椭圆教学案
椭圆标准方程导学案及答案
安丘一中高二数学上学期导学案
（一）课前预习案
课前预习
1.椭圆是怎样定义的？
2.椭圆的标准方程是如何推导的？
预习自测：
1．设21,F F 为定点，|21F F |=6，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则动点M 的
轨迹是 （ D ）
A.椭圆
B.直线
C.圆
D.
2.椭圆
17
162
2=+y x 的左右焦点为21,F F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 （ B ）
A.32
B.16
C.8
D.4
3.设α∈(0,2π)，方程
1cos sin 2
2=+α
αy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则α∈（ B ）
A.(0,4π]
B.(4π,2π)
C.(0,4π)
D.［4π,2π
) 4.如果方程22
2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是_（_0__，
1）__.
（二）课堂探究案
探究点一：求椭圆的标准方程
例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： 1.两个焦点的坐标分别是（-3,0），（3,0），椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于8
2.两个焦点的坐标分别为（0，-4），（0,4），并且椭圆经过点3-5（，）
3.椭圆经过两点（)5,3()2
5
,23与-
中，
＋3＝16.
的距离之和为16，且|C
为其焦点．
2＝a2－c2＝64－16＝48.
1.
动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，。
广西柳州六中高二数学椭圆及其标准方程一 导学案
编号： 编制人：李义安。
班级： 小组： 姓名： 教师评价：椭圆及其标准方程(一)学习目标1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．2、通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．3、通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．难点：椭圆的标准方程的推导．学习过程(一)椭圆概念的引入问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？问题2： “到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”是什么呢？ 概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是1F (-c ，0)、2F (c ，0)．这里222c a b =-．2．两种标准方程的比较：0)、2F (c ，0)，这里222c a b =-；-c)、2F (0，c)，这里222c a b =-，只须将(1)方程的x 、y 互换即可得到．注意：在两种标准方程中，∵22a b >，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与展示：例题 平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．展示1： 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：4,a c ==y 轴上。
展示2： 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是（ ）展示3．1.、在椭圆上的点中，1A 与焦点1F 的距离最小，|11A F |=2，21A F 的距离最大，| 21A F |=14，求椭圆的标准方程．3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：是过1F 的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长．(四)课堂小结：1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．3．图形 及焦点。
2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 第2课时 直线与椭圆教学案 理
第2课时直线与椭圆直线与椭圆的位置关系1。
若直线y＝kx＋1与椭圆错误!＋错误!＝1总有公共点,则m的取值范围是( )A。
m>1 B。
m〉0C。
0〈m〈5且m≠1 D.m≥1且m≠5答案D解析方法一由于直线y＝kx＋1恒过点（0,1），所以点（0,1)必在椭圆内或椭圆上,则0〈错误!≤1且m≠5，故m≥1且m≠5。
方法二由错误!消去y整理得(5k2＋m）x2＋10kx＋5(1－m）＝0.由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m）≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立,由于m>0且m≠5，∴5k2＋m－1≥0，∴m≥1且m≠5。
2。
已知直线l:y＝2x＋m，椭圆C：错误!＋错误!＝1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C：（1）有两个不重合的公共点；(2）有且只有一个公共点;（3）没有公共点.解将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组错误!将①代入②,整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144。
（1)当Δ〉0，即－3错误!〈m<3错误!时,方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解。
这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2）当Δ＝0，即m＝±3错误!时,方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解。
这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点。
(3）当Δ<0，即m〈－32或m>32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点。
思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数。
（2）对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点。
弦长及中点弦问题命题点1 弦长问题例1 斜率为1的直线l与椭圆错误!＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB｜的最大值为( )A.2B。
灌南高级中学高三数学复习导学案：椭圆(1)
教学目的:1、进一步掌握椭圆的方程，了解椭圆中的一些几何意义。
2、理解参数a 、b 、c 、e 的关系，及利用第二 定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用. 知识要点：1.定义：①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即21212F F a PF PF >=+)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e （0<e<1），则P 点的轨迹是椭圆2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a ，|PM2|+|PM1|=c a 22，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；（2）=11F A c a F A -=22,=21F A ca F A +=12；ca PF c a +≤≤-1（3）|BF2|=|BF1|=a ，|OF1|=|OF2|=c ；（4）|F1K1|=|F2K2|=p=c b 2，21A B A B ==3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式12222=+b y a x 和12222=+b x ay )0(>>b a 其中222b a c -= 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2±=，离心率是a ce =，通径的长是a b 22焦准距（焦点到准线的距离）c b p 2=，焦参数2b a （通径长的一半）范围：}{a x a x ≤≤-，}{b y b x ≤≤-，长轴长=a 2，短轴长=2b ，焦距＝2c ，焦半径：21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a exc =-=-.4.21F PF ∆中经常利用余弦定理、三角形面积公式12212tan2PF F F PF S b ∆∠=将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠(1212F PF F BF ∠≤∠)结合起来，建立1PF +2PF 、1PF ∙2PF 等关系.5.椭圆上的点有时常用到三角换元：⎩⎨⎧θ=θ=sin cos b y a x ；基础训练1．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________． 2、以椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点F(－c,0)为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是________．3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F1，F2在x 轴上，离心率为22，过F1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF2的周长为16，那么C 的方程为__________ 4．若点P 是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF1→·PF2→＝0，tan ∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率e ＝________． 5．设P 是椭圆x29＋y24＝1上一动点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F1PF2的最小值是________6．若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．例题精讲【例1】已知A(－12，0)，B 是圆：(x －12)2＋y2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．【例3】【例4】．设F1、F2分别为椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C 上的点A(1，32)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点K 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K 的中点的轨迹方程；(3)若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为kPM 、kPN 时．求证：kPM·kPN 是与点P 位置无关的定值．()()()()224,02,2125915 24x y A B M MA MB MB MA ++已知，是椭圆＝内的两个点，是椭圆上的动点．求：＋的最大值和最小值；的最小值．巩固练习1、Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，以点C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 边上，且这个椭圆过A 、B 两点，则这个椭圆的焦距长为________．2.椭圆x24＋y23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B.当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．222201200012003.=1()<1221.2x x C y F F P x y y PF PF x xy y C ++已知椭圆：的两焦点为，，点，满足，则＋的取值范围为____________，直线＋＝与椭圆的公共点个数为 _________ 4、设A ，F 分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ，则该椭圆的离心 率的取值范围是________．5．椭圆M ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P 为椭圆M 上任一点，且12PF PF uuu r uuu r g 最大值的取值范围是[]c2，3c2，其中c ＝a2－b2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________.三、课后训练1.椭圆x22＋y2＝1的弦被点 (12，12)平分，则这条弦所在的直线方程是________．2.过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点A 作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M ，与y轴的交点为B ，若AM ＝MB ，则该椭圆的离心率为________．3.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为______．4．已知F1、F2分别为椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△ABF2为钝角三角形，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为________.5．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使a sin ∠PF1F2＝csin ∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．6．过点M(－2,0)的直线m 与椭圆x22＋y2＝1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P ，设直线m 的斜率为k1(k1≠0)，直线OP 的斜率为k2，则k1k2的值为________.9.如图所示，已知△OFQ 的面积为S ，且OF →·FQ →＝1.(1)若12<S<2，求向量OF →与FQ →的夹角θ的正切值的取值范围；(2)设|OF →|＝c(c≥2)，S ＝34c ，若以O 为中心、F 为焦点的椭圆经过Q ，当|OQ →|取得最小值时，求此椭圆的标准方程．。
椭圆的标准方程
2．椭圆与圆有怎样的关系？
3.一动点与两定点所连直线的斜率之积为常数，动点的轨迹为什么？
释疑解难：
①．求椭圆的标准方程，一是用定义，另一种方法是待定系数法
学生思考讨论
教师引导学生进行讨论
②椭圆可以看作是由圆伸缩变换得到，如例2
③一动点与两定点所连直线的斜率之积为常数，动点的轨迹为椭圆
3.讲解例2，3
教学环节
学生活动
教师活动
(三)、注意事项:
可以结合多媒体进行演示
三、反思（不少于ห้องสมุดไป่ตู้5分钟）
（一）训练反思：
1.完成练习3，4
2. 的两个顶点分别是 另两边 的斜率乘积为 ，求顶点 的轨迹方程。
教学环节
学生活动
教师活动
（二）总结扩展：
1、熟练掌握椭圆的定义与椭圆的标准方程；
2、会求椭圆的标准方程；
3、理解用中间变量（相关点）法求动点的轨迹方程。
（三）能力提高：
作业：
P53.3
备课组长
意见
签名：
年月日
送审领导意见
签名：
年月日
（三）情感目标：
提高学生的对数学统一性的理解。
重点
难点
椭圆的标准方程
用中间变量（相关点）法求动点的轨迹方程
学情
分析
学生可能对求动点的轨迹方程理解会有写困难
学法
指津
实物演示，理论联系实际
教与学互动设计
教学环节
学生活动
教师活动
一、自学（10---15分钟）
学生自学
教师引导学生进行自学
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第5讲 椭圆创新教学案(含解析)新人教版-新人教版高三全册数
第5讲椭圆[考纲解读] 1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(X围、对称性、顶点、离心率)．(重点) 2．掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题．(难点) [考向预测]从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测2021年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.1.椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的□01和等于□02常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做□03焦距．(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝□042a，且2a□05>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性X围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆□01相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆□02相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆□03相离．4．弦长公式(1)假设直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AB|＝□011＋k2|x1－x2|＝□021＋1k2|y1－y2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长□032b2a，最长为□042a.5．必记结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，那么当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)过焦点F1的弦AB，那么△ABF2的周长为4a.1．概念辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)椭圆x29＋y24＝1的离心率是()A.133 B.53C.23 D.59答案 B解析由得a＝3，b＝2，所以c＝a2－b2＝32－22＝5，离心率e＝ca＝5 3.(2)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，假设长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，那么此椭圆的标准方程为()A.x236＋y232＝1 B.x29＋y28＝1C.x29＋y25＝1 D.x216＋y212＝1答案 B解析由题意，得2c2a＝13，2a＝6，解得a＝3，c＝1，那么b＝32－12＝8，所以椭圆C的方程为x29＋y28＝1.应选B.(3)假设方程x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆，那么m的取值X围是________．答案2<m<6且m≠4解析方程x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆⇔⎩⎪⎨⎪⎧m－2>0，6－m>0，m－2≠6－m，解得2<m<6且m≠4.(4)动点P(x，y)的坐标满足x2＋(y＋7)2＋x2＋(y－7)2＝16，那么动点P的轨迹方程为________．答案x264＋y215＝1解析由得点P到点A(0，－7)和B(0,7)的距离之和为16，且16>|AB|，所以点P的轨迹是以A(0，－7)，B(0,7)为焦点，长轴长为16的椭圆．显然a＝8，c＝7，故b2＝a2－c2＝15，所以动点P的轨迹方程为x264＋y215＝1.题型一椭圆的定义及应用1．过椭圆x24＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，那么△ABF2的周长为()A．8 B．4 2 C．4 D．2 2 答案 A解析因为椭圆为x24＋y2＝1，所以椭圆的半长轴a＝2，由椭圆的定义可得AF1＋AF2＝2a＝4，且BF1＋BF2＝2a＝4，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.2．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆y24＋x23＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，那么|P A|＋|PB|的最大值为() A．5 B．4 C．3 D．2 答案 A解析如图，∵椭圆y24＋x23＝1，∴焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|P A|＋|PB|＝|P A|＋(4－|PB′|)＝4＋(|P A|－|PB′|)．∵|P A|－|PB′|≤|AB′|，∴|P A|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.当且仅当点P 在AB ′的延长线上时，等号成立． 综上所述，可得|P A |＋|PB |的最大值为5.3．(2019·某某模拟)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，那么△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752答案 C解析 由题意，得a ＝3，b ＝7，c ＝2，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∴|AF 2|＝6－|AF 1|.在△AF 1F 2中，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|·cos45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，解得|AF 1|＝72，∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72.利用定义解焦点三角形问题及求最值的方法解焦点三角形问题利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF 1|＋|PF 2|＝2a 两边平方是常用技巧．见举例说明3求最值抓住|PF 1|与|PF 2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF 1|·|PF 2|的最值；利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 转化或变形，借助三角形性质求最值．见举例说明21．如下图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，那么点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 A解析 由题意得|PF |＝|MP |，所以|PO |＋|PF |＝|PO |＋|MP |＝|MO |>|OF |，即点P 到两定点O ，F 的距离之和为常数(圆的半径)，且此常数大于两定点的距离，所以点P 的轨迹是椭圆．2．(2019·某某皖江模拟)F 1，F 2是长轴长为4的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，那么△PF 1F 2面积的最大值为________．答案 2解析 解法一：∵△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2≤12⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝12a 2.又2a ＝4，∴a 2＝4，∴△PF 1F 2面积的最大值为2.解法二：由题意可知2a ＝4，解得a ＝2.当P 点到F 1F 2距离最大时，S △PF 1F 2最大，此时P 为短轴端点，S △PF 1F 2＝12·2c ·b ＝bc .又a 2＝b 2＋c 2＝4，∴bc ≤b 2＋c 22＝2， ∴当b ＝c ＝2时，△PF 1F 2面积最大，为2.题型二 椭圆的标准方程角度1 定义法求椭圆的标准方程1．A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，那么动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 234＝1解析 如图，由题意知|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|P A |＋|PF |＝2且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1.角度2 待定系数法求椭圆的标准方程2．椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，那么椭圆方程为________．答案 y 210＋x 26＝1解析设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )．由得⎩⎨⎧94m ＋254n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110，所以椭圆方程为y 210＋x 26＝1.1．定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．见举例说明1.其中常用的关系有：(1)b2＝a2－c2；(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.2．待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)可简记为“先定型，再定量〞．见举例说明2.1．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．答案x225＋y216＝1解析设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，那么有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r. 所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|，所以点P的轨迹是以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.2．(2019·某某调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F2F2|，|PF2|成等差数列，那么椭圆方程为________．答案x28＋y26＝1解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴⎩⎨⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝22，b ＝6，c ＝2，∴椭圆方程为x 28＋y 26＝1.题型三 椭圆的几何性质1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，那么椭圆的左顶点为( )A ．(－3,0)B ．(－4,0)C ．(－10,0)D ．(－5,0)答案 D解析 由得，椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，故c ＝3，又因为2b ＝8，b ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝16＋9＝25.故a ＝5.所以椭圆的左顶点为(－5,0)．2．F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，假设△ABF 2是锐角三角形，那么该椭圆的离心率e 的取值X 围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1,1)C ．(0，3－1)D ．(3－1,1)答案 B解析 ∵F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，∵△ABF 2是锐角三角形，∴∠AF 2F 1<45°，∴tan ∠AF 2F 1<1，∴b 2a2c <1，整理，得b 2<2ac ，∴a 2－c 2<2ac ，两边同时除以a 2，并整理，得e 2＋2e －1>0，解得e >2－1或e <－2－1(舍去)，∵0<e <1，∴椭圆的离心率e 的取值X 围是(2－1,1)．3．(2019·某某质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，那么PF →·P A →的最大值为________．答案 4解析 由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.因为F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.那么当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.1．利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些X 围问题时，经常用到x ，y 的X 围，离心率的X 围等不等关系．见举例说明3.(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．见举例说明1.2．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解．(2)由a，b，c之间的关系求离心率，可以利用变形公式e＝1－b2a2求解．也可以利用b2＝a2－c2消去b，得到关于a，c的方程或不等式，进而转化为关于e 的不等式再求解．如举例说明2.(3)由椭圆的定义求离心率．e＝ca＝2c2a，而2a是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而与焦点三角形联系起来．1．椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，那么椭圆E的标准方程为()A.x22＋y22＝1 B.x22＋y2＝1C.x24＋y22＝1 D.y24＋x22＝1答案 C解析易知b＝c＝2，故a2＝b2＋c2＝4，从而椭圆E的标准方程为x24＋y22＝1.2．(2020·某某模拟)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)和直线l：x4＋y3＝1，假设过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，那么椭圆C的离心率为()A.45B.35C.34D.15答案 A解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以bc ＝34，又b 2＋c 2＝a 2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫34c 2＋c 2＝a 2⇒2516c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝45. 3．假设点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，那么OP →·FP→的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 答案 C解析 由椭圆x 24＋y 23＝1，得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，那么OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP→取得最大值6.题型四 直线与椭圆的综合问题角度1 直线与椭圆的位置关系1．直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解将直线l的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l 与椭圆C 没有公共点．角度2 点差法解中点弦问题2．焦点是F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________．答案 y 275＋x 225＝1解析 设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37.将A ，B 两点坐标代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b 2＝1，y 22a 2＋x 22b 2＝1.两式相减并化简，得a 2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2×y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25，故所求椭圆的标准方程为y 275＋x225＝1.角度3 弦长问题3．椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，某某数m 的取值X 围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x . 角度4 综合计算问题4．(2019·某某高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .椭圆的短轴长为4，离心率为55.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，假设|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0,2)，那么直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k2－10k.在y＝kx＋2中，令y＝0，得x M＝－2 k.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－k2.由OP⊥MN，得4－5k2－10k·⎝⎛⎭⎪⎫－k2＝－1，化简得k2＝245，从而k＝±2305.所以直线PB的斜率为2305或－2305.1．直线与椭圆位置关系的判定方法(1)代数法联立直线与椭圆方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．见举例说明1.(2)几何法画出直线与椭圆的图象，根据图象判断公共点个数．2．“点差法〞的四步骤处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法〞，步骤如下：3．中点弦的重要结论AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．(1)斜率：k ＝－b 2x 0a 2y 0.见举例说明2.(2)弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值－b 2a 2. 4．直线与椭圆相交的弦长公式(1)假设直线y ＝kx ＋m 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.见举例说明3.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a ，最长为2a .1．假设直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，那么m 的取值X 围是( ) A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5答案 D解析 直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，假设直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，那么点(0,1)在椭圆x 25＋y 2m ＝1内部或在椭圆上，所以1m ≤1，由方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆，那么m >0且m ≠5，综上知m 的取值X 围是m ≥1且m ≠5.2．直线y ＝x ＋m 被椭圆2x 2＋y 2＝2截得的线段的中点的横坐标为16，那么中点的纵坐标为________．答案 －13解析 解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，2x 2＋y 2＝2，消去y 并整理得3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设线段的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝－2m 3，∴－2m 3＝13，解得m ＝－12.由截得的线段的中点在直线y ＝x －12上，得中点的纵坐标y ＝16－12＝－13.解法二：设线段的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么2x 21＋y 21＝2,2x 22＋y 22＝2.两式相减得2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.把y 1－y 2x 1－x 2＝1，x 1＋x 2＝13代入上式，得y 1＋y 22＝－13，那么中点的纵坐标为－13.3．(2019·某某六中模拟)直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C ：x 28＋y 22＝1交于A ，B 两点，直线l 1与直线l 2：x ＋2y －4＝0交于点M .(1)证明：直线l 2与椭圆C 相切；(2)设线段AB 的中点为N ，且|AB |＝|MN |，求直线l 1的方程．解(1)证明：由⎩⎨⎧x 28＋y 22＝1，x ＋2y －4＝0，消去x 整理得y 2－2y ＋1＝0， ∵Δ＝4－4＝0，∴l 2与C 相切．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x ＋2y －4＝0，得M 的坐标为(0,2)．由⎩⎨⎧x 28＋y 22＝1，y ＝kx ＋2，消去y 整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋8＝0， 因为直线l 1与椭圆交于A ，B 两点， 所以Δ＝(16k )2－32(1＋4k 2)＝128k 2－32>0，解得k 2>14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)， 那么x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝81＋4k 2， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－8k1＋4k 2. ∵|AB |＝|MN |， 即1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|x 0－0|，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|x 0|， 即8k1＋4k2＝4 24k 2－11＋4k 2，解得k 2＝12，满足k 2>14.∴k ＝±22，∴直线l 1的方程为y ＝±22x ＋2.组 基础关1．椭圆mx 2＋3y 2－6m ＝0的一个焦点的坐标为(0,2)，那么m 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．8答案 C解析 由mx 2＋3y 2－6m ＝0，得x 26＋y22m ＝1.因为椭圆的一个焦点的坐标为(0,2)，所以2m ＝6＋4，解得m ＝5.2．(2019·某某模拟)如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )A.25B.35C.235D.255答案 B解析 由题2b ＝16.4,2a ＝20.5，那么b a ＝45，那么离心率e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数a 的取值X 围是( )A ．(－6，－2)B ．(3，＋∞)C ．(－6，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－3)∪(2，＋∞) 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以－6<a <－2或a >3.4．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积为( )A.43B.53C.54D.103答案 B解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，那么直线AB 的方程为y ＝2x－2.联立⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.应选B.5．如图，椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，那么椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 245＋y 225＝1答案 C解析 设F ′为椭圆的右焦点，连接PF ′，在△POF 中，由余弦定理，得cos ∠POF ＝|OP |2＋|OF |2－|PF |22|OP ||OF |＝35，那么|PF ′|＝|OP |2＋|OF ′|2－2|OP ||OF ′|cos (π－∠POF )＝8，由椭圆定义，知2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，又c ＝25，所以b 2＝16.故椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，那么椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32D.55答案 C解析 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32.应选C.7．(2020·某某一诊)点M (－1,0)和N (1,0)，假设某直线上存在点P ，使得|PM |＋|PN |＝4，那么称该直线为“椭型直线〞，现有以下直线：①x －2y ＋6＝0；②x －y ＝0；③2x －y ＋1＝0；④x ＋y －3＝0. 其中是“椭型直线〞的是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④答案 C解析 由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程为x 24＋y 23＝1.对于①，把x －2y ＋6＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得2y 2－9y ＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15<0，知x －2y ＋6＝0不是“椭型直线〞；对于②，把y ＝x 代入x 24＋y 23＝1，整理得x 2＝127，所以x －y ＝0是“椭型直线〞；对于③，把2x －y ＋1＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得19x 2＋16x －8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)>0，知2x－y＋1＝0是“椭型直线〞；对于④，把x＋y－3＝0代入x24＋y23＝1，整理得7x2－24x＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24<0，知x＋y－3＝0不是“椭型直线〞．故②③是“椭型直线〞．8．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，那么椭圆的标准方程为________．答案x245＋y236＝1解析由题意设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．由离心率e＝55可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为x25c2＋y24c2＝1，将P(－5,4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为x245＋y236＝1.9．椭圆x25＋y24＝1的右焦点为F，假设过点F且倾斜角为π4的直线l与椭圆相交于A，B两点，那么|AB|的值为________．答案165 9解析由题意知，F(1,0)．∵直线l的倾斜角为π4，∴斜率k＝1.∴直线l的方程为y＝x－1.代入椭圆方程，得9x2－10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝109，x1x2＝－53.∴|AB|＝2·(x1＋x2)2－4x1x2＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659. 10．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，假设直线PF1的斜率为33，那么该椭圆的离心率为________．答案3 3解析 因为点P 在椭圆上，且PF 2垂直于x 轴，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .又因为直线PF 1的斜率为33，所以在Rt △PF 1F 2中， PF 2F 1F 2＝33，即b 2a 2c ＝33.所以3b 2＝2ac . 3(a 2－c 2)＝2ac ，3(1－e 2)＝2e ， 整理得3e 2＋2e －3＝0， 又0<e <1，解得e ＝33.组 能力关1．过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，那么△PQF 周长的最小值是( )A ．14B ．16C ．18D ．20答案 C解析 如图，设F 1为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|F 1Q |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 1的周长为|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上、下顶点时，△PQF 1(或△PQF 2)的周长即△PQF 周长的最小值，为10＋2×4＝18.2．离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的下、上焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx ＋1过椭圆C 的焦点F 2，与椭圆交于A ，B 两点，假设点A 到y 轴的距离是点B 到y 轴距离的2倍，那么k 2＝________.答案 27解析 直线l 过定点(0,1)，即F 2为(0,1)，由于c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，故a ＝2，b ＝1，那么椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1，由⎩⎨⎧y 22＋x 2＝1，y ＝kx ＋1，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2，由点A 到y 轴的距离是点B 到y 轴距离的2倍，得x 1＝－2x 2，代入x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，解得x 2＝2kk 2＋2，x 1＝－4k k 2＋2，代入x 1x 2＝－1k 2＋2，解得k 2＝27.3．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．假设△MF 1F 2为等腰三角形，那么M 的坐标为________．答案 (3，15)解析 设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎨⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．4．(2020·某某摸底)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b a x 相交于P ，Q 两点，且A P →·A Q →＝0，O P →＝3O Q →，那么椭圆C 的标准方程为________，圆A 的标准方程为________．答案 x 24＋y 2＝1 (x －2)2＋y 2＝85 解析 如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT ，那么AT ⊥PQ . ∵A P →·A Q →＝0，即AP ⊥AQ ， ∴|AT |＝12|PQ |.又O P →＝3O Q →，∴|OT |＝|PQ |. ∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12.由得焦半距c ＝3，∴a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又|AT |2＋|OT |2＝4，∴|AT |2＋4|AT |2＝4， ∴|AT |＝255，r ＝|AP |＝2105. ∴圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85.5．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 中点的横坐标为14，且AF→＝λFB →(其中λ>1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)某某数λ的值．解(1)由椭圆的焦距为2，知c ＝1， 又e ＝12，∴a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由AF→＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．假设直线AB ⊥x 轴，那么x 1＝x 2＝1，不符合题意； 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时， 设l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.①①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)>0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝2×14＝12，∴k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，解得x ＝1±354. 又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →， 即1－x 1＝λ(x 2－1)，λ＝1－x 1x 2－1，又λ>1，∴λ＝3＋52.组 素养关1．(2019·某某二模)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，且满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝32，离心率为12.(1)求椭圆的标准方程；(2)假设M 为y 轴正半轴上的定点，过M 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，S AOB ＝－32tan ∠AOB ，求点M 的坐标．解(1)由题意，知c a ＝12，b 2a ＝32，结合a 2＝b 2＋c 2，得a ＝2，b ＝3，所以x 24＋y 23＝1.(2)设M (0，t )，t >0，由题意知，直线l 的斜率存在，设l 为y ＝kx ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由S △AOB ＝－32tan ∠AOB ，得12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝－32·sin ∠AOBcos ∠AOB ，得|OA ||OB |cos ∠AOB ＝－3，即OA →·OB→＝－3， 联立直线l 和椭圆C 的方程，有 ⎩⎨⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝－8kt3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－123＋4k 2，由x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝－3，得(k 2＋1)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝－3， ∴(k 2＋1)4t 2－123＋4k 2－kt ·8kt3＋4k 2＋t 2＝－3， 整理可得7t 2＝3，又t >0，得t ＝217. 故M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，217 2．(2019·某某六市第二次联考)动点P 到定点F (1,0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与AB 相交于一点(交点位于线段AB 上，且与点A ，B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)求直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值？假设有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；假设没有，请说明理由．解(1)设点P (x ，y )．由题意可得(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，化简得x 22＋y 2＝1.所以曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．将x ＝1代入x 22＋y 2＝1，得|y |＝22，所以|AB |＝ 2. 当m ＝0时，显然不符合题意．当m ≠0时，因为直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，word- 31 - / 31 所以|n |m 2＋1＝1，所以n 2＝m 2＋1.由⎩⎨⎧ y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1消去y 并整理， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0. 因为Δ＝4m 2n 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2>0， 所以x 1＋x 2＝－4mn2m 2＋1，x 1x 2＝2(n 2－1)2m 2＋1. 所以S 四边形ACBD ＝12|AB |·|x 1－x 2|＝12×2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2|m |2m 2＋1＝22|m |＋1|m |≤22， 当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±22时等号成立．将m ＝±22代入n 2＝m 2＋1，得n ＝±62.经检验可知，直线y ＝22x －62和直线y ＝－22x ＋62符合题意．故四边形ACBD 的面积有最大值，最大值为22，对应的直线方程为y ＝22x－62和y ＝－22x ＋62.。
高二数学选修2-1§2.2.1椭圆及其标准方程(2)导学案设计
§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)导学案撰稿：陈娟审核：张海军时间：姓名：班级：级别：组名: 【教学目标】1．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．【重点难点】▲重点：掌握椭圆的定义及标准方程▲难点：点的轨迹的求法【学法指导】以自学为主，教师讲授为辅【知识链接】（预习教材理P41~ P42，文P34~ P36找出疑惑之处）复习1：椭圆上221259x y+=一点P到椭圆的左焦点1F的距离为3，则P到椭圆右焦点2F的距离是．复习2：在椭圆的标准方程中,6a=,b=则椭圆的标准方程是．【学习过程】知识点一：椭圆的定义及标准方程问题1：圆22650x y x+++=的圆心和半径分别是什么?知识点二：点的轨迹的求法问题2：圆上的所有点到(圆心)的距离都等于(半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆上．※典型例题例1在圆224x y+=上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？变式：若点M在DP的延长线上，且32DMDP=，则点M的轨迹又是什么？小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点,A B的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM相交于点M，且它们的斜率之积是49-，求点M的轨迹方程．变式：点,A B的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？【基础达标】A1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程．B2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．【课堂小结】1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．【知识拓展】椭圆的第二定义：到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹．定点F 是椭圆的焦点；定直线l 是椭圆的准线；常数e 是椭圆的离心率．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差【当堂检测】（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．A ．221259x y +=B ．221259y x += (0)y ≠C ．221169x y +=(0)y ≠ D ．221259x y +=(0)y ≠ 3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124(0)PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（ ）．A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 ．5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ．1．已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．【学习反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑问是我对导学案的建议是。
2015届高考数学总复习第九章平面解析几何第7课时椭圆(2)教学案(含最新模拟、试题改编)
第九章 平面解析几何第7课时 椭 圆(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）128～131页 （理）133～136页考情分析考点新知根据已知条件求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．① 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.② 掌握椭圆的简单应用.1. 已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．答案：x 236＋y 29＝1解析：e ＝32，2a ＝12，a ＝6，b ＝3，则所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.2. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案：3解析：依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故b ＝3. 3. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D, 且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________．答案：33解析：(解法1)如图，|BF|＝b 2＋c 2＝a.作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由BF →＝2FD →，得|OF||DD 1|＝|BF||BD|＝23，所以|DD 1|＝32|OF|＝32c ，即x D ＝3c 2，由椭圆的第二定义得|FD|＝e ⎝⎛⎭⎫a 2c －3c 2＝a －3c 22a.又由|BF|＝2|FD|，得a ＝2a －3c 2a ，即e ＝33.(解法2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ，b ＞0)，设D(x 2，y 2)，F 分 BD 所成的比为2，x F ＝0＋2x 21＋2x 2＝32x F ＝32c ；y F ＝b ＋2y 21＋2y 2＝3y F －b 2＝3·0－b 2＝－b 2，代入94·c 2a 2＋14·b 2b2＝1e ＝33.4. F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动．则PF 1→·PF 2→的最大值是________．答案：1解析：设P(x ，y)，依题意得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x)(3－x)＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2.∵ 0≤x 2≤4，∴ －2≤34x 2－2≤1.∴ PF 1→·PF 2→的最大值是1.5. 已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝________．答案：4解析：由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|Þcos60°＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|Þ12＝22＋2|PF 1||PF 2|－（22）22|PF 1||PF 2|， 即|PF 1|·|PF 2|＝4.1. 椭圆的第二定义平面内动点P 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离的比是常数e(点F 不在直线l 上)的点的轨迹是椭圆．定点F 是焦点，定直线l 是准线，常数e 是离心率．2. 椭圆的焦半径(1) 对于焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，设P(x ，y)是椭圆上任一点，则|PF 1|＝a ＋ex ；|PF 2|＝a －ex ．(2) 对于焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，设P(x ，y)是椭圆上任一点，则|PF 1|＝a ＋ey ；|PF 2|＝a －ey.题型1 求综合情况下椭圆的基本量例1 如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点M 在x 轴上，且OM →＝32OF 2→，过点F 2的直线与椭圆交于A 、B 两点，且AM ⊥x 轴，AF 1→·AF 2→＝0.(1) 求椭圆的离心率；(2) 若△ABF 1的周长为46，求椭圆的方程．解：(1) 设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A(x 0，y 0)，椭圆的离心率为e ，则M ⎝⎛⎭⎫32c ，0，x 0＝32c. ∵|AF 1|x 0＋a 2c ＝e ，∴ |AF 1|＝a ＋ex 0.同理，|AF 2|＝a －ex 0. ∵ AF 1→·AF 2→＝0，∴ AF 1⊥AF 2， ∴ |AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，∴ (a ＋ex 0)2＋(a －ex 0)2＝4c 2, 即a 2＋e 2x 20＝2c 2.∵ x 0＝32c ，∴ a 2＋e 2·34c 2＝2c 2,∴ 1＋34e 4＝2e 2，即3e 4－8e 2＋4＝0，∴ e 2＝23或2(舍)，∴ 椭圆的离心率e ＝63.(2) ∵ △ABF 2的周长为46，∴ 4a ＝46，∴ a ＝ 6.又c a ＝63，∴ c ＝2, ∴ b 2＝2.∴ 椭圆方程为x 26＋y 22＝1.备选变式（教师专享）已知椭圆的右焦点F ()m ，0，左、右准线分别为l 1：x ＝－m －1，l 2：x ＝m ＋1，且l 1、l 2分别与直线y ＝x 相交于A 、B 两点．(1) 若离心率为22，求椭圆的方程；(2) 当AF →·FB →<7时，求椭圆离心率的取值范围．解：(1) 由已知，得c ＝m ，a 2c＝m ＋1，从而a 2＝m(m ＋1)，b 2＝m.由e ＝22，得b ＝c ，从而m ＝1.故a ＝2，b ＝1，得所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)易得A(－m －1，－m －1)，B(m ＋1，m ＋1)，从而AF →＝(2m ＋1，m ＋1)，FB →＝(1，m ＋1)， 故AF →·FB →＝2m ＋1＋(m ＋1)2＝m 2＋4m ＋2<7，得0<m<1.由此离心率e ＝c a ＝m m （m ＋1）＝11＋1m，故所求的离心率取值范围为⎝⎛⎭⎫0，22.题型2 与椭圆第二定义有关的问题例2 设A 、B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x ＝4是它的右准线．(1) 求椭圆的方程；(2) 设P 为椭圆右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线BP 与椭圆相交于两点B 、N ，求证：∠NAP 为锐角．(1) 解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ，a 2c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，从而b ＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1 .(2) 证明：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)，设N(x 0，y 0)，∵ N 点在椭圆上，∴ y 20＝34(4－x 20)．又N 点异于顶点A 、B ， ∴ －2<x 0<2，y 0≠0.由P 、B 、N 三点共线可得P ⎝⎛⎭⎫4，2y 0x 0－2，从而AN →＝(x 0＋2，y 0)，AP→＝⎝⎛⎭⎫6，2y 0x 0－2，则AN →·AP →＝6x 0＋12＋2y 20x 0－2 ＝6x 0＋12－32(2＋x 0)＝92(x 0＋2)．∵ x 0＋2>0，y 0≠0，∴ AN →·AP →>0，于是∠NAP 为锐角． 备选变式（教师专享）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，动点M 为右准线上一点(异于右准线与x 轴的交点)，设线段FM 交椭圆C 于点P ，已知椭圆C 的离心率为23，点M 的横坐标为92.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设直线PA 的斜率为k 1，直线MA 的斜率为k 2，求k 1·k 2的取值范围．解：(1) 由已知，得⎩⎨⎧c a ＝23，a 2c ＝92，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝5.∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 25＝1.(2) 设点P(x 1，y 1)(－2<x 1<3)，点M ⎝⎛⎭⎫92，y 2. ∵点F 、P 、M 三点共线，x 1≠－2，∴y 1x 1＋2＝ y 2 132，y 2＝13y 12（x 1＋2），∴点M ⎝⎛⎭⎫92，13y 12（x 1＋2）.∵k 1＝y 1x 1－3，k 2＝13y 13（x 1＋2），∴k 1·k 2＝y 1x 1－3×13y 13（x 1＋2）＝13y 213（x 1 ＋ 2）（x 1 －3）.∵点P 在椭圆C 上，∴x 219 ＋ y 21 5＝ 1，∴y 21＝ －59(x 21－9)． ∴k 1·k 2＝13×⎝⎛⎭⎫－59（x 21 －9）3（x 1 ＋2）（x 1 －3）＝－6527×x 1＋3x 1＋2＝－6527×⎝⎛⎭⎫1＋1x 1＋2.∵－2<x 1<3，∴k 1·k 2<－269.∴k 1·k 2的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－269. 题型3 椭圆的综合问题例3 已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t>0)在直线x＝a 2c(a 为长半轴，c 为半焦距)上． (1) 求椭圆的标准方程；(2) 求以OM 为直径且被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3) 设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．(1) 解：由点M 在准线上，得a 2c ＝2，故1＋c 2c＝2，∴ c ＝1，从而a ＝2，所以椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2) 解：以OM 为直径的圆的方程为x(x －2)＋y(y －t)＝0，即(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝t 24＋1，其圆心为⎝⎛⎭⎫1，t 2，半径r ＝t 24＋1，因为以OM 为直径的圆被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x －4y －5＝0的距离d ＝r 2－1＝t2，所以|3－2t －5|5＝t 2，解得t ＝4，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.(3) 证明：设N(x 0，y 0)，则FN →＝(x 0－1，y 0)，OM →＝(2，t)，MN →＝(x 0－2，y 0－t)，ON →＝(x 0，y 0)．∵ FN →⊥OM →，∴ 2(x 0－1)＋ty 0＝0，∴ 2x 0＋ty 0＝2.∵ MN →⊥ON →，∴ x 0(x 0－2)＋y 0(y 0－t)＝0，∴ x 20＋y 20＝2x 0＋ty 0＝2，∴ |ON →|＝x 20＋y 20＝2为定值． 变式训练已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直线AB与圆G ：x 2＋y 2＝c24(c 是椭圆的半焦距)相离，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆G 的两切线，切点分别为M 、N.(1) 若椭圆C 经过两点⎝⎛⎭⎫1，423、⎝⎛⎭⎫332，1，求椭圆C 的方程；(2) 当c 为定值时，求证：直线MN 经过一定点E ，并求OP →·OE →的值(O 是坐标原点)； (3) 若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．(1) 解：令椭圆mx 2＋ny 2＝1，其中m ＝1a 2，n ＝1b 2，得⎩⎨⎧m ＋329n ＝1，274m ＋n ＝1.所以m ＝19，n ＝14，即椭圆方程为x 29＋y24＝1.(2) 证明：直线AB ：x －a ＋yb＝1，设点P(x 0，y 0)，则OP 的中点为⎝⎛⎭⎫x 02，y 02，所以点O 、M 、P 、N 所在的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝x 20＋y 204，化简为x 2－x 0x ＋y 2－y 0y ＝0，与圆x 2＋y 2＝c 24作差，即直线MN ：x 0x ＋y 0y ＝c24.因为点P(x 0，y 0)在直线AB 上，得x 0－a ＋y 0b＝1，所以x 0⎝⎛⎭⎫x ＋b a y ＋⎝⎛⎭⎫by －c 24＝0，即⎩⎨⎧x ＋b a y ＝0，by －c 24＝0，得x ＝－c 24a ，y ＝c24b，故定点E ⎝⎛⎭⎫－c 24a ，c 24b ， OP →·OE →＝⎝⎛⎭⎫x 0，b a x 0＋b ·⎝⎛⎭⎫－c 24a ，c 24b ＝c 24.(3) 解：由直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c 24(c 是椭圆的焦半距)相离，则ab a 2＋b2＞c2，即4a 2b 2＞c 2(a 2＋b 2)，4a 2(a 2－c 2)＞c 2(2a 2－c 2)，得e 4－6e 2＋4＞0.因为0＜e ＜1，所以0＜e 2＜3－5 ①.连结ON 、OM 、OP ，若存在点P 使△PMN 为正三角形，则在Rt △OPN 中，OP ＝2ON＝2r ＝c ，所以aba 2＋b 2≤c ，a 2b 2≤c 2(a 2＋b 2)，a 2(a 2－c 2)≤c 2(2a 2－c 2)，得e 4－3e 2＋1≤0.因为0＜e ＜1，所以3－52≤e 2＜1 ②.由①②得3－52≤e 2＜3－5，所以5－12≤e ＜10－22.【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分) 已知曲线C ：(5－m)x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )．(1) 若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；(2) 设m ＝4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B(点A 位于点B 的上方)，直线y ＝kx ＋4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线y ＝1与直线BM 交于点G.求证：A ，G ，N 三点共线．学生错解：解：(1) 曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5－m>0，m －2>0，解得2＜m ＜5，所以m 的取值范围是(2，5)．(2) 当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 2＋2y 2＝8，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4，x 1＋x 2＝－16k1＋2k 2，x 1x 2＝241＋2k 2.直线BM 的方程为y ＋2＝y 1＋2x 1x ，点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫3x 1y 1＋2，1.因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝y 2－2x 2，k AG ＝－y 1＋23x 1，所以k AN －k AG ＝y 2－2x 2＋y 1＋23x 1＝kx 2＋2x 2＋kx 1＋63x 1＝43k ＋2×（x 1＋x 2）x 1x 2＝43k ＋2×－16k 1＋2k 2241＋2k 2＝0. 即k AN ＝k AG .故A ，G ，N 三点共线．审题引导： (1) 方程的曲线是焦点在x 轴上的椭圆； (2) 证明三点共线的常用方法．规范解答： 解：(1) 曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m －2＞0，85－m >8m －2，(3分)解得72＜m ＜5，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫72，5.(4分) (2) 当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 2＋2y 2＝8，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0.(6分) 因为直线与曲线C 交于不同的两点，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k 2)×24＞0，即k 2＞32.(7分)设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4，x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1x 2＝241＋2k 2.(8分) 直线BM 的方程为y ＋2＝y 1＋2x 1x ，点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫3x 1y 1＋2，1.(9分)因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝y 2－2x 2，k AG ＝－y 1＋23x 1，(11分)所以k AN －k AG ＝y 2－2x 2＋y 1＋23x 1＝kx 2＋2x 2＋kx 1＋63x 1＝43k ＋2×（x 1＋x 2）x 1x 2＝43k ＋2×－16k1＋2k 2241＋2k 2＝0.即k AN ＝k AG .(13分)故A ，G ，N 三点共线．(14分)错因分析： 易忽视焦点在x 轴上，漏掉85－m ＞8m －2这一条件，从而失误．联立消元后易忽视Δ＞0这一前提条件．1. 已知直线l 经过点(1，0)且一个方向向量d ＝(1，1)．椭圆C ：x 2m ＋y 2m －1＝1(m>1)的左焦点为F 1.若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，满足F 1A →·F 1B →＝0，求实数m 的值．解：由已知可得直线l 的方程：y ＝x －1，左焦点F 1(－1，0)，设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 2m ＋y 2m －1＝1，整理得：(2m －1)x 2－2mx ＋2m －m 2＝0.当m>1时，Δ＝4m(2m 2－4m ＋2)>0恒成立． 因为F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，F 1B →＝(x 2＋1，y 2)， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0.(*) 因为y 1＝x 1－1，y 2＝x 2－1， 所以(*)式化简得：x 1x 2＋1＝0.由此可得2m －m 22m －1＋1＝0，(m>1)，由此解得m ＝2＋ 3.2. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点A(0，1)．(1) 求椭圆的方程；(2) 过点A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M 、N ，求证：直线MN 恒过定点P ⎝⎛⎭⎫0，－35. (1) 解：由题意知：e ＝c a ＝32，b ＝1，a 2－c 2＝1，解得a ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2) 证明：设直线AM 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，解得x 1＝－8k 4k 2＋1，x 2＝0，所以x M ＝－8k 4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.用－1k 代替上面的k ，可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.因为k MP ＝1－4k 24k 2＋1＋35－8k 4k 2＋1＝8－8k 25－8k ＝k 2－15k ，k NP ＝k 2－4k 2＋4＋358k k 2＋4＝8k 2－858k ＝k 2－15k，所以k MP ＝k NP ，因为MP 、NP 共点于P ，所以M 、N 、P 三点共线，故直线MN 恒过定点P ⎝⎛⎭⎫0，－35.3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且AF 2→＋5BF 2→＝0.(1) 求椭圆E 的离心率；(2) 已知点D(1，0)为线段OF 2的中点，M 为椭圆E 上的动点(异于点A 、B)，连结MF 1并延长交椭圆E 于点N ，连结MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连结PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为k 1、k 2，试问是否存在常数λ，使得k 1＋λk 2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．解：(1) ∵ AF 2→＋5BF 2→＝0，∴ AF 2→＝5F 2B →.∴ a ＋c ＝5(a －c)，化简得2a ＝3c ，故椭圆E 的离心率为23.(2) 存在满足条件的常数λ，λ＝－47.点D(1，0)为线段OF 2的中点，∴ c ＝2，从而a＝3，b ＝5，左焦点F 1(－2，0)，椭圆E 的方程为x 29＋y 25＝1，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，则直线MD 的方程为x ＝x 1－1y 1y ＋1，代入椭圆方程x 29＋y 25＝1，整理得，5－x 1y 21y 2＋x 1－1y 1y －4＝0.∵ y 1＋y 3＝y 1（x 1－1）x 1－5，∴ y 3＝4y 1x 1－5.从而x 3＝5x 1－9x 1－5，故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 1－9x 1－5，4y 1x 1－5.同理，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2－9x 2－5，4y 2x 2－5.∵ 三点M 、F 1、N 共线，∴ y 1x 1＋2＝y 2x 2＋2，从而x 1y 2－x 2y 1＝2(y 1－y 2)．从而k 2＝y 3－y 4x 3－x 4＝4y 1x 1－5－4y 2x 2－55x 1－9x 1－5－5x 2－9x 2－5＝x 1y 2－x 2y 1＋5（y 1－y 2）4（x 1－x 2）＝7（y 1－y 2）4（x 1－x 2）＝7k 14，故k 1－4k 27＝0，从而存在满足条件的常数λ＝－47.4. 如图，正方形ABCD 内接于椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ 的顶点M 、N 在椭圆上，顶点P 、Q 在正方形的边AB 上，且A 、M 都在第一象限．(1) 若正方形ABCD 的边长为4，且与y 轴交于E 、F 两点，正方形MNPQ 的边长为2. ① 求证：直线AM 与△ABE 的外接圆相切； ② 求椭圆的标准方程；(2) 设椭圆的离心率为e ，直线AM 的斜率为k ，求证：2e 2－k 是定值．(1) 证明：① 依题意：A(2，2)，M(4，1)，E(0，－2)，∴ AM →＝(2，－1)，AE →＝(－2，－4)，∴ AM →·AE →＝0，∴ AM ⊥AE.∵ AE 为Rt △ABE 外接圆直径，∴ 直线AM 与△ABE 的外接圆相切．② 解：由⎩⎨⎧4a 2＋4b 2＝1，16a 2＋1b 2＝1，解得椭圆标准方程为x 220＋y 25＝1.(2) 证明：设正方形ABCD 的边长为2s ，正方形MNPQ 的边长为2t ，则A(s ，s)，M(s＋2t ，t)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得⎩⎨⎧s 2a 2＋s 2b 2＝1，（s ＋2t ）2a 2＋t 2b 2＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝s －t s 2（s ＋3t ），1b 2＝4ts 2（s ＋3t ），∴ e 2＝1－b 2a 2＝5t －s4t .∵ k ＝t －s （s ＋2t ）－s ＝t －s2t，∴ 2e 2－k ＝2为定值．5. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为35，且过点P ⎝⎛⎭⎫4，125，A 为上顶点，F 为右焦点．点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点，过Q 作平行于x 轴的直线交直线AP 于点M ，以QM 为直径的圆的圆心为N.(1) 求椭圆方程；(2) 若圆N 与x 轴相切，求圆N 的方程；(3) 设点R 为圆N 上的动点，点R 到直线PF 的最大距离为d ，求d 的取值范围．解：(1) ∵ e ＝35，不妨设c ＝3k ，a ＝5k ，则b ＝4k ，其中k>0，故椭圆方程为x 225k 2＋y 216k2＝1(a>b>0)，∵ P ⎝⎛⎭⎫4，125在椭圆上，∴ 4225k 2＋⎝⎛⎭⎫125216k 2＝1，解得k ＝1，∴ 椭圆方程为x 225＋y216＝1. (2) k AP ＝125－44＝－25，则直线AP 的方程为y ＝－25x ＋4，令y ＝t(0<t<4)，则x ＝5（4－t ）2，∴ M ⎝⎛⎭⎫5（4－t ）2，t ，∵ Q(0，t)，∴ N ⎝⎛⎭⎫5（4－t ）4，t ，∵ 圆N 与x 轴相切，∴ 5（4－t ）4＝t ，由题意M 为第一象限的点，则5（4－t ）4＝t ，解得t ＝209，∴ N ⎝⎛⎭⎫209，209，圆N 的方程为⎝⎛⎭⎫x －2092＋⎝⎛⎭⎫y －2092＝40081.(3) F(3，0)，k PF ＝125，∴ 直线PF 的方程为y ＝125(x －3)，即12x －5y －36＝0，∴ 点N 到直线PF 的距离为⎪⎪⎪⎪15（4－t ）－5t －3613＝⎪⎪⎪⎪24－20t 13＝413|6－5t|，∴ d ＝413|6－5t|＋54(4－t)，∵ 0<t<4.∴ 当0<t ≤65时，d ＝413(6－5t)＋54(4－t)＝356－145t 52，此时72≤d<8913；当65<t<4时，d ＝413(5t －6)＋54(4－t)＝164＋15t 52，此时72<d<5613. ∴ 综上，d 的取值范围为⎣⎡⎭⎫72，8913.1. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上． (1) 求椭圆的离心率；(2) 设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足AQ ＝AO ，求直线OQ 的斜率的值．解：(1) 因为点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58. 于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64. (2) 设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b 2.① 由AQ ＝AO ，A(－a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a)2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b 2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4， 即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5.所以直线OQ 的斜率k ＝±5. 2. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点M(－2，－1)，离心率为22.过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论．解：(1) 由题设，得4a 2＋1b2＝1，① 且a 2－b 2a ＝22，② 由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2) 设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ，假设∠PMQ 为直角，则k·(－k)＝－1，即k ＝±1.若k ＝1，则直线MQ 的方程为y ＋1＝－(x ＋2)，与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；同理，若k ＝－1也不合题意．故∠PMQ 不可能为直角．记P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k(x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得(1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k)x ＋8k 2－8k －4＝0，则－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，即x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2. 设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k(x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2. 因y 1＋1＝k(x 1＋2)，y 2＋1＝－k(x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k （x 1＋2）＋k （x 2＋2）x 1－x 2＝k （x 1＋x 2＋4）x 1－x 2＝8k1＋2k 28k1＋2k 2＝1， 因此直线PQ 的斜率为定值．3. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B.已知点A 的坐标为(－a ，0)．若|AB|＝425，求直线l 的倾斜角．解：(1) 由e ＝c a ＝32，解得3a 2＝4c 2. 再由c 2＝a 2－b 2，解得a ＝2b.由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，a>b>0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2) 由(1) 可知点A(－2，0)，设点B 的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)．于是A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 2＝1. 消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0，由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k 1＋4k 2， 故|AB|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－2－8k 21＋4k 22＋⎝⎛⎭⎫0－4k 1＋4k 22＝41＋k 21＋4k 2. 由|AB|＝425，得41＋k 21＋4k 2＝425. 整理得32k 4－9k 2－23＝0，即(k 2－1)(32k 2＋23)＝0，解得k ＝±1.所以直线l 的倾斜角为π4或3π4.4. 如图，已知△OFQ 的面积为S ，且OF →·FQ →＝1.设|OF →|＝c(c ≥2)，S ＝34c.若以O 为中心，F 为一个焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ →|取最小值时，求椭圆的方程．解：以O 为原点，OF →所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，Q(x ，y)． OF →＝(c ，0)，则FQ →＝(x －c ，y)．∵12|OF →|·y ＝34c ，∴y ＝32. 又∵OF →·FQ →＝c(x －c)＝1，∴x ＝c ＋1c. 则|OQ →|＝x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2＋94(c ≥2)．可以证明：当c ≥2时，函数t ＝c ＋1c为增函数， ∴当c ＝2时，|OQ →|min ＝⎝⎛⎭⎫2＋122＋94＝342，此时Q ⎝⎛⎭⎫52，32.将Q 的坐标代入椭圆方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10，b 2＝6.∴椭圆方程为x 210＋y 26＝1.1. 解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．2. 直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离． 3. 直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．请使用课时训练（B ）第7课时（见活页）.[备课札记]。
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1
椭圆的定义
青州二中 刘云
教学目标：
1、椭圆是高中数学教学中的重点和难点，所以这部分内容中的知识点学生必须达到理
解、应用的水平；
2、利用投影、计算机模拟动点的运动，增强直观性，激励学生的学习动机，培养学生
的数学想象和抽象思维能力。
教学重点：对椭圆定义的理解，其中a>c容易出错。
教学难点：方程的推导过程。
教学过程（www.3edu.net）：
（1） 复习
提问：动点轨迹的一般求法？
（通过回忆性质的提问，明示这节课所要学的内 容与原来所学知识之间的内在联系。
并为后面椭圆的标准方程的推导作好准备。）
（2） 引入
举例：椭圆是常见的图形，如：汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图，天体中，
行星绕太阳运行的轨道等等；
计算机：动态演示行星运行的轨道。
（进一步使学生明确学习椭圆的重要性和必要性，借计算机形成生动的直观，使学生
印象加深，以便更好地掌握椭圆的形状。）
（3） 教学实施
2
投影：椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示）
常数一般用2表示。（讲解定义时要注意条件：）
计算机：动态模拟动点轨迹的形成过程。
提问：如何求轨迹的方程？
（引导学生推导椭圆的标准方程）
板书：椭圆的标准方程的推导过程。（略）
（推导中注意：1）结合已画出的图形建立坐标系，容易为学生所接受；2）在推导过
程中，要抓住“怎样消去方程中的根式”这一关键问题，演算虽较繁，也能迎刃而解；3）其中焦
点为F1（，0）、F2（c,0）,；4）如果焦点在轴上，焦点为F1（0，）、
F2（0,c），只要将方程中，互换就可得到它的方程）
投影：椭圆的标准方程：
（）
（）
投影：例1 平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨
迹方程
（由椭圆的定义可知：所求轨迹为椭圆；则只要求出、、即可）
形成性练习：课本P74：2，3
（4） 小结 本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点:
①椭圆的定义中,
3
②椭圆的标准方程中,焦点的位置看,的分母大小来确定
③、、的几何意义
（5） 作业
P80：2，4（1）（3）