数学-高中必修五-解三角形-经典题目
解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1正弦定理
【典型题剖析】
考察点1：利用正弦定理解三角形 例1
在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.
【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：::1:2:3,A .
,,,
6
3
2
1::sin :sin :sin sin
:sin
:sin
:1 2.6
3
2
2A B C B C A B C a b A B C ππ
π
π
π
π
π
=++=∴=
=
=
∴===
=而
【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC 中，已知
，C=30°，求a+b 的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°，
，∴由正弦定理得：
sin sin sin a b c A B C === ∴
)sin （150°-A ）.
∴
)[sinA+sin(150°
)·2sin75°·cos(75°
-A)=
2
cos(75°-A)
① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b
取得最大值
2
；
② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°,
∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，
∴＞
2
cos75°
=
2
. 综合①②可得a+b 的取值范围为
,8+
考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3
在△ABC 中，2
a ·tanB=2
b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB 得：
()
()2
2
sin sin 2R sin 2R sin cos cos B A A B B A
?
=?
, sin cos sin cos ,A A B B ∴=
即sin 2sin 2A B =，2222A B A B π∴=+=或，
2
A B A B π
∴=+=
或.
∴ABC 为等腰三角形或直角三角形。
【解题策略】“在△ABC 中，由sin 2sin 2A B =得∠A=∠B ”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B 或∠A+∠B=2
π
”的导出过程。 例4
在△ABC 中，如果lg lg lg sin lg a c B -==-B 为锐角，试判断此三角形的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC 的形状。
解：
lg sin sin B B =-∴=
. 又∵B 为锐角，∴B=45°.
由lg lg lg 2
c a c a -=-=得
由正弦定理，得
sin sin A C =∵18045,A C =?-?-代入上式得：
()
2sin 135C C =?-
()2sin135cos cos135sin C C =?-?
,C C =
cos 0,90,45.C C A ∴=∴=?∴=? ABC ∴为等腰直角三角形。
考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式
例5
在△ABC 中，求证
222222
0cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A
---++=+++.
【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将222
a b c ，，转化为2
2
2
sin ,sin ,sin A B C .
证明：由正弦定理的变式a 2sin ,2sin R A b R B ==得：
2222224sin 4sin =cos cos cos cos a b R A R B
A B A B --++
2224[cos cos ]cos cos R A B =+（1-A ）-(1-B)
222(cos cos )4(cos cos )cos cos B A R B A A B
-==-+
同理22
222
24(cos cos ),
cos cos 4(cos cos ).
cos cos b c R C B B C c a
R A C C A
-=-+-=-+ 2=4(cos cos cos cos cos cos )0R B A C B A C ∴-+-+-==∴左边右边等式成立。
【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。 例6
在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，C=2B ，求证2
2
c b ab -=. 【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用. 证明：
180,180.A B C B C A ++=?∴+=?-
2,.C B C B B =∴-=又
sin()sin(180)sin ,B C A A +=?-=
2222222224(sin sin )
4(sin sin )(sin sin )
42sin cos 2cos sin
2222
4sin()sin()4sin sin .c b R C B R C B C B B C C B B C C B
R R C B C B R A B ab ∴-=-=+-+-+-=????=+-===∴右边等式成立.
【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。
,,,2222
222.
A B C
A B C A B C A B C ππππ+++=+=-=-+
=-（1） (2)sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .A B C A B C A B C +=+=-+=-
(3)sin cos ,cos sin ,tan 22222
cot .2
A B C A B C A B
C +++===
(4)sin(22)sin 2,cos(22)cos 2,tan(22)tan 2.
A B C A B C A B C +=-+=+=-
考察点4：求三角形的面积
例7
在△ABC 中，a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边，
若2,,cos
4
25
B a
C π
===,求△ABC 的面积S.
【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c ，再求面积。
解：由题意cos
25B =，得23cos 2cos 1,25
B B =-=
∴B
为锐角，43sin ,sin sin()sin(),5410
B A B
C B ππ∴==--=-= 由正弦定理得10,7
c =
111048sin 2.22757
S ac B ∴==???=
【解题策略】在△ABC 中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，,sin()sin ,cos()cos ;sin 2
A B
A B C A B C A B C π+++=+=+=-= cos ,cos sin .222
C A B C += 例8
已知△ABC 中a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边，△ABC 的外接圆半径为12，且3
C π
=,
求△ABC 的面积S 的最大值。
【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。 解：11
sin 2sin 2sin sin 22
ABC
S
ab C R A R B C =
=
22
sin sin[cos()cos()]
A B A B A B
==--+
2
1
[cos()].
2
R A B
=-+
cos()1,
A B A B
-==
当即时，
2
max
()144
44
ABC
S R
===
【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。
考察点5：与正弦定理有关的综合问题
例9
已知△ABC的内角A,B极其对边a,b满足cot cot,
a b a A b B
+=+求内角C
【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。
解法1：
cot cot,2
sin sin
a b
a b a A b B R
A B
+=+==
且（R为△ABC的外接圆半径），
sin cos cos sin,1sin21cos2.
A A
B B A B
∴-=-∴-=-
cos2cos20
A B
∴-=
sin2sin22cos()sin().
cos()sin()0,
cos()0sin()0.
A B A B A B
A B A B
A B A B
-=+-
∴+-=
∴+=-=
又
或
又∵A,B为三角形的内角，,
2
A B A B
π
∴+==
或
22
A B C
ππ
+==
当时，；
当A B
=时，由已知得cot1,,.
42
A A
B C
ππ
=∴+=∴=
综上可知，内角
2
C
π
=.
解法2：
由cot cot
a b a A b B
+=+及正弦定理得，
sin sin=cos cos
A B A B
++，
sin cos cos sin
A A
B B
-=-，
从而sin cos cos sin cos sin sin cos,
4444
A A
B B
ππππ
-=-
即sin()sin().44
A B π
π
-
=- 又∵0＜A+B ＜π，,4
4
A B π
π
∴-
=
-
,.2
2
A B C π
π
∴+=
∴=
【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解
题的关键。 例10
在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,且c=10,
cos 4
cos 3
A b
B a ==，求a,b 及△AB
C 的内切圆半径。
【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。 解：cos cos sin ,=,cos cos sin A b A B
B a B A
=由
可得 变形为sin cos sin cos ,sin 2sin 2A A B B A B =∴= 又
,22,,2
a b A B A B π
π≠∴=-∴+=
∴△ABC 是直角三角形。
由222
1043,a b b a ?+=?
?=??
解得6,8.a b == 6810
222
a b c ABC +-+-∴==的内切圆半径为r=
【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。
『高考真题评析』
例1（广东高考）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C
所对的边，若
1,2,a b A C B ==+=则sin _______C =
【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角C
的值。
【点拨】在△ABC 中，,A B C π++=又2A C B +=，故3
B π
=
，由正弦定理知
sin 1sin ,2
a B A
b =
=又a ＜b ，因此6B A =从而可知2C π
=，即sin 1C =。故填1.
【名师点评】解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。 例2（北京高考）如图1-9所示，在△ABC
中，若21,,3
b c C π
=== 则_________.a =
【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。
11
,sin .sin 2sin 3
B B =∴= ∵
C 为钝角，∴B 必为锐角，
. 1.6
6
B A a b π
π
∴=
∴=
∴==
故填1
【名师点评】
在()0,π范围内，正弦值等于1
2
的角有两个，因为角C 为钝角，所以角B 必为锐角，防止忽略角的范围而出现增解
例3（湖北高考）在△ABC 中，15,10,60,a b A ===?则cos B 等于（ ）
.A
B
.C -
D
【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式，解题的关键是确定角B 的范
围。
【点拨】由正弦定理得
10151010sin 602,sin sin 60sin 15
15B B ?
?
=∴==
=?∵a ＞b ，60A =?，∴B
为锐角。cos B ∴=== D 【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B 的范围，从而确定角B 的余弦值。
例4
（天津高考）在△ABC 中，cos .cos AC B
AB C
= （1）求证 B C =； （2）若1cos 3A =-
，求sin 43B π?
?+ ??
?的值。
【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、
二倍角的正弦与余弦等基础知识，同时考察基本运算能力。 证明：（1）在△ABC 中，由正弦定理及已知，得
sin cos sin cos B B
C C
=。 于是sin cos cos sin 0,B C B C -=即()sin 0.B C -= 因为π-＜B-C ＜π，从而B-C=0，所以B=C . 解：（2）由A B C π++=
和（1）得2A B π=-，故()1
c o s2c o s 2c o s
3
B B A π=-
-=-=
又0＜2B ＜π，于是sin 2B ==
从而sin 42sin 2cos 2B B B ==，
227cos 4cos 2sin 29B B B =-=-。所以sin 4sin 4cos 3318B B ππ?
?+== ??
?
【名师点评】（1）证角相等，故由正弦定理化边为角。（2）在（1）的基础上找角A 与角B
的函数关系，在求2B 的正弦值时要先判断2B 的取值范围。
知能提升训练 学以致用
1、在△ABC 中，下列关系式中一定成立的是（ ） A ．a ＞sin b A B. a =sin b A C. a ＜sin b A D. a ≥sin b A
2、（山东模拟）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，,13
A a b π
===，则c 等
于（ ）
1
3、（广东模拟）在△ABC 中，15,10,60a b A ===?，则sin B 等于（ ）
A ±
±4、在△ABC 中，若
cos cos cos a b c
A B C
==
，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B.等边直角三角形 C ．钝角三角形 D.等腰直角三角形 5、在锐角△ABC 中，若C=2B ，则c
b
的范围是（ ）
A ．()0,2 B.)
C. D.(
6、在△ABC 中，,,45a b A λ===?，则，满足此条件的三角形有（ ） A ．0个 B.1个 C.2个 D.无数个
7、在△ABC 中，若A ：B ：C=3：4：5，则a ：b ：c 等于（ ）
A ．3：4：:
)
1
8、（2011·浙江模拟）在△ABC 中，135,15,5,B C a =?=?=则此三角形的最大边长为（ ）
A ． B.
9、在△ABC 中75,45,A B c =?=?=则________b =。
10、（2011·山东模拟）在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若
,2,s i n c o 2a b B B ==+，则角A 的大小为_______。
11、在△ABC 中已知a x =cm ，2b =cm ，45B =?，如果利用正弦定理解三角形有两解，那么x 的取值范围是______________
13、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，求证()222sin sin A B a b c C
--=。
14、在△ABC 中，tan 3,tan 2,c A B ===求,a b 及三角形的面积。
15、已知方程()2
cos cos 0x b A x a B -+=的两根之积等于两根之和，且,A B 为△ABC 的
内角，,a b 分别为,A B 的对边，判断△ABC 的形状。
16、在△ABC 中，13tan ,tan .45
A B == （1）求角C 的大小；
（2）若△ABC ，求最小边的长。
1.1.2 余弦定理
『典型题剖析』
考察点1： 利用余弦定理解三角形 例1：
已知△ABC
中，3,30,b c B ===?求A ，C 和a 。
【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长a 的方程，首先求出边长a ，再由再由正弦定理求角A ，角C ，也可以先由正弦定理求出角C ，然后再求其他的边和角。 解法1：
由正弦定理222
2cos ,b a c ac B =+-
得(
2
2232cos30a a =+-??，
29180,a a ∴-+=解得3a =或6.当3a =时，30,120A C =?∴=?
当6a =时，由正弦定理得1
6sin 2sin 1,3
a B
A b
?===90,60.A C ∴=?∴=?
解法2：
由b ＜c ，30,B =?b
＞1sin 302c ?==
由正弦定理得1
sin 2sin 3c B
C b
=
==， 60C ∴=?或120?，
当60C =?时，90A =?，由勾股定理得：
6a ===
当120C =?时，30A =?，∴△ABC 为等腰三角形，3a ∴=。
【解题策略】比较两种解法，从中体会各自的优点，从而探索出适合自己思维的解题规律和方法。三角形中已知两边和一角，有两种解法。方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程，利用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦。方法二直接运用正弦定理，先求角再求边。
例2：
△ABC
中，已知6a b c ==+=，求A ，B ，C
考察点2： 利用余弦定理判断三角形的形状 例3：
在△ABC 中，已知()()3,a b c a b c ab +++-=且2cos sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。
【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状，从问题的已知条出发，
找到三角形边角之间的关系，然后判断三角形的形状。
例4：已知钝角三角形ABC 的三边,2,4,a k b k c k ==+=+求k 的取值范围。
【点拨】由题意知△ABC 为钝角三角形，按三角形中大边对大角的原则，结合a,b,c 的大小关系，故必有C 角最大且为钝角，于是可有余弦定力理求出k 的取值范围。 解：
2222cos ,c a b ab C =+-C ∴当为钝角时，2cos ab C -＞0，22a b ∴+＜2c ，
()2
22k k ∴++＜()2
4k +，解得-2＜k ＜6.而k+k+2＞k+4，∴k ＞2.故2＜k ＜6.故k 的取
值范围是()2,6.
【解题策略】应用三角形三边关系时，应注意大边对大角。
考察点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题
例6在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 。
（1）求证
()222sin ;sin A B a b c C
--= （2）求证
cos sin cos sin a c B B
b c A A
-=
- 【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用
证明：（1）由2
2
2
2cos ,a b c bc A =+-得；22222
2cos 12cos a b c bc A b
A c c c
--==-??。 又∵
sin ,sin b B
c C
= ∴22
2
sin sin 2sin cos 12cos sin sin a b B C B A A c C C
--=-?
?=
()sin 2cos sin sin cos cos sin sin sin A B A B A B A B
C C +--=
=()sin .
sin A B C
+=
故原式成立。
（2）左边2222222
2222222222222a c b a a c b a c ac a b c a b b c a b c bc b
+---+-?
==+---+-?
222
222
sin 2sin 2a c b b B
a b c a a A
b
-+====-+右边。 故原式成立。
考察点4：正余弦定理的综合应用 例7：在ABC
中，已知)
1,30,b a C =
=?求,.A B
【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。 解：
(
)
2223
1,2cos b a c b
a a
b C =
-∴
=+-
)
)
2
22
1212
a
a a ??=
+-?
?
?
(
)
22241a a a =-+
(
2
2.a =
∵a
＞0,c ＞0,
,c
c a ∴=∴=
由正弦定理得sin ,sin c C
a A
=
1
sin 4A
∴=====
75A ∴=?或105?.
由)
1b a =
知a ＞b,
若75,A =?则()18075,,B A C a b =?-+=?=与已知矛盾。
()105,18045.A B A C ∴=?=?-
+=?
【解题策略】本题边未知，已知一角，所以考虑使用余弦定理得a ，c 的关系，再结合正弦定理求sin
.A 注意特殊角的三角函数值，如：sin 75?=
?=
例8：设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222
,b c a +=+
（1）求A 的大小；
（2）求()2sin cos sin B C B C --的值。
数学必修五第一单元检测 解三角形
第一章解三角形 一、选择题 1．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()． A．10 km B．10km C．10km D．10km 2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是()． A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．三角形三边长为a，b，c，且满足关系式(a＋b＋c)(a＋b－c) ＝3ab，则c边的对角等于()． A．15° B．45° C．60° D．120° 4．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别 为a，b，c，且a∶b∶c＝1∶∶2，则sin A∶sin B∶sin C＝()．A．∶2∶1 B．2∶∶1 C．1∶2∶ D．1∶∶2 5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()． A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形 D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形 6．在△ABC中，a＝2，b＝2，∠B＝45°，则∠A为()． A．30°或150°B．60°C．60°或 120°D．30°
7．在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sin A＋2x sin B＋(1－x2)sin C ＝0有两个不等的实根，则A为()． A．锐角 B．直角 C．钝 角 D．不存在 8．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为()．A． B． C． D．3 9．在△ABC中，＝c2，sin A·sin B＝，则△ABC 一定是()． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 10．根据下列条件解三角形：①∠B＝30°，a＝14，b＝7；②∠B＝60°，a＝10，b＝9．那么，下面判断正确的是()． A．①只有一解，②也只有一解． B．①有两解，②也有两解． C．①有两解，②只有一解． D．①只有一解，②有两解． 二、填空题 11．在△ABC中，a，b分别是∠A和∠B所对的边，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则∠A的值是． 12．在△ABC中，已知sin B sin C＝cos2，则此三角形是__________三角形． 13．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4， b＝5，S＝5，求c的长度 ． 14．△ABC中，a＋b＝10，而cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值 ． 15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为，则△ABC的周长为________________．
高中解三角形题型大汇总
解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______
人教版高一必修五解三角形单元试题及答案
高一必修5 解三角形单元测试题 1．在△ABC 中，sinA=sinB ，则必有 （ ） A ．A=B B ．A ≠B C ．A=B 或A=C －B D ．A+B= 2 π 2．在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．在ABC ?中，若 b B a A cos sin =，则B 的值为 （ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 4．在ABC ?中，bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 等于 （ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 5．在△ABC 中，b =， ，C=600，则A 等于 （ ） A ．1500 B ．750 C ．1050 D ．750或1050 6．在△ABC 中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c 等于 （ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ． 2: D ． 7．△ABC 中，a=2，A=300，C=450，则S △ABC = （ ） A B ． C 1 D ．11)2 8．在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则acosB+bcosA 等于 （ ） A ． 2 b a + B ． b C ． c D ．a 9．设m 、m ＋1、m ＋2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．0＜m ＜3 B ．1＜m ＜3 C ．3＜m ＜4 D ．4＜m ＜6 10．在△ABC 中，已知a=x ， A=450，如果利用正弦定理解这个三角形有两个解， 则x 的取值范围为 （ ） A ． B ．2
高中数学的必修五解三角形知识点归纳
解三角形 一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- (2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== (3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B ．R 为C ?AB 的外接圆的半径） 正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）) 三．余弦定理： 222 2cos a b c bc =+-A 222 2cos b a c ac =+-B 222 2cos c a b ab C =+-． 注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论： 222 cos 2b c a bc +-A = 222 cos 2a c b ac +-B = 2 2 2 cos 2a b c C ab +-= ．
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题1
解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角.
(完整版)高中数学必修五解三角形测试题及答案
（数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？
高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题
第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a
注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状： 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O ,
(完整版)必修五-解三角形-题型归纳
构成三角形个数问题 1在 ABC 中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A. 2 x 2\f2 B. X 2 血 C . V2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足 ABC 60 , AC 12 , BC k 的厶ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 3.在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A* CJ = S J fr = 10^ A = 45" E ? 口 = 60 r ￡* = S1 B = 6（T * C. a — 7 > ￡> = 5 ? A - &0= D ? 口二 14# 6 - 20 , -4-45"心 求边长问题 A. 5 B 5?在△ ABC 中, a 1,B 450, S ABC 2，则 b = _________________ 三. 求夹角问题 6.在 ABC 中， ABC -, AB 2,BC 3，则 sin BAC （） 4 10 10 3 10 5 A. 10 B 5 C 10 D 5 7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 4.在 ABC 中，角 A, B,C 所对边 a,b,c ，若 a 3,C 1200 , ABC 的面积S 15 3 4
1 2 2 2 acosB bcosA csinC, S -(b c a )，则/ B=() 4 A. 90° B . 60° C . 45° D . 30° 四.求面积问题 &已知△ ABC中，内角A，B, C所对的边长分别为a,b,c.若a 2bcosA, B -,c 1，则 3 △ ABC的面积等于( ) 书书书书 A B------ B ■ C i D i +11 8 6 4 2 A 9.锐角ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos2C j (i)求sinC的值； (n)当a 2, 2si nA si nC时，求b的长及| ABC的面积. 10?如图，在四边形ABCD 中，AB 3,BC 7J3,CD 14, BD 7, BAD 120 (1 )求AD边的长; (2)求ABC的面积.
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
数学必修5解三角形,正弦,余弦知识点和练习题
解三角形 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? . 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ?中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot A B C A B C A B C +++===.、 1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ） A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45°
【高中数学】解三角形基本题型
解三角形 解三角形 正弦定理的基本运用 1、 △A BC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为 。 2、 在△ABC 中，b cos A =a cos B ，则三角形为 。 3、 已知△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°，则c = 。 4、 在△ABC 中，已知150,350,30==?=c b B ，那么这个三角形是 。 5、 在ABC ?中，?===452232B b a ，，，则A 为 。 6、 在△ABC 中，A =60°，C =45°，b =2，则此三角形的最小边长为 。
余弦定理的基本运用 1、 在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于 。 2、 已知△ABC 的面积2,32,3===b a S ，解此三角形。 3、 在△ABC 中，1326+===c b a ，，，求A 、B 、C 。 4、 在△ABC 中，化简b cos C +c cos B = 。 5、 在△ABC 中，化简 ) cos cos cos (222c C b B a A c b a abc ++++。 正余弦定理的综合运用 1、已知在△ABC 中，c =10，A =45°，C =30°，求a 、b 和 B 。 2、在△ABC 中，c =22，tan A =3,tan B =2,试求a 、b 及此三角形的面积。 3、在△ABC 中，a =2，A =30°,C =45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于 。
4、已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为。 5、△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为3,则△ABC外接圆的直径 为。 6、在△ABC中，BC=3，AB=2，且 )1 6 ( 5 2 sin sin + = B C ，A=。
完整word版,人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案
人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 锐角△ABC 中，已知a =√3，A =π 3，则b 2+c 2+3bc 的取值范围是( ) A. (5，15] B. (7，15] C. (7，11] D. (11，15] 2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA =2sinBcosC ，则△ABC 的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 在△ABC 中，∠A =60°，b =1，S △ABC =√3，则 a?2b+c sinA?2sinB+sinC 的值等于 ( ) A. 2√39 3 B. 263 √3 C. 8 3√3 D. 2√3 4. 在△ABC 中，有正弦定理：a sinA =b sinB =c sinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆 的直径.如图2所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点 M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( ) A. λ先变小再变大 B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值 C. λ先变大再变小 D. λ是一个定值 5. 已知三角形ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大 时，AB 的长为( ) A. 2√5 B. 3√6 C. 2√6 D. 3√5 6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边， b = c ，且满足sinB sinA =1?cosB cosA .若 点O 是△ABC 外一点，∠AOB =θ(0<θ<π)，OA =2OB =2，平面四边形OACB 面积的最大值是( ) A. 8+5√34 B. 4+5√34 C. 3 D. 4+5√32 7. 在△ABC 中，a =1，b =x ，∠A =30°，则使△ABC 有两解的x 的范围是( ) A. (1，2√3 3 ) B. (1，+∞) C. (2√3 3 ，2) D. (1，2) 8. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB ????? +AC ????? =2AO ????? ，且|OA ????? |=|AC ????? |，则△ABC 的面积为( ) A. √3 B. √32 C. 2√3 D. 1 9. 在△ABC 中，若sinBsinC =cos 2A 2，则△ABC 是( )
必修5第一章《解三角形》全章教案
数学5 第一章 解三角形 课题: §1．1．1 正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得 sin sin c b C B = ， b a
高中数学解三角形题型完整归纳
高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值
(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A
人教版高中数学必修五《第一章 解三角形》单元测试
必修五第一章测试题 班级： 组名： 姓名： 设计人：连秀明 审核人：魏帅举 领导审批： 一 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于 （ ） A 4 B 2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ） A 3 B 2 C 1 2 D 2 3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150° 4.△ABC 中，cos cos cos a b c A B C == ，则△ABC 一定是 （ ） A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 5.△ABC 中，60B =，2 b a c =，则△ABC 一定是 （ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 7. △ABC 中，8b = ，c = ，ABC S =A ∠等于 （ ） A 30 B 60 C 30或150 D 60或 120 8.△ABC 中，若60A = ，a =sin sin sin a b c A B C +-+-等于 （ ） A 2 B 1 2 9. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ） A 13 B 12 C 34 D 0 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定 11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）
必修5-解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】 一．选择题（共10小题） 1．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（0，2）C．（2，2）D．（，2） 3．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（） A．B．C．（0，2）D． 4．在△ABC中，下列等式恒成立的是（） A．csinA=asinB B．bcosA=acosB C．asinA=bsinB D．asinB=bsinA 5．已知在△ABC中，若αcosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形或钝角三角形B．以a或b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形 6．在△ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则∠B为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等腰直角三角形 9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B 等于（） A．B．C．D．或 10．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D． 二．填空题（共1小题） 11．（文）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则 的值为． 三．解答题（共7小题） 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB （1）求角C的大小； （2）求△ABC的面积的最大值． 13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，△ABC的面积为2． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）若a=2，求b+c的值． 14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=． （1）求角B的大小； （2）△ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围． 第十二讲 解三角形 1 、三角形三角关系： A+B+C=180 °； C=180 °— (A+B) ； 3 、三角形中的基本关系： sin( A B) sin C , cos( A B) cosC , tan(A B) tanC , sin A B cos C ,cos A B sin C , tan A B cot C 2 2 2 2 2 2 4 、正弦定理：在 C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边， R 为 C 的外接圆的半 径，则有 a b c 2R ． sin sin C sin 5 、正弦定理的变形公式： ①化角为边： a 2Rsin ， b 2Rsin ， c 2R sin C ； ②化边为角： sin a ， sin b c ； ， sin C 2R 2R 2R ③ a : b: c sin :sin :sin C ；④ a b c a b c ． sin sin sin C sin sin sin C 7 、余弦定理：在 C 中，有 a 2 2 c 2 2bc cos 等，变形： cos b 2 c 2 a 2 b 等， 2bc 8 、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角） 9 、三角形面积公式： 1 1 1 S C bc sin ab sin Cac sin ． 2 2 2 10 、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形 式或角的形式设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边，则： ①若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；②若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；③若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ． 11 、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 一． 构成三角形个数问题 1．在ABC ?中，已知,2,45a x b B === ，如果三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．． D.02x << 2．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是__________． 3．在ABC ?中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） 二． 求边长问题 4．在ABC ?中，角,,A B C 所对边,,a b c ，若03,120a C ==，ABC ?的面积则c =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 5．在△ABC 中，01,45,2ABC a B S ?===，则b =_______________. 三． 求夹角问题 6．在ABC ?中，，则=∠BAC sin （ ） A 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别S c b a ,,,为表示△ABC 的面积，若 ,sin cos cos C c A b B a =+ B=( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 四． 求面积问题 8．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,.若2cos ,,13 a b A B c π ===，则 △ABC 的面积等于 （ ） 9．锐角ABC ?中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知 （Ⅰ）求C sin 的值； （Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ?的面积． 10．如图，在四边形ABCD 中， （1）求AD 边的长； （2）求ABC ?的面积． 高二数学必修五第一章解三角形教案） （一）教学目标 1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2 . 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想 [创设情景] 如图1．1-1，固定 ABC的边CB及 B，使边AC绕着顶点C转动。 A 思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角 C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又 , A 则 b c 从而在直角三角形ABC中， C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD= ,则， C 同理可得， b a 从而 A c B (图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳
必修五解三角形练习题
高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳与测试卷.doc
必修五-解三角形-题型归纳
高二数学必修五解三角形教案