九年级数学下册《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》课件
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人教版九年级数学课件-二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
論：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋Dc)2＜b2.
其中正確的個數是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】由圖象開口向下可得a＜0，由對稱軸在
y軸左側可得b＜0，由圖象與y軸交於正半軸可得
c＞0，則abc＞0，故①正確；
由對稱軸x>－1可得2a－b＜0，故②正確； 由圖象上橫坐標為 x＝－2的點在第三象限
可得4a－2b＋c＜0，故③正確； 由圖象上x＝1的點在第四象限得a＋b＋c＜0，由圖象上x＝－
1的點在第二象限得出 a－b＋c＞0，則(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正確．
歸納總結
二次函數y=ax2+bx+c的圖象與係數的關係
①a決定開口方向：a＞0⇔開口向上；a＜0⇔開口向下；
二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質 y
x b 2a
y x b
2a
O
x
(1)
如果a>0,當x<
b 2a
時，y隨x的
增大而減小；當x> b 時，
2a
y隨x的增大而增大.
O
x
(2)
如果a<0,當x< b 時，y隨x
2a
的增大而增大；當x>
b
時，
2a
y隨x的增大而減小.
典例精析
例1 已知二次函數y=－x2＋2bx＋c，當x＞D1時，y的值隨x值的 增大而減小，則實數b的取值範圍是（ ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次項係數為－1＜0，∴拋物線開口向下，在對稱軸
【冀教版九年级数学下册】30.2 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 PPT精品课件
随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴 右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的 值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直 b 2 b ， 线x=1的左侧而抛物线y=－x ＋2bx＋c的对称轴 x 2 (1) 即b≤1，故选择D .
练一练
求二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴和顶点坐标. 解：
y 2 x 8x 7
2
2( x 4 x) 7
2
2( x 4x 4) 8 7
2
2( x 2) 1.
2
因此，二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴是直
线x=2，顶点坐标为(2,-1).
1 2 y x 6 x 21 2
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
配 方 (2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式. 提示:配方后的
1 y ( x 6) 2 3 2
表达式通常称为 配方式或顶点式.
1 问题2 你能说出 y ( x 6) 2 3的对称轴及顶点坐标吗？ 2
解: 先利用图形的对称性列表 x … 3 7.5 4 5 5 3.5 6 3 7 3.5 8 5 9 7.5 … …
1 y ( x 6)2 3 … 2
y
然后描点画图，得到图像如右图.10
5
O
5
10
x
1 2 问题5 结合二次函数 y x 6 x 21 的图像，说出其性质. 2
九年级数学下册 第2章 二次函数 2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第4课时)课件
10．若抛物线y＝x2－2x＋c与y轴的交点坐标为(0，－3)，则下列说 法不正确的是( ) C A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝1 C．当x＝1时，y的最大值为－4 D．抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0) 11．抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移2个单位，再向下平移3个单位， 所得图象的表达式为y＝x2－2x－3，则b，c的值为( B ) A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方可化为 y＝a(x＋2ba)2＋
(4_－a_c_42－_baa_，b_2_4_的a_c_4－形_a_b_式2_)_，，当它a>的0 时对，开称口轴向为_上___x__＝，__y－_有_2_b最a__小，值顶，即点当坐x＝标－为 2ba 时，y 最小值＝4ac4－a b2，且当 x>－2ba时，y 随 x 的增大而__增__大___；当 x< －2ba时，y 随 x 的增大而__减__小___．当 a<0 时，开口向___下___，y 有最
解：(1)∵点 B(0，4)，C(3，127)，在抛物线上，∴易得 y＝－16x2
＋2x＋4＝－16(x－6)2＋10，∴拱顶 D 到地面 OA 距离为 10 米 (2)由题意知车最外侧与地面 OA 的交点为(2，0)或(10，0)，当 x＝2(或 x＝10)时，y＝232>6，∴可以通过
2．把抛物线y＝－x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的表达式为( ) B
A．y＝－x2＋2x＋2 B．y＝－x2－2x＋2 C．y＝－x2＋2x－4 D．y＝－x2－2x－4
3 B．4 C．5 D．6 4．(2015·泰安)某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的 图象时，列出了下面的表格：
新苏科版九年级数学下册《5章 二次函数 5.2 二次函数的图像和性质 y=ax^2+bx+c的图像》课件_31
值看，函数
y=(x+3)2的函 y=(x-3)2 数值与y=x2
的函数值相
等时，它们
所对应的自
变量的值有
5
x
思考：从对应点的位置看函数y=(x+3)2 图像 与函 数y=x2的 图像的位置有什么关系？
10 y 8
6
4 2
-5 - -3
35
x
-6
函数y=(x+3)2 图像可以由函数y=x2的 图像沿x轴向 左平移3个单位长度得到，所以它是抛物线.这条 抛物线的对称轴是过点（-3，0）且与y轴平行的 直线，顶点坐标是（-3，0）.
-2
4
y y=-x2+3
2
-5
O
5
x
10
-2 y=-x2
-4
-6 y=-x2-2
-8
y=ax2+c (a≠0)
a>0
a<0
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0 ,c)
(0 ,c)
对称轴
y轴所在的直线
y轴所在的直线
增减性
Байду номын сангаас
当x<0时,y随着x的增大而减小 当x>0时,y随着x的增大而增大
当x<0时,y随着x的增大而增大 当x>0时,y随着x的增大而减小
-5
-1 0 1 2 …
1 0 14
2125 … y y=x2+1 8
6
你能说说这 函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系?
4
个图象有哪
些性质吗？ 函数y=x2+1的图
象与y=x2的图象
九年级数学下册第二章二次函数4二次函数y=ax2+bx+c的图象 教学课件
（a x2 b x c ） aa
a
x2
2
b 2a
x
（
b 2a
）2
(
b 2a
）2
c a
a
(x
b 2a
)2
4ac b2 4a2
a(x b )2 4ac b2 .
2a
4a
这个结果通常称为顶点坐标公式.
结论 顶点坐标公式
y a(x b )2 4ac b2 .
2a
4a
象不经过( )
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
【答案】选D.
y Ox
6．（株洲·中考）已知二次函数 y x 2a2 a 1
(a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物
线系”．下图分别是当a=-1, a=0, a=1, a=2时二次函数
y/m
10
桥面 -5 O 5
x/m
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
你是怎样计算的？与同伴进行交流.
【解析】方法一 （1）将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标, 从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
y 0.0225x2 0.9x 10
0.0225(x2 40x 4000)
探究一
在同一坐标系中画出下列函数 的图象：
y 3x2 ; y 3x2 2 ; y 3(x 1)2.
思考：它们的图象之间有 什么关系？
y
o
x
【解析】
函数 y 3x 2 2的图象
向上平移2个单位
函数 y 3x2 的图象
向右平移1个单位
函数 y 3( x 1)2 的图象
九年级数学下册_二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质精品课件_人教新课标版 2
y y y
(
C
y
)
o
-3
x
o -3
x
o -3
x
o -3
x
A
B
C
D
11.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可 能是 （ C）
y
o x o
y
x o
y
x o
y
x
A
B
C
D
1 2 12.已知 x 2 x 1 . y 2 (1)写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称 轴,最值; (2)求抛物线与x轴,y轴的交点坐标; (3)作出函数的草图; (4)观察图象: x为何值时,y随x的增大而增大; x为何值时,y随x的增大而减小; (5)观察图象:当x何值时,y＞0;当x何值时, y=0;当x何值时,y＜0.
(1) y x 2 x 2 (2) y 2 x 8x 8 1 2 (3) y x 4 x 3 2
2
指出其图象的开口方向 ，对称轴和顶点坐标（ 不画图） :
2、用配方法把下列函数 化成 y a( x h) k 的形式，
2
指出其图象的开口方向 ，对称轴和顶点坐标（ 不画图） (1) y x 5 x
5
3.5
6
3
7
3.5
8
5
9
7.5
… …
y
10
5
O
5
10
x
想一想
函数y=ax²+bx+c的图象
例.求次函数 y=ax² +bx+c的 对称轴和顶点 坐标． 1.配方:
老师提示:
(
C
y
)
o
-3
x
o -3
x
o -3
x
o -3
x
A
B
C
D
11.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可 能是 （ C）
y
o x o
y
x o
y
x o
y
x
A
B
C
D
1 2 12.已知 x 2 x 1 . y 2 (1)写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称 轴,最值; (2)求抛物线与x轴,y轴的交点坐标; (3)作出函数的草图; (4)观察图象: x为何值时,y随x的增大而增大; x为何值时,y随x的增大而减小; (5)观察图象:当x何值时,y＞0;当x何值时, y=0;当x何值时,y＜0.
(1) y x 2 x 2 (2) y 2 x 8x 8 1 2 (3) y x 4 x 3 2
2
指出其图象的开口方向 ，对称轴和顶点坐标（ 不画图） :
2、用配方法把下列函数 化成 y a( x h) k 的形式，
2
指出其图象的开口方向 ，对称轴和顶点坐标（ 不画图） (1) y x 5 x
5
3.5
6
3
7
3.5
8
5
9
7.5
… …
y
10
5
O
5
10
x
想一想
函数y=ax²+bx+c的图象
例.求次函数 y=ax² +bx+c的 对称轴和顶点 坐标． 1.配方:
老师提示:
二次函数y=ax2 bx c的图像和性质
M1(x1，0),M2(x2,0).则 线段
M1M 2 x1 x2
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：一般式平移
（1） y=ax2+bx+c沿对称轴平移:向上（下） 平移m个单位，变成 y=ax2+bx+c+m（或 y=ax2+bx+c-m）.
(2) y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移 m个单位，变成y=a（x+m)2+b(x+m)+c （或y=a（x-m)2+b(x-m)+c）.
用函数图像回答：
(1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
分析：(1)用顶点坐标公式，可求出顶点 为(2，2)，对称轴是x＝2.
(2) 当x＝1时，y＝0，即图象与x轴交于点 (1，0)，根据轴对称，很容易知道(1 ，0) 的轴对称点是点(3，0) ．又当x＝0时，y ＝－6，即图象与y轴交于点(0，－6)，根 据轴对称，很容易知道(0，－6)的轴对称 点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个点(2， 2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6) 连结起来，就是 y 2x2 8x 6 的0图象。
2. 2抛' 当物线a y 0 a时x2， b图x 象c 的落图在象x与轴y的轴下一方定，相无交论，交x 为点任坐何标为实(数0 ，，c都) ；有 y 0 ．
抛物线y=axax2+bx+c=0 的 根的判别式判定：
Δ
抛物线 与x轴 的交点
抛物线
解：列表 y 2x2 8x 6 0
x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
二次函数y=ax^2+bx+c的图像与性质PPT课件
4a
函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点
坐标是什么？
y ax2 bx c的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:( b , 4ac b2 ) 2a 4a
1. 写出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：
(1) y 3x2 2x
(2) y x2 2x
(3) y 2x2 8x 8 (4) y 1 x2 4x 3
小结 拓展 回味无穷 驶向胜利 的彼岸
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
b, 2a
4ac b2 4a
和
(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 直线x b 和y轴.
(4)最值不同:分别是 4ac b2 和02.a 4a
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象
y=
—12 x2－6x
+21图象的
(1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
函数y=ax²+bx+c的顶点是
求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
配方:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
17
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
最新人教版九年级下册数学精品课件26.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
(3) y 2( x 3 )2 41 对 称 轴 ：x 3 , 顶 点 坐 标 ： （ 3 ，41）
48
4
48
(4) y 2(x 1)2 9
对 称 轴 ： x 1, 顶 点 坐 标 ： （ 1， 9）
最新人教版数学精品课件设
1.二次函数y=x2+2x-5取最小值时,自变量x
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 …
y … -2.5 0 1.5 2 1.5 0 -2.5 …
y
y 1 (x 3)2 2
注意：列表时自变量
2
取值要均匀和对称。21 1源自 3-5 -4 -3 -2 -1 0 -1
x
-2
-3
-4
y 1 x2 3x 5
2 最新人教版数学精品课件设
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
最新人教版数学精品课件设
抛物线y＝a(x-h)2+k的性质
（1）对称轴是直线x＝___h______
（2）顶点坐标是___(_h_、__k_)___
(3)当a>0时，开口向上，在对称轴的左 侧y随x的增大而__减__小___；在对称轴的 右侧y随x的增大而__增__大____。
2
2
轴 和 顶 点 坐 标 ， 并 画 图。
解: 将 1 x 2 3 x 5 配 方 得 ：
2
2
y 1 (x2 6x 5) 2
1 ( x 3)2 4 2
1 (x 3)2 2 2
所以,顶点坐标最新是人(教-版3数,学2精)品,课对件称设 轴是x= -3．
x为何值时,y随x的增大而减小;