《球的表面积与体积》教学设计(优质课)

球的表面积与体积

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.

（2）培养学生空间想象能力和思维能力.

2．过程与方法

通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.

3．情感、态度与价值

让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.（二）教学重点、难点

重点：球的表面积与体积的计算

难点：简单组合体的体积计算

（三）教学方法

讲练结合

球的体积等于圆柱体积的

，

ABCD.

设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由

备用例题

例1．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积．

【分析】 可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面．

【解析】 如图，设球心为O ，球半径为R ，作OO 1⊥平面ABC 于O 1，由于OA = OB = OC =

R ，则O 1是△

ABC 的外心．

设M 是AB 的中点，由于AC = BC ，则O 1∈CM ．

设O 1M

= x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A

O 1C = CM

– O 1M – x

又O 1A = O 1C

∴

x ．解得x 则O 1A = O 1B = O 1C

=

． 在Rt △OO 1A 中，O 1O = 2

R

，∠OO 1A = 90°，OA = R ，

由勾股定理得222()2

R R +=．解得R =

故234454,3

S R V R πππ

====球面球．

例2．如图所示棱锥

P – ABCD 中，底面ABCD 是正方形，边长为a ，PD = a ，PA = PC ，且PD 是四棱锥的高．

（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；

（2）求四棱锥外接球的半径．

【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解．（2）四棱锥的外接

球的球心到P 、A 、B 、C 、D 五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可．球心O 在过底面中心E 且垂直于底面的垂线上．

【解析】（1）设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连结

SA 、SB 、SC 、SP ，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ．

3

1113

33

P ABCD ABCD

V S

PD a a a a -=??=???=， 211

22

PAD PDC

S

S

a a a ==

?

?=， 212PAB

PBC

S

S

a ==?， S □ABCD = a 2．

V P – ABCD = V S – PDA + V S – PDC + V S – ABCD + V S – PAB + V s – PBC ，

311

()33

PAD

PDC

PAB

PBC

ABCD

a R S S

S

S

S

=++++

，

3222221111()3322a R

a a a =++， 所以

231(23

3

R

a a =

，(1

R a ==

=， 即球的最大半径为(1a ． （2）法一：设PB 的中点为F ． 因为在Rt △PDB 中，FP = FB = FD ， 在Rt △PAB 中，FA = FP = FB ， 在Rt △PBC 中，FP = FB = FC ， 所以FP = FB = FA = FC = FD ．

图4—3—9

B

A

C

D

P

F 图4—3—10

所以F 为四棱锥外接球的球心，则FP 为外接球的半径．

法二：球心O 在如图EF 上，设OE = x ，EA ，R OA ===

又2

a OP x ==得 即球心O 在PB 中点F 上．

【评析】方法二为求多面体（底面正多面边形）外接球半径的通法；求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法．