2020年广东省高考数学(文科)模拟试卷(7)

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2020年广东省广州市高考数学一模试卷和答案(文科)

2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5}，N ＝{1，3，6}，则集合{2，7}等于（）A．M∩N B．∁U（M∪N）C．∁U（M∩N）D．M∪N 2．（5分）某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本中高中学生人数为（）A．42人B．84人C．126 人D．196人3．（5分）直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定4．（5分）已知函数f（x）＝，则f[f（）]的值为（）A．4B．2C．D．5．（5分）已知向量＝（2，1），＝（x，﹣2），若|+|＝|2﹣|，则实数x的值为（）A．B．C．D．26．（5分）如图所示，给出的是计算+++…+值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞9B．i＞10C．i＞11D．i＞12 7．（5分）设函数f（x）＝2cos（x﹣），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．4πB．2πC．πD．8．（5分）刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率π为3.14．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推．若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα﹣cosα＝，0＜α＜π，则cos2α＝（）A．﹣B．C．D．﹣10．（5分）已知点P（x0，y0）在曲线C：y＝x3﹣x2+1上移动，曲线C在点P处的切线的斜率为k，若k∈[﹣，21]，则x0的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，3]C．[﹣，+∞）D．[﹣7，9] 11．（5分）已知O为坐标原点，设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上位于第一象限内的点．过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，若b ＝|F1F2|﹣2|OA|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．212．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A﹣BD﹣C的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．7πB．8πC．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知复数z＝﹣i．则z2+z4＝．14．（5分）已知函数f（x）＝在区间（0，+∞）上有最小值4，则实数k＝．15．（5分）已知直线a⊥平面α，直线b⊂平面β，给出下列5个命题①若α∥β，则a⊥b；②若α⊥β，则a⊥b：③若α⊥β，则a ∥b：④若a∥b，则α⊥β；⑤若a⊥b则α∥β，其中正确命题的序号是．16．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝，∠ABC＝，∠ADB＝，则tan∠ACD＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＝n﹣S n，设b n＝a n﹣1．（1）求a1，a2，a3；（2）判断数列{b n}是否是等比数列，并说明理由；（3）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点．将△ADE沿DE折起，使得AB⊥AD，得到如图2的四棱锥A﹣BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．（1）证明：AH上BD；（2）设点B到平面AED的距离为h1，点E到平面ABD的距离为h2，求的值．19．（12分）某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1夭到第5天的日产卵数据：第x天12345日产卵数y612254995（个）对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．x i x i2（lny i）（x i•lny i）155515.9454.75（1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x 的回归方程为y＝e a+bx（其中e为自然对数的底数），求实数a，b 的值（精确到0.1）；（2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e6，e8）上的时段为优质产卵期，利用（1）的结论，估计在第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的概率．附：对于一组数据（v1，μ1），（v2，μ2），…，（v n，μn），其回归直线μ＝α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣•．20．（12分）已知⊙M过点A（，0），且与⊙N：（x+）2+y2＝16内切，设⊙M的圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程：（2）设直线l不经过点B（0，1）且与曲线C相交于P，Q两点．若直线PB与直线QB的斜率之积为﹣，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+a）e bx（b≠0）的最大值为，且曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线y＝x﹣2平行（其中e 为自然对数的底数）．（1）求实数a，b的值；（2）如果0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求证：3x1+x2＞3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数，且θ∈（，））．（1）求C1与C2的普通方程，（2）若A，B分别为C1与C2上的动点，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＜3；（2）若不等式f（x）＜11﹣4x对任意x∈[﹣4，﹣]成立，求实数a的取值范围．2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】由已知求出M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，再求其补集，可判断结果．【解答】解：由已知：M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，∴∁U（M∩N）＝{1，2，4，5，6，7），∁U（M∪N）＝{2，7}．故选：B．2．【分析】设高中抽取人数为x，根据条件，建立比例关系进行求解即可．【解答】解：设高中抽取人数为x，则，得x＝42，故选：A．3．【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径r＝2，直线恒过点（0，1），因为（0，1）在圆内，故直线与圆相交，故选：A．4．【分析】根据分段函数的解析式，先求出f（）的值，再求f[f（）]的值．【解答】解：因为f（x）＝，∴f（）＝ln；∴f[f（）]＝e＝．故选：D．5．【分析】由向量和向量的坐标求出向量和向量的坐标，再利用|+|＝|2﹣|，即可求出x的值．【解答】解：∵向量＝（2，1），＝（x，﹣2），∴＝（2+x，﹣1），＝（4﹣x，4），∵|+|＝|2﹣|，∴，解得x＝，故选：C．6．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出s的值，模拟循环过程可得条件．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：s＝0，n＝2，i＝1不满足条件，第一圈：s＝0+，n＝4，i＝2，不满足条件，第二圈：s＝+，n＝6，i＝3，不满足条件，第三圈：s＝++，n＝8，i＝4，…依此类推，不满足条件，第10圈：s＝+++…+，n＝22，i＝11，不满足条件，第11圈：s＝+++…++，n＝24，i＝12，此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i＞11？．故选：C．7．【分析】由题意可知f（x1）≤f（x）≤f（x2），f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是半个周期．【解答】解：函数f（x）＝2cos（x﹣），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是函数的半周期，＝×＝2π；故选：B．8．【分析】设圆的半径为1，分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积，由测度比是面积比得答案．【解答】解：设圆的半径为1，圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为＝30°，则圆内接正十二边形的面积为：12××1×1×sin30°＝3．圆的面积为π×12＝π，由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是．故选：C．9．【分析】把sinα﹣cosα＝平方可得2sinαcosα的值，从而求得sinα+cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα＝，0＜α＜π，∴平方可得：1﹣2sinαcosα＝，2sinαcosα＝＞0．∴α为锐角．∴sinα+cosα═＝＝＝，∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）＝﹣×＝﹣．故选：A．10．【分析】先求出y＝x3﹣x2+1的导数，然后求出曲线C在点P（x0，y0）处的切线斜率k，再根据k∈[﹣，21]求出x0的取值范围．【解答】解：由y＝x3﹣x2+1，得y'＝3x2﹣2x，则曲线C在点P（x0，y0）处的切线的斜率为，∵k∈[﹣，21]，∴∈，∴．故选：B．11．【分析】由角平分线的性质可得延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，可得OA为△BF1F2的中位线，b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a再由a，b，c的关系求出离心率．【解答】解：延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，连接OA，则OA为△BF1F2的中位线，所以|BF1|＝2|OA|，而|BF1|＝|PF1|﹣|PB|＝|PF1|﹣|PF2|＝2a因为b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a，而b2＝c2﹣a2所以c2﹣a2＝4（c﹣a）2整理可得3c2﹣8ac+5c2＝0，即3e2﹣8e+5＝0，解得e＝或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e＝，故选：C．12．【分析】如图，取BD中点H，连接AH，CH，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，进而可求得R的值．【解答】解：如图，取BD中点H，连接AH，CH，因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F，则由AH＝2×＝可得AE＝AH＝，EH＝AH＝，分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，所以OE＝1，则R＝OA＝＝，则三棱锥外接球的表面积4πR2＝4π×＝，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】利用复数的乘方运算和加法法则即可得出．【解答】解：∵z2＝（﹣i）2＝﹣i﹣＝﹣i，∴z4＝（z2）2＝（﹣i）2＝﹣1，∴z2+z4＝﹣1﹣i，故答案是：﹣1﹣i．14．【分析】由函数在（0，+∞）上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．【解答】解：依题意，k＞0，则，则，解得k＝4．故答案为：4．15．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个命题得答案．【解答】解：对于①，由a⊥平面α，α∥β，得a⊥β，又直线b⊂平面β，∴a⊥b，故①正确；对于②，由a⊥平面α，α⊥β，得a∥β或a⊂β，而直线b⊂平面β，∴a与b的关系是平行、相交或异面，故②错误；对于③，由a⊥平面α，α⊥β，得a∥β或a⊂β，而直线b⊂平面β，∴a与b的关系是平行、相交或异面，故③错误；对于④，由a⊥平面α，a∥b，得b⊥α，又直线b⊂平面β，∴α⊥β，故④正确；对于⑤，由a⊥平面α，a⊥b，得b∥α或b⊂α，又直线b⊂平面β，∴α与β相交或平行，故⑤错误．∴其中正确命题的序号是①④．故答案为：①④．16．【分析】设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，进一步可得，再利用正弦定理可得，通过三角恒等变换即可求得tanθ的值，进而得出答案．【解答】解：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，在△ABD中，，∠ADB＝，则，在△ABD中，由正弦定理得，即，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．【分析】（1）a n＝n﹣S n，可得a1＝1﹣a1，解得a1．a2＝2﹣（a2+），解得a2．a3＝3﹣（a3++），解得a3．（2）a n＝n﹣S n，n≥2时，a n﹣1＝n﹣1﹣S n﹣1，相减可得：a n﹣1＝（a n﹣1），可得：b n＝b n﹣1．即可得出结论．﹣1（3）由（2）可得：b n＝﹣．可得a n＝b n+1，可得S n＝n﹣a n．【解答】解：（1）a n＝n﹣S n，∴a1＝1﹣a1，解得a1＝．a2＝2﹣（a2+），解得a2＝．a3＝3﹣（a3++），解得a3＝．（2）a n＝n﹣S n，n≥2时，a n﹣1＝n﹣1﹣S n﹣1，相减可得：2a n＝a n+1，﹣1变形为：a n﹣1＝（a n﹣1﹣1），由b n＝a n﹣1．可得：b n＝b n﹣1．b1＝a1﹣1＝﹣．∴数列{b n}是等比数列，首项为﹣，公比为．（3）由（2）可得：b n＝﹣×＝﹣．则a n＝b n+1＝1﹣．∴S n＝n﹣a n＝n﹣1+．18．【分析】（1）在图1中，证明BD⊥AC，ED∥BC，则在图2中，有，得DH＝，然后证明△BAD∽△AHD，可得∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；（2）由V B＝V E﹣ABD，得，分别求出三角形ABD与﹣AED三角形AED的面积得答案．【解答】（1）证明：在图1中，∵△ABC为等边三角形，且D为边AC的中点，∴BD⊥AC，在△BCD中，BD⊥CD，BC＝2，CD＝1，∴BD＝，∵D、E分别为边AC、AB的中点，∴ED∥BC，在图2中，有，∴DH＝．在Rt△BAD中，BD＝，AD＝1，在△BAD和△AHD中，∵，∠BDA＝∠ADH，∴△BAD∽△AHD．∴∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；（2）解：∵V B＝V E﹣ABD，﹣AED∴，则．∵△AED是边长为1的等边三角形，∴．在Rt△ABD中，BD＝，AD＝1，则AB＝．∴，则．19．【分析】（1）根据y＝e a+bx，两边取自然对数得lny＝a+bx，再利用线性回归方程求出a、b的值；（2）根据y＝e1.1+0.7x，由e6＜e1.1+0.7x＜e8求得x的取值范围，再利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（1）因为y＝e a+bx，两边取自然对数，得lny＝a+bx，令m＝x，n＝lny，得n＝a+bm；因为＝＝＝0.693；所以b≈0.7；因为＝﹣b＝﹣0.7×3＝1.088；所以a≈1.1；即a≈1.1，b≈0.7；（2）根据（1）得y＝e1.1+0.7x，由e6＜e1.1+0.7x＜e8，得7＜x＜；所以在第6天到第10天中，第8、9天为优质产卵期；从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共10种；其中恰有1天为优质产卵期的有：（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，10），（9，10）共6种；设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为A，则P（A）＝＝；所以从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为．20．【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C的轨迹方程；（2）设直线BP的斜率为k（k≠0），则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程，解得交点P，同理可得Q的坐标，考虑P，Q的关系，运用对称性可得定点．【解答】解：（1）设⊙M的半径为R，因为圆M过A（，0），且与圆N相切，所以R＝|AM|，|MN|＝4﹣R，即|MN|+|MA|＝4，由|NA|＜4，所以M的轨迹为以N，A为焦点的椭圆．设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），则2a＝4，且c＝＝，所以a＝2，b＝1，所以曲线C的方程为+y2＝1；（2）由题意可得直线BP，BQ的斜率均存在且不为0，设直线BP的斜率为k（k≠0），则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程x2+4y2＝4，可得（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x1＝0，x2＝﹣，则P（﹣，），因为直线BQ的斜率为﹣，所以同理可得Q（，﹣），因为P，Q关于原点对称，（或求得直线l的方程为y＝x）所以直线l过定点（0，0）．21．【分析】（1）对原函数求导数，然后利用在x＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为列出关于a，b的方程组求解；（2）利用f（x1）＝f（x2）找到x1，x2的关系式，然后引入t＝x2﹣x1，构造关于t的函数，将3x1+x2转换成关于t的函数，求最值即可．【解答】解：（1）由已知f′（x）＝（bx+ab+1）e bx．则易知f′（0）＝ab+1＝1，∴ab＝0，又因为b≠0，故a＝0．此时可得f（x）＝xe bx（b≠0），f′（x）＝（bx+1）e bx．①若b＞0，则当x时，f′（x）＜0，f（x）递减；．此时，函数f（x）有最小值，无最大值．②若b＜0，则当；x．此时，解得b＝﹣1．所以a＝0，b＝﹣1即为所求．（2）由0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2）得：．∴．设t＝x2﹣x1（t＞0），则e t x1﹣x1＝t，可得，所以要证3x1+x2＞3，即证．∵t＞0，所以e t﹣1＞0，所以即证（t﹣3）e t+3t+3＞0．设g（t）＝（t﹣3）e t+3t+3（t＞0），则g′（t）＝（t﹣2）e t+3．令h（t）＝（t﹣2）e t+3，则h′（t）＝（t﹣1）e t，当t∈（0，1）时，h′（t）＜0，h（t）递减；t∈（1，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）递增．所以h（t）＞h（1）＝3﹣e＞0，即g′（t）＞0，所以g（t）在（0，+∞）上递增．所以g（t）＞g（0）＝0．∴3x1+x2＞3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．【解答】解：（1）由题可得：C1的普通方程为2x﹣y﹣5＝0又因为C2的参数方程为，两边平方可得，所以C 2的普通方程为，且．（2）由题意，设C1的平行直线2x﹣y+c＝0联立消元可得：3x2+4cx+c2+3＝0所以△＝4c2﹣36＝0，解得c＝±3又因为，经检验可知c＝3时与C2相切，所以．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）a＝1时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|，讨论x的取值范围，去掉绝对值求不等式f（x）＜3的解集即可；（2）f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意成立，等价于|x+a|＜5﹣x恒成立，去绝对值，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|＝；当x＜﹣1时，由f（x）＜3得﹣4x+5＜3，解得x＞（不合题意，舍去）；当﹣1≤x≤2时，由f（x）＜3得﹣2x+7＜3，解得x＞2（不合题意，舍去）；当x＞2时，由f（x）＜3得4x﹣5＜3，解得x＜2（不合题意，舍去）；所以不等式f（x）＜3的解集∅；（2）由f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意成立，得﹣（3x﹣6）+|x+a|＜11﹣4x，即|x+a|＜5﹣x，所以，所以，得a＞﹣5且a＜5﹣2x对任意成立；即﹣5＜a＜8，所以a的取值范围是（﹣5，8）．。

佛山一中2020高考数学模拟试卷文科

广东省佛山市第一中学2020届高考模拟(文科数学)试题命题人：李向明审题人：高三备课组 2020.5一．选择题(每小题5分，共60分)1.设集合},02|{2R x x x x A ∈≤-=，}21,|{2≤≤--==x x y y B ，则C R （A ∩B ）等于A ． RB ．}0,|{≠∈x R x xC ． {0}D ．φ 2.函数)13lg(14)(2++-+=x xx x f 的定义域为A ．),31(+∞-B ．)31,(--∞ C ．)1,31(- D ．)31,31(-3.现要完成3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行卫生检查；②科技报告厅有座椅32排，每排40个座位，有一次报告会恰好坐满了观众，抽取32位进行座谈；③某中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了解教职工对校务公开方面的意见，抽取一个容量为20的样本进行调查A ．①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样B ．①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样C ．①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样D ．①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样4.曲线x x y 23+-=在横坐标为1-的点处的切线为L ，则点（3,2）到L 的距离是 A ．227 B ．229 C ．2211 D ．10109 5.在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若μλ+=，其中R ∈μλ,，则μλ+的值是A ．34B ．1C ． 32 D. 316.A ．32+πB ．3344+π C ．3322+π D ．332+π7.设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若三角形F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A ．212- B ．22C ．22-D ．12- 8.三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是c b a ,,，则A c C a cos cos +的值是A ． bB ．2cb + C ．B cos 2 D ． B sin 2 9.下列四个命题中真命题是P1：x x x )31()21(),,0(≥+∞∈∀ P2：x x x 3121log log ),1,0(≤∈∀P3：x x x 21log )21(),,0(≤+∞∈∃ P4：x x x 31log )21(),31,0(≥∈∃A ．P1，P3B ．P1，P4C ．P2，P3D ．P2，P410.当x>0时，下列函数中最小值为2的是A ．111+++=x x y B ．322+-=x x y C ．11072+++=x x x y D ．xx y ln 1ln +=正视图侧视图俯视图二．填空题(每小题5分，共20分)(必做题11----13，选做题14----15考生只能从中选做一题)11.过原点且倾斜角为60度的直线被圆0422=-+y y x 所截得的弦长为 12.设复数z 满足，且i z i 6)33(=-，则=z13.设y x ,满足⎩⎨⎧≥≤-+-21)2()2(22y y x ，则x y的取值范围是14.极坐标方程为θρcos =与θρsin =的两个圆的圆心距为 15. 如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为DCD=4，BD=8，则圆O 的半径等于三．解答题16.(12分)掷两枚骰子，记事件A 为“向上的点数之和为n ”. （1）求所有n 值组成的集合；（2）n 为何值时事件A 的概率P(A)最大？最大值是多少？（3）设计一个概率为0.5的事件（不用证明）17.(12分)如图，有三个并排放在一起的正方形，βα=∠=∠AFB AGB ,. （1）求βα+的度数；（2）求函数1cos sin 3sin 2-+=x x x y的最大值及取得最大值时候的x 值。

2020年广东省实验中学高考数学模拟试卷(文科)(3月份)

D. 在区间上单调递增
11.已知椭圆，为椭圆的右项点，直线交于、两点，且，则恒过除点以外的定点（）
A. B. C. D.
12.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则过，，三点的平面截该正方体，所得截面的周长为（）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长．
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数＝．
（1）若＝，解不等式；
（2）对任意满足的实数，，若总存在实数，使得，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020年广东省实验中学高考数学模拟试卷（文科）（3月份）
4.盒中有个大小相同的球，其中白球个，黑球个，从中任意摸出个（摸出后不放回），则至少摸出一个黑球的概率为（）
A. B. C. D.
5.已知向量，，且，则
A. B. C. D.
6.若，则＝（）
A. B. C. D.
7.已知双曲线的一条渐近线与直线＝垂直，则的离心率为（）
A. B. C. D.
已知函数．
（1）当＝时，求的单调区间：
（2）当时，有且仅有个零点，，，且，求证：．
已知抛物线＝的焦点为，准线为直线，、、三点均在抛物线上且过点，过点．
（1）写出点的坐标和直线的方程；
（2）记，的面积分别为，，求的最小值．
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分。（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

2020年广东省高考数学一模试卷(文科) (含解析)

2020年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，则满足A∩∁U B＝{1，2}的集合B可以是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，7}C．{3，4，5，6}D．{1，2，3}2．复数z=4+3i3−4i（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1B．2C．5D．13．已知向量a→=(12，−1)向量b→满足2a→+b→=（﹣1，m），若a→⊥b→，则m＝（）A．﹣3B．3C．1D．24．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为（）A．x24+y22=1B．x22+y2=1C．x23+y22=1D．x24+y23=15．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则y＝f（t）的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．6．若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为（）A ．−19B ．−59C ．19D ．597．甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（）A ．14B ．13C ．16D ．1368．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（）A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 39．执行如图的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x 轴垂直，且交双曲线C 于A ，B 两点，若△ABO 是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（） A ．√5+12B ．√5−12C ．√5−1D ．√5+111．在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（） A ．√3B ．32√3C ．2√3D ．52√312．已知f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f （1）＝0，且当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，则不等式f （x ）＜0的解集为（） A ．（﹣1，0）∪（1，π2）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（−π2，﹣1）∪（1，π2） D ．（−π2，﹣1）∪（0，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝．14．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为．15．如图，已知三棱锥P ﹣ABC 满足PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为．16．函数f（x）＝sinπx+a cosπx满足f（x）＝f（13−x），x∈[0，32]，方程f（x）﹣m＝0恰有两个不等的实根，则实数m的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}为单调递增的等差数列，设其前n项和为S n，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及取得最小值时n的值．18．某城市2018年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[160，180）n10.04[180，200）19f1[200，220）n20.22[220，240）250.25[240，260）150.15[260，280）10f2[280，300]50.05（1）求表中n1，n2，f1，f2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u（单位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u与年份t的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x＝t﹣2014，y＝u﹣195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u关于t的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy ∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．19．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB＝1，AA1＝2．（1）证明：CD∥平面A1EB；（2）求点A1到平面BDE的距离．20．动圆C与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1，x2是方程x2+2mx﹣4＝0的两根．（1）若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；（2）证明：当动圆C过点M（0，1）时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．21．已知函数f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）当m＜0时，证明：在（0，1）上f（x）存在唯一零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，则满足A∩∁U B＝{1，2}的集合B可以是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，7}C．{3，4，5，6}D．{1，2，3}【分析】根据题意得出1，2∉B，即可判断结论．解：∵集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，要满足A∩∁U B＝{1，2}；则1，2∉B，故符合条件的选项为C．故选：C．【点评】本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题．2．复数z=4+3i3−4i（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1B．2C．5D．1【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵z=4+3i3−4i=(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i，∴复数z=4+3i3−4i的虚部是1，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．已知向量a→=(12，−1)向量b→满足2a→+b→=（﹣1，m），若a→⊥b→，则m＝（）A ．﹣3B ．3C ．1D ．2【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得m 的值．解：向量a →=(12，−1)，向量b →满足2a →+b →=（﹣1，m ），设b →=（ x ，y ），则（1+x ，﹣2+y ）＝（﹣1，m ），∴1+x ＝﹣1，且﹣2+y ＝m ，求得x ＝﹣2，m ＝y ﹣2．若a →⊥b →，则a →⋅b →=x 2−y ＝﹣1﹣y ＝0，故y ＝﹣1，∴m ＝y ﹣2＝﹣3，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．4．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A ，B ，若四边形AF 2BF 1是正方形且面积为4，则椭圆C 的方程为（） A ．x 24+y 22=1B ．x 22+y 2=1C ．x 23+y 22=1D ．x 24+y 23=1【分析】由四边形AF 2BF 1是正方形且面积为4可得b ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出a 的值，进而求出椭圆的面积．解：由AF 2BF 1是正方形可得b ＝c ，再由AF 2BF 1的面积为4可得12•2c •2b ＝4，即bc ＝2，又a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程为：x 24+y 22=1；故选：A ．【点评】本题考查椭圆的性质，及正方形的面积与对角线的关系，属于中档题． 5．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t （0＜t ≤2）左侧的图形的面积为f （t ），则y ＝f （t ）的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据面积的变换趋势与t 的关系进行判断即可．解：当0＜x ＜1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD ，不合适，当1≤x ≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A ，故选：B ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与t 的关系是解决本题的关键．难度不大．6．若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为（）A．−19B．−59C．19D．59【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解．解：∵sin(π+α)=√23，∴可得sinα=−√23，∴sin(2α−π2)=−cos2α＝2sin2α﹣1＝2×（−√23）2﹣1=−59．故选：B．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（）A．14B．13C．16D．136【分析】基本事件总数n=C42=6，由此能求出甲、乙两人选的2本恰好相同的概率．解：甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，基本事件总数n=C42=6，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率p=1 6．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．8．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为（）A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 3【分析】由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解．解：如图，正方体AC 1 的棱长为40cm ，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm 3．又正方体的体积为V ＝40×40×40＝64000cm 3，∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm 3，故选：B ．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题．9．执行如图的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得A=12，k＝1满足条件1≤i，执行循环体，A=25，k＝2满足条件2≤i，执行循环体，A=512，k＝3满足条件3≤i，执行循环体，A=1229，k＝4满足条件4≤i，执行循环体，A=2970，k＝5满足条件5≤i，执行循环体，A=70 169，k＝6由题意，此时不满足条件6≤i，退出循环，输出A的值为70 169，可得输入i的值为5．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．已知O是坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．√5+12B．√5−12C．√5−1D．√5+1【分析】由双曲线的性质，结合通径以及半焦距，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．解：由题意可知：|AF |=b 2a，双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x 轴垂直，且交双曲线C 于A ，B 两点，若△ABO 是等腰直角三角形，可得c =b 2a =c 2−a 2a，e ＝e 2﹣1，e ＞1解得e =√5+12．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．11．在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（） A ．√3B ．32√3 C ．2√3D ．52√3【分析】先根据向量的三角形法则得到AD →=13AB →+23AC →；对其两边平方，求出bc 的取值范围即可求得结论．解：因为在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，；∴AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23（AC →−AB →）=13AB →+23AC →；∴AD →2=19AB →2+2×13AB →×23AC →+49AC →2；即：4=19c 2+49bc •cos60°+49b 2⇒36＝c 2+2bc +4b 2≥2√c 2⋅4b 2+2bc ＝6bc ；∴bc ≤6，（当且仅当2b ＝c 时等号成立）；∵S △ABC =12bc sin A ≤12×6×√32=3√32．即△ABC 面积的最大值为：3√32．故选：B ．【点评】本题考查△ABC 的面积的求法以及向量知识的综合应用，涉及到基本不等式，属于中档题目．12．已知f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f （1）＝0，且当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，则不等式f （x ）＜0的解集为（） A ．（﹣1，0）∪（1，π2）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（−π2，﹣1）∪（1，π2） D ．（−π2，﹣1）∪（0，1）【分析】令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，根据f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，可得函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，可得x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0．x ＝0时，f （0）＝0，舍去．根据f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，可得g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．进而得出不等式f （x ）＜0的解集．解：令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝f （x ）cos x +f ′（x ）sin x ＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，∴g ′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，∴x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0． x ＝0时，f （0）＝0，舍去．∵f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，∴g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．∴不等式f （x ）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．故选：B ．【点评】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ −13．【分析】求出f （x ）的导数，然后根据切线与直线ex +y +2020＝0平行，得f ′（e ）＝﹣e ，列出关于m 的方程，解出m 的值．解：f ′（x ）＝m （2xlnx +x ），又曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，∴f ′（e ）＝3em ＝﹣e ，解得m =−13．故答案为：−13．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和运算能力．14．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为 7 ．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分由{x =2x −y =−1，得A （2，3）目标函数z ＝2x +y 可看做斜率为﹣2的动直线，其纵截距越大z 越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大＝2×2+3＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．15．如图，已知三棱锥P﹣ABC满足PA＝PB＝PC＝AB＝2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为3227√3π．【分析】因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA＝PB ＝PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中由勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA＝PB＝PC＝AB＝2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP＝OA＝R，在△OAD 中，R 2＝r 2+（PD ﹣R ）2，即R 2＝1+（√3−R ）2，解得：R =2√3=2√33，所以外接球的体积V =4π3R 3=32√327π，故答案为：32√327π．【点评】本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．16．函数f （x ）＝sin πx +a cos πx 满足f （x ）＝f （13−x ），x ∈[0，32]，方程f （x ）﹣m ＝0恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为 √3≤m ＜2或﹣2＜m ≤﹣1 ．【分析】首先利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的图象求出函数f （x ）的图象和函数y ＝m 的交点，进一步求出结果．解：函数f （x ）＝sin πx +a cos πx 满足f （x ）＝f （13−x ），则函数的对称轴为x =16，当x =16时，函数f （x ）取得最值，即±√1+a 2=sin π6+acos π6，整理得a 2−2√3a +3=0，解得a =√3，所以f （x ）＝sin πx +√3cosπx =2sin （πx +π3）．由于x ∈[0，32]，所以π3≤πx +π3≤3π2+π3=11π6，根据函数的图象，当√3≤m＜2或﹣2＜m≤﹣1时，函数的f（x）的图象与y＝m有两个交点，即方程f （x）﹣m＝0恰有两个不等的实根，故答案为：√3≤m＜2或﹣2＜m≤﹣1．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的应用，函数的零点和函数的图象的交点的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}为单调递增的等差数列，设其前n项和为S n，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及取得最小值时n的值．【分析】（1）设等差数列的公差为d，d＞0，由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，注意n为正整数，可得所求最值．解：（1）{a n}为单调递增的等差数列，设公差为d，d＞0，由S5＝﹣20，可得5a1+10d＝﹣20，即a1+2d＝﹣4，①由a3，a5+1，a9成等比数列，可得a3a9＝（a5+1）2，即（a1+2d）（a1+8d）＝（a1+4d+1）2，化为2a1d＝2a1+1+8d，②由①②解得d=12，a1＝﹣5，则a n＝﹣5+12（n﹣1）=12（n﹣11）；（2）S n=12n（﹣5+n−112）=14（n2﹣21n）=14[（n−212）2−4414]，由于n为正整数，可得n＝10或11时，S n取得最小值−55 2．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比中项的性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．18．某城市2018年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[160，180）n10.04[180，200）19f1[200，220）n20.22[220，240）250.25[240，260）150.15[260，280）10f2[280，300]50.05（1）求表中n1，n2，f1，f2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u（单位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u与年份t的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x＝t﹣2014，y＝u﹣195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u关于t的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy ∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【分析】（1）根据频数、频率和样本容量的关系可分别求出n1，n2，f1，f2的值；设样本的中位数为a，根据中位数的性质可列出关于a的方程，解之即可得解；（2）①根据折线图中的数据和x＝t﹣2014，y＝u﹣195，算出每组数据对应的x和y值即可；②由①中的数据，可求出x，y，再根据a，b的参考公式，求出这两个系数后可得y关于x的线性回归方程，再把t和u代入化简即可得u关于t的线性回归方程；令t＝2020，算出u的值就是所求．解：（1）n1＝100×0.04＝4；n2＝100×0.22＝22；f1=19100=0.19；f2=10100=0.1．设样本频率分布表的中位数为a，则0.04+0.19+0.22+0.25×120×(a−20)=0.5，解得a＝224，由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数m为224千瓦时．（2）①数据预处理如下表：x＝t﹣2014﹣4﹣2024 y＝u﹣195﹣21﹣1101929②由①可知，x=0，y=−21−11+0+19+295=3.2，∴b=∑n i=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2=(−4)×(−21)+(−2)×(−11)+2×19+4×29(−4)2+(−2)2+22+42=26040=6.5，a=y−b x=3.2−6.5×0=3.2，∴y关于x的线性回归方程为y=6.5x+3.2，∵x＝t﹣2014，y＝u﹣195，∴u﹣195＝6.5（t﹣2014）+3.2，故u关于t的线性回归方程为u＝6.5t﹣12892.8，当t＝2020时，u＝6.5×2020﹣12892.8＝237.2（千瓦时）．故预测2020年该市居民月均用电量的中位数为237.2千瓦时．【点评】本题考查对频数、频率分布表的认识、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB＝1，AA1＝2．（1）证明：CD∥平面A1EB；（2）求点A1到平面BDE的距离．【分析】（1）取A1B的中点F，连接EF，DF，由三角形中位线定理可得DF∥A1A，DF=12A1A，再由已知得到DF∥EC，DF＝EC，得四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF．由直线与平面平行的判定可得CD∥平面A1EB；（2）证明CD⊥平面A1ABB1，又由（1）知，CD∥EF，得到EF⊥平面A1ABB1，再证明AB⊥平面CDE，得AB⊥DE，则BD⊥DE，分别求出平面BDE与平面A1BD的体积，然后利用等体积法求点A1到平面BDE的距离．【解答】（1）证明：取A1B的中点F，连接EF，DF，∵D，F分别是AB，A1B的中点，∴DF∥A1A，DF=12A1A，∵A1A∥C1C，A1A＝C1C，E是C1C的中点，∴DF∥EC，DF＝EC，可得四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF．∵CD⊄平面A1EB，EF⊂平面A1EB，∴CD∥平面A1EB；（2）解：∵△ABC是正三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，则A1A⊥CD．∵A1A∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1，又由（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面A1ABB1，∵AB ＝1，AA 1＝2，∴CD =√32，则S △A 1BD =12×2×12=12．∴V E−A1BD=13S △A 1BD ⋅EF =13×12×√32=√312．在Rt △CDE 中，DE =√CD 2+CE 2=√72．∵AB ⊥CD ，AB ⊥CE ，CD ∩CE ＝C ， ∴AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ．∴S △BDE =12×12×√72=√78．设点A 1到平面BDE 的距离为d ，由V A 1−BDE =V E−A 1BD ，得13S △BDE ⋅d =√312，即13×√78=√312，则d =2√217．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．20．动圆C 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1，x 2是方程x 2+2mx ﹣4＝0的两根．（1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点M （0，1）时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【分析】（1）由韦达定理可得到x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝﹣4，从而求得圆心与半径，进而求得动圆C 的方程；（2）先设出动圆C 的方程，再由题设条件解决D 、E 、F 的值，进而求出动圆C 在y 轴上截得弦长．解：（1）∵x 1，x 2是方程x 2+2mx ﹣4＝0的两根，∴x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝﹣4． ∵动圆C 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且线段AB 是动圆C 的直径， ∴动圆C 的圆心C 的坐标为（﹣m ，0），半径为|AB|2=|x 2−x 1|2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 22=√m +4．∴动圆C 的方程为（x +m ）2+y 2＝m 2+4；（2）证明：设动圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，∵动圆C 与y 轴交于M （0，1），N （0，y 1），令y ＝0则x 2+Dx +F ＝0，由题意可知D ＝2m ，F ＝﹣4，又动圆C 过点M （0，1），∴1+E ﹣4＝0，解得E ＝3．令x ＝0，则y 2+3y ﹣4＝0，解得y ＝1或y ＝﹣4，∴y 1＝﹣4．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为|y 1﹣1|＝5．故动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点评】本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于基础题． 21．已知函数f （x ）＝e x +（m ﹣e ）x ﹣mx 2．（1）当m ＝0时，求函数f （x ）的极值；（2）当m ＜0时，证明：在（0，1）上f （x ）存在唯一零点．【分析】（1）将m ＝0带入，求导得f ′（x ）＝e x ﹣e ，再求出函数f （x ）的单调性，进而求得极值；（2）求导得f ′（x ）＝e x ﹣2mx +m ﹣e ，令g （x ）＝f ′（x ），对函数g （x ）求导后，可知g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，而g（0）＜0，g（1）＞0，进而函数f （x）在（0，1）上的单调性，再运用零点存在性定理可得证．解：（1）当m＝0时，f（x）＝e x﹣ex，f′（x）＝e x﹣e，又f′（x）是增函数，且f′（1）＝0，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝0，无极大值；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，则g′（x）＝e x﹣2m，当m＜0时，则g′（x）＞0，故g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，又g（0）＝f′（0）＝1+m﹣e＜0，g（1）＝f′（1）＝﹣m＞0，∴存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x∈（x0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，又∵f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）在（0，1）上存在唯一零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q 的轨迹为C2．设P（ρ1，θ），Q（ρ，θ），则：ρ1cosθ﹣2ρ1sinθ＝1，即ρ1=1cosθ−2sinθ，由于|OP|•|OQ|＝2，所以ρ＝2cosθ﹣4sinθ，整理得ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝5（原点除外）．（2）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣1＝0．曲线C2的圆心为（1，﹣2），半径为√5，所以圆心到直线C1的距离d=√1+(−2)=5．所以|MN|=2√(√5)2−(4√5)2=6√5．由于点O到C1的距离d2=|−1|√1+(−2)=1√5所以S△OMN=12×|MN|×d2=12×6√51√5=35．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得|x﹣1|+12|x+3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．讨论x≤﹣2恒成立，x＞﹣2时，可得|x﹣k|≥x+12恒成立，讨论﹣2＜x≤﹣1，x＞﹣1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．解：（1）当k＝1时，不等式f（x）≤1即为|x﹣1|+12|x+3|≤3，等价为{x≥1x−1+12x+32≤3或{−3＜x＜11−x+12x+32≤3或{x≤−31−x−12x−32≤3，解得1≤x≤53或﹣1≤x＜1或x∈∅，则原不等式的解集为[﹣1，53 ]；（2）f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，即为|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．当x≤﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥0≥x+2恒成立；当x＞﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立等价为|x﹣k|+x+32≥x+2，即|x﹣k|≥x+12恒成立，当﹣2＜x≤﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立；当x＞﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立等价为x﹣k≥x+12或x﹣k≤−x+12恒成立．即x≥2k+1或x≤23（k−12）恒成立，则2k+1≤﹣1解得k≤﹣1，所以k的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年广东省惠州市高考数学一模试卷(文科)

2020年广东省惠州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）设集合{|0}A x x =>，集合{}|1B x y x ==-，则(A B =U ) A ．{|0}x x >B ．{|01}x x <„C ．{|01}x x <„D ．{|1}x x …2．（5分）已知i 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．(1)i i +B ．2(1)i i -C ．22(1)i i +D ．234i i i i +++3．（5分）已知a ，b R ∈，则“a b <”是“22log log a b <”的( )条件． A ．充分而不必要 B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．（5分）已知数据1x ，2x ，⋯⋯，2020x 的方差为4，若2(3)(1i i y x i =--=，2，⋯⋯，2020)，则新数据1y ，2y ，⋯⋯，2020y 的方差为( ) A ．16B ．13C ．8-D ．16-5．（5分）函数||x x y xπ=的图象大致形状是( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为( )A ．843π+B ．883π+C ．84π+D ．88π+7．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，3c =，且满足(2)cos cos a c B b C -=，则AB BC u u u r u u u rg 的值为( )A ．2B ．3C ．1-D ．3-8．（5分）已知函数||()||x f x e x =+，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是( )A ．12(,)33B ．12[,)33C ．12(,)23D ．12[,)239．（5分）已知F 是抛物线24y x =的焦点，过焦点F 的直线l 交抛物线的准线于点P ，点A 在抛物线上且||||3AP AF ==，则直线l 的斜率为( ) A ．1±B 2C ．2±D ．2210．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m αβ=I ，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥11．（5分）函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象( )A ．关于点(,0)3π对称B ．在(,)22ππ-上单调递增C ．关于直线3x π=对称D ．在6x π=处取最大值12．（5分）已知函数()||xf x e lnx =，若关于x 的方程2()()10f x mf x -+=恰好有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(1,2)D ．(2,4)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设直线y x m =+是曲线x y e =的一条切线，则实数m 的值是．14．（5分）已知向量(1,3)a x =-r ，(,1)b x =r ，若向量a b -r r 与a r 垂直，则x = ． 15．（5分）2020年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停课不停学”．为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）．已知学习时长在[9，11)的学生人数为25，则n 的值为．16．（5分）已知椭圆22198x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上的动点，若动点Q 满足1(,0)F P PQ R λλλ=∈>u u u r u u u r 且2||||PQ PF =u u u r u u u u r ，则点Q 到双曲线22143x y -=一条渐近线距离的最大值为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，45627a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b a =，求数列{}n b 前n 项和n T ．参考公式：222(1)(21)126n n n n ++++⋯⋯+=．18．（12分）已知几何体ABCDEF 中，//AB CD ，//FC EA ，AD AB ⊥，AE ⊥面ABCD ，2AB AD EA ===，4CD CF ==．（1）求证：平面BDF⊥平面BCF；（2）求点B到平面ECD的距离．19．（12分）惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国I卷的题型结构，其中第22、23题为选做题，考生只需从中任选一题作答．已知文科数学和理科数学的选做题题目无任何差异，该校参加模拟考试学生共1050人，其中文科学生150人，理科学生900人．在测试结束后，数学老师对该学校全体高三学生选做的22题和23题得分情况进行了统计，22题统计结果如表1，23题统计结果如表2．22题得分035810理科人数507080100500文科人数52010570表123题得分035810理科人数1010152540文科人数552505表2（1）在答卷中完成如下22⨯列联表，并判断能否至少有99.9%的把握认为“选做22题或23题”与“学生的科类（文理）”有关系；选做22题选做23题合计文科人数110理科人数100总计1050（2）在第23题得分为0的学生中，按分层抽样的方法随机抽取6人进行答疑辅导，并在辅导后从这6人中随机抽取2人进行测试，求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率．。

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=x2﹣x，x∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，1}D．{﹣1，0}2．若平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．43．设i为虚数单位，已知，则|z1|，|z2|的大小关系是（）A．|z1|＜|z2|B．|z1|=|z2|C．|z1|＞|z2|D．无法比较4．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图．若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是（）A．1.78小时 B．2.24小时 C．3.56小时 D．4.32小时5．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列说法错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．x=是f（x）的一条对称轴C．f（x）在（﹣，）上单调递增D．|f（x）|的值域是[0，1]6．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2C．6 D．48．函数f（x）=xcosx在[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C．D．9．已知﹣＜α＜，且sinα+cosα=，则α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．10．已知A，B，C是球面上三点，且AB=6，BC=8，AC=10，球心O到平面ABC的距离等于该球半径的，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．12．已知a＞0，若函数且g（x）=f（x）+2a至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（，1]B．（1，2]C．（1，+∞）D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．下列四个函数中：①y=﹣；②y=log2（x+1）；③y=﹣；④y=．在（0，+∞）上为减函数的是．（填上所有正确选项的序号）14．甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负．若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比赛成绩是．15．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）16．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．18．某房地产公司新建小区有A、B两种户型住宅，其中A户型住宅每套面积为100平方米，B户型住宅每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工，表是这24套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：房号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A户型 2.6 2.7 2.8 2.8 2.9 3.2 2.9 3.1 3.4 3.3 3.4 3.5 B户型 3.6 3.7 3.7 3.9 3.8． 3.9 4.2 4.1 4.1 4.2 4.3 4.5 （Ⅰ）根据表格数据，完成下列茎叶图，并分别求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；（Ⅱ）该公司决定对上述24套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会．小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格．为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，经过点A（0，1），其左、右焦点分别为F1、F2，且•=0．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点（﹣，0）的直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，且与圆O：x2+y2=r2（r ＞0）相切于点Q，求r的值及△OPQ的面积．21．已知函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立，求m+n的最大值．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，已知三圆C1：x2+y2=4，C2：（x+）2+（y﹣1）2=4，C3：（θ为参数）有一公共点P（0，2）．（Ⅰ）分别求C1与C2，C1与C3异于点P的公共点M、N的直角坐标；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点O、M、N的圆C 的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=x2﹣x，x∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，1}D．{﹣1，0}【考点】交集及其运算．【分析】把A中元素代入B求出y的值，确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：把x=﹣1，0，1代入得：y=2，0，即B={2，0}，∵A={﹣1，0，1}，∴A∩B={0}，故选：A．2．若平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的共线的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，可得m﹣4=2（﹣1），解得m=2．故选：B．3．设i为虚数单位，已知，则|z1|，|z2|的大小关系是（）A．|z1|＜|z2|B．|z1|=|z2|C．|z1|＞|z2|D．无法比较【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则分别化简z1，z2，再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：z1====﹣i，∴|z1|=1．∵，∴|z2|==1，则|z1|=|z2|．故选：B．4．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图．若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是（）A．1.78小时 B．2.24小时 C．3.56小时 D．4.32小时【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，利用同一组数据所在区间的中点值乘以对应的频率，再求和即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得；估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间为=0.12×2×1+0.20×2×3+0.10×2×5+0.08×2×7=3.56（小时）．故选：C．5．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列说法错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．x=是f（x）的一条对称轴C．f（x）在（﹣，）上单调递增D．|f（x）|的值域是[0，1]【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=cos2x，由三角函数的性质逐个选项验证可得．【解答】解：∵f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴f（x）的最小正周期T==π，选项A正确；由2x=kπ可得x=，k∈Z，∴x=是f（x）的一条对称轴，选项B正确；由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可得kπ+≤x≤kπ+π，∴函数的单调递增区间为[kπ+，kπ+π]，k∈Z，C错误；|f（x）|=|cos2x|，故值域为[0，1]，D正确．故选：C6．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图△ABC），k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得当直线经过点A（0，2）时，直线的斜率取最大值2，当直线经过点B（0，﹣2）时，直线的斜率取最小值﹣2，故选：A．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2C．6 D．4【考点】由三视图还原实物图．【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，由题意解答．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥，如图：由网格可得AD最长为=；故答案为：．8．函数f（x）=xcosx在[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；余弦函数的图象．【分析】根据奇偶函数图象的对称性排除A、C；利用特殊点排除D，从而得到答案．【解答】解：由f（x）=xcosx为奇函数知，其图象关于原点对称，排除A、C；又f（π）=πcosπ=﹣π＜0，故排除D；故选B．9．已知﹣＜α＜，且sinα+cosα=，则α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用两角和的正弦函数公式化简已知可得sin（）=，从而可得sin （）=，结合α的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求值得解．【解答】解：因为：sinα+cosα=，所以：sin（）=，所以：sin（）=．又因为：﹣＜α＜，可得：，所以：=，解得：．故选：A．10．已知A，B，C是球面上三点，且AB=6，BC=8，AC=10，球心O到平面ABC的距离等于该球半径的，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】求出三角形ABC的外心，利用球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意AB=6，BC=8，AC=10，∵62+82=102，可知三角形是直角三角形，三角形的外心是AC的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离，设球的半径为R，球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，所以R2=（R）2+52，解得R2=，∴球的表面积为4πR2=π．故选：C．11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】可以求出抛物线的焦点坐标，从而可以写出弦AB所在直线方程为，可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程和抛物线方程联立消去x可得到关于y的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦AB的中点坐标为，而弦AB的垂直平分线方程可写出为y﹣2=﹣x，弦中点坐标带入该方程便可求出p的值．【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A（x1，y1），B（x2，y2）；由得，y2﹣2py﹣p2=0；∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；∴弦AB的中点坐标为；弦AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣x，弦AB的中点在该直线上；∴；解得．故选：C．12．已知a＞0，若函数且g（x）=f（x）+2a至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（，1]B．（1，2]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】把函数零点问题转化为方程根的问题，然后画出a=1及a=2时的分段函数的简图，由图判断a=1及a=2时满足题意，结合选项得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）+2a的零点的个数等价于方程f（x）=﹣2a根的个数，即函数y=f（x）的图象与直线y=﹣2a交点的个数，利用特殊值验证法：当a=1时，y=f（x）的图象如图：满足题意；当a=2时，y=f（x）的图象如图：满足题意．结合选项可知，a的范围是D．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．下列四个函数中：①y=﹣；②y=log2（x+1）；③y=﹣；④y=．在（0，+∞）上为减函数的是①④．（填上所有正确选项的序号）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据单调性的定义，对数函数和指数函数的单调性，以及不等式的性质即可判断每个函数在（0，+∞）上的单调性，从而写出在（0，+∞）上为减函数的序号．【解答】解：∵x∈（0，+∞）；①x增大时，增大，﹣减小，即y减小，∴该函数在（0，+∞）上为减函数；②x增大时，x+1增大，log2（x+1）增大，即y增大，∴该函数在（0，+∞）上为增函数；③x增大时，x+1增大，减小，增大，∴该函数在（0，+∞）上为增函数；④x增大时，x﹣1增大，减小，即y减小，∴该函数在（0，+∞）上为减函数；∴在（0，+∞）上为减函数的是①④．故答案为：①④．14．甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负．若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比赛成绩是全胜．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意可得，共有6胜6负，由甲，乙，丙的成绩，运用补集思想即可求出丁的成绩．【解答】解：由题意可得，甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负，则共需进行=6场，∵每场都会产生胜方和负方，∴比赛共产生6胜6负，∵甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，已有3胜6负，∴丁队的比赛成绩是全胜，即3胜．故答案为：全胜．15．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．16．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先由正弦定理，有=，进而根据双曲线的几何性质，可得|CB|=2c=4，|AB|﹣|CA|=2a=6，代入，即可得到答案．【解答】解：根据正弦定理：在△ABC中，有=，又由题意C、B分别是双曲线的左、右焦点，则|CB|=2c=10，且△ABC的顶点A在双曲线的右支上，又可得|AB|﹣|AC|=2a=6，则===．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）通过a1+a3=8，a2+a4=12与等差中项的性质可知a2=4，a3=6，进而可知公差及首项，利用等差数列的求和公式计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）裂项可知=﹣，进而并项相加并与已知条件比较即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵a1+a3=8，a2+a4=12，∴a2=4，a3=6，∴等差数列{a n}的公差d=a3﹣a2=6﹣4=2，首项a1=a2﹣d=4﹣2=2，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列，于是其前n项和为S n=2•=n（n+1）；（Ⅱ）由（I）可知，==﹣，∴++…+=1﹣+﹣+…+﹣=，又∵++…+=，∴=，即n=999．18．某房地产公司新建小区有A、B两种户型住宅，其中A户型住宅每套面积为100平方米，B户型住宅每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工，表是这24套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：房号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A户型 2.6 2.7 2.8 2.8 2.9 3.2 2.9 3.1 3.4 3.3 3.4 3.5 B户型 3.6 3.7 3.7 3.9 3.8． 3.9 4.2 4.1 4.1 4.2 4.3 4.5 （Ⅰ）根据表格数据，完成下列茎叶图，并分别求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；（Ⅱ）该公司决定对上述24套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会．小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格．为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由表格数据，能作出茎叶图，并能求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数．（Ⅱ）若选择A户型抽签，求出成功购房的概率；若选择B户型抽签，求出成功购房的概率．由此得到该员工选择购买A户型住房的概率较大．【解答】解：（Ⅰ）由表格数据，作出茎叶图：A户型销售价格的中位数是=3.0，B户型销售价格的中位数是=4.0．（Ⅱ）若选择A户型抽签，则每平方米均价不得高于3.2万元，有能力购买其中的8套住房，∴成功购房的概率是=，若选择B户型抽签，每平方米均价不得高于4.0万元，有能力购买其中的6套住房，成功购房的概率是，∵，∴该员工选择购买A户型住房的概率较大．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取BC中点M，连结AM，由AB=AC得AM⊥BC，由菱形和等边三角形的性质得出BC⊥B1M，故BC⊥平面AB1M，故而AB1⊥BC；（II）利用勾股定理的逆定理得出AM⊥B1M，从而B1M⊥平面ABC，故而B1M为棱柱的高，根据棱柱的体积列方程解出AB．【解答】解：（I）取BC中点M，连结AM，B1M，∵AB=AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，∵侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°，∴B1M⊥BC，又AM⊂平面AB1M，B1M⊂平面AB1M，AM∩B1M=M，∴BC⊥平面AB1M，∵AB1⊂平面AB1M，∴BC⊥AB1．（II）设AB=x，则AC=x，BC=x，∵M是BC的中点，∴AM=，BB1=，B1M=，又∵AB1=BB1，∴AB1=，∴AB12=B1M2+AM2，∴B1M⊥AM．由（I）知B1M⊥BC，AM⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，AM∩BC=M，∴B1M⊥平面ABC，∴V==，∴x=2，即AB=2．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，经过点A（0，1），其左、右焦点分别为F1、F2，且•=0．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点（﹣，0）的直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，且与圆O：x2+y2=r2（r ＞0）相切于点Q，求r的值及△OPQ的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），由椭圆E经过点A（0，1），•=0，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．（Ⅱ）设直线l：y=k（x+），联立，得（2k2+1）x2+4x+6k2﹣2=0，由此利用根的判别式、直线与圆相切、两点间距离公式，结合已知条件能求出r的值及△OPQ的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，其左、右焦点分别为F1、F2，∴设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），∵椭圆E经过点A（0，1），∴b=1，∵•=0，且AF1=AF2，∴b=c=1，∴a2=1+1=2，∴椭圆E的方程是．（Ⅱ）设直线l：y=k（x+），联立，整理，得（2k2+1）x2+4x+6k2﹣2=0，①∴，∵直线l与椭圆相切，∴△=0，解得k=±1，代入方程①中，得到，解得x=﹣，代入直线l的方程中，得y=，即P（﹣，），又∵直线l与圆x2+y2=r2相切，∴r===，∵|OP|==，∴|PQ|===，S△OPA=．21．已知函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立，求m+n的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，建立方程关系即可求a，b的值；（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性，极值和最值与导数的关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=e x+a，∵函数f（x）在点（0，1）处的切线与x轴平行，∴f′（0）=0，即f′（0）=e0+a=1+a=0，则a=﹣1，又f（0）=1+b=1，则b=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x﹣x，则不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立等价为e x≥mx+n，即e x﹣mx﹣n≥0，设g（x）=e x﹣mx﹣n，则g′（x）=e x﹣m，当m≤0时，g′（x）＞0恒成立，则g（x）在R上递增，没有最小值，故不成立，当m＞0时，由g′（x）=0得x=lnm，当g′（x）＜0时，得x＜lnm，当g′（x）＞0时，得x＞lnm，即当x=lnm时，函数取得最小值g（lnm）=e lnm﹣mlnm﹣n=m﹣mlnm﹣n≥0，即m﹣mlnm≥n，2m﹣mlnm≥m+n，令h（m）=2m﹣mlnm，则h′（m）=1﹣lnm，令h′（m）=0得m=e，当0＜m＜e时，h（m）单调递增，当m＞e时，h（m）单调递减，故当m=e时，h（m）取得最大值h（e）=e，∴e≥m+n，故m+n的最大值为e．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）连结EF，BE，说明AB是⊙O是直径，推出∠ABE=∠C，然后证明C，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）利用切割线定理求解BD，利用C、E、F、D四点共圆，得到AE•AC=AF•AD，然后求解AE．【解答】（Ⅰ）证明：连结EF，BE，则∠ABE=∠AFE，因为AB是⊙O是直径，所以，AE⊥BE，又因为AB⊥BC，∠ABE=∠C，所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°，∴C，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：因为AB⊥BC，AB是直径，所以，BC是圆的切线，DB2=DF•DA=4，即BD=2，所以，AB==2，因为D为BC的中点，所以BC=4，AC==2，因为C、E、F、D四点共圆，所以AE•AC=AF•AD，即2AE=12，即AE=．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，已知三圆C1：x2+y2=4，C2：（x+）2+（y﹣1）2=4，C3：（θ为参数）有一公共点P（0，2）．（Ⅰ）分别求C1与C2，C1与C3异于点P的公共点M、N的直角坐标；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点O、M、N的圆C 的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出圆C3的普通方程，解方程组得出交点坐标；（2）求出过三点的圆的普通方程，转化为极坐标方程．【解答】解：（I）圆C3的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣1）2=4．联立方程组，解得或．联立方程组，解得或．∴M（﹣，﹣1），N（，﹣1）．（II）M，N的中垂线方程为x=0，故过点M，N，O三点的圆圆心在y轴上，设圆的半径为r，则（r﹣1）2+=r2，解得r=2．∴圆心坐标为（0，﹣2）．∴经过三点O、M、N的圆C的直角坐标方程为x2+（y+2）2=4．即x2+y2+4y=0．∴经过三点O、M、N的圆C的极坐标方程为ρ2+4ρsinθ=0，即ρ=﹣4sinθ．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，分类讨论去掉绝对值，分别求得它的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值为5，求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8，即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，若x＜﹣1，则有﹣x﹣1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣2．若﹣1≤x≤3，则有x+1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣4，不满足要求．若x＞3，则有x+1+x﹣3≥x+8，求得x≥10．综上可得，x的范围是{x|x≤﹣2或x≥10}．（Ⅱ）∵f（x）=|x+a|+|x﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|，∴函数f（x）的最小值为|a+3|=5，∴a+3=5，或a+3=﹣5，解得a=2，或a=﹣8．2020年7月30日第21页（共21页）。

2020广州市高三数学模拟考(文)

试卷类型：A2020年广州市高考模拟考试数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 2 3 4 51. 已知 A 2. N =A. {}0x ≥ 3.A 20x >， C 24. 设向量(,1)x =a ，(4,)x =b , ⋅a b 1=-, 则实数x 的值是 A ．2-B ．1-C ．13-D ．15-5. 函数()()1cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2π6. A7. 用 ① ③ A8. A C ．9. A 10. 40292015f ⎛++ ⎝ A ．8058-分． 11. 12. 在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域W 中随机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是 .13. 已知实数x ,y 满足221x y xy +-=，则x y +的最大值为 .OD E CBA（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图2，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．15．（坐标系与参数方程选讲选做题）图2在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点. （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1045f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，33545f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值.17．（本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该奶茶店的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：日期 1月11日 1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x （°C ） 910 12 11 8 销量y （杯）2325302621（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+．（参考公式：()()()121ˆˆˆniii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）FEDCBA 18．（本小题满分14分）如图3，在多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，平面BCEF 平面ADEF EF =，60BAD ︒∠=，2AB =，1DE EF ==．（1）求证：BC ∥EF ；（2）求三棱锥B DEF -的体积．图319．. （1（220．2b +.（1（2B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =．（1）求实数a ，b 的值；（2）是否存在实数m ，当(]0,1x ∈时，函数()()()21g x f x x m x =-+-的最小值为0，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）若120x x <<，求证：212212ln ln x x x x x -<-．。

2020年广东省高考数学一模试卷(文科)

高考数学一模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1. 已知会合 A={ x|x-1＜ 2} ， B={ x|1＜ 2 x＜ 16} ，则 A∩B=（）A. （-∞，8）B. （-∞，3）C. （0，8）D. （0，3）2. 复数 z= （ i 为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.3. 双曲线 9x2-16y2=1 的焦点坐标为（）A. （±，0）B. （0，）C. （±5，0）D. （0，±5）4. 若sin）=，则cos2 α=）（（A. B. C. D.5. 已知函数f x）在（-∞ +∞x [-2，1] f x =x2-2x-4，则（，）上单一递减，且当∈时，（）对于 x 的不等式 f（ x）＜ -1 的解集为（）A. （-∞，-1）B. （-∞，3）C. （-1，3）D. （-1，+∞）6.某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为（）A.3πB.4πC.6πD.8π7.履行如图的程序框图，挨次输入 x1=17 ，x2=19 ，x3=20 ，x4=21 ，x5=23，则输出的 S 值及其统计意义分别是（）A. S=4，即5个数据的方差为 4B. S=4，即5个数据的标准差为 4C. S=20，即5个数据的方差为20D. S=20，即5个数据的标准差为208.△ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b，c，已知 cosC+ cosA=1，则 cosB 的取值范围为（）A. （）B.[ ）C. （，1）D. [，1）9. 已知 A， B， C 三点不共线，且点O知足 16 -12 -3 = ，则（）A. =12 +3B. =12 -3C. =-12 +3D. =-12 -310. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比率理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段 AC， CB，使得此中较长的一段AC 是全长 AB与另一段 CB 的比率中项，即知足==≈ ．后代把这个数称为黄金切割数，把点 C 称为线段 AB 的黄金切割点 .在△ABC 中，若点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金切割点，在△ABC 内任取一点 M，则点 M 落在△APQ 内的概率为（）A. B. -2 C. D.11. 已知 F 为抛物线 C：x2=4y 的焦点，直线y= x+1 与曲线 C 订交于 A，B 两点， O 为坐标原点，则S△OAB=（）A. B. C. D. 212. 函数 f （ x） =（ kx-2） lnx， g（ x） =2ln x-x，若 f（ x）＜ g（ x）在（ 1， +∞）上的解集中恰有两个整数，则k 的取值范围为（）A. [1- ， - ）B. （1- ， - ]C.[ - ， 2- ）D.（- ， 2- ]二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.f x）= f f 2 =______．已知函数（，则（（））14. 设 x，y 知足拘束条件，则 z=2x+y 的最大值为 ______．15. 在三棱锥 P- ABC 中， AP，AB，AC 两两垂直，且 AP=AB=AC= ，则三棱锥 P-ABC的内切球的表面积为______．16.已知函数 f（ x） =sin（ωx+ ） + （ω＞ 0），点 P， Q， R 是直线 y=m（ m＞ 0）与函数 f（ x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|=|QR|=，则ω+m=______．三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17.设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n， S n=1- a n（ n∈N* ）．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设 b n=log 2a n，求数列 {} 的前 n 项和 T n．18.在五面体 ABCDEF 中，四边形 CDEF 为矩形，CD=2DE =2AD =2AB=4 ， AC=2，∠EAD=30°．（1）证明： AB⊥平面 ADE；（2）求该五面体的体积．19.某城市的公交企业为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等待人数 y 之间的关系，经过检查获得以下数据：间隔时间 /11 12 13 14 1510分等待人数 y/25 26 29 28 3123人检查小组先从这 6 组数据中选用 4 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行查验．查验方法以下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等待人数，再求与实质等待人数y 的差，若差值的绝对值都不超出1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（ 1）从这 6 组数据中随机选用 4 组数据后，求剩下的 2 组数据的间隔时间不相邻的概率；（ 2）若选用的是后边 4 组数据，求 y 对于 x 的线性回归方程= x+，并判断此方程是不是“适合回归方程”；（3）为了使等待的乘客不超出 35 人，试用（ 2）中方程预计间隔时间最多能够设置为多少（精准到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（ x2，y2），，（ x n，y n），其回归直线= x+ 的斜率和截距的最小二乘预计分别为：==，=．20.已知点（1，），（）都在椭圆C：=1（a＞ b＞ 0）上．（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 M（0，1）的直线 l 与椭圆 C 交于不一样两点 P，Q（异于极点），记椭圆与 y 轴的两个交点分别为 A1，A2，若直线 A1P 与 A2Q 交于点 S，证明：点 S 恒在直线 y=4 上．x21. 已知函数 f（ x） =e -2ax（ a∈R）（ 1）若曲线 y=f （ x）在 x=0 处的切线与直线x+2y-2=0 垂直，求该切线方程；（ 2）当 a＞ 0 时，证明 f（ x）≥-4a 2+4a22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为θ，（为参数）已知点Q（ 4， 0），点 P 是曲线 C l上随意一点，点M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系．（ 1）求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程；（ 2）已知直线l ：y=kx 与曲线 C2交于 A， B 两点，若=3，求k的值．23.已知函数 f（ x） =|x+a|+2|x-1|（a＞ 0）．（1）求 f（ x）的最小值；（2）若不等式 f （x） -5＜ 0 的解集为（ m， n），且 n-m= ，求 a 的值．第4页，共 15页答案和分析1.【答案】Dx【分析】解：∵会合 A={ x|x-1＜ 2}= （ -∞， 3）， B={ x|1＜ 2 ＜ 16}= （0， 4）应选： D．由 A 与 B，求出两会合的交集即可．本题考察了交集及其运算，娴熟掌握交集的定义是解本题的重点．2.【答案】B【分析】解：∵z= =，∴z=的虚部为．应选： B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的基本观点，是基础题．3.【答案】A【分析】解：双曲线9x2-16y2=1 的标准方程为：，可得 a= ，b= ， c= = ，因此双曲线的焦点坐标为（±，0）．应选： A．直接利用双曲线的方程求解a， b， c 获得焦点坐标即可．本题考察双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考察．4.【答案】B【分析】【剖析】本题主要考察利用引诱公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．利用引诱公式求得cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．【解答】2解： sin（）=-cosα=，则cos2α=2cosα-1=-，应选： B．5.【答案】D【分析】【剖析】本题考察减函数的定义，已知函数求值的方法，依据函数单一性解不等式的方法．依据条件可得出f（ -1）=-1，依据 f（ x）在（ -∞，+∞）上单一递减，即可由f（ x）＜ -1 得出f （x）＜ f（ -1），进而获得x＞ -1，即得出原不等式的解集．【解答】解：∵x∈[-2， 1]时， f（ x）=x2-2x-4；∴f（-1） =-1；∵f（x）在（ -∞， +∞）上单一递减；∴由 f（ x）＜ -1 得， f（ x）＜ f （-1）；∴x＞ -1；∴不等式 f（ x）＜ -1 的解集为（ -1， +∞）．应选： D．6.【答案】A【分析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左边是一个半圆柱，底面的半径是 1，高为： 4，右边是一个半圆柱，底面半径为1，高是 2，∴组合体的体积是：=3 π，应选： A．几何体是一个简单组合体，左边是一个半圆柱，底面的半径是1，高为： 4，右边是一个半圆柱，底面半径为1，高是 2，依据体积公式获得结果．本题考察由三视图求几何体的体积，考察由三视图复原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7.【答案】A【分析】解：依据程序框图，输出的 S 是 x1=17，x2=19 ，x3=20 ，x4=21 ，x5=23 这 5 个数据的方差，∵ = （ 17+19+20+21+23 ） =20 ，∴由方差的公式S= [（ 17-20）2+（ 19-20）2+（ 20-20）2+（ 21-20）2+（23-20）2]=4．应选： A．依据程序框图，输出的S 是 x1=17 ，x2=19，x3=20 ，x4=21 ，x5=23 这 5 个数据的方差，先求这 5 个数的均值，而后辈入方差公式计算即可．本题经过程序框图考察了均值和方差，解决问题的重点是经过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8.【答案】D【分析】解：∵cosC+ cosA=1，∴由余弦定理可得： ? + ? =1 ，化简可得： b2=ac，由余弦定理可得； cosB= = ≥= ，∴≤ cosB＜ 1，即： cosB∈[ ， 1）．应选： D．由余弦定理化简已知等式可得b2=ac，由余弦定理，基本不等式可求cosB≥，联合余弦函数的性质即可得解．本题考察了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考察了推理能力和计算能力，属于基础题．9.【答案】A【分析】解：由题意，可知：对于A：==，整理上式，可得：16 -12 -3 =，这与题干中条件相切合，应选： A．本题可将四个选项中的式子进行转变为与题干中式子邻近，再比较，同样的那项即为答案．本题主要考察向量加减、数乘的运算，属基础题．10.【答案】B【分析】【剖析】本题考察了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．先阅读题意，理解“黄金切割”，再联合几何概型中的面积型可得： BQ=，CP=，因此PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ： S△ABC=PQ： BC=（-2）a： a= -2，则在△ABC 内任取一点M，则点 M 落在△APQ 内的概率为=，得解．【解答】解：设 BC=a，由点 P， Q 为线段 BC 的两个黄金切割点，因此 BQ=，CP=，因此 PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ： S△ABC =PQ： BC=（-2） a： a= -2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC 内任取一点M，则点 M 落在△APQ 内的概率为=，应选 B．11.【答案】C【分析】解：抛物线C：x2=4y 的焦点（ 0， 1），设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），由，整理得： x2-2x-4=0 ，由韦达定理可知：x1+x2=2，y1+y2=3由抛物线的性质可知：|AB|=p+y1+y2=2+3=5 ，点 O 到直线 y= x+1 的距离 d， d= ．∴则△OAB 的面积 S， S= ?|AB|?d=．应选： C．依据抛物线的方程求得焦点坐标，依据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1 +x2，由抛物线的性质可知|AB|=p+y1+y2，利用点到直线的距离公式求得O到直线y= x+1的距离d，依据三角形的面积公式S=?|AB| d OAB? ，即可求得则△的面积．本题考察抛物线的性质，直线与抛物线的地点关系，考察韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考察计算能力，属于中档题．12.【答案】A【分析】【剖析】本题主要考察函数与方程的应用，利用转变法转变为两个函数图象交点问题，能够数形联合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的重点．将不等式f（ x）＜g（ x）转变为 kx＜ 4- ，设 h（ x）=4- ，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形联合确立使（f x）＜ g（ x）在（ 1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2， 3，而后求出对应点的坐标和对应直线y=kx的斜率，利用数形联合进行求解即可．【解答】解：当 x＞1 时， lnx＞ 0，由 f（ x）＜ g（x）得（ kx-2）ln x＜ 2ln x-x，即 kx-2＜ 2- ，即 kx＜ 4- ，设 h（ x）=4- ，则 h'（x） =- =-，由 h'（x）＞ 0 得 -（ lnx-1）＞ 0 得 ln x＜1，得 1＜x＜ e，此时 h（ x）为增函数，由 h'（x）＜ 0 得 -（ lnx-1）＜ 0 得 ln x＞1，得 x＞ e，此时 h（x）为减函数，即当 x=e 时， h（ x）获得极大值h（ e） =4- =4-e，作出函数h（ x）的图象，如图，当 x→1时， h（ x）→ -∞，h（ 3） =4-，h（4）=4-=4-，即A（3，4-），B（4，4-），当直线 y=kx 过 A， B 点时对应的斜率k A== -，k B==1-，要使 f（ x）＜ g（ x）在（ 1， +∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为 x=2，和 x=3，即直线 y=kx 的斜率 k 知足 k B≤k<k A，即 1- ≤k< - ，即实数 k 的取值范围是 [1-，-)，应选： A．13.【答案】2【分析】解： f（ 2） =ln2 ，∴f（ f（ 2）） =f（ ln2 ） =e ln2=2．故答案为： 2．利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．本题考察了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14.【答案】7【分析】解：画出x， y 知足拘束条件表示的平面地区，以下图，由，解得点A（ 3， 1），联合图形知，直线2x+y-z=0 过点 A 时，z=2x+y 获得最大值为2×3+1=7．故答案为： 7．画出拘束条件表示的平面地区，联合图形找出最优解，求出z 的最大值．本题考察了线性规划的简单应用问题，是基础题．15.【答案】【分析】解：如图，由 AP， AB， AC 两两垂直，且AP=AB=AC=，得，∴，设三棱锥P-ABC 的内切球的半径为r ，利用等体积可得：，解得 r=．∴三棱锥 P-ABC 的内切球的表面积为S=．故答案为：．由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．本题考察多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16.【答案】3【分析】解：函数f（ x） =sin（ωx+ ） + （ω＞ 0），由 2|PQ|=|QR|=，解得|PQ|=，∴T=|PQ|+|QR|= π，∴ω= =2 ，设 P（x0，m），则 Q（ -x0， m）， R（ T+x0， m），∴|PQ |= -2x0， |QR|= +2x0，∴2（ -2x0）= +2 x0，解得 x0= = ，∴m=sin（ 2×）+ = + =1，∴ω+m=2+1=3 ．故答案为： 3．依据题意求出函数 f（ x）的最小正周期 T，得出ω的值，再求出 m 的值，即可求出ω+m 的值．本题考察了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{ a n}的前n项和为S n，S n=1- a n（n∈N*）①．当 n=1 时，解得：，当 n≥2时， S n-1 =1-a n-1．②① -②得： 2a n=a n -1，因此：（常数），故：数列 { a n} 是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项切合通项），因此：．（ 2）因为：，则： b n=log 2a n=-n．因此： b n+1=-（ n+1），则：，故：=．【分析】（ 1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（ 2）利用（ 1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考察的知识重点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列乞降中的应因此 AD⊥CD ，又四边形CDEF 为矩形，因此 CD ⊥DE ，因此 CD ⊥面 ADE，因此 EF⊥面 ADE ，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，因此 AB⊥面 ADE（ 2）几何体补形为三棱柱，DE=2， AD=2，AB=2，∠EAD =30°．可得 E 究竟面 ABCD的距离为： 2sin60 °=，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥 F -BCH 的体积，可得=4 = ．【分析】（ 1）证明 AD ⊥CD，CD ⊥DE，推出 CD ⊥面 ADE ，而后证明AB⊥平面 ADE ；（2）转变几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．本题考察直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考察转变思想以及计算能力．19.【答案】解：（1）设“从这6组数据中随机选用 4 组数据后，剩下的 2 组数据不相邻”为事件 A，记这六组数据分别为1， 2，3， 4 ，5， 6，剩下的两组数据的基本领件有12 ，13， 14， 15 ， 16 ， 23，24， 25，26， 34，35， 36，45， 46，56，共 15 种，此中相邻的有12，23， 34，45，56 ，共 5 种，因此．（ 2）后边 4 组数据是：间隔时间（ x 分钟）12 13 14 15等待人数（ y 人）26 29 28 31因为，，因此，，因此．当 x=10 时，，因此求出的线性回归方程是“适合回归方程”．（ 3）由 1.4x+9.6 ≤35，得，故间隔时间最多可设置为18 分钟．【分析】（ 1）由题意联合古典概型计算公式确立概率值即可；（2）第一求得回归方程，而后确立其能否为“适合回归方程”即可；（3）联合（ 2）中求得的结论获得不等式，求解不等式即可确立间隔时间．本题主要考察古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：（1）由题意可得，解得 a2=4， b2=2，故椭圆 C 的方程为+ =1．证明：（ 2）易知直线l 的斜率存在且不为0，设过点 M（ 0， 1）的直线 l 方程为 y=kx+1，（ k≠0）， P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），由2 2，消 y 可得（ k +2 ） x +2kx-3=0 ，∴x1+x2=-，x1x2=-，∵A1（ 0， 2）， A2（ 0，-2），∴直线 A1P 的方程为 y=x+2=?x+2=（ k- ） x+2，则直线 A2Q 的方程为y=x-2= （ k+）-2，由，消 x 可得=，整理可得y= = = +4= +4=4，直线 A1P 与 A2Q 交于点 S，则点 S恒在直线y=4 上【分析】（ 1）由题意可得，解得a2=4，b2=2得椭圆方程，（ 2）先设出直线l 的方程，再分别求出直线A1P的方程，直线A2Q的方程，联立，消x整理可得 y= ，依据韦达定理化简整理可得直线y=4本题考察了椭圆方程的求法，直线和椭圆的地点关系，直线方程的求法，考察了运算求垂直，∴f′（ 0） =2即 f′（ 0）=1-2a=2，解得： a=- ，x∴f（x） =e +x，则 f（ 0） =1．∴切线方程为y=2x+1 ；（2）证明： f′（ x） =e x-2a，由 f′（ x） =e x-2a=0，解得 x=ln2 a．∴当 x∈（ -∞， ln2 a）时， f′（ x）＜ 0，当 x∈（ ln2 a， +∞）时， f′（ x）＞ 0．∴f（x）在（ -∞， ln2a）上单一递减，在（ln2 a， +∞）上单一递加．∴f（x）min=f（ln2 a）=e ln2a-2aln2a=2a-2aln2 a．令 g（ a）=2a-2aln2a+4a2-4a=4 a2-2a-2aln2a=2a(2a-1-la2a)（ a＞0）．要证 g（ a）≥0，即证 2a-1-ln2a≥0，令 h（ a）=2a-1-ln2 a，则 h′（ a） =2- =，当 a∈（ 0，）时， h′（ a）＜ 0，当 a∈（， +∞）时， h′（ a）＞ 0，∴h（ a）≥h（） =0 ，即 2a-1-ln2 a≥0．∴f（x）≥-4a2 +4a．【分析】（ 1 ）求出函数的导数，计算f′（ 0），获得对于 a 的方程，求得 a，获得函数分析式，求得 f（ 0），再由直线方程点斜式得答案；（ 2）把证明 f（ x）≥-4a2+4a 转变为证 f（ x）的最小值大于等于-4a2 +4a，即证 a-1-ln2 a≥0，令 h（ a）=a-1-ln2 a，求其最小值大于等于0 即可．本题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察利用导数求函数的最值，是中档题．22.【答案】解：（1）消去θ得曲线2 2设 M（ x， y）则 P（ 2x-4， 2y）在曲线C1上，因此（ 2x-4）2+（ 2y）2=4，即（ x-2）2+y2=1，即 x2+y2-4x+3=0，C2轨迹的极坐标方程为：2ρ-4ρ cos θ +3=0．（ 2）当 k＞ 0 时，如图：取AB 的中点 M，连 CM，CA，2 2在直角三角形CMA 中， CM =CA -（ AB）2=1- AB2，①在直角三角形 CMO 中，CM 2=OC2-OM 2=4-（ AB）2=4- AB 2，②由①②得AB= ，∴OM= ， CM=，k= = =．当 k＜ 0 时，同理可得k=-．综上得 k=±．【分析】（ 1）消去θ得曲线 C1的一般方程为： x2+y2 =4；设出 M 的坐标后利用中点公式获得 P 的坐标后辈入 C1德轨迹 C2的直角坐标方程，再化成极坐标方程；（ 2）如图：取AB 的中点 M，连 CM ，CA，在两个直角三角形中，依据勾股定理解得CM ， OM 后可得斜率．本题考察了参数方程化成一般方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f（x）=，∴x=1时， f（ x）的最小值为 a +1 ．（ 2）以下图：当 a+1 ＜ 5＜ 2a+2 即＜a＜ 4 时， f（ x） -5＜ 0 的解集为（ a-3， - ），∴- -a+3= - = ，∴a=3 切合，当 2a+2≤5即0＜ a≤时， f（ x）的解集为（- -1， - ），∴- + +1= ≠．综上可得 a=3 ．【分析】（ 1）去绝对值变为分段函数可求得最小；（2）联合分段函数的图象，依据两种状况议论可得．本题考察了绝对值不等式的解法，属中档题．。

2020年广东省惠州市高考数学一模试卷(文科)

2020年广东省惠州市高考数学一模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x>0}，集合B={x|y=√x−1}，则A∪B=()A. {x|x>0}B. {x|0<x≤1}C. {x|0≤x<1}D. {x|x≥1}2.已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是()A. i(1+i)B. i(1−i)2C. i2(1+i)2D. i+i2+i3+i43.已知a，b∈R，则“a<b”是“log2a<log2b”的()条件．A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充要D. 既不充分也不必要4.已知数据x1，x2，……，x2020的方差为4，若y i=−2(x i−3)(i=1,2，……，2020)，则新数据y1，y2，……，y2020的方差为()A. 16B. 13C. −8D. −165.函数y=|x|πxx的图象大致形状是()A. B.C. D.6.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为()A. 83+4π B. 83+8π C. 8+8π D. 8+4π7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =2，c =3，且满足(2a −c)cosB =bcosC ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 2B. 3C. −1D. −38. 已知函数f(x)=e |x|+|x|，则满足f(2x −1)<f(13)的x 取值范围是( )A. (13,23)B. [13,23)C. (12,23)D. [12,23)9. 已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，过焦点F 的直线l 交抛物线的准线于点P ，点A 在抛物线上且|AP|=|AF|=3，则直线l 的斜率为( )A. ±1B. √2C. ±√2D. 2√210. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m//nC. 若α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥βD. 若m ⊥α，m//n ，n ⊂β则α⊥β11. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，若其图象向右平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )A. 关于点(π3,0)对称 B. 在(−π2,π2)上单调递增 C. 关于直线x =π3对称D. 在x =π6处取最大值12. 已知函数f(x)=x e|lnx|，若关于x 的方程f 2(x)−mf(x)+1=0恰好有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )A. (2,+∞)B. (1,+∞)C. (1,2)D. (2,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设直线y =x +m 是曲线y =e x 的一条切线，则实数m 的值是______． 14. 已知向量a ⃗ =(x −1,3)，b ⃗ =(x,1)，若向量a ⃗ −b ⃗ 与a⃗ 垂直，则x =______． 15. 2020年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图(如图所示).已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为______．16. 已知椭圆x 29+y 28=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上的动点，若动点Q 满足F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPQ ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R,λ>0)且|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则点Q 到双曲线x 24−y23=1一条渐近线距离的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3=9，a 4+a 5+a 6=27．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =a n 2，求数列{b n }前n 项和T n ．参考公式：12+22+⋯…+n 2=n(n+1)(2n+1)6．18. 已知几何体ABCDEF 中，AB//CD ，FC//EA ，AD ⊥AB ，AE ⊥面ABCD ，AB =AD =EA =2，CD =CF =4．(1)求证：平面BDF ⊥平面BCF ； (2)求点B 到平面ECD 的距离．19.惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国I卷的题型结构，其中第22、23题为选做题，考生只需从中任选一题作答．已知文科数学和理科数学的选做题题目无任何差异，该校参加模拟考试学生共1050人，其中文科学生150人，理科学生900人．在测试结束后，数学老师对该学校全体高三学生选做的22题和23题得分情况进行了统计，22题统计结果如表1，23题统计结果如表2．22题得分035810理科人数507080100500文科人数52010570表123题得分035810理科人数1010152540文科人数552505表2(1)在答卷中完成如下2×2列联表，并判断能否至少有99.9%的把握认为“选做22题或23题”与“学生的科类(文理)”有关系；(2)在第23题得分为0的学生中，按分层抽样的方法随机抽取6人进行答疑辅导，并在辅导后从这6人中随机抽取2人进行测试，求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率．参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)=ax2+lnx−x，a∈R且a≠0．(1)当a=−1时，求函数f(x)的单调区间与极值；(2)当x>1时，f(x)<2ax恒成立，求a的取值范围．21.已知椭圆C：x2+y2=1(a>0,a≠1)的两个焦点分别是F1、F2，直线l：y=kx+m(k,m∈R)与椭a圆交于A、B两点．(1)若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；(2)若a=2，且k OA⋅k OB=−14，求证：△OAB的面积为定值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2cosφy=sinφ(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=√2(1)求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；(2)设P是曲线C1上一点，此时参数φ=π4，将射线OP绕原点O逆时针旋转π3交曲线C2于点Q，记曲线C1的上顶点为点T，求△OTQ的面积．23.已知函数f(x)=|x+2a|+|x−a|(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥4−|x+2|的解集；(Ⅱ)设a>0，b>0，且f(x)的最小值是t.若t+3b=3，求1a +2b的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，再利用集合的并集运算即可求出结果．本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．【解答】解：∵x−1≥0，∴x≥1，∴集合B={x|x≥1}，∴A∪B={x|x>0}，故选：A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘法运算化简逐一化简四个选项得答案．【解答】解：对于A，i(1+i)=−1+i，不是纯虚数；对于B，i(1−i)2=−2i2=2，不是纯虚数；对于C，i2(1+i)2=−2i，是纯虚数；对于D，i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，不是纯虚数．故选：C．3.【答案】B【解析】解：∵log2a<log2b，∴0<a<b，∴“a<b”是“log2a<log2b”的必要不充分条件，故选：B．根据对数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断、对数函数的单调性，比较基础．4.【答案】A【解析】解：根据题意，样本数据x1，x2，…，x2020的方差是4，y i=−2(x i−3)(i=1,2，…，2020)，则y1，y2，…，y2020的方差为D(Y)=D(−2(x−3))=4D(X)=4×4=16，故选：A．根据题意，由数据方差的性质分析可得答案．本题考查方差的计算公式，注意方差的性质，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】由y=|x|πxx ={πx,x>0−πx,x<0，然后根据指数函数的图象可判断．本题主要考查了函数图象的应用，属于基础题．【解答】解：y=|x|πxx ={πx,x>0−πx,x<0，根据指数函数的图象可知，选项B符合题意．故选：B．6.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图可得直观图，该几何体由一个三棱锥体和半个圆锥体构成的几何体．如图所示：则：V=12×2×4×2+12×π×22×2=8+4π．故选：D ．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：∵(2a −c)cosB =bcosC ，由正弦定理得：(2sinA −sinC)cosB =sinBcosC ． ∴2sinA ⋅cosB −sinC ⋅cosB =sinBcosC ，化为：2sinA ⋅cosB =sinC ⋅cosB +sinBcosC ， ∴2sinA ⋅cosB =sin(B +C)， ∵在△ABC 中，sin(B +C)=sinA ， ∴2sinA ⋅cosB =sinA ，得：cosB =12， ∴B =π3．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =−accos π3=−2×3×12=−3，故选：D ．利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cos B 的值，从而求得B ，再运用平面向量数量积运算性质计算即可本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理的运用，考查平面向量数量积运算性质，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】【分析】先利用函数奇偶性的定义证明f(x)是偶函数，于是原不等式可等价为f(|2x −1|)<f(13)，再结合基本初等函数的单调性，可知当x >0时，f(x)单调递增，所以|2x −1|<13，解之即可．本题考查函数单调性和奇偶性的应用，以及绝对值不等式的解法，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．【解答】解：函数的定义域为R ，且f(−x)=e|−x|+|−x|=e|x|+|x|=f(x)，∴函数f(x)是偶函数，于是原不等式可等价为f(|2x−1|)<f(13)，∵当x>0时，f(x)=e x+x在区间[0,+∞)上单调递增，∴|2x−1|<13，解得13<x<23，故选：A．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．通过抛物线的定义与性质求出A的坐标，得到P的坐标，然后求解直线的斜率即可．【解答】解：F是抛物线y2=4x的焦点(1,0)，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且|AP|= |AF|=3，可得A的坐标(2,±2√2).所以P(−1,±2√2)，所以直线l的斜率为：±2√2−1−1=±√2．故选：C．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间中的线面关系以及面面垂直的判定定理，属于基础题．由空间中的线面关系一一判定即可．【解答】解：A.错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；B.错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；C.错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，只有在两个平面互相垂直的时候才与另一个平面垂直；D.正确，由m⊥α，m//n，得n⊥α，又n⊂β，∴α⊥β．故选D．11.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为T=2πω=π，∴ω=2，∵函数图象向右平移π6个单位后得到的函数为y=2sin[2(x−π6)+φ]=2sin(2x−π3+φ)的图象，又∵所得函数为奇函数，|φ|<π2，∴可得φ=π3，∴f(x)=2sin(2x+π3 ).对于A，f(π3)=sin(2π3+π3)=0，则f(x)的图象关于点(π3,0)对称，故A成立；对于B，由于2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，可得：−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，可得f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ]，k∈Z，故B错误；对于C，由2x+π3=π2+kπ，k∈Z，解得x=π12+12kπ，k∈Z，故C错误；对于D，f(π6)=2sin2π3=√3≠±2，故D错误．故选：A．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求出f(x)的解析式，再根据三角函数图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性以及图象的对称性，属于中档题．12.【答案】A【解析】【分析】函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，对x分情况讨论，分别利用导数得到函数f(x)的单调性，从而得到函数f(x)的大致图象，令t=f(x)，则t2−mt+1=0，关于x的方程f2(x)−mf(x)+1=0恰好有四个不相等的实数根，等价于关于t的方程t2−mt+1=0有两个不相等的实根t1，t2，且t1∈(0,1)，t2∈(1,+∞)，设g(t)=t2−mt+1，再利用二次函数的图象和性质解出不等式组，即可求出a的取值范围．本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了利用导数研究函数的单调性，以及二次函数的性质，是中档题．【解答】解：由题意可知，函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，当0<x <1时，lnx <0，则f(x)=x−elnx ，∴f′(x)=−1e ⋅lnx−1ln 2x>0，∴函数f(x)在(0,1)上单调递增；当x >1时，lnx >0，则f(x)=xelnx ，∴f′(x)=1e ⋅lnx−1ln 2x，令f′(x)=0得，x =e ，∴函数f(x)在(1,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，所以函数f(x)的大致图象，如图所示：，令t =f(x)，则方程f 2(x)−mf(x)+1=0化为t 2−mt +1=0， ∵关于x 的方程f 2(x)−mf(x)+1=0恰好有四个不相等的实数根，∴关于t 的方程t 2−mt +1=0有两个不相等的实根t 1，t 2，且t 1∈(0,1)，t 2∈(1,+∞)，设g(t)=t 2−mt +1，则{Δ=(−m)2−4>0g(1)<0g(0)>0, 解得：m >2，故选：A ．13.【答案】1【解析】【分析】先求出曲线的导数，然后令其等于1，由此求出切点坐标，代入切线求出m 的值．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于基础题．【解答】解：因为y′=e x，令e x=1得x=0，代入y=e x，故切点为(0,1)．代入y=x+m得m=1．故答案为：1．14.【答案】7【解析】【分析】求出a⃗−b⃗ =(−1,2)，由向量a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，能求出x的值．本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：∵向量a⃗=(x−1,3)，b⃗ =(x,1)，∴a⃗−b⃗ =(−1,2)，∵向量a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，∴(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=(x−1)×(−1)+3×2=0，解得x=7．故答案为：7．15.【答案】50【解析】【分析】，能求由频率分布直方图的性质，列出方程，求出x=0.25，再由学习时长在[9,11)的频率为2x=0.5=25n出结果．本题考查样本单元数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：由频率分布直方图的性质，得：2×(0.05+0.15+x+0.05)=1，解得x=0.25，∴学习时长在[9,11)的频率为2x =0.5=25n，解得n =50．故答案为：50．16.【答案】√217+6【解析】【分析】由题意结合椭圆定义求得Q 的轨迹，求出双曲线的一条渐近线方程，再求出F 1到渐近线的距离，则答案可求．本题考查椭圆与双曲线的综合，考查点到直线距离公式的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．【解答】解：由椭圆方程可得，a 2=9，b 2=8，则c =1，∴F 1(−1,0)．若动点Q 满足F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPQ ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R,λ>0)且|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得F 1，P ，Q 三点共线，且同向，由|QF 1|=|PQ|+|PF 1|=|PF 2|+|PF 1|=2a =6，可得Q 的轨迹是以F 1为圆心，6为半径的圆，由该圆与双曲线均关于x 轴对称，不妨取双曲线x 24−y 23=1的一条渐近线方程为y =√32x ，即√3x −2y =0．由圆心到直线的距离为√3|√3+4=√217． ∴点Q 到双曲线x 24−y 23=1一条渐近线距离的最大值为√217+6．故答案为：√217+6．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a1+a3=2a2，知S3=3a2=9，即a2=3．又由a4+a5+a6=3a5=27，得a5=9．∴d=a5−a25−2=9−33=2．∴a n=a2+(n−2)d=3+2(n−2)=2n−1；(2)由b n=a n2=(2n−1)2=4n2−4n+1．∴T n=4(12+22+⋯+n2)−4(1+2+⋯+n)+n=4×n(n+1)(2n+1)6−4×n(n+1)2+n=[4×(n+1)(2n+1)6−4×n+12+1]×n=4n3−n3．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知结合等差数列的性质求得a2与a5的值，再由d=a5−a25−2求公差，进一步求得通项公式；(2)把数列{a n}的通项公式代入b n=a n2，展开后利用数列的分组求和与等差数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，训练了数列的分组求和，考查计算能力，是中档题．18.【答案】(1)证明：由已知得BD=BC=2√2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，∵FC//EA，且AE⊥面ABCD，∴FC⊥面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴BD⊥FC，∵FC∩BC=C，∴BD⊥平面BCF，∵BD⊂面BDF，∴平面BDF⊥平面BCF．(2)解：∵AE⊥面ABCD，∴EA⊥AD，EA⊥CD，∵AB//CD，AD⊥AB，∴CD⊥AD，∵EA⊂平面EAD，∴CD⊥平面EAD，∵ED⊂平面EAD，∴CD⊥DE，∴△ECD为直角三角形，设点B到平面ECD的距离为h，则V B−CDE=V E−BCD，∴13×ℎ×S△CDE=13×AE×S△BCD，∴ℎ=AE⋅S△BCDS△CDE =AE×12×CD×AD12×CD×DE=4√2=√2，∴点B到平面ECD的距离为√2．【解析】(1)推导出BD ⊥BC ，FC ⊥面ABCD ，BD ⊥FC ，从而BD ⊥平面BCF ，由此能证明平面BDF ⊥平面BCF ．(2)设点B 到平面ECD 的距离为h ，由V B−CDE =V E−BCD ，能求出点B 到平面ECD 的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)根据题意填写2×2列联表如下；由表中数据，计算K 2=1050×(110×100−800×40)2910×140×150×900=35013≈26.923>10.828，所以有99.9%的把握认为“选做22题或23题”与“学生的科类(文理)”有关系；(2)由分层抽样的方法可知，在被选取的6人中理科生有4人，记为a 、b 、c 、d ，文科生有2人，记为E 、F ，从这6人中随机抽取2人，基本事件数为ab 、ac 、ad 、aE 、aF 、bc 、bd 、bE 、bF 、cd 、cE 、cF 、dE 、dF 、EF 共15种；被抽中的2名学生均为理科生的基本事件是ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共6种，故所求的概率为P =615=25．【解析】(1)根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； (2)由分层抽样法和列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验问题，也考查了列举法求概率的问题，是基础题．20.【答案】解：(1)当a =−1时，函数f(x)=−x 2+lnx −x ，x ∈(0,+∞)，f′(x)=−2x +1x −1=−2x 2+x−1x=−(2x−1)(x+1)x，当f′(x)>0时，0<x <12，当f′(x)<0时，x >12，所以函数f(x)的单调增区间为(0,12)，单调减区间为(12,+∞)，当x =12时，函数f(x)取极大值f(12)=−34−ln2，无极小值； (2)令g(x)=f(x)−2ax =ax 2+lnx −(1+2a)x ，根据题意，当x ∈(1,+∞)时，g(x)<0恒成立， g′(x)=2ax −(2a +1)+1x=(2ax−1)(x−1)x，①当0<a <12，x ∈(12a ,+∞)时，g′(x)>0恒成立，x ∈(1,12a )时，g′(x)<0 所以g(x)在上是增函数，且g(x)∈(g(12a ),+∞)，所以不符合题意，②当a ≥12，x ∈(1,+∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(1,+∞)上是增函数，且g(x)∈(g(1),+∞)，所以不符合题意， ③当a <0时，x ∈(1,+∞)，恒有g′(x)<0，故g(x)在(1,+∞)上是减函数，于是“g(x)<0对任意x ∈(1,+∞)都成立”的充要条件是g(1)≤0，即a −(2a +1)≤0，解得a ≥−1，故−1≤a <0，综上，a 的取值范围是[−1,0)．【解析】本题考查导数单调性的应用，属于中等题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；(2)令g(x)=f(x)−2ax ，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．21.【答案】解：(1)因为M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是等腰直角三角形，所以|OF 1|=|OM|，当a >1时，√a 2−1=1，解得a =√2，当0<a <1时，√1−a 2=a ，解得a =√22，所以a =√2或√22．(2)证明：当a =2时，x 2+4y 2=4，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，所以x 1x 2=−4y 1y 2，所以k OA ⋅k OB =−14，即y 1x 1⋅y 2x 2=−14，由{x 2+4y 2=4y =kx +m ，整理得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0， △=64k 2−16m 2+16>0，所以x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，所以y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， =4m 2k 2−4k 21+4k 2+−8k 2m 21+4k 2+m 2=m 2−4k 21+4k 2，所以4m 2−41+4k 2=−4×m 2−4k 21+4k 2，所以2m 2−4k 2=1，所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−8km 1+4k 2)2−44m 2−41+4k 2， =4√1+k 2√4k 2+1−m 21+4k2 =4√1+k 2√m 21+4k 2，因为O 到直线y =kx +m 的距离d =2=√m 22，所以S △AOB =12|AB|⋅d =24√1+k 2√m 21+4k 2√m 2√1+4k 2=2m 21+4k 2=1，所以△AOB 面积为定值1．【解析】(1)由题可知△MF 1F 2是等腰直角三角形，所以|OF 1|=|OM|，当a >1时，√a 2−1=1，解得a ，当0<a <1时，√1−a 2=a ，解得a ，(2)当a =2时，得椭圆的方程x 2+4y 2=4，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，所以x 1x 2=−4y 1y 2，又k OA ⋅k OB =−14，即y 1x 1⋅y 2x 2=−14，联立椭圆和直线方程得关于x 的一元二次方程，结合韦达定理得△>0，x 1+x 2，x 1x 2，可得y 1y 2，代入化简得2m 2−4k 2=1，由弦长公式得|AB|，再分析点O 到直线y =kx +m 的距离d ，化简S △AOB =12|AB|⋅d ，即可得出结论．本题考查直线与椭圆的相交问题，定值问题，属于中档题．22.【答案】解：(1)由{x =√2cosφy =sinφ(φ为参数)，消去参数φ，可得曲线C 1的普通方程为x 22+y 2=1，由x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ+2ρ2sin 2θ−2=0．由ρ=√2，得ρ2=2，则C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=2； (2)当φ=π4时，P(1,√22)，sin∠xOP =√33，cos∠xOP =√63，将射线OP 绕原点O 逆时针旋转π3，交曲线C 2于点Q ，又曲线C 1的上顶点为点T ， ∴|OQ|=√2，|OT|=1，则S △OTQ =12|OQ|⋅|OT|⋅sin(xOP −π6)=√22(√33×√32−√63×12)=3√2−2√312．【解析】(1)由{x =√2cosφy =sinφ(φ为参数)，消去参数φ，可得曲线C 1的普通方程，结合x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得曲线C 1的极坐标方程．由ρ=√2，得ρ2=2，则C 2的直角坐标方程可求；(2)当φ=π4时，P(1,√22)，sin∠xOP=√33，cos∠xOP=√63，将射线OP绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C2于点Q，又曲线C1的上顶点为点T，求出|OQ|=√2，|OT|=1，再求出∠QOT的正弦值，代入三角形面积公式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=|x+2|+|x−1|，∵f(x)≥4−|x+2|，∴2|x+2|+|x−1|≥4①，当x≤−2时，不等式①可化为−2x−4−x+1≥4，∴x≤−73；当−2<x<1时，不等式①可化为2x+4−x+1≥4，∴−1≤x<1；当x≥1时，不等式①可化为2x+4+x−1≥4，∴x≥1，综上，不等式的解集为(−∞,−73]∪[−1,+∞)．(Ⅱ)f(x)=|x+2a|+|x−a|≥|(x+2a)−(x−a)|=3a，∴t=3a，∴3a+3b=3，即a+b=1，∴1a +2b=(1a+2b)⋅(a+b)=3+ba+2ab≥3+2√2，当且仅当ba =2ab，即a=√2−1,b=2−√2时等号成立，∴1a +2b的最小值为3+2√2．【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(Ⅰ)将a=1代入f(x)中，然后利用零点分段法解不等式f(x)≥4−|x+2|即可；(Ⅱ)先利用绝对值三角不等式求出f(x)的最小值，再利用基本不等式求出1a +2b的最小值．。

广东省广州市2020届高三一模文科数学试题(附答案)

2020年高考模拟高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知复数z＝i（1+i），则|z|＝（）A．B．C．1D．2．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，P＝A∩B，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个3．设向量＝（m，1），＝（2，﹣1），且⊥，则m＝（）A．﹣2B．﹣C．D．24．已知{a n}是等差数列，a3＝5，a2﹣a4+a6＝7，则数列{a n}的公差为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．25．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0；命题q：∃x∈R，x2＞x3，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q6．已知偶函数f（x）满足f（x）＝x﹣（x＞0），则{x|f（x+2）＞1}＝（）A．{x|x＜﹣4或x＞0}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜﹣2或x＞2}D．{x|x＜﹣2或x＞4}7．如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P'，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|﹣|表示为x的函数f （x），则y＝f（x）在[0，π]上的图象大致为（）A．B．C．D．8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A．（7+2）πB．（10+2）πC．（10+4）πD．（11+4）π9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（）A．r+R B．r+RC．r+R D．r+R10．已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1存在极值点，且f（x）≤0恰好有唯一整数解，则实数a 的取值围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（0，）D．（，+∞）11．已知F1，F2是双曲线C：﹣y2＝1（a＞0）的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，若|AB|＝，则△ABF2的切圆的半径为（）A．B．C．D．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是棱AD，CC1，C1D1的中点，给出下列四个命题：①EF⊥B1C；②直线FG与直线A1D所成角为60°；③过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④三棱锥B﹣EFG的体积为．其中，正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．已知函数y＝f（x）的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（4）＝．14．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为．15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生A1，A2，A3和3名女生B1，B2，B3中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为．16．记S n为数列{a n}的前n项和，若2S n﹣a n＝，则a3+a4＝，数列{a n+2﹣a n}的前n 项和T n＝．三、解答题17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；（2）已知尺寸在[63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．18．已知a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2A+sin2C﹣sin A sin C＝sin2B．（1）求sin B的值；（2）若b＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC，AB＝BC，∠APC＝120°，∠ABC＝90°，AC ＝PB＝2．（1）求证：AC⊥PB；（2）求点C到平面PAB的距离．20．已知点P是抛物线C：y＝﹣3的顶点，A，B是C上的两个动点，且•＝﹣4．（1）判断点D（0，﹣1）是否在直线AB上？说明理由；（2）设点M是△PAB的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程．21．已知函数f（x）＝alnx﹣，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2﹣e＝0．（1）求a，b的值；（2）证明函数f（x）存在唯一的极大值点x0，且f（x0）＜2ln2﹣2．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求C1与C2的普通方程；（2）若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，求sinα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．（1）求+的最小值；（2）证明：＜．参考答案一、选择题1．已知复数z＝i（1+i），则|z|＝（）A．B．C．1D．解：∵z＝i（1+i）＝﹣1+i，∴|z|＝．故选：D．2．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，P＝A∩B，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个解：∵集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，∴P＝A∩B＝{0，1}，∴P的子集共有22＝4．故选：B．3．设向量＝（m，1），＝（2，﹣1），且⊥，则m＝（）A．﹣2B．﹣C．D．2解：∵向量＝（m，1），＝（2，﹣1），且，∴＝2m﹣1＝0，解得m＝，∴实数m＝．故选：C．4．已知{a n}是等差数列，a3＝5，a2﹣a4+a6＝7，则数列{a n}的公差为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2解：∵{a n}是等差数列，a3＝5，a2﹣a4+a6＝7，∴，解得a1＝1，d＝2．∴数列{a n}的公差为2．故选：D．5．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0；命题q：∃x∈R，x2＞x3，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q解：x2﹣x+1＝（x﹣）2+＞0恒成立，故命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0为假命题，当x＝﹣1时，x2＞x3，成立，即命题q：∃x∈R，x2＞x3，为真命题，则￢p∧q为真，其余为假命题，故选：B．6．已知偶函数f（x）满足f（x）＝x﹣（x＞0），则{x|f（x+2）＞1}＝（）A．{x|x＜﹣4或x＞0}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜﹣2或x＞2}D．{x|x＜﹣2或x＞4}【分析】偶函数f（x）满足f（x）＝x﹣（x＞0），在（0，+∞）递增，根据单调性判断即可．解：偶函数f（x）满足f（x）＝x﹣（x＞0），在（0，+∞）递增，且f（2）＝1，故f（x+2）＞1，即|x+2|＞2，解得{x|x＞0或者x＜﹣4}，故选：A．7．如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P'，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|﹣|表示为x的函数f （x），则y＝f（x）在[0，π]上的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】设PP'的中点为M，则|﹣|＝，当x∈[0，]时，在Rt△OMP中，利用三角函数可知，|PM|＝cos x，所以f（x）＝2cos x，从而得解．解：设PP'的中点为M，则|﹣|＝，当x∈[0，]时，在Rt△OMP中，|OP|＝1，∠OPM＝∠POA＝x，所以cos x＝，所以|PM|＝cos x，|﹣|＝2cos x，即f（x）＝2cos x，x∈[0，]．从四个选项可知，只有选项A正确，故选：A．8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A．（7+2）πB．（10+2）πC．（10+4）πD．（11+4）π【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥，几何体的表面积为：＝（10+4）π．故选：C．9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（）A．r+R B．r+RC．r+R D．r+R【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴a，半焦距c，即可确定该卫星远地点离地面的距离．解：椭圆的离心率：e＝∈（0，1），（c为半焦距；a为长半轴）只要求出椭圆的c和a，设卫星近地点，远地点离地面距离分别为m，n，由题意，结合图形可知，a﹣c＝r+R，远地点离地面的距离为：n＝a+c﹣R，m＝a﹣c﹣R，a＝，c＝，所以远地点离地面的距离为：n＝a+c﹣R＝＝．故选：A．10．已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1存在极值点，且f（x）≤0恰好有唯一整数解，则实数a 的取值围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（0，）D．（，+∞）【分析】利用导数可知函数f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，再分0＜a≤1及a＞1讨论即可得出结果．解：函数的定义域为（0，+∞），且，又函数f（x）存在极值点，即y＝f′（x）有变号零点，故a＞0，故函数f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，注意到f（1）＝0，x→0时，f（x）＞0，①当0＜a≤1时，显然f（x）≤0恰好有唯一整数解x＝1，满足题意；②当a＞1时，只需满足f（2）＞0，即1﹣aln2＞0，解得；综上，实数a的取值围为．故选：C．11．已知F1，F2是双曲线C：﹣y2＝1（a＞0）的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，若|AB|＝，则△ABF2的切圆的半径为（）A．B．C．D．【分析】设左焦点F1的坐标，由过F1垂直于x轴的直线与椭圆联立可得弦长AB，再由椭圆可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得切圆的半径．解：由双曲线的方程可设左焦点F1（﹣c，0），由题意可得AB＝＝，再由b＝1，可得a＝，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1，所以F1（﹣，0），F2（，0），所以S＝•F1F2＝＝，三角形ABF2的周长为C＝AB+AF2+BF2＝AB+（2a+AF1）+（2a+BF1）＝4a+2AB＝4+2＝6，设切圆的半径为r，所以三角形的面积S＝＝＝3，所以3＝，解得：r＝，故选：B．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是棱AD，CC1，C1D1的中点，给出下列四个命题：①EF⊥B1C；②直线FG与直线A1D所成角为60°；③过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④三棱锥B﹣EFG的体积为．其中，正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可．解：如图；连接相关点的线段，O为BC的中点，连接EFO，因为F是中点，可知B1C ⊥OF，EO⊥B1C，可知B1C⊥平面EFO，即可证明B1C⊥EF，所以①正确；直线FG与直线A1D所成角就是直线A1B与直线A1D所成角为60°；正确；过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形ENFGI．所以③不正确；三棱锥B﹣EFG的体积为：V G﹣EBM＝＝．V F﹣EBM＝＝．所以三棱锥B﹣EFG的体积为．④正确；故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数y＝f（x）的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（4）＝2．【分析】先利用反函数的定义求出函数f（x）的解析式，即可求出f（4）的值．解：由题意可知，函数y＝f（x）与函数y＝2x互为反函数，∴f（x）＝log2x，∴f（4）＝log24＝2，故答案为：2．14．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为﹣1．【分析】先根据条件画出可行域，设z＝x﹣2y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z＝x﹣2y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．解：由约束条件得到如图可行域，由目标函数z＝x﹣2y得到y＝x﹣z；当直线经过A时，直线在y轴的截距最大，使得z最小，由得到A（1，1），所以z的最小值为1﹣2×1＝﹣1；故答案为：﹣1．15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生A1，A2，A3和3名女生B1，B2，B3中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为．【分析】先设分为甲乙两队，求出基本事件的总数，再根据A1和B1两人组成一队，求出符合条件的个数，相比即可求解．解：设分为甲乙两队；则甲队的人任选的话有：＝9种情况，乙队去选时有：＝4种情况；故共有9×4＝36种情况；若A1和B1两人组成一队，在甲队时，乙队有＝4种情况；在乙队时，甲队有＝4种情况；故共有4+4＝8种情况；所以：A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为：＝．故答案为：．16．记S n为数列{a n}的前n项和，若2S n﹣a n＝，则a3+a4＝﹣，数列{a n+2﹣a n}的前n 项和T n＝．【分析】（1）直接利用递推关系式的应用求出结果．（2）利用数列的递推关系式的应用和分组求和的应用求出结果．解：（1）由于数列{a n}满足2S n﹣a n＝，①当n≥2时，②，①﹣②得：，整理得，所以．（2）由于，故③，所以④，③﹣④得：，所以…+，＝﹣2×（）+，＝（）﹣+（），＝．故答案为：（1），（2）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；（2）已知尺寸在[63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．【分析】（1）由频率分布直方图中中位数两边频率相等，即可求出中位数的大小；（2）计算尺寸在[63.0，64.5）外的频率，用频率估计概率，即可得出结论．解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.075+0.225）×0.5＝0.15，0.15+0.75×0.5＝0.525，所以中位数在[63.0，63.5），设为a，则0.15+（a﹣63.0）×0.75＝0.5，解得a≈63.47，所以估计中位数为63.47；（2）尺寸在[63.0，64.5）上的频率为（0.750+0.650+0.200）×0.5＝0.8，且1﹣0.8＝0.2，所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2．18．已知a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2A+sin2C﹣sin A sin C＝sin2B．（1）求sin B的值；（2）若b＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B，然后结合同角平方关系可求sin B；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac，然后结合余弦定理即可求解a+c，进而可求三角形的周长．解：（1）因为sin2A+sin2C﹣sin A sin C＝sin2B．由正弦定理可得，，由余弦定理可得，cos B＝，故sin B＝；（2）∵S△ABC＝＝＝，所以ac＝3，因为，所以＝4+8＝12，所以a+c+b＝2+2．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC，AB＝BC，∠APC＝120°，∠ABC＝90°，AC ＝PB＝2．（1）求证：AC⊥PB；（2）求点C到平面PAB的距离．【分析】（1）取AC的中点为O，连接BO，PO，证明PO⊥AC，BO⊥AC，推出AC ⊥平面OPB，即可证明AC⊥BP；（2）在直角三角形ABC中，由AC＝2，O为AC的中点，得BO＝1，求解PO＝，结合PB＝，可得PO⊥BO，又PO⊥AC，得到PO⊥平面ABC，然后利用等体积法求点C到平面PAB的距离．【解答】（1）证明：取AC的中点为O，连接BO，PO．在△PAC中，∵PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，在△BAC中，∵BA＝BC，O为AC的中点，∴BO⊥AC，∵OP∩OB＝O，OP，OB⊂平面OPB，∴AC⊥平面OPB，∵PB⊂平面POB，∴AC⊥BP；（2）解：在直角三角形ABC中，由AC＝2，O为AC的中点，得BO＝1，在等腰三角形APC中，由∠APC＝120°，得PO＝，又∵PB＝，∴PO2+BO2＝PB2，即PO⊥BO，又PO⊥AC，AC∩OB＝O，∴PO⊥平面ABC，求解三角形可得PA＝，又AB＝，得＝．设点C到平面PAB的距离为h，由V P﹣ABC＝V C﹣PAB，得，解得h＝，故点C到平面PAB的距离为．20．已知点P是抛物线C：y＝﹣3的顶点，A，B是C上的两个动点，且•＝﹣4．（1）判断点D（0，﹣1）是否在直线AB上？说明理由；（2）设点M是△PAB的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程．【分析】（1）由抛物线的方程可得顶点P的坐标，设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积•，再由题意•＝﹣4可得直线AB恒过（0，﹣1），即得D在直线AB上；（2）设A，B的坐标，可得直线PA，PB的斜率及线段PA，PB的中点坐标，进而求出线段PA，PB的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心M的坐标，由（1）可得M的横纵坐标关于参数k的表达式，消参数可得M的轨迹方程．解：（1）由抛物线的方程可得顶点P（0，﹣3），由题意可得直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y＝kx+4，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与抛物线的方程：，整理可得：x2﹣4kx﹣4（b+3）＝0，△＝16k2+16（3+b）＞0，即k2+3+b＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4（b+3），y1y2＝k2x1x2+kb（x1+x2）+b2＝﹣4k2（b+3）+4k2b+b2＝b2﹣12k2，y1+y2＝k（x1+x2）+2b＝4k2+2b，因为＝（x1，y1+3）（x2，y2+3）＝x1x2+y1y2+3（y1+y2）+9＝﹣4（b+3）+b2﹣12k2+3（4k2+2b）+9＝b2+2b﹣3，而•＝﹣4，所以b2+2b﹣3＝﹣4，解得b＝﹣1，m满足判别式大于0，即直线方程为y＝kx﹣1，所以恒过（0，﹣1）可得点D（0，﹣1）是否在直线AB上．（2）因为点M是△PAB的外接圆的圆心，所以点M是三角形PAB三条边的中垂线的交点，设线段PA的中点为F，线段PB的中点为为E，因为P（0，﹣3），设A（x1，y1），B（x2，y2）所以F（，），E（，），k PA＝，k PB＝，所以线段PA的中垂线的方程为：y﹣＝﹣（x﹣），因为A在抛物线上，所以y1+3＝，PA的中垂线的方程为：y﹣+3＝﹣（x﹣），即y＝﹣x+﹣1，同理可得线段PB的中垂线的方程为：y＝﹣x+﹣1，联立两个方程，解得，由（1）可得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4（b+3）＝﹣8，所以x M＝﹣＝k，y M＝＝＝2k2，即点M（k，2k2），所以x M2＝，即点M的轨迹方程为：x2＝y．21．已知函数f（x）＝alnx﹣，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2﹣e＝0．（1）求a，b的值；（2）证明函数f（x）存在唯一的极大值点x0，且f（x0）＜2ln2﹣2．【分析】（1）求导，可得f′（1）＝a，f（1）＝﹣be，结合已知切线方程即可求得a，b的值；（2）利用导数可得，x0∈（1，2），再构造新函数，利用导数求其最值即可得证．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，则f′（1）＝a，f（1）＝﹣be，故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ax﹣y﹣a﹣be＝0，又曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2﹣e＝0，∴a＝2，b＝1；（2）证明：由（1）知，，则，令g（x）＝2x﹣xe x+e x，则g′（x）＝2﹣xe x，易知g′（x）在（0，+∞）单调递减，又g′（0）＝2＞0，g′（1）＝2﹣e＜0，故存在x1∈（0，1），使得g′（x1）＝0，且当x∈（0，x1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（x1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，由于g（0）＝1＞0，g（1）＝2＞0，g（2）＝4﹣e2＜0，故存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故函数存在唯一的极大值点x0，且，即，则，令，则，故h（x）在（1，2）上单调递增，由于x0∈（1，2），故h（x0）＜h（2）＝2ln2﹣2，即，∴f（x0）＜2ln2﹣2．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求C1与C2的普通方程；（2）若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，求sinα的值．【分析】（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；（2）把直线的参数方程代入C2的普通方程，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解．解：（1）由曲线C1的参数方程为（t为参数），消去参数t，可得y＝x tanα+1；由曲线C2的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，可得，即（y≥0）．（2）把（t为参数）代入，得（1+cos2α）t2+2t sinα﹣1＝0．∴，．∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝．解得：cos2α＝1，即cosα＝±1，满足△＞0．∴sinα＝0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．（1）求+的最小值；（2）证明：＜．【分析】（1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．解：（1），当且仅当“”时取等号，故+的最小值为；（2）证明：，当且仅当时取等号，此时a+b≠1．故＜．。

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2020年广东省高考数学（文科）模拟试卷（7）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（） A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．（5分）已知复数z 满足z =2−i1+i ，则z ＝（） A ．1+3i 2B ．1−3i 2C ．3+i 2D ．3−i 23．（5分）已知a =312，b =log 2√3，c =log 3√2，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a4．（5分）在区间[−π2，π2]上机取一个实数x ，则sin x 的值在区间[−12，√32]上的概率为（） A ．13B ．12C ．23D ．1+√345．（5分）若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，且a 1+a 3＝﹣10与a 7+a 8＝12，则S 10＝（） A ．16B ．18C ．20D ．246．（5分）设函数f （x ）={x +1，x ≥0−x 2−1，x ＜0，a ＝f （0.7﹣0.5），b ＝f （log 0.77），c ＝f （log 0.75），则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c7．（5分）已知|a →|=2，(2a →−b →)⊥a →，则b →在a →方向上的投影为（） A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣48．（5分）设m 、n 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，则“α∥β”是“m ∥β且n ∥α”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（5分）设函数f （x ）＝lg （x 2+1），则使得f （3x ﹣2）＞f （x ﹣4）成立的x 的取值范围为（） A ．(13，1) B ．（﹣1，32）C ．（﹣∞，32)D ．(−∞，−1)∪(32，+∞)10．（5分）在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，AB ＝BD ＝2，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC ＝（） A ．√2B ．2C ．2√2D ．411．（5分）已知双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝120°，∠F 1PF 2的平分线交x 轴于点A ，则|P A |＝（） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．√512．（5分）若将函数f(x)=2sin(3x +π4)的图象向右平移a （a ＞0）个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为（） A ．π4B ．5π4C ．π12D ．5π12二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为分钟．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1y ≥2(x −2)，若z ＝x +ty （t ＞0）的最大值为11，则实数t ＝．15．（5分）已知数列{a n }（n ∈N *）满足a 1＝1，且a n+1=nn+1a n，则通项公式a n ＝． 16．（5分）已知抛物线C ：y =18x 2的焦点为F ，点P 在C 上，且|PF |＝10，则△POF （其中O 坐标原点）的面积为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分） 17．（12分）已知函数f(x)=cosx(√3sinx −cosx)+12 （1）求f （x ）的周期，对称轴方程，单调增区间（2）若f （A ）＝1，若a =2√3，△ABC 的面积为5√34，求△ABC 的周长． 18．（12分）如图，ABCD 是平行四边形，AP ⊥平面ABCD ，BE ∥AP ，AB ＝AP ＝2，BE ＝BC ＝1，∠CBA ＝60°．（Ⅰ）求证：EC ∥平面P AD ；（Ⅱ）求四面体B ﹣ACE 的体积．19．（12分）我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施．国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图）为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到如表：年龄区间[24，26][27，29][30，32][33，35][36，38][39，41][42，44][45，47][48，50]有意愿数808187888483837066（1）设每个年龄区间的中间值为x，有意愿数为y，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数r（结果保留两位小数（2）从[24，26]，[33，35]，[39，41]，[45，47]，[48，50]这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻．设其中不愿意生育二孩的夫妻数为X，求X的分布列和数学期望．（参考数据和公式：r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i −x)2∑i=1i−y)2，b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x，∑9i=1（x i−x）（y i−y）=∑9i=1x iy i−x∑9i=1y i，∑9i=1x i y i＝26340，√224640≈473.96．）20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)，左焦点F （﹣2，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线x ＝﹣4上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标x 0是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）＝mx 3+nx 2（m ，n ∈R ，m ＞n 且m ≠0）的图象在（2，f （2））处的切线与x 轴平行．（1）试确定m 、n 的符号；（2）若函数y ＝f （x ）在区间[n ，m ]上有最大值为m ﹣n 2，试求m 的值．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．（1）求：①曲线C 1的普通方程； ②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；（2）设点M 的极坐标为(6，π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |．（1）求不等式f （x ）≤2的解集；（2）若f （x ）的最大值为m ，正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝m ，求证：a 2+b 2+c 2≥3．2020年广东省高考数学（文科）模拟试卷（7）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（） A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x ∈N |1＜x ＜5}＝{2，3，4}．故选：C ．2．（5分）已知复数z 满足z =2−i1+i ，则z ＝（） A ．1+3i 2B ．1−3i 2C ．3+i 2D ．3−i 2【解答】解：z =2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=12−32i ，故选：B ． 3．（5分）已知a =312，b=log 2√3，c =log 3√2，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a【解答】解：∵312＞30=1，12=log 2√2＜log 2√3＜log 22=1，log 3√2＜log 3√3=12，∴a ＞b ＞c ．故选：A ．4．（5分）在区间[−π2，π2]上机取一个实数x ，则sin x 的值在区间[−12，√32]上的概率为（） A ．13B ．12C ．23D ．1+√34【解答】解：∵−12≤sin x ≤√32，当x ∈[−π2，π2]时，x ∈[−π6，π3]．∴所求概率P =π3−(−π6)π2−(−π2)=12，故选：B ．5．（5分）若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，且a 1+a 3＝﹣10与a 7+a 8＝12，则S 10＝（） A ．16B ．18C ．20D ．24【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 3＝﹣10，a 7+a 8＝12， ∴2a 1+2d ＝﹣10，6d +5d ＝22，联立解得a 1＝﹣7，d ＝2．则S 10＝﹣7×10+10×92×2=20．故选：C ．6．（5分）设函数f （x ）={x +1，x ≥0−x 2−1，x ＜0，a ＝f （0.7﹣0.5），b ＝f （log 0.77），c ＝f （log 0.75），则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c【解答】解：根据f （x ）的解析式可看出：x ≥0时，f （x ）＞0；x ＜0时，f （x ）＜0，且f （x ）在（﹣∞，0）上是增函数，又log 0.77＜log 0.75＜0，且0.7﹣0.5＞0，∴f(log 0.77)＜f(log 0.75)＜0＜f(0．7−0.5)， ∴a ＞c ＞b ．故选：B ．7．（5分）已知|a →|=2，(2a →−b →)⊥a →，则b →在a →方向上的投影为（） A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣4【解答】解：|a →|=2，(2a →−b →)⊥a →，所以（2a →−b →）•a →=2a →2−a →⋅b →=2×4−a →⋅b →=0，解得a →⋅b →=8；所以b →在a →方向上的投影为 |b →|cos θ=a →⋅b →|a →|=82=4．故选：C ．8．（5分）设m 、n 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，则“α∥β”是“m ∥β且n ∥α”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：m 、n 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，则“α∥β”⇒“m ∥β且n ∥α”，反之不成立． ∴“α∥β”是“m ∥β且n ∥α”的充分不必要条件．故选：A ．9．（5分）设函数f （x ）＝lg （x 2+1），则使得f （3x ﹣2）＞f （x ﹣4）成立的x 的取值范围为（） A ．(13，1) B ．（﹣1，32）C ．（﹣∞，32)D ．(−∞，−1)∪(32，+∞)【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝lg （x 2+1），其定义域为R ，有f （﹣x ）＝lg （x 2+1）＝f （x ），即函数f （x ）为偶函数，设t ＝x 2+1，则y ＝lgt ，在区间[0，+∞）上，t ＝x 2+1为增函数且t ≥1，y ＝lgt 在区间[1，+∞）上为增函数，则f （x ）＝lg （x 2+1）在[0，+∞）上为增函数，f （3x ﹣2）＞f （x ﹣4）⇒f （|3x ﹣2|）＞f （|x ﹣4|）⇒|3x ﹣2|＞|x ﹣4|，解可得：x ＜﹣1或x ＞32，即x 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（32，+∞）；故选：D ．10．（5分）在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，AB ＝BD ＝2，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC ＝（） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4【解答】解：如图所示，取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，则EF ∥AC ．则∠BEF 为异面直线AC 与BE 所成的角． ∴∠BEF ＝60°．设BC ＝x ，则BE ＝EF =√x 2+42，BF =√2．∴△BEF 为等边三角形，则√x 2+42=√2，解得x ＝2．故选：B ．11．（5分）已知双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝120°，∠F 1PF 2的平分线交x 轴于点A ，则|P A |＝（） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．√5【解答】解：由题意可得a 2＝1，b 2＝3，在三角形PF 1F 2中，设P 在右支上，由余弦定理可得F 1F 22＝PF 12+PF 22﹣2PF 1•PF 2•cos120°＝（PF 1﹣PF 2）2+2PF 1•PF 2+PF 1PF 2，即4c 2＝4a 2+3PF 1PF 2，所以可得PF 1PF 2=4(c 2−a 2)3=4b 23=4×33=4，PF 1﹣PF 2＝2a ＝2，可得PF 1=√5+1，PF 2=√5−1，所以S△PF 1F 2=12PF 1⋅PF 2•sin120°=12×4⋅√32=√3，因为P A 为角平分线，所以∠F 1P A ＝∠F 2P A ＝60°，而S △PF 1F 2=S△PF 1A+S△PF 2A=12（PF 1•P A sin60°+PF 2•P A •sin60°）=12P A •（PF 1+PF 2）⋅√32=√34P A （√5+1+√5−1）=√3⋅√52P A ，所以√3=√3⋅√52P A ，所以P A =2√55，故选：B ．12．（5分）若将函数f(x)=2sin(3x +π4)的图象向右平移a （a ＞0）个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为（） A ．π4B ．5π4C ．π12D ．5π12【解答】解：将函数f(x)=2sin(3x +π4)的图象向右平移a （a ＞0）个单位长度，可得y ＝2sin （3x ﹣3a +π4）的图象，根据所得图象关于坐标原点对称，可得﹣3a +π4=k π，k ∈Z ，则a 的最小值为π12，故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为 7.5 分钟．【解答】解：因为：有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟；所以：平均用时：7×6+14×7+15×8+4×107+14+15+4=7.5，故答案为：7.5．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1y ≥2(x −2)，若z ＝x +ty （t ＞0）的最大值为11，则实数t ＝ 4 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝x +ty 得y =−1t x +zt ，平移直线y =−1tx +z t ，由图象知当直线y =−1t x +zt 经过点A 时，直线的截距最大此时z 最大为11，由{y =2y =2(x −2)得A （3，2），则3+2t ＝11，得2t ＝8，t ＝4，故答案为：4．15．（5分）已知数列{a n }（n ∈N *）满足a 1＝1，且a n+1=nn+1a n ，则通项公式a n ＝ 1n．【解答】解：数列{a n }（n ∈N *）满足a 1＝1，且a n+1=nn+1a n ，则：a n+1a n =n n+1，a n a n−1=n−1n，…，a 3a 2=23，a 2a 1=12，所以a na n−1⋅⋯⋅a 3a 2⋅a 2a 1=n−1n ⋅⋯⋅23⋅12，所以a n a 1=1n ，故：a n =1n （首项符合通项），所以a n =1n．故答案为：1n ．16．（5分）已知抛物线C ：y =18x 2的焦点为F ，点P 在C 上，且|PF |＝10，则△POF （其中O 坐标原点）的面积为 8 ．【解答】解：由抛物线的方程可得焦点F 坐标为：（0，2），准线方程为：y ＝﹣2， |PF |＝10，可得y P +2＝10，所以y P ＝8，代入抛物线的方程可得|x P |＝8，所以S △POF =12|OF|⋅|x P |=12×2×8=8，故答案为：8．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分） 17．（12分）已知函数f(x)=cosx(√3sinx −cosx)+12（1）求f （x ）的周期，对称轴方程，单调增区间（2）若f （A ）＝1，若a =2√3，△ABC 的面积为5√34，求△ABC 的周长．【解答】解：（1）∵f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +12=√32sin2x −12cos2x =sin(2x −π6)， ∴ω＝2，f （x ）的周期T =2π2=π；令2x −π6=k π+π2（k ∈Z ），解得：x ＝k π+π3（k ∈Z ），即函数的对称轴方程为x ＝k π+π3，（k ∈Z ）；令2k π−π2≤2x −π6≤2k π+π2（k ∈Z ），解得：k π−π6≤x ≤k π+π3，（k ∈Z ），则f （x ）的单调增区间为[k π−π6，k π+π3]（k ∈Z ）；（2）∵f （A ）＝sin （2A −π6）＝1，又A ∈（0，π），2A −π6∈（−π6，11π6），∴2A −π6=π2，可得A =π3，又∵a =2√3，△ABC 的面积为5√34， ∴12bcsinA =√34bc =5√34， ∴bc ＝5，∴由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即12＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣15，解得：b +c =3√3，∴△ABC 的周长为a +b +c =2√3+3√3=5√3．18．（12分）如图，ABCD 是平行四边形，AP ⊥平面ABCD ，BE ∥AP ，AB ＝AP ＝2，BE ＝BC ＝1，∠CBA ＝60°．（Ⅰ）求证：EC ∥平面P AD ；（Ⅱ）求四面体B ﹣ACE 的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵BE ∥AP ，BE ⊄平面P AD ，AP ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD ．同理可证BC ∥平面P AD ， ∵BC ∩BE ＝B ，∴平面BCE ∥平面P AD ． ∵EC ⊂平面BCE ，∴EC ∥平面P AD ．（Ⅱ）解：∵P A ⊥平面ABCD ，BE ∥AP ，∴BE ⊥平面ABCD ，即BE ⊥平面ABC ，∴V B ﹣ACE ＝V E ﹣ABC ，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， ∴S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin∠ABC =12×2×1×√32=√32， V E−ABC =13S △ABC ⋅BE =13×√32×1=√36，故四面体B ﹣ACE 的体积为√36． 19．（12分）我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施．国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图）为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到如表：年龄区间 [24，26] [27，29] [30，32] [33，35] [36，38] [39，41] [42，44] [45，47] [48，50] 有意愿数80 81 87 88 84 83 83 70 66（1）设每个年龄区间的中间值为x ，有意愿数为y ，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数r （结果保留两位小数（2）从[24，26]，[33，35]，[39，41]，[45，47]，[48，50]这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻．设其中不愿意生育二孩的夫妻数为X ，求X 的分布列和数学期望．（参考数据和公式：r =∑n i=1i −x)(y i −y)√∑i=1i −x)2∑i=1i −y)2，b =∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2，a =y −b x ，∑ 9i=1（x i −x ）（y i −y ）=∑ 9i=1x i y i −x ∑ 9i=1y i ，∑ 9i=1x i y i ＝26340，√224640≈473.96．）【解答】解：（1）根据题意可得，x =25+28+31+34+37+40+43+46+497=37，∑ 9i=1y i =720，y =80，∑ 9i=1x i y i ＝26340，∑ 9i=1（x i −x ）（y i −y ）=∑ 9i=1x i y i −x ∑ 9i=1y i ＝26340﹣37×720＝﹣300，又∑ 9i=1(x i −x)2=540，∑ 9i=1(y i −y)2=416，所以∑ 9i=1（x i −x ）2 ⋅∑ 9i=1（y i −y ）2＝540×416＝224640，所以b =∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2=−300540=−59， a =y −b x =80+59×37≈100.56，故线性回归方程为：y =−59x +100.56，相关系数r =∑n i=1i −x)(y i −y)√∑i=1i −x)2∑i=1i −y)2=224640≈−300473.96≈−0.63；（2）根据题意，在[24，26]，[33，35]，[39，41]这三个年龄段中，超过半数的夫妻由生育二孩的意愿，在[45，47]，[48，50]这两个年龄段中，超过半数的夫妻没有生育二孩的意愿，所以从5对夫妻中任选2对，其中不愿意生育二孩的夫妻数X ＝0，1，2，其中P(X =0)=C 20C 32C 52=0.3，P(X =1)=C 21C 31C 52=0.6，P(X =2)=C 22C 52=0.1，X 的分布列如下：X 0 1 2 P0.30.60.1EX ＝0×0.3+1×0.6+2×0.1＝0.8． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)，左焦点F （﹣2，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线x ＝﹣4上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标x 0是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)，左焦点F （﹣2，0），可得c ＝2，2a =√42+(√2)2+√0+(√2)2=4√2，即a ＝2√2，b =√a 2−c 2=2，可得椭圆的方程为x 28+y 24=1；（Ⅱ）D 点的横坐标为定值﹣3．理由如下：直线l 的斜率不为0，设AB ：x ＝my ﹣2，联立椭圆方程x 2+2y 2＝8，可得（2+m 2）y 2﹣4my ﹣4＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1，y 2≠0，y 1+y 2=4m 2+m 2，y 1y 2=−42+m 2，两式相除可得y 1+y 2y 1y 2=−m ，由N （﹣4，y 1），可设BN 的方程为y ﹣y 1=y 2−y 1x 2+4（x +4），令y ＝0，可得x 0=−y 1x 2−4y 1y 2−y 1−4=−y 1x 2−4y 2y 2−y 1=−y 1(my 2−2)−4y 2y 2−y 1=−my 1y 2+2y 1−4y 2y 2−y 1=y 1+y 2+2y 1−4y 2y 2−y 1=3y 1−3y 2y 2−y 1=−3．则D 点的横坐标为定值﹣3．21．（12分）已知函数f （x ）＝mx 3+nx 2（m ，n ∈R ，m ＞n 且m ≠0）的图象在（2，f （2））处的切线与x 轴平行．（1）试确定m 、n 的符号；（2）若函数y ＝f （x ）在区间[n ，m ]上有最大值为m ﹣n 2，试求m 的值．【解答】解：（I ）由图象在（2，f （2））处的切线与x 轴平行，知f '（2）＝0，∴n ＝﹣3m ① 又n ＜m ，故n ＜0，m ＞0．（II ）令f ′（x ）＝3mx 2+2nx ＝3mx 2﹣6mx ＝0，得x ＝0或x ＝2易证x ＝0是f （x ）的极大值点，x ＝2是极小值点（如图）．令f （x ）＝f （0）＝0，得x ＝0或x ＝3．分类：（I ）当0＜m ≤3时，f （x ）max ＝f （0）＝0，∴m ﹣n 2＝0．② 由①，②解得m =19，符合前提0＜m ≤3．（II ）当m ＞3时，f （x ）max ＝f （m ）＝m 4+m 2n ， ∴m 4+m 2n ＝m ﹣n 2．③由①，③得m 3﹣3m 2+9m ﹣1＝0．记g （m ）＝m 3﹣3m 2+9m ﹣1，∵g ′（m ）＝3m 2﹣6m +9＝3（m ﹣1）2+6＞0，∴g （m ）在R 上是增函数，又m ＞3，∴g （m ）＞g （3）＝26＞0， ∴g （m ）＝0在（3，+∞）上无实数根．综上，m 的值为m =19．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．（1）求：①曲线C 1的普通方程； ②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；（2）设点M 的极坐标为(6，π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值．【解答】解：（1）①因为{x =1+cosαy =sinα，又sin 2α+cos 2α＝1，所以（x ﹣1）2+y 2＝1，即曲线C 1的的普通方程为（x ﹣1）2+y 2＝1；②由ρ2＝x 2+y 2得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝1，又直线l 的直角坐标方程为x ﹣y ＝0，所以{x 2+y 2=1x −y =0⇒{x 1=√22y 1=√22或{x 2=−√22y 2=−√22，所以曲线C 2与直线l 的交点的直角坐标为(√22，√22)和(−√22，−√22)．（2）设N （ρ，θ），又由曲线C 1的普通方程为（x ﹣1）2+y 2＝1得其极坐标方程ρ＝2cos θ．∴△MON 的面积S =12|OM|⋅|ON|⋅sin∠MON =12|6ρsin(π3−θ)|=|6cosθsin(π3−θ)|=|3sin(π3−2θ)+3√32|=|3cos(2θ+π6)+3√32|．所以当θ=23π12或θ=11π12时，(S △MON )max =3+3√32．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |．（1）求不等式f （x ）≤2的解集；（2）若f （x ）的最大值为m ，正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝m ，求证：a 2+b 2+c 2≥3．【解答】解：（1）∵f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |，f （x ）≤2， ∴当x ≤0时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（3﹣x ）+2x ＝x +3，由f （x ）≥2，得x +3≥2，解得x ≥﹣1，此时﹣1≤x ≤0 当0＜x ＜3时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（3﹣x ）﹣2x ＝3﹣3x ，由f （x ）≥2，得3﹣3x ≥2，解得x ≤13，此时0＜x ≤13；当x ≥3时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（x ﹣3）﹣2x ＝﹣x ﹣3≤﹣6，此时不等式f （x ）≥2无解，综上，不等式f （x ）≥2的解集为[−1，13]．（2）由（1）可知，f(x)={x +3，x ≤03−3x ，0＜x ＜3−x −3，x ≥3．当x ≤0时，f （x ）＝x +3≤3；当0＜x ＜3时，f （x ）＝3﹣3x ∈（﹣6，3）；当x ≥3时，f （x ）＝﹣x ﹣3≤﹣6．∴函数y ＝f （x ）的最大值为m ＝3，则a +b +c ＝3．由柯西不等式可得（1+1+1）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +c ）2，即3（a 2+b 2+c 2）≥32，即a 2+b 2+c 2≥3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．因此a 2+b 2+c 2≥3．。