2016年高考数学理试题分类汇编：平面向量

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2016届高考数学(理)二轮专题复习演练：专题二+第4讲+三角函数与平面向量真题体验(浙江专用)

因为 S△ ＝ ABD 2S△ADC，∠ BAD＝∠ CAD，所以 AB＝ 2AC.
sin B AC 1
由正弦定理可得 sin
C＝
AB＝
. 2
(2) 因为 S△ ∶ ABD S△ ＝ ADC BD∶ DC，所以 BD＝ 2. 在△ ABD和△ ADC中，由余弦定理知 AB2 ＝AD2＋ BD2－ 2AD· BDcos ∠ ADB， AC2 ＝AD2＋ DC2－ 2AD· DCcos ∠ ADC. 故 AB2＋ 2AC2＝ 3AD2＋ BD2＋ 2DC2＝ 6，
2
22
1
π
[ ∵ e1·e2＝ | e1| ·| e2|cos〈 e1，e2 〉＝，∴〈 e1，e2〉＝ . 不妨设
e1＝
1，
3 ，0 ，
2
3
22
e2＝(1 ， 0， 0) ， b＝ ( m， n， t ) ．
由题意知
1
3
b· e1＝ 2m＋ 2 n＝ 2，
3
5
5
解得 n＝ 2 ， m＝ 2，
b· e2＝ m＝ 2，
BC
BP
由正弦定理， sin 30 ° ＝ sin 75 ° ，则 BP＝ 6＋ 2.
在△ QBC中，∠ QCB＝ 30°，∠ BQC＝ 75°，
BQ
BC
4
由正弦定理， sin 30 ° ＝ sin 75 ° ，则 BQ＝
6＋
＝ 2
6－
2.
所以 AB的取值范围为 ( (2015 ·全国卷Ⅰ ) 在平面四边形 ABCD中，∠ A＝∠ B＝∠ C＝75°， BC＝ 2，则 AB的取值
范围是 ________．
1 9．(2015 ·浙江高考 ) 已知 e1，e2 是空间单位向量， e1·e2＝ 2，若空间向量 b 满足 b· e1＝ 2，

大音希声大象无形-基于2016年浙江省数学高考理科第15题

2016年第12期中学教研（数学)• 43 •大音希声大象无形$—基于2016年浙江省数学高考理科第15题•李学军曲文瑞（平湖中学浙江平湖31400)摘要：作为数学教师，要研究解题，要研究学生的解题，引导学生用数学的思维思考和解决问题，去体会和体验在解题过程中的纠结和成功之后的快乐，实现真正意义的数学学习.文章基于2016年浙江省数学高考理科第15题（平面向量试题)进行分析、归纳和提升，从而感受高考试题的朴素美.关键词：高考题;考题解法;教学启示中图分类号：〇123.1文献标识码：A文章编号：1003 -6407(2016)12-43-032016年的高考早已经落下帷幕，但关于高考的话题还是各界人士谈论的热点和焦点，无论在学校的教师当中，还是在各个数学交流群里，对于高考试题解法的探究和试题背景的研讨比比皆是.笔者认为，学生至少要有一杯水，教师需要如何做呢? 是把教师的至少一桶水给学生西一杯，还是把这一桶水放在学生面前让学生根据需要来自己舀呢? 还是给学生提供水源的地图让学生自己寻找呢? 数学家克莱因说过:“教师掌握的知识要比他所教的知识多得多，才能引导学生绕过悬崖、渡过险滩.”学生平时在做数学题的时候，大多数是寻找曾经做过的题目的感觉，对于呈现在他们面前的数学试题，不能很好思考试题的根本考点，考查的基本数学方法，当在遇到陌生的数学试题时，有时候就有一种对思考方向暂时失忆的感觉.关于2016 年浙江省数学高考理科卷第15题，笔者试着从一名普通考生的角色出发，对该题进行解答、探索，并把笔者的寻题历程及题后感悟呈现如下.1考题再现，返朴归真题目已知向量a，,，la I= 1, I ft I=2,若对任意单位向量e,均有la •e I+ Ift •e I矣则a •ft 的最大值是(2016年浙江省数学高考理科试题第15题）本题作为填空题的压轴题，具有非常好的选拔功能;题干表述简洁明了，具有非常明显的浙江风格.本题考查了平面向量投影的概念，由于平面向量是代数和几何的桥梁，因此本题可以通过代数和几何2条途径入手解答.正如章建跃先生曾说:要让学生养成“回到概念去”思考和解决问题的习 *惯[1].在考试的过程中，学生更应该从概念入手，从问题的本质出发对问题进行转化和化归，一定可以达到理想的效果.2解法探究，抛砖引玉视角1坐标的视角分析设<a，> =/3,且0</3矣f，设a =(1，0)，，= (2cos/3,2sin/3)，l I.e l+I I.e l是向量a，ft在任意单位向量上的投影的绝对值之和•而在单位向量上的投影之和取得最大值时，取单位向量I^e l + I I^eI =槡[2(cos/3+1)2 + (2sin/3)2]^槡，即 5 +4cos/3矣6，于是 cos/^+，进而 2c c〇8矣|，故a •f t的最大值是点评利用坐标法来解决平面向量问题，实际上就是把抽象的向量问题转化为坐标运算，这种解法对于学生来说，“痛处”在于如何恰当地建立平面直角坐标系，以及接下来的问题转化，然后再整理出关系式，通过建立直角坐标系，引进变元化归为三角函数的问题.由于该考题是求最大值，通过分析2个向量的夹角应该是锐角，因此对夹角的限制减少了很多的麻烦.由于要研究的是<a，>的*收文日期：016-06-19;修订日期:2016-07-19作者简介:李学军(1976 -)男，吉林德惠人，中学一级教师.研究方向:数学教育.• 44 •中学教研（数学)2016年第12期最大值问题，因此，这种解法的巧妙之处是先进行问题的转化，然后在进行数据处理，这种处理问题的方式更是一种思维上的提升.视角2代数的视角分析设<“,>二尽因为\a •e\+ \b •e\^槡，所以 I cosa I+ 2I cos/31<槡：令sina+2sin/3=纟，2个式子平方得cos2a+ 4 I coso：I I cos/31 + 4cos2/3+ sin2a+4sinasinn+4sin2/3^6 + t2，从而 4(I cosacossI + sinasinn) <t2 + 1.对任意的实数a^上式恒成立，因此 4 (I cosacoss I+ sinasinn)彡（t2 + 1) m in，于是4( I cosacoss I+ sinasinn) <1，进而 11 •厶I= 2(cosaosyS+ sinasinn) <2 (I c o sa.cos/3I+ sinasinn)故《 •*的最大值是点评根据题干中的条件，要想把向量数量积的绝对值表示出来，从定义的角度人手首先要引人向量的夹角，同时通过分析得出当〃 • 6取得最大值时，< a，6 > —定是锐角，接下来处理最值的本质在哪里呢？想办法“减元”本题的“减元”通过联想到形式相似，引进等式，通过平方变形进而很好地达到目的.对于给出同样的代数式，观察的角度不同，就会产生不一样的想法，对于处理双变元函数问题的化归就是想办法进行减元，这个转化非常关键.视角3几何的视角分析设<a，，>=/3，且〇 <3彡号，设泣=a，^=b，^= e，过点五作即丄04,交04于点P，作仰丄OB，交于点^联结在中，设 =a z= y，由图1可知，四边图1形是以0^为直径的圆内接四边形，且I0P I =&，1;〇?1j n a从而I a^eI + I b •eI =~0P • 0A+~0Q • ~0B=I I)PI +2I0QI ^槡-，于是 siny+ 2sina彡槡6故 sin(/3+a) +2sina^/6,以下同视角2.点评从几何的角度进行思考，对于那些几何背景素养较高的学生来说，结合平面向量的几何背景人手，可以先从一些特殊图形出发，然后进行归纳分析，从而得到最值.对于2016年的考题来说，通过画出一些图形分析得到的是圆中的问题，从而从圆的角度出发分析，使得比较抽象的问题转化为实实在在的平面几何问题.学习数学不可忽略非常重要的数学思维，即归纳一猜想一论证.归纳至少要有3个数据，因此我们要想办法找到这些数据，有这样的思维方式，找的数据越多越容易归纳出结论，然后就比较容易进行论证.这样处理问题的方式能很好地避开繁琐的计算，但在平时缺少训练.视角4构造的视角分析根据三角不等式I(a+b)*el 彡I I*el +1 I*el 彡槡"，可知 I(a+6) •e l m a x = I+61 彡槡6从而 a2+2 • 6 + 62彡6，故a *6的最大值是f点评除了上述通性通法，也可以通过构造法进行解决（可构造三角不等式，三角不等式来源于几何图形).笔者认为:该方法之所以隐蔽，比较难考虑到，主要还是陷人到平面向量的考点当中，正所谓当局者迷;还有一个原因是平时三角不等式的使用频率不高，不够熟练.视角5投影的视角_^分析如图2，设〇A = a，AS= 6，则I a*eI +I6*eI =i〇Ai + i I A S i=l〇Sl <l O S，从而（I l.el +1 l.el)r=I O S•又因为对任意单位向量e j l •el + I •el <槡恒成立，所以l OS即l OS = I i+N于是 a2+2a •b+b2彡6，故a •b•衫了 •点评本题给出的2个绝对值之和，也就是2 条线段之和，是否可以让2条线段之和看起来更直接呢？对向量进行首尾顺次联结转化，那么投影线段也就变成了一条线段，在这样的构造中，还有非常重要的知识理解，就是任意单位向量e，实际上给出的是直线的方向向量，要求的是向量a，在直线/上的投影线段.2016年第12期中学教研（数学)• 45 •3解后反思，引领教学3.1重视概念，关注本质在高考试卷中，对知识概念的考查，对问题本质的考查可以说是比比皆是，应该说是考查的重点.在数学中学生要能够实现文字语言、符号语言、图形语言的交融，在审清题意的基础上才能想明白、才能够找到数学问题的本质，把解决问题的思路较好地进行内化.学生说的更高层次是透过问题的本质、背景、相似或相关的数学问题进行辐射，逐步引导学生去悟，直到学生自发地悟，形成自己的解决问题的能力和解决问题方法.转化是数学中非常重要的数学思想，转化可以是表达方式的转化，可以是形与形之间的转化，可以是文字语言、符号语言、图形语言之间的转化，还可以是解题方法的转化.3.2通法入手，巧法渗透高考是选拔性考试，既要保证考生在考场上把寻常路走好，同时又要让那些有创造性的考生能够脱颖而出.因此在试题的设置上表现为“通性通法”重点考查，又会在试卷中适当加入一些“技巧性元素”进行锦上添花.因此，在平时的教学中，要求教师更加注重对知识“通性通法”的教学.而事实上，技巧性解法的发现，也就是通性通法的提升和化归[2].只要对问题解决的通性通法过关、熟练、高效，某些试题的技巧性解法自然就会应运而生.3.3夯实基础，提升能力在高考卷中，题目的难易程度都是有要求的，基础题、中档题、难题的设置是有一定比例的.对于教师而言，应该重视基础题的训练，规范解题，做到有理有据，对于计算及数据处理，注重准确、速度.对于高考卷来说，考生在对难题的处理是多方面的:首先要保证时间，安排好难题的思考时间;其次是难题到基础题的分解.如果考生的基本功过关，就基本具备了解决难题的素质.3.4 着眼专题，优化解题对于数学学科来说也是有一定量的母题或者说是题根的，非常多的题目是可以找到根本的.教师在某些试题的突破上可以通过专题的形式，强化一题多解、多题一解的训练.在解决问题的过程中，解题思路是如何形成的，解题方法是如何构想的，这些对于学生来说都是至关重要的，我们应该留给学生足够的反思时间和“悟透“的空间.反思解题方法的探索发现过程，反思错误的成因及对策，反思处理问题的思维过程和数学思想方法，反思是否对问题进行深入细致的分析转化.学生通过回顾和总结解题思路，定能收到事半功倍的效果.学生在钻研解决问题的基本方法之外，更深层次是能说明白问题考查的知识要点，以及问题的来源、问题设置的背景，这样真正把所学的知识内化，形成学生自己的学习技能，达到了取“渔”的目的.4改编赏析，思维拓展通过上述对2016年浙江省数学高考理科第 15题的分析和理解，笔者对该题进行了如下改编：改编1已知向量a，，lal =1，Iftl =2,若对任意向量c，且I c l矣2,均有la •cl+lft •c l矣2槡^，则a •办的最大值是_____•改编2 已知向量a，且l l =1，IIl =2, •，为单位向量，则l •el + l •e l的最小值是_____•改编3 已知向量a，，，且l l= 1,l l=2, •厶，为单位向量，则l •el + lft •e l的最大值是_____•改编4 已知向量a，且l l =1，IIl =2, •办，为单位向量，则l •el + l •e l的取值范围是______•结束语2016年的高考已经结束，在高考中重点知识一定会重点考查，而平面向量知识仍然以作为考查学生创新思维的题目出现.在求解平面向量试题时，要能够练就以形助数和以数解形的双重本领.伟大数学家哈尔莫斯曾说过:问题是数学的心脏.数学的学习就是在不断地提出问题和解决问题的过程中发展的.波利亚也说过:掌握数学就意味着善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题.学生在数学学习的过程中，领悟基本知识、基本方法的运用，通过引导学生归纳解题方法、技巧、规律和思想方法，促进知识向能力转变，实现自我完善，争取达到“做一题通一法，会一类通一片”的效果.2016年的平面向量试题简约但是不简单，正所谓“大音希声，大象无形”！参考文献[1]李学军.用本促真贴地前行[J].中学教研(数学），2016(4) :27-30.[2]曹凤山.讲好数学背后的故事——解题教学的一项基本功[J].中学教研（数学），2016(6) ：1-4.。

专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =．故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+．故选：B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点在中，有即所以圆的方程为可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以其中，所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即，，所以，设，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离，，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ．法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高．即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，．两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3．【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大．【考点】平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ．考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ．考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-．解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________．【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23．【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅．【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ．【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______．【答案】解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____．【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2．考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。

2016届高考数学理仿真押题专题02平面向量与复数(解析版)

1．已知抛物线24x py =（0p >）的焦点为F ，直线2y x =+与该抛物线交于A 、B两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若()215⋅++⋅=--AF BF AF BF FN p，则p 的值为（）AB ．C ．1D ．2【答案】B 【解析】2．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则⋅MA MB 的取值范围是（）A ．[]1,0- B ．[]1,2- C ．[]1,3- D ．[]1,4-【答案】C【解析】3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为（0，1），（，0），（0，﹣2），O 为坐标原点，动点P 满足||=1，则|++|的最小值是（） A ．﹣1 B ．﹣1 C ．+1 D ．+1【答案】A【解析】设动点),(y x P ，则(OA OB OP x ++=+2||(OA OB OP x ++=，又由222||(2)1CP x y =++=，即点P 在以点)2,0(-C 为圆心，半径为1的圆C 上，故||OA OB OP ++的最小值转化为圆C 上的点与点的距离最小值，且最小值为1||-CQ ，即4．ABC ∆中90,2,3A AB AC ∠===，设P Q 、满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若1BQ CP ⋅=，则λ=（）A ．13B ．23C ．43 D ．2【答案】D 【解析】5．ABC ∆中90,2,3A AB AC ∠===，设P Q 、满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若1BQ CP ⋅=，则λ=（）A ．13B ．23C ．43 D ．2【答案】D【解析】以A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立如图所示的直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(0,3)C ，则(2,0)AP λ=，(0,3(1))AQ λ=-，(2,3(1))BQ AQ AB λ=-=--，CP AP AC=-＝(2,3)λ-，所以223(1)(3)1BQ CP λλ⋅=-⨯+-⨯-=，2λ=．故选D ．6．已知圆C ：22x y 1+=，点M （t ，2），若C 上存在两点A 、B 满足MA AB =，则t 的取值范围是（）A ．[﹣2，2]B ．[﹣，]C ．[﹣3，3]D ．[﹣5，5]【答案】B【解析】∵MA AB =，∴A 是MB 的中点，∵圆221x y +=的直径是2，∴MA≤2，∴点M 到原点距离小于等于3，∴249t +≤，∴7．如图在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA 、OB ，则复数）A ．﹣1+2iB ．﹣2﹣2iC ．1+2iD ．1﹣2i 【答案】A 【解析】8．设复数i i z 510)2(-=+⋅（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（）A ．i 43+-B ．i 43--C ．i 43+D ．i 43- 【答案】C【解析】因为105105234222i i iz i i i i ---==⋅=-++-，所以34z i =+.9．复数z 满足） A ．1+i B ．1i - C ．1i -- D ．1+i - 【答案】A.A ． 10.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则 (OA →＋OB →)·AB →＝( )A.4B.6C.1D.2【答案】 B【解析】由条件可得B (3，1)，A (2，0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6.11.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.3π4D.5π6【答案】 A【解析】因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b ＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6.12.已知两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝3，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ⊥c ，则t＝________.【答案】 2 【解析】13. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝________.【答案】 3【解析】法一如图，建立平面直角坐标系. 由题意知：A (3，0)，B (0，3)，设M (x ，y )，由BM →＝2MA →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（3－x ），y －3＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2，1)，所以CM →·CB →＝(2，1)·(0，3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝⎛⎭⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3.14.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心).【答案】垂心【解析】由条件，得AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，从而AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C ＝λ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤|AB →||BC →|cos （180°－B ）|AB →|cos B ＋|AC →|·|BC →|cos C |AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，得AP →⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心. 15.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值. 【解析】16．设复数z=a+i （i 是虚数单位，a ∈R ，a ＞0），且|z|=．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m ∈R ）对应的点在第四象限，求实数m 取值范围．【答案】（Ⅰ）3i +；（Ⅱ）51m -<<. 【解析】（Ⅰ）,z a i =+，即29a =，解得3a =±，又0a >，3a ∴=，3z i ∴=+；（Ⅱ）3,z i =+则又复对应的点在第四象限51m m >-⎧⎨<⎩，51m ∴-<<.17．已知平面上三个向量,,a b c ，其中(1,2)a =．（135c =，且//a c ，求c 的坐标；（235b =，且(4)(2)a b a b -⊥+，求a 与b 夹角θ的余弦值．【答案】（1）(3,6),(3,6)c =--；（2【解析】18．已知椭圆的离心率为，直线l ：y=x+2与以原点O 为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O 相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 与直线y=kx （k ＞0）在第一象限的交点为A ． ①设，且OA OB=6⋅k 的值；②若A 与D 关于x 的轴对称，求△AOD 的面积的最大值．【答案】（1）（2【解析】。

2016版高考数学大二轮总复习增分策略专题三三角函数解三角形与平面向量第3讲平面向量试题

第3讲平面向量1．(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →2．(2015·某某)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( ) A ．20 B. 15 C ．9 D ．63．(2015·某某)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．4．(2014·某某)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2014·某某)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cosθ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝______.(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝________.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)(2015·黄冈中学期中)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1 B ．m ＋n ＝－1 C ．mn ＝1 D ．mn ＝－1(2)(2015·)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝x AB →＋y AC →，则x ＝________；y ＝________. 热点二平面向量的数量积(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)三个结论①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x2＋y2.②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x2－x12＋y2－y1 2.③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.例2 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．(2)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB ＝60°，若OA →·OB →＝6，则|OG →|的最小值是________．思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2 (1)(2015·某某)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________________________________________________________________________. (2)(2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．热点三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cosα)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．思维升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 (2014·某某)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →.则AN →等于( )A.12(a ＋b )B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 2．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－493．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，且a ⊥b ，则tan(2α＋π4)＝________.4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →最小值是_______________________________________________________．二轮专题强化练专题三第3讲平面向量A组专题通关1．(2015·某某月考)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则DA→等于( )A．(2,4) B．(3,5)C．(1,1) D．(－1，－1)2．(2015·某某)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下列结论正确的是( )A．|b|＝1 B．a⊥bC．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥BC→3．在△ABC中，N是AC边上一点，且AN→＝12NC→，P是BN边上的一点，若AP→＝m AB→＋29AC→，则实数m 的值为( ) A.19B.13 C ．1 D ．34．(2015·某某)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP→＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．215．(2015·某某)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________．7．(2015·某某)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．8．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________． 9．(2015·某某二调)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]．(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．10．已知向量a ＝(2sin(ωx ＋2π3)，0)，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，函数f (x )＝a ·b 的图象与直线y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间．B 组能力提高11．已知非零单位向量a 与非零向量b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则向量b －a 在向量a 上的投影为( ) A ．1 B.22C ．－1D ．－2212．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值X 围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]13．(2015·某某)设向量a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0,1,2，…，12)，则∑k ＝011(a k ·a k ＋1)的值为________．14．(2014·某某)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝m AB →＋n AC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．学生用书答案精析第3讲平面向量高考真题体验1．A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2．C [AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－→＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.] 3．－3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3. 4.7＋1解析设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及 |CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又O A →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －12＋y ＋32.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为3－12＋0＋32＝7，故x －12＋y ＋32的最大值为7＋1.热点分类突破例1 (1)12 (2)－12解析 (1)因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.(2)如图，设FB 的中点为M ，连接MD .因为D 为BC 的中点，M 为FB 的中点，所以MD ∥CF . 因为AF ＝13AB ，所以F 为AM 的中点，E 为AD 的中点．方法一因为AB →＝a ，AC →＝b ，D 为BC 的中点，所以AD →＝12(a ＋b )．所以AE →＝12AD →＝14(a ＋b )．所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE →＝－b ＋14(a ＋b )＝14a －34b .所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－12.方法二易得EF ＝12MD ，MD ＝12CF ，所以EF ＝14CF ，所以CE ＝34CF .因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF →＝－b ＋13a ，所以CE →＝34(－b ＋13a )＝14a －34b .所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－12.跟踪演练1 (1)C (2)12 －16解析 (1)因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →＝λAD →⇔i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，m ≠1，又向量i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝λn ，m ＝λ，所以mn ＝1.(2)如图，MN →＝MC →＋→＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.例2 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD→＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋ 14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－ 12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. (2)如图，在△AOB 中，OG →＝23OE →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(OA →＋OB →)，又OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos 60°＝6， ∴|OA →||OB →|＝12，∴|OG →|2＝19(OA →＋OB →)2＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →)＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋12)≥19×(2|OA →||OB →|＋12)＝19×36＝4(当且仅当|OA →|＝|OB →|时取等号)．∴|OG →|≥2，故|OG →|的最小值是2. 跟踪演练2 (1)32(2)90°解析 (1)由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PA ⊥x 轴，PA ＝PB ＝3.∴△POA 为直角三角形，其中OA ＝1，AP ＝3，则OP ＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos ∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.(2)∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°. 例3 解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<x<π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2.则y ＝t 2＋2t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a|·|b|＝cos αcos x ＋sin αsin x＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0.∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35. 跟踪演练3 解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝6，a2＋c2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos2B ＝ 1－132＝223，由正弦定理，得sin C ＝cb sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin2C ＝ 1－4292＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.高考押题精练1．C [因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ，则△AND ∽△AMB ，所以ANAM ＝ADAB .因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.]2．B [∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1， ∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝(13)2＋0－1＝－89.]3．－17解析因为a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，且a ⊥b ，所以cos α＋2sin α＝0，则tan α＝－12.所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－43.所以tan(2α＋π4)＝tan 2α＋tanπ41－tan 2α·tan π4＝－43＋11－－43×1＝－1373＝－17.4．－116解析因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋(BP →)2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，∴∠OBA ＝60°.OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝(|BP →|－14)2－116≥－116.故当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →最小值是－116.二轮专题强化练答案精析第3讲平面向量1．C [DA →＝CB →＝AB →－AC →＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．] 2．D [在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.] 3．B [如图，因为AN →＝12NC →，所以AN →＝13AC →，AP →＝m AB →＋29AC →＝m AB →＋23AN →，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13.]4.A [建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13，故选A.] 5．9解析因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9. 6.35解析设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC → ＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比值为35.7.2918解析在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1， ∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos60°＋2×16＋23×1×cos 60°＋23×16×cos 120°＝2918.8．[－12，12]解析令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sinx )，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)，∴y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是[－12，12]． 9．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12，当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1. 所以f (x )的最大值为32. 10．解 (1)因为向量a ＝(2sin(ωx ＋2π3)，0)，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f (x )＝a ·b ＝4sin(ωx ＋2π3)cos ωx ＝4[sin ωx ·(－12)＋cos ωx ·32]cos ωx ＝23·cos 2ωx －2sin ωx cos ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos(2ωx ＋π6)＋3，由题意，可知f (x )的最小正周期为T ＝π，所以2π2ω＝π，即ω＝1. (2)易知f (x )＝2cos(2x ＋π6)＋3，当x ∈[0,2π]时，2x ＋π6∈[π6，4π＋π6]，故2x ＋π6∈[π，2π]或2x ＋π6∈[3π，4π]时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[5π12，11π12]和[17π12，23π12]．11．C [因为|a ＋b |＝|a －b |，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，解得a ·b ＝0，所以向量b －a 在向量a 上的投影为|b －a |cos 〈a ，b －a 〉＝a ·b －a|a|＝0－|a|2|a|＝－|a |＝－1.]12．A [∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1.又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1，∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2， ∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |，∴c 2－22|c |＋1≤0，∴2－1≤|c |≤2＋1.]13．9 3解析 ∵a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6，∴a k ·a k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k ＋16π，sin k ＋16π＋cos k ＋16π＝cos k π6·cos k ＋16π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin k π6＋cos k π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin k ＋16π＋cos k ＋16π＝32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π. 故∑k ＝011 (a k ·a k ＋1)＝∑k ＝011 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π ＝32∑k ＝011cos π6＋12∑k ＝011cos 2k ＋16π＋∑k ＝011sin 2k ＋16π. 由∑k ＝011cos 2k ＋16π＝0，∑k ＝011sin 2k ＋16π＝0，得 ∑k ＝011 (a k ·a k ＋1)＝32cos π6×12＝9 3.14．解 (1)方法一 ∵PA →＋PB →＋PC →＝0，又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝2 2. 方法二 ∵PA →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)， ∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝m AB →＋n AC →，∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.。

2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)

绝密 ★ 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)数学（理科)注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2。

答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。

4。

考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{}2430A x x x =-+< ，{}230x x ->,则A B =（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B)33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D)3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现，属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算。

(2）设(1i)1i x y +=+,其中x ，y 实数，则i =x y + （A ）1 （2 （C 3 （D ）2 【答案】B 【解析】试题分析：因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=故选B.考点：复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容，一般以客观题形式出现，属得分题。

高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等，复数的几何意义,共轭复数，复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略，所以做复数题要注意运算的准确性.(3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a = (A ）100 （B ）99 (C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C 。

专题20 平面向量的概念及其线性运算-2016年高考理数热点题型和提分秘籍(原卷版)

【高频考点解读】 1.了解向量的实际背景； 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 3.理解向量的几何表示； 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．【热点题型】题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确命题的序号是( ) A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【提分秘籍】 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)

非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．【举一反三】给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零； ④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 题型二平面向量的线性运算【例2】 (1)在△ABC中，AB边的高为CD，若CB→＝a，CA→＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD→＝( ) A.13a－13b B.23a－23b C.35a－35b D.45a－45b (2)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝________．

【提分秘籍】 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．【举一反三】

2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全(解析几何初步)

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a 12 12
a2
22 2
2
，解得 a
2 ，圆
的圆心为 1,1
，半径为 r2
1 ，所以
0 12 2 12 2 ， r1 r2 3 ， r1 r2 1，因为 r1 r2 r1 r2 ，所以圆
与圆相交，故选 B．
考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径长 r 的大小关系来判断．若 d>r，则直线与圆相离；若 d＝r，则直线与圆相切；若 d<r，则直线与圆相交． (2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
3.（2016 北京文）.圆 (x 1)2 y2 2 的圆心到直线 y x 3 的距离为（）
(2)因为直线 l||OA，所以直线 l 的斜率为 4 0 2 . 20
设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2x-y+m=0，
则圆心 M 到直线 l 的距离 d 2 6 7 m m 5 .

2016全国统一高考数学真题及解析(文、理科)新课标Ⅰ卷(题解分离)

2016年普通高等学校招生全国统一考试文、理科数学（新课标卷Ⅰ）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【理】设集合2{|430}A x x x =-+< ，{|230}B x x =->，则A B =（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2（D ）3(,3)2 【文】设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7}2.【理】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2【文】设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）−3 （B ）−2 （C ）2 （D ）33.【理】已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97【文】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）564.【理】某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【文】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= （A ）2（B ）3（C ）2（D ）35.【理】已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)【文】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）346.【理】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【文】将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)7.【理】函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ） (C) (D)【文】同【理】68.【理】若101a b c >><<，，则（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【文】若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b9.【理】执行右面的程序框图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【文】同【理】710.【理】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【文】同【理】911.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22 （C ）33（D ）1312.【理】已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【文】若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.【理】设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = . 【文】设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = . 14.【理】5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）【文】已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)= . 15.【理】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2鬃?a n 的最大值为 . 【文】设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为 .16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【理】（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若7,c ABC △=的面积为332，求ABC △的周长．【文】已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和. 18.【理】（本小题满分12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．【文】如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A =6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明：G 是AB 的中点；（II ）在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积． 19．【理】（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？【文】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：161718192021频数更换的易损零件数610162024记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数. （I ）若n =19，求y 与x 的函数解析式；（II ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；（III ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.【理】（本小题满分12分）PABD CGE设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【文】在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （I ）求OH ON；（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.21．【理】（本小题满分12分）已知函数有两个零点.（I ）求a 的取值范围；（II ）设x 1，x 2是的两个零点，证明：+x 2<2.【文】已知函数. (I)讨论的单调性；(II)若有两个零点，求a 的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

【高考复习方案】2016高考数学理(课标通用)二轮课件：专题二平面向量与复数

究
A.
13 3
B.
13 6
C.
5 3
D.
5 6
返回目录
[答案] （1）A （2）D
[解析] （1）设 AB 的中点为 M，则O→P·A→B＝（O→M＋
M→P）·A→B＝O→M·A→B＝12（O→A＋O→B）·（O→B－O→A）＝
考点
12（O→B2－O→A2）＝12×（32－52）＝－8.
考
向
探
究
返回目录
核心
2．[2015·北京卷] 在△ABC 中，点 M，N 满足A→M
知＝2M→C，B→N＝N→C.若M→N＝xA→B＋yA→C，则 x＝________，
识聚
y＝________．
焦
[答案]
1 2
－16
[解析] 由条件得M→N＝M→C＋C→N＝13A→C＋12C→B＝13A→C＋12
A.A→D＝－13A→B＋43A→C
B.A→D＝13A→B－43A→C
考 C.A→D＝43A→B＋13A→C
D.A→D＝43A→B－13A→C
点
考向
(2)若△ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 4，O→A＋2A→B＋2A→C
探究
＝0，则C→A在C→B方向上的投影为(
)
A．4 B. 15 C. 7 D．1
核
心
知
识
聚焦
专题二平面向量与复数
考点考向探究
返回目录
核心
1．[2015·湖北卷] 已知向量O→A⊥A→B，|O→A|＝3，则
知 O→A·O→B＝________．
识
聚
焦
[答案] 9
[解析] 因为O→A⊥A→B，|O→A|＝3，所以O→A·O→B＝O→A·（O→A＋ A→B）＝|O→A|2＋O→A·A→B＝|O→A|2＝9.

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2016年高考数学理试题分类汇编
平面向量
一、选择题
1、（2016年北京高考）设a，b是向量，则“||||ab”是“||||abab”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
2、（2016年山东高考）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=13.若n⊥（tm+n），
则实数t的值为
（A）4 （B）–4 （C）94 （D）–94
【答案】B
3、（2016年四川高考）在平面内，定点A，B，C，D满足DA =DB=DC,DA﹒DB=DB﹒
DC=DC﹒DA=-2，动点P，M满足AP =1，PM=MC

，则2BM的最大值是

（A）434 （B）494 （C）37634 （D）372334
【答案】B
4、（2016年天津高考）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点ED,分别是边BCAB,的中点，

连接DE并延长到点F，使得EFDE2，则
AFBC


的值为（）

（A）85 （B）81 （C）41 （D）
8

【答案】B
5、（2016年全国II高考）已知向量(1,)(3,2)ama，=，且()abb+，则m=（）
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
【答案】D

6、（2016年全国III高考）已知向量13(,)22BAuuv ,31(,),22BCuuuv 则ABC=
(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200
【答案】A
二、填空题
1、（2016年上海高考）在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线
2
1xy

上一个动点，则BABP的取值范围是 .

【答案】
[0,12]

2、（2016年上海高考）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形821AAA的中心，0,11A.
任取不同的两点jiAA,，点P满足0jiOAOAOP，则点P落在第一象限的概率是.

【答案】528
3、（2016年全国I高考）设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= .
【答案】2
4、（2016年浙江高考）已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜

+｜b·e｜6 ,则a·b的最大值是．

【答案】12
5、(2016江苏省高考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4BACA，
1BFCF ，则BECE

的值是 ▲ .
【答案】78