复数的四则运算(含答案解析)
复数的四则运算
1.复数z=的虚部为（）
A.-1
B.-3
C.1
D.2
2.已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2-4）i＞0，则=（）
A.i
B.1
C.-i
D.-1
3.已知a∈R，i为虚数单位，若（1-i）（a+i）为纯虚数，则a的值为（）
A.2
B.1
C.-2
D.-1
4.已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，
则a+b=（）
A.0
B.1
C.-1
D.2
5.计算=（）
A.-1
B.i
C.-i
D.1
6.已知i是虚数单位，，则|z|=（）
A. B.2 C. D.4
7.复数z满足z（2-i）=2+i（i为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限为（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8.若a=i+i2+…+i2013（i是虚数单位），则的值
为（）
A.i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i 9.设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数a的值为（）
A. B. C.3 D.-3
10.复数z满足（z+2i）i=1+i，则z=（）
A.1+3i
B.1-3i
C.-1+3i
D.-1-3i
11.已知复数z的实部为a（a＜0），虚部为1，模长为2，是z的共轭复数，则的值为（）
A. B.--i C.-+i D.-
12.设x，m均为复数，若x2=m，则称复数x是复数m 的平方根，那么复数3-4i（i是虚数单位）的平方根为（）
A.2-i或-2+i
B.2+i或-2-i
C.2-i或2+i
D.-2-i或-2+i
13.设i为虚数单位，则（）2014等于（）
A.21007i
B.-21007i
C.22014
D.-22014
14.已知复数z1=1+i，|z2|=3，z1z2是正实数，则复数z2= ______ ．
15.复数z=，i是虚数单位，则z2015= ______ ．
复数的四则运算答案和解析
1. B解：∵z==
，∴复数z=的虚部为-3．
2. A 解：∵m+（m2-4）i＞0，∴，解得：m=2．则=．
3. D 解：∵（1-i）（a+i）=1+a+（1-a）i为纯虚数，∴，解得：a=-1．
4. B解：∵=
，∴，解得
，
则a+b=1．
5. B解：=
．
6. C解：由，得，即|z|=
．
7. D解：∵z（2-i）=2+i，∴z（2-i）（2+i）=（2+i）（2+i），∴z=（3+4i），
则=-i在复平面内对应的点（，-）所在象
限为第四象限．
8. D解：因为i+i2+i3+i4=0，所以
a=i+i2+…+i2013=i．===-
=-=-1-i．
9. C解：==
，∵复数的实部与虚部是互为相反数，∴
，即a=3．
10. B解：由（z+2i）i=1+i，得
，∴z=1-3i．
11. D解：∵复数z的实部为a（a＜0），虚部为1，则复数z=a+i．又模长为2，∴，解得a=．
∴z=，．则=
=
．
12. A解：设z=x+yi，则（x+yi）2=3-4i，即x2-y2+2xyi=3-4i，∴，解得：或．
∴复数3-4i的平方根为2-i或-2+i．
13. A解：∵（）2=-2i，∴（）2014=（-2i）
1007=（-2）1007•i1007=21007i．
14. 解：设复数z2=a+bi（a，b∈R），z1z2=
，∵|z2|=3，z1z2是正实数，
∴，解得：．则复数z2=．故答案为：z2=．
15. 解：∵z==（1+i），∴z2=（1+2i+i2）=i，z3=z2•z=i•（1+i）=（-1+i），z4=（z2）2=-1，z5=z4•z=-（1+i），z6=z4•z2=-i，z7=z3•z4=（1-i），z8=z2•z6=1，z9=z•z8=（1+i），∴z t=z8k+t（k、t∈N*），∵2015=251×8+7，∴z2015=z7=（1-i），故答案为：（1-i）．。
复数的代数形式的四则运算
五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
i
4n
4. i的指数变化规律：
1,
i
4 n 1
i ,
i
4n4n2Fra bibliotek1 ,
4n2
i
4 n 3
i
i i
4 n 1
i
i
4 n 3
0, (n N )
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分 母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形 式(分母实数化).即
( 2 ) (2 i ) (2 3 i ) 4 i
(3 ) 5 (3 2 i )
(4) 4i (4i 4)
答案： (1) 2 + 2i
(2) 0
(3) 2 - 2i
(4) 4
练习: 1.计算 (2 3i )(2 3i )
13
2.已知 (3 i ) z 10 ,则 z _____. 3.已知 f ( x ) x 3 2 x 2 5 x 2 ,则 f (1 2i ) =_____.
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
3. i的指数变化规律：
i i
4n
4 n 1
3.2复数的四则运算(2)除法和乘方
共轭复数的简单性质：
z＋z＝_2_a_；z－z＝_2_b_i_；z z＝_a__2＋__b_2_
【类比推广】在实数中，除法运算是乘法的逆运算，
类似地，可以定义复数的除法运算：
复数除法定义: 把满足(c＋di)(x＋yi) =a＋bi (c＋di≠0)
位，则 z 等于 ( A )
A．－i B．i C．－1 D．1
解析 z＝1i ＝－i.
练习 2．复数1i＋－22i等于
( A)
A．i
B．－i
C．－45－35i
D．－45＋35i
【复数的乘方】
复数的乘方是相同复数的积。实数集R中正
整数指数幂的运算律,在复数集C中仍然成
立.即对任意的z，z1，z2∈C及m，n∈N*，
故选 A.
2.
复数
i2＋i3＋i4 1－i
等于
A．－12－12i B．－12＋12 i
【当堂检测】
C．12－12i
( C) D．12＋12i
i2＋i3＋i4 －1－i＋1 －i
解析
＝
＝
1－i
1－i 1－i
＝1－－ii1＋1＋ii＝－i2＋1＝12－12i.
【当堂检测】
3.计算：(1)(1－i)(－12＋ 23i)(1＋i)； (2)－1＋2 23＋3ii＋(1－2i)2 006.
i4n ＋ i4n1＋ i4n2 ＋ i4n3 ＝0，(n∈N*)．
例4 设 1 3 i, 求证:
22
⑴ 1 2 0;
(2) 3 1.
证明:
(1) 2 ( 1
2
3 i)2 1
2
4
3 i 3 1 242
复数的四则运算——高中数学湘教版(2019)必修二
2.两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.
微思考
in(n∈N+)有什么规律?
提示 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+),即in(n∈N+)是以4为周期的.
微练习
(1)(4-i)(3+2i)=
(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.
探究二
复数的乘法与除法运算
例 2 计算下列各题:
(1)(1-2i)(3+6i);(2)(5-2i)
6
(4)( 3-i) ;(5)
4+4i
2
(2-i)
;(6)
2-i
;(3)-4-3i ;
2
1+i 8
.
1-i
分析按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.
母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部
与虚部要完全分开的形式.
变式训练 2 计算下列各题:
(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)
1
2
+
3
i
2
3
2
+
1
i
2
(1+i);
(3)(-2+3i)÷(1+2i);
3+2i
(4)
2-3i
第3章
3.2
复数的四则运算
任何两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,
复数的四则运算
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式 (分母实数化).
例4.计算
1 2 i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i)(3 4i) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
1.对虚数单位i 的规定
① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、 乘法运算律不变.
2. 我们把形如a+b i(其中 a、b R )的数 称为 复数,
记作： z=a+bi， 其中a叫做复数 z的 虚部 实部 b叫做复数 的 . z 全体复数集记 C 为 .
、
2 3. 由于i2= (-i) = -1，知 i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i
→ 练习．在复平面内，点 A 对应的复数为 2＋3i，向量OB对 → 应的复数为－1＋2i，则向量BA对应的复数为( A．1＋5i C．－3－i B．3＋i D．1＋i )
→ → → 【解析】 ∵BA＝OA－OB，
→ 对应的复数为(2＋3i) －( －1＋2i) ＝(2＋1) ＋(3－2)i ∴BA ＝3＋i.故选 B.
;
一般地，a(a>0)的平方根为 a 、 - a (a>0)的平方根为 a i
小数 实数 (b=0) 有理数 分数 正分数 零
负分数
无理数 不循环小数
4. 复数z=a+bi
(a、bR) 虚数 (b0)
特别的当 a=0 时 纯虚数
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
第8讲 复数的四则运算 (解析版)
第8讲 复数的四则运算一、考点梳理考点1 复数的加减法、乘法运算设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .几个常用结论（1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=-，（3）()()22b a bi a bi a +=-+例1．（1）设i 是虚数单位，复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，那么z 1+z 2＝（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i【分析】利用复数的加法运算即可求解．【解答】解：∵复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，∴z 1+z 2＝2﹣i ，故选：A ．（2）复数（2+i ）2＝（ ）A ．4﹣3iB ．3﹣4iC ．4+3iD ．3+4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：因为（2+i ）2＝3+4i ，故选：D ．（3）设z ＝i 3+1（i 是虚数单位），是z 的共轭复数，则﹣z 2＝（ ）A ．3﹣iB ．1+3iC ．﹣1﹣iD ．1﹣2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：z ＝i 3+1＝﹣i +1，∴＝1+i，∴﹣z2＝1+i﹣（1﹣i）2＝1+i﹣1+2i﹣i2＝1+3i，故选：B．（4）已知复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，则z1•z2虚部为（）A．﹣4B．4C．3D．3i【分析】利用复数的四则运算求出z1•z2，然后由复数的定义即可得到答案．【解答】解：因为复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，所以z1•z2＝（2+i）（﹣1+2i）＝﹣2+4i﹣i+2i2＝﹣2+3i﹣2＝﹣4+3i，由复数的定义可知，z1•z2虚部为3．故选：C．（5）已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（）A．2﹣i B．﹣4C．2D．4【分析】由题意利用实系数一元二次方程虚根成对定理，韦达定理，求得实数a．【解答】解：∵已知z＝2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2﹣i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2+i+（2﹣i）＝﹣a，解得a＝﹣4，故选：B．【变式训练1】．若（1+i）+（2﹣3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2B．3，2C．3，﹣3D．﹣1，4【分析】由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a，b的值．【解答】解：由（1+i）+（2﹣3i）＝3﹣2i＝a+bi，得a＝3，b＝﹣2．故选：A．【变式训练2】．（1﹣i）（4+i）＝（）A．3+5i B．3﹣5i C．5+3i D．5﹣3i【分析】根据复数代数形式的运算法则，计算即可．【解答】解：（1﹣i）（4+i）＝1×4+1×i﹣i×4﹣i2＝5﹣3i．故选：D．【变式训练3】．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】由Z＝1+i，得到Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝﹣1+i，再求出|Z2﹣Z|．【解答】解：∵Z＝1+i，∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，∴|Z2﹣Z|＝＝．故选：C．【变式训练4】．若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，实数m＝（）A．1B．0C．0或1D．1或﹣1【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，∴m（m﹣1）＝0，m﹣1≠0，∴m＝0，故选：B．【变式训练5】．若2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【分析】题目给出的是实系数一元二次方程，2﹣i是该方程的一个虚根，则方程的另一个根为2+i，则根据韦达定理即可求出．【解答】解：因为2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，根据实系数方程虚根成对原理知，方程x 2+ax +b ＝0的另一根为2+i ，根据韦达定理得2﹣i +2+i ＝﹣a ，（2+i ）（2﹣i ）＝b ，∴a ＝﹣4，b ＝5，∴a +b ＝1，故选：A ．考点2 复数的除法运算复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 几个常用结论（1）i i -=1， （2） i ii =-+11 ， （3） i i i -=+-11 例2．（1）复数＝（ ）A ．﹣2﹣9iB ．C ．﹣D ． 【分析】利用复数除法的运算法则，分子分母同乘以分母的共轭复数，即可求出所求．【解答】解：＝， 故选：C ．（2）复数（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i B ．﹣i C ．1+iD ．1﹣i 【分析】利用复数的运算法则求出复数＝i ，由此能求出复数（i 为虚数单位）的共轭复数． 【解答】解：复数＝＝＝＝i ，∴复数（i 为虚数单位）的共轭复数为﹣i ． 故选：B ．（3）设z ＝+i ，则|z |＝（ ） A ． B ． C ． D ．2【分析】先求z ，再利用求模的公式求出|z |．【解答】解：z＝+i＝+i＝．故|z|＝＝．故选：B．（4）＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝．故选：D．【变式训练1】．＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．【解答】解：＝＝＝2﹣i，故选：D．【变式训练2】．已知z＝，则＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i【分析】先根据复数除法的运算法则进行化简，然后根据复数的共轭复数的定义进行求解即可．【解答】解：z＝＝，所以＝﹣1﹣3i，故选：D．【变式训练3】．设i是虚数单位，则复数i3﹣＝（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i【分析】通分得出，利用i的性质运算即可．【解答】解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣，∴＝＝＝i，故选：C．【变式训练4】．复数（）2＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．【解答】解：（）2＝[]2＝（1﹣2i）2＝﹣3﹣4i．故选：A．考点3 解方程例3．（1）已知＝1+i（i为虚数单位），则复数z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知＝1+i（i为虚数单位），∴z＝＝＝﹣1﹣i，故选：D．（2）已知，则复数z＝（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：，∴＝（1+i）（2+i）＝1+3i．则复数z＝1﹣3i．故选：A．（3）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．【解答】解：复数z满足2z+＝3﹣2i，设z＝a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i．解得a＝1，b＝﹣2．z＝1﹣2i．故选：B．（4）已知＝b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b＝（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i＝bi﹣1，所以由复数相等的意义知a＝﹣1，b＝2，所以a+b＝1另解：由得﹣ai+2＝b+i（a，b∈R），则﹣a＝1，b＝2，a+b＝1．故选：B．（5）若i（x+yi）＝3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x＝4，y＝﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．【解答】解：∵i（x+yi）＝xi﹣y＝3+4i，x，y∈R，∴x＝4，﹣y＝3，即x＝4，y＝﹣3．∴|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．故选：D．【变式训练1】．若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用复数的运算法则求解即可．【解答】解：由z（1+i）＝2i，得z＝＝1+i．故选：D．【变式训练2】．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：＝i，则＝i（1﹣i）＝1+i，可得z＝1﹣i．故选：A．【变式训练3】．若复数z满足3z+＝1+i，其中i是虚数单位，则z＝．【分析】设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），又3z+＝1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）＝1+i，化为4a+2bi＝1+i，∴4a＝1，2b＝1，解得a＝，b＝．∴z＝．故答案为：．【变式训练4】．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）＝bi，则a+bi＝1+2i．【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．【解答】解：因为（a+i）（1+i）＝bi，所以a﹣1+（a+1）i＝bi，所以，解得a＝1，b＝2，所以a+bi＝1+2i．故答案为：1+2i．【变式训练5】．若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【分析】由题意可得z＝＝，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z 的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝+i，故z的虚部等于，故选：D．二、课堂检测1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．【解答】解：A．i（1+i）2＝i•2i＝﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2＝2i为纯虚数．D．i（1+i）＝i﹣1不是纯虚数．故选：C．2．设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）A．1B．C．D．2【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，∴x+xi＝1+yi，即，解得，即|x+yi|＝|1+i|＝，故选：B．3．若z＝4+3i，则＝（）A．1B．﹣1C．+i D．﹣i【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z＝4+3i，则＝＝＝﹣i．故选：D．4．＝（）A．i B．C．D．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：＝＝+．故选：D．5．若z＝1+2i，则＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z＝1+2i，则＝＝＝i．故选：C．6．（多选）设复数z满足＝i，则下列说法错误的是（）A．z为纯虚数B．z的虚部为﹣iC．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝【分析】利用复数的运算法则化简z，再利用有关知识即可判断出正误．【解答】解：复数z满足＝i，∴z＝＝＝﹣﹣i，则z不是纯虚数，虚部为﹣，在复平面内，z对应的点位于第三象限，|z|＝＝．故说法错误的是ABC．故选：ABC．7．（多选）设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2【分析】利用复数的模的有关性质和运算，结合共轭复数的概念对各个选项逐一分析判断即可．【解答】解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故选项B正确；当＝z3时，则，所以＝，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则，可得，所以，故选项D错误．故选：BC．8．计算：（2+7i）﹣|﹣3+4i|+|5﹣12i|+3﹣8i＝13﹣i．【分析】根据复数的基本运算法则和复数模长的定义进行化简即可．【解答】解：原式＝2+7i﹣5+13+3﹣8i＝13﹣i，故答案为：13﹣i．9．已知复数z满足1+2zi＝i，其中i是虚数单位，则|z|＝．【分析】先化简复数z，再直接求模即可．【解答】解：依题意，，故．故答案为：．10．设复数z满足＝|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z＝﹣i．【分析】利用复数模的计算公式、共轭复数的定义即可得出结论．【解答】解：复数z满足＝|1﹣i|+i＝+i＝+i，则复数z＝﹣i，故答案为：﹣i．11．已知复数在z1＝a+i，z2＝1﹣i，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求z1•的值：（Ⅱ）若z1﹣z2是纯虚数，求a的值；（Ⅲ）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）把a＝1代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（Ⅱ）利用复数代数形式的减法运算化简，再由实部为0求解；（Ⅲ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，z1•＝（1+i）（1+i）＝1+i+i﹣1＝2i；（Ⅱ）由z1﹣z2＝（a+i）﹣（1﹣i）＝a﹣1+2i是纯虚数，得a﹣1＝0，即a＝1；（Ⅲ）由＝在复平面上对应的点在第二象限，得，即﹣1＜a＜1．12．已知：复数z＝（1+i）2+，其中i为虚数单位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求实数a，b的值．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解；（2）把z代入z2+a，整理后利用复数相等的条件列式求解．【解答】解：（1）∵，∴；（2）由z2+a，得：（﹣1+3i）2+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i，即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i，∴，解得．。
2025新高考数学计算题型精练专题05 复数的四则运算(解析版)
2025新高考数学计算题型精练复数的四则运算1．34i i +的共轭复数为（）．A ．1i +B ．1i-C ．1i-+D ．1i--【答案】A【详解】因为34i i 1i +=-，则其共轭复数为1i +．故选:A 2．若22i i 1i z +=+，则z =（）A ．13i22+B ．13i22-C ．13i22-+D ．13i22--【答案】B 【详解】因为2i 1(2i 1)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z ---+====+++-，所以13i 22z =-．故选：B 3．已知i i z z +=，则z =（）A2B ．0C ．12D ．1【答案】A【详解】设i z a b =+，则()21i i i i a b a b b a ++=+=-+，故1a b b a =-⎧⎨+=⎩，解之得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2z ==.故选:A 4．已知i1i z=+（其中i 为虚数单位），若z 是z 的共轭复数，则z z -=（）A ．1-B ．1C ．i-D ．i【答案】D 【详解】由i 1i z=+，则()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z -+===++-，则1i 2z -=，所以i z z -=．故选：D ．5．543i=-（）A ．43i-+B ．43i +C ．43i55-+D ．43i55+【答案】D【详解】()()()()543i 543i 543i 43i 43i 43i 2555++===+--+.故选：D 6．若复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =（）A ．2BC ．3D ．5【答案】D【详解】()43i i 43i 4i 3i 43i 34i i i i 1z z +⋅+-⋅=+∴====-⋅- ，，5z ∴=.故选：D.7．若a 为实数，且7i2i 3ia +=-+，则=a （）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】C【详解】由题意得，()()2i 3i 7i1iia -+--===-，故选：C ．8．2(1=（）A ．2+B ．2-C ．2-+D ．2--【答案】C【详解】22(113i 2+=++=-+；故选：C.9．已知复数3i2i 12iz +=++，则z =（）A ．1BC ．2D ．【答案】B【详解】因为()()3i 12i 3i2i 2i 1i 2i 1i 12i 5z +-+=+=+=-+=++，所以z =．故选:B10．()1i 1z -=，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i-【答案】B【详解】()1i 12z -=-= ，()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z ++∴====+--+，1i z ∴=-.故选：B.11．设11iz =+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．1D ．0【详解】由题意可得11i 11i 1i 222z -===-+，则11i 22z =+，所以1111i i i 2222z z ⎛⎫⎛⎫-=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A12．已知i 为虚数单位，复数13i2iz -=+，则z =（）A ．2BC D【答案】C 【详解】()()()()13i 2i 13i 17i 17i 2i 2i 2i 555z -----====--++-，则z =故选：C.13．已知i 为虚数单位，复数z满足(13i)i z =，则z =（）A ．i -B iC 1i2D 1i 2【答案】D【详解】依题意，2i 1i422z -===-，所以1i 22z =+.故选：D 14．若复数()43i i z =-，则z =（）A ．25B ．20C ．10D ．5【答案】D【详解】因为()43i i 34i z =-=+，所以5z ==，故选:D.15．设复数z 满足()1i 4z -=，则z =（）A ．B ．1C D ．2【答案】A【详解】由()1i 4z -=，得()()()41i 444i 22i 1i 1i 1i 2z ⨯++====+--⨯+，所以z ==故选：A.16．已知复数()()()1i 2i z a a =-+∈R 在复平面对应的点在实轴上，则=a （）A ．12B ．12-C ．2D ．-2【详解】依题意，()()()()1i 2i 22i z a a a =-+=++-，因为复数z 在复平面对应的点在实轴上，所以20a -=，解得2a =.故选：C.17．已知复数z 满足(1)(23i)32i z --=+，则z =（）A ．0B ．iC ．1i-+D ．1i+【答案】D【详解】∵(1)(23i)32i z --=+，∴()()()()32i 23i 32i 13i1111i 23i 23i 23i 49z +++=+==+=+--++，故选：D.18．若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则z =（）A ．2i --B ．2i-+C ．2i+D ．2i-【答案】B【详解】由已知可得，12i 2i i z -==--，从而2i z =-+.故选：B.19．设i 为虚数单位，若复数z 满足3i i 1iz -=-，则z 的虚部为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【详解】由()()()()3i 1i 3i 42i2i i 1i 1i 1i 2z -+-+====+--+，则2i 1z =-，所以z 的虚部为2．故选：D ．20．已知复数z 满足(2i)24i z +=-，则z 的虚部为（）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2【答案】C 【详解】()()()()24i 2i 24i 10i2i 2i 2i 2i 5z ----====-++-，故虚部为2-.故选：C 21．已知i 12iz=-，i 为虚数单位，则z =（）A ．2i -+B ．2i-C ．2i+D ．2i--【答案】C 【详解】因为i 12iz=-，则()i i 122i z =-=+.故选：C.22．已知复数z 满足()()1i 2i 2i z --=，则z 的虚部为（）A ．1-B ．i-C ．3D ．3i【答案】C【详解】因为()()()2i 1i 2i2i 2i i 12i 13i 1i 1i 1i z +=+=+=-+=-+--+，所以z 的虚部为3，故选：C.23．已知复数()i z a a =+∈R 满足5z z ⋅=，则a 的值为（）A B ．2C ．D ．2±【答案】D【详解】因为i z a =+，所以2(i)(i)15z z a a a ⋅=+-=+=，解得2a =±，故选：D 24．已知复数z 是方程2220x x +=-的一个根，则z =（）A ．1B ．2C D【答案】C【详解】因为方程2220x x +=-是实系数方程，且()224240∆=--⨯=-<，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即22i1i 2z ±==±，所以z ==故选：C 25．若复数()2iR 2ia z a -=∈+是纯虚数，则=a （）A ．-2B ．2C ．-1D ．1【答案】D【详解】由题意设i z b =（0b ≠），2ii 2ia zb -==+，即()2i i 2i 2i a b b b -=+=-+，则22a b b =-⎧⎨=-⎩，解得：1,1a b ==-.故选：D 26．已知复数z 满足()1i 3i z +=-，则复数z =（）A ．2BC ．D【答案】B【详解】因为()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ----====-++-，因此，z ==故选：B.27．已知复数1i 22z =+，则3z =（）A ．34B C ．1D 【答案】C【详解】法一：由复数乘法运算得231111i i i i =i 22222222z ⎫⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则31z =，法二：由1||12z ==，则31z =，故选：C 28．已知复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =___________．【答案】5【详解】由i 43i z ⋅=+得2243i 4i 3i 4i 334i i i 1z ++-====--，因为5z ==，所以5z z ==，故答案为：5．29．3ii+=______【答案】13i -【详解】()23i i3i 13i i i ++==-.故答案为：13i -30．复数z 满足26i z z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为___________.【答案】-1【详解】令i z a b =+，则i z a b =-，所以()()22i i 3i=6i z z a b a b a b +=++-=+-，故z 的虚部为1-.故答案为：-1.31．设复数z 满足()1i 2i z +=（i 为虚数单位），则z =____________．【答案】1i+【详解】∵()1i 2i z +=，则()()()i 1i ii i i i 221111z -===+++-.故答案为：1i +.32．复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，则12z z +=________.【答案】3i -/-i+3【详解】因为复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，所以12i z =+，212i z =-，所以123i z z +=-，故答案为：3i -.33．若复数21iz =+（i 为虚数单位），则i z -=___________.【详解】()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，所以i 12i z -=-==.故答案34．若复数z 满足(1i)12i z -=+（i 是虚数单位），则复数z =_____________．【答案】13i 22-+．【详解】由(1i)12i z -=+可得()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222z +++-+===--+--+.故答案为：13i 22-+.35．若()12i 1z +=，则()1i z +=______【答案】62i55-【详解】因为()12i 12z +===，所以()212i 224i 12i 145z --===++，故()()24i 22i 4i 4621i 1i i 5555z -+-++=⨯+==-.故答案为：62i 55-.36．若复数z 满足2136i z -=+（其中i 是虚数单位），则z =______.【答案】23i-【详解】由2136i z -=+，得246i z =+，∴23i z =+，则23i z =-．故答案为：23i -．37．已知复数i 12i 2iz=-++，则z 的虚部为______．【答案】4-【详解】解：由题意得(12i)(2i)(43i)i34i i i iz -++-+===+⋅，则34i z =-，所以z 的虚部为－4，故答案为：-438．已知复数z 满足210z z ++=，则z z ⋅=_____________.【答案】1【详解】因为22131024z z z ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即2213i 242z ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，12z =-或1i 22z =-+，若12z =-，则122z =-+，则111312244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若1i 22z =-+，则12z =-，则1113i 1222244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，1z z ⋅=.故答案为：1.39．已知复数z 满足()1i i z -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____________．【答案】12/0.5【详解】由()1i i z -=得：()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+，z ∴的虚部为12.故答案为：12.40．在复平面内，复数z 所对应的点为(1,1)，则z z ⋅=___________．【答案】2【详解】由题意可知1i z =+，所以()()1i 1i 2z z ⋅=+-=，故答案为：241．已知复数z 满足()12i |43i |z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为___________.【答案】12i+【详解】由()12i 43i 5z +=-==，得()()()()2512i 512i 512i 12i 12i 12i 14i z --====-++--，则复数z 的共轭复数为12i z =+；故答案为：12i +42．复数312i3i ++的值是_____________．【答案】17i 1010+【详解】解：312i 12i (12i)(3i)17i 17i 3i 3i 10101010+++++====++-．故答案为：17i 1010+.。
第五章 §2 复数的四则运算
§2复数的四则运算学习目标1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．知识点一复数代数形式的加减法思考类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.梳理(1)运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．知识点二复数的乘法及其运算律思考怎样进行复数的乘法运算？答案两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有知识点三共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即当z＝a＋b i时，z＝a－b i.知识点四复数的除法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R，z2≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)．1．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(√) 2．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．(√)3．两个共轭复数的和与积是实数．(√)4．若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.(×)类型一 复数的加法、减法运算例1 (1)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，复数z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________.(2)已知复数z 满足|z |i ＋z ＝1＋3i ，则z ＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)－1 (2)1＋43i 解析 (1)z 1＋z 2＝(2＋i)＋(3＋a i)＝5＋(a ＋1)i ，由题意得a ＋1＝0，则a ＝－1.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |i ＋z ＝x 2＋y 2i ＋x ＋y i ＝x ＋(x 2＋y 2＋y )i＝1＋3i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x 2＋y 2＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝43，∴z ＝1＋43i. 反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． 跟踪训练1 (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________.(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝________(a ，b ∈R )．(3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋i ，则z ＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i (3)i解析 (1)∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i.(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.(3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |＋z ＝(x 2＋y 2＋x )＋y i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1， ∴z ＝i.类型二 复数代数形式的乘除运算例2 计算：(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i； (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i＝7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i ) ＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i. 反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．跟踪训练2 计算：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i； (3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i＝i (2－3i )2－3i ＋－i (2＋3i )2＋3i＝i －i ＝0.(3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i＝1－3i －2＋i ＝(1－3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i ) ＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i 5＝－1＋i. 类型三 i 的运算性质例3 计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i 2 017.考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质 解 (1)原式＝2(1＋i )－2i＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008 ＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i 4×252＝i －1＋1＝i.(2)方法一 原式＝i (1－i 2 017)1－i ＝i －i 2 0181－i ＝i －(i 4)504·i 21－i＝i ＋11－i ＝(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i. 方法二 因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N ＋)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＋i 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N ＋)．(2)记住以下结果，可提高运算速度．①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i.③1i＝－i. 跟踪训练3 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 018＝________. 考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质答案 －1解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 018＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i ) 2 018＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 018 ＝i 2 018＝(i 4)504·i 2＝1504·i 2＝－1.(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质解 设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，①所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，②①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i (1－i 100)1－i －100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－100(－1＋i )2 ＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.类型四 共轭复数及其应用例4 把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z .考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.引申探究若将本例条件改为z (z ＋2)＝4＋3i ，求z .解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．则z ＝x －y i ，由题意知，(x －y i)(x ＋y i ＋2)＝4＋3i.得⎩⎪⎨⎪⎧x (2＋x )＋y 2＝4，xy －y (x ＋2)＝3， 解得⎩⎨⎧ x ＝－1－112，y ＝－32或⎩⎨⎧ x ＝－1＋112，y ＝－32， 所以z ＝⎝⎛⎭⎫－1－112－32i 或z ＝⎝⎛⎭⎫－1＋112－32i. 反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．跟踪训练4 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i.1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 D解析 ∵z 1－z 2＝5－7i ，∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第四象限．2．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数答案 A解析 z ＝1i ＝－i.3．若z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则z|z |等于( )A ．1B ．－1C.45＋35iD.45－35i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析z＝4＋3i，|z|＝5，z|z|＝45－35i.4．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ＝2i 31＋i，则z ＝________. 考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 －1＋i解析 z ＝2i 31＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ， 所以z ＝－1＋i.5．已知复数z 满足：z ·z ＋2z i ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合问题解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1， ∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．3．复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.一、选择题1．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 B解析 ∵z ＋(3－4i)＝1，∴z ＝－2＋4i ，故z 的虚部是4.2．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34－i C ．－34－i D.34＋i 考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋|z |＝(a ＋a 2＋b 2)＋b i ＝2＋i ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1， ∴z ＝34＋i.3．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于()A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋i考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数答案 C解析由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.4．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 等于( )A ．6B ．－6C ．0 D.16考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 ∵z 1z 2＝3－b i1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3＋2b ＋(6－b )i 5是实数，∴6－b ＝0，∴实数b 的值为6，故选A.5．已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z1＋i 的点是()A ．MB ．NC ．PD ．Q考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 D解析 由图可知z ＝3＋i ，所以复数z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i)(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i 表示的点是Q (2，－1)．故选D.6．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |等于( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数答案 A解析 由1＋z 1－z＝i ， 得z ＝－1＋i 1＋i＝(－1＋i )(1－i )2＝2i 2＝i ， ∴|z |＝|i|＝1.7．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z 等于( )A ．1±3iB ．3±iC ．3＋iD ．3－i考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合问题答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i. 8．计算(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i 1＋2i的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2i D ．i考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 原式＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3＋(－2＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－1＋3i )3(2i )3＋－2＋4i ＋i ＋25＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i (－i )i＋i ＝2i.二、填空题9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________． 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 10．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i(i 是虚数单位)，|z |＝________.考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数答案 1解析 因为(3－4i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 3－4i ＝(4＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25i 25＝i. 则|z |＝1.11．定义一种运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc .则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i 的共轭复数是________．考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 －1－3i解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i ， ∴其共轭复数为－1－3i.三、解答题12．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i.由题意得a －3b ＝0,3a ＋b ≠0.因为|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52， 所以|z |＝a 2＋b 2＝510，将a ＝3b 代入，解得a ＝15，b ＝5或a ＝－15，b ＝－5，故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)． 13．已知复数z ＝1＋i.(1)设ω＝z 2＋3z －4，求ω；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值． 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 (1)因为z ＝1＋i ，所以ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.(2)因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ， 即(a ＋b )＋(a ＋2)i i＝1－i ， 所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝(1－i)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.四、探究与拓展14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为________．考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 16解析 易知(m ＋n i)(n －m i)＝mn －m 2i ＋n 2i ＋mn ＝2mn ＋(n 2－m 2)i. 若复数(m ＋n i)(n －m i)为实数，则m 2＝n 2，即(m ，n )共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，所以所求概率为636＝16. 15．设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；(2)设μ＝1－z 1＋z，求证：μ为纯虚数． 考点 复数四则运算的综合应用题点 与四则运算有关的问题(1)解 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数，且y ≠0，所以y －y x 2＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝1. 所以|z |＝1，此时ω＝2x .又－1<ω<2，所以－1<2x <2.所以－12<x <1， 即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)证明 μ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i 1＋2x ＋x 2＋y 2.又x2＋y2＝1，所以μ＝－yi.1＋x 因为y≠0，所以μ为纯虚数．。
高中数学第三章3.2复数的四则运算(第一课时)复数的加减与乘法运算讲义(含解析)苏教版选修2_2
3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨]设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数， ∴由 az ＋2b z＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、 填空题1．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为________． 解析：(－i ＋3)－(－2＋5i) ＝－i ＋3＋2－5i ＝－6i ＋5.答案：5－6i2．若复数z ＝1－2i ，(i 为虚数单位)则z ·z ＋z 的实部是________． 解析：∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i＝－2i又z＋z＝2.∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.。
2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法(1)
§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法 2．2 复数的乘法与除法(1)1．复数的加法与减法运算法则 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ． 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的复数z 1、z 2、z 3∈C ，都有z 1＋z 2＝z 2＋z 1(交换律)，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)(结合律)．(1)类比平面向量加、减运算理解复数的加法与减法的运算．(2)类比平面向量加、减运算的几何意义可得出复数加、减运算的几何意义． 2．复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数，(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律： 交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1． 结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)． 分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 3．共轭复数(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z －__表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ．(2)性质：z ·z －＝|z |2＝|z －|2．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)两个共轭复数的和与积是实数．( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( )(3)若|z ＋1|＝1，则复数z 对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心，以1为半径的圆．( ) (4)复数加减乘的混合运算法则是先乘，后加减．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i 解析：选B.依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B. 设f (x )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2解析：选D.因为z 1－z 2＝5＋5i ， 所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a ＋b i ＝i(2－a －b i)＝b ＋(2－a )i ，由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2－a .所以a ＝b ＝1，即z ＝1＋i. 答案：1＋i1．对复数加减法的理解(1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．(2)复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．(3)两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.2．对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数的积仍然是一个复数．复数的加、减法运算计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．1.(1)(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i(2)复数z ＝(3＋2i)－7i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是________．(3)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：(1)选C.(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i) ＝(6－1)＋(－3－3)i ＋(2－2i)＝5＋(－6)i ＋(2－2i)＝(5＋2)＋(－6－2)i ＝7－8i.故选C.(2)z ＝(3＋2i)－7i ＝3－5i ，虚部是－5.故填－5. (3)z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又因为z 1－z 2＝13－2i ， 所以(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.复数的乘法运算计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i. 【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i ＝(4－i 2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i ＝5＋10i －5i ＝5＋5i.(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.2.(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1B ． 2C. 3 D ．2解析：(1)选C.i(1＋i)2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C.(2)选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B.共轭复数(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i (2)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．3.(1)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( )A ．－1＋2iB ．1－2iC ．3＋2iD ．3－2i(2)已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解：(1)选C.易知z ＝3－2i ，所以z －＝3＋2i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.易错警示把复数运算混淆为实数运算致误已知M ＝{z ||z ＋1|＝1}，N ＝{z ||z ＋i|＝|z －i|}，则M ∩N ＝________． 【解析】 利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1，0)为圆心，以1为半径的圆． |z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0，1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数． 故z ＝0或z ＝－2. 所以M ∩N ＝{0，－2}． 【答案】 {0，－2}本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M 和N 化简为M ＝{z |z ＋1＝±1}，N ＝{z |z ＋i ＝±(z －i)}从而造成解题错误.在复数运算中，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，要注意与实数运算中的绝对值运算的区别.1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D.(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝4i －6＝－6＋4i. 2．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则( ) A ．x ＝－1，y ＝1 B ．x ＝－1，y ＝2 C ．x ＝1，y ＝1 D ．x ＝1，y ＝2解析：选D.由x ，y 为实数，且(x ＋i)(1－i)＝y ，得x ＋1＋(1－x )i ＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，1－x ＝0.所以x ＝1，y ＝2.3．向量OA →对应的复数为－1＋i ，OB →对应的复数为2＋3i ，BC →对应的复数为－2＋i ，则向量AC →对应的复数为________．解析：因为BC →＝OC →－OB →，所以OC →＝BC →＋OB →，OC →对应的复数为(－2＋i)＋(2＋3i)＝4i ， 又AC →＝OC →－OA →，所以AC →对应的复数为4i －(－1＋i)＝1＋3i. 答案：1＋3i4．已知x ，y ∈R ，x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 互为共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z －.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以z ＝i 或z ＝1，z －＝－i 或z －＝1.[A 基础达标]1．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C.2．复数z 1＝a ＋4i(a ∈R )，z 2＝－3＋b i(b ∈R )，若它们的和为实数，差为纯虚数，则( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4 D ．a ＝3，b ＝4解析：选A.由题意，可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4，故选A.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i 等于( ) A ．－1 B ．－1＋10i C ．1－6i D ．1－10i 解析：选A.由z ＋(2－3i)＝－1＋2i ， 得z ＝(－1＋2i)－(2－3i)＝－3＋5i ，于是z ＋2－5i ＝(－3＋5i)＋(2－5i)＝－1，故选A. 4．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.5．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i 解析：选A.z 1＝2＋i ，由题意，z 2＝－2＋i ， 所以z 1·z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． 解析：因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8.所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________． 解析：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝9.① 又z ＋3i ＝a ＋(3＋b )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＋3≠0.②由①②得a ＝0，b ＝3， 所以z ＝3i. 答案：3i8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i) ＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1. 答案：1 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.解：z 1－z 2＝⎣⎡⎦⎤32a ＋（a ＋1）i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以z ＝2＋i.10．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x <0)上，|z ＋1|＝2，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则3z －z －＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2a ＝－1，b >0.①又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i.[B 能力提升]11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －1－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2－2i ＝(a ＋2)＋(b －2)i ， 所以|z ＋2－2i|＝（a ＋2）2＋（b －2）2＝1，即(a ＋2)2＋(b －2)2＝1，表示点(a ，b )的轨迹为以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆．因为z －1－2i ＝(a －1)＋(b －2)i ，所以|z －1－2i|＝（a －1）2＋（b －2）2，表示点(a ，b )与点(1，2)间的距离．点(1，2)与(－2，2)间的距离d ＝|1－(－2)|＝3，所以|z －1－2i|min ＝3－1＝2.故A 正确．12．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则实数p ，q 的值为________． 解析：由题意知，(－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0， 得(－p ＋q )＋(p －2)i ＝0， 根据复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，p －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝2.答案：2，213．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，求x 2＋y 2的最大值． 解：由x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)得x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ.所以x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50－40sin θ＋30cos θ＝50－50sin(θ＋φ)，所以sin(θ＋φ)＝－1时，(x 2＋y 2)max ＝100.14．(选做题)已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.。
选修2-3 复数代数形式的四则运算
D.－i
2.设 i 是虚数单位，若复数 m＋31＋0 im∈R是纯虚
数，则 m 的值为( A )
A.－3
B.－1
C.1
D.3
3.若复数 z＝1＋2 3i，则z＝( C )
1
3
A.2
B. 2
C.1
D.2
4.在复平面内与复数 z＝1＋5i2i所对应的点关于虚
轴对称的点为 A，则 A 对应的复数为( C )
四、复数的综合问题
例4(1) 已知 a∈R，则复数 z＝(a2－2a＋4)－(a2
－2a＋2)i 所对应的点在第__四__象限，复数 z 对应点的
轨迹是 一条射线
.
(2)已知复数 ω 满足 ω－4＝(3－2ω)i(i 为虚数单
位)，z＝ω5 ＋|ω－2|.则以 z 为根的一个一元二次实系数
方程为_x_2－6x＋10＝0_. _.
(a,-b)
(0,-b)
(a,0) x
结论（2z）1=：a+任bi意两个互为共轭z1=复bi数的乘积是一个z1=实a 数且 结论（1）：在复平面内，共轭复数 z1 ,z2 所对应的点关于实轴对称.
6、复数的除法
例3 计算(1 2i) (3 4i).
解 (1 2i) (3 4i)
Step2：分母实数化, 分子分母同时乘以
1 2i
分母的共轭复数
3 4i
Step1：先写 成分式形式
(1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i
(3 4i)(3 4i)
32 42
5 10i 1 2 i.
25
55
实数化因式
Step3：结果化
简成代数形式
【基础检测】
1.复数（1－2ii）2＝( B )