专题三：不等式恒成立、能成立、恰成立问题
人教A版高中数学必修第一册第二章微专题2不等式恒成立、能成立问题课件
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
探究2 在给定范围上的恒成立问题 [典例讲评] 2．(1)若对任意的x>0，x2－mx＋1>0恒成立，则实数m的 取值范围是___{_m_|m__<_2_}____． (2)∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
反思领悟 在给定范围上的恒成立问题
(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx ＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0． (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx ＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0．
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决． (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的 最小值或最大值，求得参数的取值范围．
[学以致用] 3．(1)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的
取值范围是( )
√A．{a|a>4，或a<－4}
B．{a|－4<a<4}
C．{a|a≥4，或a≤－4}
D．{a|－4≤a≤4}
(2)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值
范围是( )
√A．{a|－1≤a≤4}
恒成立与能成立问题辨析
解题篇经典题突破方法J l L LL L l L L>高二数学2020年II月丁子虫LL/LLJ ■江西省兴国县兴国中学赖儒福纵观新课标下全称量词与存在量词的考题，主要以其否定形式为重点考查内容，涉及命题真假的判断，一般以选择、填空题的形式出现，有时在解答题中有关对于任意(或存在)某个参数，使得恒成立(能成立)等问题#解答时，关键是正确把握题目所给信息，妥善利用好条件进行转化，下面就恒成立与能成立问题辨析，以期对同学们的学习有用#—、全称h词与存在量词的理解.”是全称量词，含义是.全部/“所有”是存在量词，含义是“存在/、至少有一个/任意性与存在性问题，也即函数中的恒成立与能成立问题。
恒成立问题，关键词：对所有、任意、恒；能成立问题，关键词：有解，存在、解集非空、能等#二、一个自变h的不等式恒成立与能成立、恰成立问题，转化为函数最值不等式关系以及不等式解集含有单一量词的参数取值问题，通常包含两种类型：一是对于任意的参数，结论恒成立；二是存在参数，使得结论成立。
这两种类型的处理方法，通常都是转化为利用最值进行研究，但要注意两者的区另U#!!(1)若对于任意的实数$，不等式|$—4|+|$—3|>a成立，则实数a的取值范围是_____#(2)若存在实数$，使不等式|$—4|+ |$—3|V a成立!则实数a的取值范围是解析：(1)关键词：任意，是一道恒成立问题，题意即(|$—4|+|$—3|)<1>a#由绝对值的几何意义知,当且仅当3($ (4时，|$—4|+|$—3|取到最小值(最小值是1)，从而得实数a的取值范围是(―；!1)#(2)关键词：存在，是一道能成立问题!由题意知(|$—4|+|$—3|)m1V a#由例1 $)的解法知1V a,故实数a的取值范围是(1,+；)#/评：(1)对于任意的$)A，不等式—V#($)恒成立，等价于函数值域中最小值端是闭的，—V#($)<1%(2)对于存在实数$)A，不等式—> #($)成立，等价于函数值域中最小值端是闭的，—>#($)m1%练习1：已知函数#($)=$2—2$+3#$)是否存在实数—，使不等式—+ #($)>0对于任意$)R恒成立？并说明理由#(2)若存在实数$0，使不等式—一#($) >0成立,求实数—的取值范围#解析：(1)不等式—+#($)>0可化为—>一($—1)2一2#要使不等式—+#($)>0对于任意$) R恒成立，只需—>—2即可#故存在实数—使不等式对任意$)R恒成立，此时—>—2#(2)不等式—一#($)>0,可化为—> #$)#若存在实数$0,使不等式—一#($)>0成立，只需—>#〈$)<1即可#因为#($)=($—1)2+2,所以 #($)<1 =2,实数—的取值范围时—>2#三、两个自变h的任意性与存在性问题之方程问题，转化为两个函数的值域关系解决双变量“存在性或任意性/可题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)目的在于培养同学们的逻辑推理素养和良好的数学思维品质# !"已知函数#($)=$+4,g($)cc =2$+a,若V$1),1),；$2)「2,3),使得#($1)(g($2)则实数a的取值范围是解析：依题意知#($)<a>(g($)<a>#(下转第29页)解题篇 经典题突破方法 J l L l L LLL "高二数学 2020年11月 丁 子虫L /LLJ公差为一2的等差数列等式恒成立问题的求解b ”22a—1 = — 2” 一2所以a ”1—2” + 22(” + 1)6+17Z + 1_________ X 2 (” + 2%2(” + 1)题型五、代数式的最值! %(2020年江西省上饶市六校联考)已知正项等比数列a ” ｝满足a 7 =2a 6 +3a 5，若存在两项a — a ”，使得a — - a ” = 9a 2 ,”(、” + 2% 1 + 2CL 9 Cl o所以」+」+…+上2 = ” + 1 +a 1 a 2 a ”+11 9则一+的最小值为( %#TTL n28A. 16B. 3C. 5D. 41—1+1一1+…+_______L 3 2 4 ” + 1 ” + 31V ” ++7-分析:由已知条件先求公比q ，再求—+”，最后利用.”和基本不等式求最小值#解：设等比数列的公比为q(q >0% ,由已 知 a 5 q 2 = 2a 5 q + 3a 5 ,得 q 2 = 2q + 3#解得q = 3或q = —1(舍去％ #又 a — - a ” = 9a 1，所以 a 13— 1 -a 13" 1 =9a 2，即 3—+” 2 = 32 — + ” = 4#所以(丄+9%(—+ ” ％7入对任何正整数”恒成立，即工1”1—1% V A 对任意正整数”恒成7Z + 3,9—1 % '4，当且仅当—=1,” = 3n /时，等号成立#故选D11 +111” ” + 2—+9”147 7立，所以入'4。
含参数的不等式问题
例2、(2005年 江 西,17) 当a 1时,解集为x （ ，a) (2 a,). 已 知 函 数f ( x) x2 (a, b为 常 数 ）,
ax b 方 程f ( x) - x 12 0有 两 个 实 根x1 3, x2 4. 设k 1, 解 关 于x的 不 等 式 ：f ( x) (k 1)x k .
集 合B { x sin(x ) 3 cos(x ) 0},
3
3
若(CR A) B恰 有3个 元 素,x R;
(2) 1 a 0.
当a 1时, 解集为x （ ，a) (2 a,).
例6、(2005年 辽 宁,16)
是正实数, 设S f ( x) cos[( x )]是奇函数.
例4、(2005年 全 国 Ⅲ,22)
已 知 函 数f ( x) 4x2 7 , x [0,1]. 2 x
(1)求f ( x)的 单 调 区 间 和 值 域 ；
(2)设a 1,函 数g( x) x3 3a2 x 2a, x [0,1], 若 对 任 意x1 [0,1],总 存 在x0 [0,1],使 得 g( x0 ) f ( x1 )成 立,求 实 数a的 取 值 范 围.
(1)当x (0, 1 )时, f ( x)是减函数;当x ( 1 ,1)时, f ( x)是增函数;
2
2
f ( x)的值域为[-4，- 3]；
(2)1 a 3 . 2
例5、(2004年 辽 宁,18)
(1)解 关 于x的 不 等 式x - 1 a 1 0(a R);
(2)记A为(1)中 不 等 式 的 解 集,
含有参数的不等式问题主要有三种主要类型
第一种类型：解含有参数的不等式； 第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，
高三复习：恒成立问题
恒成立问题解题技巧:1. 分离变量和参量;2. 求最值或求函数的值域;3. 借助函数的图象求解. 一些重要结论: (1)恒成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立⇔f(x)min >A,x ∈D 或f(x)的下界大于或等于A ； 若不等式f(x)<A 在区间D 上恒成立⇔f(x)max <A,x ∈D 或f(x)的上界小于或等于A ； 等式恒成立一般可得对应项的系数相等. (2)能成立问题(部分成立)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)>A 成立,即f(x)>A 在区间D 上能成立⇔f(x)max >A,x ∈D 或f(x)的上界大于A ；若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)<A 成立,即f(x)<A 在区间D 上能成立⇔f(x)min <A,x ∈D 或f(x)的下界小于A ；若在区间D 上存在实数x 使等式f(x)=A 成立,即f(x)=A 在区间D 上能成立⇔A ∈{y|y=f(x),x ∈D}. (3)恰成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恰成立⇔不等式f(x)>A 的解集为D 若不等式f(x)<A 在区间D 上恰成立⇔不等式f(x)<A 的解集为D 例1.(06四川文)已知函数()()()3'31,5f x x ax g x fx ax =+-=--，其中()'f x 是的导函数,对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围. 解析：由题意()2335g x x ax a =-+-令()()2335a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤对11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ϕ<∴()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩即22320380x x x x ⎧--<⎨+-<⎩解得213x -<<故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x < 例2.(10四川)设11x xa f (x )a+=-（0a >且1a ≠），g (x )是f (x )的反函数. (理)设关于x 的方程求217a tlog g(x )(x )(x )=--在区间[2，6]上有实数解，求t 的取值范围.(文)当[2,6]x ∈时，恒有2()log (1)(7)atg x x x >--成立，求t 的取值范围. 解析：由题意得：a x＝11y y -+＞0故g (x )＝1log 1a x x -+，x ∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)(理)由21log log (1)(7)1aa t x x x x -=--+得t ＝(x -1)2(7-x )，x ∈[2,6]则'=-32+18-15=-3(-1)(-5)列表如下：最小值最大值(文)由21log log 1(1)(7)aa x tx x x ->+--得 ①当a ＞1时，211(1)(7)x t x x x ->+--＞0又因为x ∈[2,6],所以0＜t ＜(x －1)2(7－x ) 而h (x )最小值＝5，所以0＜t ＜5②当0＜a ＜1时，0＜211(1)(7)x t x x x -<+--又因为x ∈[2,6],所以t ＞(x －1)2(7－x )＞0 而h (x )最大值＝32,x ∈[2,6],所以t ＞32综上，当a ＞1时，0＜t ＜5；当0＜a ＜1时，t ＞32.例3.已知210,1,(),(1,1),()2xa a f x x a x f x >≠=-∈-<当时有恒成立，求实数a 的取值范围。
不等式的恒成立问题基本解法9种解法
不等式的恒成立问题基本解法9种解法不等式的恒成立问题基本解法：9种解法导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立问题则更加耐人寻味。
不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。
解决这种问题需要灵活运用数学知识和技巧。
本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共包括9种方法。
一、置换法。
这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。
如果成立，则不等式恒成立。
对于x^2 +y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。
由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。
二、加法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
三、减法法则。
与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同时减去相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
四、乘法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
五、除法法则。
与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同时除以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时除以2，得到x + 3/2 ≥ 1 + x/2。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
六、平方法则。
这种方法是通过平方运算来改变不等式的符号。
对于不等式x^2 ≥ 0，我们可以将x^2展开为(x + 0)^2，得到x^2 + 0 ≥ 0。
恒成立与存在性问题的解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化： a f x 恒成立a f x ；max a f x 恒成立 a f xmin2、能成立问题的转化： a f x 能成立a f x ；min a f x 能成立 a f xmax3 、恰成立问题的转化： a f x 在M 上恰成立 a f x 的解集为M a f x 在M 上恒成立a f x 在C M 上恒成立R另一转化方法：若x D,f (x) A在D 上恰成立，等价于 f (x) 在D 上的最小值f min (x) A，若x D, f ( x) B在D 上恰成立，则等价于 f (x) 在D 上的最大值f max (x) B .4、设函数 f x 、g x ，对任意的x1 a , b ，存在x2 c,d ，使得 f x1 g x2 ，则f mi n xg mi n x5、设函数 f x 、g x ，对任意的x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则f max xg max x6 、设函数 f x 、g x ，存在x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则f m a x xg m i n x7 、设函数 f x 、g x ，存在x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则f m i n xg m a xx8、设函数 f x 、g x ，对任意的x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，设f(x) 在区间[a,b]上的值域为 A ，g(x)在区间[c,d] 上的值域为B, 则A B.9、若不等式 f x g x 在区间D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数y f x 和图象在函数y g x 图象上方；10、若不等式 f x g x 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数y f x 和图象在函数y g x 图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R; 某不等式的解为一切实数; 某表达式的值恒大于 a 等等⋯恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起第 1 页到了积极的作用。
高中数学导数及应用-不等式恒成立问题课件
利用数形结合来解决。
方法1：分离变量法(优先)
方法2：构造函数
，转化为 零点问题
方法3：构造两个函数的图象判断交点个数
方法4：转化为二次函数零点问题
方法5：转化为一次函数零点问题
类型五：利用导数研究函数与不等式问题
1、利用导数证明不等式的方法：证明
构造函数
。如果
，则F(x) 在
函数，同时若
，则由减函数的定义可知，
的值，要注意验证 左右的导数值的符号是否符 合取极值的条件。
（3）已知含参函数的极值点讨论 ①分类讨论根据 解（判断为极值点）
的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、 中、右”，对四种分类标准进行取舍（或合并）；
②注意数形结合。
注意：（1）在函数的整个定义域内，函数的极 值不一定唯一，在整个定义域内可能有多个极大
（2）切点的三个作用：①求切线斜率； ②切点在切线上； ③切点在曲线上。
类型二：利用导数研究函数的单调性 (1)求函数的单调区间
方法:判断导函数的符号 步骤：①求函数定义域；
②求函数的导函数； ③解不等式f '(x) 0 (或 f '(x) 0)，求出 递增区间(或递减区间)。
注意：求单调区间前先求定义域（定义域优 先原则）；单调区间是局部概念，故不能用“∪” 连接，只能用“，”或“和”。
'( x) mi n
0；
函数f (x)在区间D单调递减 在f ' (x) 0在x D
恒成立 对x D, f ' (x) 0； max
试题研究：
例1、已知函数f (x) x ln x.
(1)若函数g(x) f (x) ax在区间e2, 上的增函数，
求a的取值范围；
高中不等式例题(超全超经典)
一． 不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
人教版高一必修5第三章不等式专题含参数不等式恒成立与存在性问题教案含答案
专题-含参数不等式恒成立与存在性问题由任意性和存在性条件求参数的取值范围问题，一直是高考数学考试的重点和难点。
通过对近几年高考数学试题的研究，我们发现这类试题往往以压轴题的形式出现，所涉及的知识点内容覆盖面广，其中命题的核心在函数、方程、不等式等内容的交汇处。
下面就对这类问题进行详细的归类、归法，构建知识体系，希望对同学们有所帮助。
一、在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围问题在不等式恒成立条件下求参数的取值范围，一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式.类型1：对于一次函数，则有：],[,)(n m x b kx x f ∈+=（1）如果；()0()0()0f m f x f n >⎧>⇔⎨>⎩恒成立（2）如果.()0()0()0f m f x f n <⎧<⇔⎨<⎩恒成立例1、若不等式对满足的所有都成立，求的范围.)1(122->-x m x 22≤≤-m m x 解：我们可以用改变主元的办法，将视为主元，原不等式化为：，m 0)12()1(2<---x x m 令，则时，恒成立，所以只需)12()1()(2---=x x m m f 22≤≤-m 0)(<m f ⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即，所以的范围是.⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x x )231,271(++-∈x 说明：在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变x 量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。
如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范a 围的变量看作参数，则可简化解题过程。
类型2：设，)0()(2≠++=a c bx ax x f R x ∈（1）上恒成立；R x x f ∈>在0)(00<∆>⇔且a （2）上恒成立.R x x f ∈<在0)(00<∆<⇔且a 例2、已知关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.x 2210mx mx ++>x R ∈m 解：当时，原不等式化为显然成立；0m =10>当时，则需要满足条件：；0m ≠201440m m m m >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩综上，实数的取值范围是.m [0,1)类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x （1）当时，如果上恒成立；0>a ],[0)(βα∈>x x f 在⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或当时，如果上恒成立.0>a ],[0)(βα∈<x x f 在⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当时，如果上恒成立；0<a ],[0)(βα∈>x x f 在⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f 当时，如果上恒成立.0<a ],[0)(βα∈<x x f 在⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或例3、若时，不等式恒成立，求的取值范围。
含参数的不等式问题
含参数的不等式问题教学目标：通过本专题的复习，使学生掌握含参数的不等式问题的解题方法和解题策略达到应试水平。
教学、难点：含参数不等式问题的三种主要类型。
教学思路：以典型例题的分析和解决为平台，提高学生灵活运用数学知识分子问题的能力。
教学过程：一、课题导入含有参数的不等式问题是近几年高考中的一道多姿多彩的风景，作为高考的和重点和热点内容主要有三种类型第一种类型：解含有参数的不等式第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围。
第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立，能成立，恰成立或部分成立，求参数的范围。
二、典例分析：1、解含有参数的不等式：例1、解关于x例2、已知函数方程f（x）-x+12=0有两个实根x1=3，x2=4.设k＞1注意：对参数的讨论要做到不重复，不遗漏。
2、已知不等式成立的条件，求参数的范围：有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的，所给出的条件可以是个含参数的不等式的充分条件，也可以是充分必要条件，在解题时，要注意所给出的条件在含参数的不等式中的作用，从而弄清给定的条件与含参数仍不等式的解集的相互关系。
例3、记函数f（x）= 的定义域为A，g（x）=1g[（x-a-1）(2a-x)](a＜1)的定义域为B（1）求A； A=（-∞，-1）∪[1，+∞]；（2）若B A，求实数a的取值范围。
A∈（-∞，-2）∪[ ,1]易错点：区间端点值是否可取；分式的分母不为零。
3、不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题（1）恒成立问题若不等式f（x）＞a在区间D上恒立，则等价于函数f（x）在区间D上的最小值大于a；若不等式f（x）＜b在区间D上恒成立，则等价于函数在区间上D的最大值小于b.(2) 能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f（x）成立，即f（x）＞a在区间D上能成立，则等价于函数f（x）在区间D上的最大值大于a；若在区间D上存在实数x使不等式f（x）＜b 成立，即f（x）＜b在区间D上能成立，则等价于函数f（x）在区间D上的最小值小于b.(3)、恰成立问题。
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专题研究（三）
专题（必修五）：不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x²≥0，在实数范围既x∈R内恒成立
能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,
两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样
的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.
恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在
这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)²=0，在x=1
时恰成立.
可以说恰成立时恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符
合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代
数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式.
例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1
问题类型 关键词1 关键词2
恒成立问题 对任意，一切，所有 恒成立，都成立，都有，总有，总
是，
能成立问题 存在实数…使得，解集不是空集，有解
恰成立问题 解集是，值域是，
一、不等式恒成立问题的处理方法
1、转换求函数的最值：
（1）若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA，()fx的下界大于A
（2）若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB,()fx的上界小于A
类型一：一次函数类型—用一次函数的性质
对于一次函数],[,)(nmxbkxxf有：
0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnf
mf
xf恒成立恒成立
类型二：二次函数类型—用二次函数的图像
设)0()(2acbxaxxf，
（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；
2
（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。
类型三：二次函数在闭区间上恒成立的问题：设)0()(2acbxaxxf
（1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立
0)(2020)(2fababf
a
b
或或
，
],[0)(xxf在
上恒成立0)(0)(ff
（2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff
],[0)(xxf在
上恒成立
0)(2020)(2fababf
a
b
或或
类型四：分离变量法
min)()(xfIxxf恒成立对一切
max
()()fxxIfx对一切恒成立
。
类型五：数形结合法
1）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方；
2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方。
恒成立问题解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法（分
离常数法）、数形结合等解题方法求解。
例题：
例1、（1）对任意]1,1[a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。
解：分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式
044)2(2xxax
在]1,1[a上恒成立的问题。
令44)2()(2xxaxaf，则原问题转化为0)(af恒成立（]1,1[a）。
当2x时，可得0)(af，不合题意。
3
当2x时，应有0)1(0)1(ff解之得31xx或。
故x的取值范围为),3()1,(。
例1、已知函数fx的定义域为R，求实参数k的取值范围：
（1）22lg[(1)]yxkxk （2）2log241afxxkxk；
（3）2241fxxkxk； （4）2log41afxkxkxk；
解：（1）由题设可将问题转化为不等式22(1)0xkxk对Rx恒成立，即有22(1)40kk解得
113kk或。所以实数k的取值范围为),31
()1,(
。
（2）fx的定义域为R关于x的不等式22410xkxk的解集为
R
216810kk
1210kk
1
12k
，∴ 11,2k。
（3）fx的定义域为R关于x的不等式22410xkxk的解集为R
216810kk
1210kk
1
12k
，∴ 11,2k。
（4）fx的定义域为R关于x的不等式2410kxkxk的解集为R
0k或2016410kkkk 0k
或105k105k，∴
1
0,5k
二、不等式能成立问题的处理方法:图像法、最值法
若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立,则等价于在区间D上maxfxA；
若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立,则等价于在区间D上的minfxB.
例3、若关于x的不等式32aaxx的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ．
解：不等式能成立的问题. 设aaxxxf2.
则关于x的不等式32aaxx的解集不是空集3xf在,上能成立
3minxf
,即,3442minaaxf解得6a或2a
例4、已知函数21ln22fxxaxx（0a）存在单调递减区间，求a的取值范围
4
解：xaxxxhb221ln)(,22时，则.1221)(2xxaxaxxxh
因为函数hx存在单调递减区间，所以()0hx有解.由题设可知,xh的定义域是,0 ,
而0xh在,0上有解,就等价于0xh在区间,0能成立,
即xxa212, ,0x成立, 进而等价于xuamin成立,其中xxxu212.
由xxxu2121112x得,1minxu.于是,1a,
由题设0a,所以a的取值范围是,00,1
三、不等式恰好成立问题的处理方法：韦达定理法、代入法、最值法
若不等式Axf在区间D上恰成立, 则等价于不等式Axf的解集为D；
若不等式Bxf在区间D上恰成立, 则等价于不等式Bxf的解集为D.
例5、已知,22xaxxxf当xfx,,1的值域是,0,试求实数a的值.
解：是一个恰成立问题,这相当于022xaxxxf的解集是,1x.
当0a时,由于1x时, 3222xaxxaxxxf,与其值域是,0矛盾,
当0a时, 222xaxxaxxxf是,1上的增函数,
所以,xf的最小值为1f,令01f,即.3,021aa