2020届山东省潍坊市高三联合模拟考试数学试题(解析版)
【答案】A
【解析】根据条件设出A，B的坐标，结合向量数量积求出A，B的坐标，结合中点坐标公式建立方程进行求解即可.
【详解】
设双曲线的一条渐近线是 ，设 ， ，则 ， ，
则由 得 ，
得 ，即 ，
得 ，则 ，
即 ，则 的中点为 ，
∵ 的中点在双曲线C上，
∴ ，
即 ，
即 ，
则 ，则 ，
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用三棱柱 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为 ， ， ， ，求出 ，再求出 外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积.
【详解】
∵三棱柱 的侧棱垂直于底面，
棱柱的体积为 ， ， ， ，
∴ ，∴
∵ ，∴ .
设 外接圆的半径为R，则 ，∴ .
∴外接球的半径为 ，∴球的表面积等于 .
A． B． C．— D．
【答案】C
【解析】【详解】
分析：利用诱导公式求得 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得 的值．
详解：
即 ，
则
故选C．
点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
6．已知直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为 ， ， ， ，则该球的表面积为（）
A．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个
B． 可以是某个圆的“优美函数”
C．正弦函数 可以同时是无数个圆的“优美函数”
D．函数 是“优美函数”的充要条件为函数 的图象是中心对称图形
【答案】D
【解析】利用“优美函数”的定义判断选项A，B，C正确，函数 的图象是中心对称图形，则函数 是“优美函数”，但是函数 是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D错误.
2020届山东省潍坊市高三联合模拟考试数学试题
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求出集合M，N，然后进行交集的运算即可.
【详解】
由 解得 .由 解得 .
∵ ， ，
∴ .
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，属于基础题.
【详解】
由排列的规律可得，第 行结束的时候共排了 个数，
则第n行的第一个数字为 ，
则第10行的第一个数字为46，故第10行从左向右的第3个数为48；
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查合情推理，考查等差数列前 项和，属于基础题.
8．已知F为双曲线C： （ ）的右焦点，A，B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点， ，且 的中点在双曲线C上，则C的离心率为（）
在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为 ，人数为 人，
即 ，
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
二、多选题
9．我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为140的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各70人；男性60人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是（）
2．已知向量 ， ， ，则 （）
A．2B．3C．7D．8
【答案】C
【解析】由 先求出 的坐标，然后根据 ，可求t，结合向量数量积定义的坐标表示即可求解.
【详解】
因为 ；
∵ ，
∴ ；
∴ ，
∴ ；
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查向量减法、模和数量积的坐标运算，属于基础题.
3．设i为虚数单位， ，“复数 是纯虚数“是“ ”的（）
【详解】
由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：
在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为 ，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为 ，
∴是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；
在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为 ，女性倾向选择生育二胎的比例为 ，
∴是否倾向选择生育二胎与性别有关，故B正确；
对于D：函数 的图象是中心对称图形，则函数 是“优美函数”，但是函数 是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：
，
所以函数 的图象是中心对称图形是函数 是“优美函数”的充分不必要条件，故选项D错误，
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查新定义概念的理解和应用，考查函数的对称性，属于基础题.
5．已知 等于（）
【详解】
对于A：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A正确；
对于B：因为函数 图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数 是该圆的“优美函数”，故选项B正确；
对于C：将圆的圆心放在正弦函数 的对称中心上，则正弦函数 是该圆的“优美函数”，故选项C正确；
A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B．是否倾向选择生育二胎与性别有关
C．调查样本中倾向选择生育二胎的群群中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育二胎的群群中，农村户籍人数多于城镇户籍人数
【答案】ABCD
【解析】由比例图，可得是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中的男性人数与女性人数，即可得出结论.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查根据柱体体积求棱长，考查几何体外接球有关计算，属于基础题.
7．将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为（）
A．13B．39C．48D．58
【答案】C
【解析】根据题意，分析可得第n行的第一个数字为 ，进而可得第20行的第一个数字，据此分析可得答案.
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条【答案】B
【解析】先化简z，求出a，再判断即可.
【详解】
复数 是纯虚数，
则 ， ，
是 的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
4．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（）
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题05 三角函数与解三角形(原卷版)
专题5 三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．预测2020年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225︒= （ ）A ．12-B ．2-C ．D ．1-2．（2020届山东省泰安市高三上期末）“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．10B ．10C ．2 D ．104．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20195．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π66．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A ．78-B ．14-C ．14 D ．787．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数8．（2020届山东省九校高三上学期联考）如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OA OB r ==，弧AB 长为l （l r <）.为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥CD ，其中34OC OA =，34OD OB =.已知1(0,)2x ∈时，3sin 3!x x x ≈-，则廊桥CD 的长度大约为（ ）A ．323432r r l - B ．323432l l r - C ．32324l l r-D ．32324r r l-9．（2020·武邑县教育局教研室高三上期末（理））已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（） A ．-7B ．7C ．1D ．-110．（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位11．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．12．（2020届山东省济宁市高三上期末）在ABC ∆中,1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u r u u u r,则ABC ∆的面积为( )A ．12B ．1CD ．213．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π2414．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．16C ．43D ．5615．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是A ．1B C ．2D ．416．（2020届山东省烟台市高三上期末）若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（ ）A ．35B ．35-C ．45D ．45-17．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．418．（2020届山东实验中学高三上期中）已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（ ） A ．-7B ．7C ．1D ．-119．（2020届山东省济宁市高三上期末）函数22cos cos 1y x x =-++，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．20．（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（ ） A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m21．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 23f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π22．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 二、多选题23．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．π-是()f x 的一个周期 B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 24．（2020届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+25．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为26．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点27．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称28．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知()()22210f x cos x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ） A ．2ω= B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心29．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（ ） A ．a ，b ，c 依次成等差数列B C ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列 D ．3a ，3b ，3c 依次成等差数列30．（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( )A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 31．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()()()sin 0,023f x x f x ππωϕωϕ⎛⎫=+><<- ⎪⎝⎭，为的一个零点，6x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()()0f x π在，上有且仅有7个零点，下述结论正确．．的是（ ） A ．=6πϕB ．=5ωC ．()()0f x π在，上有且仅有4个极大值点D ．()042f x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增32．（2019·山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+33．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 三、填空题34．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin 2x =______. 35．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为______.36．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知1tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα-+的值为________．37．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是O ，始边是x 轴的非负半轴，02απ<<，点1tan,1tan1212P ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是α终边上一点，则α的值是________. 38．（2020·全国高三专题练习（文））已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.39．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 40．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知函数()9sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,10x π∈时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且123n x x x x <<<⋅⋅⋅<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则()12n n S x x -+=______.41．（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,||2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的最大值2π，且()f x 的图象关于直线3x π=-对称，则当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为______.42．（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______． 四、解答题43．（2020届山东省临沂市高三上期末）在①3cos 5A =，cos C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =o，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC V 的面积S . 44．（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x图象关于原点对称；②向量),cos 2m x x ωω=u r，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭r u r r ；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）若02πθ<<，且sin θ=()f θ的值； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．45．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积.46．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若[0,2]x πÎ函数()f x 的最大值和最小值.47．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．48．（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积.49．（2020届山东省泰安市高三上期末）如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，90A ∠=o ，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE α∠=，试求花卉种植面积()S α的取值范围．50．（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .51．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23sin 2cos02A CB +-=. （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为3ABC ∆的周长.52．（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①2633()b a ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③6a =④2b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）53．（20203(cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin 3sin2A Cb A a += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，23,b =4a c +=，求ABC ∆的面积.54．（2020届山东师范大学附中高三月考）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2c A a C a +=．（1）求a b的值； （2）若1a =，7c =，求ABC V 的面积． 55．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边.已知4a =，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ，求：（1）tan tan tan tan A A B C+的值； （2）BC 边上的中线AD 的长.56．（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程()10f x -=在(0,)π内有两个零点12,x x ，求12x x +的值；（2）若把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数()g x 图象，求函数()g x 在[,]33ππ-上的最值. 57.（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①34asinC ccosA =;②252B C bsinasinB +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，32a =.(1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC V 的面积58．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.（1）若4a =，ABC ∆的面积为15，求b ，c 的值； （2）若()sin sin 0B k C k =>，且角C 为钝角，求实数k 的取值范围.59．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数()()23sin cos sin 10f x x x x ωωωω=-+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且6AC =，31CD =-，求三角形ABC 的面积.60．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知()()23sin sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. (1)若1210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭,求2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别,,a b c ,若有()2cos cos a c B b C -=,求角B 的大小以及()f A 的取值范围.61．（2020届山东省济宁市高三上期末）如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ､乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.已知AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .(1)求乙到达C 地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.62．（2020·全国高三专题练习（文））在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )(3sin sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③3=c b 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积.63．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()23sin cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求实数a 的值；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.64．（2020届山东实验中学高三上期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.。
2020届高三11月联考数学(理)试题(解析版)
2020届高三11月联考数学（理）试题一、单选题1．复数312112ii i +++-的模为（ ）A ．1BCD ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案.【详解】 根据题意，31211211212i i i i i i +++++=+-+(12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以|2|i +==故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（ ）A ．{|0}x x ≤B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或C ．{|23}x x ≤≤D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案.【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð.故选：B.【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3．已知向量(3,4)a =r ，则实数1λ=是||5a λ=r的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先求出a r ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ，和由||5a λ=r 能否得到1λ=，从而得到答案.【详解】因为向量(3,4)a =r，所以5a ==r因为1λ=，所以可得5a a λλ==r r ，所以1λ=是||5a λ=r的充分条件. 因为||5a λ=r ，所以||||5a λ= ||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题. 4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ） A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案.【详解】 根据题意，32,0,()log ,0,x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x <得310x x ⎧-<⎨≤⎩或2log 10x x <⎧⎨>⎩，， 所以10x -<≤或02x <<.即12x -<<所以不等式()1g x <的解集为(1,2)-.故选：C.【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图A ．43-B ．23-C ．32-D ．34- 【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC -和三棱锥E ACD -两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积.【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE P 平面ABC ，ACD V 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上，所以DE ⊥平面ACD ，所以113E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACD V S DE -=⨯⨯V 11)3=1=，所以几何体的体积为2. 故选：C.【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题.6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ）A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案.【详解】 由题意，22()(1)f x x '=--， 221(3)(31)2f '∴=-=--， 所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =. 故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12548= 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题.7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5B ．4C ．2D ．1 【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1n a +的通项和前n 项和n S ，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案.【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+， 所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列，所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 12111n n T S S S =++⋅⋅⋅+ 11111212231n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2.故选：C.【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,0)(2,)-+∞UC ．(1,2]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围.【详解】 根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点，所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-.故选：D.【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题.9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n+的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．1 D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m --=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】 因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m --=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1(52≥+92=， 当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A.【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题.10．已知sin()1223πα-= 则sin(2)6πα+= （ ） A ．710- B ．710 C ．79- D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解.【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=,(2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C. 【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC P 平面EFGH ，BD P 平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DH DA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B【解析】易得HG AC P ，EF AC P ，设DH GH k DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EH k DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC P 平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD I 平面EFGH HG =，所以AC HG P ，同理AC EF P设DH GH k DA AC==(01)k <<， BD P 平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =，所以BD HE P ，同理∥FG BD所以1AH EH k DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-，在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<Q ，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B.【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围.【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==，所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 求导得2()3(4)2g x x m x '=++-，令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=， 2(4)240m ∆=++>， 由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根.又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立， 又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =u u u r u u u r，则OA OD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32-【解析】将3BD DC =u u u r u u u r 转化为3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得到OD uuu r的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =u u u r u u u r，所以3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()134OD OC OB =+u u u r u u u r u u u r 93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-u u u r所以9344OA OD ⋅=-+u u u r u u u r 32=-.故答案为：32-.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小， 由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩ 所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF = 所以EF OD P ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角），因为AE =OA =OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知222cos 22EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题.16．已知函数()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭14cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 2cos 1x x x ωωω=+-sin 22x x ωω=+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z .因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和nT.【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比2q =，所以12n n a -=. （2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题. 18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+，因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大， 由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =-- 代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：x (,)b -∞ b(,1)b 1(1,)+∞ ()h x '+-+()h xZ极大值32111623b b -+- ]极小值12b -要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b b b b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩解得1b <，而1215>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =.（1）求角C 的大小； （2）若3PB =，sin 38BAP ∠=，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3C π=；（2【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案. 【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC V ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C =所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠， 即2357sin 3ABπ=，所以19AB =. 所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =， 所以11353sin 252222ABC S CA CB C =⋅⋅=⨯⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC P ，2DC AB =24AD ==，12AA =，且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EF BD P而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥，又1A H AE H =I ，所以EF ⊥平面1A OE ， 又EF ⊂平面EFQ ， 所以平面EFQ ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，所以11242OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,,222A ⎛-- ⎝⎭，所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭， 设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r v u u v v ，所以316022376022x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =6)n =r，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ，所以(1,1,0)OD =-u u u r为平面1A OE 的一个法向量，则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.21．已知函数1()1ln1mxf x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值. 【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭， 当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94≥= 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m =， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数， 又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a =. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。
山东省潍坊市高三期末考试模拟数学试题二(解析版)
山东省潍坊市高三期末考试模拟数学试题二（解析版）2022.12.13一、单选题1．已知集合2{|20}M x x x =--<，2{|1,}N y y x x R ==-+∈，则(M N ⋂= ) A ．{|21}x x -≤< B ．{|12}x x << C ．{|11}x x -<≤ D ．{|12}x x ≤<【答案】C【详解】集合2{|20}{|12}M x x x x x =--<=-<<， 2{|1,}{|1}N y y x x R y y ==-+∈=≤，则{|11}M N x x ⋂=-<≤．故选C.2．如果复数2(i)(1i)m m ++是实数（其中i 是虚数单位），则实数m 的值为（ ）A ．-1B ．C ．1D 【答案】A【分析】根据复数的乘法运算法则化简，进而根据虚部为0即可求解.【详解】因为()()()()223i 1i 1i m m m m m ++=-++，故310m +=，所以1m =-，故选：A ．3．学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为 A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】A【解析】先排1,2，再将3、4插空，用列举法，即可得出结果.【详解】先排好1、2，数字3、4插空，排除相邻学号，只有2种排法：3142、2413． 故选A4．函数()lg(1)sin 2f x x x =+-的零点个数为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12即lg(1)y x =+与sin 2y x =的图像的交点的个数 作函数lg(1)y x =+与sin 2y x =的图像如下：结合图像及三角函数的最值知，图像在y 轴左侧有6个交点，在y 轴右侧有5个交点，在y 轴上有一个交点，共12个交点 故选：D ．5．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M ，N 在椭圆C 上（点M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若1222||3MN F F NF ==，则椭圆C 的离心率为（ ） A 21 B 31C 2D 3【答案】B【分析】设2MF x =，则12MF a x =-，利用勾股定理求出x ，再解方程()22222--=a a b c 即得解.【详解】依题意作下图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分， ∴四边形12MF NF 是矩形，其中122F MF π∠=，12NF MF =，设2MF x =，则12MF a x =-，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c -+=， 整理得22220x ax b -+=，由于点M 在第一象限，222x a a b =--，由223=MF NF ，得22=MN MF ，即()22222--=a a b c ，整理得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得13e =-+或13e =--舍去. 故选：B ．6．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了()*n n N ∈年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】D【分析】设该设备第n 年的营运费为n a 万元，利用{}n a 为等差数列可求年平均盈利额，利用基本不等式可求其最大值.【详解】设该设备第n 年的营运费为n a 万元，则数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，则2n a n =， 则该设备使用n 年的营运费用总和为2nTn n=+，设第n 年的盈利总额为n S ，则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-，故年平均盈利额为910n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为9926n n n n+≥⨯=，当且仅当3n =时，等号成立， 故当3n =时，年平均盈利额取得最大值4. 故选：D.7．函数()()ln 2f x x x =+的图象在点()1,0-处的切线与直线()220a x y -+-=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【分析】根据给定条件，求出函数()f x 的导数，再利用导数的几何意义结合垂直条件求解作答.8．已知函数()()31sin cos1cos sin12f x x x x =+--+，若()4f a -=，则()2f a -=（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．0【答案】D【分析】先对()f x 化简，再通过代入求解出()()31sin 12a a -+--+=，结合函数的奇偶性，进行求解出答案.【详解】()()()()331sin cos1cos sin121sin 12f x x x x x x =+--+=+-++，()4f a -=，即()()31sin 124a a -+--++=，故()()31sin 12a a -+--+=，因为3y x =与sin y x =均为奇函数，故()()31sin 12a a ---=-，所以()()()()()33221sin 2121sin 120f a a a a a -=-+--++=---+=.故选：D二、多选题9．已知等比数列{}n a 的公比12q =-，等差数列{}n b 的首项118b =，若88a b >且99a b >，则以下结论正确的有（ ） A ．89a a > B ．890a a ⋅< C ．98b b > D ．100b <1018918720b d d d =+=++<，89a a <，若10a <，则1880d +<，即0d <，所以980b b d -=<，101891880b d d d =+=++<，89a a >， 所以A 无法确定，C 错误，D 正确． 故选：BD ．10．下列说法中正确的为（ ） A ．若//a b ，//b c ，则//a cB ．向量()12,3e =，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭能作为平面内所有向量的一组基底C ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．非零向量a 和b 满足a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30° 的结论．：若//a b ，//b c ，(0)b ≠，则//a c ，故A 错误；：向量1(2,3)e =，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以12e e 与不共线， 所以可以作为平面内的所有向量的一组基底，故B 正确； ：已知(1,2)a =，(1,1)b =，则(1,2)a b λλλ+=++， 所以：()0a a b λ⋅+>，且a 和()a b λ+不共线． )2(2)0λ++>，且()212λλ+≠+ 53>-且0λ≠，故C 错误；：非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-， 则以,,a b a b -为边长的三角形为等边三角形， 所以a 与a b +的夹角为30︒，故D 正确． 故选：BD ．11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC ，AB AC =，点(2,4)B -，点(5,3)C -，且其“欧拉线”与圆222:(5)M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最小距离为C ．若点(,)x y 在圆M 上，则x y +的最小值是3-D ．圆22(1)()2x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a 的取值范围是2⎡⎣12．已知函数()13f x x x =--，()y f x '=是()f x 的导函数下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =在区间()0,∞+是增函数B ．当(),0x ∈-∞时，函数()y f x =的最大值是1-C ．()()y f x f x '=-有2个零点D ．()()2f x f x ''--=三、填空题13．已知抛物线C ：22(0)y px p =>，直线l ：2x =交抛物线C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，则抛物线C 的方程为____________. 得0OP OQ =，计算可得将直线l ：2x =所以()2,2OP p =，(2,OQ =-()()2,22,2440OP OQ pp p =-=-=，1p =，所以抛物线C 的方程为22yx =.故答案为：22y x =.14．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=______． 【答案】81【分析】根据等比数列的性质可得，3S ，63S S -，96S S -，…成等比数列，并设其公比为q ，又78996a a a S S ++=-，由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 为等比数列，由等比数列的性质可得，3S ，63S S -，96S S -，…成等比数列，并设其公比为q ． 又由题意可得，39S =，6336927S S -=-=，所以2739q ==， 所以()789966327381a a a S S S S q ++=-=-=⨯=． 故答案为：81.15．已知三棱锥S ABC -的顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为3的正三角形，SC 为球O 的直径，且4SC =，则此三棱锥的体积为__________． 【答案】332##332 【分析】设1O 为ABC 中心, 求出11OO =即得解. 【详解】解：设1O 为ABC 中心, 由题意得1123ABCV OO S=⨯ ，由题得1323323CO =⨯⨯=， 因为2212(3)1OO =-= , 所以21333213342V =⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：33216．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()()h x f x g x =-在[],a b 上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[],a b 上是“关联函数”.若()313f x x m =-与()2122g x x x =+在[]0,3上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是____________. 【答案】103,32⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】令()()f x g x =得3211232m x x x =--，设函数()3211232h x x x x =--，则直线y m =与函数()y h x =在区间[]0,3上的图象有两个交点，利用导数分析函数()y h x =的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数m 的取值范围.【详解】令()()f x g x =得3211232m x x x =--，设函数()3211232h x x x x =--，则直线y m =与函数()y h x =在区间[]0,3上的图象有两个交点，()()()2221h x x x x x '=--=-+，令()0h x '=，可得()20,3x =∈，列表如下：x[)0,22(]2,3()h x ' -+()h x极小值103-()00h =，()332h =-，如图所示：由图可知，当10332m -<≤-时，直线y m =与函数()y h x =在区间[]0,3上的图象有两个交点，因此，实数m 的取值范围是103,32⎛⎤-- ⎥⎝⎦.故答案为：103,32⎛⎤-- ⎥⎝⎦.四、解答题17．某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y 的频数分布表.（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；（2）估计这120个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（3）以表中y 的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查.若采访的企业的增长率[0.4,0.2)y ∈--，则采访价值为1；采访的企业的增长率[0.2,0)y ∈-，则采访价值为2；采访的企业的增长率[0,0.6)y ∈，则采访价值为3.设选取的两个企业的采访价值之和为X ，求X 的分布列及数学期望.故()11631112123234561610200504005E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2A AB =•AC =6. （1）求△ABC 的面积； （2）若c =2，求sin B 的值. ，6AB AC ⋅=，10AB AC =，由三角形的面积公式，即可求解；）由（1）得bc ，再由正弦定理，即可求出sin B .【详解】(1)∵25cos45∴365AB AC AB AC ⋅==，10AB AC =， 142ABCSAB AC sinA ==. 由(1)知，bc =10，且c =2，∴b =5，∴由余弦定理得，a 2=b 2+，∴在△ABC 中，由正弦定理得：17545sinB =，解得41717sinB =. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)求证：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30︒． 【答案】(1)见解析； (2)F 为BC 的中点.【分析】（1）可证⊥AE 平面PBC ，从而得到平面AEF ⊥平面PBC .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设()2,,0(02)F a a ≤≤，求出平面AEF 的法向量和平面PDC 的法向量后结合题设中的面面角可求1a =，从而可得F 的位置. 【详解】（1）因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，故BC PA ⊥， 而BC BA ⊥，,BA PA ⊂平面PAB ，BA PA A ⋂=， 故BC ⊥平面ABP ，而AE ⊂平面ABP ，故BC AE ⊥，2PA AB ==，E 为PB 的中点，故AE PB ⊥，,BC PB ⊂平面PAB ，BCPB B =，故⊥AE 平面PBC ，因AE ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面PBC .（2）因为PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1A B C D P E ，，则(0,2,2),(2,0,0)PD DC =-=(1,0,1)AE =，(2,AF a =设平面AEF 的法向量为11(,m x y =则00m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111020x z x ay +=⎧⎨+=⎩，取即(,2,m a =-设平面PDC 的法向量为22(,,n x y =00n PD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20z =，取即(0,1,1)n =. 因为平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为23cos ,22a n m +==的中点. 20．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，S n ＝2S n ﹣1+n （n≥2） （1）求出a 1，a 3的值，并证明：数列{a n +1}为等比数列； （2）设b n ＝log 2（a 3n +1），数列{11n n b b +}的前n 项和为T n ，求证：1≤18T n ＜2．又∵112a +=，214a +=，∴21121a a +=+，∴112()1n n a n N a *++=∈+， ∴数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知12n n a +=，所以3312nn a +=，所以()23log 13n n b a n =+=，()11111133191n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪⋅++⎝⎭， 111111192231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11191n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， n N *∈,所以111121n ≤-<+,所以11189n T ≤<,即1182n T ≤<． 21．如图，(2,0)M -和(2,0)N 是平面上的两点，动点P 满足：||||6PM PN +=．(1)求点P 的轨迹方程； (2)若2||||1cos PM PN MPN⋅=-∠，求点P 的坐标．【答案】(1)22195x y += (2)335,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，335,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，335,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，335,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由已知，可根据椭圆的定义，判断点P 的轨迹为椭圆，设出椭圆方程，利用待定系数法，分别求解出,a b 即可； 由已知，由2||||1cos PM PN MPN⋅=-∠可得：||||cos ||||2PM PN MPN PM PN ⋅⋅∠=⋅-，将这个式子代入到MPN △中，利用余弦定理得到222||||||2||||cos MN PM PN PM PN MPN =+-∠中，可得：23PM PN -=，从而判断点P 的轨迹满足双曲线，求解出双曲线的方程，令椭圆和双曲线方程联立，即可求解坐标.【详解】（1）由已知，(2,0)M -和(2,0)N 是平面上的两点， 动点P 满足：||||6||4PM PN MN +=>=，22．证明不等式：(1)当[]1,0x ∈-时，求证：()221111xx e x x +≤≤--；(2)已知函数()ln f x x x =，设()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，且12x x ≠，证明：()()2112212f x f x x x f x x -+⎛⎫'< ⎪-⎝⎭．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析221(1)x x e x x -；2222(1)x e x --，[1x ∈-，)0x ，()(0)0g x g ∴≤=，∴11232)20(1)xx e x =+>-，)(0)0x h =，221(1)xex ∴-；221(1)x x e x x -；不妨设12x x <，11121()(ln f x x x xf x -+<'<-。
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析-专题03-函数及其应用(解析版)
专题3 函数及其应用1.关于函数图象的考查： （1）函数图象的辨识与变换；（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力； 2.关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；3.常见题型，除将函数与导数相结合考查外，对函数独立考查的题目，不少于两道，近几年趋向于稳定在选择题、填空题，易、中、难的题目均有可能出现.，预测2020年将保持对数形结合思想的考查，主要体现在对函数图象、函数性质及其应用的考查，客观题应特别关注分段函数相关问题，以及与数列、平面解析几何、平面向量、立体几何的结合问题.主观题依然注意与导数的结合.一、单选题1．（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ）A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】C 【解析】311(1)(1)()302f --=--=-<，301(0)0(102f =-=-<，@13211112()()()02228f =-=-<，31111(1)1()10222f =-=-=>，321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C2．（2020届山东省泰安市高三上期末）函数()3ln xf x x=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】:()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A3．（2020·河南高三月考（理））已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是（ ）A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 【答案】D 【解析】》因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，. 》4．（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞ B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-【答案】A 【解析】令()2g x x m =-+,画出()f x 与()g x 的图象,平移直线,当直线经过()1,2时只有一个交点,此时4m =,向右平移,不再符合条件,故4m < 故选：A$5．（2020届山东省烟台市高三上期末）设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】由题,因为0.5log y x =单调递减,则0.50.5log 3log 10a =<=；因为0.5xy =单调递减,则3000.50.51b <=<=；因为3xy =单调递增,则0.50.5013313c -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,所以01a b c <<<<,—故选：A6．（2020届山东省潍坊市高三上期中）函数ln ()xf x x x=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，||||()()()ln x ln x f x x x f x x x--=--=--=--，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ，"当0x >且0x →，()f x →+∞，排除C . 故选：A.7．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知3log 2a =，143b =，2ln 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】因为3log 2(0,1)a =∈，1431b =>，203c ln =<，则a ，b ，c 的大小关系：b a c >>．|故选：B.8．（2020届山东省泰安市高三上期末）若()33log 21log a b ab +=+2+a b 的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．3D ．163【答案】C 【解析】∵()3log 21a b +=+∴()33log 21log a b ab +=+()3log 3ab =， ∴23a b ab +=，且0a >，0b >，《∴123a b+=， ∴()112223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭122143b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭5233b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5233≥+⋅3=， 当且仅当b aa b =且123a b+=即1a b ==时，等号成立； 故选：C ．9．（2020届山东省日照市高三上期末联考）三个数0.87，70.8，0.8log 7的大小顺序是（ ）A ．70.80.8log 70.87<< B ．0.870.8log 770.8<<C ．70.80.80.87log 7<<D ．0.870.870.8log 7<<,【答案】A 【解析】0.871>，700.81<<，0.8log 70<，故70.80.8log 70.87<<.故选A.10．（2020届山东省济宁市高三上期末）若0.1212,ln 2,log 5a b c ===,则( ) A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D 【解析】,0.10221a =>=；0ln1ln 2ln 1b e =<=<=；221log log 105c =<=，即a b c >> 故选：D11．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由题意得，ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，故是必要不充分条件，故选B ．）12．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若a ，b ，c ，满足2log 3a =，25b =，3log 2c =，则（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】2221log log 3log 242=<<=，故12a <<；又22542b =>=，故2b >； 33log 2log 31c =<=，c a b ∴<<，）故选：B.13．（2020届山东省九校高三上学期联考）若函数()y f x =的大致图像如图所示，则()f x 的解析式可以为（ ）A ．()22x xxf x -=+B ．()22x xxf x -=-C ．()22x xf x x-+=D ．()22x xf x x--=【答案】C 【解析】对四个选项解析式分析发现B ，D 两个均为偶函数，图象关于y 轴对称，与题不符，故排除；(极限思想分析，0,222,022xxx x xx +--→+→→+，A 错误；220,222,x xx xx x-+-+→+→→+∞，C 符合题意.故选：C14．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x -- D ．2x【答案】C 【解析】`0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.15．（2020届山东省德州市高三上期末）已知1232a b -=⋅，()212log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．a c b >>【答案】A 【解析】…1232a b -=⋅，1232a b -+∴=>，11a b ∴-+>，则a b >.()2223122x x x ++=++≥，()21122log 23log 21c b x x ∴-=++≤=-，b c ∴>.因此，a b c >>. 故选：A.16．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15【答案】A 【解析】？因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-因为奇函数()f x 当0x >时,()21xf x =-则()()()4442115f f -=-=--=-故选:A17．（2020届山东省临沂市高三上期末）函数()22xf x =-（0x <）的值域是（ ）A ．1,2B ．(),2-∞C ．()0,2D ．1,【答案】A$【解析】0x <，021x ∴<<， 120x ∴-<-<1222x ∴<-<. 即()()2221,xf x =-∈故选：A18．（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）)A ．22a b >B ．1b a<C ．()10g a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】a 、b 是任意实数，且a b >，如果0a =，2b =-，显然A 不正确；如果0a =，2b =-，显然B 无意义，不正确； 如果0a =，12b =-，显然C ，102lg <，不正确；因为指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，且a b >，1122ab⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足条件，正确．故选：D ．~19．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝解得0x <，所以由“21x -<<-”能推出“0x <”，反之，不能推出； 因此“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的必要不充分条件. 故选：B.~20．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值是( ) A ．1B ．92C ．9D ．18【答案】A 【解析】奇函数()f x 在R 上单调，()()490f a f b +-=，则()()()499f a f b f b =--=- 故49a b =-即49a b +=()()11111141452451999b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b a a b =即3,32a b ==时等号成立 ~故选：A21．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞【答案】B 【解析】1x ≥时，()ln 1f x x ==，x e =，所以函数()1y f x =-在1x ≥时有一个零点，从而在1x <时无零点，即()1f x =无解．而当1x <时，21x ->，()(2)f x f x k =-+ln(2)x k =-+，它是减函数，值域为(,)k +∞， 要使()1f x =无解．则1k．|故选：B.22．（2020届山东省潍坊市高三上期末）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，$()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D.满足条件的只有A. 故选：A23．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log bb =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】C 【解析】/在同一直角坐标系内，作出函数13x y⎛⎫= ⎪⎝⎭，3logy x=，3xy=，13logy x=的图像如下：因为31log3aa⎛⎫=⎪⎝⎭，133logb b=，131log3cc⎛⎫=⎪⎝⎭，所以a是13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与3logy x=交点的横坐标；b是3xy=与13logy x=交点的横坐标；c是13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与13logy x=交点的横坐标；由图像可得：b c a<<.故选：C.24．（2020届山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（）A．()1,0-B．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D．()1,2(【答案】C【解析】311(1)(1)()302f--=--=-<，301(0)0()102f=-=-<，13211112()()()022282f=-=-<，31111(1)1()10222f=-=-=>，321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C25．（2020届山东省德州市高三上期末）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（ ）A ．()()201920200f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数{C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点D ．函数()f x 的值域为[]1,1-【答案】A 【解析】函数()y f x =是R 上的奇函数，()00f ∴=，由题意可得()()100f f =-=， 当0x ≥时，()()()21f x f x f x +=-+=，()()()()()()2019202020192020100f f f f f f ∴+-=-=-=，A 选项正确；当0x ≥时，()()1f x f x +=-，则2616log 555f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2449log 555f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4462555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-≠-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()y f x =不是R 上周期为2的函数，B 选项错误； 若x 为奇数时，()()10f x f ==，%若x 为偶数，则()()00f x f ==，即当x ∈Z 时，()0f x =，当0x ≥时，()()2f x f x +=，若n N ∈，且当()2,21x n n ∈+时，()20,1x n -∈，()()()20,1f x f x n =-∈，当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，()()()11,0f x f x ∴=--∈-，当()21,22x n n ∈++时，()21,2x n -∈，则()()()21,0f x f x n =-∈-， 所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的值域为()1,1-，由奇函数的性质可知，函数()y f x =在(),0-∞上的值域为()1,1-， 由此可知，函数()y f x =在R 上的值域为()1,1-，D 选项错误；|如下图所示：由图象可知，当11x -<<时，函数y x =与函数()y f x =的图象只有一个交点， 当1x ≤-或1x ≥时，()()1,1f x ∈-，此时，函数y x =与函数()y f x =没有交点， 则函数y x =与函数()y f x =有且只有一个交点，C 选项错误. 故选：A.26．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解12341234,,,,x x x x x x x x <<<且，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（ ） A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1- D ．()1,1-'【答案】A 【解析】先作()f x 图象，由图象可得12343121,1.2x x x x x ⎡⎫+=-=∈⎪⎢⎣⎭，，因此()31232343112x x x x x x x ⋅++=-+⋅为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减函数，从而()(] 31223411,1x x xx x⋅++∈-⋅，选A.二、多选题27．（2020届山东省临沂市高三上期末）若104a=，1025b=，则（）…A．2a b+=B．1b a-=C．281g2ab>D．lg6b a->【答案】ACD【解析】由104a=，1025b=，得lg4a=，lg25b=，则lg4lg25lg1002a b∴+=+==，25lg25lg4lg4b a∴-=-=，25lg101lg lg64=>>lg6b a∴->)24lg2lg54lg2lg48lg2ab∴=>=，故正确的有：ACD故选：ACD.28．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在R上的函数()y f x=满足条件()()2f x f x+=-，且函数()1y f x=-为奇函数，则（）A．函数()y f x=是周期函数B．函数()y f x=的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数【答案】ABC 【解析】、因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T=，故A 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-图像关于原点成中心对称，所以B 正确； 又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确. 故选：ABC.29．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数》C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61iii x f x =∑的取值范围是()0,6【答案】BCD 【解析】函数()f x 的图象如图所示：对A ，(3)963f -=-+=-，(2019)(1)(1)1f f f ==-=，所以(3)(2019)2f f -+=-，故A 错误； 对B ，由图象可知()f x 在区间[]4,5上是增函数，故B 正确；对C ，由图象可知11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，直线() 1f x k x =+与函数图象恰有3个交点，故C 正确； ]对D ，由图象可得，当函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则01b <<，所以当0b →时，()610i i i x f x =→∑；当1b →时，()616i i i x f x =→∑，所以()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6，故D 正确. 故选：BCD.30．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设24,u x x =++24v x x =+-，则（ ）A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h?【答案】AC 【解析】A.∵,u x =v x =,22u v u vx +-==， 由题意4uv =，4v u=在(0,)+∞上是减函数，A 正确．B.125x t -=+126510u v u v+-=+-，整理得15436t u v =++，B 错误；C.由A 、B 得1615363644t u u =++≥=，16u u =即4u =时取等号，4x =，解得31.52x ==，C 正确；D.4x =时，85t =+，7305t -===>，3t >，D 错． :故选：AC.31．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2xy = B ．23y x-=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD 【解析】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xx y -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意. 对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. {对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD.32．（2020届山东省潍坊市高三上期末）把方程1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（ ）A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()()43g x f x x =+不存在零点 【答案】ACD;【解析】当0,0x y >>，方程是221169x y +=-不表示任何曲线，故A 正确；当0,0x y ≥≤ ，方程是221169x y -=-，即221916y x -= ，当0,0x y ≤≥ ，方程是221169x y -+=- ，即221169x y -=，当0,0x y ≤≤ ，方程是221169x y --=-，即221169x y+= ，如图画出图象由图判断函数在R 上单调递减，故B 不正确；、由图判断()y f x =图象上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y ≤≤的图象上，即满足221169x y += ，设图象上的点(),P x y2222279191616x PO x y x x ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭当0x =时取得最小值3，故C 正确； 当()430f x x += ，即()34f x x =-， 函数()()43g x f x x =+的零点，就是函数()y f x = 和34y x =-的交点， 而34y x =-是曲线221916y x -=，0,0x y ≥≤和221169x y -=0,0x y ≤≥的渐近线，所以没有交点，由图象可知34y x =-和221169x y +=，0,0x y ≤≤没有交点，所以函数()()43g x f x x =+不存在零点，故D 正确.<故选：ACD33．（2020届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是( )A ．函数()y f x =是奇函数B ．对任意的x ∈R ，都有()()44f x f x +=-C ．函数()y f x =的值域为0,22⎡⎣D ．函数()y f x =在区间[]6,8上单调递增【答案】BCD 【解析】由题意，当42x -≤<-时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)A -为圆心，以2为半径的14圆； ,当22x -≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(0,0)D 为圆心，以214圆；当24x ≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)C 为圆心，以2为半径的14圆； 当46x ≤<，顶点(),B x y 的轨迹是以点(4,0)A 为圆心，以2为半径的14圆，与42x -≤<-的形状相同，因此函数()y f x =在[]4,4-恰好为一个周期的图像； 所以函数()y f x =的周期是8； 其图像如下：A 选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A 错；B 选项，因为函数的周期为8，所以(8)()f x f x +=，因此(4)(4)f x f x +=-；故B 正确；·C 选项，由图像可得，该函数的值域为0,22⎡⎣；故C 正确；D 选项，因为该函数是以8为周期的函数，因此函数()y f x =在区间[]6,8的图像与在区间[]2,0-图像形状相同，因此，单调递增；故D 正确； 故选：BCD.34．（2020届山东师范大学附中高三月考）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．3y x = B ．2yxC ．xy e =D ．2lg y x =【答案】CD 【解析】本题主要考查函数的单调性和函数的奇偶性.|A 项，对于函数3y x =，因为()33()()f x x x f x -=-=-≠，所以函数3y x =不是偶函数.故A 项不符合题意.B 项，对于函数2yx ，因为当1x =时，1y =，当2x =，14y =，所以函数2y x 在区间(0,)+∞上不是单调递增的.故B 项不符合题意.C 项，对于函数x y e =，因为定义域为R ，()()x x g x g x e e --===，所以函数xy e =为偶函数，因为函数xy e =，当0x >时，xx y e e ==，而1e >，函数x y e =在R 上单调递增，所以函数xy e =在区间(0,)+∞上为增函数.故C 项符合题意.D 项，对于函数2lg y x =，因为函数()22lg )(l ()g h x x x h x -=-==，所以函数2lg y x =是偶函数.而2yx 在(0,)+∞上单调递增，lg y x =在(0,)+∞上单调递增，所以函数2lg y x =在(0,)+∞上单调递增.故D 项符合题意. 故选：CD.35．（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ）A ．12B ．2C ．2e D【答案】BCD—【解析】令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-，/∴得00()(1)T x T x -，001x x -，即012x ，()x g x e a =-；1()2x， 0x 为函数()y g x =的一个零点；当12x时，()0x g x e '=-， ∴函数()g x 在12x 时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g ee ⎛-=> ⎝，∴要使()g x 在12x时有一个零点，.只需使102g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 解得e a， a ∴的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭， 故选：BCD ． 三、填空题36．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）若()3,0{1,0x x f x x x≤=>,则()()2f f -=__________． 【答案】9 【解析】《因为21(2)309f --==>，所以1((2))()99f f f -==，应填答案9. 37．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，10,3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则不等式18log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为__________．【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是减函数，1()03f -=，11()()033f f ∴=-=，则不等式18(log )0f x >等价为不等式181(|log |)()3f x f >，即181|log |3x <⇒1811log 33x -<<⇒122x <<，{即不等式的解集为1(,2)2， 故答案为：1(,2)2.38．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]33=，[]1.51=，[]1.72-=-.令()2x f x x =⋅，[]()()g x f x x =-，则下列说法正确的是__________.①()g x 是偶函数 ②()g x 是周期函数③方程()0g x -=有4个根④()g x 的值域为[]0,2 【答案】②③|【解析】1111()([])()33333g f f =-==，1112()([])()33333g f f -=---== 显然11()()33g g -≠，所以()g x 不是偶函数，所以①错误；[][](1)(11)()()g x f x x f x x g x +=+-+=-=，所以()g x 是周期为1的周期函数，所以②正确； 作出函数y x =的图象和()g x 的图象：根据已推导()g x 是周期为1的周期函数，只需作出()g x 在[0,1)x ∈的图象即可，当[0,1)x ∈时[]()()()2x g x f x x f x x =-==⋅，根据周期性即可得到其余区间函数图象，如图所示：》可得()g x 值域为[0,2)，函数y x =()g x 的图象一共4个交点，即方程()0g x x =有4个根， 所以③正确，④错误； 故答案为：②③39．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 【答案】-2 【解析】因为()f x 图像关于1x =对称，则()(2)f x f x =-，()(2)(31)(31)(4)(8)f x f x f x f x f x f x =-=--=-++=-+=+，）故()f x 是以8为周期的周期函数，82511113851443131222222f f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯++=+=++=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23log (21)22=-⨯+=-故答案为：2-.40．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．【答案】(,1)-∞- 【解析】根据已知条件：当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，得函数()f x 是定义在R 上的减函数，…又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2)(2)f f -=-，故(31)(2)0f x f ++>等价于(31)(2)(2)f x f f +>-=-，所以312x +<-，即1x <-. 故答案为：(),1-∞-.41．（2020届山东省济宁市高三上期末）2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈） 【答案】124011 【解析】当5730t =时，100122N N N -=⋅=∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令035N N =，则5730325t-= 2223log log 3log 50.757305t ∴-==-≈- 。
山东省潍坊市(安丘、诸城、高密)三县市2022-2023学年高三10月联考数学试题(解析版)
2023届山东省潍坊市（安丘、诸城、高密）三县市高三10月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,1A =-，11,Z 2B x x x ⎧⎫=+≤∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A ．{}1AB ⋂= B ．{}1,0,1A B =-UC ．(){}R 1A B ⋂=-ðD ．(){}R 1,0,1A B ⋃=-ð【答案】B【分析】计算绝对值不等式得到{}1,0,1B =-，从而进行交集，并集，补集相关计算. 【详解】由112x +≤得：1112x -≤+≤，所以3122x -≤≤， 又因为Z x ∈，所以{}1,0B =-， 故{}1A B ⋂=-，A 错误； {}1,0,1A B =-U ，B 正确；(){}R 1A B ⋂=ð，C 错误；(){}R1A B x x ⋃=≠ð，D 错误.故选：B2．已知命题p ：有的长方形是正方形，则（ ） A ．p ⌝：有的长方形不是正方形 B ．p ⌝：所有长方形都不是正方形 C ．p ⌝：所有的长方形都是正方形 D ．p ⌝：不是长方形的图形都不是正方形【答案】B【分析】根据特称命题的否定，可得答案.【详解】由题意，p ：存在一个长方形，该长方形是正方形，p ⌝：所有长方形都不是正方形. 故选：B.3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足m n m n S S S ++=，若12a =，则20a =（ ） A ．2 B ．4C ．20D ．40【答案】A【分析】由m n m n S S S ++=可得2020192111a S S S S S a =-=-== 【详解】()20201918218121112a S S S S S S S S S a =-=+-+=-===. 故选：A4．“关于x 的方程()212xxa +=没有实数解”的一个必要不充分条件是（ ） A ．12a ≤B ．1a >C ．12a ≤或1a ≥ D ．12a <或1a ≥ 【答案】C 【分析】先得到1111221x ≤-<+，从而得到12a <或1a ≥，进而判断出四个选项中，符合要求的选项.【详解】()212xxa +=，因为210x+>，所以2112121xxxa ==-++， 因为0221x ≥=，所以212x +≥，110221x<≤+，1111221x ≤-<+， 要想()212xxa +=没有实数解，则12a <或1a ≥， 由于12a <或1a ≥⇒12a ≤，故A 不成立；由于12a <或1a ≥⇒1a >，故B 不成立； 由于12a <或1a ≥⇒12a ≤或1a ≥，且12a ≤或1a ≥⇒12a <或1a ≥，C 正确；D 选项为充要条件，不合要求. 故选：C5．偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学毕业生张华向银行贷款的本金为72万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，30年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（ ） A ．2288 B ．48728n -C ．48808n -D ．48888n -【答案】D【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n 个月已还多少本金，由此可计算出n 个月的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元， 设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则()2000720000120000.4%48888n a n n ⎡⎤=+--⨯⨯=-⎣⎦， 故选：D6．已知函数()()()ln 10f x x x =+≥，将函数()f x 的图象绕原点逆时针旋转(]()0,ααθ∈角后得到曲线C ，若曲线C 仍是某个函数的图象，则θ的最大值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B【分析】利用导数求出函数在原点的切线的斜率，即可求出其倾斜角，再结合函数图象及函数的定义判断即可.【详解】解：因为()()()ln 10f x x x =+≥，所以()11f x x '=+，则()01f '=． 即函数()()ln 1f x x =+在原点的切线OM 的斜率1k =，所以4MOx π∠=．由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角θ大于2MOx π-∠时，旋转所得的图象与y 轴就会存在两个交点， 此时曲线C 不是函数的图象，故θ的最大值是24MOx ππ-∠=．故选：B ．7．足球运动是目前全球体育界最具影响力的项目之一，深受青少年喜爱．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（ ） A ．127B ．19C ．827D ．1627【答案】D【分析】计算出每一种情况后，再求和即可.【详解】由题意，根据第一次传给乙第二次传给甲或丙或丁第三次传给丙丁或甲丁或甲丙，第一次传给丙或丁第二次传给乙第三次传给甲或丙或丁，第一次传给丙或丁第二次传给甲丁或甲丙第三次传给乙分别求出概率，再求和可得答案.122122116=?1?+?×1+?×=333333327P . 故选：D8．已知a ，b ，()e,c ∈+∞，c a a c >，ln ln c b b c <，则（ ） A ．e ln e ln e ln a c b c a b b a c +++>> B ．e ln e ln e ln a b a c b c c b a +++>> C ．e ln e ln e ln a c a b b c b c a +++>> D ．e ln e ln e ln b c a b a c a c b +++>>【答案】D【分析】由题意变形得ln ln ln a c ba c b>>，构造函数()ln x f x x =证得a c b <<，观察选项，通过变形可知比较的是ln ln ln ,,e e e a b c a b c的大小，故构造函数()ln xx g x =e 证得其单调递减，由此得到所比大小排序.【详解】因为a ，b ，()e,c ∈+∞，所以由c a a c >两边取自然对数得ln ln c a a c >，即ln ln c a a c >，故ln ln a ca c>， 再由ln ln c b b c <得ln ln b c b c <，故ln ln ln a c ba c b>>， 令()()ln e x f x x x=>，则()21ln 0xf x x '-=<，故()f x 在()e,+∞上单调递减，又由上式可知()()()f a f c f b >>，故a c b <<， 由四个选项的不等式同时除以e a b c ++可知，比较的是ln ln ln ,,e e e a b ca b c的大小， 故令()()ln e ex x g x x =>，则()211e e ln ln 1ln e e e x x x x x x xx x x x g x x --'-===， 再令()()1ln e h x x x x =->，则()()()ln 1ln e 120h x x =-+<-+=-<'， 故()h x 在()e,+∞上单调递减，所以()()e 1eln e 1e 0h x h <=-=-<，故()0g x '<， 所以()g x 在()e,+∞上单调递减，又因为a c b <<，所以()()()g a g c g b >>，即ln ln ln e e ea cb ac b>>， 上述不等式两边同时乘以e a b c ++得，e ln e ln e ln b c a b a c a c b +++>>. 故选：D.二、多选题9．某产品的质量指标值服从正态分布()250,σ，则下列结论正确的是（ ）A ．σ越大，则产品的质量指标值落在()49.9,50.1内的概率越大B ．该产品的质量指标值大于50的概率为0.5C ．该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等D ．该产品的质量指标值落在()49.9,50.2内的概率与落在()50,50.3内的概率相等 【答案】BC【分析】对于A ，根据标准差的性质分析判断，对于BCD ，根据正态分布的性质分析判断即可.【详解】对于A ，σ越大，则数据越分散，所以产品的质量指标值落在()49.9,50.1内的概率越小，所以A 错误，对于B ，因为产品的质量指标值服从正态分布()250,σ，所以正态分布的图象关于直线50x =对称，所以该产品的质量指标值大于50的概率为0.5，所以B 正确，对于C ，由选项B 可知正态分布的图象关于直线50x =对称，所以该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等，所以C 正确，对于D ，由选项B 可知正态分布的图象关于直线50x =对称，所以由正态分布的图象可知该产品的质量指标值落在()49.9,50.2内的概率大于落在()50,50.3内的概率，所以D 错误， 故选：BC10．已知0x >，0y >，且21x y +=，下列结论中正确的是（ ）A ．xy 的最小值是18B ．24x y +的最小值是C ．12x y+的最小值是9D ．22x y +的最小值是25【答案】BC【分析】根据基本不等式即可逐一求解.【详解】由>0,>0x y ，21x y +=得1+28x y xy ≥≤，当且仅当122x y ==时等号成立，故A 错误，由于2>0,4>0x y ，所以2+4x y ≥当且仅当122x y ==时等号成立，故B 正确，>0,>0x y ，()1222++2=5++y x x y x y x y ≥⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时等号成立，故C 正确，()222222211+=12+=54+1=5+555x y y y y y y ---≥⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 错误，故选：BC 11．已知194x x y y+=，则关于函数()y f x =说法正确的是（ ） A ．函数()f x 在R 上为减函数 B ．函数()f x 的图象的对称轴为y x = C ．0x ∃<，使得()0f x < D ．()23f x x >-【答案】AD【分析】利用不同象限表示不同的圆锥曲线图象可求解.【详解】当0,0x y ≥≥时，原等式化为22194x y +=，当0,0x y ≥<时，原等式化为22194x y -=，当0,0x y <≥时，原等式化为22149y x -=， 当0,0x y <<时，原等式化为22194x y --=，此方程无解，结合椭圆、双曲线的图象作出图象如下：由图象可知，函数()f x 在R 上为减函数，所以A 正确； 第一象限的图象为椭圆的部分，不关于y x =，所以B 错误； 函数图象不出现在第三象限，所以不存在0x <，使得()0f x <， 所以C 错误；因为第四象限部分双曲线22194x y -=的渐近线与第二象限的双曲线22149y x -=部分的渐近线都为23y x =-，所以结合函数图象()23f x x >-恒成立，所以D 正确.故选:AD.12．将各项均为正数的数列{}n c 中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数1c ，2c ，4c ，7c ，…构成数列{}n a ，各行的最后一个数1c ，3c ，6c ，10c ，…构成数列{}n b ，第n 行所有数的和为()1,2,3,4,n S n =L ．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为q 的等比数列，且11c =，18119c =，39179c =．则下列结论正确的是（ ）A ．21n a n =-B ．202320231012b c ⨯=C ．13nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()()1213123n n n n S ---=⨯【答案】ABD【分析】由条件结合确定{}n b 与{}n c 的关系，根据等差数列通项公式和等比数列通项公式求出数列{}n a 的公差d ，由此可得{}n a 的通项公式，再求nnb a ，并根据等比数列求和公式求n S ，由此判断各选项.【详解】由已知第n 行有n 个数，各行的最后一个数1c ，3c ，6c ，10c ，…构成数列{}n b ，所以11b c =，2123b c c +==，31236b c c ++==，⋅⋅⋅，由此可得()12312n n n n b c c +++鬃?+==，所以()20231232023202310122023202312b c c c +++鬃??+===，B 对，又11a c =，，2112a c c +==，31216a c c ++==，⋅⋅⋅，由此可得()()12311112n n n n a c c +++鬃?-+-+==，因为数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，所以1n a dn d =+-，所以61651a c d ==+，93781a c d ==+，由因为从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为q 的等比数列，所以()21851c d q =+，()23981c d q =+，由已知可得()211519d q +=，()217819d q +=，所以2d =，13q =，所以21n a n =-，A 正确，由已知1n n n b a q -=，所以113n n n b a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 错误，所以()()()()2111121212121333n n S n n n n -骣骣鼢珑=-+-+-+鬃?-鼢珑鼢珑桫桫()()()111213132112313nn n n n S n -骣÷ç-÷ç÷--ç桫=-=´-，D 对，故选：ABD.三、填空题13．已知函数()()12,0,1,0,x x f x f x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()2log 3f =______． 【答案】321.5 【分析】由21log 32<<结合条件0x >时，()(1)f x f x =-化简可得()()22log 3log 32f f =-，再由0x ≤时，1()2x f x +=，结合对数运算性质求其值. 【详解】因为函数2log y x =在()0+∞，上单调递增，所以222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，因为0x >时，()(1)f x f x =-，所以()()()222log 3log 31log 32f f f =-=-，因为0x ≤时，1()2x f x +=，所以()222223log log 321log 31log 3log 2223log 322222f -+--=====， 故答案为：32. 14．在101x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，7xy 的系数为______．【答案】360-【分析】101x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开通项为()101101C kkk k T x y x -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得()3778101C T x y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭包含7xy ，再求出31x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开项x 的系数即可【详解】由二项式展开项通项公式可得()101101C kkkk T x y x -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，故只有()3778101C T x y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭包含7xy ，又31x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开项通项公式为3321331C C mm m m mm S x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，故当1m =时，7xy 的系数为()771103-1C C 360=-.故答案为：360-15．已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=，则数列{}n a 的前2n 项和2n S =______．【答案】()321n-【分析】当2n ≥时，可知112n n n a a --=，进而可知112n nn n a a a a +-=，即112n n aa +-＝，从而可知{}n a 的奇数项和偶数项都是等比数列，进而分奇偶两部分，可求出2n S .【详解】由11a =，12nn n a a +=，得22a =.当2n ≥时，112n n n a a --=，所以111222nn n n n n a a a a --+==，即112n n a a +-=， 所以{}n a 的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列.则21(12)2(12)3233(21)1212n n n n n S ⨯-⨯-=+=⨯-=---. 故答案为：()321n-.16．进入秋冬季以来某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为10%，且每人是否感染这种病毒相互独立．为确保校园安全，某校组织该校的3000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测3000次，但实际上在检测时都是随机地按()110k k <≤人一组分组，然后将各组k 个人的检测样本混合再检测．如果混合样本呈阴性，说明这k 个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次．当检测次数最少时k 的值为______． 参考数据：20.90.810=，30.90.729=，40.90.656≈，50.90.590≈，60.90.531≈，70.90.478≈，80.90.430≈，90.90.387≈，100.90.349≈．【答案】4【分析】设每个人检测次数为X ，若混合为阴性，则1X k=；若混合为阳性，则11X k =+.依次求出1P X k ⎛⎫= ⎪⎝⎭、11P X k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭、()E X ，则当()E X 最小时，检测次数最少，最后研究()E X 的最小值即可【详解】设每个人检测次数为X ，若混合为阴性，则1X k=；若混合为阳性，则11X k =+.则10.9k P X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1110.9kP X k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()111111110.9k E X P X P X k k k k k⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=++⋅=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故当()E X 最小时，检测次数最少.当2k =时，()0.69E X =；当3k =时，()0.604E X =；当4k =时，()0.594E X =；当5k =时，()0.61E X =；当6k =时，()0.636E X =；当7k =时，()0.665E X =；当8k =时，()0.695E X =；当9k =时，()0.724E X =；当10k =时，()0.751E X =.故当4k =时，()0.594E X =最小. 故答案为：4四、解答题17．已知数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()112n n n a na --=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()9n nn n c a -=，数列{}n c 中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由．【答案】(1)2nn a n =⋅(2)存在，最小项为14c =-，最大项为101111024c c ==【分析】(1)由递推式证明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，根据等比数列通项公式求其通项，再求数列{}n a 的通项公式；(2)研究数列的单调性，由此确定其最值. 【详解】(1)因为当2n ≥时，有()112n n n a na --=，所以121n n a an n -=-， 令nn a b n =，则12n n b b -=，2n ≥，又1121a b ==，所以12n n b b -=，2n ≥，所以数列{}n b 为等比数列，公比为2，首项为2，所以2n n b =，所以2nn a n =⋅，(2)由（1）知()992n n n n n n c a --==，得1182n n n c ++-=，1111898218102222n n n n n n n n n n nc c ++++----+--=-==， 当10n =时，10n n c c +-=，1n n c c +=，即1110c c =；当10n <时，10n n c c +->，1n n c c +>，即109821c c c c c >>>>>L ； 当10n >时，10n n c c +-<，1n n c c +<，即111213c c c >>>L ， 所以数列{}n c 是先增后减，最大项为1011101121024c c ===， 因为当19n ≤≤时，0n c ≤且数列{}n c 是单调递增；当10n ≥时0n a >， 所以数列{}n c 的最小项为1842c -==-． 18．从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记i A 表示事件“第i 次摸到红球”，1,2,,7i =．(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；(2)记()123P A A A 表示1A ，2A ，3A 同时发生的概率，()312P A A A 表示已知1A 与2A 都发生时3A 发生的概率．①证明：()()()()123121312P A A A P A P A A P A A A =； ②求()3P A ． 【答案】(1)12 (2)①证明见解析，②37【分析】（1）所求概率为21(|)P A A ，由条件概率的公式计算.(2) ①由条件概率的公式计算推导可证, ②由①的结论,分类计算所求概率.【详解】(1)由条件概率公式可得1221143()176(|)4()27p A A P A A p A ⨯⨯===； 所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率为12； (2)①由条件概率乘法公式12331212()(|),()P A A A P A A A P A A =可得12312312()()(|),P A A A P A A P A A A =，由12211()(|)()P A A P A A P A =,可得12121()()(|)P A A P A P A A =,所以123121312()()(|)(|);P A A A P A P A A P A A A =②由①可得()()()()()3123123123123P A P A A A P A A A P A A A P A A A =+++ =121312121312()(|)(|)()(|)(|)P A P A A P A A A P A P A A P A A A ++121312121212()(|)(|)()(|)(|)P A P A A P A A A P A P A A P A A A +32143234243337657657657657=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以()337P A =．19．已知函数()321f x x ax bx =--+，其中0a >．(1)若函数()f x 的单调减区间为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数a ，b 的值；(2)若2b a =，已知曲线()y f x =在点()(),a f a --处的切线与y 轴的交点为()0,m ，求9m a +的最小值．【答案】(1)1a =，1b = (2)13【分析】(1)由已知()0f x '<的解集为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据二次方程和二次不等式的解的关系求a ，b 的值；(2)根据导数的几何意义确定,a m 的关系，由此可得39931m a a a +=++，利用导数求其最小值．【详解】(1)因为()321f x x ax bx =--+，所以()232f x x ax b '=--，已知函数()f x 的单调减区间为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()0f x '<的解集为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()10,310,f f ''⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩故11320,93320,a b a b ⎧⨯+⨯-=⎪⎨⎪--=⎩解得1a =，1b =，当1a =，1b =时，()()()2321311x x x x f x --=+'-=，当13x <-时，()0f x '>，函数()f x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增，当113-<<x 时，()0f x '<，函数()f x 在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1+∞，单调递增， 满足已知条件，故1a =，1b =；(2)因为2b a =，所以()2232f x x ax a '=--，可得()()()222324f a a a a a a '-=--⨯--=，即24k a =，又由()()()()322311f a a a a a a a -=--⋅--⨯-+=-+，得切线方程为()()3214y a a x a --+=+，即23431y a x a =++，令0x =，可得331y a =+，即331m a =+，则39931m a a a+=++， 令()3931g a a a =++，0a >，可得()42229999a g a a a a -'=-=，0a >，令()0g x '>，即4990a ->，解得1a >，令()0g x '<，即4990a -<，解得01a <<， 所以函数()g a 在区间()0,1单调递减，在区间()1,+∞单调递增， 所以当1a =时，函数()g a 取得最小值，最小值为()131913g =++=．20．一工厂为了提高生产效率，对某型号生产设备进行了技术改造，为了对比改造前后的效果，采集了20台该种型号的设备技术改造前后连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下表：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为技术改造前与技术改造后的连续正常运行时间有差异？(2)若某台设备出现故障，则立即停工并申报维修，根据长期生产经验，每台设备停工n天的总损失额记为y （单位：元）满足()2100200015001,2,3,4y n n n =++=，现有两种维修方案（一天完成维修）可供选择：方案一：加急维修单，维修人员会在设备出现故障的当天上门维修，维修费用为4000元；方案二：常规维修单，维修人员会在设备出现故障当天或者之后3天中的任意一天上门维修，维修费用为1000元．现统计该工厂最近100份常规维修单，获得每台设备在第()1,2,3,4n n =天得到维修的数据如下：将频率视为概率，若某台设备出现故障，以该设备维修所需费用与停工总损失额的和的期望值为决策依据，应选择哪种维修方案？()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)表格见解析，有99%的把握 (2)方案一【分析】（1）根据已知表中的数据填写22⨯列联表，然后利用()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++求出2K ，再利用临界值表判断即可，（2）根据题意分别计算出1,2,3,4n =时，设备的总损失额，设选择方案一、方案二的设备维修所需费用与设备停工总损失额分别为X 、Y 元，则()36004000E X =+，Y 的可能取值有：4600，6900，9400，12100，求出相应的概率，可得随机变量Y 的分布列，求出()E Y ，然后比较可得结论. 【详解】(1)22⨯列联表为：易知()224055151510 6.63520202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为技术改造前与技术改造后的连续正常运行时间有差异． (2)当1n =时，设备的总损失额为3600y =元； 当2n =时，设备的总损失额为5900y =元； 当3n =时，设备的总损失额为8400y =元； 当4n =时，设备的总损失额为11100y =元；设选择方案一、方案二的设备维修所需费用与设备停工总损失额分别为X 、Y 元， 选择方案一，则()360040007600E X =+=元，选择方案二，则Y 的可能取值有：4600，6900，9400，12100， 所以，()1460010P Y ==，()3690010P Y ==，()4940010P Y ==，()21210010P Y ==，所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：所以，()134246006900940012100871010101010E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=元， 所以，()()E X E Y <，故选方案一.21．已知数列{}n a ，{}n b 的各项都是正数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足()22210n n S n S n +--=；数列{}n b 满足11b a =，331b a =-，()221*n n n b b b n N ++=∈(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记()22167,log ,nn n n n n b n c a a b n ++⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前2n 项和为2n T ，若不等式()24141nnn T n λ-+<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围． 【答案】(1)21n a n =-，12n n b -=(2)15λ-<<【分析】（1）先根据条件算出n S ，再算出n a 和n b ；（2）对于{}n c 采用分组求和的方法，推出2n T 的解析式，再根据条件，计算不等式()24141nnn T n λ-+<+ ，确定λ 的范围. 【详解】(1)依题意，根据()22210n n S n S n +--=，得()()210n nS n S-+=，又0n a >，0n S >，得2n S n =；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-；当1n =时，111a S ==适合上式， 所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-，所以111b a ==，3314b a =-=，又因为()221*n n n b b b n N ++=∈，所以数列{}n b 为等比数列，所以22314b b q q ===，解得2q =或2q =-（舍去），所以12n n b -=；(2)由题意可知，2n S n =，12n n b +=；由已知()22167,,log ,,nn n n n n b n c a a b n ++⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数可得()()()1672,2123,n n n n c n n n n -⎧-⎪=-+⎨⎪⎩为奇数为偶数 ， 设{}n c 的前2n 项和中，奇数项的和为n P ，偶数项的和为n Q ， 所以13521n n P c c c c -=++++L ，2462n n Q c c c c =++++L ，当n 为奇数时，()()()1116722221232321n n n n n c n n n n -+--==--++-，所以204264222135212222222251951394143n n n n P c c c c n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L0424141141n nn n =-=-++， 当n 为偶数时，n c n =，所以()()246222246212n n n n Q c c c c n nn +=++++=++++==+L L ，由()24141n nn T n λ-+<+，得()()441114141n n nn n n n λ-+<-++++，即()()111n n n λ-<-++， 当n 为偶数时，21n n λ<+-对一切偶数成立，当2n = 时，215n n +-= 为最小值，所以5λ<，当n 为奇数时，21n n λ<+--对一切奇数成立，当1n = 时()211n n -+-=- 为最大值，所以此时1λ>-，故对一切*n ∈N 恒成立，则15λ-<<．综上，21n a n =-，12n n b -=，λ 的取值范围是15λ-<<.22．已知函数()()3xf x x a e =--，()g x ax =．(1)设()f x '，()g x '分别为()f x ，()g x 的导函数，试讨论()()0f x g x ''-=根的个数； (2)若4a =-，当2x ≥-时，()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立，求k 的取值范围． 【答案】(1)当0a ≥时，()h x 有一个零点；当10a -<<时，()h x 有两个零点； 当1a =-时，()h x 有一个零点；当1a <-时，()h x 无零点；(2)21,e ⎡⎤⎣⎦【分析】(1)方程的根的个数，转化为函数的零点个数，利用导数讨论单调性来解决. (2) 恒成立问题转化为函数最值问题，讨论函数单调性，得到最值.【详解】(1)由题意可得()()2e xf x x a '=--，()g x a ¢=，令()()()()2e x h x f x g x x a a ''=-=---，()()1e xh x x a '=--，()10h a '+=，当1x a <+时，()0h x '<，()h x 为减函数；当1x a >+时，()0h x '>，()h x 为增函数； 所以()h x 的最小值为()11ea h a a ++=--，令()()11e a p a h a a +=+=--，显然()p a 为减函数，且()10p -=，所以当1a <-，()10h a +>，所以()0h x >，所以()h x 无零点； 当1a =-，()10h a +=，所以()h x 有一个零点；当0a >，()10h a +<，因为当1x a <+时，()h x a <-，故()h x 无零点，当1x a >+，()h x 有一个零点；当0a =时，()()2e xh x x =-，显然有一个零点；当10a -<<时，当1x a <+时，()h x 有一个零点，当1x a >+，()h x 有一个零点；故有两个零点．综上所述，当0a ≥时，()h x 有一个零点；当10a -<<时，()h x 有两个零点； 当1a =-时，()h x 有一个零点；当1a <-时，()h x 无零点；(2)()()()()22112e 12122xF x kf x x g x k x x x ⎡⎤=--+=+---⎣⎦，()2≥-x ()()()()e 222e 1x x F x k x x x k '=+--=+-，由题设可得()00F ≥，即1k ³， 令()0F x '=得1ln x k =-，22x =-， ①若21e k ≤<，则120x -<≤，当()12,x x ∈-时，()0F x '<，当()1,x x ∈+∞时，()0F x '>， 即()F x 在()12,x x ∈-单调递减，在()1,x +∞单调递增， 故()F x 在1x x =取最小值()1F x ，而()()()111221*********1e 211e 212e 2x x x F x k x x x x x x =+---=+---()211111111212022x x x x x =+---=-+≥所以当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立． ②若2e k =，则()()()22e 2e e x F x x -'=+-，所以当2x ≥-时，()0F x '≥，∴()F x 在()2,-+∞单调递增， 而()20F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立， ③若2e k >，则()()2222e 1e e 0F k k ---=-+=--<，所以当2x ≥-时，()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦不可能恒成立． 综上所述，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷含解析
山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在直角坐标平面内，已知A（-2,0）,3（2,0）以及动点。
是AABC的三个顶点，且sin Asin B-2cosC=0,则动点C的轨迹曲线「的离心率是()\/2a/3A.2B.2 c.扬 D.右2.若函数f(x)=l+\x\+x\贝0/(lg2)+/flg|k/(lg5)+/flg^=()A.2b.4 C.6 D.83.在AA3C中，CA_CA AB.则sinA:sin3:sinC=（）543A.9:7:8b.c.6:8:7D何.3：由4.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种A.120B.260C.340D.4205.已知直线y=kx-1与抛物线J=8y相切，则双曲线x2-k2y2=l的离心率为（）73A.打B.右C.D.26.已知数列｛%｝的前〃项和S"满足S"+a"=2n(nwN*),则％=()1_127321385A.3b.64 c.32d.64x+y>l,7.设x，y满足约束条件\x-y>-l,若目标函数z=ax+3y仅在点（1,0）处取得最小值，则。
的取值范围2x-y<2,为()A.(—6,3)B.(-6,-3)C.(。
，3)D.(-6,0]8.已知集合M=(x|y=log2(-4x-x2)},2V=(x|(-)x>4},则肱N=()A.d-2]b.[-2,0) c.(-4,2]D(-co,-4)9.如图，已知等腰梯形A3CD中，AB=2DC=4,AD=BC=^5,E是OC的中点，P是线段BC±的动点，则的最小值是（）_9_4A.5B.0C.5D.110.已知^A={x\a-l<x<a+2},B=(x|3<x<5},则能使A^B成立的实数。
山东省潍坊市昌乐第一中学2024届高三上学期模拟预测数学试题(解析版)
高三数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()121,1,0,1z z ，则12z z 的虚部为（ ）A. 1B. i- C. iD. 1-【答案】D 【解析】【分析】求出复平面内12,z z 的点对应的复数，利用复数的除法法则计算得出答案．【详解】由题意得11i z =+，2i z =，所以()121i i 1i 1i i i·iz z ++===-，故D 正确.故选：D.2. “sin cos αα=”是“4πα=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据sin cos αα=求出α的值，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】由sin cos αα=得tan 1α=，()4k k Z παπ∴=+∈，因此，“sin cos αα=”是“4πα=”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．3. 若正数,a b 满足3ab a b =++，则a b +的取值范围是（ ）A. [6,)+∞ B. [9,)+∞ C. (]0,6 D. ()0,9【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式即可求解..【详解】由题意知,a b 为正数，且3ab a b =++，所以232a b ab a b +⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，化简得()()24120a b a b +-+-≥，解得6a b +≥，当且仅当3a b ==时取等号，所以[)6,a b +∈+∞，故A 正确.故选：A.4. 具有线性相关关系的变量,x y 的一组数据如下：x 0123y-5-4.5-4.2-3.5其线性回归直线方程为y bx a =+$$$，则回归直线经过（ ）A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限【答案】D 【解析】【分析】根据x ，y 呈正相关，得到0b> ，再由样本中心在第四象限判断.【详解】解：由图表中的数据知：x ，y 呈正相关，所以0b > ，又()()110123 1.5,5 4.5 4.2 3.5 4.344x y =+++==----=-，则样本中心为()1.5, 4.3-，在第四象限，所以回归直线经过第一、三、四象限，故选：D5. 已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】【分析】将点()2,4M 的坐标代入抛物线方程，求出4p =，即得焦点(2,0)F ，利用抛物线的定义，即可求出．【详解】由点()2,4M 在抛物线22y px =上，可得164p =，解得4p =，即抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-．所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=．故选：A ．【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题．6. 在ABC 中，2AB AC AD += ，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+ ，则（ ）A. 2y x = B. 2y x=- C. 2x y= D. 2x y=-【答案】D 【解析】【分析】画出图形，将,AB AC 作为基底向量，将EB向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解【详解】如图，由题可知，点D 为BC 的中点，点E 为AD 上靠近D 的三等分点，()()111121326233EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-，21,,233x y x y∴==-∴=-故选：D【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题7. 已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =，则（）A. 233231(log (2)(2)4g g g -->>B. 233231(log (2)(2)4g g g -->>C. 233231(2)(2)(log )4g g g -->>D. 233231(2)(2)(log )4g g g -->>【答案】B 【解析】【分析】先利用定义判断出()g x 为偶函数，0x >时单调递增，0x <时，函数单调递减，再根据距离对称轴越远函数值越大，即可比较大小．【详解】解：由奇函数()f x 是R 上增函数可得，当0x >时，()0f x >，又()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数，且当0x >时单调递增，根据偶函数的对称性可知，当0x <时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，因为331(log )(log 4)4g g =，23(2)g g -=，32(2)g g -=，而3log 41>，23322012-->>>，即3log 43222->>，所以233231(log )(2)(2)4g g g -->>故选：B ．.8. 已知双曲线C :22221x y a b -=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F , O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m == ,(0m >),212PF PF m ⋅=,则双曲线C 的渐近线方程为A. 12y x =±B. y x =C. y x=± D. y =【答案】D 【解析】【分析】利用双曲线的定义求出2m a =，由向量的数量积，可求出12F PF ∠，利用余弦定理可得,a c 的关系式，结合222c a b =+，即可求出．【详解】因为122PF PF a -=，1222PF PF m == 可得2m a =，由212PF PF m ⋅=可得21242cos 4a a F PF a ⋅∠=，所以1260F PF ︒∠=，即有222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即22223c a b a =+=，所以ba=所以双曲线的渐近线方程为：y =．故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分．9. （多选题）下列命题中的真命题是（ ）A. 1R,20x x -∀∈> B. ()2N ,10x x *∀∈->C. 00R,lg 1x x ∃∈< D. 00R,tan 2x x ∃∈=【答案】ACD 【解析】【分析】根据对应函数的性质，判断命题的真假.【详解】指数函数值域为()0,∞+，所以1R,20x x -∀∈>，A 选项正确；当1x =时，()210x -=，所以()2N ,10x x *∀∈->是假命题，B 选项错误；当01x =时，0lg 01x =<，所以00R,lg 1x x ∃∈<，C 选项正确；函数tan y x =值域为R ，所以00R,tan 2x x ∃∈=，D 选项正确.故选：ACD.10. 将函数()sin 2f x x =的图象向右平移π4个单位后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质（ ）A. 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B. 最大值为1，图象关于直线3π2x =-对称C. 在3ππ,88⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D. 周期为π，图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD 【解析】【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】由题意可得()ππsin 2sin 2cos 242g x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对A 、C ：因为π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π20,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且()()()cos 2cos 2g x x x g x -=--=-=，得()g x 为偶函数，故A 正确，C 错误；对B ：由()cos 2g x x =-得其最大值为1，当3π2x =-时，()3πcos 3π12g ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，为最大值，所以3π2x =-为对称轴，故B 正确；对D ：周期2ππ2T ==，3π3π3πcos 2cos0442g ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图像关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确.故选：ABD.11. 已知m n 、为两条不重合的直线,αβ、为两个不重合的平面,则下列说法正确的是A. 若//,//m n αβ且//,αβ则//m n B. 若//,,,m n m n αβ⊥⊥则//αβC. 若//,,//,m n n m ααββ⊂⊄，则//m βD. 若//,,m n n ααβ⊥⊥，则//m β【答案】BC 【解析】【分析】根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若//,//m n αβ且//,αβ则可以//m n ，,m n 异面，或,m n 相交，故A 错误；B. 若//,,m n m α⊥则n α⊥，又,n β⊥故//αβ，B 正确；C. 若//,,m n n α⊂则m α 或m α⊆，又//,m αββ⊄，故//m β，C 正确；D. 若//,,m n n α⊥则m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊆，D 错误；故选：BC【点睛】本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a > ，201920201a a > ，20192020101a a -<-，下列结论正确的是（ ）A. 20192020S S <B. 2019202010S S -<C. 2020T 是数列{}n T 中的最大值D. 数列{}n T 无最大值【答案】A 【解析】【分析】根据11a > ，201920201a a > ，20192020101a a -<-，可判断数列{}n a 的01q <<，进而可知数列{}n a 是单调递减的等比数列，结合选项，即可逐一求解.【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，201920201a a >，则有20192020201920191a a a a q ⋅>=，有0q >，又由2019202011a a --＜0，即()()20192020110a a -<- ，必有202020191a a <<，01q << 由此分析选项：对于A ，2020201920200S S a -=> ，故20192020S S < ，A 正确；对于B ，等比数列{}n a 中，11a >，01q <<，则202120191S S >> ，则201920211S S > ，即2019202110S S -> ，B 错误；对于C ，202020191a a << ，则2019T 是数列{}n T 中的最大项，C 错误；对于D ，由C 的结论，D 错误；故选：A.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；【答案】【解析】【分析】根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心O 到直线0x y a -+=的距离,再用公式求解即可.【详解】由题,因为AOB ∆为等腰直角三角形,故2AB ==,故圆心O 到直线0x y a -+=的距离1d ==.1a =⇒=故答案为：【点睛】本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题.14. 已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a = 【答案】3【解析】【分析】设切点为（x 0，y 0），求出函数y ＝ln （x+a ）的导数为y '＝1x a +，得k 切＝01x a +＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），进而求出a ．【详解】设切点为（x 0，y 0），由题意可得：曲线的方程为y ＝ln （x+a ），所以y '＝1x a+．所以k 切＝01x a+＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），解得：y 0＝0，x 0＝﹣2，a ＝3．故答案3．【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题.15. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t (单位：年)的衰变规律满足．573002(t N N N -=⋅表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的_____；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至1,2据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到_____年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48)【答案】 ①.12②. 6876【解析】【分析】为把5730t =代入573002t N N -=⋅，即可求出；再令3573072t ->，两边同时取以2为底的对数，即可求出t 的范围．【详解】∵573002tN N -=⋅，∴当5730t =时，100122N N N -=⋅=，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12，由题意可知：5730327t ->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7t ->，∴3lglg 3lg 77 1.25730lg 2lg 2t -->=≈-，6876t ∴<，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：12；6876．【点睛】关键点睛：本题主要考查了对数的运算，解答本题的关键是由5730327t->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7t ->，∴3lg lg 3lg 775730lg 2lg 2t -->=，属于中档题.16. 已知四面体ABCD 中，5,8AB AD BC DC BD AC ======，则四面体ABCD 的体积为_____【解析】【分析】取BD 中点O ，AC 中点E ，连结,,AO CO OE ，计算出AOC S ∆=B AOC V -，所求四面体的体积为它的2倍.【详解】取BD 中点O ，AC 中点E ，连结,,AO CO OE ， ∵四面体ABCD 中，5,8AB AD BC DC BD AC ======，∴AO BD ⊥，CO BD ⊥，AO CO ===，∵AO CO O = ，∴BD ⊥平面AOC ，又OEAC ⊥，∴182AOC S ∆=⨯=，152232A BCD B AOC V V --==⨯⨯⨯=【点睛】三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算. 有时还需把复 这些几何体可能有相同的高或相同的底面，或者它们的高或底面的面积的比值为定值．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a =+-,若a =,5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S .【答案】(1)45;(2)152或92.【解析】【分析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出．【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc+-=由余弦定理得:4sin 3cos a C A c=由正弦定理得4sin 3cos A A =所以3tan 4A =，∴ABC ∆中，4cos 5A =．(2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+=解得3b =或5b =∵3tan 4A =，∴3sin 5A =由1sin 2S bc A =⋅得152S =或92S =．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,21,N n n a S S n *+=-=∈．（1）证明：{}1n S +为等比数列，求出{}n a 的通项公式；（2）若n nn b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析，12n n a -= （2）1242n n n T -+=-【解析】【分析】（1）根据121n n S S +-=可推出()1121n n S S ++=+，即得1121n n S S ++=+，即可证明{}1n S +为等比数列，由此可求得n S 表达式，继而求得{}n a 的通项公式；（2）由（1）的结果可得n nn b a =的表达式，利用错位相减法求数列的和，即可得答案.【小问1详解】的∵121n n S S +-= ∴()*1121,N n n S S n ++=+∈，∴1121n n S S ++=+，∴{}1n S +为等比数列；∵11a =，故{}1n S +的首项为112S +=，公比为2，∴12n n S +=，则21n n S =-，当2n ≥时，1121n n S --=-，则112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；【小问2详解】由（1）可得12n n n n n b a -==，则01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+，故121122222n nn T =++⋅⋅⋅+，两式相减得：0111111112221222222212n n n n n n n n n T --+=++⋅⋅⋅+-=-=--，故1242n n n T -+=-.19. 如图所示的多面体中，底面ABCD 为矩形，BE ⊥平面ABCD ，1CC ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，1//AF EC ，且AB =4，BC =2，13CC =，BE =1．（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求直线1CC 与平面1AEC F成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ.【解析】【分析】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，由向量平行求得F 点坐标，由向量模的坐标表示求得线段长；（Ⅱ）求出平面1AEC F 的一个法向量，由直线1CC 的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值得线面角的正弦值．【详解】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B ，(2,0,0)A ，(0,4,0)C ，(2,4,1)E ，1(0,4,3)C ，设(0,0,)F z ．∵1AF EC ，由1AF EC ∥得(2,0,)(2,0,2)z λ-=-，解得2z =，∴(0,0,2)F ．∴(2,4,2)BF =-- ，于是||BF = ，即BF的长为．（Ⅱ）设1n u r 为平面1AEC F 的法向量，设1(,,)n x y z = ，由1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得0402020x y z x y z ⨯+⨯+=⎧⎨-⨯+⨯+=⎩，即40220y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取1z =，得114x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩．又1(0,0,3)CC = ，设1CC 与1n u r 的夹角为α，则1111cos CC n CC n α⋅===⋅ ．所以，直线1CC 与平面1AEC F．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，求线面角的正弦值，解题方法是空间向量法，即建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角的关系求解．这是求空间角的常用方法，特别是图形中含有垂直关系用此种方法更加简便．20. 2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲乙两个养殖场提供技术服务，方案和收费标准如下：方案一，公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收费；方案二，公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过部分每天收取药费8元.（1）设日收费为y （单位：元），每天需要用药的猪的数量为n N ∈，试写出两种方案中y 与n 的函数关系式.（2）若该医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下22⨯列联表.9月份10月份合计未发病4085125发病652085合计105105210根据以上列联表，判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++（3）当地的丙养殖场对过去100天猪的发病情况进行了统计，得到如上图所示的条形统计图.依据该统计数据，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关；（3）从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二.【解析】【分析】（1）根据题意写出函数关系式即可；（2）根据22⨯列联表，代入公式计算2K ，比较临界值得出结论即可；（3）分别按不同方案计算总费用，比较大小即可求解.【详解】（1）方案一，402,y n n N =+∈，方案二，120,45,8240,45,n n N y n n n N≤∈⎧=⎨->∈⎩（2）22210(40206585)105105140.0210.8282585K ⨯⨯-⨯=⨯≈>⨯⨯，所以有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关；（3）若采用方案一，则这100天的总费用为40×100+2×(42×20+44×40+46×20+48×10+50×10)=13000元，若采用方案二，则这100天的总费用为120×100+(46-45)×20×8+(48-45)×10×8+(50-45)×10×8=12800元，所以，从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二【点睛】本题主要考查了实际问题中的函数问题，独立性检验，频率分布直方图，属于中档题.21. 已知函数()()ln 0a f x x a a x=-+>．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，求a 的值；（2）求函数()f x 在区间()1,e 上的零点个数．【答案】（1）1a =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；（2）由()0f x '=，求得x a =，分类讨论x a =与()1,e 的位置关系，结合函数的单调性，以及零点存在定理，即可判断出函数的零点个数.【小问1详解】由题意得()()ln 0a f x x a a x=-+>定义域为(0,)+∞，()221a x a f x x x x'-=-=，因为()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，且()10f =．所以()110f a '=-=，解得1a =．经检验1a =符合题意．【小问2详解】由（1）知()2x a f x x-'=，令()0f x '=，得x a =，当x a <时，()0f x '<，当x a >时，()0f x ¢>，（i ）当01a <≤时，()1,e x ∈，()0f x ¢>，函数()f x 在区间()1,e 上单调递增．所以()()10f x f >=，所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（ii ）当1e a <<时，若1x a <<，则()0f x '<，若e a x <<，则()0f x ¢>．函数()f x 在区间()1,a 上单调递减，在区间(),e a 上单调递增．且()10f =，则()(1)0f a f <<，而()e 1e a f a =-+．当()e 10ea f a =-+>，即e 1e 1a <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点；当()e 10ea f a =-+≤时，印当e e e 1a ≤<-时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（iii ）当e a ≥时，()1,e x ∈，()0f x '<，函数()f x 在区间()1,e 上单调递减．所以()()10f x f <=，所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点．综上：当01a <≤或e e 1a ≥-时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点；当e 1e 1a <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点．【点睛】方法点睛：求解函数()f x 在区间()1,e 上的零点个数时，利用导数可求得函数的极值点，因此要分类讨论极值点与所给区间的位置关系，再结合函数的单调性，即可求解得结论.22. 给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O 的圆是椭圆C 的“卫星圆”，若椭圆C ，点(在C 上.（1）求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点，过点P 作直线1l 、2l 使得12l l ⊥，与椭圆C 都只有一个交点，且1l 、2l 分别交其“卫星圆”于点M 、N ，证明：弦长MN 为定值.【答案】（1）22184x y +=，2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）本题可根据题意得出c e a ==22421a b +=，然后通过计算得出a 、b 的值以及椭圆方程，最后根据r =即可求出卫星圆的方程；（2）本题可先讨论1l 、2l 中有一条无斜率的情况，通过求出1l 与2l 的方程即可求出MN 的值，然后讨论1l 、2l 都有斜率的情况，设点()00,P x y 以及经过点P 且与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，再然后通过联立方程以及韦达定理的应用得出满足条件的两直线1l 、2l 垂直，判断出此时线段MN 应为“卫星圆”的直径以及MN 的值，最后综合两种情况即可得出结果.【详解】（1）因为椭圆C，点(在C 上，所以22421c e a a b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得a =2b =，椭圆方程为22184x y +=，因为r ==，圆心为原点O ，所以卫星圆方程为2212x y +=.（2）①当1l 、2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，所以其方程为x =x =-当1l方程为x =1l 与“卫星圆”交于点()和()2-，此时经过点()或()2-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或=2y -，即2l 为2y =或=2y -，此时12l l ⊥，线段MN 应为“卫星圆”的直径，MN =②当1l 、2l 都有斜率时，设点()00,Px y ，其中220012x y +=，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y=-+，联立方程()0022184y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到()()()2220000124280tx t y tx x y tx ++-+--=，则()2220000648163280x t x y t y D=-++-=，()2200122200328123281648648x y t t x x ---×===---，满足条件的两直线1l 、2l 垂直，此时线段MN 应为“卫星圆”的直径，MN =综合①②可知，MN为定值，MN =【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及圆的方程的求法，考查椭圆、直线以及圆相交的综合问题的求解，考查韦达定理以及判别式的灵活应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.的。
2020届山东省名校联盟高三第三次联考数学试卷
2020届山东省名校联盟高三第三次联考数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 的值为A. B. C. D.2. 已知全集,集合,,则A. B. C. D.3.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 在等差数列中，若其前项和记为，已知，那么等于A.25B.35C.45D.555. 设向量,，且,则等于A ．错误！未找到引用源。
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B ．C．D ．6. 函数的零点所在区间是A ．B ．C ．D ．7. 函数的图象如右图所示，为了得到的图象，只需将的图象A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位8.在中，若，，则的形状是A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形9. 函数的图象大致是A B C D10.已知函数,若存在,使得, 则的取值范围为A. B. C. D.11.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m 石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为A．20%369B．80%369C．40%360D．60%36512.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知向量与夹角为，且,，则 .14.已知，,且，则的最小值是 .15.设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a = ； 若是]1,1[-上的减函数，则a 的取值范围是___________．16.若函数满足，对定义域内的任意，总有恒成立，则称为“”函数.现给出下列函数： ①； ②； ③； ④； ⑤.其中为“”函数的序号是 .（把你认为所有正确的序号都填上）三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题共2个小题，每小题5分，满分10分） （Ⅰ）求值：；（Ⅱ）解关于x 的不等式：<3.18.（本题满分12分） 设向量,,若.（Ⅰ）试求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期及单调递增区间．19. (本题满分12分)在中, 分别是角的对边，已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的面积的值．20. (本题满分12分)已知是递增的等差数列，且是方程的根；数列的前项和为，且().（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若(),试求数列的前和.21.（本题满分13分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录.为此，一公司拟定在2014年圣诞节期间举行某产品的促销活动，经测算该产品的年销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足(其中,为正常数).已知2014年生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件.（Ⅰ）试将2014年该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（Ⅱ）问：2014年该公司促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22.(本题满分12分)已知函数() ,＝2.718 28…为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数为上的单调递增函数，试求实数的范围；（Ⅲ）若当时，总有成立，试求实数的最大值.高三数学参考答案一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13. 14. 15. 16. ②③三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16. 解：（Ⅰ）原式=……………………………3分. …………6分（Ⅱ）原不等式化为.令, 则有, 解得.…………8分即, ∴,即, ………10分∴， (※)即.…………………………………………………11分∴原不等式的解集为. ……………………12分【说明】若考生最后结果解得的集合中的范围为(※)形式不予扣分.17.解:【方法一】（Ⅰ）由题设，得,……2分∴. ………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，…………………………8分∴,即函数的最小正周期为. ……………………………9分由(),得（），∴函数的单调递增区间为 (). ………………12分【方法二】由题意，得. ………………4分（Ⅰ）.………7分（Ⅱ）由,∴函数的最小正周期为. ……………………9分由(),得（），∴函数的单调递增区间为 (). ………………12分18.解：（Ⅰ）在中，,则由，得,…………2分即,解得或（舍去）. ……………………………………4分∵, ∴. …………………………………………………6分（Ⅱ）由余弦定理,得, …………………………7分∵,∴, 即, ……………9分解得. ……………………………………………………………10分∴的面积为. ……………12分19.解：（Ⅰ）易得方程的两根为，则由题意，得. …………………………………………1分设等差数列的公差为，首项为，则，∴.从而, ∴.∴数列的通项公式为. ………………………3分∵，①∴当时，，②①-②得，，∴（）. ……………………………………………………5分由①式，令，有, 解得. ………………6分∴是以2为首项，公比为2的等比数列.且. ……………………………………………………7分（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）得.∴, ………………………………………8分即，①∴. ②①-②得,………10分∴ ,∴ . …………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）由题意，得.∵,将其代入上式并化简，得（）.此即为所求产品的利润关于促销费用的函数关系式. ……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当且仅当，即时，上式取等号. ……………………………8分①当时,促销费用需投入1万元，厂家的利润最大；……………………9分②当时,易得,由于，，∴，∴∴函数在上单调递增，∴当时,函数有最大值．即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.…12分综上,当时,促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当时, 促销费用投入万元，厂家的利润最大. ……………………13分【说明】本题用其它方法解答，只要思路、结果正确，请参照评分标准赋分.22.解：（Ⅰ）由题设，得，∴, ……………………1分∴在点处的切线方程为,即. ………………………………………………………3分（Ⅱ）依题意，知 ()恒成立，①当时，有恒成立，此时.②当时，有，令,则, …………………4分由得，,且当时，；当时，.∴,则有,∴. …………………………………………………………5分③当时，有，∵, 则有, ∴.又时恒成立.综上，若函数为上的单调递增函数，所求. …………………6分（Ⅲ）依题意，得恒成立，记,即（）恒成立.∴. ………………………………………………7分当时，，则，显然，当时，,∴此时，在单调递增，且有，∴,即(当且仅当时取等号). ………………………8分∴.从而①当，即当时，（），此时，在上单调递增.而，于是，当时，. ………………………………9分由（）可得，即（）.则有②当时，.则有,得, ∴,∴当时，, ∴在单调递减.又，∴当时，有，此不合题意. ………………11分综上，所求实数的最大值为. ………………………………………………12分。
山东省16市2020届高三第一次模拟(4月)考试数学试题分类汇编：圆锥曲线(原卷版)
山东省16市2020届高三第一次模拟（4月）考试数学试题分类汇编 圆锥曲线一、单项选择1. （2020·潍坊·一模）8.如图，已知抛物线C:y 2=2px （p >0）的焦点为F ，点P(x 0,2√3)（x 0>p2）是抛物线C 上一点.以P 为圆心的圆与线段PF 相交于点Q ，与过焦点F 且垂直于对称轴的直线交于点A ，B ，|AB |=|PQ |，直线PF 与抛物线C 的另一交点为M ，若|PF |=√3|PQ |，则|PQ ||FM |=（ ）A 1B. √3C. 2D. √52. （2020·威海·一模）8.已知点A ，B 分别在双曲线C:x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的左右两支上，且关于原点O 对称，C 的左焦点为F 1，直线AF 1与C 的左支相交于另一点M ，若|MF 1|=|BF 1|，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为（ ） A. √10B. 52C. √5D.23. （2020·泰安·一模）8.抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是（ ） A. √34B. √33C. √32D. √34. （2020·威海·一模）4.以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为（ ）.A. (x −2)2+y 2=16B. (y −2)2+x 2=16C. (x −1)2+y 2=4D. (y −1)2+x 2=45. （2020·青岛·一模）7. 在同一直角坐标系下，已知双曲线C:y 2a2−x2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√2，双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数y =sin (2x +π6)的图象向右平移π3单位后得到曲线D ，点A ，B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上，则线段AB 长度的最小值为（ ） A. 2B. √3C. √2D. 16. （2020·临沂·一模）8.点M 为抛物线y =14x 2上任意一点，点N 为圆x 2+y 2−2y +34=0上任意一点，若函数f (x )=log a (x +2)+2(a >1)的图象恒过定点P ，则|MP |+|MN |的最小值为（ ） A. 52B. 114C. 3D. 1347. （2020·济南·一模）6.已知抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，过作抛物线准线的垂线，垂足为，的角平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为．若，（ ） A. 2B. 4C. 6D. 88. （2020·菏泽·一模）5.已知双曲线一条渐近线上存在一点到轴距离与到原点的距离之比为，则实数的值为（ ）． A. 2B. 4C. 6D. 8二、多项选择9. （2020·淄博·一模）11．已知椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 、E ，直线x ＝m （﹣1＜m ＜1）与椭圆相交于点A 、B ，则（ ） A ．当m ＝0时，△F AB 的面积为√3 B ．不存在m 使△F AB 为直角三角形 C ．存在m 使四边形FBEA 面积最大 D ．存在m ，使△F AB 的周长最大24y x ＝F l F A B A M MAF ∠P AB Q 8AB =PQ =2215x y a-=的x O 23a10. （2020·枣庄·一模）11.已知P 为双曲线C:x 23−y 2=1上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，记线段PA ，PB 的长分别为m ，n ，则（ ） A. 若PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2=−3 B. mn >12C. 4m +n 的最小值为√3D. |AB|的最小值为3211. （2020·潍坊·一模）9.已知双曲线x 24−y22=sin2θ（θ≠kπ，k ∈Z ），则不因θ改变而变化的是（ ） A. 焦距 B. 离心率C. 顶点坐标D. 渐近线方程12. （2020·聊城·一模）11.已知直线与抛物线相交于两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 的面积为13. （2020·聊城·一模）10.若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（ ） A. 的渐近线上的点到距离的最小值为4B. 的离心率为C. 上的点到距离的最小值为2D. 过的最短的弦长为14. （2020·济宁·一模）11.设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则( )A.B. 是等边三角形C. 点 到准线的距离为3D. 抛物的方程为15. （2020·菏泽·一模）12.已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的长是16，的中点到轴的距离是6，是坐标原点，则（ ）． :220l kx y kp --=2:2(0)C y px p =>,A B ()1,1M --C AB 2p =2k =-5AB =MAB △2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F C F C 54C F F 323()2:20C y px p =>F l AC F FA l ,BD 90ABD ∠=ABF ∆3BF =ABF ∆F C 26y x =l 2:2(0)C y px p =->M N MN MN y OA. 抛物线的方程是B. 抛物线的准线方程是C. 直线的方程是D. 的面积是16. （2020·德州·一模）10.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的是（ ）A. 卫星向径的取值范围是B. 卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D. 卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小17. （2020·日照·一模）12. 已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（ ） A. 恒成立 B. 若，则 C. 面积的最小值为1D. 对每一个确定的，若，则的面积为定值18. （2020·烟台·一模）10．已知P 是双曲线C ：x 23﹣y 2m ＝1上任一点，A ，B 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2（k 1k 2≠0），若|k |1+|k 2|≥t 恒成立，且实数t 的最大值为233，则下列说法正确的（ ）C 28y x =-2y =l 20x y -+=MON △2a 2c [],a c a c -+()22*1x y n n n-=∈N x lB C B x C x A D A x O AC BD =13BOC AOD S S =△△AB BC CD ==AOD △n AB BC CD ==AOD △A ．双曲线的方程为x 23﹣y 2＝1B ．双曲线的离心率为2C ．函数y ＝log a （x ﹣1）（a ＞0，a ≠1）的图象恒过C 的一个焦点D ．直线2x ﹣3y ＝0与C 有两个交点三、填空题19. （2020·淄博·一模）15．已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 √3−1 ；双曲线N 的离心率为 ． 20. （2020·枣庄·一模）15.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，直线√3x −y +4√3=0过点F 1且与C 在第二象限的交点为P ，若∠POF 1=60°（O 为原点），则F 2的坐标为________，C 的离心率为__________．21. （2020·泰安·一模）16.过点(,0)(0)M m m -≠的直线l 与直线3x +y −3=0垂直，直线l 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A,B ，若点P(m,0)满足||||PA PB =，则双曲线C 的渐近线方程为_______，离心率为_______. 22. （2020·临沂·一模）15.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =√2x ，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线上，且AF 2⊥F 1F 2，则该双曲线的离心率为__________，sin ∠AF 1F 2=__________．23. （2020·济宁·一模）15.设双曲线的左焦点为，直线过点且与双曲线在第二象限的交点为为原点，，则双曲线的右焦点的坐标为__________；离心率为_________________.24. （2020·济南·一模）14.已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为__________．25. （2020·德州·一模）15.已知双曲线的左、右焦点分别()2222:10,0x y C a b a b-=>>F 43200x y -+=F C ,P O OP OF =C 22221(0,0)x y a b a b-=＞＞()222+=1x y -()2222:10,0x y C a b a b-=>>为、.（1）若到渐近线的距离是3，则为__________.（2）若为双曲线右支上一点，且的角平分线与轴的交点为，满足，则双曲线的离心率为__________. 26. （2020·日照·一模）15. 直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则__________，的最小值是__________． 27. （2020·烟台·一模）16．已知F 为抛物线x 2＝2py （p ＞0）的焦点，抛物线内一点A（1，p ），M 为抛物线上任意一点，|MA |+|MF |的最小值为3，则抛物线方程为 ；若线段AF 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点，则四边形APFQ 的面积为 ．四、解答题28. （2020·淄博·一模）20．如图，已知抛物线x 2＝y ，点A （−12，14），B （32，94），抛物线上的点P （x ，y ）（−12＜x ＜32），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ． （Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求|P A |•|PQ |的最大值．1F 2F 2F b P C 1260F PF ∠=︒12F PF ∠x Q 122FQ QF =C l ()2:20C y px p =>()1,0F C M N p =19MF NF-29. （2020·潍坊·一模）21.直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆C:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，点P 为椭圆C 上的动点（点P 与C 的左右顶点不重合），当△PF 1F 2为等边三角形时，12PF F S（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，M 为AP 的中点，直线MO 交直线x =−4于点D ，过点O 作OE//AP 交直线x =−4于点E ，证明：∠OEF 1=∠ODF 1.30. （2020·威海·一模）20.已知椭圆x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (−1,32)是椭圆上一点，|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅰ）若A 为椭圆的右顶点，直线AP 与y 轴交于点H ，过点H 的另一直线与椭圆交于M 、N 两点，且S △HMA =6S △PHN ，求直线MN 的方程．31. （2020·泰安·一模）21.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2，直线l:y =kx +m 与椭圆C 相交于P,Q 两点；当直线l 经过椭圆C 的下顶点A 和右焦点F 2时，ΔF 1PQ 的周长为l 与椭圆C 的另一个交点的横坐标为43 （1）求椭圆C 的方程；（2）点M 为△POQ 内一点，O 为坐标原点，满足MP MO MQ ++=0，若点M 恰好在圆O ：x 2+y 2=49上，求实数m 的取值范围.32. （2020·青岛·一模）21. 已知O 为坐标原点，椭圆C:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，F 2点又恰为抛物线D:y 2=4x 的焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与D 相交于A ，B 两点，记点A ，B 到直线x =−1的距离分别为d 1，d 2，|AB|=d 1+d 2．直线l 与C 相交于E ，F 两点，记△OAB ，△OEF 的面积分别为S 1，2S ． （ⅰ）证明：△EFF 1的周长为定值； （ⅱ）求S 2S 1的最大值．33. （2020·临沂·一模）20.动点P 在椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为A ，点B 满足AB →=3AP →，已知点B 的轨迹是过点Q (0,3)的圆． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 在x 轴的同侧），F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，若F 1M//F 2N ，求四边形F 1F 2NM 面积的最大值．34. （2020·聊城·一模）20.已知椭圆的长轴长为4，右焦点为，且椭圆上的点到点的距离的最小值与最大值的积为1，圆与轴交于两点. （1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆交于两点，且直线与圆相切，求的面积与的面积乘积的取值范围.2222:1(0)x y C a b a b+=>>F C F 22:1O x y +=x ,A B C :l y kx m =+C ,P Q l O APQ BPQ35. （2020·济宁·一模）21.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）是否存在一个正实数，满足当时，恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.36. （2020·济宁·一模）22.已知椭圆与抛物线在第一象限的交点为，椭圆的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，且. （1）求椭圆的方程；（2）过的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，点为椭圆的左顶点，直线分别交直线于点，求证：为定值.37. （2020·济南·一模）21.在平面直角坐标系中，①已知点，直线：()()()1xf x ax e a R =-∈()f x a x ∈R ()1f x ≤a ()22122:10x y E a b a b+=>>22:4E y x=P 1E 12,F F 2F 2E 253PF =1E 2F l x 1E M N 、A 1E AM AN 、4x =B C 、2BF C ∠xOy A l，动点满足到点的距离与到直线的距离之比为；②已知圆的方程为，直线为圆的切线，记点到直线的距离分别为，动点满足；③点，分别在轴，轴上运动，且，动点满足． （1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为，经过点的直线交于，两点，若线段的垂直平分线与轴相交于点，求点纵坐标的取值范围．38. （2020·菏泽·一模）21.已知椭圆的左､右焦点分别为，，以，，和，面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）设，为椭圆上的任意两点，若直线与圆相切，求面积的取值范围．39. （2020·东营一中·一模）21.已知直线过椭圆的右3x ＝P A l 2C 224x y +=l C A l 12,d d P 12,PA d PB d ＝＝S T x y 3ST ＝P 21+33OP OS OT =P E (1,0)D l 'E M N MN y Q Q 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F (,)M a b -(,)N a b 2F 1F C A B C AB 2212:7O x y +=AOB 1x y +=()222210x y a b a b+=>>焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是， （1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形面积的最大值.40. （2020·德州·一模）20.已知抛物线的焦点为，圆的方程为：，若直线与轴交于点，与抛物线交于点，且. （1）求出抛物线和圆的方程.（2）过焦点的直线与抛物线交于、两点，与圆交于、两点（，在轴同侧），求证：是定值.41. （2020·日照·一模）20. 已知椭圆的左、右焦点分别为21,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ACBD ()2:20E x py p =>F M 220x y py +-=4x =x R Q 54QF RQ =E M F l E A B M C D A C y AC DB ⋅()2222:10x y C a b a b+=>>，，以为圆心过椭圆左顶点的圆与直线相切于，且满足． （1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，问内切圆面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．42. （2020·烟台·一模）22．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点M(2，√2)，且焦距为4．（1）求椭圆C 的标准方程（2）设P 为直线l ：y =2√2上一点，Q 为椭圆C 上一点，以PQ 为直径的圆恒过坐标原点O ．（i ）求|OP |2+4|OQ |2的取值范围：（ii ）是否存在圆心在原点的定圆恒与直线PQ 相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由．1F 2F 2F M 34120x y -+=N 11212MF F F =C C 2F l C A B 1F AB。
2020年山东新高考数列精选模拟试题(含解析)
专题8 数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 预测2020年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3-B ．1-C ．3D ．13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路 B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路若存在两项,m n a a32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．955．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32C ．43D ．34二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A ．12a =-B ．12a =C ．4d =D ．4d =-7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为810．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}na 满足11a=，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 15．（2020届山东省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT ＜． 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <. 19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且139a a a 、、成等比数列，246a a +=.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）设()21cos3n n n a b a π+=，求数列{}nb 的前2020项的和2020S.21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列{}n a 满足：123a a a +++()1312nn a +=- （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<． 28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】C 【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ， 据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为33．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路【答案】C 【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．95【答案】A 【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，32=，所以1110222m n，12m n +=，414114112125n m mnm n mnm n431124520,0n m mnm n ，当且仅当2n m =时“=”成立， 所以14mn的最小值为34，故选A 。