八年级数学下册19.3正方形矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例华东师大版
新华东师大版八年级数学下册《19章 矩形、菱形与正方形 19.3 正方形 正方形的性质》课件_13
A
D
O
B
C
拓展提高
A
D
E
B
FC
变式训练
A
PD
E
BF
C
我知道了…… 我理解了…… 我学会了……
归纳总结 A
D
O
B
C
• 当堂检测：
解:①这个正方形的周长=4AB=4×2=8cm; ②这个正方形的对角线长=√8 cm (勾股定理);
③这个正方形的面积=AB×AB=2×2=4(平方厘米)
聚焦中考（2013宁波)
华东师大版八年级下册
19.2.3正方形的性质
知识回顾:
几种特殊四边形的定义及性质
定义
边
平行 两组对边 四边 分别平行
形 的四边形
对边平行 且相等
角
对角相等， 邻角互补
对角线
对角线 互相平分
对称性
中心对 称图形
有一个角 矩 是直角的 对边平行 形 平行四边 且相等
形
菱 形
有一组邻 边相等的
对边平行 ，四边都
∴ AC ⊥ BD
∴ ∠COD=90°
又∵四边形ABCD 是正方形，
∴ 2∠ABD =∠ ABC, 2∠DAC=∠ DAB
B
∠ ABC=∠ DAB=90°
∴ ∠ DAC =∠ ABD=45°
∴ ∠COD=90°， ∠ DAC =∠ ABD=45° .
D
O C
探究归纳对角线AC、BD相交于点O
如图，点E 是正方形ABCD的边CD上的一点， 点F是CB的延长线上的一点，且EA ⊥ AF
求证：DE=BF
A
D
E
FB
C
教师寄语：
【华师大版初中数学八年级下册 第19章 矩形、菱形与正方形教案】正方形及其性质
19.3.1 正方形及其性质一、教学目的1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．二、重点、难点1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系的灵活运用．三、例题的意图分析本节课安排了三个例题，例1是教材P119的例1，例2是补充的题目．在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．四、课堂引入1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等．．．．．叫做正方．．．．．．．的平行四边形．．．．．．并且有一个角是直角形．指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）2．【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．五、例习题分析例1（教材P119的例1）略例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．又 DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．∴∠EAO=∠FDO．∴△AEO ≌△DFO．∴ OE=OF．六、随堂练习1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．2．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．3．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．七、课后练习1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．ABC D E F。
八年级数学下册第19章矩形、菱形与正方形1矩形19.矩形的判定课件(新版)华东师大版
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
新课讲授
练一练
如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面
条件能判定▱ABCD是矩形的是
（ A）
A．AC=BD C．AD=BC
B．AC=BC D．AB=AD
随堂即练
1.下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形. × （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形. √ （3）有一个角是直角的四边形是矩形. × （4）有三个角都相等的四边形是矩形. × （5）有三个角是直角的四边形是矩形. √ （6）四个角都相等的四边形是矩形. √
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一 种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
类似地，那我 们研究矩形的 性质的逆命题
是否成立.
矩形是特殊 的平行四边
形.
新课讲授
问题2 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是 直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 成立
D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂
足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝
1 2
∠BAC.
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝ 12∠CAM,
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
＝1
2
(∠BAC＋∠CAM)＝90°.
HS八(下) 教学课件
第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩形
2 矩形的判定
学习目标
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握 矩形的判定定理．（重点）
八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.3正方形第2课时课件新版华东师大版
【思路点拨】(1)BD平分∠ABC，AB=BC→△ABD≌△CBD→ 结论. (2)PM⊥AD，PN⊥CD，∠ADC=90°→四边形MPND是矩形 →由角平分线的性质→PM=PN→结论.
【自主解答】(1)∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 又∵BA=BC，BD=BD， ∴△ABD≌△CBD， ∴∠ADB=∠CDB.
19.3 正 方 形 第2课时
1.正方形的常用判定方法.(重点) 2.正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运 用.(难点)
一、正方形的判定 (1)有一个角是_直__角__的_菱__形__为正方形. (2)有一组邻边_相__等__的_矩__形__是正方形. 二、平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
∵CE=CF，∴四边形CEDF为正方形.
谢谢 观看
(1)求证：CE=CF. (2)点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？说明理由.
【解析】(1)∵CD垂直平分AB， ∴△ADC≌△BDC. ∴∠DCA=∠DCB. ∵DE⊥AC，DF⊥BC， 在Rt△DEC和Rt△DFC中，∠DCE=∠DCF， ∠DEC=∠DFC=90°，DC=DC. ∴Rt△DEC≌Rt△DFC. ∴CE=CF.
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°. 又∵∠ADC=90°， ∴四边形MPND是矩形. ∵∠ADB=∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN. ∴矩形MPND是正方形.
【总结提升】判定正方形的三步法 (1)先证明它是平行四边形. (2)再证明有一组邻边相等(或一个角是直角). (3)最后证明它有一个角是直角(或有一组邻边相等).
新华东师大版八年级数学下册《19章 矩形、菱形与正方形 19.3 正方形 正方形的判定》课件_17
五、巩固练习
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的 是（ B ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（ A）
A.2cm2
B.4cm2
C.6cm2
一个角是直角 菱形
正方形
∟
★正方形的定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平 行四边形叫正方形.
想一想？
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关 系?
平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形， 也是特殊的菱形。
边 ： 四边相等
角 ：四个角都是直角
相等 对角线：
互相垂直且平分 每条对角线平分一 组对角
华东师大版八年级下册 第19章 矩形、菱形与正方形
19.3.2 正方形判定
1
学习目标
1.探索正方形的性质,理解平行四边形、矩形、 菱形之间的联系和区别.(重、难点) 2.探索正方形的判定. (重、难点) 3.会运用正方形的性质及判定条件做有关的证 明和计算.(难点)
2
一、温故而知新
矩形 一组邻边相等 正方形
3.对角线相等且互相垂直平分
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
布置作业
作业: 课本121页 习题 第1、2、3题
16
B
C
（3 ）四个内角都相等，四条边也都相等的四 边形一定是：（ A ）
A．正方形 B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
四、例题讲解
八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形19.3正方形正方形及其性质说课稿(新版)华东师大版
正方形及其性质一、教材的地位与作用这节课是华师大版数学教材八年级下册第19章第3节第1课时的内容。
在现实生活中随处可见，应用非常广泛，它是学生非常熟悉的一种图形。
《正方形》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、菱形、矩形等平面几何知识，并且具备有初步的观察、操作、推理和证明等活动经验的基础上出现的。
目的在于让学生通过探索正方形的性质，进一步学习、掌握说理、证明的数学方法。
这一节课是前面所学知识的延伸和概括，充分体现了平行四边形、菱形、矩形、正方形这些概念之间的联系、区别和从属关系，同时又是高中阶段继续学习正方体、正六面体必备的知识。
二、教学目标1知识技能①、理解正方形的概念，掌握正方形性质以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系。
②、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证。
2.数学思想渗透从一般到特殊，化未知为已知的数学思想及转化的数学思想。
3.过程与方法①、通过本节课的学习培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力。
②、培养学生的合情推理意识，主动探究的习惯，逐步掌握证明的方法。
3.情感态度①、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风。
②、培养学生相互讨论、相互帮助、团结协作的团队精神。
三、教材的重点难点重点：正方形的概念和性质。
难点：理解正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的内在联系及正方形的性质和应用。
《教法分析》教法设想以“学—导—练”三步为主线，以“先学后教、当堂训练”的教学模式，来进行本节课的教学。
在整个教学过程中加强学生自学方法的指导。
以问题“引”自学，以自测“显”问题，以优生“带”差生，以点拨“疏”疑点，以训练“巩”新知 运用教学方法：以导学稿为载体，引导、探究、合作、点拔、评价 学法指导自学猜测、交流讨论、分析推理、归纳总结 教学程序一、出示目标 了解新知 学习目标（1分钟）1.理解正方形的概念，掌握正方形性质以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系。
19.3.2 正方形的判定 华东师大版八年级数学下册授课课件
知2－练
4 (中考·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小 文出了道题，从下列四个条件：
①AB＝BC；②∠ABC＝90°；
③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，
使 ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，
你认为其中错误的是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
矩形
平行 四边 形
有一组邻边相等并且有一个角是直角
知1－练
1 (中考·南京)如图，菱形ABCD的面积为120 cm2， 正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为 ________．
知1－练
2 如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线 上，四边形CEFH也为正方形，则△BDF的面积 为( ) A．4 B. 2 C．2 2 D．2
∴∠PEM＝∠NEQ.
∵CA是∠BCD的平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形．
PEM NEQ，
在△EPM和△EQN中，
EP
EQ，
∴△EPM≌△EQN(ASA)．EPM EQN，
∴S△EQN＝S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积．
∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝ 2a.
知2－讲
证明：∵E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点，
∴EF∥GH∥AC，FG∥EH∥BD，
且EF＝GH＝
1 2
Байду номын сангаас
AC，FG＝EH＝
1 2 BD.
又∵AC⊥BD，AC＝BD，
∴∠HEF＝∠EFG＝∠GHE＝∠FGH＝90°，
EF＝FG＝GH＝HE.
∴四边形EFGH是正方形．
初中数学华东师大八年级下册矩形菱形与正方形菱形的判定PPT
1、四边相等； 2、对角线互相垂直、平分，且每条对角
线平分一组对角； 3、既是轴对称图形又是中心对称图形。
菱形的判定方法㈠：
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
数学符号表示：（如图）
A
D ∵ □ABCD， AB=BC
B
C
∴ ABCD是菱形
D
A
┐
O
C
B
提示: △AOD≌△COB（角边角）
AD=BC
思考: 请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你 能判断重叠部分ABCD的形状吗？
A D
BC
∴ OA2＋OB2＝AB2
O C
∴ △ OAB是直角三角形 （
）
即AC⊥BD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ABCD是菱形
（
）
例题2：
已知：O是矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，
CE∥BD。
A
D
求证：四边形OCED是菱形。
O
E
证明：∵四边形ABCD是矩形
B
C
∴AC＝BD，OD＝ 1 BD，OC＝ 1 AC (
A
D ∵ AB=BC=CD=AD
B
C ∴ 四边形ABCD是菱形
菱形的判定方法1：一组邻边相等的平行四边形是
菱形。
菱形的判定方法2：四边相等的四边形是菱形。
菱形的判定方法3：对角线互相垂直的平行四边形
是菱形。
看谁最棒！
A B
判断对错：
C
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （ ）
（2）对角线垂直且平分的四边形是菱形。（ ）
∴BD是AC的中垂线
19.3 正方形(正方形的判定)
F C
E 证明
想一想：你 能用另外一 又∵ ∠ DEC= ∠ ECF= ∠ CFD =90°, 种方法完成 ∴DE=DF (角平分线上的点到角的两边的距离相等） 证明吗？ ∴四边形 CFDE是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）， ∴四边形 CFDE是正方形 （有一组邻边相等的矩形是正方形）．
华东师大版八年级（下册）
第19章矩形、菱形与正方形
正方形的定义
有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
平行四边形
正方形
一个角是直角 一组邻边相等 正方形
边
正方形的对边平行且相等
正 方 形 的 性 质
角
正方形的四个角都是直角 正方形的 两条对角线互相垂直平分 且相等,每条对角线平分一组对角
对角线
（ （
） ）
②、对角线互相垂直的矩形是正方形
③、对角线互相垂直且相等的四边
形是正方形
（ （ （ ） ） ）
④ 四条边都相等的四边形是正方形
⑤、四个角都相等的四边形是正方形
⑥、四边相等，有一个角是直角的四
边形是正方形.
（
）
A
如图:△ABC中, ∠ACB=90°,CD平分∠ACB, DE ⊥BC,DF ⊥AC,垂足分别为E,F. 求证:四边形CFDE是正方形.
∵CD平分∠ACB, DE⊥BC,DF ⊥AC
已知：如图，点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD' 求证：四边形A'B'C'D'是正方形
数学华东师大版八年级下册第19章矩形菱形与正方形 教学课件
(1)求证：△ABE≌△FCE. (2)连结AC，BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形.
【证明】(1)∵E是BC的中点，∴BE=CE. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF， ∴∠BAE=∠CFE. 在△ABE与△FCE中
∴△ABE≌△FCE.
BAE CFE， AEB FEC， BE CE，
题组二：矩形性质的应用 1.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD， DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为( )
A.8
B.6
C.4
D.3
【解析】选C.阴影部分的面积为2×4-4× ×2×1=4.
1 2
2.如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据 如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )
【变式备选】在上面的题目中，保持条件不变，试判断 △AOB和△EDO面积的大小，说明理由. 【解析】△AOB和△EDO面积相等.理由： 根据矩形的中心对称性，△ABD和△CDB面积相等. 即S△ABD=S△CDB，即S△ABD=S△EDB， ∴S△ABD-S△OBD=S△EDB-S△OBD， ∴△AOB和△EDO面积相等.
【总结提升】矩形的判定方法
已有条件 平行四边形 一般四边形
需要条件 有一个角是直角
邻角相等 对角线相等 有三个角是直角 对角线互相平分且相等
题组：矩形的判定
1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需
要添加的条件是( )
A.AB=CD
B.AD=BC
C.AB=BC
D.AC=BD
【解析】选D.由条件知四边形ABCD是平行四边形，若
【总结提升】矩形的性质 (1)矩形的性质为我们以后证明线段平行或相等、角的相等提供 了新的方法. (2)由边、角之间的相等关系，特别是有直角，可以将矩形中的 问题转化为直角三角形中有关边角的计算问题. (3)对角线将矩形分成了四个面积相等的等腰三角形，可以解决 有关等腰三角形的问题. (4)矩形既是中心对称图形，同时还是轴对称图形，为解决图形 的旋转和对折提供了依据.
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矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例
矩形、菱形、正方形的判定和性质是初中数学中最重要的内容之一.在中考中所占的比例较大，常以填空题、选择题、计算题、证明题的形式出现. 现举几例供同学们参考.
一、矩形知识的应用
例1(甘肃白银7市课改)如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为 .
分析：由四边形ABCD 是矩形，利用矩形的对角线互相平分且相等可知，矩形中OA=OB=OD=OC ，由三角形全等可求出阴影部分的面积.
解：∵矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O . ∴OA=OB=OD=OC，AC=BD
∵)(,SAS COF AOE COD AOB ∆≅∆∆≅∆ ∴CO F AO E CO D AO B S S S S ∆∆∆∆==, ∴阴影部分的面积3322
1
=⨯⨯=
点评：矩形是特殊的平行四边形，其特殊性表现在角上(四个角都是直角)，两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，从而可以计算阴影部分的面积.
二、菱形知识的应用
例2. (山东)如下图，菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE⊥AB，AB=a ，求：(1)∠ABC 的度数；(2)已知a AO 2
3
=
，求对角线AC 的长；(3)求菱形的面积. 分析： 因为E 是AB 的中点，且DE⊥AB 可得等腰三角形ABD 为等边三角形，这样菱形的4个内角都可求出，并且由特殊角的关系很容易求出AC 的长和菱形面积.
解：(1)连结BD.在菱形ABCD 中， ∵ DE⊥AB，E 是AB 的中点，∴ AB=AD=DB. ∴ △ABD 为等边三角形. ∴ ∠ABD=60° . ∴ ∠ABC=2∠ABD=120°.
(2)在菱形ABCD 中 ，AC⊥BD，且AC 与BD 互相平分. 由(1)在Rt△ABO 中，
a AO 2
3=
a a AO AC 32
3
22=⨯
==∴ (3)由(1)知a AB BD ==， ∴a a S ⋅⨯=⋅=
32
1
BD AC 21菱形 .2
32a =
点评：(1)本题首先证明△ABD 是等边三角形，从而求出∠ABD 的度数，再利用菱形的性质可求∠AB C.(2)求AC 的长可利用菱形的对角线互相垂直平分(3)菱形的面积可用
2
1
AC·BD 求出，也可利用AB·DE 求出. 本题应用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，即可求出面积.
三、正方形知识的应用
例3(浙江台州)把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H (如图).试问线段
HG 与线段HB 相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想.
分析：本题是将正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向进行旋转，画出正方形AEFG .构造全等三角形.
解：HG HB =. 证法1：连结AH ，
∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形.
∴90B G ∠=∠=°.
由题意知AG AB =，又AH AH =.
Rt Rt ()AGH ABH HL ∴△≌△， HG HB =∴.
证法2：连结GB .
∵四边形ABCD AEFG ，都是正方形，
90ABC AGF ∠=∠=∴°.
D
C
A
B G
H
F
E
D
C
A
B G
H
F
E
由题意知AB AG =.
AGB ABG ∠=∠∴. HGB HBG ∠=∠∴. HG HB =∴.
点评：本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定，要证HG=HB ，转化为证Rt△AGH≌Rt△ABH 或HBG HGB ∠=∠即可.
练习：
1.如图，如果要使平行四边行ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 .
2.如图，在梯形纸片ABCD 中，AD//BC ，AD>CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C′E .
求证：四边形CDC′E 是菱形.
3.如图，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点(不与A 、C 重合)，PE ⊥BC 于点E ，
PF ⊥CD 于点F .
(1) 求证：BP =DP ；
(2) 如图，若四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP =DP ？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；
(3) 试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转的过程
中长度始终相等，并证明你的结论 .
参考答案
1.AB AD AC BD =⊥，等.
2.证明：根据题意可知 DE C CDE '∆≅∆ 则 '''CD C D C DE CDE CE C E =∠=∠=，， ∵AD//BC ∴∠C ′DE=∠CED ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE
∴CD=C′D=C′E=CE ∴四边形CDC′E为菱形
3.(1) 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.
解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.
(2) 不是总成立 .当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.
说明：未用举反例的方法说理的不得分.
(3)连接BE、DF，则BE与DF始终相等.
在图中，可证四边形PECF为正方形，
在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC .
从而有 BE=DF.。