浙江省宁波市九校2020-2021学年高二第一学期期末联考数学试题
5．A
【解析】
【分析】
求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．
【详解】
解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2 y＝4（ ）y，
2．D
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，
∴ ，
∴复数z对应的点的坐标为（ ，﹣1），位于第四象限．
故选D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．A
【解析】
【分析】
在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．
【校级联考】浙江省宁波市九校2020-2021学年高二第一学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．椭圆 的短轴长为（ ）
A．8B．10C．5D．4
2．设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于( )
A． B． C． D．
9．如图，四边形 ， ， ，现将 沿 折起，当二面角 的大小在 时，直线 和 所成角为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．若长方体 中， ， ， ， ， 分别为 ， ， 上的点， ， ， .分别记二面角 ， ， 的平面角为 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．与 的值有关
【详解】
解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；
在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；
在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．
（Ⅰ）求切线 ， 的方程；
（Ⅱ）证明：线段 的中点 在抛物线 上；
（Ⅲ）设点 为圆 上的点，当 取最大值时，求点 的纵坐标.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
利用椭圆的方程，直接求解即可．
【详解】
解：椭圆 ，可知焦点在x轴上，b＝4，
所以椭圆 的短轴长为8．
故选：A．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；
③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；
④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．
故选C．
【点睛】
故选：A．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
4．C
【分析】
写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．
【详解】
解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
．若 ， ，则
D．若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则
4．有下列四个命题：
①“相似三角形周长相等”的否命题；
②“若 ，则 ”的逆命题；
③“若 ，则 ”的否命题；
④“若 ，则方程 有实根”的逆否命题；
其中真命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．已知 ， 则“ 且 ”是“抛物线 的焦点在 轴非负半轴上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．下列命题正确的是（ ）
A． 是向量 ， 不共线的充要条件
二、双空题
11．双曲线 的焦点坐标是____，渐近线方程是____.
12．在空间四边形 中， ， 分别是 ， 的中点， 是 上一点，且 .记 ，则 ___，若 ， ， ，且 ，则 ___.
13．设复数 ，其中 为虚数单位，则 的虚部是____， ___.
14．一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是_____，体积是_____.
B．在空间四边形 中，
C．在棱长为1的正四面体 中，
D．设 ， ， 三点不共线， 为平面 外一点，若 ，则 ， ， ， 四点共面
7．若椭圆 与双曲线 有公共的焦点 ， ，点 是两条曲线的交点， ，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知 为双曲线 右支上一点， 为其左顶点， 为其右焦点，满足 ， ，则点 到直线 的距离为（ ）
三、填空题
15．已知 是抛物线 上的点，则 的最大值是_____.
16．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，动弦 过左焦点 .若 恒成立，则椭圆 的离心率的取值范围是___.
17．已知矩形 中， ， 为 的中点， ， 交于点 ， 沿着 向上翻折，使点 到 .若 在平面 上的投影 落在梯形 内部及边界上，则 的取值范围为____.
四、解答题
18．已知 ，设命题 ：当 时，函数 恒成立，命题 ：双曲线 的离心率 .
（Ⅰ）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（Ⅱ） 若命题 和 中有且只有一个真命题，求实数 的取值范围.
19．如图，在四面体 中， ， ， .
（Ⅰ）求点 到平面 的距离；
（Ⅱ）求异面直线 与 所成角的大小.
20．如图，已知多面体 中， ， 平面 ， ， ， ， .
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
21．已知点 是圆 上的动点，定点 ，线段 的垂直平分线交 于点 .
（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）过点 作两条斜率之积为 的直线 ， ， ， 分别与轨迹 交于 ， 和 ， ，记得到的四边形 的面积为 ，求 的最大值.
22．如图，点 在抛物线 外，过点 作抛物线 的两切线，设两切点分别为 ， ，记线段 的中点为 .
2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设全集U ={0,1，2，3，4}，集合A ={x ∈U||x −2|≥1}，则∁U A =( )A. {x|1<x <3}B. {x|1≤x ≤3}C. {2}D. {1,−2,3}2. 已知a =(13)25，b =(25)25，c =log 2513，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b3. 将函数f(x)的图象沿x 轴向右平移一个单位后，所得图象对应的解析式为y =x 12，若f(x 0)=2，则x 0=( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知α∈[0,2π]，点P(1,tan2)是角α终边上一点，则α=( )A. 2B. 2+πC. π−2D. 2+π或25. 某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长13%，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是( )(参考数据：lg2≈0.3，lg1.13≈0.053) A. 2027年 B. 2028年 C. 2029年 D. 2030年 6. 函数f(x)=2x4x −a(其中a 为实数)的图象不可能是( )A.B.C.D.7.1sin20∘−tan50°=( )A. √3B. √34C. √2D. 38. 已知定义在(−1,1)上的函数f(x)满足：当x >0时，f(x)>0，且对任意的x ，y ∈(−1,1)，均有f(x +y)[1−f(x)f(y)]=f(x)+f(y).若f(lnx)<f(12)，则x 的取值范围是( )( e 是自然对数的底数)A. (√e √e)B. (1e ,√e) C. (√e,e)D. (1e √e )∪(√e,e)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知a ，b 均为实数，则“a >b ”成立的必要条件可以是( )A. |a|>bB. −a <1−bC. a 3>b 3D. 1a <1b10. 已知函数f(x)=4sin(ωx +φ)−1(ω>0,|φ|≤π)为偶函数，点A(x 1,−1)，B(x 2,−1)是f(x)图象上的两点，若|x 1−x 2|的最小值为2，则下列说法正确的有( )A. ω=π2 B. φ=π2C. f(1)=−1D. f(x)在区间[x 1−1,x 1+1]上单调递增11. 关于函数f(x)={2cosπx,0≤x ≤2−log 2x +2,x >2，下列说法正确的有( )A. 函数f(x)是周期为2的周期函数B. f(2)=2C. 不等式f(x)>1的解集是[0,13)∪(53,2]D. 若存在实数a ，b ，c(a <b <c)满足f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c +16c 的取值范围是[10,19)12. 已知奇函数f(x)的定义域为R ，且满足：对任意的x ∈R ，都有f(x)=−f(x +1).设g(x)=x +f(x)，且当0≤x ≤1时，g(x)的值域为[0,1]，则下列说法正确的有( )A. f(x)的图象关于直线x =−32轴对称 B. f(x)在[0,2]内至少有5个零点 C. f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 D. g(x)在[0,3]上的值域为[0,3]三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 计算21+log 23= ______ ．14. 已知sin(π4+α)=35，0<α<π，则cosα= ______ ． 15. 已知a ，b ，c 均为正实数，满足ac +2bc =ab ，则a+b c的最小值是______ ．16. 对于实数m ，若两函数f(x)，g(x)满足：①∀x ∈[m,+∞)，f(x)<0或g(x)<0；②∃x ∈(−∞,m]，f(x)g(x)<0，则称函数f(x)和g(x)互为“m 相异”函数.若f(x)=ax 2+ax −1和g(x)=x −1互为“1相异”函数，则实数a 的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知全集U =R ，集合A ={x|1<2x <4}，集合B ={y|y =ax ,x ∈(1a ,+∞)}．(Ⅰ)当a =1时，求A ∩(∁U B)；(Ⅱ)若A ∩B =A ，且A ∪(∁U B)=U ，求实数a 的值．18. 已知函数f(x)=2sinxcos(x −π6)+cos2x ，x ∈[0,π2]．(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间和最值；(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)−a 有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．19.已知关于x的不等式(kx−k2−4)(x−4)>0(k∈R)的解集为A．(Ⅰ)写出集合A；(Ⅱ)若集合A中恰有9个整数，求实数k的取值范围．20.如图所示，摩天轮的半径为50m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min.甲，乙两游客分别坐在P，Q两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点)．(Ⅰ)求劣弧PQ的弧长l(单位：m)；(Ⅱ)设游客丙从最低点M处进舱，开始转动t min后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于时间t的函数解析式；(Ⅲ)若游客在距离地面至少85m的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．21.已知函数f(x)=ln2−xx ，g(x)=4x+2x+1m−m2+1．(Ⅰ)根据定义证明函数f(x)是减函数；(Ⅱ)若存在两不相等的实数a，b，使f(a+1)+f(b+1)=0，且g(a)+g(b)=0，求实数m的取值范围．22.设函数f(x)=ax2−|x−a|，a∈R．(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(Ⅱ)当−1≤a≤2时，若对任意的x∈[1,3]，均有f(x)+bx≤0成立，求a2+b的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵U ={0,1，2，3，4}，A ={x ∈U|x ≤1或x ≥3}={0，1，3，4}， ∴∁U A ={2}． 故选：C ．可求出集合A ，然后进行补集的运算即可．本题考查了列举法和描述法的定义，补集及其运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】A【解析】解：∵(13)25<(25)25<(25)0=1，log 2513>log 2525=1，∴a <b <c ． 故选：A ．根据指数函数和幂函数的单调性可得出(13)25<(25)25<1，根据对数函数的单调性可得出log 2513>1，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了指数函数、幂函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题． 3.【答案】B【解析】解：将y =x 12的图象沿x 轴向右左移一个单位后，得到f(x)，即f(x)=(x +1)12=√x +1， 由f(x 0)=2得√x 0+1=2，得x 0+1=4，得x 0=3， 故选：B ．根据图象变换关系先求出f(x)，然后解方程即可．本题主要考查函数解析式的求解，结合图象逆推求出函数的解析式是解决本题的关键，是基础题． 4.【答案】D【解析】解：因为点P(1,tan2)是角α终边上一点， 所以tanα=tan2，可得α=2+kπ，k ∈Z ， 因为α∈[0,2π]， 所以α=2+π或2． 故选：D ．利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，即可得解． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 5.【答案】D【解析】解：由题意可知，研发资金的投入成等比数列的模型，设第n 年投入的研发资金超过800万， 则250(1+13%)n >800， 即1.13n >165，两边去常用对数得，n >9.43， 故选：D ．由题意分析可知，该函数模型是一个等比数列，利用等比数列的定义即可解决． 本题考查了函数的应用，对数的运算公式，属于基础题． 6.【答案】C【解析】解：根据题意，f(x)=2x 4x −a，当a =0时，f(x)=2x 4x=(12)x ，为指数函数，与D 选项对应， 当a =1时，f(x)=2x 4x −1=12x −2−x，为奇函数，且在(0,+∞)、(−∞,0)上是减函数，与A 选项对应，当a =−1时，f(x)=2x4x +1=12x +2−x，为偶函数，在(0,+∞)上是减函数，(−∞,0)上为增函数，与B 选项对应，对于C ，f(x)为偶函数，必有f(−x)=f(x)，即2x4x −a=2−x4−x −a ，则有2x4x −a =2x1−a⋅4x ，必有a =−1，此时f(0)=12，与图象不符，故选：C ．根据题意，分a =0、a =1和a =−1三种情况讨论，分析f(x)的图象，即可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题． 7.【答案】A【解析】解：1sin20∘−tan50°=1sin20∘−sin50°cos50∘=1sin20∘−cos40°sin40∘=2cos20°2sin20∘cos20∘−cos40°sin40∘=2cos20° sin40∘−cos40°sin40∘=2cos(60°−40°)−cos40°sin40∘=2×12cos40°+2×√32sin40°−cos40°sin40°=√3sin40°sin40°=√3..故选：A ．利用三角函数的诱导公式以及两角和差的三角公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，是中档题． 8.【答案】B【解析】解：对任意的x ，y ∈(−1,1)，都有f(x +y)[1−f(x)f(y)]=f(x)+f(y)， 令x =y =0，则f(0)[1−f(0)f(0)]=f(0)+f(0)， f(0)[−1−f(0)2]=0，∴f(0)=0，令y =−x ，则f(x −x)=f(0)=f(x)+f(−x)， ∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．设x 1，x 2∈[0,1)，且x 1<x 2，则x 1−x 2<0，令y =−x 2， 则f(x 1−x 2)[1−f(x 1)f(−x 2)]=f(x 1)+f(−x 2)，由f(x)是奇函数，可得f(x 1−x 2)[1+f(x 1)f(x 2)]=f(x 1)−f(x 2)， ∵当x >0时，f(x)>0，且x 1，x 2∈[0,1)， ∴1+f(x 1)f(x 2)>0，由函数f(x)是奇函敬，可得当x <0时，f(x)<0，∴f(x 1−x 2)[1+f(x 1)f(x 2)]<0，即f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴函数f (x)在[0,1)上是增函数， ∴函数f (x)在(−1,1)上是增函数，则不等式f(lnx)<f(12)等价于{−1<lnx <1lnx <12，解得1e <x <√e ，即不等式的取值范围是(1e ,√e).故选：B ．先判断函数的奇偶性，再利用函数的性质解不等式，即可得结论．本题主要考查了抽象函数的奇偶性和单调性，同时考查了转化思想和计算能力，属于中档题．9.【答案】ABC【解析】解：a >b ，当a >b >0时，|a|>b 成立， 当a >0>b 时，|a|>b 成立，当0>a >b 时，|a|>b 成立，故选项A 正确；因为a >b ，则b −a <0，则b −a <1，所以−a <1−b ，故选项B 正确； 因为y =x 3在R 上单调递增，所以a >b ，可推出a 3>b 3，故选项C 正确； 因为a >b ，取a =2，b =−3，1a >1b ，故选项D 不正确．故选：ABC ．要求“a >b ”成立的必要条件，即求“a >b ”可以推出哪个结论，利用列举法排除，利用不等式的性质和函数的单调性可判定．本题主要考查了不等式的性质，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题． 10.【答案】AC【解析】解：由f(x)=−1，得4sin(ωx +φ)−1=−1，即sin(ωx +φ)=0， ∵|x 1−x 2|的最小值为2， ∴T2=2，即T =4，即2πω=4， 则ω=π2，故A 正确，∵f(x)是偶函数，∴φ=kπ+π2，k ∈Z ，∵|φ|≤π，∴k =0时，φ=π2，k =−1时，φ=−π2，故B 错误，综上f(x)=4sin(π2x +π2)x −1=4cos π2x −1，或f(x)=4sin(π2x −π2)x −1=−4cos π2x −1， 则f(1)=−1，故C 正确， ∵A(x 1,−1)，B(x 2,−1)，∴4cos π2x 1−1=−1，即cos π2x 1=0，即x 1，是函数y =cos π2x 的零点，∵[x 1−1,x 1+1]的区间长度为2，是半个周期，则函数在[x 1−1,x 1+1]上不具备单调性，故D 错误， 故选：AC ．根据三角函数的图象和性质求出函数的解析式，然后分别进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题． 11.【答案】BCD【解析】解：函数f(x)={2cosπx,0≤x ≤2−log 2x +2,x >2，作出图象如图所示， 根据f(x)的图象可知，图象没有重复出现的部分，故函数f(x)不是周期函数，故选项A 错误；f(2)=2cos2π=2，故选项B 正确；当0≤x ≤2时，若f(x)=1，则2cosπx =1，即cosπx =12，解得x =13或x =53，当x >2时，若f(x)=1，则−log 2x +2=1，即log 2x =1，解得x =1， 结合f(x)的图象可得，不等式f(x)>1的解集是[0,13)∪(53,2]， 故选项C 正确；因为存在实数a ，b ，c(a <b <c)满足f(a)=f(b)=f(c)， 则函数f(x)与y =m 的图象有三个不同的交点，其中a 和b 关于f(x)=2cosπx 的对称轴x =1对称，故a +b =2， 当−log 2x +2=−2时，x =16，故c 的取值范围是2<c <16， 所以a +b +c +16c =2+c +16c≥2+2√c ⋅16c=10，当且仅当c =16c，即c =4时取等号，所以a +b +c +16c的最小值为10，当c =2时，a +b +c +16c的值为12，当c =16时，a +b +c +16c的值为19，故a +b +c +16c的取值范围为[10,19)，故选项D 正确．故选：BCD ．利用分段函数的解析式，作出分段函数的图象，利用图象即可判断选项A ，利用函数解析式求出f(2)的值，即可判断选项B ，利用图象即可得到不等式f(x)>1的解集，从而判断选项C ，利用余弦函数的对称性得到a +b =2，再求出c 的取值范围，利用基本不等式和对勾函数的性质求出则a +b +c +16c的取值范围，即可判断选项D ．本题考查了分段函数的应用，涉及了余弦函数和对数函数图象和性质的应用、周期函数图象特征的应用、基本不等式的应用，综合性强，对学生掌握知识的广度和深度都由较高的要求，属于中档题． 12.【答案】ACD【解析】 【分析】本题考查函数的奇偶性，对称性，周期性等性质的综合运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题． 先推导出f(x)关于直线x =12对称，且周期为2，进而判断选项A ，C 正误；由f(0)=f(1)=f(2)，判断选项B 错误； 分类讨论可求得当x ∈[0,3]时，g(x)的值域为[0,3]，即选项D 正确．【解答】解：∵f(x)是奇函数， ∴f(−x)=−f(x)， 又∵f(x)=−f(x +1)，∴−f(−x)=−f(x +1)，即f(−x)=f(x +1)， ∴f(x)关于直线x =12对称，又f(x +1)=−f(x +2)，f(x +1)=−f(x)， ∴f(x)=f(x +2)，即函数f(x)的周期为2，∴函数f(x)的图象关于直线x =−32轴对称，且关于点(1,0)中心对称，故A ，C 选项正确； 显然在x ∈[0,2]，f(0)=f(1)=f(2)，故f(x)在[0,2]时至少有3个零点，故选项B 错误； 又g(x)=x +f(x)，故g(x)为奇函数，当0≤x ≤1时，g(x)的值域为[0,1]，则当−1≤x ≤0时，g(x)的值域为[−1,0]，当1≤x ≤2时，−1≤x −2≤0，g(x)=x +f(x)=x −2+f(x −2)+2的值域为[1,2]， 当2≤x ≤3时，0≤x −2≤1，g(x)=x +f(x)=x −2+f(x −2)+2的值域为[2,3]， 综上，当x ∈[0,3]时，g(x)的值域为[0,3]，故选项D 正确． 故选：ACD ．13.【答案】6【解析】解：∵2log23=3，∴21+log23=21⋅2log23=2×3=6，故答案为：6．利用指数幂的运算性质21+log23=21⋅2log23，及对数恒等式2log23=3可得答案．本题考查对数的运算性质，关键是对数恒等式的利用，是容易题．14.【答案】−√210【解析】解：∵0<α<π，∴π4<α+π4<π+π4，∵sin(π4+α)=35∈(12,√22)，∴π6<α+π4<π4(舍)或3π4<α+π4<5π6，即cos(α+π4)<0，即cos(α+π4)=−45，则cosα=cos(π4+α−π4)=cosπ4cos(α+π4)+sinπ4sin(α+π4)=√22(−45+35)=−15×√22=−√210，故答案为：−√210．根据同角三角函数的基本关系，结合两角差的余弦公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，涉及同角三角函数基本关系和三角恒等变换，属于基础题．15.【答案】3+2√2【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．由ac+2bc=ab，整理可得cb +2ca=1，a+bc=a+bc(cb+2ca)，然后结合基本不等式性质即可求解．【解答】解：∵a，b，c均为正实数，且ac+2bc=ab，∴cb +2ca=1，∴a+bc =a+bc(cb+2ca)=3+ab+2ba≥3+2√ab×2ba=3+2√2，当且仅当a=√2b时取等号，故a+bc的最小值是3+2√2．故答案为：3+2√2．16.【答案】a<−4【解析】【分析】本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了二次函数与一次函数性质的应用，解题的关键是正确理解新定义，将问题转化为不等式恒成立和有解问题进行研究，属于中档题．根据题中给出的新定义可得，∀x ∈[1,+∞)，f(x)<0或g(x)<0，且∃x ∈(−∞,1]，f(x)g(x)<0，又因为g(x)的取值情况确定，从而将问题转化为f(x)<0对∀x ∈[1,+∞)恒成立且f(x)>0在x ∈(−∞,1]上有解，然后利用二次函数的性质进行分析求解即可． 【解答】解：由题意可知，f(x)=ax 2+ax −1和g(x)=x −1互为“1相异”函数， 则∀x ∈[1,+∞)，f(x)<0或g(x)<0， 因为g(x)≥0，不满足恒小于0， 所以f(x)<0对∀x ∈[1,+∞)恒成立， 又∃x ∈(−∞,1]，f(x)g(x)<0， 因为g(x)≤0，所以f(x)>0在x ∈(−∞,1]上有解， 先解：f(x)<0对∀x ∈[1,+∞)恒成立，因为f(x)=ax 2+ax −1，对称轴为x =−12且恒过点(0,−1)， ①a =0时，f(x)=−1<0恒成立，符合题意； ②当a >0时，不符合题意；③当a <0时，f(x)<0在[1,+∞)上恒成立， 故a 的取值范围为a ≤0；再解：f(x)>0在x ∈(−∞,1]上有解，①当a =0时，f(x)=−1<0恒成立，不符合题意；②当a >0时，f(x)>0在x ∈(−∞,1]上有解，符合题意；③当a <0时，则有f(−12)>0，即14a −12a −1>0，解得a <−4， 故a 的取值范围为a <−4或a >0，综上可得，实数a 的取值范围为a <−4． 故答案为：a <−4．17.【答案】解：已知A ={x|1<2x <4}=(0,2)，B ={y|0<y <a 2}， (Ⅰ)当a =1时，B ={y|y =1x ,x ∈(1,+∞)}=(0,1)， 所以C U B ={y|y ≥1或y ≤0}， 所以A ∩C U B =[1,2)；(Ⅱ)B ={y|0<y <a 2}，所以C U B ={y|y ≤0或y ≥a 2}， 由A ∩B =A 且A ∪C UB =U 可得：{a 2≥2a 2≤2，则a 2=2， 所以a =±√2．【解析】先求出集合A ，B ，然后对应各个问题根据交并补的运算性质以及集合间的关系即可求解． 本题考查了交并补的混合运算的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2sinxcos(x −π6)+cos2x=2sinx(√32cosx +12sinx)+cos2x =√3sinxcosx +sin 2x +cos 2x −sin 2x =√32sin2x +12cox2x +12=sin(2x +π6)+12，令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ,k ∈Z ， 因为x ∈[0,π2]，所以当k =0时，f(x)的单调递增区间为[0,π6]．所以当x =π6时，f(x)取得最大值为f(π6)=sin(2×π6+π6)+12=32； (Ⅱ)函数g(x)=f(x)−a 有且仅有一个零点，等价于函数y =f(x)与y =a 的图象只有一个交点， 作出函数f(x)的图象如图所示， 因为f(0)=1，f(π2)=0， 由图可知a ∈[0,1)∪{32}．【解析】(Ⅰ)利用两角和差公式以及二倍角公式化简函数f(x)的解析式，利用正弦函数的单调性以及有界性进行分析求解即可；(Ⅱ)将问题转化为函数y =f(x)与y =a 的图象只有一个交点，作出图象分析求解即可．本题考查了三角函数图象和性质的综合应用，涉及了三角函数的单调性与最值的求解，解题的关键是利用三角恒等式将函数的解析式化简变形，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)当k =0时，不等式(kx −k 2−4)(x −4)>0可化为−4(x −4)>0，解得x <4， 所以不等式的解集为A =(−∞,4)；当k ≠0时，方程(kx −k 2−4)(x −4)=0的两根分别为4和k +4k ，当k >0时，k +4k ≥2√k ⋅4k=4，不等式的解集为A =(−∞,4)∪(k +4k ,+∞)；当k <0时，k +4k <0<4，不等式的解集为A =(k +4k ,4)． (Ⅱ)若集合A 中恰有9个整数，则{k <0−6≤k +4k <−5，即{k <0k 2+6k +4≤0k 2+5k +4>0， 解得−3−√5≤k <−4，或−1<k <0；所以实数k 的取值范围是[−3−√5,−4)∪(−1,0)．【解析】(Ⅰ)讨论k =0和k >0、k <0时，求出不等式的解集即可． (Ⅱ)根据集合A 中恰有9个整数，列出不等式组求出解集．本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)∠POQ =2π×324=π4，由弧长公式可得，l =π4×50=12.5πm ；(Ⅱ)设H =Asin(ωx +φ)+B ，由题意，T =12，∴ω=2πT=π6，A =r =50，B =OM =110−50=60，∴H =50sin(π6x +φ)+60，当x =0时，可得sinφ=−1，∴φ=−π2，得H =50sin(π6x −π2)+60(0≤t ≤12)；(Ⅲ)H=50sin(π6x−π2)+60≥85，∴sin(π6x−π2)≥12，令π6+2kπ≤π6x−π2≤5π6+2kπ，k∈Z，∴4+12k≤x≤8+12k，k∈Z，而甲乙相差324×12=32min，又4−32=52min，∴有52min甲乙都有最佳视觉效果．【解析】(Ⅰ)求出∠POQ，再由弧长公式求l；(Ⅱ)设H=Asin(ωx+φ)+B，由题意求得ω、A与B，得到H=50sin(π6x+φ)+60，当x=0时，可得sinφ=−1，求得φ，则函数解析式可求；(Ⅲ)由H=50sin(π6x−π2)+60≥85，求得x的范围，结合甲乙相差324×12=32min，可得4−32=52min，即可求得甲乙都有最佳视觉效果的时间．本题考查三角函数模型的应用，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】(Ⅰ)证明：令2−xx>0，解得0<x<2，故函数f(x)的定义域为(0,2)，设0<x1<x2<2，则f(x1)−f(x2)=ln2−x1x1−ln2−x2x2=ln2x2−x1x22x1−x1x2，因为0<x1<x2<2，所以0<2x1<2x2<4，则0<2x1−x1x2<2x2−x1x2，故2x2−x1x22x1−x1x2>1，则ln2x2−x1x22x1−x1x2>0，故f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0,2)上是减函数；(Ⅱ)解：f(a+1)+f(b+1)=0，即ln(1−a)(1−b)(a+1)(b+1)=0，所以(1−a)(1−b)(a+1)(b+1)=1，展开整理可得a+b=0，因为g(x)=4x+2x+1m−m2+1=(2x)2+2m⋅2x−m2+1，令t=2x>0，则φ(t)=t2+2mt−m2+1，令t1=2a,t2=2b，因为g(a)+g(b)=0，所以φ(t1)+φ(t2)=0，因为a+b=0，所以t1t2=2a+b=1，则φ(t1)+φ(t2)=t12+t22+2m(t1+t2)−m+2=0，即(t1+t2)2+2m(t1+t2)−m=0，因为a +1∈(0,2)，b +1∈(0,2)， 所以a ∈(−1,1)，b ∈(−1,1)， 故t 1∈(12,2)，t 2∈(12,2)， 令μ=t 1+t 2=t 1+1t 1∈[2,52),则有m(2μ−1)=−μ2， 所以m =−μ22μ−1， 令p =μ−12∈[32,2), 则m =−(p+12)22p=−(p 2+18p +12)，由对勾函数的性质可知，m 在[32,2)上单调递减， 故当p =32时，m 取得最大值−43， 所以m 的取值范围为(−2516,−43]．【解析】(Ⅰ)先求出函数的定义域，然后令0<x 1<x 2<2，作差f(x 1)−f(x 2)，然后与0比较大小，再利用函数单调性的定义即可证明；(Ⅱ)由f(a +1)+f(b +1)=0结合对数的运算性质，可得到a +b =0，然后利用换元法令t =2x >0，将g(a)+g(b)=0转化为t 12+t 22+2m(t 1+t 2)−m +2=0， 再令μ=t 1+t 2=t 1+1t 1∈[2,52)，求出m 的表达式，然后利用对勾函数的性质进行分析求解即可．本题考查了函数的综合应用，涉及了函数单调性的证明、换元法的应用、对勾函数的性质，综合性强，对学生掌握知识的广度和深度都有较高的要求，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)因为函数f(x)=ax 2−|x −a|， 所以f(−x)=ax 2−|x +a|，当a =0时，f(−x)=f(x)，所以f(x)是偶函数；当a ≠0时，f(−x)≠f(x)，f(−x)≠−f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数；(Ⅱ)因为当−1≤a ≤2时，若对任意的x ∈[1,3]，均有f(x)+bx =ax 2−|x −a|+bx ≤0成立， 所以令g(x)=ax 2−|x −a|+bx ={ax 2−x +a +bx,x ≥aax 2+x −a +bx,x <a，①当a =0时，g(x)=bx −x =(b −1)x ≤0，对任意的x ∈[1,3]恒成立， 即3(b −1)≤0，解得b ≤1，a 2+b 的最大值为1；②当−1≤a <0时，g(x)=ax 2−(x −a)+bx =ax 2+(b −1)x +a ，x ∈[1,3]， 对称轴为x =1−b 2a，i)1−b 2a≤1，则1−b ≥2a ，(a <0不等号方向改变)，g(1)≤0即a +b −1+a ≤0，所以b ≤1−2a ，则a 2+b ≤a 2−2a +1=(a −1)2，a 2+b 的最大值为1； ii)1−b 2a≥3时，1−b ≤6a ，即b ≥1−6a ，所以g(3)≤0，即b ≤1−103a ，无解；iii)1<1−b 2a<3时，1−2a <b <1−6a ，所以g(1−b2a )≤0，即a ⋅(1−b2a )2+(b −1)×1−b 2a+a ≤0，即4a 2≥(1−b)2，所以1+2a ≤b ≤1−2a 无解；③当0<a ≤1时，g(x)=ax 2−(x −a)+bx =ax 2+(b −1)x +a ，x ∈[1,3]，对称轴为x =1−b 2a，i)1−b 2a≤1，则1−b ≤2a ，g(3)≤0即b ≤1−103a ，无解；ii)1−b 2a≥3时，1−b ≥6a ，即b ≤1−6a ，g(1)≤0，b ≤1−2a ，则b ≤1−6a ，则a 2+b ≤a 2−6a +1=(a −3)2−8， ∵0<a ≤1，∴a 2+b 的最大值为1； iii)1<1−b 2a<3时，1−6a ≤b ≤1−2a ，g(3)≤0，g(1)≤0则b ≤1−103a 且b ≤1−2a ，所以1−6a ≤b ≤1−103a ，则a 2+b ≤a 2+1−103a ，a 2+b 的最大值为1；④当1≤a ≤2时，g(x)={ax 2−x +a +bx,a ≤x ≤3ax 2+x −a +bx,1≤x ≤a ， g(3)≤0，g(1)≤0，g(a)≤0，即{a +1−a +b ≤0a 3+ab ≤09a −3+a +3b ≤0，则{b ≤−1b ≤−a 2b ≤1−10a3，而−1≤a ≤2，∴b ≤1−10a 3，则a 2+b ≤a 2+1−103a ，令p(a)=a 2+1−103a ，−1≤a ≤2，则p′(a)=2a −103，即p(a)在[53,2]上单调递增， p(a)的最大值为p(2)=−53．综上所述：对任意的x ∈[1,3]，均有f(x)+bx ≤0成立， a 2+b 的最大值为−53(所有最大值中的最小值)．【解析】(Ⅰ)直接根据函数奇偶性的定义进行判定，需要讨论a ；(Ⅱ)讨论去绝对值，然后讨论a ，以及对称轴与区间的位置关系，可求出a 与b 的关系式，然后分别求出a 2+b 的最大值，从而可求出所求．本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想和转化的能力，属于难题．。
2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高二(下)期末化学试卷(Word+答案)
2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高二（下）期末化学试卷一、选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．（2分）下列含有共价键的盐是（）A．NaCl B．Na2SO4C．NaOH D．Na2O2．（2分）下列仪器名称为“容量瓶”的是（）A．B．C．D．3．（2分）下列物质属于非电解质的是（）A．Cl2B．NaH2PO4C．SO3D．CH3COOH4．（2分）下列物质与俗名对应的是（）A．绿矾：FeSO4•10H2O B．碳铵：（NH4）2CO3C．油酸：C17H35COOH D．石炭酸：5．（2分）下列表示不正确的是（）A．过氧化钠的电子式：B．乙炔的比例模型：C．氯离子的结构示意图：D．戊烷的分子式C5H126．（2分）下列说法不正确的是（）A．石油的分馏是物理变化，煤的气化和液化是化学变化B．石油的裂化主要是为了得到更多的轻质油C．石油裂解气可以使溴水、高锰酸钾溶液褪色，褪色原理相同D．水煤气可用来合成液态烃及甲醇等有机物7．（2分）下列说法正确的是（）A．18O2和16O2互为同位素B．CH3COOCH2CH3和CH3CH2OOCCH3互为同分异构体C．CH3OH和CH3OCH3互为同系物D．金刚石和C60互为同素异形体8．（2分）下列关于无机物的性质及用途，说法不正确的是（）A．Na2O2与水、二氧化碳反应产生氧气，因此Na2O2可在呼吸面具中作为氧气来源B．SO2具有漂白作用，工业上常用SO2漂白纸浆、毛、丝C．Mg燃烧时放出耀眼的白光，因此可以做信号弹D．单晶硅导电性介于导体与绝缘体之间，是应用最为广泛的光导纤维9．（2分）下列说法不正确的是（）A．工业制Al，在电解步骤加入冰晶石的目的是降低Al2O3的熔融温度B．工业炼铁主要原料为FeS2、焦炭、空气、石灰石C．生物炼铜中通常利用某些细菌把不溶性的硫化铜转化为可溶性铜盐D．工业制备硫酸的主要设备为沸腾炉、接触室和吸收塔10．（2分）关于反应NaH+H2O═NaOH+H2，下列说法不正确的是（）A．NaH中H元素被为﹣1价，NaH为还原剂B．还原剂与氧化剂的物质的量之比为1：1C．若转移0.1mol电子，产生2.24L H2D．若将H2O改成D2O，则可以生成HD11．（2分）下列说法正确的是（）A．减压过速不宜过滤颗粒太小的沉淀，原因是颗粒太小的沉淀易透过滤纸B．结晶过程中溶质的溶解度越小，晶体颗粒越大C．萃取操作：向溶液中加入萃取剂，转移至分液漏斗后，塞上玻璃塞。
浙江省宁波市九校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)
2022学年第二学期宁波市九校联考高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+，则z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，求出复数z ，即可求解. 【详解】由i 1i z ⋅=+，得21i (1i)(i)=1i ii z ++−==−−， 所以1i z =+，在复平面内对应的点为(1,1) 所以对应点位于第一象限. 故选：A.2. 设集合(){},21x Mx y y ==−，()π,cos ,442N x y y x x==−≤≤，则M N ∩中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【分析】在同一坐标系下画出两集合对应函数图象，交点个数即为交集元素个数【详解】对于函数21x y =−，当0x <时，01y <<；当0x ≥时，0y ≥.对于函数πcos,442yx x −≤≤，222ππ,πx ∈− ，则11y −≤≤且端点处取最大值 两函数图象在同一坐标系下大致如下，则两函数图象有3个交点，即M N ∩中元素的个数为3个. 故选：B3. 已知随机变量()211~,X N µσ，()222~,Y N µσ，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确.的是（ ）A. 12µµ<，2212σσ< B. 12µµ<，2212σσ> C 12µµ>，2212σσ<D. 12µµ>，2212σσ>【答案】B 【解析】【分析】由图结合正态分布曲线特点可得答案.【详解】由图可得随机变量X 的均值比随机变量Y 的均值小，则12µµ<.又由图得，随机变量X 的分布比随机变量Y 的分布更加分散，则2212σσ>. 故选：B4. 已知平面向量a ，b满足a b a b +=− ，则b a − 在a 上的投影向量为（ ） A. a −B. aC. b −D. b【答案】A 【解析】【分析】由已知可得0a b ⋅=，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.【详解】由a b a b +=− 知：222222a a a b b a b b−=+⋅+⋅+ ，可得0a b ⋅= ， 所以b a − 在a上的投影向量为22()a b a a a b a a a aa a⋅−⋅−⋅=⋅=−. 故选：A 5. 若1sin()43πα+=，(0,)απ∈，则cos 2=α（ ） A. 79−B.C.D. 【答案】D 【解析】.【分析】根据同角三角函数的关系结合角度范围可得cos()4πα+，再根据二倍角公式可得sin[2()]4πα+，结合诱导公式可得cos 2α.【详解】因为(0,)απ∈，所以5(,)444πππα+∈，又13sin()sin 434ππα+=<，所以3(,)44ππαπ+∈，所以cos()4πα+，所以cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444ππππααααα=+=+=++＝ 故选：D6. 在ABC 中，点O 满足2CO OB = ，过点O 的直线分别交射线AB ，AC 于点M ，N ，且AM mAB =，AN nAC =，则2m n +的最小值为（ ） A.83B.103C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用共线定理的推论可得21133m n+=，然后妙用“1”可得. 【详解】由题可知，0,0m n >>，因为AM mAB = ，AN nAC =，所以1AB AM m= ，1AC AN n = ，又2CO OB = ，所以22AO AC AB AO −=−，所以21213333AO AB AC AM AN m n=+=+， 因为,,M O N 三点共线，所以21133m n+=，所以2144482(2)()3333333m n m n m n m n n m +=++=++≥+=， 当且仅当43321133m nn mm n = +=，即42,33m n ==时，等号成立.所以2m n +的最小值为83.故选：A7. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22f =，若对任意的1x ，()20,x ∈+∞，均有()()12121f x f x x x −>−成立，则不等式()11f x x −+>的解集为（ ）A. ()()2,02,−+∞B. ()(),20,2−∞−C. ()(),11,3−∞−D. ()()1,13,−+∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()gx f x x =−，则()()g x f x x =−在()0,∞+上递增，判断()()g x f x x =−也是是定义在R 上的奇函数，可得()()gx f x x =−在(),0∞−上递增，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】因为对任意的1x ，()20,x ∈+∞，均有()()12121f x f x x x −>−成立，不妨设2x >1>0x ，则−1x 20x <，所以()()()()12121122f x f x x x f x x f x x ⇒−<−−<−，构造函数()()gx f x x =−，则()()g x f x x =−在()0,∞+上递增， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()g x f x x =−也是是定义在R 上的奇函数， 所以()()gx f x x =−在(),0∞−上递增， 不等式()11f x x −+>化为()()()11010f x x g x −−−>⇒−>， 因为()()()()()2222020220f f g g g =⇒−=⇒=⇒−=−=，则()()121231010x g x g x x x −> −> ⇒⇒>−>−> ，或()()1212111010x g x g x x x −>− −>− ⇒⇒−<<−<−<； 10x −=时，()00g =，不合题意；综上不等式()11f x x −+>的解集为()()1,13,−+∞ ， 故选：D.8. 三面角是立体几何的重要概念之一.三面角−P ABC 是指由有公共端点P 且不共面的三条射线PA ，PB ，PC 以及相邻两射线之间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，平面APC 与平面BPC 所成夹角为θ，则cos cos cos cos sin sin γαβθαβ−=.现已知三棱锥−P ABC ，PA =，3BC =，45APC ∠=°，60BPC ∠=°，90APB ∠=°，则当三棱锥−P ABC 的体积最大时，它的外接球的表面积为（ ）A. 18πB. 36πC.87π2D.117π2【答案】B 【解析】【分析】作出图形，作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ，则θ∠=BDM ，先表示出13P ABCAPC V S BM −=⋅ ，接着用条件表示成P ABC V −=−P ABC 的体积最大，则PB PC ⋅最大，利用基本不等式得出3PB PC ==时，其体积最大，然后补全三棱锥成棱柱，根据棱柱外接球半径即可求解.【详解】由题知，45APC ∠=°，60BPC ∠=°，90APB ∠=°， 平面APC 与平面BPC 所成夹角为θ， 作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ， 则θ∠=BDM ，由题意得13P ABCAPC V S BM −=⋅ ，cos cos cos cos sin sin γαβθαβ−===()0,πθ∈，sin θ=，sin BM BD θβ=⋅ 13sin 22APC S PA PC PC α=⋅⋅=⋅ ，所以13P ABC APC V S BM −=⋅= 要使三棱锥−P ABC 的体积最大，则PB PC ⋅最大， 在PBC 中，由余弦定理得， 2221cos 22PB PC BC BPC PB PC+−∠==⋅⋅，整理得，229PB PC PB PC +−=⋅，2292PB PC PB PC PB PC +=⋅+≥⋅，即9PB PC ⋅≤，当且仅当3PB PC ==时，等号成立，则PA =，3PB PC BC ===，AB =因为222cos 2PA PC AC APC PA PC+−∠=⋅⋅， 解得3AC =，所以222PC AC PA +=，222AC BC AB +=， 即AC PC ⊥，ACBC ⊥，60BCP ∠=°，所以补全三棱锥成棱柱，如下图，则四边形BCPD 是菱形，点O 为其外接球的球心，即AD 中点，所以3BP =，2cos30CD PC =⋅⋅°=6AD =，所以外接球半径为3，即三棱锥−P ABC 外接球的表面积为24π336π×=. 故选：B【点睛】三棱锥外接球表面积问题，从以下几个角度分析： （1）面面角的定义以及辨析； （2）求解最值时，基本不等式的利用； （3）几何体割补法的应用； （4）数形结合思想的应用.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列等式成立的是（ ） A. 0!0=B. 11A A m m n n n −−=C. 11(1)C (1)C mm n n n m +++=+ D. 111C C C m m m n n n −+++=【答案】BC 【解析】【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答. 【详解】根据阶乘的概念可知，0!1=，故A 错误；()()()111!!!!A A m m n n n n n n n m n m −−−===−−，故B 正确； 因为11(1)!1!1C C (1)!()!1!()!1m m n n n n n n m n m m m n m m +++++===+−+−+，所以11(1)C (1)C m m n n n m +++=+，故C 正确； 根据组合数的性质可知11C C C mm m n n n −++=，故D 错误；故选：BC10. 以下四个正方体中，满足AB ⊥平面CDE 的有（ ）A. B.C. D.【答案】BD 【解析】AC ，根据直线与平面垂直的判定定理判断BD. 【详解】对A ，CE AD ∥，π4DAB ∠=，AB ∴与CE 所成角为π4，故AB 与平面CDE 不垂直， 故A 错误；对B ，在正方体中，ED ⊥平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，所以AB ED ⊥， 又AB CE ，DE CE E ∩=，,DE CE ⊂平面CDE ，所以AB ⊥平面CDE ，故B 正确；对C ，连接,AF BF ，如图，在正方体中，由正方体面上的对角线相等可知，ABF △为正三角形，所以π3BAF ∠=，又CE AF ∥，AB 与CE 所成的角为π3，所以AB 与平面CDE 不垂直，故C 不正确； 对D ，连接,MB BN ，如图，因为AM ⊥平面CMEB ，EC ⊂平面CMEB ，所以AM EC ⊥，又BM EC ⊥，,BM AM M BM AM =⊂ ，平面AMB ，所以EC ⊥平面AMB ，又AB ⊂平面AMB ，所以EC AB ⊥，同理可得ED AB ⊥，再由,,EC ED E EC ED =⊂ 平面ECD ，所以AB ⊥平面CDE ，故D 正确. 故选：BD11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()21f x +是偶函数，()1f x −的图象关于点()3,3中心对称，则下列说法正确的是（ ）A. ()()2f x f x =+ B. ()203f =C. ()()24f x f k x +=−，Z k ∈D.411()123k i f i k −==−∑，Z k ∈【答案】BCD 【解析】【分析】根据()21f x +是偶函数可得函数()f x 关于直线1x =对称，由()1f x −的图象关于点()3,3中心对称可得()f x 关于点(2,3)成中心对称，据此可推导出函数为周期函数，判断A ，再由函数的周期求出()20f 判断B ，由周期性及对称性可判断C ，由以上分析利用()()41411()4k ki i f i f i f k −===−∑∑求解可判断D.【详解】因为()21f x +是偶函数，所以(21)(21)f x f x −+=+，可得(1)(1)−+=+f x f x ，故()f x 关于直线1x =对称，因为()1f x −的图象关于点()3,3中心对称，所以()f x 关于点(2,3)成中心对称，所以(2)(2)6f x f x −++=，又由(1)(1)−+=+f x f x 可得()(2)f x f x −=+，所以(2)()6f x f x −+−=，即(2)()6f x f x ++=，所以(4)(2)6f x f x +++=， 两式相减可得(4)()0f x f x +−=，即(4)()f x f x +=，所以4T =，故A 错误； 由周期4T =，()20(4)(0)f f f ∴==，又(0)(4)6f f +=，所以(0)(4)3f f ==，即()203f =，故B 正确；由周期4T =，()4()f k x f x ∴−=−，Z k ∈，由()(2)f x f x −=+可得，()()24f x f k x +=−，Z k ∈，故C 正确；由上述分析可知(2)(4)3f f ==，又因为(1)(3)6f f +=， 所以(1)(2)(3)(4)12f f f f +++=，所以()()41411()4123k ki i f i f i f k k −===−=−∑∑， 故D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：当函数满足()()f a x f b x +=−时，函数()f x 关于直线2a bx +=对称， 当函数满足()()2f a x f b x c ++−=时，函数关于点,2a b c +成中心对称.12. 摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球.设=i A “第i 次摸到红球”，i B =“第i 次摸到黄球”，i C =“第i 次摸到蓝球”，i D =“摸完第i 次球后就停止摸球”，则（ ）A. ()329P D =B. ()41227P D A =C. ()11223n n n P D −−−=，3n ≥ D. ()312223n n n n n P D B C −−−−=，3n ≥【答案】ACD 【解析】【分析】AC 选项，求出n D 包含的事件数为()12322C n −−，从而得到()n P D ，并计算出()3P D ；B 选项，计算出()41227P D A =，()113P A =，利用条件概率公式计算出答案，D 选项，表达出()31223n n n n n P D B C −−−=，3n ≥，和()21233n n n n P B C −−−=，3n ≥，利用条件概率公式得到答案.【详解】AC 选项，n D =“摸完第n 次球后就停止摸球”，有放回的摸n 次，有3n 种可能，若恰好摸球n 次就停止摸球，则恰好第n 次三种颜色都被摸到，即前()1n −次摸到2种颜色，第n 次摸到第三种颜色，共()12322C n −−种情况，则()()1311222322C 3nn n nn P D −−−−==−，3n ≥，()23222239P D −==，AC 正确； B 选项，事件41D A 表示第一次摸到红球，摸到第4次，摸球结束，若第2次或第3次摸到的球为红球，此时有12A 种情况，不妨设第2次摸到的球为红球， 则第3次和第4次摸到的球为蓝球或黄球，有2种可能， 故有122A 4=种情况，若第2次和第3次都没有摸到红球，则第2次和第3次摸到的球颜色相同，第4次摸到的球和第2,3次摸到的球颜色不同，故有22A 2=种情况，故()41426n D A =+=，其中摸4次球可能得情况有4381=种情况，故()41761228P D A ==， 其中()113P A =，故()4129P D A =，B 错误； D 选项，12n n n D B C −−表示“第()2n −次摸到蓝球，第()1n −次摸到黄球，第n 次摸到红球，停止摸球”，则前()3n −次摸到的球时蓝球或红球，故有32n −种可能，故()31223n n n n n P D B C −−−=，3n ≥，12n n B C −−表示“在前n 次摸球中，第()2n −次摸到蓝球，第()1n −次摸到黄球”，故有23n −种可能， 故()21233n n n n P B C −−−=，3n ≥，则()312223n n n n n P D B C −−−−=，3n ≥，D 正确.故选：ACD【点睛】常见的条件概率处理方法，其一是用样本点数的比值处理，需要弄情况事件包含的样本点数，其二是用概率的比值处理，也可以缩小样本空间，从而确定概率，解决实际问题的关键在于分析情况基本事件.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数a ，b 满足25a bm ==且1112a b +=，则m ＝______. 【答案】100 【解析】【分析】根据指数与对数的互化公式，表示出,a b ，再结合换底公式表示出1112a b +=，最后结合对数运算即可求解【详解】由25a bm ==可得2511log ,log log 2,log 5m m a m b m a b==⇒==， 又1112a b +=，即1log 2log 5log 102m m m +==， 所以1210m =，即100m = 故答案为：10014. 现有一枚质地不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均正面朝上的概率为12，则随机抛掷它两次得到正面、反面朝上各一次的概率为______；若随机抛掷它10次得到正面朝上的次数为ξ，则()E ξ=______.（第一空2分，第二空3分） 【答案】 ①1##1−②. 【解析】【分析】p ，再由独立重复试验求出正面、反面朝上各一次的概率为，由二项分布的期望公式求期望.【详解】设这枚硬币正面朝上的概率为p ，反面朝上的概率为1p −， 则两次正面朝上的概率为212p =，解得p = ，所以随机抛掷两次得到正面，反面朝上各一次的概率为()12C 1211P p p =−=− . 由题易知随机变量ξ服从二项分布ξ~10B ，则()10E ξ=.1−；15. 已知函数()()ln 2e ,0234,0x a x f x x ax a x − −<= −++−≥ ，若()f x 有4个零点，则实数a 的范围是______..【答案】41,3【解析】【分析】由题可得方程()ln e x a −=与方程22340,0x ax a x −++−=≥各有两个根，对于前者转化为函数()()ln ex g x −=图象与直线y a =有两个交点，后者由判别式结合韦达定理可得a 范围，综合后可得答案.【详解】当0x <时，()()()ln ,1ln ln ,10x x x x x −≤− −= −−−<<，则函数()()()()ln ln ln e ,1e 1e,10x x x x x g x x x −−−− =−<− == =−−≤<在(),1−∞−上单调递减，在[)10−，上单调递增，据此可得()g x 大致图象如下，又()ln e x a −=方程的解的个数相当于函数()g x 图象与直线y a =交点个数，方程22340,0x ax a x −++−=≥最多2个根，()f x 有4个零点，则方程()ln e x a −=与方程22340,0x ax a x −++−=≥各有两个根.设方程22340,0x ax a x −++−=≥两根为12,x x ，则212121Δ41216041203430a a a a x x a x x a > +−>⇒<≤+=> =−≥ . 故答案为：41,3.【点睛】16. 已知平面向量a ，b ，()1,2i c i =满足22a b b ==⋅=，1i c a −= ，则()1222R c b c b λλλ−+−∈的最小值为______.【答案】3−##3−+【解析】【分析】求出向量,a b的模及夹角，记1122,,2,,2OA a OB b OB b OC c OC c λ=====′ ，得出对应点的轨迹，利用数形结合求最值.【详解】由||2||2a b b==⋅=，即21cos ,a b ×× ，所以π,4a b = ， 记1122,,2,,2OA a OB b OB b OC c OC c λ′=====，因为1i c a −=， 所以1C 在以A 为圆心，1为半径的圆上，2C 在以A ′为圆心，2为半径的圆上，其中(2,0),(4,0)A A ′，所以11222122222||||c B b c b c b c b C B C λλλλ−+−=−′+=′+−， 作A 关于直线l （OB所在直线）的对称圆，1C 的对称点记为3C ，知1(0,2)A ，则1232B C B C B C B C +=+′′′′，如图，由图可知，当132,,,,A C B C A ′′共线时，32||||C B C B ′′+存在最小值，因为111,2A A A A r r ′===′，所以32||||C B C B ′′+最小值为3.故答案为：3−【点睛】关键点点睛：利用向量的的几何表示，原问题转化为求32||||C B C B ′′+最小值，数形结合，利用共线线段最短得解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______，请从下列两个条件中任选一个填入上方的横线中作为已知条件，并解答本题（如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）：①sinsin 2B Cc a C +=；②)222ABC S b c a =+− ，（1）求A ；（2）若D 为边BC 上一点，且2CD AD BD ==，试判断ABC 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由. 【答案】（1）π3A =（2）直角三角形，理由见解析 【解析】【分析】（1）选①：利用诱导公式化简，再由正弦定理边化角，然后由二倍角公式化简可得；选②：根据面积公式和余弦定理列方程可解；（2）根据已知先得1233AD AB AC =+，然后平方，联立余弦定理求解可得2c b =，a ，然后可判断三角形形状. 【小问1详解】若选①：πsin sin cos 222B C A A c c c +−== ，cos sin 2A c a C ∴=，sin cos sin sin 2AC A C ∴=， ()0,π,sin 0C C ∈> ，cossin 2sin cos 222A A AA ∴==， π0,,cos 0222A A ∈>，1sin 22A ∴=， 所以π26A =，解得π3A =.若选②：)2222cos cos ABC S b c a bc A A =+−== ，1cos sin 2A bc A =， sin A A =，tan A ∴， 因为()0,πA ∈，故π3A =. 【小问2详解】 2CD BD AD == ，212,,333AD a CD a BD a ∴===且2BD DC = 22AD AB AC AD ∴−=−，即1233AD AB AC =+ ， 222144999AD AB AC AB AC ∴=++⋅，22241429999a cb bc ∴=++，即222442a c b bc =++①， 又由余弦定理得222a b c bc =+−②，联立①②可得2c b =，a ，从而222+=a b c ，故ABC 是直角三角形.18. 已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线π8x =对称，且()f x 在π0,6上没有最小值.（1）求()f x 的单调增区间；（2）已知函数()()log 242x a g x a a =−+（0a >且1a ≠），对任意1ππ,42x∈，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）)3πππ,πZ 88k k k−++∈（2）2a ≥或112a ≤<. 【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式化简，再由对称轴及在π0,6上没有最小值求出解析式，由正弦型函数的单调性求单调区间即可；（2）根据存在性及任意性问题转化为()()12max max f x g x ≤，分别利用三角函数及对数型函数的性质求最值，解不等式即可. 【小问1详解】()πsin cos 4f x x x x ωωω=++.()f x 的图象关于直线π8x =对称. ππππ,Z 842k k ω∴+=+∈，解得82,Z k k ω=+∈. 当π0,6x∈时，ππππ,4464x ωω+∈+ . ()f x 在π0,6上没有最小值.ππ3π642ω∴+≤，解得152ω≤.又0ω>，所以2ω=，所以()π24f x x=+.令()πππ2π22πZ 242k x k k −+≤+≤+∈， 解得()3ππππZ 88k x k k −+≤≤+∈. 所以()f x 的单调增区间为()3πππ,πZ 88k k k−++∈.【小问2详解】任意1ππ,42x∈，均存在[]20,2x ∈，使得()()12f x g x ≤. ()()12max max f x g x ∴≤.1ππ,42x ∈ .1π3π5π2,444x ∴+∈ .()m x 11a sin 1π24f x x∴ +≤≤=.又log ,242x a y t t a a ==−+ （0a >且1a ≠）单调性相同， ()()log 242x a g x a a ∴=−+在定义域上是增函数.()()()2max 2log 2421a g x g a a ∴==−+≥.21242a a a a > ∴ −+≥或2010242a a a a << <−+≤ 2a ∴≥或112a ≤<. 19. 航班正点率是指航空旅客运输部门在执行运输计划时，航班实际出发时间与计划出发时间较为一致的航班数量与全部航班数量的比率.人们常用航班正点率来衡量一个航空公司的运行效率和服务质量.现随机抽取10家航空公司，对其近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，得到数据如下：航空公司编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10航班正点率ix/% 82 7777 76 74 73 71 70 9169顾客投诉次数iy/次21 58 79 68 74 93 72 122 18 125 整理数据得：10153620i iix y=≈∑，102158150iix=≈∑，102164810iiy=≈∑，101760iix==∑，101730iiy==∑，70≈.（1）（i）证明：样本相关系数nnx yr=；（ii）根据以上数据计算样本相关系数（结果保留2位小数），并由此推断顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度（若0.81r≤≤，则认为线性相关程度很强；若0.30.8r≤<，则认为线性相关程度一般；若0.3r<，则认为线性相关程度很弱）.（2）用一元线性回归模型对上表中的样本数据进行拟合，得到顾客投诉次数关于航班正点率的经验回归方程为5y x a=−+.数，并希望一年内收到的顾客投诉不超过73次，试估计该公司的航班正点率应达到多少？参考公式：样本相关系数nx yr=【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）0.89−；顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度很强（2）76%.【解析】【分析】（1）（i）将()()1ni iix x y y=−−∑展开，结合平均数意义化简可得()()11n ni i i ii ix x y y x y nx y=−−=−∑∑，然后分别用,i x x,i x x替代,i y y，用,i y y分别替代,i x x可证；（ii）根据所给数据代入公式计算,然后可作出判断；（2）利用样本中心点求 a，然后根据回归方程解不等式可得. 【小问1详解】（i ）证明：()()()11ni iiini i i i x x x y x y x y y y x y ===+−−−−∑∑1111n n nni i i ii i i i x y x y x y x y =====−−+∑∑∑∑ 1111nnnniii ii i i i x y y x x y x y =====−−+∑∑∑∑1()()ni ii x y y nx x ny nx y ==−−+∑1ni ii x y nx y ==−∑，在上式中分别用,i x x 替代,i y y ，得()22211nni i i i x x x nx ==−=−∑∑，同理，也有()22211nni i i i y y y n y ==−=−∑∑，故样本相关系数nnx yr =.（ii ）可知10117610i i x x ===∑，10117310i i y y ===∑.10110536201076731860i i i x y x y =∴−≈−××=−∑，10222110581501076390ii xx =−≈−×=∑， 1022211064810107311520ii yy =−≈−×=∑，1010x y x yr−∴≈620.8970≈−≈−，故顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度很强.【小问2详解】557673453a x y =+=×+=令545373ˆyx =−+≤，得76x ≥. 即该公司的航班正点率应达到76%.20. 2023年4月23日是第28个“世界读书日”.为了倡导学生享受阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产权，立德中学举办了一次阅读知识竞赛.初赛中每支队伍均要参加两轮比赛，只有两轮比赛均通过的队伍才能晋级.现有甲、乙两队参赛，初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为34，乙队通过第一轮和第二轮的概率分别为35，23，且各队各轮比赛互不影响. （1）记甲、乙两队中晋级的队伍数量为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）经过激烈的比拼，甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军.决赛共有两道抢答题.第一题中，某支队伍若抢到并答对则加10分，若抢到但答错则对方加10分.第二题中，某支队伍若抢到并答对则加20分，若抢到但答错则对方加20分.最终得分高的队伍获胜.假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为12，且每一题答对的概率分别与初赛中通过对应轮次的概率相等.各队各题作答互不影响.已知甲队获得了冠军，计算第二题是由甲队抢到答题权的概率. 【答案】（1）分布列见解析，7780（2）57【解析】【分析】（1）设“甲队晋级”为事件M ，“乙队晋级”为事件N ，求得9()16P M =，2()5P N =，得到X 的可能取值为0,1,2，求得相应的概率，出分布列，结合期望的公式，即可求解；（2）记事件A = “甲队获得冠军”，B = “该题由甲队抢到答题权”，结合条件概率的公式，即可求解. 【小问1详解】解：设“甲队晋级”为事件M ，“乙队晋级”为事件N ， 可得339()4416P M =×=，322()535P N =×=，则随机变量X 的可能取值为0,1,2，可得()922101116580P X==−×−=；()92924111116516580P X==−×+×−=. ()929216540P X ==×=.所以随机变量X 的分布列为则期望()214197701280804080E X =×+×+×=. 【小问2详解】解：根据题意，设甲乙两队通过初赛的事件分布为12,A A ，可得12339322(),()4416535P A P A =×==×=， 即甲乙进入决赛的概率分别为916和25，记事件A = “甲队获得冠军”，B = “该题由甲队抢到答题权”， 可得()()()()()191393||21625160P A P B P A B P B P A B =+=×+×=， 又由()()()199()(|)()21632P AB P AB P B P B P A B P B =⋅==×=，故()()()9532|937160P AB P B A P A ===. 21. 如图，四面体ABCD 中，平面ABC⊥平面BCD ，AB AC ⊥，AB AC ==1CD =，（1）若AD AB ⊥，证明：CD ⊥平面ABC ；（2）设过直线AD 且与直线BC 平行的平面为α，当BD 与平面ABC 所成的角最大时，求平面α与平面BCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证得⊥AE 平面BCD ，进而得到AE CD ⊥，从而利用线面垂直的判定定理依次证得AB ⊥平面ACD ，CD ⊥平面ABC ；（2）先由题意推得BD 与平面ABC 所成的角最大时DF 的值，再推得平面α与平面BCD 的夹角的平面角为AGE ∠，从而在Rt AEG △中求得所求. 【小问1详解】过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD BC =，AE BC ⊥，AE ⊂平面ABC ，AE ∴⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，AE CD ∴⊥，AD AB ⊥ ，AB AC ⊥，AC AD A = ，AC AD ⊂ 平面ACD ，AB ∴⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ，AB CD ∴⊥，又,,AE AB A AE AB =⊂ 平面ABC ，故CD ⊥平面ABC .【小问2详解】过点D 作DF BC ⊥，垂足为F平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD BC =，DF BC ⊥，DF ⊂平面BCD ，DF ⊥∴平面ABC ，DBC ∴∠是BD 与平面ABC 所成的角，在ABC 中，ABAC ⊥，AB AC ==2BC =，故sin sin CD BC DBC BDC=∠∠，即12sin sin DBC BDC =∠∠，则1sin sin 2DBC BDC ∠=∠，∴当sin 1BDC ∠=，即CD BD ⊥时，sin DBC ∠最大，且最大值为12，此时π6DBC ∠=，BD =，DF =， 记l α= 平面BCD ，过点E 作EG l ⊥，垂足为G ，连接AG ，//BC α ，BC ⊂平面BCD ，l α= 平面BCD ，//l BC ∴，故平面ADG 就是平面α，AE 平面BCD ，AE l ∴⊥，EG l ⊥ ，EG AE E ∩=，,EG AE ⊂平面AGE ，l ∴⊥平面AGE ，又AG ⊂平面AGE ，l AG ∴⊥，AGE ∴∠是平面α与平面BCD 的夹角，则π02AGE <∠<， 又因为DF BC ⊥，//l BC ，所以//GE DF ，所以四边形DFEG 是平行四边形，故GE DF ==，则在Rt AEG △中，AG ， 所以平面α与平面BCD的夹角余弦值为cos GE AGE AG ∠=. .22. 已知()1f x x =+，()22g x x =+.定义{},min ,,a a b a b b b a ≤ =≤ ，设()()(){}min ,2m x f x t g x t =−−，R t ∈．（1）若3t =，（i ）画出函数()m x 的图象； （ii ）直接写出函数()m x 的单调区间；（2）定义区间(),A p q =的长度()L A q p =−.若()*12Nn B A A A n =∪∪∪∈ ，(1)i j A A i j n =∅≤<≤ ，则()1()ni i L B L A ==∑.设关于x 的不等式()m x t <的解集为D .是否存在t ，使得()6L D =？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（i ）作图见解析；（ii ）单调减区间为(),3−∞，()5,6，单调增区间为()3,5，()6,+∞ （2）存在，3t = 【解析】【分析】（1）（i ）3t =时，(){}2min 31,1238m x x x x =−+−+，求出方程221238x x x −=−+的根，即可画出()m x 的图象；（ii ）由()m x 的图象即可写出其单调区间； （2）由()min 1m x =得不等式()m x t <有解必要条件是1t >，再对t 的值分情况讨论即可. 【小问1详解】（i ）若3t =，则()31f x t x −=−+，()()222621238g x t x x x −=−+=−+.(){}2min 31,1238m x x x x ∴=−+−+. 令221238x x x −=−+， 得15=x ，28x =.故函数()m x 的图象如图所示.（ii ）由函数()m x 的图象可知()m x 的单调减区间为(),3−∞，()5,6， 单调增区间为()3,5，()6,+∞.- 【小问2详解】()min 1f x = ，()min 2g x =.()min 1m x ∴=. ∴不等式()m x t <有解的必要条件是1t >.①当12t <≤时，如图①所示，令()m x t <，即()f x t <，得()1,21D t =−.的()222L D t ∴=−≤，不符合题意.当2t >时，令()1x t g x −+=，得()2241410x t x t t −++++=解得1x =，2x =令11x t t −+=，得3t =.②当23t <≤时，如图②所示，()f x t <的解集为()1,21t −，()g x t <的解集为(2t t −+，此时()22L D t =−+. 令()6L D =，解得3t =.③当3t >时，如图③所示，2220t x t +−=+=< ，22t x ∴+< ，令()m x t <，得(1,2D t =.()21L D t ∴=+−.令()6L D =，解得3t =或174t =，均舍去. 综上所述，3t =..【点睛】思路点睛：本题考查了函数的新定义问题，对于第（2）小题，突破口是由()min 1m x =得不等式()m x t <有解的必要条件是1t >，再对t 与()f x 和()g x 的最小值进行分类讨论求解.。
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷 解析版
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（）A．B．C．D．2．气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是（）A．明天30%的地区不会下雨B．明天下雨的可能性较大C．明天70%的时间会下雨D．明天下雨是必然事件3．把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+4）2+1D．y＝（x﹣4）2+14．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A．3：2B．1：C．1：D．：5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（）A．18B．20C．25D．306．在4×5网格中，A，B，C为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝7．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．6π8．如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10°，此商场门前的台阶高出地1.53米，则斜坡的水平宽度AB至少需（）（精确到0.1米．参考值：sin10°＝0.7，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）A．8.5米B．8.8米C．8.3米D．9米9．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f（e，f 为常数）的图象的顶点分别为A、B，且相交于C（m，n）和D（m+8，n），若∠ACB＝90°，则a的值为（）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）如图，已知P（4，3）为∠α边上一点，则cosα＝．12．（5分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n10015020050080010006000到白球的次数m58961162954846013601摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.6010.600小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6；②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6．则这两个判断正确的是（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）．13．（5分）已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax ﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．14．（5分）如图，AB为⊙O的直径，＝2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB 于N，连接BM，则∠BMN的度数为．15．（5分）如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片，根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为．16．（5分）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连接AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：；②m＝（用含S1，S3的代数式表示m）．三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）计算求值：（1）已知，求的值；（2）2sin30°﹣tan60°•cos30°．18．（8分）如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC（正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件．（1）与△ABC有一公共角；（2）与△ABC相似但不全等．19．（8分）某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．（1）求小丽通过A通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）．20．（10分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．21．（10分）如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．（1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值；①a＝15；②a＝10．（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a的值．22．（10分）如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接P A，PB，分别交⊙O 于点C，D，＝．（1）求证：P A＝PB；（2）若∠P＝60°，＝3．△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），与y轴交于点C．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，作PM∥y轴交BC于M．①求证：△PQM∽△COA；②求线段PQ的长度的最大值．24．（14分）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求P A•AE的最大值．2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（）A．B．C．D．【分析】直接利用旋转的定义得出答案即可．【解答】解：根据旋转的定义，A，B，C中的三角形绕一点旋转一次不能得到另一三角形，不符合题意，选项D符合题意．故选：D．2．气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是（）A．明天30%的地区不会下雨B．明天下雨的可能性较大C．明天70%的时间会下雨D．明天下雨是必然事件【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．【解答】解：天气台预报明天下雨的概率为70%，说明明天下雨的可能性很大，故B正确．故选：B．3．把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+4）2+1D．y＝（x﹣4）2+1【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．【解答】解：把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为y＝（x﹣1+3）2﹣3+4，即y＝（x+2）2+1．故选：A．4．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A．3：2B．1：C．1：D．：【分析】设圆的半径是R，则可表示出两个多边形的边长，进而求解．【解答】解：设此圆的半径为R，它的内接正六边形的边长为R，则它的内接正方形的边长为R，内接正六边形和内接四边形的边长比为R：R＝1：．故选：C．5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（）A．18B．20C．25D．30【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后把已知条件代入计算即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴DF＝25．故选：C．6．在4×5网格中，A，B，C为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝【分析】根据网格构造直角三角形利用勾股定理可求出三角形ABC的三边的长，进而得出此三角形是等腰直角三角形，在利用特殊锐角三角函数值得出答案．【解答】解：由网格构造直角三角形可得，AB2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，∵AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴sin A＝sin45°＝，cos A＝cos45°＝，tan A＝tan45°＝1，∴选项D是正确的，故选：D．7．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．6π【分析】连接OB，求出∠BOD的度数，利用弧长公式求解即可．【解答】解：如图，连接OB．∵CD⊥AB，CD是直径，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝30°，∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠COB＝∠AOB＝60°，∴∠DOB＝180°﹣60°＝120°，∴的长＝＝2π，8．如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10°，此商场门前的台阶高出地1.53米，则斜坡的水平宽度AB至少需（）（精确到0.1米．参考值：sin10°＝0.7，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）A．8.5米B．8.8米C．8.3米D．9米【分析】根据坡度坡角定义即可求出结果．【解答】解：由于台阶共高出地面1.53米，斜坡的坡角不得超过10°，斜坡的水平宽度AB至少为AB＝≈8.5（米）．故选：A．9．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2【分析】分两种情形，利用相似多边形的性质求解即可．【解答】解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有＝，∴＝，可得3x＝2y，选项B符合题意，当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有＝，∴＝，推不出：x＝y或3x＝2y或x＝1，y＝2或x＝3，y＝2．故选项A，B，C，D都不满足条件，此种情形不存在．∴矩形ABCD∽矩形EFGH，可得3x＝2y，10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f（e，f 为常数）的图象的顶点分别为A、B，且相交于C（m，n）和D（m+8，n），若∠ACB＝90°，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】根据二次函数图象的性质，再结合二次函数图象，可以表达对称轴，并结合几何图形，利用相似三角形得出等量关系，建立等式，求解．【解答】解：∵C（m，n）和D（m+8，n），∴CD∥x轴，且二次函数的对称轴x＝m+4，∴AB⊥CD，∵点C，D在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f （e，f为常数）的图象上，∴y＝ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣m﹣8）+n，y＝（x﹣m）（x﹣m﹣8）+n，∴A（m+4，n﹣16a），B（m+4，n﹣8），设AB与CD的交点为E，则E（m+4，n），则CE＝4，AE＝﹣16a，BE＝8；在△ABC中，∠ACB＝90°，且AB⊥CD，则CE2＝AE•BE，∴42＝﹣16a×8，解得，．故选：C．二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）如图，已知P（4，3）为∠α边上一点，则cosα＝．【分析】过点P作x轴的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和锐角三角函数看求出答案．【解答】解：过点P（4，3）作PQ⊥x轴，垂足为Q，则PQ＝3，OQ＝4，在Rt△POQ中，OP＝＝＝5，所以cosα＝＝，故答案为：．12．（5分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000600058961162954846013601到白球的次数m0.580.640.580.590.6050.6010.600摸到白球的频率小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6；②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6．则这两个判断正确的是②（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）．【分析】根据题意和表格中的数据、概率的含义，可以判断①和②的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，若摸10000次，则频率不一定为0.6，可能为0.6，故①错误；由表格中的数据可以估计摸一次得白球的概率约为0.6，故②正确；故答案为：②．13．（5分）已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax ﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2．【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＜1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．【解答】解：∵y＝﹣ax2+2ax﹣1（a＞0），∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝1，∴A（4，y3）关于直线x＝1的对称点是（﹣2，y3），∵﹣2＜﹣1＜﹣0.5，∴y3＜y1＜y2，故答案为y3＜y1＜y2．14．（5分）如图，AB为⊙O的直径，＝2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB 于N，连接BM，则∠BMN的度数为45°．【分析】连接OM．想办法求出∠MNB，∠NBM，即可解决问题．【解答】解：连接OM．∵AB是直径，＝2，∴∠BOC＝×180°＝60°，∵＝，∴∠MOB＝∠COM＝30°，∵OM＝OB，∴∠B＝∠OMB＝（180°﹣30°）＝75°，∵OC∥MN，∴∠MNB＝∠COB＝60°，∴∠BMN＝180°﹣∠BNM﹣∠NBM＝180°﹣60°﹣75°＝45°，故答案为：45°．15．（5分）如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片，根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为．【分析】如图，由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求得△ADE的高，进而求得平行四边形的高，则问题可解．【解答】解：如图，作AM⊥BC于M，AM交DE于N．∵S△ABC＝BC•AM＝10，BC＝5，∴AM＝4．∵DE∥BC，AM⊥BC，∴△ADE∽△ABC，AM⊥DE，∴＝，即＝，∴AN＝，∴平行四边形DEGF的高MN＝AM﹣AN＝4﹣＝，∴平行四边形纸片的面积＝2×＝．故答案为：．16．（5分）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连接AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：S2＝（S1+S3）；②m＝．（用含S1，S3的代数式表示m）．【分析】①由题意可得：S1＝8S△AEH+S3，4S△AEH＝S2﹣S3，代入化简即可得到答案；②先证明△MLK∽△KEH，设AE＝x，PE＝y，结合四边形MNOP的面积为m，可得答案．【解答】解：①观察图像（2）可知，S1＝8S△AEH+S3，4S△AEH＝S2﹣S3，∴S1＝2（S2﹣S3）+S3，∴2S2＝S1+S3，∴S2＝（S1+S3），故答案为：S2＝（S1+S3）．②∵HE⊥EF，AK⊥HE，∴AK∥EF，同理：BL∥GF，DJ∥HE，CI∥GH，∴四边形MNOP是平行四边形，且△MKL≌△NLI≌△OIJ≌△PJK，∴MN∥GF∥EH，∴∠LMK＝∠EKH＝90°，∠MLK＝∠HEL，∴△MLK∽△KEH，∴＝＝，设AE＝x，PE＝y，则：＝＝，∴ML＝，MK＝＝LN，∴MN＝+＝，∴m＝MN2＝2＝，∵S1＝（x+y）2，S2＝x2+y2，S3＝（x﹣y）2，∴m＝＝＝．故答案为：．三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）计算求值：（1）已知，求的值；（2）2sin30°﹣tan60°•cos30°．【分析】（1）直接利用一个未知数表示出a，b，进而代入化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：（1）∵，∴设a＝3x，则b＝4x，∴＝＝﹣；（2）原式＝2×﹣×＝1﹣＝﹣．18．（8分）如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC（正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件．（1）与△ABC有一公共角；（2）与△ABC相似但不全等．【分析】根据网格即可画出满足两个条件的三角形．【解答】解：如图所示，△ADE和△ADB即为所求．19．（8分）某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．（1）求小丽通过A通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）．【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）小丽通过A通道进入校园的概率为；（2）列表如下：A B CA A，A B，A C，AB A，B B，B C，BC A，C B，C C，C由表可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小聪从两个不同通道进入校园的有6种可能，∴小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率为＝．20．（10分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．【分析】（1）过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB ＝∠BOG＝28°，再利用锐角三角函数即可解决问题；（2）根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度．【解答】解：（1）如图，过O作OG⊥BD于点G，∵AE⊥BD，∴OG∥AE，∵BO＝DO，∴OG平分∠BOD，∴∠BOG＝∠BOD＝×56°＝28°，∴∠EAB＝∠BOG＝28°，在Rt△ABE中，AB＝AO+BO＝70+80＝150（cm），∴AE＝AB•cos∠EAB＝150×cos28°≈150×0.88＝132（cm），答：点A离地面的高度AE约为132cm；（2）∵OG∥AE，∴∠EAB＝∠BOG，∵CF⊥BD，∴CF∥OG，∴∠DCF＝∠DOG，∵∠BOG＝∠DOG，∴∠BAE＝∠DCF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△CFD，∴＝，∴CF＝＝＝100（cm），答：C点离地面的高度CF为100cm．21．（10分）如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．（1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值；①a＝15；②a＝10．（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a的值．【分析】（1）设矩形的长为x米，则宽为米，由题意可知x≤a，设矩形的面积为S，根据题意用含x的式子表示出S，将其写成二次函数的顶点式，则可知其对称轴，然后分别对①a＝15；②a＝10计算求得相应的最大值即可．（2）令S＝67.5得关于x的一元二次方程，求得方程的解并结合由（1）的结论可得答案．【解答】解：（1）设矩形的长为x米，则宽为米，由题意可知x≤a，∴设矩形的面积为S，则S＝x×＝﹣x2+12x＝﹣（x﹣12）2+72，∵﹣＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝12，∴当0＜x≤12时，S随x的增大而增大，当x≥12时，S随x的增大而减小；①a＝15时，x≤a即x≤15；∴当x＝12时，S有最大值为72平方米；②a＝10时，x≤a即x≤10，∴当x＝10时，面积的最大值为﹣×（10﹣12）2+72＝70（平方米）．（2）令S＝67.5得：﹣（x﹣12）2+72＝67.5，解得x＝9或x＝15，由x≤a可知，当x＝15时，a≥15，由（1）知，此时矩形最大值在x＝12时取得，面积最大值为72平方米，故x＝15舍去．∴a＝9．22．（10分）如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接P A，PB，分别交⊙O 于点C，D，＝．（1）求证：P A＝PB；（2）若∠P＝60°，＝3．△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OA，OC，OD，OB，设OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP交⊙O 于E．证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），推出OM＝ON，再证明Rt△POM≌Rt△PON （HL），可得结论．（2）过点A作AJ⊥OC于J．设OA＝OB＝R，则AJ＝R，首先证明∠AOC＝30°，利用三角形的面积公式求出R，即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OA，OC，OD，OB，设OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP 交⊙O于E．∵＝，∴AC＝BD，∵OA＝OC＝OB＝OD，OM⊥AC，ON⊥BD，∴CM＝AM，BN＝DN，∠OMC＝∠OND＝90°，∴CM＝DN，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴OM＝ON，在Rt△POM和Rt△PON中，，∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），∴PM＝PN，∵AM＝BN，∴P A＝PB．（2）解：∵∠APB＝60°，∠PMO＝∠PNO＝90°，∴∠MON＝120°，∵△POM≌△PON，∴∠POM＝∠PON＝60°，∵＝3，∴∠COE＝3∠COM，∴∠COM＝15°，∴∠AOC＝2∠COM＝30°，过点A作AJ⊥OC于J．设OA＝OB＝R，则AJ＝R∴S△AOC＝9，∴•R••R＝9，∴R＝6，∴S阴＝S阴＝S阴﹣S△AOC＝﹣9＝3π﹣9．23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），与y轴交于点C．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，作PM∥y轴交BC于M．①求证：△PQM∽△COA；②求线段PQ的长度的最大值．【分析】（1）利用待定系数可求解析式；（2）先求出AB，AC，BC，由勾股定理的逆定理可求解；（3）①由平行线的性质可得∠ACB＝∠CQP＝∠PQM＝90°，∠PMQ＝∠BCO＝∠CAO，由相似三角形的判定定理可得△PQM∽△COA；②先求出BC解析式，设P（m，﹣m2+m+2），则点M（m，﹣m+2），由锐角三角函数可求PQ的长，由二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），∴，解得：，∴二次函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，∴点C（0，2），又∵点A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，AC＝＝＝，BC＝＝＝2，∵AB2＝25，AC2+BC2＝25，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）①∵∠ACB＝∠AOC＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°＝∠ACO+∠CAO，∴∠BCO＝∠CAO，∵PQ∥AC，PM∥y轴，∴∠ACB＝∠CQP＝∠PQM＝90°，∠PMQ＝∠BCO＝∠CAO，∴△PMQ∽△COA；②如图，延长PM交AB于H，∵∠PMQ＝∠BMH，∠PQM＝∠PHB＝90°，∴∠QPM＝∠CBA，∵B（4，0），点C（0，2），∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，设P（m，﹣m2+m+2），则点M（m，﹣m+2），∴PM＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣（m﹣2）2+2，∵cos∠CBA＝cos∠QPM，∴，∴＝，∴PQ＝﹣（m﹣2）2+，∴当m＝2时，PQ有最大值为．24．（14分）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求P A•AE的最大值．【分析】（1）①证明：如图1，连接PC，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得：∠PCB＝∠PBC，所以弦相等，弧相等，可得结论；②如图2，作辅助线，构建直径PG，根据垂径定理得：BG＝3，∠BOG＝∠BAC，最后由三角函数定义可得结论；（2）如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，根据勾股定理计算OG和PC的长，根据各角的关系证明∠APC＝∠E，则CE和PC的长相等，可得结论；（3）如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，证明△ACE∽△APB，列比例式得：P A•AE＝AC •AB，根据三角形面积公式得P A•AE＝S△ABC，由图形可知：点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，从而得结论．【解答】（1）①证明：如图1，连接PC，∵A、P、B、C四点内接于⊙O，∴∠P AF＝∠PBC，∵AP平分∠BAF，∴∠P AF＝∠BAP，∵∠BAP＝∠PCB，∴∠PCB＝∠PBC，∴PB＝PC，∴＝，∴点P为的中点；②解：如图2，过P作PG⊥BC于G，交BC于G，交⊙O于H，连接OB，∴，∴PH是直径，∵∠BPC＝∠BAC，∠BOG＝∠BPG＝∠BPC，∵OG⊥BC，∴BG＝BC＝3，Rt△BOG中，∵OB＝5，∴sin∠BAC＝sin∠BOG＝＝；（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG＝3，OC＝OP＝5，∴OG＝4，∴PG＝4+5＝9，∴PC＝＝＝3，设∠APC＝x，∵A是的中点，∴＝，∴∠ABC＝∠ABP＝x，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝2x，△PCE中，∠PCB＝∠CPE+∠E，∴∠E＝2x﹣x＝x＝∠CPE，∴CE＝PC＝3；（3）解：如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，∵∠ACE＝∠P，∠CAE＝∠P AF＝∠P AB，∴△ACE∽△APB，∴，∴P A•AE＝AC•AB，∵sin∠BAC＝，∴CQ＝AC•sin∠BAC＝AC，∴S△ABC＝AB•CQ＝，∴P A•AE＝S△ABC，∵△ABC为非锐角三角形，∴点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，此时P A•AE＝×＝80．。
2020-2021学年浙江省宁波市江北区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年浙江省宁波市江北区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．若3a＝2b，则的值为（）A．B．C．D．2．下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图所示的几何体的主视图为（）A．B．C．D．4．九年级（1）班与九年级（2）班准备举行拔河比赛，根据双方的实力，小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”下列四句话能正确反映其观点的是（）A．九年级（2）班肯定会输掉这场比赛B．九年级（1）班肯定会赢得这场比赛C．若进行10场比赛，九年级（1）班定会赢得8次D．九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则tan B的值是（）A．B．C．D．6．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°7．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表所示，下列说法正确的是（）x…013…y…131…A．a＞0B．x＞1时y随x的增大而减小C．y的最大值是3D．关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝28．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连接CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（）A．3B．4C．5D．69．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（）A．7.5＜OA＜8B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5C．＜OA＜7.5D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜10．如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（）A．4B．6C．8D．12二、填空题（共6小题）.11．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：抽取只数（只）50100150500100020001000050000合格频率0.820.830.820.830.840.840.840.84估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为．12．已知圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为cm2．13．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是．14．如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O切于点B，C．点P是上任意一点（点P与点B，C不重合），过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N．若AO＝13，BO＝5，则△AMN的周长为．15．如图，有一圆形木制艺术品，记为⊙O，其半径为12cm，在距离圆心8cm的点A处发生虫蛀，现需沿过点A的直线PQ将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ进行粘贴，则美化材料（即弦PQ的长）最少需要cm．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E在BC上，结AD，AE．记CD＝a，DE＝．＝EB＝b ，图中所有三角形中，若恰好存在两对相似三角形，则17．计算：20210+|﹣|﹣2sin60°．18．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角为10°，其高度AC为1.8cm，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3cm，那么木tan10°≈0.18，结果精确到0.1cm）桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，“病毒防疫”知识问答测试成绩频数分布统计表级别成绩（分）频数A95＜x≤22100B90＜x≤1895C85＜x≤90D80＜x≤853（1）本次共随机抽取了名学生，在频数分布统计表中，成绩是C级的频数是；（2）在扇形统计图中，成绩是B级的圆心角的度数是多少？（3）学校将从获得A级成绩里最好的4名学生中，任选2名参加“病毒防疫”宣讲，其中小江、小北恰在这4名选手中，请用列表法或画树状图法，求小江、小北两人同时被选中的概率．20．图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36°、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形．在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知△ABC相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母．21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣2，0），B （4，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出y＞0时，x的取值范围；（3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？22．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长线上取点D，使得DE＝DC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．23．扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场．某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为x 元，每天的销售量为y千克．（1）求每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式以及x的取值范围；（2）当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？24．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是，的中点，连接DE分别交AC，BC于点F，G．（1）求证：△DFC∽△CGE；（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；（3）如图2，连接AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．参考答案一、选择题（共10小题）.1．若3a＝2b，则的值为（）A．B．C．D．解：∵3a＝2b，∴＝．故选：C．2．下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．3．如图所示的几何体的主视图为（）A．B．C．D．解：从正面看所得的图形为，故选：C．4．九年级（1）班与九年级（2）班准备举行拔河比赛，根据双方的实力，小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”下列四句话能正确反映其观点的是（）A．九年级（2）班肯定会输掉这场比赛B．九年级（1）班肯定会赢得这场比赛C．若进行10场比赛，九年级（1）班定会赢得8次D．九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛解：∵小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”只能说明九年级（1）班获胜的可能性很大，∴九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛，故选：D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则tan B的值是（）A．B．C．D．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，则tan B＝＝＝．故选：A．6．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°解：如图，连接OB，∵∠C＝50°，∴∠AOB＝2∠C＝100°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝40°，则∠BAD的度数是40°．故选：A．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表所示，下列说法正确的是（）x…013…y…131…A．a＞0B．x＞1时y随x的增大而减小C．y的最大值是3D．关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝2解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，∴抛物线的开口向下，a＜0，故A错误；∵抛物线过点（0，1）和（3，1），∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴x＝对应的y的值最大，故C错误；∵抛物线开口向下，∴x＞时y随x的增大而减小，故B错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝，且抛物线经过点（1，3），∴点（1，3）关于对称轴的对称点为（2，3），∴关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝2，故D正确；故选：D．8．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连接CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（）A．3B．4C．5D．6解：∵，△COD的面积是2，∴△BOC的面积为4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝2+4＝6，∴△DOE∽△BOC，∴＝（）2＝，∴S△DOE＝1，∴四边形ABOE的面积＝6﹣1＝5，故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（）A．7.5＜OA＜8B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5C．＜OA＜7.5D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜解：∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，如图1，当⊙O过点A时，此时⊙O与△ABC的边恰有3个交点，此时OA＝2，当⊙O'过点B时，此时⊙O'与△ABC的边恰有3个交点，此时O'B＝2，则O'A＝8；如图2，当⊙O与AC相切于点E时，此时⊙O与△ABC的边恰有3个交点，连接OE，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AEO∽△ACB，∴，∴，∴AO＝，当⊙O'与BC相切于点F时，此时⊙O'与△ABC的边恰有3个交点，同理可求O'B＝2.5，∴O'A＝7.5，∴当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围为7.5＜OA＜8或2＜OA＜．故选：D．10．如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（）A．4B．6C．8D．12解：延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．∵AB是直径，∴∠ATB＝90°，∵∠APB＝120°，∴∠BPT＝60°，∴PT＝PB•cos60°＝PB，∵PA•PB＝2PA•PT＝2PC•PD＝2x•（4﹣x）＝﹣2（x﹣2）2+8，∵﹣2＜0，∴x＝2时，PA•PB的最大值为8，故选：C．二、填空题（每小题5分，共30分）11．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：50100150500100020001000050000抽取只数（只）合格频率0.820.830.820.830.840.840.840.84估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于0.84，∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．故答案为：0.84．12．已知圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为15πcm2．解：根据题意，圆锥的底面圆的半径＝＝3（cm），所以圆锥的侧面积＝×2π×3×5＝15π（cm2）．故答案为15π．13．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（1，3）．解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+3，∴该函数图象的顶点坐标为（1，3），故答案为：（1，3）．14．如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O切于点B，C．点P是上任意一点（点P与点B，C不重合），过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N．若AO＝13，BO＝5，则△AMN的周长为24．解：∵AB，AC分别与⊙O切于点B，C，∴AB＝AC，OB⊥AB，在Rt△AOB中，AB＝＝＝12，∵MN与⊙O相切于P，∴MB＝MP，NC＝NP，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MP+NP+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB＝2×12＝24．故答案为24．15．如图，有一圆形木制艺术品，记为⊙O，其半径为12cm，在距离圆心8cm的点A处发生虫蛀，现需沿过点A的直线PQ将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ进行粘贴，则美化材料（即弦PQ的长）最少需要8cm．解：如图，连接OA，过点A作弦P′Q′⊥OA，连接OQ′，此时P′Q′的值最小．在Rt△OAQ′中，AQ′＝＝＝4（cm），∵OA⊥P′Q′，∴AQ′＝AP′，∴P′Q′＝2AQ′＝8（cm），故答案为：8．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E在BC上，结AD，AE．记CD＝a，DE ＝EB＝b，图中所有三角形中，若恰好存在两对相似三角形，则＝或．解：∵恰好存在两对相似三角形，∴其中一对一定为△ADE∽△BDA，∴，∴AD2＝DE•BD＝b•2b＝2b2，第二对：①若△ACD∽△BCA，∴，∴AC2＝CD•CB＝a（a+2b），∵a2+AC2＝AD2，∴a2+a2+2ab＝2b2，即a2+2b﹣b2＝0，两边同除以b2，可得：，令m＝＞0，∴m2+m﹣1＝0，解得：（舍去），∴，②若△ACD∽△ECA，∴，∴AC2＝CE•CD＝a（a+b），∴AC2+a2＝AD2，∴a2+ab+a2＝2b2，∴，两边同除以b2，可得：，令n＝，∴，解得：（舍去），∴，综上所述，的值为或．故答案为：或．三、解答题（本题有8小题，共80分17．计算：20210+|﹣|﹣2sin60°．解：原式＝1+﹣2×＝1+﹣＝1．18．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角为10°，其高度AC为1.8cm，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3cm，那么木桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1cm）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则BC＝≈＝10（cm），∴BH＝BC﹣HC＝7（cm），在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则PH＝BH×tan∠ABC≈7×0.18≈1.3（cm），答：木桩上升了大约1.3厘米19．为进一步普及新冠病毒防疫知识，我区某校举行了“病毒防疫”知识问答测试，随机抽取一部分学生的成绩，将成绩绘制成统计图表：“病毒防疫”知识问答测试成绩频数分布统计表级别成绩（分）频数A95＜x≤10022B90＜x≤9518C85＜x≤90D80＜x≤853（1）本次共随机抽取了50名学生，在频数分布统计表中，成绩是C级的频数是7；（2）在扇形统计图中，成绩是B级的圆心角的度数是多少？（3）学校将从获得A级成绩里最好的4名学生中，任选2名参加“病毒防疫”宣讲，其中小江、小北恰在这4名选手中，请用列表法或画树状图法，求小江、小北两人同时被选中的概率．解：（1）本次共随机抽取了学生的人数为：3÷6%＝50（名），成绩是C级的频数是50﹣22﹣18﹣3＝7，故答案为：50，7；（2）在扇形统计图中，成绩是B级的圆心角的度数为：360°×＝129.6°；（3）把小江、小北分别记为A、B，其他2名学生记为C、D，画树状图如图：共有12个等可能的结果，小江、小北两人同时被选中的结果有2个，∴小江、小北两人同时被选中的概率为＝．20．图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36°、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形．在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知△ABC相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母．解：如图，△DEF，△GHQ，△MNP即为所求．图①中，∠EDF＝∠BAC＝36°，DE＝DF，AB＝AC；图②中，GH∥AB，HQ∥BC；图③中，∠BAC＝108°，AB＝AC．21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣2，0），B （4，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出y＞0时，x的取值范围；（3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8；（2）由图象知，当﹣2＜x＜4时，y＞0；（3）∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（1，9），∴把抛物线y＝﹣x2+2x+8向下平移9个单位，抛物线与x轴只有一个交点．22．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长线上取点D，使得DE＝DC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图1，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DCE＝∠AEO，∵OA⊥OE，∴∠A+∠AEO＝90°，∴∠DCE+∠A＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCE+∠ACO＝90°，∴OC⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，∵AC＝2，BC＝，∴AB＝＝＝5，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AOE，又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣＝，∵CD＝DE，∴CF＝CE＝，∠DEC＝∠DCE，∵∠DEC＝∠AEO，∠AEO＝∠B，∴∠DCE＝∠B，又∵∠DFC＝∠ACB，∴△DFC∽△ACB，∴，∴，∴DC＝．23．扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场．某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为x 元，每天的销售量为y千克．（1）求每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式以及x的取值范围；（2）当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？解：（1）由题意可得，y＝80+×10＝﹣20x+720，∵销售单价不低于批发价，∴24≤x≤32，即每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式是y＝﹣20x+720（24≤x≤32）；（2）设销售利润为w元，由题意可得，w＝（x﹣24）（﹣20x+720）＝﹣20（x﹣30）2+720，∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝720，即当销售单价为30元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为720元．24．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是，的中点，连接DE分别交AC，BC于点F，G．（1）求证：△DFC∽△CGE；（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；（3）如图2，连接AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．解：（1）∵点D是的中点，∴，∴∠ACD＝∠CED，∵点E是的中点，∴，∴∠CDE＝∠BCG，∴△DFC∽△CGE；（2）由（1）知，∠ACD＝∠CED，∠CDE＝∠BCG，∴∠ACD+∠CDE＝∠CED+∠BCG，∴∠CFG＝∠CGF，∵CF＝CG，∵∠ACB＝60°，∴△CFG是等边三角形，如图1，过点C作CH⊥FG于H，∴∠DHC＝90°，设FH＝a，∴∠FCH＝30°，∴FG＝CF＝2a，CH＝a，∵DF＝3，∴DH＝DF+FH＝3+a，∵∠GCE＝∠CDE，tan∠GCE＝，∴tan∠CDE＝，在Rt△CHD中，tan∠CDE＝＝，∴＝，∴a＝1，∴FG＝2a＝2；（3）如图2，连接AE，则∠AEB＝∠ACB＝60°，∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠ACD+∠CDF＝∠CFG＝60°，∴∠AEB＝∠DAE，∴BE∥AD，设BE与AD的距离为h，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE，∵D，E分别是，的中点，∴CD＝AD，BE＝CE，∴S△ABE＝•S△ADE，过点D作DM⊥AC于M，∵，∴AD＝CD，∴AC＝2CM，由（2）知，△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝60°，∴∠DFM＝60°，∴∠MDF＝30°，设MF＝m，则DM＝m，DF＝2m，∵＝x，∴CF＝x•DF＝2mx，∴CG＝CF＝2mx，由（1）知，△DFC∽△CGE，∴，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE＝S△ADE，∴S四边形ABED＝S△ADE+S△ABE＝S△ADE，∵MF＝m，CF＝x•DF＝2mx，∴CM＝MF+CF＝m+2mx＝（2x+1）m，∴AC＝2CM＝2（2x+1）m，∴AF＝AC﹣CF＝2（2x+1）m﹣2mx＝2（x+1）m，过点A作AN⊥DF于N，∴S△ADF＝AF•DM＝DF•AN，∴AN＝＝＝（x+1）m，过点C作CP⊥FG，由（2）知，PF＝CF＝mx，CP＝mx，∴y＝＝＝•＝•＝•＝•＝．。
浙江省宁波市九校2019-2020学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)
则 p
X 3
C43C428 C552
.
故选：C.
【点睛】本题考查求超几何分布的概率，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
( ) 5.函数 f x 1 x2 cos x 的导函数 f ¢ x 的图象大致是（ ）
2
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】 【分析】
( ) 求导得 f x x sin x ，进而对 f ¢ x 求导，判断其单调性，即可选出答案.
3 化成对数形式得： a
log9
3
log32
3
1 2
log3
3
1 2
；
故 lg b
a
1 2
化成指数形式得： b
1
102
10
.
故答案为： 1 ； 2
10 .
【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，是基础题.
12.二项式
x
2 x
6
的展开式中各项系数之和为_________；该展开式中的常数项为______________.（用
【
详
解
】
由
题
意
知 , f (0) 20 0 4 3 0 , f (1) 21 1 4 1 0 , f (2) 22 2 4 2 0 ,
f (3) 23 3 4 7 0 , f (4) 24 4 4 16 0 ,
因为 f (1) f (2) 0 ,所以 (1, 2) 是函数 f (x) 的零点所在的一个区间.
5
D 2 3 4D ，可求出答案.
【详解】由题意，设 P 1 p ，则 P 2 1 1 p 4 p ，
5
5
又
E
1 5