绝对值函数图像的画法
首先要从简单的绝对值函数画起。 2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线。 或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去
然后再着手于复杂的图像的画法。
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1121-++=x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。（叠加后直线的斜率不同） 其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。
最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。
122--=x x y ，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称，故x y 21-=关于y 轴对称，又122-=x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。
含绝对值的函数的图像
在下面分别从三个方面讲如何画含绝对值的函数的图像，以及在具体的题目中的应用。希望对雨我们学习这部分的知识有所帮助。 、三点作图法 三点作图袪是画函数ιy = ? f +? ?^-c(ak≠ 0)的图象的一种i罚捷方法(该函数图形?Ufft G V fl i故称召型图人 步曝是E①先画出站型图顶点,石； —) ②在顶点两侧各找出一点；卩 ③次顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数y ≈k? ax+? I???≠ 0)的图彖* 例1作出下列各函数的圏象. (1) y =| 2x 亠J ll 一1； {2) y = 1- ∣2x ÷ 11 ? 解’⑴ 顶点：,-才两点g 0λ (b O)D其图彖如图1所示. 圏b <2)顶点f-lΛ两点(一1, 0), (0, 0).其图象如图2所示. I 2 j
图2 注 I 当40时图象奔口向上，当衣D时图彖开口向下?函数图象关于直线Λ= --对称口 翻转作图法是画函数y H .rω I的图象的一种简捷方法. 注I ? k>0时图象开口向上，当衣0时图象开口向下.函数图象关于直线Λ = --对称" 制转作图法是画函数丁H∕ω I的图象的一种简捷方法. 二爾转作IS 二詡转作l?
步麋是 * ?5t 作出 P = /(x) 的图彖;②若y - /(Λ)的图家不位于X轴下方, 则函数I y = /(>)的图象就??^ιy =| f{x) \的图象;③若函数4y = h∕(x)的图象育位于H轴下方的，则可把X轴下方的图象绕X轴翻转180φ到盟轴上方，就得到了函数 I y=I I/(Λ)∣的图家? 例t作出下列各函数的图讓. U) 7=U?-?i y=∣√-2^-3∣j ￠3) y=∣?(r+3)∣c 解；⑴先作出^=μ∣-l的图象如图3,把图3中盟轴下右的图家翻上去！得至(］图乳图召就是妾IsJ的函数图象n C2)先作出y = X2- 2x-3的图熟如图5.把图5中梵轴T方的图象翻±? ⑶ 先作出^ = Ig(X+ 3)的图熟如图亿把图7中忙轴下丹的图象翻上去，得 到图3.图&就是婪画的1S数图象? 三、分段破作图法 分段函数作图法是把瘟函数等价转化沟分段函数后再作图，这种右法是画含有绝对值的函数的图象的有效有法. 例1作出下列函数的图家U (I)J = Z a-2μ∣+b ￠2) J=μ + l∣ + μ-l∣j (3) jμ=∣Λ2-2τr-3h 图4
高中数学 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材
含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4
绝对值函数图像的画法
For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 首先要从简单的绝对值函数画起。 2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线。 或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去 然后再着手于复杂的图像的画法。 22 1121-++=x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。（叠加后直线的斜率不同） 其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。 最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。 122--=x x y ，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称，故x y 21-=关于y 轴对称，又122-=x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。
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高三数学复习绝对值函数及函数与方程
1 精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年级：高三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学 学科教师：刘剑授课 类型 T (同步知识主题) C （专题方法主题） C （专题方法主题） 授课日 期时段教学内容 绝对值类型（2） 专题二：局部绝对值 例1：若不等式a ＋21 x x ≥2log 2x 在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为． 例2：关于x 的不等式x 2＋9＋|x 2－3x |≥kx 在[1,5]上恒成立，则实数k 的范围为________．例3：设实数1a ，使得不等式a a x x 23，对任意的实数2,1x 恒成立，则满足条件的实数a 的范围是 .
2 例4：设函数f(x)＝x 2＋|2x －a|(x ∈R ，a 为实数)． (1)若f(x)为偶函数，求实数 a 的值；(2)a=2时，讨论函数)(x f 的单调性； (3)设a>2，求函数f(x)的最小值． 例习1：已知函数f(x)＝|x －m|和函数g(x)＝x|x －m|＋m 2 －7m. (1)若方程f(x)＝|m|在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；[来源学#科#网Z#X#X#K](2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f(x 1)>g(x 2)成立，求实数m 的取值范围．练习2：设 a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a . （1）若 (0)1f ，求a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值； （3）设函数 ()(),(,)h x f x x a ，求不等式()1h x 的解集.
3 专题三：整体绝对值 3 例1.已知函数f(x)＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f(a)＝f (b)，则ab ＋a ＋b 的取值范围是． 例2.设函数d cx bx ax x f 23)(是奇函数，且当33x 时，)(x f 取得最小值932设函数)1,1()13()()(x x t x f x g ，求)(x g 的最大值)(t F 练习3：21 0x 时，21 |2|3x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为． 练习4：设函数3221() 23(01,)3 f x x ax a x b a b R . （Ⅰ）求函数f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的 ],2,1[a a x 不等式f x a 成立，求a 的取值范围。
含绝对值函数的最值问题
专题三: 含绝对值函数的最值问题 1. 已知函数2()2||f x x x a =-- (0>a ),若对任意的[0,)x ∈+∞,不等式(1)2()f x f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围、 不等式()()12f x f x -≥化为()2 212124x x a x x a ----≥-- 即:()242121x a x a x x ---+≤+-(*)对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >,所以分如下情况讨论: ①当0x a ≤≤时,不等式(*)24120[0,]x x a x a ++-≥?∈对恒成立 ②当1a x a <≤+时,不等式(*)即24160(,1]x x a x a a -++≥?∈+对恒成立 由①知102 a <≤,2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2662a a ∴≤--≥-或 11626222 a -<∴-≤≤Q 2、已知函数f (x )＝|x －a |,g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正数),且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等.(1)求a 的值;(2)求函数f (x )＋g (x )的最值. 【解析】(1)由题意f (0)＝g (0),∴|a |＝1、又∵a >0,∴a ＝1、 (2)由题意f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1、 当x ≥1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋3x 在[1,＋∞)上单调递增, 当x <1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2在????? ???－121上单调递增,在(－∞,12-]上单调递减. 因此,函数f (x )＋g (x )在(－∞,12-]上单调递减,在????? ???－12＋∞上单调递增. 2min ()4120[0,]()(0)120 1 02 g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤Q 在上单调递增只需2min ()(1)420h x h a a a ∴=+=+-≥只需
函数的性质与带有绝对值的函数(教师)
函数的性质与带有绝对值的函数 一、复习要点 基本初等函数性质主要包含了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及周期性等，另外最值问题、含参问题、范围问题等是重点复习的内容，特别是含有绝对值的函数问题难度都比较大，当涉及到最值问题时，分类讨论与数形结合是常用方法. 二、基础训练 1．(1)若f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝1＋3 x ，则f (x ) ＝ ． （2）若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)=0，则f (x )＜0的x 的取值范围是 ． 【答案】（1）?????－1＋3x ，x ＜0 0， x ＝0 1＋3 x ， x ＞0 ；（2）(－2，2). 2.已知函数()log 1(01)a f x x a a =+>≠且，若当(0,1)x ∈时恒有()0f x <,则函数 23 ()log () 2a g x x ax =-+ 的递减区间是 . 【答案】(0,)3 a . 3．（1）若函数y ＝log 2(x ＋2)的图象与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )= ． （2）已知f (x )＝log 2|ax ＋3|关于x ＝1对称，则实数a ＝ ． 【答案】（1）log 2(4－x )；（2）－3或0． 4.已知函数()lg f x x =，若0a b <<且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是 . 【答案】()3,+∞. 5.()||f x x a =-在()2+∞， 上为增函数，则实数a 的取值范围是 . 【答案】2a ≤. 6.关于x 的方程()(0)x a x a a a --=≠的实数解的个数为 . 【答案】1个. 7.2 3x m b --=有4个根，则实数b 的取值范围是 . 【答案】02b <<. 8.若不等式a ＋21x x -≥2log 2x 在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】1a ≥. （2）若函数()x f 满足条件（1），且对任意[]10,30∈x ，总有()[]10,30∈x f ，求c 的取值范围； （3）若0b =，函数()x f 是奇函数，()01=f ，()2 3 2-=-f ，且对任意[)+∞∈,1x 时，
绝对值函数图象的速画法.doc
绝对值函数图象的速画法 高中数学涉及了诸多函数问题，解这类题若能用图象辅助思考，往往有事半功倍之效。 但遗憾的是，学生要么对图象形状不熟悉，不知怎么画图；要么觉得画图程序繁琐，懒于画 出图象。下面简介高中数学中常见而学生又甚感困难的绝对值函数图象的速画法，以帮助提高作图速度，培养作图兴趣。 一、用“三点定形法”画单绝对值函数 f ( x) a x h k(a0) 的图象 f ( x) a x h k( a 0) 与g( x)a(x h) 2k (a0) 的图象类似，它们的顶点都 是（ h, k ），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。所不同的是前者的图象是折线， 在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。所以可用三点定其型。三点中，顶点（h, k ）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点， 过另一点作出射线，即得 f ( x) a x h k(a 0) 的图象。 例：已知函数 f ( x) a x b 2在 0, 上单调递增，则 a、b 的取值范围是。 分析：当 a=0 时，f ( x) 2 为常数函数，不具单调性； 当 a 0 时，其顶点(b,2)总在直线y=2上，若 a 0，图象开口向下(见图1)，总不满足 条件；若 a 0 ，图象开口向上，当 b 0 时，函数 f ( x)在0, 不单调 (见图 2)；当b 0 ，函数 f (x) 在 0, 单调 (见图 3)。所以 a、 b 的范围应是a 0, b 0. 4 4 4 2 A 2 2 A B B 5 10 15 20 10 图 1 5 10 5 图 2 15 20 图 3 B A -2 -2 -2 -4 -4 -4 二、用“三点定形法”作双绝对值和式函数 f (x) x a x -6 -6 -6 -8 -8 -8 a = -1. b (a b = b0.)9的图象 r x =x-b +2 s x = a = 2.2 b = 0.9 r x =x s x = -10 -10
含绝对值函数的图象 0
含绝对值函数的图象 【基础内容与方法】 1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像； 2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像； 3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数 1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y k x b =+的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数1 +12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象， 直接写出1 +2+12 k x b x +＞的解集．
类型二：含绝对值的二次函数 （一）绝对值在自变量上 2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 其中，m＝． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函
数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①方程﹣x2+2|x|+1＝0有个实数根； ②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是． 3．写出函数1 x x f在什么范围内，y随x的增大而增大，y随x的 =x 2 ) (2+ - 增大而减小？
（二）绝对值在解析式上 4．探究函数 22y x x =-的图象与性质. (1)下表是y 与x 的几组对应值. x 其中m 的值为_______________； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分； (3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____________________________； (4)若关于x 的方程220x x t --=有2个实数根，则t 的取值范围是___________________.
分段函数与绝对值函数练习
分段函数与绝对值函数练习 一、双基题目练练手 1.设函数f （x ）=?????≥--<+, 114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数2 2,0 ,0x x y x x ≥?=?-
7. 已知函数13 2 (0)()(01)log (1)x x f x x x x ?<=≤≤>??,当a <0时,f {f [f (a )]}= 8.函数221(0)()(0)x x f x x x ?+≥?=?-≤n n 求f （2002）. 解：∵2002＞2000， ∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上. 【例2】判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ?-≥?=?-+0时，－x<0, f(－x)= －(－x)2(－x+1)=x 2(x －1)=f(x)； 当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)2(－x －1)= －x 2(x+1)=f(x)。因此，对任意x ∈R 都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。
分段函数与绝对值函数
2．11分段函数与绝对值函数 ——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之 一、明确复习目标 了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法 二．建构知识网络 1.分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。 2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数. 3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。 4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究. 三、双基题目练练手 1.设函数f （x ）=???? ?≥--<+, 11 4,1) 1(2 x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数2 2,0 ,0x x y x x ≥?=? -
4.（2006全国Ⅱ）函数19 1 ()n f x x n == -∑的最小值为 ( ) （A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 5.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=?? ?<-≥-), 2(2 ), 2(2 x x x 则f （lg30－lg3） =___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________. 6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}? ??≥=b a b b a a b a ＜,,,max 则函数 (){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 . 7. 已知函数1 3 2 (0)()(01)log (1) x x f x x x x ?<=≤≤>??,当a <0时,f {f [f (a )]}= 8.函数2 21(0) ()(0) x x f x x x ?+≥?=?-
第四讲绝对值函数和绝对值不等式.docx
标准实用 绝对值函数和绝对值不等式【知识点】 一、绝对值的性质 a，a≥0， 1.| a|= －a， a<0 推论①： |ab |≥ab ( 当且仅当ab ≥0时，“=”成立)； 推论②： |ab |≥－ab (当且仅当ab ≤0时，“=”成立). 2.| a| 2= a2； 二、绝对值不等式 3.若 a2≥b 2，则| a|≥|b |； 证明：由性质 2， a 2≥ 2a2≥2 a ≥ b |. b| ||b || | | 4.| a| ≥a， ( 当且仅当a≥0时等号成立 )； 推论③： |ab |≥ab . 推论④： || a| － |b || ≤| a±b| ≤|a|+| b |. 证明： (1) || a|－| b||≤|a－b |： 因为 |ab |≥ab，所以：－ 2| ab |≤－2 ab，所以：a2 + b2－ 2| ab|≤a2+ b2－ 2ab，由性质 2 ，则： (|a|－| b|)2≤(a－b)2，由性质 3即证 . 此时，当且仅当ab ≥0时等号成立. (2) || a|－ |b||≤|a+ b |. 证明：由推论②：|ab |≥－ab，所以：－ 2| ab |≤2 ab，从而： (|a|－| b |)2≤(a+b )2，由性质2即证 .此时，“ = ”成立的条件为ab ≤0. (3)由 2 ab ≤2| ab |=2||| b |，则( +)2≤(||+| b |) 2，由性质 2 即证 .等号成立的条件为 ab ≥0. a a b a
同理可： |a－b |≤|a|+| b |.等号成立的条件ab ≤0. 推⑤： |a1 + a2 + ?+ a n |≤| a1 |+| a2 |+ ?+| a n|. 明：当 n=2，然成立； 当 n = k ，有：|a1+ a2+?+ a k|≤|a1|+| a2|+?+| a k|； 当 n = k+1，|a1+a2+?+a k+a k+1|=|(a1+a2+?+a k)+a k+1|≤|a1+a2+?+a k|+|a k+1|≤|a1 |+| a2|+ ?+| a k |+| a k+1 |. | a+ b |，ab≥0 ， 推⑥： |a|+| b|=|a|+| b|=max{|a+ b |，|a－ b |}. | a－b | ，ab <0 ， 明：若 ab ≥0，然有|a|+| b |=| a+ b|， 且此： |a+ b| ≥|a－b|，所以： |a|+| b |=max{| a+ b |， |a－b |}； ab <，同理可. 5. 任意a，b∈ R，a+ b +| a－b |=2max{a， b }. 明：由于称性，不妨≥ ，： a + b +| a － b |= a + b + a － b =2 a =2max{ a ， b }. a b 6. 任意a，b∈ R，a+ b－ | a－b |=2min{a， b }. 明： a+ b =max{ a， b }+min{ a， b}，由性 5 ， |a－b |=2max{a， b }－(a+ b)，从而： a+ b －|a－ b |= a+ b －[2max{ a，b }－(a+ b )]=2(a+ b )－2max{ a，b}=2max{ a，b }+2min{a， b }－2max{ a， b}=2min{a， b}. 7. 任意数a，b， |a+ b |+| a－b |=2max{|a|，| b |}. 明①：不妨 a≥b ，|a－ b|+| a+ b |= a－ b+| a－(－ b )|=2max{a，－ b }； 若 b≤a≤0，2max{ a，－ b }=2(－ b)=2max{| a|，| b|}； 若 b≤0≤a，2max{ a，－ b }=2max{| a|，|b |}； 若 0 ≤b≤a， 2max{ a，－b }=2 a=2max{| a|， |b |}.
高中一轮复习__含绝对值的函数
学案17 含绝对值的函数 一、课前准备： 【自主梳理】含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类： 1．形如)(x f y =的函数，由于0 )(0)()()()(<≥???-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到； 2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0
10.15指数型函数的对称、平移与绝对值函数图像)
哈哈哈哈对称的图像关于与____ )()(y x f y x f -== 对称。 的图像关于与____)()(y x f y x f --== 对称。 的图像关于与函数、函数)( 33y B x x y --== 别、自对称与他对称的区C （1）轴对称。于是偶函数，本身图像关函数y y 2 x = （2）轴对称。的图像关于与函数函数y 212y x x y ?? ? ??== 二、函数图像的平移 图像。分别画出这两个函数的则函数、已知____,)1(,2)(A =-=x f x f x 发现：函数y =)1(-x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。 类似：函数y =)1(+x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。 图像。分别画出这两个函数的则函数、已知____,1)(,2)(B =-=x f x f x 发现：函数y =1)(-x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。 那么：函数y =1)(+x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。 C 、。）的对称轴为则函数为偶函数已知________2(,)(-x f x f 。）的对称中心为则函数为奇函数已知________(,)2(x f x f + 系？）的图像是什么样的关与函数思考题：函数x f x f -+3()1( 二、指数类绝对值函数图像
的图像变换得来。的图像，思考如何通过、画出函数x x y 22y A == 的图像。的图像变换得到思考：如何通过12 y 2+==x x y B 、图像变换得来。的图像，思考如何通过画出函数1212-=-=x x y y 的图像变换出函数思考：如何通过122-==x x y y C 、）个的实根的个数是（方程22 =+x x
含绝对值的函数问题
含绝对值的函数问题 【问题提出】 问题1：函数m x y -=在区间(]1,-∞-上是减函数，那么m 的取值范围是______. 问题2：解方程：521=-++x x （1）方程a x x =-++21有两解，则实数a 的取值范围是_____________； （2）方程a x x =-++21有无穷多个解，则实数a 的取值范围是 _____________； 思考：如何解方程)(21R a a x x ∈=-++ 问题3： 解不等式：（1）521>-++x x ；（2）521≤-++x x （1）不等式a x x >-++21解集为R ，则实数a 的取值范围是_____________； （2）不等式a x x <-++21解集为?，则实数a 的取值范围是_____________； （3）不等式a x x <-++21有解，则实数a 的取值范围是_____________； 思考：如何解不等式)(21R a a x x ∈>-++ 问题3：设a 是实数．若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数，但不是偶函 数，则函数()f x 的递增区间为 ． 【探究拓展】 探究1：设方程|1|ax x -=的解集为A ，若A ?≠[0，2]，则实数a 的取值范围是 ． （-∞，-1]∪[-12 ，1]∪[32 ，+∞） 代数几何两个角度 探究2：已知R a ∈，函数a x x x f -=)(.
（1）判断函数)(x f 的奇偶性，请说明理由； （2）当2a =时，求使()1f x =成立的x 的集合； （3）若函数)(x f 在[)+∞,3上单调递增，求实数a 的取值范围； （4）若函数12)()(++= x x f x g 在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围； （5）求函数)(x f 在区间[]2,1上的最小值()g a 的表达式； （6）求函数在[)+∞,3上的最小值()g a 的表达式； （7）求函数在[)+∞-,1上的最小值()g a 的表达式 （8）设0≠a ，函数)(x f 在区间),(n m 上既有最大值又有最小值，请分别求出n m ,的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程） （9）试讨论a x f x g -= )()(的零点个数. 解：（1）当0=a 时，x x x f =)(，)()(x f x x x f -=-=-∴，则)(x f 为奇函数；当0≠a 时，a x x x f -=)(，a a a f a f 2)(,0)(-=-=，∵0≠a )()(a f a f ≠-，且)()(a f a f -≠-，则)(x f 既不是奇函数又不是偶函数． （2）①当21≤≤a 时，,0)(≥x f 且当a x =时，有,0)(=a f ∴0)(min =x f ； ②当1a 时， []2,1,4 )2()()(2 22 ∈+--=+-=-=x a a x ax x x a x x f 对称轴2 a x =，若42)2()(,32min -==≤a f x f a ， 综上所述：?????? ?>-≤<-≤≤<-=3 , 132,4221,01 , 1)(min a a a a a a a x f ；
专题 与绝对值函数有关的参数最值)
专题 与绝对值函数有关的参数最值及范围问题 类型一 常数项含参数 1.已知函数f （x ）=x 2﹣5|x ﹣a|+2a （Ⅰ）若0＜a ＜3，x ∈[a ，3]，求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若a≥0，且存在实数x 1，x 2满足（x 1﹣a ）（x 2﹣a ）≤0，f （x 1）=f （x 2）=k ．设|x 1﹣x 2|的最大值为h （k ），求h （k ）的取值范围（用a 表示）． 2已知0a ≥ ，函数2()5||2f x x x a a =--+ （Ⅰ）若函数()f x 在[0,3]上单调，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若存在实数12,x x ，满足12()()0x a x a --≤ 且12()()f x f x =，求当a 变化时，12x x +的取值范围. 3. 已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，2()2f x x x =+. （1）若函数1()()22 h x f x x x a =---有四个不同零点，求实数a 的取值范围 （2）如果对于任意x R ∈，不等式()()1g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围
5．已知函数2()|1|f x x x a =++-，其中a 为实常数． （1）判断()f x 的奇偶性； （2）判断在上的单调性； （3）若对任意x R ∈，使不等式()2||f x x a ≤-恒成立，求a 的取值范围． 6.已知函数2()2||f x x x a =--.（1）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值； （2，求函数()y f x =的单调递增区间； （3）0>a 时，对任意的[0,)x ∈+∞，(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 7.已知函数 ，， （1）若 ，试判断并用定义证明函数的单调性； （2）当时，求函数 的最大值的表达式； （3）是否存在实数 ，使得有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有 的值，若不存在，说明理由. ()f x 11[,]22-
绝对值函数图象与性质
函数b a x k y +-=图象与性质 【问题提出】 将函数 ()f x k x a b =-+去掉绝对值符号后，写成分段函数 (),()(),k x a b x a f x k x a b x a ?-+≥?=? --+时，可知函数图象开口向上，顶点(最低点)为(,)a b . 同理可知，0k <时， ()f x k x a b =-+的图象开口向下，顶点(最高点)为(,)a b .事实上，可以直接从 函数图象平移的角度去分析，即函数()f x k x a b =-+可看成()f x k x =平移而得. 【探究拓展】 探究1：设函数142)(+-=x x f ，若不等式ax x f ≤)(的解集非空，则实数a 的取值范围是___________. 2- ．
提示： ?? ? ??--++--++--=, )(,)(,)()(111111bx ax x b a bx ax x b a bx ax x b a x f ，结合图像得， 0,0>-=+b a b a ，即0,0a b a +=>． 探究3.（2020年） 设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且f (x +k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”． （1）如果定义域为[)+∞-,1上的函数2)(x x f =是[)+∞-,1上的k 型增函数，则实数k 的取值范围是______；2>k （2）已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=|x -a |-2a ，若f (x )为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是___________. 解 若a ≤0，则f (x )在x >0时为增 函数， 故对任意正实数k ，不等式f (x +k )>f (x )恒成 立． 若a >0，则函数y =f (x +k )的图象可由函数y =f (x )的图象向左平移k 个 单位而得(如图13)．因k =2011，故仅当2011>6a 时，f (x +2011)>f (x )，所以此时00时，22)(a a x x f --=,
绝对值函数图象的速画法
绝对值函数图象的速画法 高中数学涉及了诸多函数问题，解这类题若能用图象辅助思考，往往有事半功倍之效。但遗憾的是，学生要么对图象形状不熟悉，不知怎么画图；要么觉得画图程序繁琐，懒于画出图象。下面简介高中数学中常见而学生又甚感困难的绝对值函数图象的速画法，以帮助提高作图速度，培养作图兴趣。 一、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象 )0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都 是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。所以可用三点定其型。三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。 例：已知函数[)+∞+-=,02)(在b x a x f 上单调递增，则a 、b 的取值范围是 。 分析：当a=0时，2)(=x f 为常数函数，不具单调性； 当0≠a 时，其顶点(b,2)总在直线y=2上，若0a ，图象开口向上，当0>b 时，函数)(x f 在[)+∞,0不单调(见图2)；当0≤b ，函数)(x f 在[)+∞,0单调(见图3)。所以a 、b 的范围应是.0,0≤>b a
因为?? ? ??>+-≤≤-<++-=-+-=) ()(2)() ()(2)(b x b a x b x a a b a x b a x b x a x x f ，可见其图象是由一条水平线段左端加一条向左上方延伸的射线(因其斜率为负)，右端加一条向右上方延伸的射线(因其斜率为正)组成的图形，而图象总是在绝对值代数式的零点处转折。又联立以上分段函数 两侧解析式???+-=++-=)(2)(2b a x y b a x y 解得，??? ?? =+=0 2y b a x ，可知左右两侧射线延长线必交于x 轴上 的点 )0,2( b a +。据此，可以三点)0,2 ()),(,()),(,(b a b f b a f a +确定函数)()(b a b x a x x f <-+-=的图形，称为“三点定形法” 。 例：作函数31)(-++=x x x f 的图象 解：先确定此函数的两个绝对值代数式的零点为：－1和3 12 3 1, 4)3(,4)1(=+-==-f f ， 所以在平面直角坐标系中先作出1,4)、B(3,4)、C(1,0)三点；连接线段AB ，再作射线CA ，CB 线段CA 、CB 部分可以不画出，也可以作作成虚线(如图4)。 以上方法仅适用于绝对值中自变量x 的系数为1 三、用“两点定形法”作双绝对值差式函数x a x x f --=)(当a-≤-+<-=---=)((2)()(b x a b x a b a x a x b a b x a x x f 端为两条平行的射线，中间为连接两射线的端点构成的图形，而图象总是在两个绝对值代数式的零点处转折。当a>b 时同理。据此，可以点))(,()),(,(b f b a f a 确定函数b x a x x f ---=)(的图 象。 例：作函数13)(---=x x x f 解：先确定两个绝对值代数式的零点为：1和3。因为)1(=f