 1C1﹣B 1的平面角．连接 AB 1，在△ARB 1中，通过，求出二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值为．（III ）首先说明MN ⊥ A1B 1．取 HB 1中点 D，连接 ND ，由于 N 是棱 B1C1中点，推出ND ⊥ A 1B1．证明 A 1B 1⊥平面 MND ，连接 MD 并延长交 A 1B1于点 E，延长 EM 交 AB 于点F，连接 NE．连接 BM ，在 Rt △ BFM 中，求出．【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点．依题意得（I ）解：易得，于是，所以异面直线AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．（II ）解：易知．设平面 AA 1C1的法向量 =（ x， y， z），则即不妨令，可得，同样地，设平面A1B 1C1的法向量 =（ x， y，z），则即不妨令，可得．于是，从而．所以二面角 A ﹣A 1C1﹣ B 的正弦值为．（III ）解：由 N 为棱 B1C1的中点，得．设 M （ a， b， 0），则由MN ⊥平面 A 1B1C1，得即解得故．因此，所以线段BM 的长为．方法二：（I）解：由于AC ∥ A1C1，故∠ C1A 1B1是异面直线AC 与 A 1B 1所成的角．因为 C1H⊥平面 AA 1B1B ，又 H 为正方形 AA 1B 1B 的中心，，可得 A 1C1=B 1C1=3 ．因此．所以异面直线AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．（I I ）解：连接 AC 1，易知 AC 1=B1C1，又由于 AA 1=B 1A 1， A 1C1=A 1C1，所以△ AC 1A 1≌△ B1C1A 1，过点 A 作 AR ⊥ A 1C1于点 R，连接 B 1R，于是 B1R⊥ A1C1，故∠ ARB 1为二面角 A ﹣ A 1C1﹣ B 1的平面角．在 Rt△ A 1RB 1中，．连接 AB 1，在△ARB 1中，=，从而．所以二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值为．（I II ）解：因为 MN ⊥平面 A 1B1C1，所以 MN ⊥ A1B 1．取HB 1中点 D，连接 ND ，由于 N 是棱 B1C1中点，所以 ND ∥C1H 且．又C1H⊥平面 AA 1B1B，所以 ND ⊥平面 AA 1B1B，故 ND ⊥ A 1B 1．又MN ∩ND=N ，所以 A 1B 1⊥平面 MND ，连接 MD 并延长交 A 1B1于点 E，则ME ⊥ A1B1，故 ME ∥AA 1．由，得，延长 EM 交 AB 于点 F，可得．连接 NE ．在 Rt△ ENM 中， ND ⊥ ME ，故2ND =DE ?DM ．所以．可得．连接 BM ，在 Rt△ BFM 中，．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．18．（ 13 分）（2011?天津）在平面直角坐标系xOy 中，点 P（a，b）（ a＞ b＞ 0）为动点， F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．已知△ F1PF2为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A， B 两点， M 是直线 PF2上的点，满足，求点 M 的轨迹方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）直接利用 △ F 1PF 2 为等腰三角形得 |PF 2|=|F 1F 2 |，解其对应的方程即可求椭圆的离心率 e ；（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求得A ，B 两点的坐标，代入 ，即可求点 M 的轨迹方程．【解答】 解：（Ⅰ）设 F 1（﹣ c ，0）， F 2（ c ， 0）（ c ＞0）．由题得 |PF 2 |=|F 1F 2|，即=2c ，整理得 2 + ﹣ 1=0 ，得 =﹣ 1（舍），或 = ，所以 e= ．（Ⅱ）由（Ⅰ） 知 a=2c ，b= c ，可得椭圆方程为3x 2+4y 2 =12c 2，直线方程为 y=（x ﹣ c ）．A ，B 的坐标满足方程组，消 y 并整理得 5x 2﹣ 8xc=0 ，解得 x=0 ，x=，得方程组的解为 ， ，不妨设 A （ c ，c ）， B （ 0，﹣c ）．设点 M 的坐标为（ x ，y ），则=（ x ﹣ c ， y ﹣ c ）， =（x ， y+ c ）由 y=（ x ﹣ c ）得 c=x ﹣y① ，由=﹣ 2 即（ x ﹣ c ） x+ （y ﹣ c ）（ y+ c ）=﹣ 2．将① 代入化简得 18x 2﹣16xy ﹣ 15=0 ，? y= 代入 ① 化简得 c=＞ 0．所以 x ＞ 0，因此点 M 的轨迹方程为 18x 2﹣ 16xy ﹣15=0（ x ＞ 0）．【点评】 本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程， 平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．19．（ 14 分）（ 2011?天津）已知 a ＞0，函数 f （x ） =lnx ﹣ ax 2，x ＞ 0．（ f （ x ）的图象连续不断）（Ⅰ）求 f （ x ）的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在 x 0∈（ 2，+∞），使 ；（Ⅲ）若存在均属于区间 [1，3]的 α，β，且 β﹣ α≥1，使 （f α）=f （β），证明．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明．【专题】导数的综合应用．【分析】（ I ）求导数 fˊ（ x）；在函数的定义域内解不等式 fˊ（x）＞ 0 和 f ˊ（ x）＜ 0 确定函数的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．（II ）由（ I）知 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，在（2， +∞）内单调递减．令．利用函数f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，得到．最后取．从而得到结论；（III ）先由 f （α） =f （β）及（ I）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最小值为 f（ a）．再依 1≤α≤2≤β≤3建立关于 a 的不等关系即可证得结论．【解答】解：（ I），令．当 x 变化时， f' （ x）， f （ x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）f ′（ x） +0﹣f （ x）增极大值减所以，（f x）的单调递增区间是的单调递减区间是．（II ）证明：当．由（ I）知 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，在（ 2， +∞）内单调递减．令．由于 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，故．取．所以存在x0∈（ 2， x'），使 g（ x0） =0，即存在．（说明： x'的取法不唯一，只要满足x'＞ 2，且 g（ x' ）＜ 0 即可）（III ）证明：由 f （ α）=f （β）及（ I ）的结论知，从而 f （ x ）在 [ α，β]上的最小值为f （ a ）．又由 β﹣ α≥1， α，β∈[1，3] ，知 1≤α≤2≤β≤3．故从而．【点评】 本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法．20．（ 14 分）（ 2011?天津）已知数列{a n } 与 {b n } 满足：， n ∈N *，且 a 1=2， a 2=4 ．（Ⅰ）求 a 3，a 4， a 5 的值；（Ⅱ）设 c n2n ﹣1 2n+1， n ∈N *，证明： {c n=a+a} 是等比数列；（Ⅲ）设 S k =a 2+a 4+⋯+a 2k ， k ∈N *，证明：．【考点】 数列与不等式的综合；等比关系的确定．【专题】 等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）要求 a 3， a 4， a 5 的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可．（Ⅱ）化简出a 2n ﹣ 1+a 2n+1， a 2n+1+a 2n+3的关系，即： c n+1 与 c n 的关系，从而证明 {c n } 是等比数列；就是利用（Ⅰ）的，用 2n ﹣ 1， 2n ， 2n+1，替换中的 n ，化简出只含 “a n ”的关系式， 就是 a 2n﹣ 1+a 2n +2a 2n+1=0，① 2a 2n +a 2n+1+a 2n+2=0，② a 2n+1+a 2n+2+2a 2n+3=0，③ 然后推出 a 2n+1+a 2n+3=﹣（ a 2n ﹣ 1+a 2n+1），得到 c n+1=﹣c n （ n ∈N *），从而证明 {c n } 是等比数列；（Ⅲ）先研究通项公式a 2k ，推出 S k 的表达式，然后计算，结合证明的表达式，利用表达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据 a 2k ﹣1+a 2k+1=（﹣ 1） k，对任意k ∈N * 且 k ≥2，列出 n 个表达式，利用累加法求出 a 2k =（﹣ 1） k+1（ k+3 ）．化简 S 2k =（ a 2+a 4）+（a 6+a 8）+⋯+（ a 4k ﹣ 2+a 4k ）=﹣ k ，k ∈N * ，，通过裂项法以及放缩法证明：．【解答】 20、满分 14 分．（I ）解：由，可得又 b n a n +a n+1+b n+1a n+2=0，（ I I ）证明：对任意 n ∈N *， a 2n ﹣1+a 2n +2a 2n+1=0， ①2a 2n +a 2n+1+a 2n+2=0， ② a 2n+1+a 2n+2+2a 2n+3=0， ③ ② ﹣③ ，得 a 2n =a 2n+3． ④将④ 代入 ① ，可得 a 2n+1+a 2n+3=﹣（ a 2n ﹣ 1+a 2n+1）即 c n+1=﹣ c n （ n ∈N *） 又 c 1=a 1+a 3=﹣ 1，故 c n ≠0，因此是等比数列．（ I II ）证明：由（ II ）可得 a 2k ﹣ 1+a 2k+1=（﹣ 1） k，于是，对任意 k ∈N *且 k ≥2，有将以上各式相加，得 a 1+（﹣ 1）ka 2k ﹣ 1=﹣（ k ﹣1），即 a 2k ﹣ 1=（﹣ 1）k+1（ k+1），此式当 k=1 时也成立．由 ④ 式得 a 2k =（﹣ 1） k+1（ k+3）．从而 S 2k =（ a 2+a 4） +（ a 6+a 8）+⋯+（ a 4k ﹣ 2+a 4k ）=﹣ k ， S 2k ﹣1=S 2k ﹣ a 4k =k+3 ．*所以，对任意 n ∈N ， n ≥2，== ==对于 n=1 ，不等式显然成立．【点评】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．赋值法是求数列前几项的常用方法，注意n=1 的验证，裂项法和放缩法的应用．。
精品 2011年天津九年级中考一模数学各区试题及答案
14. 如图 8 所示图象，可以表示一定条件下物理量之间的关系，则能表示下列各组中的 A．路程和时间之间的关系 B．压力和受力面积之间的关系 C．电流和电压之间的关系 D．电流与电阻之间的关系
图8
第Ⅱ卷（非选择题
三、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分）
共 68 分）
注意事项：请用黑色墨水的钢笔（或签字笔）将答案直接写在答题卡上，写在试卷上无效。
图6
13．如图 7 所示电源电压不变，当开关 S2 闭合，S1 断开时，电流表示数为 0.3 A，电压表示数为 9 V； 若将两表互换位置，并同时闭合 S1 和 S2 时，电流表示数为 0.5 A，则下列说法中正确的是 A. 电压表示数仍为 9 V B．R1 的阻值为 18Ω C．R2 的阻值为 45Ω D. R2 消耗的功率为 6.75 W
注意事项：
共 32 分）
答案答在试卷上无效。每小题选出答案后，用 2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点 涂黑。 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） ：下列每小题给出的四个选项中，只有一 项最符合题意。 1．如图 1 是学校茶炉房为了方便学生而设计的电路。绿灯亮、红灯不亮时，表示水已烧开，此时温控 开关 S1、S2 的开、闭情况是 A．S1 断开、S2 闭合 B．S1 闭合、S2 断开 C．S1、S2 都断开 D．S1、S2 都闭合
图2
4. 下列关于运动和静止的说法中正确的是 A．“嫦娥一号”从地球奔向月球，以地面为参照物，“嫦娥一号”是静止的 B．飞机在空中加油，以受油机为参照物，加油机是静止的 C．汽车在马路上行驶，以路灯为参照物，汽车是静止的 D．小船顺流而下，以河岸为参照物，小船是静止的
【天津市】2011年南开区初中毕业生学业水平质量调查数学试卷(一)答案
南开区2011年初中毕业生学业水平质量调查（一）数学参考答案及评分标准一、选择题: 本大题共10小题，每小题3分，共30分．二、填空题: 本大题共8小题，每小题3分，共24分． (11)（－5，3）； (12)11000； (13)30； (14)1； (15)0.63 (16)①④； (17) 94；(18)（12n -，0）．三、解答题：本大题共8小题，共66分． (19) (本小题满分6分)．解：（I ）如图，点P 的坐标为（1,5） 2分 （II ）如图 4分 （III ）③与图形②是中心对称 6分(20) (本小题满分8分)．证明：连接OD ,BC 2分 ∵AB 是直径 ∴90ACB ∠= 3分又∵CD DB = ∴OD BC ⊥ 5分 ∴OD AE ∥ 6分 ∵AE DE ⊥ ∴OD DE ⊥ 7分∴DE 是半圆的切线 8分 (21)(本小题满分8分)．解：∵∠C ＝∠E ，∠CAF ＝∠EBF∴△ACF ∽△BEF 2分∵AC 是⊙O 的直径∴∠ABC ＝90° 4分 在Rt △BF A 中，cos ∠BF A ＝32=AF BF 5分 ∴942=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆AF BF S S ACF BEF 6分又∵BEF S ∆＝8∴ACF S ∆＝18 8分(22) (本小题满分8分)． 解：（I ）树状图为：3分（II ）∵ 去甲超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是P （甲）82123==， 5分 去乙超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是P （乙）41123==， 7分 ∴ 我选择去甲超市购物． 8分 (23) (本小题满分8分)．解：（I ）∵1y 的图象与x 轴交于点(2,0)A -和点(4,0)B∴对称轴为1x =设 对称轴与x 轴的交点为N ，则N （1, 0） 3BN =∵5MB =∴ 顶点M 的坐标为（1, 4） 2分设所求解析式为21(1)4y a x =-+将(4,0)B 代入求得49a =- 即22144832(1)49999y x x x =--+=-++ 4分 （II ）224162999y x x =--+=242(444)99x x -++-+=24(2)29x -++ 6分 （III ）把将1y 的图象向下平移两个单位，再向左平移3个单位就能得到2y 的图象. 8分 (24) (本小题满分8分)． 解：在Rt AMN △中，tan tan 6030AN MN AMN MN =⨯∠=⨯== 2分在Rt BMN △中，tan tan 3030BN MN BMN MN =⨯∠=⨯== 4分AB AN BN ∴=-== 5分则A 到B 的平均速度为：172AB ==≈（米/秒）． 6分70千米/时1759=米/秒19≈米/秒17>米/秒， 7分 ∴此车没有超过限速． 8分(25) (本小题满分10分)．解：（I ）解：'BQ C ∆由△BQA ∆旋转得到，∴'1Q C QA ==，'2BQ BQ ==，'135BQ C BQA ∠=∠=，'Q BC ABQ ∠=∠， ∴'90QBQ ABC ∠=∠= 1分 连接'QQ ，则''45QQ B Q QB ∠=∠= 2分∴'QQ ==． 3分'1354590QQ C ∠=-= 4分在Rt 'QQ C ∆中，3QC === 5分 （II ）证明：过Q 点作QM AB ⊥于M ，QN BC ⊥于N 6分 设正方形的边长为a ，QM x =，QN y =，则AM a y =-，CN a x =- 7分 在Rt △QMA 中，22222()QA QM AM x a y =+=+- 在Rt △QNC 中，22222()QC QN CN y a x =+=+-•在Rt △QMB 中，22222QB QM BM x y =+=+ 8分 ∵2222QA QC QB +=∴222222()()2()x a y y a x x y +-++-=+得a x y =+• 9分 ∴AM QM = ∴45MAQ ∠=∴Q 点在对角线AC 上 10分 (26) (本小题满分10分)．解：（I ）设直线AC 的解析式为y kx b =+半径为1的⊙O 分别交x 轴、y 轴于A 、C ∴(1,0)A - (0,1)C - 1分 ∴01k b b =-+⎧⎨-=⎩ ∴11k b =-⎧⎨=-⎩ 2分故直线AC 的解析式为1y x =-- 3分 (II)∵抛物线过(0,1)C -点∴1c =- ∴21y x bx =+- 4分∵直线AC 与抛物线只有一个公共点C ，211y x bx y x ⎧=+-⎨=--⎩∴方程2(1)0x b x ++=有两个相等实数根， 即△=0 ∴121b b ==- 5分 ∴抛物线解析式为21y x x =-- 6分 (III)假设存在符合条件的点P设P 点坐标为2(,1)a a a --，则(,0)Q a 7分 ∵△ADB 为等腰Rt △，△POB ∽△ADB则△PQB 为等腰Rt △， 8分 又PQ ⊥QB∴PQ =QB 即211a a a --=- 9分10a = 22a = 3a 4a =∴存在符合条件的点P ，共有四个，分别为1(0,1)P -、2(2,1)P 、3P 、4(P 10分。
2011年中考数学试题含答案
2011年高中阶段学校招生统一考试数 学全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．全卷满分120分，考试时间共120分钟．答题前，请考生务必在答题卡上正确填涂自己的姓名、考号和考试科目，并将试卷密封线内的项目填写清楚；考试结束，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共30分）注意事项：每小题选出的答案不能答在试卷上，须用铅笔在答题卡上把对应题目．．．．的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．1．4的平方根是 A ．4B ．2C ．－2D ．2或－22．如图1，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有 A ．D 点B ．A 点C ．A 点和D 点D ．B 点和C 点3．下列运算正确的是 A ．(ab )5＝ab 5B ．a 8÷a 2＝a 6C ．(a 2)3＝a 5D ．(a －b )2＝a 2－b 24．如图2，CA ⊥BE 于A ，AD ⊥BF 于D ，下列说法正确的是 A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DACC ．∠ACF 是α的余角D ．α与∠ACF 互补5．下列说法正确的是A ．频数是表示所有对象出现的次数B ．频率是表示每个对象出现的次数C ．所有频率之和等于1D ．频数和频率都不能够反映每个对象出现的频繁程度6．2008年5月5日，奥运火炬手携带着象征“和平、友谊、进步”的奥运圣火火种，离开海拔5200米的“珠峰大本营”，向山顶攀登．他们在海拔每上升100米，气温就下降0.6°C 的低温和缺氧的情况下，于5月8日9时17分，成功登上海拔8844.43米的地球最高点．而此时“珠峰大本营”的温度为－4°C ，峰顶的温度为（结果保留整数）A ．－26°CB ．－22°CC ．－18°CD ．22°C图2图17．已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根8．已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A、C、D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25 9．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是A．y＝2(x－2)2 + 2 B．y＝2(x + 2)2－2C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x + 2)2 + 210．如图3，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E＝30°，D为AB的中点，AC＝1，若△DEC绕点D顺时针旋转，使ED、CD分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M、N，则当△DMN为等边三角形时，AM的值为A ．3B ．233C ．33D．12011年高中阶段学校招生统一考试数学第Ⅱ卷（非选择题共90分）题号二三总分总分人17 18 19 20 21 22 2324得分注意事项：本卷共6页，用黑色或蓝色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．请注意准确理解题意、明确题目要求，规范地表达、工整地书写解题过程或结果.二、填空题：（本大题共6个小题,每小题3分,共18分）把答案直接填在题中横线上．11．如图4，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，请你写出其中的一对全等三角形_________________．12．计算：cot60°－2－2 + 20080＋233＝__________．图4图313．若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )在函数12y x=的图象上，则当1x 、2x 满足_______________时，1y ＞2y .14．如图5，校园内有一块梯形草坪ABCD ，草坪边缘本有道路通过甲、乙、丙路口，可是有少数同学为了走捷径，在草坪内走了一条直“路”EF ，假设走1步路的跨度为0.5米，结果他们仅仅为了少走________步路，就踩伤了绿化我们校园的小草（“路”宽忽略不计）.15．资阳市某学校初中2008级有四个绿化小组，在植树节这天种下柏树的颗数如下：10，10，x ，8，若这组数据的众数和平均数相等，那么它们的中位数是________颗．16．如图6，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时时针(短针)所指的位置．根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是______时_______分．三、解答题：（本大题共9个小题，共72分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分7分）先化简，再求值：（212x x -－2144x x -+）÷222x x-，其中x ＝1．18．（本小题满分7分）如图7，在△ABC 中，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ∥AC 交BC 于点E ，DF ∥BC 交AC 于点F ．（1）点D 是△ABC 的________心； （2）求证：四边形DECF 为菱形．图5图7图619．（本小题满分8分）惊闻5月12日四川汶川发生强烈地震后，某地民政局迅速地组织了30吨食物和13吨衣物的救灾物资，准备于当晚用甲、乙两种型号的货车将它们快速地运往灾区.已知甲型货车每辆可装食物5吨和衣物1吨，乙型货车每辆可装食物3吨和衣物2吨，但由于时间仓促，只招募到9名长途驾驶员志愿者.（1） 3名驾驶员开甲种货车，6名驾驶员开乙种货车，这样能否将救灾物资一次性地运往灾区？（2）要使救灾物资一次性地运往灾区，共有哪几种运货方案？20．（本小题满分9分）大双、小双的妈妈申购到一张北京奥运会的门票，兄弟俩决定分别用标有数字且除数字以外没有其它任何区别的小球，各自设计一种游戏确定谁去.大双：A 袋中放着分别标有数字1、2、3的三个小球，B 袋中放着分别标有数字4、5的两个小球，且都已各自搅匀，小双蒙上眼睛从两个口袋中各取出1个小球，若两个小球上的数字之积为偶数，则大双得到门票；若积为奇数，则小双得到门票.小双：口袋中放着分别标有数字1、2、3的三个小球，且已搅匀，大双、小双各蒙上眼睛有放回．．．地摸1次，大双摸到偶数就记2分，摸到奇数记0分；小双摸到奇数就记1分，摸到偶数记0分，积分多的就得到门票（若积分相同，则重复第二次）．（1）大双设计的游戏方案对双方是否公平？请你运用列表或树状图说明理由； （2）小双设计的游戏方案对双方是否公平？不必说理．21．（本小题满分9分）若一次函数y ＝2x －1和反比例函数y ＝2kx的图象都经过点（1，1）． （1）求反比例函数的解析式；（2）已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标； （3）利用（2）的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．22．（本小题满分10分）如图8，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时，在AQ 延长线上B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°，A 处测得点P 的仰角为45°，试求A 、B 之间的距离；（2）此时，在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 约为多少米？（结果可保留根号）23．（本小题满分10分）阅读下列材料，按要求解答问题： 如图9－1，在ΔABC 中，∠A ＝2∠B ，且∠A ＝60°．小明通过以下计算：由题意，∠B ＝30°，∠C ＝90°，c ＝2b ，a ＝3b ，得a 2－b 2＝(3b )2－b 2＝2b 2＝b ·c ．即a 2－b 2＝ bc ． 于是，小明猜测：对于任意的ΔABC ，当∠A ＝2∠B 时，关系式a 2－b 2＝bc 都成立． （1）如图9－2，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；（2）如图9－3，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；（3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A ＝2∠B ，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．图8图9-1图9-2图9-324．（本小题满分12分）如图10，已知点A 的坐标是（－1，0），点B 的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O ′，交y 轴的负半轴于点C ，过A 、B 、C 三点作抛物线．（1）求抛物线所对应的函数关系式； （2）点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O ′于点D ，连结BD ，求直线BD 所对应的函数关系式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得∠PDB ＝∠CBD ?如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．图102011年高中阶段学校招生统一考试数学试题参考答案及评分意见说明：1. 解答题中各步骤所标记分数为考生解答到这一步应得分数的累计分数；2. 参考答案中的解法只是该题解法中的一种或几种，如果考生的解法和参考答案所给解法不同，请参照本答案中的标准给分；3. 评卷时要坚持每题评阅到底，当考生的解答在某一步出现错误、影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变问题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后继部分应给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分；若是几个相对独立的得分点，其中一处错误不影响其他得分点的得分；4. 给分和扣分都以1分为基本单位；5. 正式阅卷前应进行试评，在试评中须认真研究参考答案和评分意见，不能随意拔高或降低给分标准，统一标准后须对全部试评的试卷予以复查，以免阅卷前后期评分标准宽严不同.一、选择题：（每小题3分，共10个小题，满分30分）1-5. DCBDC ；6-10. AACBB.二、填空题：（每小题3分，共6个小题，满分18分）11．答案不唯一，ΔAOB≌ΔCOD、ΔAOD≌ΔCOB、ΔADB≌ΔCBD、ΔABC≌ΔCDA之一均可；12．3434＋(或34＋3)；13．x1<x2<0或0<x1<x2；14．4；15．10 ；16．9，12；三、解答题：（共9个小题，满分72分）17．原式=[1(2)x x-–21(2)x-]×(2)2x x-······························································ 3分=1(2)x x-×(2)2x x-–21(2)x-×(2)2x x-=12–2(2)xx-·········································································································· 4分=22(2)xx--–2(2)xx-=12x-····················································································································· 5分当x=1时，原式=121-·············································································································· 6分= 1 ··························································································································· 7分图7 说明：以上步骤可合理省略 . 18．(1) 内. ············································································································ 2分 (2) 证法一：连接CD ， ························································································· 3分 ∵ DE ∥AC ，DF ∥BC ， ∴ 四边形DECF 为平行四边形，·········································································· 4分 又∵ 点D 是△ABC 的内心， ∴ CD 平分∠ACB ，即∠FCD ＝∠ECD ， ································································ 5分 又∠FDC ＝∠ECD ，∴ ∠FCD ＝∠FDC ∴ FC ＝FD ， ··········································································································· 6分 ∴ □DECF 为菱形． ······························································································ 7分 证法二：过D 分别作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥BC 于H ，DI ⊥AC 于I ． ·································· 3分 ∵AD 、BD 分别平分∠CAB 、∠ABC ， ∴DI =DG ， DG =DH ．∴DH =DI ． ·············································································································· 4分 ∵DE ∥AC ，DF ∥BC ，∴四边形DECF 为平行四边形， ··········································································· 5分 ∴S □DECF =CE ·DH =CF ·DI ， ∴CE =CF ． ·············································································································· 6分 ∴□DECF 为菱形． ······························································································· 7分19．(1) ∵3×5+6×3=33＞30，3×1+6×2=15＞13，·················································· 1分 ∴3名驾驶员开甲种货车，6名驾驶员开乙种货车，这样能将救灾物资一次性地运到灾区．································································································································ 2分 (2) 设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车(9–x )辆， ········································ 3分由题意得：53(9)30,2(9)13.x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩·············································································· 5分解得：1.5≤x ≤5 ····································································································· 6分注意到x 为正整数，∴x =2，3，4，5 ···································································· 7分 ∴安排甲、乙两种货车方案共有下表4种：方 案 方案一 方案二 方案三 方案四 甲种货车 2 3 4 5 乙种货车7654································································································································ 8分 说明：若分别用“1、8”，“2、7”等方案去尝试，得出正确结果，有过程．．．也给全分. 20．(1) 大双的设计游戏方案不公平． ································································· 1分 可能出现的所有结果列表如下：1 2 344812大双积 小双5510 15或列树状图如下：·························································· 4分∴P(大双得到门票)= P(积为偶数)=46=23， P(小双得到门票)= P(积为奇数)=13， ···································································· 6分∵23≠13，∴大双的设计方案不公平． ··································································· 7分 (2) 小双的设计方案不公平． ················································································ 9分 参考：可能出现的所有结果列树状图如下：21．(1) ∵反比例函数y =2kx的图象经过点(1，1)， ∴1=2k ····················································································································· 1分 解得k =2， ·············································································································· 2分∴反比例函数的解析式为y =1x． ··········································································· 3分(2) 解方程组211.y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，；122.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ························································· 5分 ∵点A 在第三象限，且同时在两个函数图象上，∴A (12-，–2)． ······································································································· 6分(3) P 1(32，–2)，P 2(52-，–2)，P 3(52，2)．(每个点各1分) ································ 9分22. (1) 在Rt △BPQ 中，PQ =10米，∠B =30°， 则BQ =cot30°×PQ ＝103, ············································································ 2分 又在Rt △APQ 中，∠P AB =45°， 则AQ =tan45°×PQ =10，即：AB =(103+10)(米)； ························································· 5分 (2) 过A 作AE ⊥BC 于E ，图8在Rt△ABE中，∠B=30°，AB =103+10，∴AE=sin30°×AB=12（103+10）=53+5， ··············································· 7分∵∠CAD=75°，∠B=30°，∴∠C=45°，····································································································· 8分在Rt△CAE中，sin45°＝AE AC，∴AC =2（53+5）=(56+52)(米) ·······················································10分23. (1) 由题意，得∠A=90°，c=b，a =2b，∴a2–b2=(2b)2–b2=b2=bc． ······················································3分(2) 小明的猜想是正确的．·······················································4分理由如下：如图3，延长BA至点D，使AD=AC=b，连结CD，···································································································5分则ΔACD为等腰三角形．∴∠BAC=2∠ACD，又∠BAC=2∠B，∴∠B=∠ACD=∠D，∴ΔCBD为等腰三角形，即CD=CB=a， ·······················································6分又∠D＝∠D，∴ΔACD∽ΔCBD，···············································7分∴AD CDCD BD=．即b aa b c=+．∴a2=b2＋bc．∴a2–b2= bc············8分(3) a=12，b=8，c=10． ························································· 10分24．(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，∴∠OCA+∠OCB=90°，又∵∠OCB+∠OBC=90°，∴∠OCA=∠OBC，又∵∠AOC= ∠COB=90°，∴ΔAOC∽ ΔCOB，·································································································· 1分∴OA OCOC OB=．又∵A(–1，0)，B(9，0)，∴19OCOC=，解得OC=3(负值舍去)．∴C(0，–3)， ································································································································ 3分设抛物线解析式为y=a(x+1)(x–9)，∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=13，∴二次函数的解析式为y=13(x+1)(x–9)，即y=13x2–83x–3．································· 4分(2) ∵AB为O′的直径，且A(–1，0)，B(9，0)，∴OO′=4，O′(4，0)，······························································································ 5分∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，∴∠BCD=12∠BCE=12×90°=45°，连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=12AB=5．图9-3。
2011年中考基础训练(1)
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天津市第四十一中学2011中考复习基础训练（1） 一、选择题： 1．2的相反数是（ ）（A）－2 （B）2 （C）21 （D）21
2．计算)3(623mm的结果是（ ）（A）m3（B）m2（C）m2（D）m3 3．重庆直辖十年以来，全市投入环保资金约3730000万元，那么3730000万元用科学记数法表示为（ ）（A）37.3×105万元 （B）3.73×106万元（C）0.373×107万元（D）373×104万元 4．在下列各电视台的台标图案中，是轴对称图形的是（ ）
（A） （B） （C） （D） 5．将如图所示的Rt△ABC绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图是（ ）
DCB
A
CB
A5 题图 6．已知⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，则这两圆的位置关系是（ ） （A）相交 （B）内含 （C）内切 （D）外切
7．分式方程1321x的解为（ ） （A）2x （B）1x （C）1x （D）2x 8．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） （A）200 （B）1200 （C）200或1200 （D）360 9．甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射靶5次，射击成绩统计如下： 命中环数（单位：环） 7 8 9 10 甲命中相应环数的次数 2 2 0 1 乙命中相应环数的次数 1 3 1 0 从射击成绩的平均数评价甲、乙两人的射击水平，则（ ） （A）甲比乙高 （B）甲、乙一样 （C）乙比甲高 （D）不能确定 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运 动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝x，AE ＝y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
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2011天津中考
2011天津中考引言2011年是天津市中考的一年。
中考是衡量初中毕业生学业水平的重要标准，对于考生和家长而言，都是一个具有重要意义的时刻。
本文将对2011年天津中考进行回顾和分析，探讨考题的特点和对考生的影响。
2011年天津中考考题的特点考试科目2011年天津中考一共包括语文、数学、英语和综合四个科目。
这四门科目是中学生学习的基础科目，对考生的学业成绩有着重要影响。
考试内容语文语文考试主要涵盖了阅读理解、写作和语言知识等方面。
通过阅读理解题，考生需要理解短文的内容，并回答相关问题。
写作题要求考生写一篇短文，表达自己的观点和想法。
语言知识的考察则包括词汇、语法和修辞等方面。
数学数学考试涉及了代数、几何和数学综合等各个方面。
代数部分包括代数式的计算和方程的解法，几何部分则涉及了平面几何和立体几何的相关概念和定理。
数学综合则是对各个知识点的综合考察和应用。
英语英语考试分为听力、阅读和写作等三个部分。
听力部分要求考生根据听到的内容回答问题，阅读部分要求考生阅读短文并回答相关问题，写作部分则要求考生写一篇短文。
综合综合科目主要考察的是综合知识和能力。
题型包括数理化综合、社会综合和文言文阅读等。
数理化综合要求考生运用数学和物理化学知识解决实际问题，社会综合要求考生运用社会科学知识理解和分析相关问题，文言文阅读则要求考生理解古代文言文的意思和内涵。
题型和分值2011年天津中考的题型较为多样。
除了传统的选择题、填空题和解答题外，还有运算填空题和应用题等。
各科目的分值也不相同，语文和数学为150分，英语为120分，综合为105分，共计525分。
2011年天津中考对考生的影响学业压力中考是衡量初中毕业生学业水平的重要考试，对考生而言是一个关键的节点。
考生需要在有限的时间内复习各个科目的知识和技能，并应对各科目的考试。
这给考生带来了较大的学业压力。
学习规划中考前的复习是对考生学习规划和时间管理能力的考验。
考生需要根据自己的知识掌握情况，合理安排每天的学习计划，并坚持执行。
最新初中中考数学题库 2011天河区初中毕业班综合练习参考答案1
2011年天河区初中毕业班综合练习（数学）参考答案说明：1、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，各题组可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）三、解答题（本题有9个小题, 共102分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分9分）一天晚上,小明帮助姐姐清洗两套只有颜色不同的有盖茶杯，此时突然停电了，小明只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，用列表法或树形图法求颜色搭配正确的概率是多少？ 解：如图：-------------5分所以颜色搭配正确的概率P=2142= ---------------9分（2分+2分） （注明：该步骤中只写P 12=，只给2分） 18.（本题满分9分）若m 满足式子322m m +>，试判断关于x 的一元二次方程240x x m -+=的根的情况. 解： 2(4)4164m m =--=- --------2分由322m m +>，解得4m < --------5分∴1640m -> 即0> --------7分∴方程240x x m -+=有两个不相等实数根. --------9分 19.（本题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =4，AC 是弦，∠CAB =40°，求劣弧BC 和弦AC 的长. （弧长计算结果保留π，AB弦长精确到0.01）解：∵∠ACB =40°∴∠A0B =80°--------2分∴240281809BClππ⨯⨯==--------5分 连结BC ，则∠ACB =90°--------7分 在Rt △ACB 中，cos 40=4AC AC AB=∴4cos 4040.766 3.06AC ==⨯≈--------10分另解：过点O 作OE ⊥AC ，垂足为E2AC AE =分在Rt △AEO 中，cos 40=2AE AE AO=∴24cos 4040.766 3.06AC AE ===⨯≈--------10分 20.（本题满分10分）广州市天河区某楼盘准备以每平方米35000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米28350元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套80平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月4元．请问哪种方案更优惠？ 解：（1）设平均每次降价的百分率是x ，依题意得 ---------1分35000（1－x ）2= 28350 ---------------------4分 解得：x 1=10％ x 2＝1910（不合题意，舍去） ---------------6分 答：平均每次降价的百分率为10％． ------------------------7分（2）方案①的房款是：28350×80×0.98＝2222640（元） -------------------8分方案②的房款是：28350×80－4×80×12×2＝2260320（元）---------------9分 ∵2222640＜2260320∴选方案①更优惠． -------------------------10分21.（本题满分12分）如图，等腰△OBD 中，OD=BD ，△OBD 绕点O 逆时针旋转一定角度后得到△OAC ，此时正好B 、D 、C 在同一直线上，且点D 是BC 的中点. （1）求△OBD 旋转的角度； （2）求证：四边形ODAC 是菱形.B B解：（1）∵OD=BD，CD=BD，∴OD=CD=BD------------------1分又△OBD≌△OAC∴OD=OC---------------2分△ODC是等边三角形∴∠COD=60°---------------4分即△OBD旋转的角度为60°---------------5分（2）∵△OBD≌△OAC，△ODC是等边三角形∴OD=OC，BD=AC，OB=OA∠OCA=∠ODB=180°－60°=120°-----------------7分∴∠ACD=∠OCA－∠OCD=120°－60°=60°∴△ACD是等边三角形---------------9分∴OD=OC=AC=AD ---------------11分∴四边形ODAC是菱形. ---------------12分另解：连结AB，由（1）得：∠AOB=60°又OB=OA∴△AOB是等边三角形∴OB=AB---------------7分∴OD=OC=BD=AC∴BC垂直平分OA∴OD= AD --------------9分∴OD=OC=AC=AD ---------------11分∴四边形ODAC是菱形. ---------------12分22.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，直线l与y轴交点坐标为D（0，8.5），在y轴上有一点B（0，4），请过点B作BA⊥l，交直线l于点A.（1）请在所给的图中画出直线BA，并写出点A的坐标；（2）试求出直线BA解析式，并求出直线BA、直线l与两坐标轴围成的四边形的面积.解：（1）作图，-----------2分（没有直角号扣1分）由图可知：点A的坐标（6，4）-----------3分（2）设直线BA解析式为y kx b=+直线BA过点（6，4）和（0，－4），得：464k bb=+⎧⎨=-⎩-----------4分解得：434kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩-----------6分BFE∴直线BA 解析式为443y x =------------7分 设直线BA 与x 轴交于点C ，则点C 的坐标（3，0）-----------8分 连结OA,过A 作AE ⊥x ，AF ⊥y ，垂足分别为E,F 则有8.5,6,3,4OD AF OC AE ==== -------9分直线BA 、直线l 与两坐标轴围成的四边形OCAD 的面积1122OAD OCAS SSOD AF OC AE =+=∙+∙ =11638.5634222⨯⨯+⨯⨯=-----------12分 此问有几种解法，类似给分。
2011年全国初中数学竞赛天津赛区初赛参考答案及评分标准
2011年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（1）设a =-2b =c =a ，b ，c 的大小关系是（ ）.（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）b c a << 【解】选A ．因为0a >，0b >，0c >，2(20a b -=+=+>（这是因为212=，2(266612=+<+=），所以a b >.又222)(57c a -=--=-，而22929=+>+（292049=+=，于是7>．即22c a >，因为0a >，0c >，所以c a >．综上，b a c <<．（2）若函数5y x =-+，令1x =，2，3，4，5，可得函数图象上的5个点，在这5个点中随机取两个点11(,)P x y ，22(,)Q x y ,则,P Q 两点在同一反比例函数图象上的概率是（ ）.（A ）51（B ）25 （C ）35（D ）45 【解】选A ．由题设易知，函数5y x =-+图象上的5个点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)，从这5个点中随机取2个点的情况有(1,4)，(2,3)；(1,4)，(3,2)；(1,4)，(4,1)；(1,4)，(5,0)；(2,3)，(3,2)；(2,3)，(4,1)；(2,3)，(5,0)；(3,2)，(4,1)；(3,2)，(5,0)；(4,1)，(5,0)共10种．其中，两点在同一个反比例函数图象上的为(1,4)，(4,1)；(2,3)，(3,2)共2种．所以，随机取出的两点在同一个反比例函数图象上的概率是15．（3）直角三角形纸片的两直角边长6CA =，8CB =，现将ABC △如图那样折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则四边形ADEC 的面积是（ ）．（A ）8 （B ）214（C ）1178（D ）1678【解】选C ．根据题意，ADE △≌BDE △，则A E B E =，AD BD =．设BE x =，则8C E x =-．在Rt ACE △中，由勾股定理，可得222(8)6x x -+=，解得254x =．又由152BD AB ==，得154DE =，得17528BDE S BD DE ∆=⋅=， 所以四边形ADEC 的面积为ABC S ∆751172488BDE S ∆-=-=． （4）在△ABC 中，120A ∠=，6BC =．若△ABC 的内切圆半径为r ，则r 的最大值为（ ）．（A ）4- （B（C）4- （D）6-【解】选D ．设△ABC 的内切圆圆心为I ．如图，作AM BC ⊥于点M ，设⊙I 与△ABC 的三边分别相切于D 、E 、F 三点， 连接IA 、ID 、IE 、IF ．由圆的切线性质可得22AB BC CA BC AE ++=+，60EAI ∠=，90AEI ∠=．在Rt △AEI 中，可得AE =，AI =．于是1()()(6)2ABC S AB BC CA r BC AE r r ∆=++=+=+．又由132ABC S BC AM AM ∆=⨯⨯=，得6)3r AM +=（．即(2)AM r =．第（3）题CEABDCAB而AM AI ID ≤+，得(2)r r +≤+． 由0r >，得21+．解出6r ≤-又当AB AC =时，AM AI ID =+，得6r =-r 的最大值．（5）某篮球队队长练习“三分球”投篮，共投篮10次．甲、乙、丙、丁四个队员预测队长每次是否投中，若预测队长投中，则以“√”表示，若预测队长投不中，则以“×”表示．下表给出了甲、乙、丙、丁四个队员每次预测的情况，以及甲、乙、丙三个队员预测正确的次数，则队员丁预测正确的次数是（ ）.（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【解】选B ．①分析甲、乙预测的情况：从表中看出，队长在第3,5,8,9次投篮时甲、乙预测的结果均相同，设其中预测正确的次数为x ；又队长在第1,2,4,6,7,10次投篮时甲、乙预测的结果均相反，设其中甲、乙预测正确的次数分别为y ，z ；所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.6,2,8z y z x y x 解出⎪⎩⎪⎨⎧===.0,6,2z y x ②分析甲、丙预测的情况：从表中看出，队长在第1,2,4,6,7,8,10次投篮时甲、丙预测的结果均相同，设其中预测正确的次数为a ；又队长在第3,5,9次投篮时甲、丙预测的结果均相反，设其中甲、丙预测正确的次数分别为b ，c ；所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.3,7,8c b c a b a 解出⎪⎩⎪⎨⎧===.1,2,6c b a 由①和②可知，甲第1,2,4,6,7,10次预测时均正确，第3,5,9次预测时只有2次正确，第8次预测时出错．由此并结合表中情况可得，丁第1,2,4,6,7,10次预测时只有第2,6次正确，第3,5,9次预测时只有1次正确，第8次预测正确．即丁10次预测共有４次正确．所以，队员丁预测正确的次数是4．二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（6）如图，直角三角板ABC 满足60ABC ∠=，90C ∠=，10=BC cm ，将三角板绕B 点按逆时针方向转动一个角度到11A BC 的位置， 使得点1A 、B 、C 在同一条直线上，则点A 在旋 转过程中所经过的路程为__________cm . 【解】π340． 根据题意，202==BC AB cm ，1120ABA ∠=， 所以点A 在旋转过程中所走过的路程为π340cm . （7）在白纸上，有由34个完全相同的小正方形 组成的图形，若将该图形剪出若干个长方形，使每个 长方形由2个相连（有公共边）的小正方形组成，则 能剪出的长方形的个数最多为________．【解】16．如图，将该图形中的18个小正方形涂上黑色，则 按要求剪出的每个长方形都应该由黑白相连的2个小正 方形组成，因为图形中只有16个白的小正方形，所以 最多能剪出16个符合要求的长方形． （剪法不唯一，具体剪法略）（82，按图中的方法进行排列A 1第（6）题第（7）题EAB C D P246……若（2，3），（3，2），则这组数中最大的有理数n 的位置记为 .【解】（17，2）.1k =，2， (102)98个.图中的每行排6个数，故这些数中最大的有理数应排在第17行第2列.（9）若0a >，0b >，10a b +=+的最小值为 ．【解】如图，作线段10AB =，作AC AB ⊥，垂足为A ， 且2AC =；作BD AB ⊥，垂足为B ，且3BD =．在线段AB 上任取一点P ，有10AP PB +=． 设AP a =，PB b =，则10a b +=．由勾股定理，可知PC ==，PD ==．PC PD =+．显然当C P D 、、三点共线时，PC PD +最小． 连接CD ，过点A 作AE CD ∥，交BD 的延长线于点E ，可得AE CD =． 在Rt ABE △中，AE ==．PC PD+CD =≥（10）设p 为质数，且关于x 的方程211700x px p +-=的一个根为正整数，则p 等于 ．【解】13．设0x 是方程211700x px p +-=的正整数根，得2011700x px p +-=．即2001170)x p x =-（．因为p 是质数，0x 是正整数，所以p 整除20x ．从而p 整除0x ．设0x n p=（n 为正整数），代入201170)x p x =-（，得2()1170)np p np =-（．化简得(1)91013n n p +=⨯⨯．所以13p =．三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分） （11）（本小题满分20分）若多项式24m +加上一个单项式后，能成为一个含有m 的完全平方式，求所有满足条件的单项式．【解】设满足条件的单项式为A ，则当4A =-时，2244m m +-=； ……………………………5分 当4A m =±时，2244(2)m m m ±+=±； …………………………15分 当416m A =时，242242164m m m ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭． ∴4A =-、4m 、4m -、416m 均满足条件．可以证明满足条件的单项式有且仅有以上4个．………………………………20分 （12）（本小题满分20分）如图，有任意四边形ABCD ，点A B C D ''''、、、 依次是顶点A B C D 、、、关于点B C D A 、、、的对 称点，设S 表示四边形ABCD 的面积，S '表示四边形A B C D ''''的面积，试求S S'的值． 【解】如图，连接AC ，A C ',根据题意，点B '是顶点B 关于点C 的对称点， 点A '是顶点A 关于点B 的对称点， ∴点C 是线段BB '的中点，点B 是线段AA '的中点．BCDAA 'B 'D 'C '∴22BA B BCA ABC S S S '''∆==△△． …………10分 同理可得：2DC D ACD S S ''∆=△；2CB C BCD S S ''∆=△； 2AD A ABD S S ''∆=△．…………………15分而ABC ACD S S S =+△△BCD ABD S S =+△△， BA B CB C DC D AD A S S S S S S '''''''''=++++△△△△，∴5S S '=，即5S S'=． ………………………………………………………20分 （13）（本小题满分20分）如图所示，在平行四边形ABCD 中，2BC AB =， M 是AD 的中点，CE AB ⊥于点E ，求证：3DME AEM ∠=∠． 【证明】 如图，延长EM 交CD 的延长线于点F ，连接CM ．在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，BC ∥AD ，AB CD =，BC AD =， ∴AEM F ∠=∠，DCE CEB ∠=∠． 又∵CE AB ⊥，∴90DCE CEB ∠=∠=． ………5分 由于M 是AD 的中点， ∴AM MD =．又AME FMD ∠=∠，∴△AEM ≌△DFM ．∴EM MF =．在Rt △FCE 中，有F MCF ∠=∠． ……………10分 ∴2EMC F MCF F ∠=∠+∠=∠．由已知2BC AB =， ∴2AD CD =．∴MD CD =，有DMC DCM F ∠=∠=∠． ……………………15分 而DME EMC DMC ∠=∠+∠，∴3DME F ∠=∠．又AEM F ∠=∠， ∴3DME AEM ∠=∠． ………………………20分 （14）（本小题满分20分）BCDAA 'B 'D 'C 'BCDMEABCDME AF已知抛物线2y x mx n =++上有一点00(,)M x y 位于x 轴的下方． （Ⅰ）求证：已知抛物线必与x 轴有两个交点；（Ⅱ）设已知抛物线与x 轴的两个交点为1(,0)A x ，2(,0)B x ，其中12x x <，求证：102x x x <<；（Ⅲ）当点M 的坐标为(1,2)-时，求（Ⅱ）中的整数1x ，2x ．【解】（Ⅰ）∵点00(,)M x y 在抛物线2y x mx n =++上，且位于x 轴的下方， ∴022200000,4().24y m m n y x mx n x <⎧⎪⎨-=++=+-⎪⎩ ∴2200044()4402m m n x y y -=+-≥->． 这表明二次方程20x mx n ++=根的判别式240m n ∆=->，则该方程有两个不相等的实数根，于是抛物线2y x mx n =++必与x 轴有两个交点． ……………5分（Ⅱ）根据题意，抛物线与x 轴有两个交点1(,0)A x ，2(,0)B x ， ∴212()()y x mx n x x x x =++=--．又点00(,)M x y 位于x 轴的下方， ∴20000102()()0y x mx n x x x x =++=--<．又12x x <，∴102x x x <<． ……………………………………………10分 （Ⅲ）∵点M (1,2)-在已知抛物线2y x mx n =++上，且212()()y x mx n x x x x =++=--，∴ 122(1)(1)x x -=--．∵12,x x 是整数，121,1x x --也均为整数，且由12x x <，有1211x x -<-， ∴1211,12x x -=-⎧⎨-=⎩或1212,1 1.x x -=-⎧⎨-=⎩ 即120,3x x =⎧⎨=⎩或121,2.x x =-⎧⎨=⎩ ……………………20分。