正弦三角函数的图像与性质ppt课件

常见三角函数图像及其性质

三角函数介绍

正弦函数

主词条：正弦函数

格式：sin（θ）

作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数

函数图像：波形曲线

值域：1,1-

余弦函数

主词条：余弦函数

格式：cos（θ）

作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线

值域：1,1-

正切函数

主词条：正切函数

格式：tan（θ）

作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。

函数图像：上图平面直角坐标系反映

值域：，-

余切函数

主词条：余切函数

格式：cot（θ）

作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映

值域：，-

正割函数

主词条：正割函数

格式：sec（θ）

作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数

函数图像：上图平面直角坐标系反映

值域：，，11--

余割函数

主词条：余割函数

格式：csc（θ）

作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数函数图像：右图平面直角坐标系反映

值域：，，11--

三角函数的图像与性质

1 三角函数的图像与性质

Ⅰ、基础知识精要：

一、正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像

1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

y=tanx322-32--2oyxy=cotx3222--2oyx

二、三角函数的单调区间：)(Zk

xysin的递增区间是2222kk，递减区间是23222kk，；

xycos的递增区间是kk22，，递减区间是kk22，，

tanyx的递增区间是22kk，， cotyx的递减区间是kk，

三、函数sin()yAxk00A（，）平衡位置是2AkkAk

最大值最小值2，最小值是kA，振幅A=2AkkA最大值最小值2，

周期是512Txx213142xxxx，频率是12fT，相位是x，初相是，令1230,,,2xxx453,22xx解得的 2 即为所求，关键是从“五点法”中的第一个零点（平衡点）,0作为突破口，从图象的升降情况找准该点的位置；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线yk的交点都是该图象的对称中心

四、由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也常出现无论哪种变形，切记每一个变换总是对x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化而不是“角变化”多少.

1126三角函数图像及性质

1

4-1.4.1正弦、余弦函数的图象

（1）函数y=sinx的图象（2）余弦函数y=cosx的图象

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0) (2,1) (,0) (23,-1) (2,0)

余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是

(0,1) (2,0) (,-1) (23,0) (2,1)

讲解范例：例1 作下列函数的简图

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]， (2) y=|sinx|，（3）y=sin|x|

例2 用五点法作函数2cos(),[0,2]3yxx的简图.

例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：

1(1)sin;2x 15(2)cos,(0).22xx

课后作业：作业：

补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象

2．分别在[-4,4]内作出y=sinx和y=cosx的图象

3．用五点法作出y=cosx,x[0,2]的图象

“五点（画图）法”-----描点、连线，画出简图。

例1．画出下列函数的简图：

（1） y＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕

（2）ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕

一、合作学习

●探究1

如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？

小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

●探究2

如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？

必修第三册正弦型函数的性质与图像

7.3.2 正弦型函数的性质与图象（1）

本节课是人教B版必修3《三角函数》一章第二大节的第二课时，前一节“正弦函数的性质和图象”主要讲述了正弦函数图象的画法（五点法）、性质及应用。本节课的主要内容是结合实例，了解sin()yAwx的实际意义，会用五点法画出函数的图象，观察参数,,Aw 对函数图象变化的影响，掌握变换法作图。从多角度理解正弦型函数的定义域，值域，周期；能从数和形两个角度理解正弦函数与正弦型函数的本质联系；会用换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解，体会转化划归的思想。在内容和思想逻辑上这两节是相辅相成、紧密联系的，前一节是后一节的基础，后一节是前一节的延续和深化，这两节内容又是整个三角函数内容的重中之重。通过重点学习正弦函数和正弦型函数，可以是学生进一步熟悉和掌握研究函数的过程和方法。

考点教学目标核心素养

y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质掌握“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图像与求函数图像对应的函数解析式、会求正弦型函数的定义域，值域、周期逻辑推理、数学运算、直观想象

正弦曲线与y＝Asin(ωx＋φ)的图像的关系从数和形两个角度理解正弦函数与正弦型函数的本质联系；掌握正弦型函数图象变换；会用换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解相关问题逻辑推理、数学运算、直观想象

【教学重点】

正弦型函数的定义域、值域、周期性，五点法作图，图象变换

【教学难点】

正弦型函数图象变换，换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解相关问题

问题1：正弦型函数的定义

知识点1：正弦型函数的定义一般地，形如sin()yAwx的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这种类型的函数称为正弦型函数，其中,,Aw都是常数，且0,0Aw。

问题2：正弦型函数的图象与性质

例1.探究函数2sinyx的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象。

三角函数图像与性质

一轮复习数学导学案

- 1 - 学科数学班级设计教师课时 6

课题三角函数及函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质

知识储备：

一.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域 x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z

值域

单调性递增区间是

[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)，

递减区间是

[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z) 递增区间是

[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，

递减区间是

[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 递增区间是

(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)

最值 ymax＝1；ymin＝－1 ymax＝1；ymin＝－1 无最大值和最小值

奇偶性

对称性对称中心 (kπ，0)，k∈Z kπ＋π2，0，k∈Z kπ2，0，k∈Z

对称轴 x＝kπ＋π2，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴

最小正周期

一、三角函数奇偶性的判断技巧

1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则

(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

2．若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则

(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)．

二、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相

A T＝ f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

三、由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象

(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移一轮复习数学导学案

- 2 -

小试牛刀：

1．函数y＝tan 3x的定义域为( )

三角函数的图象与性质-【名师经典教学设计课件】

1 课题 1.4.2 三角函数的图象与性质（1）

教

学

目

标 1．了解周期函数与最小正周期的意义．

2．理解正、余弦函数的周期性．

3．会求函数sin()yAx及函数cos()yAx的周期．

教学重点正、余弦函数周期的定义及理解.

教学难点函数sin()yAx及函数cos()yAx的周期的求解.

教学设想通过正、余弦函数的图象和三角公式（一）来理解函数的周期，深入运用数形结合思想。

教学用具电子白板教学方法讲练结合课时安排 1

板

书

设

计 1.4.2 三角函数的图象与性质（1）

1、函数周期的定义例题解析

2、正弦函数的周期课堂练习

3、余弦函数的周期课时小结

4、函数sin()yAx及课后作业

函数cos()yAx的周期公式

教

学

反

思 1、个别学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化”的本质学生感到有一定困难。上课时虽然借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维,但是还是有部分学生理解起来有困难。

2 这方面的训练以后要加强。

2、部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，课后要及时对这些同学进行单独辅导，强化应用。

3、学生运用定义求函数周期掌握得不是很好，书写不规范。上黑板板演的学生都出现了不同程度的错误。在以后的教学中务必进一步强化基础知识和基本技能。

教学设计（首页）康乐中学

教学活动设计拓展、延伸、补充 3 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（1）——周期性

一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

三角函数的性质和图像

三角函数的性质与其连续变化的图像形状之间息息相关，为我们解释物理世界中复杂物理关系提供了重要依据。

五个小标题，相关内容

三角函数的性质和图形

1、定义

三角函数是用变量对正n角形的三种角度和相应角的大小而表达的关系式，主要包括正弦函数sinH，余弦函数 cosH和正切函数 tanH。

2、几何性质：

三角函数在几何中有一些性质，例如正弦函数SinH，余弦函数CosH和正切函数tanH全部符合三角形的特性，其中的SinH和CosH的图像是三角形的内切圆，而tanH的图像是三角形的外切圆。

3、参数性质：

任意线性变换，三角函数的图像也被重新变换，只要保持原来变量关系，图像也保持类型不变。

4、增减性质：

在某种范围内，正弦函数SinH和余弦函数CosH都是增函数，正切函数TanH是减函数。

5、图像特点：

三角函数的图像大体上是正弦曲线，在Π/2位置有拐点，有半波长形状，在此基础上可以通过变换做出不同的图形。

三角函数与反三角函数的图像与性质

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优选文档三角函数与反三角函数的图像与性质

一、三角函数的图像和性质

1.

正弦与余函数的图像与性质

函数 xysin xycos

图像

定域义 R R

值域 1,1 1,1

最值

2,1 22,1 2xkykZxkykZ最大最小时，时， 2, 1

2,1

xkykZxkykZ最大最小时，时，

单调性

[2,2]223[2,2]22 Zkkkkk在每个上递增在每个上递减 [2,2][2,2]

Zkkkkk在每个上递增在每个上递减

奇偶性奇函数偶函数

周期性是周期函数，2为最小正周期是周期函数，2为最小正周期

对称性对称中心(,0)k，

:,()2xkkZ对称轴对称中心(,0)2k，

:,()xkkZ对称轴

2. 正切与余切函数的图像与性质

函数 xytan xycot

图像

定域义 {|,}2xxRxkkZ且 {|,}xxRxkkZ且

值域 R R 优选文档

优选文档单调性 (,)22 Zkkk在每个上递增 (,) Zkkk在每个上递减

奇偶性奇函数奇函数

周期性是周期函数，为最小正周期是周期函数，为最小正周期

三角函数的图像与性质 2

第三节

三角函数的图像与性质

[最新考纲]

1.能画出y＝sin

x，y＝cos x，y＝tan x的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．

余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图像

定义域 R R

x x≠kπ＋π2，k∈Z

值域 [－1,1] [－1,1] R

单调性递增区间：

2kπ－π2，2kπ＋π2，

k∈Z，

递减区间：

2kπ＋π2，2kπ＋3π2，

k∈Z 递增区间：

[2kπ－π，2kπ]，

k∈Z，

递减区间：

[2kπ，2kπ＋π]，

k∈Z 递增区间

kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z 对称中心kπ＋π2，0，k

∈Z 对称中心kπ2，0，k∈Z

对称轴x＝kπ＋π2(k∈Z) 对称轴x＝kπ(k∈Z)

周期性 2π 2π π

[常用结论]

1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．

2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

3．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.

三角函数图像性质

第 1 页三角函数的图象与性质

一、知识梳理

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．

余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域

值域

单调性

最值

奇偶性

对称中心

对称轴方程

周期

3．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞) 振幅周期频率相位初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

第 2 页

4．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．

如下表所示.

x 0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2

2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A

0

5．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：

二、例题精讲

考点一求三角函数的定义域和值域

例1 (1)函数y＝1tan x－1的定义域为____________．

(2)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )

A．2－3 B．0 C．－1 D．－1－3

变式训练1 (1) 已知函数y＝2cos x的定义域为π3，π，值域为[a，b]，则b－a的值是( )

A．2 B．3 C.3＋2 D．2－3

(2) 函数y＝sin x－cos x的定义域是________．