2013名师导学·高考数学二轮复习课件：第5讲 解三角形及三角函数模型应用题
超实用高考数学专题复习：第五章三角函数解三角形 第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式
答案
3 2
5.(2020·南京、盐城一模)已知锐角α，β满足(tan α－1)·(tan β－1)＝2，则α＋β的值为
________.
解析 因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以 tan α＋tan β＝tan αtan β－1，因此 tan(α＋β)
＝1t－antαan＋αttaannββ＝－1，因为 α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝34π.
因为 tanα－54π＝15，所以1t＋antαan－αttaann5544ππ＝15，即t1a＋n αta－n α1＝15，
解得 tan α＝32.
法二
因为 tanα－54π＝15，所以 tan α＝tanα－54π＋54π＝t1a－ntαa－nα54π－＋54πtatnan5π 454π
＝1－15＋15×1 1＝32.
可以变形为 β
tan α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan β)，
且对任意角 α，β 都成立.( )
解析 (4)变形可以，但不是对任意的 α，β 都成立，α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z. 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.(2019·全国Ⅰ卷)tan 255°＝( )
即tan 70°－tan 10°＋tan 120°＝tan 60°tan 70°tan 10°，
所以 tan
tan 10°tan 70° 70°－tan 10°＋tan
120°＝tan
t7a0n°t1a0n°t1a0n°t7a0n°60°＝
33.
规律方法 (1)两角和、差正切公式的变形 tan α±tan β
70°－2cos
40°
＝cos
20°（cos 10°＋ sin 20°
高考数学总复习 第四章 三角函数、解三角形 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案
第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝2tan α1－tan2α. 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β).
(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sinα±π4. 4.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tan φ＝ba或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)其中tan φ＝ab. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )
高考总复习数学精品课件 第5章 三角函数、解三角形 课时规范练33 两角和与差的三角函数、二倍角公式
=cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°=sin(52°-82°)=-sin 30°=- ,故 A 正确;
sin 15°·
sin 30°sin
故 B 正确;
2
2
1
75°= sin
2
cos 15°-sin 15°=cos 30°=
故C
1
15°sin(90°-15°)= sin
2
2
15°cos
1
15°= sin
4
3
,
2
tan48 °+tan72 °
正确;1-tan48 °tan72 °=tan(48°+72°)=tan
120°=- 3,故 D 错误.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
30°= ,
8
1
2x=- ,则
3
7.(2024·广东深圳中学模拟)已知 cos
1
=1+ cos
2
2
1
2x=1+
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 5
×(- )= .
3 6
8.(多选题)(2024·海南高三学业水平诊断)已知
( AC )
1
4
A.tan α=-2
B.sin 2α=5
C.cos
3
2α=5
D.tan
π
α∈(2 ,π),且
因为
所以
2 5
D.- 5
14.(2024·浙江杭州、宁波联考)已知 tan(α+β),tan(α-β)是关于 x 的方程
高考数学(理)二轮复习(课件+跟踪训练)：第一部分 专题二 三角函数、解三角形、平面向量(7份)专题
专题跟踪训练(八)一、选择题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形[解析] 依题意得a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58<32，因此0°<B <60°或120°<B <150°.若0°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，故选C.[答案] C2．(2015·贵州贵阳期末)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C.45D ．－45[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45，故选D.[答案] D3．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为()A.615 B ．5 C.562D ．5 6[解析] 在△ADC 中，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22·AD ·DC ＝25＋9－492×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，则∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定理可得AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝5×3222＝562，故选C. [答案] C4．(2015·江西南昌一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53 B.107 C.57D.5214[解析] 因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57，故选C.[答案] C5．(2015·贵阳七校联盟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210[解析] 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D.[答案] D6．(2015·河南郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.213D.334或736[解析] sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，sin(B －A )＝sin B cos A －cosB sin A ，sin 2A ＝2sin A cos A ，sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，即2sin B cos A ＝6sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，又c ＝7，得b ＝213.由三角形面积公式知S ＝12bc ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A 可得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，再由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝cos π3＝12，可得a ＝1，b ＝3，所以此时三角形的面积为S ＝12ab sin C ＝334.综上可得三角形的面积为736或334，所以选D.[答案] D 二、填空题7．(2014·温州十校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于________． [解析] 由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得，cos 2α－sin 2α＝22cos α＋22sin α，而α为锐角，∴cos α＋sin α≠0，∴cos α－sin α＝22，两边平方得，1－sin 2α＝12，∴sin 2α＝12.[答案] 128．(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] 由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b12，所以b ＝1. [答案] 19．(2015·贵阳质检)在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，b ＝7，则a 2＋c 2的最小值为____________．[解析] ∵cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，∴－cos(A ＋C )＋cos(A －C )＝1－cos 2B,2sin A sin C ＝2sin 2B ，由正弦定理得ac ＝b 2，即7＝ac ≤12(a 2＋c 2)(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴a 2＋c 2的最小值为14.[答案] 14 三、解答题10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13.(1)求c 的值； (2)求cos(B －C )的值．[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13，所以9＝9＋c 2－2×3c ×13， 解得c ＝2或0(舍去)，故c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429，因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝79，于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 11．(2015·山西太原一模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． [解] (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ， ∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2.∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.12．(2015·辽宁五校期末)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合； (2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos 2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数取最大值时x 的取值集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号． 又由b ＋c >a 得a <2，∴a 的取值范围是[1,2)．。
专题：三角函数及解三角形 第二课时 三角函数的图象与解析式(课件)高三数学二轮复习
（D）y=2sin（2x– ）
3
题型突破
题型一 三角函数的图象变换问题
2.(2022·浙江高考)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数 y 2sin3x
5
图象上所有的点 ( D )
A.向左平移 个单位长度
5
B.向右平移 个单位长度
5
C.向左平移 个单位长度
15
D.向右平移 个单位长度
( C)
A． 10π 9
B． 7π 6
C． 4π 3
D． 3π 2
题型突破
题型二 三角函数的图象及应用
7. 如 图 所 示 的 曲 线 为 函 数 f x Acosx A 0, 0, 的 部 分 图 象 , 将
2
y f x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再将所得曲线向右平移
2
8
个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求 gx =
2sin 2x
达标检测
1.为了得到函数 y 2sin 2x 的图象，可以将函数y＝2sin
3
2x的图象(
C)
A．向右平移π 个单位长度 6
B．向右平移π 个单位长度 3
C．向左平移π 个单位长度 6
D．向左平移π 个单位长度 3
达标检测
15Leabharlann 题型突破题型一 三角函数的图象变换问题
3. （2021年全国乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1 2
倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数
3
y＝sin（x−
）的图像，则f（x）＝（
4
B
）
A．sin（
2
−
7）
2013高考数学(理)二轮复习课件(解析版)：专题5 平面解析几何(湖北省专用)(139张)
第14讲│ 要点热点探究
[答案]
(1)B
(2)A
(1)当直线过原点时方程为2x－5y＝0，不过原点 x y 时，可设出其截距式为a＋ ＝1，再由过点(5,2)即可解出． 2a (2)当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0，直线l2：x＋2y＋4 ＝0，则l1∥l2；若l1∥l2，则有a(a＋1)－2×1＝0，即a2＋a－2 ＝0，解之得，a＝－2或a＝1，所以不能得到a＝1.故选A.Βιβλιοθήκη 第14讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
第14讲 │ 主干知识整合
第14讲 │ 主干知识整合
1.直线的概念与方程 (1)概念：直线的倾斜角θ的范围为[0° ，180° )，倾斜角为90° 的 y2－y1 直线的斜率不存在，过两点的直线的斜率公式k＝tanα＝ x2－x1 (x1≠x2)； y－y1 x－x1 (2)直线方程：点斜式y－y0＝k(x－x0)，两点式 ＝ y2－y1 x2－x1 (x1≠x2，y1≠y2)，一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)； (3)位置关系：当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时，两直 线平行l1∥l2⇔k1＝k2，两直线垂直l1⊥l2⇔k1·2＝－1，两直线的交 k 点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点； (4)距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平 行线间的距离公式．
第14讲│ 要点热点探究
[答案] (1)C
(2)A
[解析] (1)抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，则a＝1，b＝0，r |3×1＋4×0＋2| ＝ ＝1，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1. 32＋42 (2)圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，易知圆心为(2,0)，半 径为2，圆心到点P的距离为1，所以点P在圆内．所以直线与 圆相交．故选A.
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章三角函数、解三角形-第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
[解析]在∘ ～∘ 内,终边落在阴影部分内的角表示为
∘ < < ∘ ,所以所求角的集合为
{| ⋅ ∘ + ∘ < < ⋅ ∘ + ∘ , ∈ }.
［对点训练1］（1）设是第三象限角,且
A.第一象限角
B.第二象限角
[解析]∵ 是第三象限角,∴ + < <
4.象限角:建立平面直角坐标系,使角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,
那么角的终边（除端点外）在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐
标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
象限角
角的表示
第一象限的角
{| ⋅ 360∘ < < ⋅ 360∘ + 90∘ , ∈ }
___
0
−1
_____
0
−1
_____
0
0
3.三角函数的符号性质如下表:
三角函
数
定义域
第一象限符
第二象限符
第三象限符
第四象限符
号
号
号
号
sin
+
+
-
__
cos
π
{| ≠ π + , ∈ }
____________________
2
+
__
-
+
___
+
-
+
___
-
tan
注:三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
则sin = ,cos = ,tan =
2023新教材高考数学二轮专题复习：三角函数与解三角形课件
技法领悟
1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题， 一般利用S＝12ab sinC型面积公式及基本不等式求解．
2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边
用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．
巩固训练1 1.[2022·河北沧州二模]在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知b(2sin A－ 3cos A)＝a sin B. (1)求A；
2，则sin B＝ 22且π>B>0，可得B＝π4或B＝34π，
(2)若a＝2，求△ABC的面积．
解析：由题设，a＝2，则b＝ 3，又B＝π4，
所以cos B＝a2+c2−b2＝1+c2＝ 2，整理得c2－2 2c＋1＝0，解得c＝ 2±1，满足
2ac
4c 2
题设．
由S△ABC＝12ac sin B＝ 22c， 所以，当c＝ 2＋1时S△ABC＝1＋ 22；当c＝ 2－1时S△ABC＝1－ 22.
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小 为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[－1π2，π6]时， 求函数g(x)的值域．
解析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y＝2sin (2x－π3)的图象． 再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y＝g(x)＝2sin (4x－π3)的图象． 当当当x44∈xx－－[－ππ33＝＝1π2－π3，时π2时，π6]时，函，函数4数gx(－xg)(取π3x∈)取得[－得最2最大3π 小值，值，π3]，最，最 大小值值为为3－，2， 故函数g(x)的值域为[－2， 3].
1.已知函数f(x)＝ 称轴间的距离为π2.