椭球面上的几种弧长计算和大地线
第四章 地球椭球及其数学计算
• 对称性 • 过任意一点的子午圈的形状和大小相同 • 平行圈（纬圈）和赤道圈都是正圆
子午圈的形状和大小 决定了地球椭球的形状和大小
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
椭球的基本几何参数
✓ 椭球长半径
a
✓ 椭球短半径
b
✓ 椭球的扁率
✓ 椭球的第一偏心率e
✓ 椭球的第二偏心率 e '
导航学
第四章 地球椭球及其数学计算
张小红 武汉大学测绘学院
第四章 地球椭球及其数学计算
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系 4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系 4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系 4.4 地球椭球上的曲率半径 4.5 椭球面上的弧长计算 4.6 法截线与大地线 4.7 大地主题解算 4.8 导航中大地线长度的计算方法 4.9 把地面观测值归算至椭球面
4.4 地球椭球上的曲率半径
4.4 地球椭球上的曲率半径
平均曲率半径
✓ 平均曲率半径就是过该点的所有的法截弧的曲率半径的算术平均值
积分
椭球面上任一点处的平均曲率半径就等于该处的子午圈曲率半 径与卯酉圈曲率半径的几何平均值
4.4 地球椭球上的曲率半径
M、N、R 的关系
NRM
N 90 R 90 M 90 c
d W d1 e 2si2B n e 2siB n co Bs
dB dB
W
d dB xaW si3B n(1e2)
W 1e2sin2B
4.4 地球椭球上的曲率半径
子午圈曲率半径M
M
a(1 e2 ) W3
M
c V3
B
M
极点处的子午曲率半径 说明
弧线长度的计算方法
弧线长度的计算方法
计算弧线长度的方法取决于弧线的形状和参数。
以下是一些常用的方法：
1. 直线段长度计算：直线段的长度可以通过两点之间的距离公式计算得到。
如果有多个直线段，则将每个直线段的长度相加得到总长度。
2. 圆弧长度计算：计算圆弧长度的常用方法是使用弧长公式。
弧长公式是根据圆的半径和弧度计算弧长的公式。
弧长公式为：弧长 = 半径 ×弧度。
其中，弧度以弧度制表示，可以通过将
角度转换为弧度来计算。
3. 椭圆弧长度计算：对于椭圆弧，没有简单的公式来计算其长度。
可以使用数值方法来估计椭圆弧的长度，例如通过将弧线分割成若干小段，并计算每个小段的长度，再将它们相加得到总长度。
4. 抛物线/双曲线长度计算：对于抛物线或双曲线弧线，也没
有统一的公式来计算其长度。
可以使用数值方法来估计弧线的长度，例如通过将弧线分割成若干小段，并计算每个小段的长度，再将它们相加得到总长度。
需要注意的是，以上方法只是估计弧线长度的一种方法，实际应用中可能存在误差。
如果需要更精确的长度值，可以考虑使用数值计算方法或采用其他数学工具进行计算。
地球椭球体的基本要素和公式麻辣GIS
地球椭球体的基本要素和公式麻辣GIS 地球椭球体的基本要素分为:长半径a(赤道半径)短半径b(极轴半径)扁率α第一偏心率和第二偏心率e, e’数学公式：α=(a−b)/a=1−b/ae2=(a2−b2)/a2=1−b2/a2e′2=(a2−b2)/b2=a2−b2−1e2=e′2/(1+e′2)e′2=e2/(1−e2)e2≈2α扁率和偏心率反映地球椭球体的扁平程度。
2.子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径法截面设过椭球面上任一点A作法线AL,通过A点法线的平面所截成的截面。
主法截面通过AL两个相互垂直法截面。
含有极值意义的两个主法截面是: 子午圈截面(AE1P1EP) 卯酉圈截面(QAW)如图：计算公式：M=a(1−e2)/(1−e2sin2ϕ)3/2N=a/(1−e2sin2ϕ)1/2上述公式中：a：长半径 e：第一偏心率 ϕ：纬度当椭球体选定后，a,e为常数；M，N随纬度的变化而变化。
当ϕ=00时M0=a(1−e2)N0=a当ϕ=900时M90=a/(1−e2)1/2N90=a/(1−e2)1/23.平均曲率半径和纬圈半径平均曲率半径（R）主法截面曲率半径的几何中数。
R=(M∗N)1/2=a(1−e2)1/2/(1−e2sin2ϕ)纬圈半径（r）r=Ncosϕ=acosϕ/(1−e2sin2ϕ)1/2在赤道上，ϕ=00，r=N=a在两极，ϕ=900，r=04.子午线弧长和纬线弧长子午线弧长:就是椭圆的弧长。
¯¯¯¯¯¯¯¯¯AA′=ds=Mdϕ=a(1−e2)dϕ/(1−e2sin2ϕ)3/2纬线（平行圈）的弧长:由于纬线为圆弧，故可应用圆周弧长的公式。
结论1. 同纬差的子午线弧长由赤道向两极逐渐增加,例如纬差 10的子午线弧长在赤道为110576米,而在两极为111695米;2. 同经差的纬线弧长则由赤道向两极缩短。
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论2
16 32
16
32
X
a(1 e2 )[A
B2
B1
B 2 (sin 2B2
sin2B1)
C 4 (sin 4B2
sin4B1)
D 6
(sin 6B2
sin6B1)
E 8
(sin 8B2
sin8
B1
)
F 10
(sin10B2
sin10B1)
L
]
A 1 3 e2 45 e4 175 e6 11025 e8 43659 e10 +L 4 64 256 16384 65536
Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature
2）子午圈曲率半径：
N RA 1 e '2 cos2 Acos2 B
N M R0 1 e2 cos2 B
a(1 e2 ) c M W3 V3
E
315 e8 3465 e10 +L
16384 65536
F
639 e10 +L
131072
180o 57.2958 ' 60 3437.7468 '' ' 60 206264.8098
3、子午线弧长和平行圈弧长
Arc Length of Meridian and Parallel Circle
2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径
Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature
4）平均曲率半径：
大地测量(全套教学课件110p)
X
子午圈曲率半径
M dS dB
dS dx sin B
M dx 1 dB sin B
x a cosB W
dx dB
a
sin
BW cosB W2
dW dB
dW d 1 e2 sin 2 B e2 sin B cos B
dB
dB
W
dx dB
a sin B W3
(1
e2 )
N n0 'n2 'cos2 B n4 'cos4 B n6 'cos6 B n8 'cos8 B
m0 ' c a / (1 e2 )
m2
'
3 2
e'2
m0
'
m4
'
5 4
e'2
m2
'
m6
'
7 6
e'2
m4
'
m8
'
9 8
e'2
m6
'
(m10
'
)
11 10
e'2
m8
'
n0 ' c a /
2、空间直角坐标系
定义： 1、坐标原点位于总地 球椭球(或参考椭球)质心； 2、Z轴与地球平均自转轴相重合， 亦即指向某一时刻的平均北极点； 3、X轴指向平均自转轴与平均格 林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G； 4、Y轴与此平面垂直，且指向东为正。
地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。
3、子午面直角坐标系
径乘以两截弧平面夹角的余弦。
r N cosB
计算椭圆弧长计算公式
计算椭圆弧长计算公式计算椭圆弧长是在几何学中常见的问题之一，它是指椭圆上某一弧的长度计算。
椭圆弧长的计算公式可以通过一定的推导得出，下面我们将详细介绍这个计算公式。
首先我们需要了解椭圆的定义。
椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的轨迹。
这两个给定点叫做椭圆的焦点，我们可以用F1和F2表示。
定长线段F1F2的中点叫作椭圆的中心，用O表示。
椭圆的长轴是经过中心且垂直于F1F2的轴，用2a表示。
椭圆的短轴是经过中心且平行于F1F2的轴，用2b表示。
在椭圆上取一点P，并过点P作椭圆的切线，与长轴和短轴的交点分别为A和B。
连接O、A和O、B两线段，我们可以得到两个直角三角形OAP和OBP。
根据勾股定理，我们可以得到以下两个关系式：OA² = OP² + AP²OB² = OP² + BP²由于椭圆的对称性，我们可以知道AP = BP，因此AP² = BP²。
将这个式子代入上面的两个关系式中，我们可以得到：OA² = OP² + AP² = OP² + BP² = OB²将上面这个关系式两边开平方，我们可以得到：OA = OB这说明椭圆上任意一点P到中心O的距离是相等的，也就是说椭圆是一个等距离曲线。
现在我们来推导椭圆弧长的计算公式。
假设我们要计算的椭圆弧长所对应的圆心角为θ（单位为弧度），椭圆的长轴和短轴分别为2a 和2b。
根据圆的性质，我们可以得到圆心角θ所对应的圆的半径为r = a，圆的弧长为s = rθ。
因此我们可以将椭圆弧长s表示为：s = aθ但是由于椭圆是一个等距离曲线，椭圆上任意一点到中心的距离是相等的。
因此，我们需要根据椭圆上的具体点P来计算椭圆弧长。
假设点P与长轴的夹角为α（单位为弧度），则有：s = aθ = aα现在我们需要找到点P与长轴的夹角α与圆心角θ之间的关系。
椭球面的几何特征与测量计算.ppt
例：A1=45°，Bm=45°，S=30km δ3=0.001″
截面差改正主要与测站点至照准点间的距 离有关。只有在国家一等三角测量计算中，才 进行改正。
应用大地测量学
第四节 地面观测值归算至椭球面
五、地面观测距离归算至椭球面
设A、B两点的大地高分别为H1为H2，h=H2-H1，d为空间直线长。 由三角形AOB按余弦公式可得：
第四节 地面观测值归算至椭球面
一、相对法截线
正反法截线之间的夹角△： 令Bm=45°，A=45°，不同距离S求得的△值为： S 100km △ 0.042″
60km
30km
0.015″
0.004″
在长距离的测量中，对向观测所得 3个内角不能组成 闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线——大地线。
应用大地测量学
应用大地测量学
第五节 椭球面上大地问题解算
一、概述
（二）解算方法
1、按解算的距离分为短距离（<400km)、中距离（400～1000km) 和长距离（1000～2000km)的解算。 2、直接解法和间接解法 直接解法——直接解求点B、A和相邻起算点的大地经差。
间接解法——先求大地经差、纬差和大地方位角差，再加入 到已知点的相应大地数据中。主要用于短距离大地问题的解算。
应用大地测量学
第五节 椭球面上大地问题解算
二、高斯平均引数公式
（一）按平均引数展开的台劳级数
平均引数xm为xo、xa的中点，将f(xa)、f(xo)都以xm为出发 点展为台劳级数。
应用大地测量学
第五节 椭球面上大地问题解算
二、高斯平均引数公式
（二）高斯平均引数正解公式推求步骤：
1、经差l、纬差b、方位角差a是S的函数，故可以将其展为S的台 劳级数（按平均引数在 S/2处展为S的幂级数）。 2、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将dL/dS以Bm、 Am按台劳级数展开。
椭球面上的测量计算
e2 e’2
0.006693421622 966 0.006738525414 683
我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克 拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐 标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是 WGS-84系椭球参数。
大地测量学
主讲：田倩
2008 年 10 月
学科介绍：
根据德国著名大地测量学家F.R. Helmert 的经典定义，它是一门量测和描绘地球表面的科 学。它也包括确定地球重力场和海底地形。也就 是研究和测定地球形状、大小和地球重力场，以 及测定地面点几何位置的学科。是测绘学的一个 分支。
2
大地测量学的任务
a2 c , t tan B, 2 e2 cos 2 B b
W 1 e sin B ,V 1 e cos B
2 2 2 2
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
11
克拉索夫斯基椭球
1975国际椭球 6378140
WGS-84系椭球 6378137
a b
1880年瑞典耶德林提出悬链线状基线尺测量方法，继而法 国制成因瓦基线尺，使丈量距离的精度明显提高。
6
大地测量学的简史
19世纪末和20世纪30年代，先后出现了摆仪和重力仪，使 重力点数量大量增加，为研究地球形状和地球重力场提供 大量重力数据。 1945年苏联的M.C.莫洛坚斯基提出，不需要任何归算，可 以直接利用地面重力测量数据严格求定地面点到参考椭球 面的大地高程，直接确定地球表面形状，这一理论已被许 多国家采用。 20世纪40年代，电磁波测距仪的发明，克服了量距的困难， 使导线测量、三边测量得到重视和发展。 1957年第一颗人造地球卫星发射成功后，产生了卫星大地 测量学，使大地测量学发展到一个新阶段。
大地线的定义与性质
2.2.5
大地线（续4）
(2). 克莱劳定理 直角坐标系中的椭球面方程：
X 2 Y2 Z2 F 2 2 2 1 0 a a b
椭球面法向量为： N
F X F Y F 2 X 2 Z a 2Y a2 2Z 2 b
dB cos A dS M dL sin A dS N cos B dA tan B sin A dS N
3
2.2.5
大地线（续9）
3、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程 大地线始点坐标P0(B0,L0)，大 地线上任何点的位置向量都可以展 开成S,A的级数形式：
dr ห้องสมุดไป่ตู้ d 2r 2 1 d 3r 3 r s s s s 2 3 ds 2 ds 6 ds 1 d 4r 4 1 d 5r 5 s s 4 4 5 24 ds 120 ds
求导得：
k g dB k g dA 3 2t cos A 1 2 cos2 A dS B dS A dS N2 d 2k g dkg dB dkg dA 3 2 2 3 t cos2 A dS 2 B dS dS A dS dS N dkg
rB2
Y N cos B sin L rB sin L dY drB dL sin L rB cos L dS dS dS
dL C dS
2
2.2.5
将关系：
大地线（续6）
dL
rB dL sin AdS
代入上式，即得克莱劳定理：
rB sin A C
即：大地线上各点的平行圈 半径与该点的大地线方位角 正弦的乘积是常数。
两种子午线弧长计算方法的比较
两种大地子午线弧长计算方法的比较胡洋长安大学西安2604070210摘要：在研究与大地椭球体有关的一些测量计算时，例如研究高斯投影计算和弧度测量计算时，往往要用到大地子午线弧长，而大地子午线弧长的计算公式涉及到椭圆积分，不能用普通方法求出被积函数。
采用变步长辛普森公式求它的积分和按泰勒级数展开采用普通方法求出被积函数是两种截然不同的计算方法，本文就两种不同的计算方法作出比较，用程序编程实现从而得到计算结果，验证了两种方法的正确性和可靠性以及按泰勒级数展开的方法求解大地子午线弧长的优之处。
关键字：大地子午线弧长，变步长辛普森公式，泰勒级数。
引言：计算地球椭球子午线的弧长,是大地测量、天文测量、航空航天技术以及地理信息处理技术中的一项基本内容。
计算子午线的弧长涉及到椭圆积分, 所以一般是将其展开成级数形式, 再用逐项积分的方法求出满足一定精度要求的计算公式。
本文在引出子午线弧长的计算公式之后，介绍了两种计算方法的原理，并用C语言程序实现了两种算法的电算，继而对两种算出的结果进行了分析讨论。
一、子午线弧长的计算公式我们知道，子午椭圆的一半，端点与极点相重合，而赤道又把子午线分成对称的两部分，因此，推到从赤道开始到已知纬度B之间的子午线弧长的计算公式即可。
如下图，今取子午线上的某微分弧段PP'=x d ，令P 点纬度等于B ，P'点纬度为B+B d ，P 点的子午圈曲率半径为M ，于是有B x Md d =，因此，为了计算从赤道开始到任意纬度B 的平行圈之间的弧长，必须求出下面的积分值B Md B X ⎰=0（式2）。
又知M=3222)sin 1()1(B e e a --（式3），故（式2）符合椭圆积分的定义（椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数的积分：t d t P t R xx f )](,[0)(⎰=，其中R 是其两个参数的有理函数，P 是一个无重根的3或4阶多项式的平方根，而c 是一个常数），因此（式1）为椭圆积分，无法用普通的积分方法求出原函数。
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• 4.4 椭球面上的弧长计算
1.子午线弧长计算公式 2.由子午弧长求大地纬度 3.平行圈弧长公式 4.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较
• 4.5 大地线
1.相对法截线 2.大地线的定义和性质 3.大地线的微分方程和克莱劳方程
4.4 椭球面上的弧长计算 1.子午线弧长计算公式
dx MdB X MdB
.133 （弧度） X / 6367452
3.平行圈弧长公式（大地线微分方程要用）
r x N cos B a cos B W l L2 L1 S N cos B l
说明：纬度不同，相同的经差平行圈弧长不同。
4.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 子午圈弧长：B↗，单位纬度差的子午线弧长↗ 平行圈弧长： B↗，单位经度差的平行圈弧长↘
4.5大地线
• • • • 相对法截线 大地线定义 大地线性质特点 大地线微分方程
4.5 大地线 1.相对法截线 na和 nb不重合 首先证明：
A
a
b
B
Ona Q1na sin B1 Onb Q2 nb sin B2
B1
B2 Q1 Q2
O
na nb
由 Qn Ne2 ，得
若 B1 B2，Ona Onb 若A、B两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点有两条法 截线。 说明：⑴相对法截线 A照准B：AaB叫A点的正法截线，B点的反法截线； B照准A：BbA叫B点的正法截线，A点的反法截线。 ⑵ 相对法截线的位置 BbA比AaB偏上。 正反法截线的位置如课本图4-18 B2 B1，Onb Ona， 所示
将1975年国际椭球元素代入：
X 111133 .005Bo 16038 .528sin 2B 16.833sin 4B 0.022sin 6B
说明：⑴ B=90o代入，一个象限内约为10000km 地球周长约为40000km
子午线弧长计算公式特点
• 子午线弧长计算公式是不可积分的，只能以级数 展开才能计算。
p
在球面直角三角形p1p3N中，
cos(90o dA) sin dL sin[90o (90o B dB)] 即sindA sin dL sin(B dB)
dA，dL，dB均为微分量，即
sin dA dA sin dL dL sin(B dB) sin B dA dL sin B sin A tan B dS N
大地线微分方程
cos A dB dS M
sin A dL dS N cos B
sin A dA tan B dS N
⑵克莱劳方程
dA sin A sin B M dB N cos B cos A sin A M sin BdB cos A N cos B
0 B
P2
P' dx P P1
B
0
a (1 e 2 ) dB 3 W
2 B 2 2 3 2
M B dB O
a (1 e ) (1 e sin B ) dB
0
将克拉索夫斯基椭球元素代入:
X 111134 .861Bo 16036 .480sin 2B 16.828sin 4B 0.022sin 6B
计算子午线弧长的意义：
• 大地测量正算和反算。 • 高斯反算。
⑵子午线上纬度为 B1， B2 间的弧长 B1 X 1 X X 2 X1 B2 X 2 ⑶ 弧长较短（ 40km）
B1 B2 ( B2 B1 ) 由Bm 计算M m，X M m 2
• 子午线弧长计算公式有三个公式，是级数按正弦 和余弦展开的结果。
a (1 e 2 ) M 3 W
c c M 2 2 2 V 1 e' cos B
• 子午线弧长计算公式中的系数特点
a0、a2、a4、a6、a8 m0、m2、m4、m6、m8
以2个数量级变小？
• 子午线弧长计算公式与对应椭球对应，不同的 椭球有不同的公式。 • 每秒纬度变化，引起子午线弧长的变化约30米。 子午线弧长公式用到SIN6B弧长精度为1毫米，用 到SIN8B弧长精度为0.01毫米
—说明：⑴
其长度与法截线长度 相差为百万分之一毫米； ⑵地面观测值归算成大地线的 方向，距离。
A
1 3
C A
B
大地线性质
1. 大地线是椭球面上两点最短距离； 2. 大地线方向靠近正法截线。形状为拉长 的S，方向占相对法截线夹角的三分之 一。
3.大地线的微分方程和克莱劳方程
⑴ 大地线的微分方程
2.由子午弧长求大地纬度 在高斯投影坐标反算公式中要用到。包括迭代解法和直接解 法两种方法。 ⑴ 迭代解法（以克拉索夫斯基椭球为例）
B1 .8611 f X / 111134
Bif1 ( X F (Bif )) / 111134 .8611
i 1 i 直到 Bf Bf 为止
N dL
900-B-dB
dA
A p1
描述p到p1时，dS与 dA、dL、
dB之间的关系
在微分直角三角形pp2p1中
M dB dS cos A cos A dB dS M
N cos B dL dS sin A sin A dL dS N cos B
p3 A
dS p2
Ona N1e2 sin B1 On圈或平行圈时，正反法截线合 二为一。 ⑷ 椭球面上A、B、C三点构不成三角形。（产生了矛盾） 2.大地线的定义和性质 —定义：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。
B
⑴ 大地线是一条空间曲线； —性质： ⑵ 大地线惟一，位于相对法截线之间。
F (Bif ) 16036 .4803sin 2Bif 16.8281 sin 4Bif 0.0220sin 6Bif
⑵直接解法（以1975年国际椭球为例）
B f 2.518828475 103 sin 2 3.701007 106 sin 4 7.447109 sin 6