新课标全国卷理科数学分类汇编立体几何
2011年—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）
8．立体几何
【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16
【2016，11】平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，αI 平面ABCD m =，I α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（ ）
（A ）
2
3 （B ）
2
2 （C ）
3
3 （D ）
3
1 【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
3
28π
，则它的表面积是（ ） （A ）π17 （B ）π18 （C ）π20 （D ）π28
【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为1620π+，则r =（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8
【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
A .62
B .42
C .6
D .4
【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向
容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．
A ．500π3cm 3
B ．866π3cm 3
C ．1372π3cm 3
D ．2048π3
cm 3
【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π
【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
【2012，11】已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球
O 的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为（ ） A ．
2
6
B ．
3
6
C ．
2
3
D ．
22
【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
二、填空题
【2011，15】已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥
O ABCD -的体积为 。
三、解答题
【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,求二面角A -PB -C 的余弦值．
【2016，18】如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面
ABEF 为正方形，?=∠=90,2AFD FD AF ，且二面
角E AF D --与二面角F BE C --都是?60． （Ⅰ）证明：平面⊥ABEF 平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角A BC E --的余弦值．
【2015，18】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=o
，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥.
（I ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （II ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.
【2014，19】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明：1AC AB =；
（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o
160CBB ∠=，AB=BC
求二面角111A A B C --的余弦值. A
B
C
D
E F
【2013，18】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°
.
(1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．
【2012，19】如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC=BC=2
1
AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD 。 （1）证明：DC 1⊥BC ；
（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小。
【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；
(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。
A 1
C
2011年—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）
8．立体几何（解析版）
【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16
（7）【解析】由三视图可画出立体图，该立体图平面内只有两个相同的
梯形的面，()24226S =+?÷=梯，6212S =?=全梯，故选B ；
【2016，11】平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，αI 平面ABCD
m =，I α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（ ）
（A ）
2
3 （B ）
22 （C ）33 （D ）3
1
【解析】：如图所示：
α
A
A 1
B
1
D
C
C 1
D 1
∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D I 平面1ABCD m =，则1m m ∥ 又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C I 平面111111A B C D B D = ∴111B D m ∥，故11B D m ∥，同理可得：1CD n ∥
故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111B C B D CD ==（均为面对交线），因此113
CD B π
∠=，即113
sin CD B ∠=
．
【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
3
28π
，则它的表面积是（ ） （A ）π17
（B ）π18
（C ）π20 （D ）π28
【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的1
8
后的三视图
表面积是7
8的球面面积和三个扇形面积之和
2271
=42+32=1784
S ????πππ，
故选A ．
【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛
解析：284R π=，圆锥底面半径16
R π
=
，米堆体积21320123V R h ππ==，堆放的米约有221.62
V
≈，选（B ）.
【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为1620π+，则r =（ ）
（A ）1（B ）2（C ）4（D ）8
解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都r ，圆柱的高为2r ，其表面积为
22221
42225416202
r r r r r r r r πππππ?+?++?=+=-，解得2r =，故选（B ）.
【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
A .62
B .42
C .6
D .4
【答案】C
【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥D ABC -， 其中4,42,25AB BC AC DB DC =====，
()
2
4246DA =
+=，故最长的棱的长度为6DA =，选C
【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．
A ．
500π3cm 3 B ．866π3cm 3 C ．1372π3cm 3 D ．2048π3
cm 3
答案：A
解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．
BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ， 由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为
34500
π5π33
=(cm 3)，故选A. 【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π 答案：A
解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×
1
2
＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．15 【解析】由三视图可知，该几何体为
三棱锥A-BCD ， 底面△BCD 为
底边为6，高为3的等腰三角形， 侧面ABD ⊥底面BCD ，
AO ⊥底面BCD ，
因此此几何体的体积为
11
(63)3932
V =????=，故选择B 。
【2012，11】已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球
O 的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为（ ） A ．
2
6
B ．
3
C ．
2
3
D ．
22
【解析】如图所示，根据球的性质，
知⊥1OO 平面ABC ，则C O OO 11⊥。 在直角C OO 1?中，1=OC ，3
31=
C O ， 所以3
6
)33(
122121=
-=-=
C O OC OO 。 O
D A S
O
B
6
2
36433122=???==-ABC O V V ，故选择A 。
【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面
为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选D
二、填空题
【2011，15】已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,3AB BC ==,则棱锥
O ABCD -的体积为 。
解析：设ABCD 所在的截面圆的圆心为M,则221
(23)6232
+=, 224(23)2-=，1
6232833
O ABCD V -=??=三、解答题
【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,求二面角A -PB -C 的余弦值．
（18）【解析】（1）证明：∵90BAP CDP ∠=∠=?，∴PA AB ⊥，PD CD ⊥，
∴AB ⊥平面PAD ，又AB ?平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ． （2）取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE ，∵AB CD ，
∴四边形ABCD 为平行四边形，∴OE
AB ，
由（1）知，AB ⊥平面PAD ，∴OE ⊥平面PAD ， 又PO 、AD ?平面PAD ，∴OE PO ⊥，OE AD ⊥， 又∵PA PD =，∴PO AD ⊥，∴PO 、OE 、AD 两两垂直， ∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
设2PA =，∴()
002D -，、(
)220B ，、()002P ，，、()
202C -，， ∴(022PD =-u u u r ，、
)222PB =u u u r
，，、()
2200BC =-u u u r
，，
设()n x y z =r ,,为平面PBC 的法向量，由00n PB n BC ??=???=??r u u u r
r u u u r ，得2220
220x y z x ?+=??-=??
，
令1y =，则2z 0x =，可得平面PBC 的一个法向量(012n =r
,,，
∵90APD ∠=?，∴PD PA ⊥，又知AB ⊥平面PAD ，PD ?平面PAD ，
∴PD AB ⊥，又PA AB A =I ，∴PD ⊥平面PAB ，即PD u u u r
是平面PAB 的一个法向量，
(022PD =-u u u r ,,，∴3
cos 23
PD n PD n PD n ?===?u u u r r
u u u r r u u u r r ,，
由图知二面角A PB C --为钝角，所以它的余弦值为3． 【2016，18】如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面
ABEF 为正方形，?=∠=90,2AFD FD AF ，且二面
角E AF D --与二面角F BE C --都是?60． （Ⅰ）证明：平面⊥ABEF 平面EFDC ；
（Ⅱ）求二面角A BC E --的余弦值．
【解析】：⑴ ∵ABEF 为正方形，∴AF EF ⊥，∵90AFD ∠=?，∴AF DF ⊥，∵=DF EF F I
∴AF ⊥面EFDC ，AF ?面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC
⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=?，
∵AB EF ∥，AB ?平面EFDC ，EF ?平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD ，AB ?平面ABCD ∵面ABCD I 面EFDC CD = ∴AB CD ∥，∴CD EF ∥ ∴四边形EFDC 为等腰梯形
以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =，
()
()000020E B a ，，，，()302202a C A a a ??
? ???
，，，，， uu r 3a ??uu u r uu u r u r A
B
C
D
E
00m EB m BC ??=???=??u r uu r u r uu u r ，即1111203
202a y a x ay a z ?=??
??-+?=??，111301x y z ===-，，，(
)
301m =-u r ，，
设面ABC 法向量为()
222n x y z =r
，，，=00
n BC n AB ?????=??r uu u r r uu u r .即2222
320220a x ay az ax ?-+
=???=? 222034x y z ===，，，
(
)034n =r
，，，设二面角E BC A --的大小为θ.
219
cos 31316m n m n
?==
=-+?+?u r r u r r θ，
∴二面角E BC A --的余弦值为219
-
【2015，18】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=o
，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥.
（I ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （II ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.
解：（Ⅰ）证明：连接BD ，设BD AC G =I ，连接EG ，
FG ，EF .
在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由
120ABC ∠=o ，可得3AG GC ==，由BE ⊥
平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =.又
AE EC ⊥，所以3EG =，且EG AC ⊥.
在Rt EBG ?中，可得2BE =
,故
22DF =
.在Rt FDG ?中，可得6
2
FG =. 在直角梯形BDFE 中，由2BD =，2BE =
，22DF =
，可得32
2
EF =. 因为2
2
2
EG FG EF +=，所以EG FG ⊥，又AC FG G =I ，则EG ⊥平面AFC . 因为EG ?平面AEC ，所以平面AFC ⊥平面AEC . ……6分
（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以
u u u r u u u r u u u r
位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，
由（Ⅰ）可得(0,3,0)A -，(1,0,2)E ，2
(1,0,)2
F -，(0,3,0)E ，(1,3,2)AE =u u u r ，2(1,3,)2CF =--u u u r .故3
cos ,3||||
AE CF AE CF AE CF ?<>==-u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r .
所以直线AE 与直线CF 所成的角的余弦值为
3
3
. ……12分 【2014，19】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明：1AC AB =；
（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o
160CBB ∠=，AB=BC
求二面角111A A B C --的余弦值.
【解析】：(Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥，且O 为1B C
与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO
⊥又 1B O CO =，故
1AC AB = ………6分
（Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO=CO 又因为
AB=BC
，所以BOA BOC ???
故OA ⊥OB
，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直．
以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位
长，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ． 因为0160CBB ∠=，
所以1
CBB ?为等边三角形．又AB=BC ，则
30,0,A ?? ? ??
?，()1,0,0B ，130,,0B ?? ? ???，30,,0C ??
- ? ??? 1330,,33AB ??=- ? ???u u u r ，1131,0,,3A B AB ??==- ? ???u u u u r u u u r 1131,,03B C BC ??
==-- ? ???u u u u r u u u r
设(),,n x y z =r
是平面的法向量，则
11100
n AB n A B ?=??=??r u u u r g r u u u u r g
，即0330y z x z -=??
?=??
所以可取(n =r 设m u r 是平面的法向量，则111100
m A B n B C ?=??=??u r u u u u r
g r u u u u r
g
，同理可取(1,m =u r 则1cos ,7
n m n m n m ==r u r
r u r g r u r g ，所以二面角111A A B C --的余弦值为17.
【2013，18】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°
.
(1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． (1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .
因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ?平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C . (2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB . 又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ， 所以OC ⊥平面AA 1B 1B ， 故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直． 以O 为坐标原点，OA u u u r 的方向为x 轴的正方向，|OA u u u r
|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －
xyz
.
由题设知A (1,0,0)，A 1(0
0)，C (0,0
)，B (－1,0,0)． 则BC uuu r ＝(1,0
，1BB u u u ＝1AA u u r ＝(－1
0)，1AC u u u r
＝(0
，
)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，
则10,0,BC BB ??=???=??u u u r u u u r n n 即30,30.
x z x y ?+=??-+=??可取n ＝(3，1，－1)． 故cos 〈n ，1
AC u u u r 〉＝11A C
A C
?u u u r
u u u r n n ＝105-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为
10
5
.
【2012，19】如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC=BC=2
1
AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD 。 （1）证明：DC 1⊥BC ；
（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小。 【解析】（1）在Rt DAC ?中，AD AC =， 得：45ADC ?
∠=，
同理：1114590A DC CDC ?
?
∠=?∠=， 得：1DC DC ⊥。
又DC 1⊥BD ，DC BD D =I ， 所以1DC ⊥平面BCD 。
而BC ?平面BCD ，所以1DC BC ⊥。
（2）解法一：（几何法）
由11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A
BC AC ?⊥。
取11A B 的中点O ，连接1C O ，OD 。 因为1111AC B C =，所以111C O A B ⊥，
因为面111A B C ⊥面1A BD ，所以1C O ⊥面1A BD ，从而1C O BD ⊥，
又DC 1⊥BD ，所以BD ⊥面1DC O ，因为OD ?平面1DC O ，所以BD OD ⊥。 由BD OD ⊥，BD ⊥DC 1，所以1C DO ∠为二面角A 1－BD －C 1的平面角。 设12AA a =，AC BC a ==，则12a
C O =，12C
D a =，
在直角△1C OD ，1C O OD ⊥，111
2
C O C
D =
， 所以130C DO ?
∠=。 因此二面角11C BD A --的大小为30?
。 解法二：（向量法）
由11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A
BC AC ?⊥。又1C C ⊥平面ABC ，
D
A 1
B 1
C
A
B
C 1
以C 点为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为
x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -。
不妨设AA 1=2，则AC=BC=2
1
AA 1=1，
从而A 1（1，0，2），D （1，0，1）， B （0，1，0），C 1（0，0，2），
所以1(0,0,1)DA =u u u u r
，
(1,1,1)DB =--u u u r ， 1(1,0,1)DC =-u u u u r
。
设平面1A BD 的法向量为1111(,,)n x y z =u r
， 则11n DA ⊥u r u u u u r ，1n DB ⊥u r u u u r ，
所以1111
00z x y z =??-+-=?，即1110z x y =??=?，令11y =，则1(1,1,0)n =u r 。
设平面1C BD 的法向量为2222(,,)n x y z =≤u u r ，则21n DC ⊥u u r u u u u r ，2n DB ⊥u u r u u u r
， 所以222220
0x z x y z -+=??-+-=?，即22222x z y z =??=?，令21z =，则2(1,2,1)n =u u r 。
所以121212cos ,2||||n n n n n n ?<>===
?u r u u r
u r u u r u r u u r 12,30n n <>=?u r u u r 。
因为二面角11C BD A --为锐角，因此二面角11C BD A --的大小为30?
。
【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；
(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。
（18）解：（I ）因为60DAB ∠=?，2AB AD =
，由余弦定理得BD =.
从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥. 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD PD ⊥. 所以BD ⊥平面PAD . 故PA BD ⊥.
（II ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，则
()1,0,0A
，()B
，()
C -，()0,0,1P
C
()AB =-u u u r
，()
1PB =-u u u r
，
()1,0,0BC =-u u u r 设平面PAB 的法向量为(),,x y z =n ，则00AB PB ??=?
??=??u u u r
u u u r
n n
即0
0x z ?-=?-=.
因此可取=
n .
设平面PBC 的法向量为m ，则00PB BC ??=?
??=??
u u u r
u u u r
m m
，可取(0,1,m =-.
cos ,??=
=m n 故二面角A PB C --
的余弦值为.
近三年高考全国卷理科立体几何真题精编版
新课标卷高考真题 1、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． （I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．
2、（2016年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ， 5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5 4 AE CF == ，EF 交BD 于点H ．将DEF ?沿EF 折到'D EF ?位置，10OD '=． （Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．
3【2015高考新课标1，理18】 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
4、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)证明：PB∥平面AEC； (2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积． 图1-3
5、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5，三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面BB1C1C 为菱形，AB⊥B1C. 图1-5 (1)证明：AC＝AB1； (2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A -A1B1-C1的余弦值．
20152017立体几何全国卷高考真题
2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=3209，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.
近三年高考全国卷理科立体几何真题
新课标卷近三年高考题 1、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=o ，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o ． （I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值． 【解析】 ⑴ ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥ ∵90AFD ∠=? ∴AF DF ⊥ ∵=DF EF F I ∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面EFDC ⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=? ∵AB EF ∥ AB ?平面EFDC EF ?平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD AB ?平面ABCD ∵面ABCD I 面EFDC CD = ∴AB CD ∥,∴CD EF ∥ ∴四边形EFDC 为等腰梯形 以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a = ()020EB a =u u u r ，，，322a BC a ?? =- ? ???u u u r ，，，()200AB a =-u u u r ，， 设面BEC 法向量为()m x y z =u r ，，. 00m EB m BC ??=? ??=??u r u u u r u r u u u r ，即1111203 202a y a x ay z ?=????-?=?? 设面ABC 法向量为()222n x y z =r ，， =00n BC n AB ?????=??r u u u r r u u u r .即2222 320220a x ay ax ?-=???=? 222034x y z ===，
立体几何 高考真题全国卷
（2018 文 I ）在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． ⑴证明：平面平面； ⑵为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积． （2018 文 I I ）如图，在三棱锥中，， ，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． ABCM 3AB AC ==90ACM =?∠AC ACM △M D AB DA ⊥ACD ⊥ABC Q AD P BC 2 3 BP DQ DA ==Q ABP -P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC 2MC MB =C POM A B C P O M
（2018 文 III ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． ⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ； ⑵在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． （2017 文 I ）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA=PD=AB=DC,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为8 3 ，求该四棱锥的侧面积.
（2017 文 II ）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD , 1 ,2 AB BC AD BAD == ∠90.ABC =∠=? （1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积. （2017 文 III ）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD ． （1）证明：AC ⊥BD ； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
新课标全国卷理科数学试题分类汇编立体几何
2011年—2018年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编 11．立体几何 一、选择题 （2018· 9）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 （2017·4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π （2017·10）已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =， 1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ） A ． 32 B ．155 C ．10 5 D ．33 （2016·6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π （2015·6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A ． 8 1 B ． 7 1 C ． 6 1 D ． 5 1 （2015·9）已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90o，C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π （2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A ．1727 B ．59 C ．1027 D ．13 （2014·11）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA =90o，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC =CA =CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） 4 4 23 · 2016，6 2015，6 2014，6
新课标全国卷立体几何小题
立体几何小题 （（8）（2007海南、宁夏卷，8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）， 可得这个几何体的体积是 （A ）34000 cm 3 （B ） 3 8000cm 3 （C ）32000 cm （D ）34000 cm （11）（2007海南、宁夏卷，11）已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心 O 在AB 上，SO ABC ⊥底面 ，AC . 则球的体积与三棱锥体积之比是 （A ）π （B ）2π （C ）3π （D ）4π 12）（2007海南、宁夏卷，12）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的 底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h 1、h 2、h ，则 h 1﹕h 2﹕h = （A 1﹕1 （B 2﹕2 （C 2 （D 2 12．（2008海南、宁夏卷，12） a 和 b 的线段，则a +b 的最大值为（ ） A ． B ．C ．4 D ．15．（2008海南、宁夏卷，15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 9 8 ，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 8. （2009海南、宁夏卷，8）如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动 点E ，F ，且EF = ，则下列结论中错误的是 A.AC BE ⊥ B.//EF ABCD 平面 C.三棱锥A BEF -的体积为定值 D.异面直线,AE BF 所成的角为定值 11. （2009海南、宁夏卷，11）一个棱锥的三视图如图，则该 棱锥的全面积（单位：c 2 m ）为 （10）（2010课程标准卷，10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球 面上，则该球的表面积为 （A ）2 a π （B ）2 73 a π （C ） 2 113 a π （D ）2 5a π 俯视图 侧视图
全国卷历年高考立体几何真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考立体几何真题归类分析（含答案） 类型一：直建系——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z轴或与z轴平行，底面垂直关系直接给出或容易得出（如等腰三角形的三线合一）。这类题入手比较容易，第（Ⅰ）小问的证明就可以用向量法，第（Ⅱ）小问往往有未知量，如平行坐标轴的某边长未知，或线上动点等问题，以增加难度。该类问题的突破点是通过条件建立方程求解，对于向上动点问题这主意共线向量的应用。 1.（2014年全国Ⅱ卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC； (Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积. 2.（2015年全国Ⅰ卷）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC；(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 3.（2015年全国Ⅱ卷）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
4.（2016年全国Ⅲ卷）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥底面面ABCD ，AD ∥BC ， 3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN 平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 5.（2017全国Ⅱ卷）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，1 2 AB BC AD == ，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）求证：直线//CE 平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45，求二面角M AB D --的余弦值. E M D C B A P 类型二：证建系（1）——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z 轴或与z 轴平行，但底面垂直关系需要证明才可以建系（如勾股定理逆定理等证明平面线线垂直定理）。这类题，第（Ⅰ）小问的证明用几何法证明，其证明过程中的结论通常是第（Ⅱ）问证明的条件。第（Ⅱ）小问开始需要证明底面上两条直线垂直，然后才能建立空间直角坐标系。 6.（2011年全国卷）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD ，PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：P A ⊥BD ； (Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值.
近五年立体几何全国卷高考题
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 （8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为(D) （18）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形。 60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥o 底面ABCD 。 （I ）证明：PA BD ⊥ （II ）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高。
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体
积为（ ） ()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18 【解析】选B 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为93362 1 31=????= V ,选B. （19）（本小题满分12分） 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱AA 1 的中点 (Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. B 1 C B A D C 1 A 1
2013年普通高等学校招生全国统一考试 （11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ） （A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ 19.（本小题满分12分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =， 160BAA ∠=o 。 （Ⅰ）证明：1AB A C ⊥； （Ⅱ）若2AB CB ==，16AC =，求三棱柱111ABC A B C -的C 1 B 1 A A 1 B C
近三年高考全国卷理科立体几何真题
新课标卷近三年高考题 1、（20XX 年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠= ，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE - F 都是60 ． （I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值． 【解析】 ⑴ ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥ ∵90AFD ∠=? ∴AF DF ⊥ ∵=DF EF F ∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面EFDC ⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=? ∵AB EF ∥ AB ?平面EFDC EF ?平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD AB ?平面ABCD ∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥,∴CD EF ∥ ∴四边形EFDC 为等腰梯形 以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a = () ()000020E B a ，，，， ()3022022a C a A a a ?? ? ??? ，，，， ()020EB a = ，，，3222a BC a a ?? =- ? ??? ，，，()200AB a =- ，， 设面BEC 法向量为()m x y z = ，，. 00m EB m BC ??=? ??=?? ，即1111203 2022 a y a x ay a z ?=????-+?=?? 111301x y z ===-，，
( ) 301m = - ，， 设面ABC 法向量为()222n x y z = ，， =0 0n BC n AB ?????=?? .即22223202220a x ay az ax ?-+=???=? 222034x y z ===，， () 034n = ，， 设二面角E BC A --的大小为θ. 4219 cos 1931316m n m n θ?-===-+?+? ∴二面角E BC A --的余弦值为219 19 - 2、（20XX 年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ， 5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5 4 AE CF == ，EF 交BD 于点H ．将DEF ?沿EF 折到'D EF ?位置，10OD '=． （Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值． 【解析】⑴证明：∵54 AE CF ==，∴ AE CF AD CD =， ∴EF AC ∥． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥． ∵6AC =，∴3AO =； 又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，
历年全国理科数学高考试题立体几何部分含答案
（一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥 O ABCD -的体积为 。 3.如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。 （一） 1.D 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直
角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{ n AB n PB ?=?=u u u r u u u r 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{ PB BC ?=?=u u u r u u u r 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,27 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 - （二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 3 C 2 3 D 6 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?u u u v u u u v 的最 小值为
2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编——8.立体几何
8．立体几何（含解析） 一、选择题 【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【2016，11】平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ， α平面ABCD m =， α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为 A ． 2 3 B ． 2 2 C ． 3 3 D ． 3 1 【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是 3 28π ，则它的表面积是（ ） A ．π17 B ．π18 C ．π20 D ．π28 【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ） A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛 【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示． 若该几何体的表面积为1620π+，则r =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【2015年，11题】 【2014年，12题】 【2013年，6题】 【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）
高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何大全
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编 立 体 几 何 一、选择题 【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） 【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是 28π 3 ，则它的表面积是（ ） A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π 【2016，11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，αI 平面 ABCD m =， αI 平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ） A ． 3 B ．22 C ．3 D ．13 【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( ) A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛 【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体 的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) B A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【2015，11】 【2014，8】 【2013，11】 【2012，7】 【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个 几何体的三视图，则这个几何体是( ) A ．三棱锥 B ．三棱柱 C ．四棱锥 D ．四棱柱 【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． A ．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A ．6 B ．9 C ．12 D ．15 【2012，8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球
2018年高考数学立体几何试题汇编
2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲．
全国卷立体几何
必修2数学知识点 第一章：空间几何体 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵柱、锥、台、球的结构特征 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 圆柱: 以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
-立体几何全国卷高考真题
２０１５-201７立体几何高考真题 1、（2０1５年１卷６题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何？”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.６2立方尺,圆周率约为３，估算出堆放斛的米约有（ ) (A ）14斛 (B)22斛 (C ）３６斛 (D)６6斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为ｒ，则12384r ??=＝163 r =,所以米堆的体积为211163()5433????＝3209，故堆放的米约为3209÷1.６2≈22,故选B. 考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 ＋ ２０π,则ｒ=（ ） （Ａ)1 （B)２ (Ｃ）4 (Ｄ)８ 【答案】Ｂ 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为２r ，其表面积为 22142222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+＝16 ＋ 20π,解得ｒ=2,故选Ｂ. 考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式 ３、（2０15年1卷18题）如图,四边形AB ＣＤ为菱形，∠AB Ｃ=1２0°，E,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面A ＢＣD ，BE=２ＤF ，AE ⊥EC.
2019文科数学全国卷立体几何真题练习答案在卷尾
2019文科数学全国卷立体几何真题练习答案在卷尾 全国卷1 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-（618.02 15≈-称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是2 15- .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26，则其身高可能是（ ） A.cm 165 B.cm 175 C.cm 185 D.cm 190 16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的 ，那么P 到平面ABC 的距离为 . 19. 如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离.
全国卷2 7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.) 17.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥. （1）证明：BE ⊥平面11EB C （2）若1AE AE =,3AB =,求四棱锥11E BB C C -的体积.
2016年-2019年立体几何大题全国卷高考真题
1、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
2、 （2016年1卷18题）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, 90 AFD ∠=,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60． （I）证明：平面ABEF⊥平面EFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值． C A B D E F
3（2016年2卷19题）（本小题满分12分） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54 AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置10OD '=. （I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
4、（2017年1卷18题）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥中，且90BAP CDP ∠=∠=?． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=?，求二面角A PB C --的余弦值．
5．（2018年1卷18题） △折如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC 起，使点C到达点P的位置，且PF BF ⊥． ⑴证明：平面PEF⊥平面ABFD； ⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
6.(2018年新课标Ⅱ理)如图,在三棱锥P-ABC中,AB＝BC＝22,P A＝PB＝PC＝AC＝4,O为AC的中点. （1）求证:PO⊥平面ABC； （2）若点M在棱BC上,且二面角M-P A-C为30°,求PC与平面P AM所成角的正弦值.
2013-2017高考数学全国卷--立体几何汇编
第1页 共10页 2013-2017高考数学全国卷理科--立体几何汇编 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、选择题 I(理)]某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成, 正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 ( ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 2. [2017·全国新课标卷II(理)]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 ( ) A. 90π B. 63π C. 42π D. 36π 3. [2017·全国新课标卷II(理)]已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则 异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 4. [2017·全国新课标卷III(理)]已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球 的球面上,则该圆柱的体积为 ( ) A. π B. C. D. .
5. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,6]如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是() A. 17π B. 18π C. 20π D. 28π 6. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,11]平面α过正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 的顶点A,α∥平面CB 1 D 1 ,α∩ 平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1 =n,则m,n所成角的正弦值为() A. B. C. D. 7. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,6]如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为() A. 20π B. 24π C. 28π D. 32π 8. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,9]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为() A. 18+36 B. 54+18 C. 90 D. 81 9. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,10]在封闭的直三棱柱ABC-A 1B 1 C 1 内有一个体积为V的球.若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA 1 =3,则V的最大值是() A. 4π B. C. 6π D.
2018全国卷文科数学立体几何汇编
2018全国卷文科数学汇编 立体几何 一、选择题 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼 的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（） ?为等边三角形且其面12．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（） A．123B．183C．243D．543 19．（12分） 如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点． ⑴证明：平面AMD⊥平面BMC； ⑵在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切 值为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30?，若SAB △的面积为 8，则该圆锥的体积为__________． 19．（12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==， 4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面 POM 的距离． 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 P A O C M
立体几何全国卷高考真题
立体几何全国卷高考真 题 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16 3 r =，所以 米堆的体积为211163()5433????=320 9 ，故堆放的米约为 320 9 ÷≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为 221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.
考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G ，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EG ⊥AC ，通过计算可证EG ⊥FG ，根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ；（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以 ,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ， 利用向量法可求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G ，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设 GB=1，由∠ABC=120°，可得. 由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ， 又∵AE ⊥EC ，∴EG ⊥AC ， 在Rt △EBG 中，可得，故. 在Rt △FDG 中，可得FG= 2 在直角梯形BDFE 中，由BD=2，，DF=2 可得EF=2， ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC∩FG=G ，∴EG ⊥平面AFC ，