概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征 练习题
概率论与数理统计第四章习题解
7.若连续型随机变量ξ的分布密度是：
⎧ax2 + bx + c , (0 < x < 1)
f (x) = ⎨ ⎩
0
， , (x ≤ 0, x ≥ 1)
已知 E(ξ ) ＝1/2， D(ξ ) =3/20,求系数 a 、 b 、 c .
解：应用密度函数的性质有：
∫1
(ax 2
+
bx
+
c)dx
=
(a
x3
解：(1). E(ξ ) ＝－2×0.4＋0×0.3＋2×0.3＝-0.2 .
(2). E(ξ 2 ) = 4 × 0.4 + 0 × 0.3 + 4 × 0.3 = 2.8，
则： E(3ξ 2 + 5) ＝ 3E(ξ 2 ) + 5 = 3 × 2.8 + 5 = 13.4 . (3).由(1),(2)解：
D(ξ ) = E(ξ 2 ) − E 2 (ξ ) = 2.8 − (−0.2)2 = 2.76 .
11.设随机变量
(ξ
,η)
具有概率密度：
f
( x,
y)
=
⎧1 ⎩⎨0
(| y |< x,0 < x < 1) (其它)
，试求：
-5-
E(ξ ) ， E(η) .
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 解：
E(ξ )
=
解：由连续型随机变量数学期望的定义式：
∫ ∫ ∫ +∞
1500
E(ξ ) = xf (x)dx =
1
x 2dx − 3000 x(x − 3000) dx
−∞
0 15002
1500 15002
概率论与数理统计第四章
E (b) b E (aX ) aE ( X )
2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
推广 : E [ X i ] E ( X i )
i 1 i 1 n n
E ( ai X i ) ai E ( X i )
i 1 i 1
n
n
3. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
例2.（X,Y）服从二维正态分布，其概率密度为 1 f ( x, y ) 2 21 2 1
1 y 1 2 x 1 y 2 y 2 2 exp{ [( ) 2 ( )( )( ) ]} 2 1 1 2 2 (1 )
证明： XY
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
■相关系数
定义 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
Cov( X , Y ) X EX Y EY E[ ] D( X ) D(Y ) DX DY
为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）
X Y E( X Y ) XY
练习
1.设离散型随机变量(Ｘ,Y)的分布列为 Y 0 1 2 X 则E(XY)=( ) 0 1/3 1/6 1/9 1 0 1/6 1/9 2 0 0 1/9
2.设随机变量Ｘ的概率密度为
e x f ( x) 0 x0 其它
Y=e-2X,则EY=( )
■数学期望的性质
1. 设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b;
对正态分布而言，X、Y相互独立 与互不相关是等价的。
例4.设随机变量(X,Y)~N(1, 1, 9, 16, -0.5) 令
第四章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征课外习题
{
。
15. 设两个随机变量 X , Y 相互独立，且都服从均值为 0，方差为 1 的正态分布，
2
则随机变量 | X − Y | 的方差 =（
）
(a ) 1 + 2
π
( b) 1 − 2
π
(c) 2 + 2
π
(d )
2−2
):
π
16. 如果 ξ 与 η 满足 D (ξ + η ) = D (ξ − η ) , 则必有 ( ( A) ξ 与 η 独立
( B ) ξ 与 η 不相关
(C ) Dη = 0
( D)
Dξ ⋅ Dη = 0
17 .设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U = X − Y , V = X + Y 则随机变量 U 与 V 必然 是（ ） (A)． 不独立
(B)． 独立
(C) 相关系数不为零
(D). 相关系数为零 ）
18． X ~ B ( n , p ) ， E ( X ) = 2.4 , D ( X ) = 1.44 ，则 n , p （ (A)． n = 4 , p = 0.6 (C) n = 6 , p = 0.4 (B). n = 8 , p = 0.3 (D). n = 24 , p = 0.1
11. 0 18 . C
12. 1 19.
13. 0.975 D 20. C
14. 1
2
15.
B;
16 . B ;
二. 计算证明
N −1 kn 3 6 2 2 1. a = , b = , Dξ = ； 2. Eξ = a, Dξ = a + a ；3. EX = N − ∑ n ； 5 5 25 k =1 N
概率统计 第四章 随机变量的数字特征
i1 j1
E(Z ) E(g(X ,Y ))
g(xi , y j ) pij
i1 j1
(2)设(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，则当
g(x, y) f (x, y)dxdy
绝对收敛时，Z的数学期望存在，且
E(Z ) E(g(X ,Y ))
g(x, y) f (x, y)dxdy
此定理说明，在求随机变量X的函数Y=g(X)的期
望时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布即可。
定理4.1.2设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，g(•,•)是 连续函数。
(1)设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为
P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…
则当 g(xi , y j ) pij 绝对收敛时，Z的数学期望存在，且
解 设Xj为第j组的化验次数，j=1,2,…,10， X为1000人的化验次 数，则Xj的可能取值为1，101，且
Xj
1
101
Pj (99%)100 1-(99%)100
EX j 0.99100 (101)(1 0.99100 )
10
10
E(X ) E( X j ) E(X j )
j 1
第四章 随机变量的数字特征、极限定理
数学期望
几种重要分布的数学期望与方差 矩、协方差和相关系数 分位点、众数与其它数字特征
3.1数学期望
1.数学期望的定义 一、离散型随机变量的数学期望
例3.1 甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击 中命中环数与次数记录如下：
甲 环数 8 9 10
乙 环数 8 9 10
因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。
第四章 随机变量的数字特征-3
第四章随机变量的数字特征第三部分1.(方案的决定)某城市流行某种疾病，患者约占10％，为开展防治工作，要对全城居民验血。
现有两种方案：（1）逐个化验；（2）将4个人并为一组，混合化验。
如果合格，则4个人只要化验一次；若发现有问题再对这组4个人逐个化验一次，恭化验5次，文这两种方案哪一种为好？（例题、数学期望）解：所谓方案好坏，在这里指的是化验次数的多少。
这个问题的解决可以用两种方法来解决。
为计算方便，设该城居民有人，其中患者占人，对方案（1），显然要化验次。
因此下面只考虑方案（2）的化验的次数。
解法一：不使用概率的方法来解决。
可以这样来设想，即从最坏处着想，在分组时，每一组至多有一个患者，于是人共分为组，每组化验一次，共需化验次；但其中有组正好各有一个患者，因此每组需多化验4次，共需多化验次。
故总的化验次数为即方案（2）至多化验次，故方案（2）为佳。
解法二：使用概率的方法来解决。
既不是从最坏处着想，也不是从最好处考虑，而是考虑平均的次数，也就是考虑化验次数的数学期望。
因此，首先要提出一个随机变量来描述这个问题。
设表示每组的化验次数，由于分组是随机的，所以每组的化验的次数是一个随机变量，且具有相同的分布律。
令表示总的化验次数。
显然，某组4人中均无患者，此时只需要化验一次，故。
它的概率为，当很大时，近似地有。
若化验不合格，则总共需要化验5次，即，其概率为，于是的概率分布为，从而每组化验次数的数学期望为。
于是对方案（2），化验次数的数学期望为。
可见方案（2）优于方案（1），平均地来看，方案（2）的化验次数仅约为方案（1）的60％。
2.（电梯问题）个人在一楼进入电梯，楼上有层。
设每个乘客在任何一层出电梯的概率相同，试求直到电梯中的乘客出空为止时，电梯需停次数的数学期望。
（例题、数学期望）解：定义随机变量表示电梯在第层停的次数，即注意到，每个人在任何一层出电梯的概率均为。
若个人同时不在第层出电梯，那末电梯在该层就不停，而此时的概率为，故。
概率论与数理统计学习指导及习题解析第4章 随机变量的数字特征
第 4 章 随机变量的数字特征
2. 1) 定义： 设X是一个随机变量， 若E{［X－E(X)］2}存在， 则称E{［X－E(X)］2}为X的方差， 记为D(X)或Var(X)，
π
求E(X)与D(X)。
第 4 章 随机变量的数字特征
解 方法一： 由数学期望与方差的定义知
E X xf xdx 1 xex12 dx
π
1 ex12 dx 1 x 1 ex12 dx
π
π
1 ex12 dx 1
π
第 4 章 随机变量的数字特征
D
X
E
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
第 4 章 随机变量的数字特征
3. 1) 定义1： 若E{［X－E(X)］［Y－E(Y)］}存在， 则称其为 随机变量X与Y的协方差， 记为Cov(X，Y)，
Cov(X，Y)=E{［X－E(X)］［Y－E(Y)］}
第 4 章 随机变量的数字特征
2) 定义： 若随机变量X与Y的相关系数ρXY=0， 则称X与Y不
X
EX
2
x
12
f
xdx
x 1 2 1 ex12 dx
π
1 t 2et2 dt分部积分 1 et2 dt 1
π
2 π
2
第 4 章 随机变量的数字特征
方法二：
由于期望为μ， 方差为σ2的正态分布的概率密度为
1
x 2
e 2 2
x
2π
所以把f(x)变形为
第四章随机变量数字特征习题
第四章随机变量的数字特点一、填空题：1. 设随机变量 ~B(n,p) , 且E 0.5 ，D 0. 45 ，则 n= , p= 。
2. 设随机变量表示 10 次独立重复射击中命中目标的次数，且每次射击命中目标的2概率为，则E( ) = 。
3. 已知随机变量的概率密度为12x 2 x 1 (x) e （x ），则E( ) ，D( ) 。
14. 设随机变量~ U (a,b) ，且E( ) 2，D( ) ，则a ，b 。
35. 设随机变量 ,有E 10 ，D 25 ，已知E(a b) 0 ，D(a b) 1则 a= , b= , 或 a= , b= 。
6. 已知失散型随机变量听从参数为 2 的普哇松散布，则随机变量3 2 的数学希望E 。
27. 设随机变量 1 ~ U [0,6] ， 2 ~ N (0,2 ) ，且 1 与 2 互相独立，则D( 1 2 2 ) 。
2 8. 设随机变量 1 , 2 , , n 独立，而且听从同一散布。
数学希望为a , 方差为， n1令in 1，则E ，D 。
i19. 已知随机变量与的方差分别为D 49 ，D 64 ，相关系数0.8 ，则D( ) ，D( ) 。
10. 若随机变量的方差为D( ) 0.0 0 4，利用切比雪夫不等式知P E 0.2 。
二、选择题：1. 设随机变量的函数为a b ，（a , b 为常数），且E ，D 均存在，则必有（）。
A. E aEB. D aDC. E aE bD. D aD b2. 设随机变量的方差D 存在，则D(a b) （）（a , b 为常数）。
2 A. aD b B. a D2C. a D bD. a D23. 假如随机变量 ~ N( , ) ，且E 3，D 1，则P( 1 1) （）.A. 2 (1) 1B. (2) (4)C. ( 4) ( 2)D. (4) (2)4. 若随机变量听从指数散布，且D 0 .25 ，则的数学希望E （） .A.12 B. 2 C.14D. 40, x 05. 设随机变量的散布函数为3F (x) x , 0 x 1 ，则E( ) （）.1, x 14 A. x dx12B. 3x dxC.1x D. 3x dx 4 dx xdx4dx xdx21 026. 设随机变量的希望E 为一非负值，且E( 1) 2 ，21 D( 1) ，则2 22E （）。
概率论与数理统计第四章测试题
概率论与数理统计第四章测试题第4章随机变量得数字特征⼀、选择题1.设两个相互独⽴得随机变量X与Y得⽅差分别为4与2,则随机变量3X-2Y得⽅差就是(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442.若随机变量与得协⽅差,则以下结论正确得就是( )(A) 与相互独⽴(B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY3.设随机变量与相互独⽴,且,则( )(A) (B)(C) (D)4.设⼆维随机变量(X,Y)服从⼆维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关得充要条件为(A) EX=EY (B) E(X2)- (EX)2= E(Y2)- (EY)2(C) E(X2)= E(Y2) (D) E(X2)+(EX)2= E(Y2)+ (EY)25.设、就是两个相互独⽴得随机变量且都服从于,则得数学期望( ) (A) (B) 0 (C) (D)6.设、就是相互独⽴且在上服从于均匀分布得随机变量,则( )(A) (B) (C) (D)7.设随机变量与得⽅差存在且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY就是X与Y( )(A) 不相关得充分条件,但不就是必要条件(B) 独⽴得充分条件,但不就是必要条件(C) 不相关得充分必要条件(D) 独⽴得充分必要条件8.若离散型随机变量得分布列为,则( )(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9.将⼀枚硬币重复掷n次,以X与Y分别表⽰正⾯向上与反⾯向上得次数,则X与Y得相关系数等于(A)－1 (B)0 (C) (D)110.设随机变量X与Y独⽴同分布,具有⽅差>0,则随机变量U=X+Y与V=X-Y(A)独⽴(B) 不独⽴(C) 相关(D) 不相关11.随机变量X得⽅差存在,且E(X)=µ,则对于任意常数C,必有。
(A)E(X-C)2=E(X2)-C2(B)E(X-C)2=E(X-µ)2(C)E(X-C)2< E(X-µ)2(D)E(X-C)2≥ E(X-µ)212.设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=, 则P(1(A)0 (B) (C) (D)⼆、填空题1.设表⽰10次独⽴重复射击命中⽬标得次数,每次命中⽬标得概率为0、4,则2.设⼀次试验成功得概率为,进⾏了100次独⽴重复试验,当时,成功得次数得标准差得值最⼤,其最⼤值为3.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量,则得⽅差DY=5.设随机变量服从于参数为得泊松分布,且已知,则6.设(X,Y)得概率分布为:则＝。
【高等数学】概率论与数理统计-随机变量的数字特征专项试卷及答案解析
CA)P{Y=-2X-1} = 1.
+ (C)P{Y =-ZX 1} = 1.
(B)P{Y = 2X-1} = 1. (D)P{Y = 2X+l} = 1.
(5）将长度为lm的木棒随机地截成两段，则两；段长度的相关系数为
CA)l.
ω÷
(C） 一 ÷
CD) -1.
ω 已知随机变量 X,Y 均服从分布BCl,f），且仰 ＝ ÷，则P{X+Y ζl｝等于
P(B) + P(AB)
= 4P(AB) -2P(A) -2P(B）十1.
因此 E(XY) - EXEY = 4P(AB) -2P(A) - 2PCB) + 1 一 ［2P(A) -1][2PCB) - l]
= 4P(AB) - 4P(A)P(B),
所以X与Y不相关等价子 P(AB) = P(A)P(B） ，即 A,B 相互独立．
专 =1-d＝
（旧，Y均服从B(2，÷）分布
Cov(X,Y) E(XY)-EX • EY
ρXl' = ft5X" ./f5V =
� ./f5V
。XY
1
试验只重复2次， XY 的分布为 p
7 9
2 9
f f EX= EY= ,DX=DY= t,E(XY)= ,1.!iJ.pxy ＝ 一 ÷
【 i平注】 本题也可用对称性求解：
I I (3)£Y =
E[max(I
X
1,1)]
=
J IXl>l
Ix I
f(x)dx+ J
1
IXI运l
•
f(x)dx
＞. 士 = 2f
dx+
[1 1
概率论与数理统计第四章
例5.设随机变量 ,Y相互独立,且均服从正态 设随机变量X, 相互独立 相互独立, 设随机变量 分布N(0,0.5),求E|X-Y|. 分布 求
■切比雪夫不等式
定理 设随机变量X有期望 有期望E(X)和方差 σ 2 则对于 设随机变量 有期望 和方差 , 任给 ε >0, 2
σ P{| X E( X ) |≥ ε} ≤ 2 ε
■方差的定义
是一个随机变量, 设X是一个随机变量,若E[X-E(X)]2 < ∞,则 是一个随机变量 , 称 D(X)=E[X-E(X)]2 (1) 的方差. 为X 的方差
采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用 都起正面的作用 差值
方差的算术平方根 D(X) 称为标准差 由于标准差与X具有相同的度量单位, 由于标准差与 具有相同的度量单位, 具有相同的度量单位 在实际问题中经常使用. 在实际问题中经常使用
a
甲仪器测量结果
a
乙仪器测量结果
又如,甲 乙两门炮同时向一目标射击 发炮 又如 甲,乙两门炮同时向一目标射击10发炮 其落点距目标的位置如图,试比较精度. 弹,其落点距目标的位置如图,试比较精度
中心
中心
甲炮射击结果
乙炮射击结果
为此需要引进另一个数字特征,用它 为此需要引进另一个数字特征 用它 来度量随机变量取值在其中心附近的离 来度量随机变量取值在其中心附近的离 散程度. 散程度 这个数字特征就是: 这个数字特征就是:
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY) -E(X)E(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)
∞ ∑g( xk ) pk , X离散型 E(Y ) = E[g( X)] = k=1 ∞ g( x) f ( x)dx, X连续 型 ∫∞
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第三章 随机变量的数字特征 练习题
一、填空题
1.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X的数学
期望2()EX 。
2.设随机变量X在区间[1, 2]上服从均匀分布，随机变量 1, 0, 0, 0,1, 0,XYXX 则()DY 。
3.设随机变量X服从参数为的指数分布，则当c 时，(||)EXc达到最小。
4.设随机变量X服从参数为的指数分布，则(())PXDX 。
5.从1,2,3,4,5中任取一个数，记为X，再从1,2,,X中任取一个数，记为Y，则()EY 。
6.袋中装有n只球，每次从中随意取出一球，并放入一个白球，如此交换共进行n次。已知
袋中白球数的数学期望为a，那么第1n次从袋中任取一球为白球的概率是 。
7.设随机变量2(,)XN，则由切比雪夫不等式，有(||3)PX 。
二、解答题
1.设10只同种电器元件中有2只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，若是废品，则
扔掉，重新取一只，若仍是废品，则再扔掉再取一只，求在取到正品之前，已取出的废品
数X的概率分布、数学期望及方差。
2.设排球队A与B进行比赛，若有一队胜3场，则比赛结束。假定A在每场比赛中获胜的概
率12p，求比赛场数X的数学期望。
3.设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为23, 02,()8 0, xxfx其他,
（1）已知事件{}AXa和{}BYa独立，且3()4PAB，求常数a；
（2）求21X的数学期望。
答案：
一、18.4； 89； ln2； 1e； 2； an； 19。
二、1.01248154545，29EX，88405DX； 2. 4.125； 3.34a，2134EX。