2020届河北省衡水中学高三下学期第七次调研数学(文)试题(解析版)
值，进而确定 t 的最大负值. 【详解】
第 4 页 共 23 页
由图象可知： 5T 5 5 5 ，T 2 ，解得： 2 .
4 6 12 4
f
5 12
2
sin
2
5 12
2
sin
5 6
2 ，
5 2k k Z ，解得： 2k k Z ，
6
2
3
又
p(x) 1 ln(2 x) 的图象上,所以 y 1 ln[2 (2 x)],即 y 1 ln x ,
所以 g(x) 1 ln x ,
由
f
( x1 )
g(x2 ) 得 2x1
1
ln
x2
,即
x1
1 2
1 2
ln
x2
,
第 8 页 共 23 页
所以
x1
x2
1 2
1 2
ln
x2
x2
,
令 h(x) 1 1 ln x x , 22
得结果. 【详解】
M x y
2x x2
1 2
x 2x x2 0
0, 2 ， N x 1 x 1 1,1 ，
M N 0,1 .
故选： A .
【点睛】 本题考查集合运算中的交集运算，涉及到函数定义域和一元二次方程的求解问题，属于 基础题.
2．已知复数 z 满足 z 1 i 2ti t R ．若 z 2 2 ，则 t 的值为（ ）
）
A． 1,2
B． 1,2
C． 2,1
D． 2,1
【答案】D
【解析】根据奇偶性可求得 g x 在 x 0 时的解析式，由此可确定 f x 的单调性，利
用单调性可将所求不等式化为 2 x2 x ，解一元二次不等式求得结果.
【详解】
当 x 0 时， x 0，g x ln 1 x ，
g x 为 R 上的奇函数，g x g x ln1 xx 0，
解正弦型函数解析式的方法，进而采用整体对应的方式利用正弦函数的对称轴构造方
程.
8．如图所示的程序框图是为了求出满足 2n n2 28 的最小偶数 n ，那么在 空白
框中填入及最后输出的 n 值分别是（ ）
A． n n 1和 6 B． n n 2 和 6 C． n n 1和 8 D． n n 2 和 8
点共线时， AB BC 的最小值是（ ）
A． 0
B．1
C． 2
D． 2
【答案】B
【解析】根据向量共线的坐标表示可求得 b 1 2a ，根据数量积的坐标运算可知所求
数量积为 a 12 1，由二次函数性质可得结果.
【详解】
由题意得： AB a 1,1 ， BC b a,1 ，
A, B,C 三点共线，1a 1 1b a ，即 b 1 2a ，BC a 1,1 ，
第 7 页 共 23 页
第三个图中黑色部分面积为
3 4
2
，第四个图中黑色部分面积为
3 4
3
，
第五个图中黑色部分面积为
3 4
4
，
则第五个图中白色部分面积为1
3 4
4
175 256
，
则落在白色区域的细小颗粒物的数量为： 512 175 350 . 256
故选： B .
【点睛】
本题考查均匀随机数思想的应用，关键是能够通过观察得到黑色部分的面积成等比数列
3．函数 f (x) 3x 3x ln | x | 的图像大致为（ ）
第 1 页 共 23 页
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性以及计算 f (1), f 2 ，可得结果.
2
【详解】
由题可知：函数 f (x) 的定义域为 x ,0 0,
f (x) 3x 3x ln | x | 3x 3x ln | x | f x
点，此三棱锥的体积为 2，则该三棱锥外接球体积的最小值为__________．
【答案】 32 3
【解析】由题知，由三棱锥的体积得 mn 6, 又三棱锥 P ABC 的外接球直径是长方 体的体对角线 2R= m2 n2 4 ，得到球的体积表达式，再由基本不等式可得体积的
【答案】D
【解析】空白框中 n 依次加 2 可保证其为偶数，排除 A，C
第 5 页 共 23 页
n 6 时， 26 62 64 36 26 28 ， n 8 时， 2128 82 256 64 28 所以 D 选项满足要求． 故选：D．
9．在平面直角坐标系中， A1, 2 ， B a, 1 ，C b,0 ， a,b R ．当 A, B,C 三
2020 届河北省衡水中学高三下学期第七次调研数学（文）试 题
一、单选题
1．已知集合 M x y
2x x2
1 2，N
x 1 x 1 ，则 M
N （
）
A． 0,1
B． 0,1
C． 1,0
D． 1,0
【答案】A
【解析】根据函数定义域要求和一元二次不等式解法求得集合 M ，进而由交集定义求
，
f x f 2t x 恒成立，则实数 t 的最大负值为（ ）
A． 5 12
【答案】A
B． 3
C． 4
D． 6
【解析】根据函数图象可确定 5T 4
5 4
，由此确定
，利用
f
5 12
2 可求得 ，
从而得到 f x 解析式；由 f x 的对称轴为 x t ，采用整体对应的方式可确定 t 的取
的特点.
12．已知函数 f (x) 2x ，函数 g(x) 与 p(x) 1 ln(2 x) 的图象关于点 (1, 0) 对称，
若 f (x1) g(x2 ) ，则 x1 x2 的最小值为（ ）
A． 2
B． ln 2 1 2
C． ln 2
D． 1 ln 2 2
【答案】D
【解析】设函数 g(x) 上的动点为 (x, y) ,则其关于点 (1, 0) 对称的点 (2 x, y) 在函数
所以可知函数 f (x) 为偶函数
又
f
(1) 2
1 32
1
3 2
ln
1 2
0,
f
2
32 32
ln 2 0
所以选项 D 正确
故选：D
【点睛】
本题主要考查具体函数的图像，这种类型问题，可从以下几个指标判断：（1）函数定义
域；（2）函数奇偶性；（3）特殊值：（3）单调性；（4）值域，属基础题.
A．充分非必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
【答案】A
【解析】试题分析：条件
等价于
，条件 等价于集合
，因为
，且 ，所以 是 的充分不必要条件，即 是 的充分不
必要条件．
【考点】充分必要条件．
7．函数
f
x 2sin x
0,
2
的部分图象如图所示．若对任意
x
R
实数 x 的取值范围为 2,1 .
故选： D .
【点睛】 本题考查利用函数单调性求解函数不等式的问题，涉及到利用奇偶性求对称区间解析
第 3 页 共 23 页
式、函数单调性的判断、一元二次不等式的求解等知识；关键是能够利用单调性将函数
值的大小关系转化为自变量的大小关系.
6．条件
，条件
，则 是 的（ ）
A．1
B． 2
C．
D． 2
【答案】D
【解析】利用复数除法运算求得复数 z ，根据模长定义构造方程求得结果.
【详解】
z 2ti ti 1 i t ti ， z t2 t2 2 2 ，解得： t 2 .
1 i 故选： D .
【点睛】
本题考查根据复数的模长求解参数值的问题，涉及到复数的除法运算，属于基础题.
p(x) 1 ln(2 x) f (x1) g(x2 ) 可得
x1
1 2
1 2
ln
x2
,进而可得
x1
x2
1 2
1 2
ln
x2
x2
,然后构造函数利用导数可求得
最小值. 【详解】
设函数 g(x) 上的动点为 (x, y) ,则其关于点 (1, 0) 对称的点 (2 x, y) 在函数
4．2019 年第十三届女排世界杯共 12 支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将 12
支队伍的积分制成茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（ ）
A．17.5 和 17
B．17.5 和 16
C．17 和 16.5
D．17.5 和 16.5
【答案】D
【解析】根据茎叶图将这 12 个数据按照从小到大的顺序排成一列,再根据中位数和平均
2
2 22 22 2 2 2
即
x1
x2
的最小值为
1 2
ln
2
.
故选:D 【点睛】 本题考查了函数图象的对称性,构造法,利用导数研究函数的最小值,利用对称性求出函
数 g(x) 的解析式是解题关键,本题属于中档题.
二、填空题
13．如图，三棱锥 P ABC 的四个顶点恰是长､宽､高分别是 m ，2， n 的长方体的顶
数的概念可得答案.
第 2 页 共 23 页
【详解】 根据茎叶图的概念可得这 12 个数据分别为:2,3,5,13,17,17,18,19,21,23,28,32, 再根据中位数的概念可得中位数为 17.5, 根据平均数的概念可得平均数为
2 3 5 13 17 17 18 19 21 23 28 32 16.5 . 12
则 h(x) 1 1 2x 1(x 0) ,
2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学(理)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}M N =I ，则M N ⋃的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】先求出集合M ，再求出M N ⋃，即可得解. 【详解】Q {2}M N =I ，∴2M ∈即{0,2}M =，∴{}0,1,2M N =U ，∴M N ⋃子集个数为328=个.故选：D. 【点睛】本题考查了集合的运算和子集的概念，属于基础题. 2．已知复数121iz i-=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】转化条件得1322iz =--，即可得解. 【详解】 由题()()()()121121311122i i i iz i i i ---===--++-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于基础题.3．设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2-B ．12C ．4-D ．14【答案】A【解析】先计算1416f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用奇函数的性质()()44f f -=-即可得解. 【详解】 由题意()()2211log 44log 421616f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法和函数奇偶性的应用，属于基础题.4．设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（ ） A ．20 B ．30C ．44D ．88【答案】C【解析】利用等差数列的性质可求出6a ，再利用11611S a =即可得解. 【详解】Q {}n a 为等比数列，∴2621016a a a =⋅=且4620a a q =⋅>，∴664b a ==，又 {}n b 为等差数列，∴1111161111442a a S a +=⨯==. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题.5．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n β⊥ B ．若αβ⊥，//n α，则n β⊥ C ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，m β⊥，n α⊥，则n β⊥ 【答案】D【解析】根据线面、面面关系的性质和判定逐一判断即可. 【详解】若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故A 错误；若αβ⊥，//n α，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故B 错误； 若//m α，//m β，则α与β可能平行也可能相交，故C 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又 n α⊥，则n β⊥，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的性质和判定，属于基础题.6．如图是数学界研究的弓月形的一种，,,AC CD DB 是以AB 为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是,,,AB AC CD DB ，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A 63633ππ-+B 63633ππ++C 2323π+D 632633ππ-+【答案】A【解析】由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解. 【详解】不妨设六边形的边长为1，由题意得21+231163+3=222S ππ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭总63+363==828S S S πππ--=阴影总半圆， ∴6363863+3633S P S ππππ--===+阴影总故选：A. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题.7．已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则()y f x =的解析式可以为（ ）A ．72sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．72sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．752sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．752sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图可得()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即可求出ϕ，图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即可求出ω，即可得解. 【详解】由图像可知()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即2sin 12cos 0ϕωϕ=⎧⎨<⎩，Q 0>ω，0ϕπ<<，∴56πϕ=. 又 图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即552sin()066ππω+=，∴()5566k k Z ππωπ+=∈， ∴()615k k Z ω=-+∈， 当2k =时，75ω=.则75()2sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数()sin y A ωx φ=+解析式的确定和导数的应用，属于中档题.8．已知向量(3b =r ，向量a r 在b r方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．3【答案】A【解析】设(),a x y =r 36x y+=-，()34x λ=-，整体代换即可得解.【详解】设(),a x y =r，Q a r 在b r方向上的投影为6-，∴62a b x b ⋅+==-r rr 即12x =-.又 ()a b b λ+⊥r r r，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即130x y λ+++=，∴()4x λ=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M的离心率为（ ）A B C ．2 D 或2 【答案】C【解析】转化条件得b a =e =即可得解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为by x a=±， 又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 60ba==o∴双曲线离心率2e ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.10．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 的中点，M 为直线1BD 上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ）A B C ．4D 【答案】B【解析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算1BD 与OE 的距离，计算，即可。
2020届河北省衡水中学高三下学期第七次调研数学(文)试题解析
绝密★启用前2020届河北省衡水中学高三下学期第七次调研数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合()1222M x y x x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，{}11N x x =-<<，则M N =I （ ）A ．[)0,1B ．()0,1C ．(]1,0-D ．()1,0-答案:A根据函数定义域要求和一元二次不等式解法求得集合M ，进而由交集定义求得结果. 解：(){}[]12222200,2M x y x x x x x ⎧⎫==-=-≥=⎨⎬⎩⎭Q ，{}()111,1N x x =-<<=-， [)0,1M N ∴=I .故选：A . 点评：本题考查集合运算中的交集运算，涉及到函数定义域和一元二次方程的求解问题，属于基础题.2．已知复数z 满足()()12z i ti t R +=∈．若z =，则t 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．±1D ．2±答案:D利用复数除法运算求得复数z ，根据模长定义构造方程求得结果. 解：()211tiz ti i t ti i==-=++Q ，z ∴==，解得：2t =±. 故选：D . 点评：本题考查根据复数的模长求解参数值的问题，涉及到复数的除法运算，属于基础题. 3．函数()()33ln ||x xf x x -=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案:D根据函数的奇偶性以及计算()1(),22f f ，可得结果. 解：由题可知：函数()f x 的定义域为()(),00,x ∈-∞+∞U()()()()33ln ||33ln ||x x x x f x x x f x -+--=+-=+=所以可知函数()f x 为偶函数又()()11222211()33ln 0,233ln 2022f f --⎛⎫=+<=+> ⎪⎝⎭所以选项D 正确 故选：D 点评：本题主要考查具体函数的图像，这种类型问题，可从以下几个指标判断：（1）函数定义域；（2）函数奇偶性；（3）特殊值：（3）单调性；（4）值域，属基础题.4．2019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将12支队伍的积分制成茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（ ）A ．17.5和17B ．17.5和16C ．17和16.5D ．17.5和16.5答案:D根据茎叶图将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列,再根据中位数和平均数的概念可得答案.解：根据茎叶图的概念可得这12个数据分别为:2,3,5,13,17,17,18,19,21,23,28,32, 再根据中位数的概念可得中位数为17.5, 根据平均数的概念可得平均数为23513171718192123283212+++++++++++16.5=.故选:D 点评：本题考查了茎叶图的概念,中位数和平均数的定义,将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列是答题的关键,属于基础题.5．已知函数()g x 是R 上的奇函数．当0x <时，()()ln 1g x x =--，且()()2,0,0x x f x g x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围为（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()2,1--D ．()2,1-答案:D根据奇偶性可求得()g x 在0x >时的解析式，由此可确定()f x 的单调性，利用单调性可将所求不等式化为22x x ->，解一元二次不等式求得结果. 解：当0x >时，0x -<，()()ln 1g x x ∴-=-+，()g x Q 为R 上的奇函数，()()()()ln 10g x g x x x ∴=--=+>，()()2,0ln 1,0x x f x x x ⎧-≤⎪∴=⎨+>⎪⎩，2y x =-Q 在(],0-∞上单调递增，()ln 1y x =+在()0,∞+上单调递增，且当0x =时，()2ln 1x x -=+，()f x ∴在R 上单调递增，∴由()()22f x f x ->得：22x x ->，即220x x +-<，解得：21x -<<， ∴实数x 的取值范围为()2,1-.故选：D . 点评：本题考查利用函数单调性求解函数不等式的问题，涉及到利用奇偶性求对称区间解析式、函数单调性的判断、一元二次不等式的求解等知识；关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系. 6．条件，条件，则是的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 答案:A 试题分析：条件等价于，条件等价于集合，因为，且，所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件．【考点】充分必要条件．7．函数()()2sin 0,2f x x πωϕϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．若对任意x ∈R ，()()2f x f t x =-恒成立，则实数t 的最大负值为（ ）A ．512π-B ．3π-C ．4π-D ．6π-答案:A根据函数图象可确定5544T π=，由此确定ω，利用1252f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭-可求得ϕ，从而得到()f x 解析式；由()f x 的对称轴为x t =，采用整体对应的方式可确定t 的取值，进而确定t 的最大负值. 解：由图象可知：555546124T πππ=+=，2T ππω∴==，解得：2ω=. 5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，()5262k k Z ππϕπ∴-+=-+∈，解得：()23k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，3πϕ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.()()2f x f t x =-Q ，()f x ∴关于直线x t =对称， ()232t k k Z πππ∴+=+∈，解得：()122k t k Z ππ=+∈，则当1k =-时，t 取得最大负数，此时512t π=-.故选：A . 点评：本题考查根据正弦型函数的对称轴确定参数值的问题，关键是能够熟练掌握利用图象求解正弦型函数解析式的方法，进而采用整体对应的方式利用正弦函数的对称轴构造方程.8．如图所示的程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小偶数n ，那么在X空白框中填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1=+n n 和6B ．2=+n n 和6C ．1=+n n 和8D ．2=+n n 和8答案:D空白框中n 依次加2可保证其为偶数，排除A ，C6n =时，622664362628-=-=≤，8n =时，1282282566428-=-> 所以D 选项满足要求． 故选：D ．9．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．0B ．1CD ．2答案:B根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.解：由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r，,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r， ()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.故选：B . 点评：本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.10．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±答案:B先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=o，即260MOF ∠=o ，从而解得渐近线方程. 解： 如图所示：。
河北省衡水中学2020届高三下学期七调试题理(数学解析)
一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（）A. {}01x x ≤≤ B. {}11x x -<≤C. {}0,1D. {}1答案：C 【分析】先分别求出集合A ，B ，由此利用交集定义能求出A ∩B ． 解：∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 故选C ．点评：本题考查交集的求法，是基础题，注意条件x Z ∈，属于易错题．2.复数1122ii ++的虚部为（ ） A. 110 B. 110-C.310D. 310-答案：A 【分析】 化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 解：由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122ii ++的虚部为110.故选：A.点评：本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数2R 变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱答案：A 【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.解：∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.点评：该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.4.已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8答案：C 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可.解：不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，4OF =，∴OP =POQ 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，OP =∴6PQ ==. 故选C点评：本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.5.一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A. 12E E ξξ<，12D D ξξ< B. 12E E ξξ=，12D D ξξ> C. 12E E ξξ=，12D D ξξ< D. 12E E ξξ>，12D D ξξ>答案：B 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 解：1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=.()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B.点评：离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.6.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和B. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和C. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和D. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和答案：A【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次由S中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，故选A．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为A. 2B. 1C.32 D.52答案：C 【分析】判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可．解：由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点， 俯视图如图所示：可得其面积为：1113222111122222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 点评：本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题. 8.如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足3AOBS=，则1sin 3cos sin 2222ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值为( )A. 513-B. 1213-C.1213D.513答案：C 【分析】 由AOBS，可得()3sin αβ-=，结合β的范围可得3παβ-=，化简1sin3cos sin cos 2222αααβ⎫-+=⎪⎭，利用点B 的坐标即可得解.解：由()13sin 24AOBSOA OB αβ=-=，得()3sin 2αβ-=. 根据题意可知125B(,1313-)，所以512sin ,cos 1313ββ=-=， 可知06πβ-<<，203παβ<-<.所以3παβ-=.131112sin3cos sin sin sin sin cos 222222636213cos sin ααααππππααβββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+=+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选C.点评：本题主要考查了任意角三角函数的定义及二倍角公式和诱导公式，属于中档题.9.已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A. 35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 35,22⎛⎤⎥⎝⎦C. 725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：D 【分析】化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 解：f （x ）=2sin （ωx﹣3π）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx﹣3π）=﹣1得ωx﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx﹣3π=76π+2kπ，∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω，k∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =322ππωω+，x B =46ππωω+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ， 即322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ．点评：本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．10.已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ） A. 14,19⎛⎫⎪⎝⎭B. 14,09⎛⎫⎪⎝⎭C. 14,027⎛⎫⎪⎝⎭D. 14,127⎛⎫⎪⎝⎭答案：C 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.解：设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=， 同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 点评：本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），则下列结论正确的个数为（ ）①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得//DM 平面1BC D ；③若1A DM 的面积为S ，则23,233S ⎛∈ ⎝；④若1S 、2S 分别是1A DM 在平面1111D C B A 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S .A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：C 【分析】平面1A DM 与平面11A B CD 为同一平面,证明1B C ⊥平面11A B CD 即可判断①；由证明平面1//A BD 平面11B D C 判断②；连接1AD 交1A D 于点O ,当1OM AC ⊥时可得1AD OM ⊥,利用相似可得111OM OAC D AC =,进而求得1A DM 的最小面积,即可判断③；分别判断点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 、2S 的范围,进而判断④. 解：连接1B C ,1BC ,设平面11A B CD 与对角线1AC 交于M ,由11B C BC ⊥,1DC BC ⊥可得1B C ⊥平面11A B CD ,即1B C ⊥平面1A DM ,所以存在点M ,使得平面1A DM ⊥平面1BC D ,所以①正确；连接BD ,11B D ,由11//BD B D ,11//A D B C ,利用平面与平面平行的判定,可证得平面1//A BD 平面11B D C ,设平面1A BD 与1AC 交于M ,可得//DM 平面11B D C ,所以②正确； 连接1AD 交1A D 于点O ,过O 点作1OM AC ⊥,在正方体1111ABCD A B C D -中,1AD ⊥平面11ABC D ,所以1AD OM ⊥,所以OM 为异面直线1A D 与1AC的公垂线,根据11AOM AC D ∽,所以111OM OA C D AC =,即1113OA C D OM AC ⋅===, 所以1A DM的最小面积为111122A DMSA D OM =⨯⨯=⨯=所以若1A DM 的面积为S ,则S ∈⎣,所以③不正确； 在点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 从1减少趋向于0,即1(0,1)S ∈,2S 从0增大到趋向于2,即2(0,2)S ∈,在此过程中,必存在某个点M 使得12S S ,所以④是正确的,综上可得①②④是正确的, 故选:C点评：本题考查面面垂直的判断,考查线面垂直的判断,考查空间中线面关系的判断,考查空间想象能力.12.已知函数2()ln 2,()ln x xe f x xe x x g x x x x-=---=+-的最小值分别为,a b ，则（ ）A. a b =B. a b <C. a b >D. ,a b 的大小关系不确定 答案：A 【分析】分别对()f x ，()g x 求导，求出其最小值,a b ，可得其大小关系.解：由题意得：2'11(1)(1)()1x x x xxxe x e x x xe f x e xe x x x+--+-=+--==， 易得0,10x x >+>，设'()0f x =，可得10x xe -=，可得1xe x=，由xy e =与1y x =图像可知存在0(0,1)x ∈，使得001xe x =，可得当0(0,)x x ∈，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞，'()0f x >，可得()f x 得最小值为0()f x ，即000001()ln 21x a f x x e x x -==⋅---=-； 同理：2222'2221(1)(1)(1)()()1x x x x xe e e x x x x e x g x x x x x------+---=+-==，设'()0g x =，可得1x =或者2x e x -=，由2x y e-=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，使得121x ex -=，可得当1(,)x x x ∈时，'()0g x <，当1(,1)x x ∈时，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得1112211112()ln 121x x x e b g x e x x x e ---==+-=+--=-，故1a b ==-，故选：A.点评：本题主要考查利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题. 二、填空题（共4题，每题5分）13.已知二项式2nx ⎛ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则3x 的系数为__________. 答案：240 【分析】先由题意利用二项式系数的性质求得n 的值，可得通项公式，在通项公式中，令x 的幂指数等于3，求得r 的值，可得3x 的系数.解：二项展开式的第1r +项的通项公式为1(2)rrn r r n T C x -+⎛= ⎝，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5， 可得：12:2:5n n C C =，解得：6n =.所以1(2)rr n r r n T C x -+⎛= ⎝366262(1)r r r r C x --=-，令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为262262(1)240C --=，故选C.点评：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项式系数，二项展开式的通项公式，展开式中特定项的系数，属于简单题目.14.数学老师给出一个函数()f x ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(]0-∞， 上函数单调递减；乙：在[)0+∞，上函数单调递增；丙：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称；丁：()0f 不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的． 答案：乙 【分析】根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想.解：如果甲、乙两个同学回答正确，因为在[)0+∞，上函数单调递增， 所以丙说：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称是错误的，此时()0f 是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确矛盾， 所以应该是甲、乙两个同学有一个回答错误， 此时丙正确，则乙就是错误的. 故答案为乙.点评：本题利用函数的性质考查逻辑推理能力和反证法思想，考查数形结合思想的运用. 15.已知ABC ∆的一内角3A π=，10AB =，6AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC +=，则3m n +的值为__________.答案：45【分析】由OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心，根据向量数量积可得AO AB AO AC ⋅⋅、的值，代入AO mAB nAC =+可的m 、n 的方程组，即可求得m 、n 的值，进而求得3m n +的值．解：因为OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心 所以1cos 502AO AB AB AO BAO AB AB ⋅=∠=⨯= 1cos 182AO AC AC AO CAO AC AC ⋅=∠=⨯=而AO mAB nAC =+，且1cos1063032AB AC AB AC π⋅==⨯⨯= 即()()5018AO AB mAB nAC AB AO AC mAB nAC AC ⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩化简得1003050303618m n m n +=⎧⎨+=⎩解得71519m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以714331595m n +=+⨯= 点评：本题考查了向量线性运算及向量数量积的应用，关键是找到各向量间的关系，属于难题． 16.已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则2c bb a+的取值范围为__________． 答案：()2,4由正弦定理可知．()sin 2sin 2sin 2sin sin cos 2sin cos sin sin sin sin sin sin A B c b C B B A B BA b aB A B A B A++=+=+=++，又2A B=，则22sin cos sin 2cos 2sin cos 2cos sin sin sin A B B B B B B B B B ===，2sin 2sin 1sin sin 2cos B B A B B ==，从而2214cos 1cos c b B b a B +=-+，又2A B =，知3πA B B +=<，所以π03B <<，则1cos 12B <<，换元可令cos t B =，则2211min max 2212141|2,41|4t t c b c b t t a a t a a t ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-=+<+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故本题应填()2,4．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=（p 为常数）.（1）若1a -，212a ，4a 成等差数列，求p 的值； （2）是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？并说明理由.答案：（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在实数2p =，使得{a n }为等比数列 【分析】（Ⅰ）由已知求得a 2，a 4，再由-a 1，21a2，a 4成等差数列列式求p 的值； （Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }为等比数列，可得2213a a a ，求解p 值，验证得答案．解：（Ⅰ）由a 1=2，112pn n n a a ++=，得p 122a 2+=，p2a 2=，则p 2p 132a 2+=，p 13a 2+=，p 13p 142a 2++=，2p 4a 2=．由1a -，21a 2，a 4成等差数列，得a 2=a 4-a 1， 即2222p p =-，解得：p=1； （Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }等比数列，则2213a a a =，即2122222p p p ++=⋅=，则2p=p+2，即p=2． 此时121122pn n n n a a +++==， 23122n n n a a +++=，∴2n 2n24a a +==， 而3122a a =，又12a =，所以24a =，而21a 2a 42==，且242=， ∴存在实数2p =，使得{a n }为以2为首项，以2为公比的等比数列． 点评：本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，是中档题．18.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60︒，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =.（1）求证：//BF 平面ADE ； （2）G 为线段CF 上的点，当14CG CF =时，求二面角B EG D --的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）根据四边形ABCD 是矩形，得到//BC AD ，根据线面平行的判定定理得到//BC 平面ADE ，进而得到//CF 平面ADE ，利用面面平行的判定定理证得平面//BCF 平面ADF ，利用面面平行的性质得到//BF 平面ADE ，证得结果；（2）根据题意，证得平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，建立空间直角坐标系O xyz -，写出相应点的坐标，利用空间向量求得二面角的余弦值. 解：（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以//BC AD ， 又因为BC ⊄平面ADE ，所以//BC 平面ADE ，因为//DE CF ，CF ⊄平面ADE ，所以//CF 平面ADE ， 又因为BCCF C =，所以平面//BCF 平面ADF ，而BF ⊂平面BCF ，所以//BF 平面ADE .（2）解：因为CD AD ⊥，CD DE ⊥，所以60ADE ∠=︒， 因为CD ⊥平面ADE ，故平面CDEF ⊥平面ADE ， 作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由2AD =，3DE =，60ADE ∠=︒，得1DO =，2EO =， 则(0,0,3)A ，(3,1,0)C -，(0,1,0)D -，(0,2,0)E ，所以OB OA AB OA DC =+=+=， 由已知1(3,,0)2G，所以(3,2,BE =-，10,,2BG ⎛= ⎝， 设平面BEG 的一个法向量为(,,)m x y z =，则32012m BE x y m BG y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 取3x =，6y =，z =m =，又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)n =，所以31cos ,||||4936m n m n m n ⋅<>===⋅+，即二面角B EG D --的余弦值为14.点评：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面平行的判定和面面平行的性质，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题目.19.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量120BF BF ⋅=.（1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程；（2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.答案：（1）22142x y +=；（2）存在满足条件的直线，斜率12k =-±. 【分析】（1）由题易知a 2=，因为120BF BF =，所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由此可求b ，即可得到椭圆的标准方程;（2）由（1）可得22b c =．222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y则()()1001,,,F P x c y F B c c =+=由题意得120BF BF =,即000x c y ++=，又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c+=,联立可得41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，则1122,33x c y c =-=，利用两点间的距离公式可得圆的半径r ．设直线的方程为：()k y x c =-．利用直线与圆相切的性质即可得出．解：（1）易知a 2=，因为120BF BF =所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由222a b c -=可知b 2=故椭圆的标准方程为：22142x y +=（2）由已知得22b c =,222a c =设椭圆的标准方程为222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y因为()()1,0,0,F c B c -,所以()()1001,,,F P x c y F B c c =+= 由题意得120BF BF =,所以000x c y ++=又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c +=,由以上两式可得200340x cx +=因为P 不是椭圆的顶点，所以0041,33x c y c =-=，故41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，则1122,33x c y c =-= 圆的半径r 3c ==假设存在过2F 的直线满足题设条件，并设该直线的方程为()k y x c =-r =,3c =即2202010k k +-=，解得12k =- 故存在满足条件的直线．点评：本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 20.由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图.（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立.①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小，不需要说明理由.答案：（1）0.024a =；0.026b =；甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9；乙在1分钟内解开密码锁的频率是0.7（2）①按乙丙甲派出的顺序期望更小②先派出甲，再派乙，最后派丙 【分析】（1）根据甲解开密码锁所需时间的中位数求得b ，根据频率求得a ，由此求得甲在1分钟内解开密码锁的频率.通过频率分布直方图求得乙在1分钟内解开密码锁的频率. （2）①分别求得两个不同顺序的方法对应的数学期望，由此求得期望更小的安排方法.②按照解锁概率大的人员排前面，期望值最小.通过计算前两位、后两位人员交换时，期望值的变化情况，来确定最优的排法.解：（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，∴0.0150.014550.0345b ⨯+⨯+⨯+⨯()0.0447450.5+⨯-=，解得0.026b =； ∴0.0430.032550.010100.5a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =；∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是10.01100.9f =-⨯=甲；乙在1分钟内解开密码锁的频率是10.03550.02550.7f =-⨯-⨯=乙；（2）由（1）知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是10.9p =，20.7p =，30.5p =且各人是否解开密码锁相互独立；设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为()1E X ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为()2E X 则()121P X p ==，()()23112P X p p =-=，()()()231131p p P X =--=，()()()()21332223111E X p p p p p +-+--=232332p p p p =--+，∴()()1232323E X p p p p p =-++-， ①∴()()1232323 1.45E X p p p p p =-++-= 同理可求得()()2232333 1.65E X p p p p p =-++-= 所以按乙丙甲派出的顺序期望更小. ②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙， （下面是理由，给老师和学生参考）设按先后顺序自能完成任务的概率分别为1p ，2p ，3p ，且1p ，2p ，3p 互不相等， 根据题意知X 的取值为1，2，3；则()11P X p ==，()()1221P X p p ==-，()()()12131p P p X =--=，()()()()1221121311E X p p p p p +-+--=121232p p p p =--+，∴()()121213E p p p p p X =-++-，若交换前两个人的派出顺序，则变为()121223p p p p p -++-，由此可见，当12p p >时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁； 若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，∵交换前()()()121211123321p p p p p E p X p p =-++-=---， ∴交换后的派出顺序则期望值变为()113321p p p ---，当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小.点评：本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查频率分布直方图频率、中位数有关计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.21.已知函数()()ln ,02x bf x ax a b x =-+>，对任意0x >，都有()40f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ()1讨论()f x 的单调性；()2当()f x 存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围.答案：(1) 当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x在10,2a ⎛ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x在⎝⎭上单调递增.；(2) 104a << 【分析】（1）根据()40f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭可得4b a =，得到()4ln 2x a f x ax x =-+，求导后，分别在0∆≤和>0∆两种情况下讨论导函数符号，得到单调性；（2）根据（1）中所求单调性，否定14a ≥的情况；在104a <<时，首先求得2x =为一个零点；再利用零点存在性定理求解出221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中存在一个零点0x ；根据()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可确定另一个零点04x ，从而可知104a <<满足题意.解：（1）由()424ln ln 024x b a xb f x f ax x x x x ⎛⎫+=-++-+= ⎪⎝⎭，得4b a = 则()4ln 2x a f x ax x =-+，()222144(0)a ax x af x a x x x x-+-'=--=> 若21160a ∆=-≤时，即14a ≥时，()f x 在()0,∞+单调递减 若21160a ∆=->，即104a <<时，()24h x ax x a =-+-有两个零点零点为：10x =>，20x =>又()24h x ax x a =-+-开口向下 当10x x <<时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减当12x x x <<时，()0h x >，()0f x '>，()f x 单调递增当2x x >时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减综上所述，当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x 在10,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在⎝⎭上单调递增 （2）由（1）知当14a ≥时，()f x 单调递减，不可能有三个不同的零点； 当104a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递减，()f x 在()12,x x 上单调递增 ()22ln 2202f a a =-+=，又124x x =，有122x x << ()f x ()12,x x 上单调递增，()()120f x f <=，()()220f x f >=()4ln 2x a f x ax x=-+ 23211ln24f a a a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭令()231ln24g a a a a =--+，()42222411221'122a a a g a a a a a -+=-++= 令()41221h a a a =-+，()3482h a a ='-单调递增 由()34820h a a -'==，求得014a => 当104a <<时，()h a 单调递减，()131104642h a h ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭ ()23211ln24f g a a a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 故()21113ln240416f g a g a ⎛⎫⎛⎫=<=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()20f x >，221x a > 由零点存在性定理知()f x 在区间221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个根，设为：0x 又()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得040f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1040x x <<，04x 是()f x 的另一个零点 故当104a <<时，()f x 存在三个不同的零点04x ，2，0x 点评：本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数研究函数零点的问题.解决零点个数问题的关键是能够选取合适的区间，利用零点存在性定理证得在区间内存在零点，从而使得零点个数满足题目要求；难点在于零点所在区间的选择上，属于难题.22.在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值；（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.答案：（1）（2）(0,.【分析】（1）将直线l 极坐标方程转化成直角坐标，设出P 点坐标，利用点到直线的距离公式及辅助角公式，根据余弦函数的性质，即可求得点P 到直线l 的距离的最大值；（2）由题意可知：t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>4<，即可求得a 的取值范围.解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(cos sin )2ρθρθ-=-)x y -=-, ∴直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离d ==)6t π=++， 当26t k ππ+=，即26t k ππ=-，k Z ∈时，max d =故点P 到直线l的距离的最大值为（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>)40t ϕ++>（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a取值范围(0,. 点评：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，利用参数方程求曲线上的点到直线距离的最值，恒成立问题的转化，属于简单题目.23.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：（1）()2()4a b ab c abc ++≥；（2）若3a b c ++=答案：证明过程详见解析【分析】⑴将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化简后的不等式成立123222a a +++≤=，同理可得另外两个也是成立，结合已知条件即可求证结果解：证明：(1)要证()()24a b ab c abc ++≥，可证222240a b ac ab bc abc +++-≥，需证()()2222b 220a c ac a c b bc +-++-≥，即证()()220b a c a c b -+-≥，当且仅当a b c ==时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式()()24a b ab c abc ++≥成立．(2)因,,a b c均为正实数，123222a a+++≤=，当且仅当12a+=时，取等号，123222b b+++≤=当且仅当12b+=时123222c c+++≤=当且仅当12c+=时，取等号，62a b c d+++≤=1a b c===时，取等号．点评：本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果．。
年河北省衡水中学高三下七调数学试卷及答案(文科1)
河北省衡水中学高三（下）七调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={x|y=ln（x2﹣3x﹣4）}，N={y|y=2x﹣1}，则M∩N等于（）A．{x|x＞4}B．{x|x＞0}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＞4或x＜﹣1}2．（5分）复数的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．2i D．﹣2i3．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=44．（5分）平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心到O平面α的距离为（）A．B．C．1 D．25．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F 为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．6．（5分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4+4πB．4+3πC．3+4πD．3+3π7．（5分）抛掷两枚质地的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线bx+ay=1的斜率的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称，f（﹣1）=320且，则的值为（）A．240 B．260 C．320 D．﹣3209．（5分）3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，也就是在圆内割正多边形，求的近似值，刘徽容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失唉，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限近圆的面积，利用“割圆术”刘徽得到圆周率精确到小数点后两位的计算值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（参考数据：sin15°=0.259）（）A．6 B．12 C．24 D．4810．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f[f（x）]=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）11．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．12．（5分）已知函数g（x）=x3+2x﹣m+（m＞0）是[1，+∞）上的增函数．当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（）A．（0，﹣3）B．（2，﹣3）C．（0，0） D．（0，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）已知向量，则=．14．（5分）若变量x，y满足，则点P（x，y）表示的区域的面积为．15．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c=．16．（5分）某公司在进行人才招聘时，由甲乙丙丁戊5人入围，从学历看，这5人中2人为硕士，3人为博士：从年龄看，这5人中有3人小于30岁，2人大于30岁，已知甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，最后，只有一位年龄大于30岁的硕士应聘成功，据此，可以推出应聘成功者是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知正项等比数列{b n}（n∈N+）中，公比q＞1，b3+b5=40，b3b5=256，a n=log2b n+2．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若c n=，求数列{c n}的前n项和S n．18．（12分）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下等级12345频率0.05m0.150.35n（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．19．（12分）如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点．（1）求证：FD∥平面AHC；（2）求多面体ABCDEF的体积．20．（12分）已知a为常数，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=e x（其中e是自然数对数的底数）．（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点P（x0，y0）为，求x0的值；（2）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．21．（12分）已知椭圆C1：+=1的离心率为e=且与双曲线C2：﹣=1有共同焦点．（1）求椭圆C1的方程；（2）在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；（3）设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足⊥，∥，连结AC交DE于点P，求证：PD=PE．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（θ为参数）在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的普通方程．（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0）．当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的运动轨迹方程．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）七调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={x|y=ln（x2﹣3x﹣4）}，N={y|y=2x﹣1}，则M∩N等于（）A．{x|x＞4}B．{x|x＞0}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＞4或x＜﹣1}【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中x2﹣3x﹣4＞0，即M={x|x＞4或x＜﹣1}，N={y|y=2x﹣1}={y|y＞0}，则M∩N={x|x＞4}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）复数的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．2i D．﹣2i【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：=，则复数的共轭复数是：﹣2i．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．4．（5分）平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心到O平面α的距离为（）A．B．C．1 D．2【分析】先求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离．【解答】解：∵截面圆的面积为π，∴截面圆的半径是1，∵球O半径为2，∴球心到截面的距离为．故选：A【点评】本题考查球的性质、球的体积、点到平面的距离，属于基础题．5．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F 为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN ⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选D【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．6．（5分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4+4πB．4+3πC．3+4πD．3+3π【分析】由三视图知该几何体是上半部分是直径为1的球，下半部分是底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，由此能求出该几何体的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是上半部分是直径为1的球，其表面积为S1==π，下半部分是底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，其表面积为S2==4+3π，∴该几何体的表面积S=S1+S2=4+4π．故选：A．【点评】本题考查几何体的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．7．（5分）抛掷两枚质地的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线bx+ay=1的斜率的概率是（）A．B．C．D．【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，由直线bx+ay=1的斜率，得到，利用列举法求出满足题意的（a，b）可能的取值，由此能求出直线bx+ay=1的斜率的概率．【解答】解：抛掷两枚质地的骰子，得到的点数分别为a，b，基本事件总数n=6×6=36，∵直线bx+ay=1的斜率，∴，满足题意的（a，b）可能的取值有：（3，1），（4，1），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），共6种，∴直线bx+ay=1的斜率的概率p==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）已知函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称，f（﹣1）=320且，则的值为（）A．240 B．260 C．320 D．﹣320【分析】把cosx﹣sinx提取，利用两角和的余弦函数公式的逆运算化为一个角的余弦函数，即可求得cos（x+）的值，然后利用诱导公式求出sin2x的值，进而求得等于f（7），根据f（x）的图象关于直线x=3对称，得到f（3+x）=f（3﹣x），即可推出f（7）=f（﹣1）可求出值．【解答】解：∵，∴cos（x+）=，得cos（x+）=，又∵sin2x=﹣cos（+2x）=1﹣2cos2（x+）=∴=f（7）由题意y=f（x）关于直线x=3对称∴f（3+x）=y=f（3﹣x）即f（7）=f（3+4）=f（3﹣4）=f（﹣1）=320，故选C．【点评】考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式及两角和的余弦函数公式化简求值，会利用函数的对称性解决实际问题．9．（5分）3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，也就是在圆内割正多边形，求的近似值，刘徽容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失唉，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限近圆的面积，利用“割圆术”刘徽得到圆周率精确到小数点后两位的计算值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（参考数据：sin15°=0.259）（）A．6 B．12 C．24 D．48【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，S=3cos30°=＜3.14，不满足退出循环的条件，则n=6，第2次执行循环体后，S=6cos60°==3＜3.14，不满足退出循环的条件，则n=12，第3次执行循环体后，S=12sin15°≈3.106＜3.14，不满足退出循环的条件，则n=24，第4次执行循环体后，S=24sin7.5°≈3.144＞3.14，满足退出循环的条件，故输出的n值为24，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．10．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f[f（x）]=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）【分析】利用换元法设f（x）=t，则方程等价为f（t）=0，根据指数函数和对数函数图象和性质求出t=1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：令f（x）=t，则方程f[f（x）]=0等价为f（t）=0，由选项知a≠0，当a＞0时，当x≤0，f（x）=a•2x＞0，当x＞0时，由f（x）=log2x=0得x=1，即t=1，作出f（x）的图象如图：若a＜0，则t=1与y=f（x）只有一个交点，恒满足条件，若a＞0，要使t=1与y=f（x）只有一个交点，则只需要当x≤0，t=1与f（x）=a•2x，没有交点，即此时f（x）=a•2x＜1，即f（0）＜1，即a•20＜1，解得0＜a＜1，综上0＜a＜1或a＜0，即实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：B．【点评】本题主要考查函数方程根的个数的应用，利用换元法求出t=1是解决本题的关键．注意利用指数函数和对数函数的图象，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强．11．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】求出双曲线的顶点和渐近线方程，设P（m，m），再由两直线垂直和平行的条件，得到m，a，b的关系式，消去m，可得a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A（﹣a，0）、B（a，0），渐近线分别为l1：y=x，l2：y=﹣x．设P（m，m），若PA⊥l2，PB∥l2，则=﹣1①，且=﹣，②由②可得m=，代入①可得b2=3a2，即有c2﹣a2=3a2，即c=2a，则有e==2．故选B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，运用两直线垂直的条件和平行的条件是解题的关键．12．（5分）已知函数g（x）=x3+2x﹣m+（m＞0）是[1，+∞）上的增函数．当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（）A．（0，﹣3）B．（2，﹣3）C．（0，0） D．（0，3）【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出m的最大值，结合过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，判断函数的对称性进行求解即可．【解答】解：由g（x）=x3+2x﹣m+，得g′（x）=x2+2﹣．∵g（x）是[1，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x2+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．设x2=t，∵x∈[1，+∞），∴t∈[1，+∞），即不等式t+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．设y=t+2﹣，t∈[1，+∞），∵y′=1+＞0，∴函数y=t+2﹣在[1，+∞）上单调递增，因此y min=3﹣m．∵y min≥0，∴3﹣m≥0，即m≤3．又m＞0，故0＜m≤3．m的最大值为3．故得g（x）=x3+2x﹣3+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．将函数g（x）的图象向上平移3个长度单位，所得图象相应的函数解析式为φ（x）=x3+2x+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由于φ（﹣x）=﹣φ（x），∴φ（x）为奇函数，故φ（x）的图象关于坐标原点成中心对称．由此即得函数g（x）的图象关于点Q（0，﹣3）成中心对称．这表明存在点Q（0，﹣3），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．故选：A【点评】本题主要考查函数性质的考查，求函数的导数，利用导数研究函数的最值，结合函数的对称性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）已知向量，则=2．【分析】利用向量的坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：﹣2=（﹣1，3），∴=﹣1+3=2．故答案为：2．【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）若变量x，y满足，则点P（x，y）表示的区域的面积为4．【分析】画出约束条件的可行域，求出点的坐标，然后求解区域的面积即可．【解答】解：变量x，y满足表示的可行域如图：则点P（x，y）表示的区域的面积为：．故答案为：4．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力．15．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c=3．【分析】利用正弦定理、余弦定理，化简sinAcosB=2cosAsinB，结合a2﹣b2=c，即可求c．【解答】解：由sinAcosB=2cosAsinB得•=2••，所以a2+c2﹣b2=2（b2+c2﹣a2），即a2﹣b2=，又a2﹣b2=c，解得c=3．故答案为：3．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．16．（5分）某公司在进行人才招聘时，由甲乙丙丁戊5人入围，从学历看，这5人中2人为硕士，3人为博士：从年龄看，这5人中有3人小于30岁，2人大于30岁，已知甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，最后，只有一位年龄大于30岁的硕士应聘成功，据此，可以推出应聘成功者是丁．【分析】通过推理判断出年龄以及学历情况，然后推出结果．【解答】解：由题意可得，2人为硕士，3人为博士；有3人小于30岁，2人大于30岁；又甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，可推得甲丙小于30岁，故甲丙不能应聘成功；又乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，以及2人为硕士，3人为博士，可得乙戊为博士，故乙戊也不能应聘成功．所以只有丁能应聘成功．故答案为：丁．【点评】本题考查推理与证明，考查逻辑推理能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知正项等比数列{b n}（n∈N+）中，公比q＞1，b3+b5=40，b3b5=256，a n=log2b n+2．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若c n=，求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（1）通过b3+b5=40，b3b5=256解得q=2，进而可得结论；（2）通过对c n=分离分母，并项相加即可．【解答】（1）证明：由题可知设数列首项b1＞0，∵b3+b5=40，b3b5=256，∴，解得q=2或q=（舍），又∵b3+b5=40，即=40，∴b1===2，∴b n=2×2（n﹣1）=2n，∴a n=log2b n+2=n+2，∴数列{a n}是以3为首项、1为公差的等差数列；（2）解：∵c n==﹣，∴S n=﹣+﹣…+﹣=﹣=．【点评】本题考查数列的通项及求和问题，涉及到对数的运算等知识，利用并项相消法是解决本题的关键，属于中档题．18．（12分）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下等级12345频率0.05m0.150.35n（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．【分析】（1）通过频率分布表得推出m+n=0.45．利用等级系数为5的恰有2件，求出n，然后求出m．（2）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”的事件数，求解即可．【解答】解：（1）由频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n=1，即m+n=0.45．…（2分）由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得．…（4分）所以m=0.45﹣0.1=0.35．…（5分）（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共计10种．…（9分）记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…（11分）故所求概率为．…（13分）【点评】本题考查概率、统计等基本知识，考查数据处理能力、运算能力、应用意识．19．（12分）如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点．（1）求证：FD∥平面AHC；（2）求多面体ABCDEF的体积．【分析】（1）由∠BAD=∠CDA=90°，可得AB∥CD，再由四边形ABEF为菱形，可得AB∥EF，得到EF∥CD．结合H是EF的中点，AB=2CD，得CD=FH，可得四边形CDFH为平行四边形，从而得到DF∥CH．再由线面平行的判定可得FD∥平面AHC；（2）由平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，可得DA⊥平面ABEF，结合已知可得四棱锥C﹣ABEF的高DA=2，三棱锥F﹣ADC的高AH=．然后由V ABCDEF=V C﹣ABEF+V F 求得多面体ABCDEF的体积．﹣ADC【解答】（1）证明：∵∠BAD=∠CDA=90°，∴AB∥CD，∵四边形ABEF为菱形，∴AB∥EF，则EF∥CD．∵H是EF的中点，AB=2CD，∴CD=FH，∴四边形CDFH为平行四边形，则DF∥CH．∵DF⊄平面AHC，HC⊂平面AHC，∴FD∥平面AHC；（2）解：∵平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，∴DA⊥平面ABEF，∵DC∥AB，∴四棱锥C﹣ABEF的高DA=2，∵∠ABE=60°，四边形ABEF为边长是4的菱形，∴可求三棱锥F﹣ADC的高AH=2．∴V ABCDEF=V C﹣ABEF+V F﹣ADC==．【点评】本题考查线面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．（12分）已知a为常数，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=e x（其中e是自然数对数的底数）．（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点P（x0，y0）为，求x0的值；（2）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，f′（x）=2x+a﹣，可得切线的斜率k=2x0+a﹣==，即x02+lnx0﹣1=0，由x0=1是方程的解，且y=x2+lnx ﹣1在（0，+∞）上是增函数，可证（2）由F（x）==，求出函数F（x）的导数，通过研究2﹣a的正负可判断h（x）的单调性，进而可得函数F（x）的单调性，可求a的范围．【解答】解：（1）f′（x）=2x+a﹣（x＞0），过切点P（x0，y0）的切线的斜率k=2x0+a﹣==，整理得x02+lnx0﹣1=0，显然，x0=1是这个方程的解，又因为y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解．故x0=1；（2）F（x）==，F′（x）=，设h（x）=﹣x2+（2﹣a）x+a﹣+lnx，则h′（x）=﹣2x+++2﹣a，易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2﹣a；①当2﹣a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．所以，a≤2满足题意；②当2﹣a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x0，则h（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减；又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0．又∵h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣e a+lne﹣a＜0，∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．∴a＞2不合题意．综合①②得，a≤2．【点评】考查学生利用导数研究函数的单调能力，函数单调性的判定，以及导数的运算，试题具有一定的综合性．21．（12分）已知椭圆C1：+=1的离心率为e=且与双曲线C2：﹣=1有共同焦点．（1）求椭圆C1的方程；（2）在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；（3）设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足⊥，∥，连结AC交DE于点P，求证：PD=PE．【分析】（1）由椭圆的离心率e=，得到a2=4b2，再结合椭圆与双曲线有共同的交点及隐含条件解得a2，4b2，则椭圆的方程可求；（2）由题意设出切线方程y=kx+m（k＜0），和椭圆方程联立后由方程仅有一个实根得到方程的判别式等于0，即得到k与m的关系，求出直线在x轴和y轴上的截距，代入三角形的面积公式后化为含有k的代数式，然后利用基本不等式求最值；（3）求出A，B的坐标，设出D，E，C的坐标，结合条件⊥，∥可得D，E，C的坐标的关系，把AC，DE的方程都用D点的坐标表示，求解交点P的坐标，由坐标可得P为DE的中点．【解答】（1）解：由e=，可得：，即，∴，a2=4b2①又∵c2=2b2+1，即a2﹣b2=2b2+1 ②联立①②解得：a2=4，b2=1，∴椭圆C1的方程为：；（2）解：∵l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，∴直线l的斜率必存在且为负，设直线l的方程为：y=kx+m（k＜0），联立，消去y整理可得：③根据题意可得方程③只有一实根，∴△=，整理可得：m2=4k2+1 ④∵直线l与两坐标轴的交点分别为且k＜0，∴l与坐标轴围成的三角形的面积⑤④代入⑤可得：（当且仅当k=﹣时取等号）；（3）证明：由（1）得A（﹣2，0），B（2，0），设D（x0，y0），∴E（x0，0），∵，∴可设C（2，y1），∴，由可得：（x0+2）y1=2y0，即，∴直线AC的方程为：，整理得：，点P在DE上，令x=x0代入直线AC的方程可得：，即点P的坐标为，∴P为DE的中点∴PD=DE．【点评】本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了直线与圆锥曲线相切的条件，训练了利用基本不等式求最值，对于（3）的证明体现了整体运算思想方法，属难度较大的题目．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（θ为参数）在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的普通方程．（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0）．当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的运动轨迹方程．【分析】（1）利用坐标转移，代入参数方程，消去参数即可求曲线C′的普通方程；（2）设P（x，y），A（x0，y0），点A在曲线C′上，点B（3，0），点A在曲线C′上，列出方程组，即可求AB中点P的轨迹方程．【解答】解：（1）将代入，得C'的参数方程为∴曲线C'的普通方程为x2+y2=1．…（5分）（2）设P（x，y），A（x0，y0），又B（3，0），且AB中点为P∴有：又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程得（2x﹣3）2+（2y）2=1∴动点P的轨迹方程为（x﹣）2+y2=．…（10分）【点评】本题考查参数方程和直角坐标的互化，利用直角坐标方程与参数方程间的关系，考查代入法的运用，考查计算能力．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）不等式f（x）≤3就是|x﹣a|≤3，求出它的解集，与{x|﹣1≤x≤5}相同，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，根据f（x）+f（x+5）的最小值≥m，可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3．又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，所以解得a=2．（6分）（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．设g（x）=f（x）+f（x+5），于是所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5．从而，若f（x）+f（x+5）≥m即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．（12分）【点评】本题考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查转化思想，是中档题，。
衡水中学第七次调研卷-文数答案
5
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 1 页（共11页）
三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17 ～2 1 题
为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答．
(一 ) 必考题：共 60 分．
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 3 页（共11页）
沿 AF 折到ADF 的位置，将BCE 沿 CE 折到BCE 的位置，使得平面 ADF 底面 AECF ，平面 BCE 底面 AECF ，连接 BD ，
（1） 求证： BD / / 平面 AECF ； （2） 求三棱锥 B ADF 的体积．
（3）由题意可知， z xyˆ 0.375x3 0.875x2 90.25x ，…............................8 分
即 z 3 x3 7 x2 361x ，则 z 9 x2 7 x 361，…............................ 9 分
因为 6547 80.91，所以 x 9.77， 所以当 x 9.77时，商品的月销售额预报值最大．.....................................12 分 19．（本小题满分 12 分） 如图，四边形 ABCD 为长方形，AB 2BC 4 ，E、F 分别为 AB 、CD 的中点，将ADF
16. 解析：为使 PA AF1 3 F1F2 恒成立，只需3 F1F2 ( PA AF1 )max ，
由椭圆的定义可得， AF1 AF2 2a ，
所以 PA AF1 PA AF2 2a PF2 2a ，当且仅当 P, F2 , A 三点共线时取等号( F2 在线段 PA上)，
2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学(理)试题(带答案)
2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学（理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}M N =I ，则M N ⋃的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8 2．已知复数121i z i -=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2- B ．12 C ．4- D ．14 4．设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（ ）A ．20B ．30C ．44D ．88 5．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n β⊥B ．若αβ⊥，//n α，则n β⊥C ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，m β⊥，n α⊥，则n β⊥6．如图是数学界研究的弓月形的一种，,,AC CD DB 是以AB 为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是,,,AB AC CD DB ，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）AB C D 7．已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则()y f x =的解析式可以为（ ）A ．72sin 56y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．72sin 106y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．752sin 106y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．752sin 56y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．已知向量(b =r ，向量a r 在b r 方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ）A ．13B ．13- C ．23 D ．39．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M 的离心率为（ ）A B C ．2 D 或2 10．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 的中点，M 为直线1BD 上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ）A B C D 11．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||AB =，则||PA PB +u u u r u u u r 的最大值为（ ）12．已知不等式3ln 1ln x x m x n -++…（,m n R ∈，且3m ≠-）对任意实数0x >恒成立，则33n m -+的最大值为（ ） A ．2ln2-B ．ln 2-C ．ln21-D ．ln 22-第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知1tan 2α=，则2cos sin 2αα+的结果为____. 14．设样本数据122019,,,x x x L 的方差是5，若213(1,2,,2019)i i y x i =-=L ，则122019,,,y y y L 的方差为_______15．某单位在庆祝新年的联欢晚会中，要安排一个有6个节目的节目单，要求歌曲A 和舞蹈A 相邻，且歌曲A 要排在舞蹈A 的前面；歌曲B 和舞蹈B 不相邻，且歌曲B 和舞蹈B 均不排在最后，则这6个节目的排法有____种.16．在边长为ABCD 中，60A ︒=，沿对角线BD 折起，使二面角A BD C --的大小为120︒，这时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为____.三、解答题17．已知向量,12x m ⎫=⎪⎭u r ，2sin ,cos 22x x n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，设函1()2f x m n =+⋅u r r .在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1()2f A =. （1）求A 的大小； （2）若3a =，2cos()cos 4sin B C A C -+=，求c 的大小.18．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除点,A B 外的一个动点，DC 垂直于O e 所在的平面，垂足为C ，//DC EB ，且1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 为半圆弧的中点时，求二面角D AE B --的余弦值.19．2018年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[)[)[)20,30,30,40,,70,80,⋯，并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从年龄在[)[)[)20,30,30,40,40,50内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示年龄在[)30,40内的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()()0,1,2,,20P X k k ==⋯.当()P X k =最大时，求k 的值. 20．已知椭圆22162x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆于P Q 、两点(直线l 与坐标轴不垂直)，若PQ 的中点为N ，O 为坐标原点，直线ON 交直线3x =于M . (Ⅰ)求证：MF PQ ⊥；(Ⅱ)求PQ MF 的最大值.21．已知函数()2()4x f x x x e -=+-.（1）若不等式()f x m …在区间[1,3]上有解，求实数m 的取值范围；（2）已知函数()()F x f x ax =-，a R ∈，若0x 是()F x 的极大值点，求()0F x 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线2cos :sin x t l y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同的两点,A B . （1）若3πα=，求线段AB 中点M 的坐标；（2）若2PA PB OP ⋅=，其中(2P ，求直线l 的斜率.23．已知函数()|2||1|()f x x m x m R =+--∈.（1）若2m =-，解不等式()5f x …； （2）若()|5|f x m x +„，求m 的最小值.参考答案1．D【解析】【分析】先求出集合M ，再求出M N ⋃，即可得解.【详解】Q {2}M N =I ，∴2M ∈即{0,2}M =，∴{}0,1,2M N =U ，∴M N ⋃子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本题考查了集合的运算和子集的概念，属于基础题.2．C【解析】【分析】 转化条件得1322i z =--，即可得解. 【详解】 由题()()()()121121311122i i i i z i i i ---===--++-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于基础题.3．A【解析】【分析】先计算1416f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用奇函数的性质()()44f f -=-即可得解. 【详解】 由题意()()2211log 44log 421616f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】 本题考查了复合函数函数值的求法和函数奇偶性的应用，属于基础题.4．C【解析】【分析】利用等差数列的性质可求出6a ，再利用11611S a =即可得解.【详解】Q {}n a 为等比数列，∴2621016a a a =⋅=且4620a a q =⋅>，∴664b a ==， 又 {}n b 为等差数列，∴1111161111442a a S a +=⨯==. 故选：C.【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题. 5．D【解析】【分析】根据线面、面面关系的性质和判定逐一判断即可.【详解】若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故A 错误； 若αβ⊥，//n α，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故B 错误；若//m α，//m β，则α与β可能平行也可能相交，故C 错误；若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又 n α⊥，则n β⊥，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的性质和判定，属于基础题.6．A【解析】【分析】由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解.【详解】不妨设六边形的边长为1，由题意得21+211=+3=22228S ππ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭总，=2S S S π--=阴影总半圆∴S P S ===阴影总故选：A.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题.7．D【解析】【分析】由图可得()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即可求出ϕ，图像过点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭即可求出ω，即可得解. 【详解】由图像可知()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即2sin 12cos 0ϕωϕ=⎧⎨<⎩，Q 0>ω，0ϕπ<<，∴56πϕ=. 又 图像过点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭即552sin()066ππω+=，∴()5566k k Z ππωπ+=∈， ∴()615k k Z ω=-+∈， 当2k =时，75ω=.则75()2sin 56f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了三角函数()sin y A ωx φ=+解析式的确定和导数的应用，属于中档题. 8．A【解析】【分析】设(),a x y =r 6=-，()4x λ=-，整体代换即可得解. 【详解】设(),a x y =r ，Qa r 在b r 方向上的投影为6-，∴6a b b⋅==-r r r 即12x +=-.又 ()a b b λ+⊥r r r ，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即130x y λ+++=，∴()4x λ=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.9．C【解析】【分析】转化条件得b a =e =.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为by x a=±， 又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 60ba==o∴双曲线离心率2e ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题. 10．B 【解析】 【分析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算1BD 与OE 的距离，计算，即可。
河北省衡水中学2020届高三数学上学期七调考试试卷 文(含解析)
2020学年度第一学期七调考试高三年级数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，则∁A B={x|x≤1}，故选：B．2.已知复数z满足，则A. B. 1 C. D. 5【答案】C【解析】试题分析：由题意，．考点：复数的运算．【此处有视频，请去附件查看】3.已知，，，(为自然对数的底数)，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算出和的大小关系，然后比较出结果【详解】，，，则故选【点睛】本题考查了比较指数、对数值的大小关系，在解答过程中可以比较和的大小关系，然后求出结果。
4.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2020年9月到2020年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（）A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值【答案】D【解析】选项A错，并无周期变化，选项B错，并不是不断减弱，中间有增强。
C选项错，10月的波动大小11月分，所以方差要大。
D选项对，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以会比1月份。
选D.5.在等差数列中，，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】利用a1+a9 =a2+a8，将与作和可直接得.【详解】在等差数列{a n}中，由与作和得：=（）+-（）∴a1+a9 =a2+a8，∴==6．∴a5=6．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．6.设是边长为2的正三角形，是的中点，是的中点，则的值为（）A. 3B.C. 4D.【答案】A【解析】【分析】用表示,在利用向量数量积的运算，求得的值.【详解】，故选A.【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量数量积的计算，还考查了等边三角形的几何性质，属于基础题.7.已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，，且的最小值为，则等于（）A. B. 5 C. D. 4【答案】C【解析】分析：先设，再根据的最小值为求出p的值，再求|BF|的长得解.详解：设，则因为，所以或（舍去）.所以故答案为：C点睛：（1）本题主要考查抛物线的基础知识.(2)解答本题的关键是转化的最小值为，主要是利用函数的思想解答.处理最值常用函数的方法，先求出函数|PA|的表达式再求函数在的最小值.8.已知，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】故选B9..一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由三视图可知还几何体是以ABCD为底面的四棱锥，由此可求其外接球的半径，进而得到它的外接球的表面积.详解：由三视图可知还几何体是以为底面的四棱锥，过作，垂足为，易证面，设其外接球半径为，底面ABCD是正方形外接圆，．设圆心与球心的距离为，则由此可得，故其外接球的表面积故选B.点睛：本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10.已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图像可知点M的轨迹为线段，两个端点分别为和的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M的轨迹.【详解】由题意可作如下图像：因为直线PQ与平面无交点所以与此平面平行，所以，当点P、点Q分别在点、C处时，此时中点M为中点，当点P、点Q分别在点、处时，此时中点M为中点，若D、E、F分别为三条棱的中点，则点M的轨迹为等边三角形的中线，设底面边长为x，由底面面积可得：，解得，所以轨迹长度为.故选D.【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.11.在斜中，设角，，的对边分别为，，，已知，若是角的角平分线，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知，可得结合余弦定理可得又是角的角平分线，且，结合三角形角平分线定理可得，再结合余弦定理可得的值，则可求.【详解】由已知，根据正弦定理可得又由余弦定理可得故即结合三角形角平分线定理可得，再结合余弦定理可得，，由，可得故故选B.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理及三角形角平分线定理，属中档题.12.（原创，中等）已知函数，若且满足，则的取值范围是（ )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，得，结合分段函数的范围可得，又，构造函数，求函数导数，利用单调性求函数值域即可.【详解】由，得.因为，所以，得.又令.令 .当时，，在上递减故选A.【点睛】函数的零点或方程的根的问题，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值域取值范围问题；研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。
2020届河北省衡水中学高三第七次调研考试数学(文)试题
2020届河北省衡水中学高三第七次调研考试高三数学（文）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
1．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}2|4B x x =≤，则A B =I （ ） A ．[]2,1-- B ．[)1,2- C ．[]1,1- D ．D ．[)1,22．i 为虚数单位，复数2i i 1z =-在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第二象限 B ．第一象限 C ．第四象限 D ．第三象限3．设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 69S S = ( ) A ． 2 B ．73 C ． 83D ．D.3 4. 在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)5．已知向量)=a ，()0,1=-b，(k =c ，若()2-⊥a b c ，则k 等于（ ） A． B ．2 C ．C ．3- D ．16．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，()0,0ωϕ><<π的部分图像如图所示，则ω，ϕ的值分别是（ ）A ．31,4πB ．2,4πC ．C ．34ππ,D ．24ππ, 7．条件:|4|1P x ->，条件1:13Q x>-，则P ⌝是Q ⌝的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 .D 既不充分也不必要条件 8. 设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点,P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．2[0,)[,)23πππ⋃B ． 5[0,)[,)26πππ⋃C ． 2[,)3ππD ． 5(,]26ππ 9. 函数的最大值为 （ ）A ．B ．C ．D ． 2 10. 设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( ) A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a α，b β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b11. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 1sin sin A b B C a c +=++，则C 为（ ） A ．6πB ．B ．3πC ．23πD ．56π12. 在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 20二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．函数f(x)＝log a 3－x 3＋x(a>0且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为__________． 14若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．15．满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，并使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________． 16．数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，则a n ＝. 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(12分) 已知函数bx ax x x f 62)(23+-=在1-=x 处有极大值7．(Ⅰ)求)(x f 的解析式；(Ⅱ)求)(x f 的单调区间；18. （12分）已知向量, ,函数 .（1）求函数的最小正周期及单调递增区间; （2）当时,求 的值域.19．(12分)如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点．(1)求证：GF ∥平面ABC ；(2)求证：AC ⊥平面EBC ；(3)求几何体ADEBC 的体积V .20．（12分）已知()23f x x =--，()21n g x x x ax =-且函数()f x 与()g x 在1x =处的切线平行．（1）求函数()g x 在()()1,1g 处的切线方程；（2）当()0,x ∈+∞时，()()0g x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．21 （12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2*2n n n S n +=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()*3n a n n b a n =⋅∈N ，求数列{}n b 的前n 项和。
2020年河北省衡水市第七中学高三数学文联考试卷含解析
2020年河北省衡水市第七中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设i是虚数单位，则复数的虚部是()参考答案：B略2. 在△ABC中，，则△的面积为( )A． B． C． D.参考答案：C略3. 过原点和在复平面内对应点的直线的倾斜角为（）A． B． C． D．参考答案：D4. 抛物线y=4 x 2 关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是（）A．y=-1 B．y=-1C．x=-1 D．x=-1参考答案：D【知识点】抛物线及其几何性质H7抛物线，准线y=-,关于x=y对称的直线x=-为所求。
【思路点拨】先求出的准线方程，再根据对称性求出。
5. 已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B6. 对于数集A，B，定义若集合A={1,2}，则集合中所有元素之和为A、B、C、D、参考答案：D7. 设复数满足，则（）A．B．C．D．参考答案：C8. 函数y＝cos（ωx＋φ）（ω>0,0<φ<π）为奇函数，该函数的部分图象如右图所表示，A、B分别为最高与最低点，并且两点间的距离为2，则该函数的一条对称轴为（）A．x＝B．x＝C．x＝1 D．x＝2参考答案：C略9. 已知函数，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g(x)的图象．关于函数g(x)，下列说法正确的是（）A. 函数g(x)是奇函数B. 函数g(x)图象关于直线对称C. 其当时，函数g(x)的值域是[－1,2]D. 函数g(x)在上是增函数参考答案：C【分析】先根据图象变换得解析式，再根据余弦函数性质判断选择.【详解】因为函数的图象沿x轴向左平移个单位，得到，所以函数是偶函数；函数图象关于点对称；当时，函数的值域是；函数在单调递减，不是增函数，故选C【点睛】本题考查三角函数图象变换以及余弦函数性质，考查基本分析判断求解能力，属基础题.10. 函数的值域为A．[0,4] B．(－∞,4] C．[0,+∞)D．[0,2]参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y 的最小值为．参考答案：3【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．12. 已知cos（+α）=，且﹣π＜α＜﹣，则cos（﹣α）= ．参考答案：﹣考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：由已知，且，可求，而=，从而可求解答：解：∵∴∵∴∵，∴==，故答案为：．点评：本题主要考查了综合应用同角平方关系，诱导公式求解三角函数值，主要考查了公式的应用，难度不大，到要求熟练掌握公式并能灵活应用．13. 设等差数列满足公差,,且数列中任意两项之和也是该数列的一项.若，则的所有可能取值之和为_________________.参考答案：364略14. （x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）参考答案：﹣20【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．15. 由中可猜想出的第个等式是_____________参考答案：16. 已知a=dx，在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x的项的系数为．参考答案：﹣10【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】求定积分求得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1求出r的值，即可求得含x的项的系数．【解答】解：a=dx=（2x﹣x2）=2﹣1=1，二项式（x2﹣）5 =（x2﹣）5，∴二项式（x2﹣）5的展开式的通项公式为T r+1=?（﹣1）r?x10﹣3r，令10﹣3r=1，求得r=3，含x的项的系数为﹣=﹣10，故答案为：﹣10．17. （5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：（1）f（2x）=2f（x）；（2）当2≤x≤4时，f （x）=1﹣|x﹣3|，则集合S={x|f（x）=f（34）}中的最小元素是．参考答案：6【考点】：函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：先利用f（2x）=2f（x），求出f（34）的值，再根据f（x）=1﹣|x﹣3|，求出f（x）=f（34）时x的最小值．解：根据题意，得；∵f（2x）=2f（x），∴f（34）=2f（17）=4f（）=8f（）=16f（）；又∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|，∴f（）=1﹣|﹣3|=，∴f（2x）=16×=2；当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|≤1，不存在；当4≤x≤8时，f（x）=2f（）=2[1﹣|﹣3|]=2，解得x=6；故答案为：6．【点评】：本题考查了根据函数的解析式求函数值以及根据函数值求对应自变量的最小值的应用问题，是基础题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
(理+文)2020届衡水中学高三七调数学试题
球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ξ1；当无放回依次取出两个小球时，
记取出的红球数为 ξ2，则（ ）
A．Eξ1＜Eξ2，Dξ1＜Dξ2
B．Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2
C．Eξ1＝Eξ2，Dξ1＜Dξ2
D．Eξ1＞Eξ2，Dξ1＞Dξ2
6.已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是 A．求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2017 项的和 B．求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2018 项的和 C．求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1009 项的和 D．求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1010 项的和
不负众望荣膺十冠王.将 12 支队伍的积分制成茎叶图如图所
示，则这组数据的中位数和平均数分别为
A. 17.5 和 17
B. 17.5 和 16
C. 17.5 和 16.5
D. 17 和 16.5
6、条件
，条件
，则 是 的（ ）
A. 充分非必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要的条件
y
1
2t 2
点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（I）写出曲线 C 与圆 M 的极坐标方程；
（II）在极坐标系中，已知射线 l : 0 分别与曲线 C 及圆 M 相交于 A, B ，当
0,
2
时，求
SOMB SOMA
的最大值.
21、已知 x 1 是函数 f (x) ax2 x x ln x 的极值点. 2
f (x1) g(x2 ) ，则 x1 x2 的最小值为
A.2
B. ln 2 -1
C. 1 ln 2