第四章随机变量的数字特征习题
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。
概率论与数理统计第四章
E (b) b E (aX ) aE ( X )
2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
推广 : E [ X i ] E ( X i )
i 1 i 1 n n
E ( ai X i ) ai E ( X i )
i 1 i 1
n
n
3. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
例2.（X,Y）服从二维正态分布，其概率密度为 1 f ( x, y ) 2 21 2 1
1 y 1 2 x 1 y 2 y 2 2 exp{ [( ) 2 ( )( )( ) ]} 2 1 1 2 2 (1 )
证明： XY
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
■相关系数
定义 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
Cov( X , Y ) X EX Y EY E[ ] D( X ) D(Y ) DX DY
为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）
X Y E( X Y ) XY
练习
1.设离散型随机变量(Ｘ,Y)的分布列为 Y 0 1 2 X 则E(XY)=( ) 0 1/3 1/6 1/9 1 0 1/6 1/9 2 0 0 1/9
2.设随机变量Ｘ的概率密度为
e x f ( x) 0 x0 其它
Y=e-2X,则EY=( )
■数学期望的性质
1. 设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b;
对正态分布而言，X、Y相互独立 与互不相关是等价的。
例4.设随机变量(X,Y)~N(1, 1, 9, 16, -0.5) 令
第四章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征课外习题
{
。
15. 设两个随机变量 X , Y 相互独立，且都服从均值为 0，方差为 1 的正态分布，
2
则随机变量 | X − Y | 的方差 =（
）
(a ) 1 + 2
π
( b) 1 − 2
π
(c) 2 + 2
π
(d )
2−2
):
π
16. 如果 ξ 与 η 满足 D (ξ + η ) = D (ξ − η ) , 则必有 ( ( A) ξ 与 η 独立
( B ) ξ 与 η 不相关
(C ) Dη = 0
( D)
Dξ ⋅ Dη = 0
17 .设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U = X − Y , V = X + Y 则随机变量 U 与 V 必然 是（ ） (A)． 不独立
(B)． 独立
(C) 相关系数不为零
(D). 相关系数为零 ）
18． X ~ B ( n , p ) ， E ( X ) = 2.4 , D ( X ) = 1.44 ，则 n , p （ (A)． n = 4 , p = 0.6 (C) n = 6 , p = 0.4 (B). n = 8 , p = 0.3 (D). n = 24 , p = 0.1
11. 0 18 . C
12. 1 19.
13. 0.975 D 20. C
14. 1
2
15.
B;
16 . B ;
二. 计算证明
N −1 kn 3 6 2 2 1. a = , b = , Dξ = ； 2. Eξ = a, Dξ = a + a ；3. EX = N − ∑ n ； 5 5 25 k =1 N
新教材高中数学第四章随机变量的数字特征课时作业含解析新人教B版选择性必修第二册
新教材高中数学：课时作业(十四) 随机变量的数字特征一、选择题1．设二项分布B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.12．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( ) A ．6 B ．9C ．3D ．43．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)＝( ) A.158 B.154C.52D ．5 4．设ξ的分布列为又设η＝2A.76 B.176 C.173 D.323二、填空题5．已知X 的分布列为则D (X )等于________．6．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好．7．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________． 三、解答题8．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和D (ξ)．9．海关大楼顶端镶有A ，B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1，X 2(单位：s)，其分布列如下：[尖子生题库]10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值．课时作业(十四) 随机变量的数字特征1．解析：由题意得，np ＝2.4，np (1－p )＝1.44，∴1－p ＝0.6，∴p ＝0.4，n ＝6.答案：B2．解析：E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6. D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6. 答案：A3．解析：两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，14， 因此D (ξ)＝10×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝158.故选A. 答案：A4．解析：E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，所以E (η)＝E (2ξ＋5)＝2E (ξ)＋5＝2×176＋5＝323. 答案：D5．解析：E (X )＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D (X )＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.答案：0.616．解析：因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定．答案：乙7．解析：由题意知X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝89. 答案：898．解析：ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13； ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了．则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12； ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P (ξ＝3)＝1A 33＝16. 所以，ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P 13 12 16E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1； D (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1. 9．解析：∵E (X 1)＝0，E (X 2)＝0，∴E (X 1)＝E (X 2)．∵D (X 1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；D (X 2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D (X 1)<D (X 2)．由上可知，A 面大钟的质量较好．10．解析：(1)X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P 12 120 110 320 15∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5. D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2.又∵E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴{ a ＝2，b ＝－2或{ a ＝－2，b ＝4即为所求．。
第四章随机变量的数字特征单元测试题
随机变量的数字特征章节测试题一、选择题(本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( ) A ．2B ．8C ．18D ．202．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和454，则n 、p的值分别是( )A ．50，14B ．60，14C ．50，34D ．60，34.3．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( )A ．68.26%B ．95.44%C ．99.74%D ．31.74%4．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同5．设随机变量X 和Y 独立同分布，若记随机变量,=-=+U X Y V X Y ，则随机变量U 与V 必然（ ）Ａ．不独立 Ｂ．独立 Ｃ．相关系数不为零Ｄ．相关系数为零6．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73C.113D ．37．已知X 为随机变量，且E (X ), D (X )均存在，则下列式子不成立的是( ).[()]().[()]2().[()]0.[()]()=+=-==A E E X E X B E X E X E X C E X E X D D E X E X8．设随机变量X 服从[,]a b 上的均匀分布，若1()2,()3==E X D X ，则均匀分布中的常数,a b 的值分别为( ).1,3.1,2.2,3.2,2========A a b B a b C a b D a b9．设X 服从参数为1的指数分布，且2-=+X Y X e ，则()()=E Y3411....4343A B C D 10．设,X Y 为两个任意的随机变量，若()()()=E XY E X E Y ，则( ).()()().()()()..+=+=A D X Y D X D Y B D XY D X D Y C X Y D X Y 和相关和相互独立11.设随机变量12,,,(1)>n X X X n 独立同分布，且方差为20σ>，令11==∑ni i Y X n ，则( )22112211.Cov(,).Cov(,)21.().()σσσσ==+++=-=A X Y B X Y nn n C D X Y D D X Y nn12.设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则()()()+=+D X Y D X D Y 是X 和Y ( )A.不相关的充分条件，但不是必要条件B.独立的充分条件，但不是必要条件C.不相关的充分必要条件D.独立的充分必要条件13．设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，则随机变量ξ=+X Y 与η=-X Y 不相关的充分必要条件是( )2222222222.()().()[()]()[()].()().()[()]()[()]=-=-=+=+A E X E Y B E X E X E Y E Y C E X E Y D E X E X E Y E Y14. 设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则( ) ..(,)..+A X Y B X Y C X Y D X Y 与一定独立服从二维正态分布与未必独立服从一维正态分布15. 设随机变量(,1,2,,;2)=≥ij X i j n n 独立同分布，并且()2=ij E X ，则行列式111212122212=n n n n nnX X X X X X Y X X X 的数学期望()=E Y ( ).2.0.1.2-A B C D二、填空题(本大题共10个小题，每小题２分，共20分．)1．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X 的均值E (X )＝________. 2．一离散型随机变量X 的概率分布列为且E (X )＝1.5，则a －b ＝3．设随机变量X 与Y 相互独立，X 的密度函数为22,0()0-⎧>=⎨⎩x X e x f x 其他，Y 分布律为33{},0,1,2,!-===k e P Y k k k ，且32=--Z X Y ，则 D (Z ) =________．4.设2(),()(0)μσσ==>E X D X ，则由切比雪夫不等式{3}μσ-≥≤P X ________． 5．若~(0,1),~(3,4)X N Y N ，且X 与Y 相互独立，则2X + Y ~ ________．6．设随机变量123,,X X X 相互独立，其中2123~(0,6),~(0,2),~(3)X U X N X P ，若记12324=-+Y X X X ，则()=E Y ________．7．设X 服从参数为2的指数分布，则2()=E X ________． 8．设随机变量X 的密度函数为sin (0)()0().≤≤π⎧=⎨⎩a xx f x ，其他，则()=D X ________．9．投掷一枚均匀的硬币100次，设随机变量X 表示出现正面的次数，试用切比雪夫不等式估计概率(0.40.6)100<<≥XP ________． 10．设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(1,1;3,3;0.5)N ，令随机变量=-Z X Y ，则协方差Cov(,)=X Z ________．三、解答题(本大题共10个小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X 的均值和方差．2．已知连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()04,41, 4.≤⎧⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩x x F x x x求()E X 和()D X ．3．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X ，求随机变量X 的均值．4．设随机变量X 的概率密度为cos ,0()20,π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩x x f x 其他，令随机变量2=Y X ，试求()D Y .5. 设随机变量,,X Y Z 互不相关，且222()5,()10,()6===D X D Y D Z ，令随机变量,=+=+U X Y V Y Z ，试求随机变量U 和V 的相关系数.6．设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)01,}=<<<D x y x y x上服从均匀分布，试求（1）关于X 和Y 的边缘概率密度； （2）(1);+≤P X Y（3）21=+Z X 随机变量的方差.7．设随机变量X 和Y 的联合分布律为110.070.180.1510.080.320.20-Y X 试求X 和Y 的相关系数ρ8. 使仪器停止工作的元件故障数X 是一个随机变量，其分布函数为()1,0,1,2,-=->=ax F x e a x试求()()E X D X 和．9．设随机变量X 和Y 相互独立，X 和Y 的概率密度分别为12,0,0(),()0,00,0--⎧⎧>>==⎨⎨≤≤⎩⎩ax bx ae x be y f x f y x y 其中,a b 为正实数，又设随机变量1,0,≤⎧=⎨>⎩X YZ X Y ，试求Z 的分布律和数学期望2()E Z ．10．设随机变量X 和Y 相互独立，并且都服从正态分布2(0,)σN ，又设随机变量=(,)ξαβηαβαβ=+-X Y X Y ，为不相等的常数，试求（１）数学期望()()ξηE E 和，方差()()ξηD 和D ，ξη和的相关系数ξηρ； （２）当αβ和满足什么条件时，随机变量ξη和不相关．。
概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征习题解答
习题4-11、设随机变量X 服从参数为p 的01-分布，求()E X 。
解：据题意知，X 的分布律为根据期望的定义，得()0(1)1E X p p p =⋅-+⋅=。
2、袋中有n 张卡片，记有号码1,2,,n 。
现从中有放回地抽出k 张卡片，求号码之和X 的数学期望。
解：设i X 表示第i 次取到的卡片的号码（1,2,,i k =），则12k X X X X =+++。
因为是有放回地抽出卡片，所以i X 之间相互独立。
所以第i 次抽到号码为m 的卡片的概率为1{},(1,2,,;1,2,,)i P X m m n i k n====，即i X 的分布律为1{},(1,2,,)i P X m m n n===， 所以11()(12)2i n E X n n+=+++=， 所以，1(1)()()2k k n E X E X X +=++=。
注：求复杂随机变量期望时可先引入若干个简单的随机变量，再根据期望的性质即可。
3、某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。
每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。
（设诸产品是否是次品是相互独立的。
）解：令Y 表示一次抽检的10件产品的次品数，据题意知，~(10,0.1)Y b ，00101191010{1}1{0}{1}10.10.90.10.90.2639p P Y P Y P Y C C =>=-=-==--=，因此，~(4,0.2639)X b ，从而()40.2639 1.0556E X np ==⋅=。
注：此题必须先求出一天中调整设备的概率。
即p 值。
4、据统计，一位60岁的健康（一般体检未发生病症）者，在5年内仍然活着或自杀身亡的概率为p （01p <<，p 为已知），在五年内非自杀身亡的概率为1p -。
保险公司开办5年人寿保险，条件是参保者需缴纳人寿保费a 元（a 已知），若5年内非自杀死亡，保险公司赔偿b 元（b a >）。
第四章随机变量数字特征习题
第四章随机变量的数字特点一、填空题：1. 设随机变量 ~B(n,p) , 且E 0.5 ，D 0. 45 ，则 n= , p= 。
2. 设随机变量表示 10 次独立重复射击中命中目标的次数，且每次射击命中目标的2概率为，则E( ) = 。
3. 已知随机变量的概率密度为12x 2 x 1 (x) e （x ），则E( ) ，D( ) 。
14. 设随机变量~ U (a,b) ，且E( ) 2，D( ) ，则a ，b 。
35. 设随机变量 ,有E 10 ，D 25 ，已知E(a b) 0 ，D(a b) 1则 a= , b= , 或 a= , b= 。
6. 已知失散型随机变量听从参数为 2 的普哇松散布，则随机变量3 2 的数学希望E 。
27. 设随机变量 1 ~ U [0,6] ， 2 ~ N (0,2 ) ，且 1 与 2 互相独立，则D( 1 2 2 ) 。
2 8. 设随机变量 1 , 2 , , n 独立，而且听从同一散布。
数学希望为a , 方差为， n1令in 1，则E ，D 。
i19. 已知随机变量与的方差分别为D 49 ，D 64 ，相关系数0.8 ，则D( ) ，D( ) 。
10. 若随机变量的方差为D( ) 0.0 0 4，利用切比雪夫不等式知P E 0.2 。
二、选择题：1. 设随机变量的函数为a b ，（a , b 为常数），且E ，D 均存在，则必有（）。
A. E aEB. D aDC. E aE bD. D aD b2. 设随机变量的方差D 存在，则D(a b) （）（a , b 为常数）。
2 A. aD b B. a D2C. a D bD. a D23. 假如随机变量 ~ N( , ) ，且E 3，D 1，则P( 1 1) （）.A. 2 (1) 1B. (2) (4)C. ( 4) ( 2)D. (4) (2)4. 若随机变量听从指数散布，且D 0 .25 ，则的数学希望E （） .A.12 B. 2 C.14D. 40, x 05. 设随机变量的散布函数为3F (x) x , 0 x 1 ，则E( ) （）.1, x 14 A. x dx12B. 3x dxC.1x D. 3x dx 4 dx xdx4dx xdx21 026. 设随机变量的希望E 为一非负值，且E( 1) 2 ，21 D( 1) ，则2 22E （）。
《概率论与数理统计》第4-7 章复习与自测题
《概率论与数理统计》第4－7章复习第四章 随机变量的数字特征常用分布的期望与方差第五章 大数定律及中心极限定理第六章 数理统计的基本概念第七章参数估计常用概率分布的参数估计表自测题第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤1 0 其他, 求数学期望EX 。
2.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。
3. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30， 其它 ，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0， 若X ，Y 相互独立，求： E(XY)4. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。
DX=1λ, E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ5．设随机变量的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 1 2 0 1/4 1/12 2 1/6 1/2 求：(1) E(X), E(Y)；(2)D(X), D(Y)；(3) ρxy 。
6．设二维随机变量(X ，Y)的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 0 1 3 0 0.1 0.2 0.1 1 0.2 0.4 0，求(1)E(XY); (2)Cov(X,Y)。
试问：X 与Y 是否相互独立？为什么？7. 设随机变量X 的分布律为 ⎣⎡⎦⎤X -2 0 1 2P 0.2 0.3 0.4 0.1.记Y =X 2， 求：(1)D (X )，D (Y )；(2)Cov(X,Y ), ρxy .8. 已知投资某短期项目的收益率R 是一随机变量，其分布为：⎣⎡⎦⎤R -2% 0% 3% 10%P 0.1 0.1 0.3 0.5 。
(1) 求R 的数学期望值E(R)与方差D(R)；(2) 若一位投资者在该项目上投资100万元，求他预期获得多少收益(纯利润)(万元)？9. 假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。
随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=0.5，D （X ）=0.5? B. E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=22、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D（Z ）=? （??C?） A. 1 ?B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. 0.04? C. 0.4? D. 44、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X -C ）=D （X ）5、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=4,142,122,0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ）A ．31 ?B ． 21 C ．23?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)31,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ）A ． 34 ?B ． 37C ． 323 ?D ． 3267、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ． -13 ?B ． 15C ． 19 ?D ． 238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ． 31 ?B ． 1C ． 310 ?D ． 1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A. E （X ）=1?B. D （X ）=3?C. P （X=1）=0?D. P （X<1）=0.5 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ）A ．)(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y DC ．)(XD +)(Y D -2),cov(Y X ?D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)21,10(~B X，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（D ）A ． -0.8 ?B ． -0.16C ． 0.16 ?D ． 0.8 13、已知随机变量X 的分布律为25.025.012p P xX i-，且E （X ）=1?，则常数x =( B)A ． 2 ?B ． 4C ． 6 ?D ． 814、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. -0.5 B. 0 C. 0.5 D. 215、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--otherx e x12，则X 的均值和方差分别为（?D ） A ．4)(,2)(==X D X E ?B ． 2)(,4)(==X D X E C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16则)(XY E =（B ） A ．91- ?B ． 0 C ． 91 ?D ． 31 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A ． 2- ?B ． 0 C ．0.5 ?D 218、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B(6，0.5)，则E(X-Y)=( A)A ．5.2- ?B ． 0.5 C ． 2 ?D ． 519、设二维随机变量(X ，Y)的协方差cov(X ，Y)=61，且D(X)=4，D(Y)=9，则X 与Y 的相关系数XYρ为（?B ） A ．2161 ?B ． 361 C ． 61 ?D ． 1 20、设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N?(0，9)，Y ～N?(0，1)，令Z=X-2Y ， 则D?(Z)=（D ） A ． 5 ?B ． 7 C ． 11 ?D 13 21、设(X ，Y)为二维随机变量，且D?(X)>0，D?(Y)>0，则下列等式成立的是（B ） A ． )()()(Y E X E XY E = ? B ．)()(),cov(Y D X D Y X XY ⋅=ρC ． )()()(YD X D Y X D +=+ ?D ． ),cov(2)2,2cov(Y X Y X =22、设n X X X ,,,21Λ是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ）A ． {}22εσεμn n X P ≥<- ?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ． {}221εσεμn X P -≤≥- ?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 98?D ． 1 24、设随机变量 X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 94 ?D 21 25、已知随机变量X ～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为（D ） A ． 1 ?B ．2 C ．3 ?D4 二、填空（每小题2分） 1、设X~)21,4(B ，则)(2X E =5 2、设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则cov （X ，Y ）=1 3、已知随机变量X 满足1)(-=X E ，2)(2=X E ，则)(X D =1 4、设随机变量X ，Y 的分布列分别为 且X ，Y 相互独立，则E （XY ）=2413-5、随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且3.0}0{==X P ，1)(=X E ，则x =710 6、设随机变量X 的分布律为4.03.02.01.02101iP X -，则)(X D =17、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =94 8、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=09、设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，Λ,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ-10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2, 则E?(?Y?)=-0.5 12、已知随机变量X 的分布律为2.03.05.0501iP X -，则)}({X E X P <=0.813、已知E （X ）= -1?，D （X ）=3,则)23(2-X E =1014、设1X ，2X ，Y 均为随机变量，已知1),cov(1-=Y X ，3),cov(2=Y X ，则),2cov(21Y X X +=515、设)1,0(~N X ，)21,16(~B Y，且X ，Y 相互独立，则)2(Y X D +=816、将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为0.0228 （附：Φ（2）=0.9772）17、设随机变量X?~?B （100，0.2），应用中心极限定理计算P{16?X ?24}=0.6826 附：Φ（1）=0.841318、设随机变量X ，Y 的期望和方差分别为E(X)=0.5，E(Y)=-0.5，D(X)=D(Y)=0.75，E(XY)=0，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 19、设随机变量X 的期望E?(X?)=2，方差D?(X?)=4，随机变量Y 的期望E?(Y)=4, D?(Y?)=9, 又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布)31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y 。
概率论与数理统计第四章
例5.设随机变量 ,Y相互独立,且均服从正态 设随机变量X, 相互独立 相互独立, 设随机变量 分布N(0,0.5),求E|X-Y|. 分布 求
■切比雪夫不等式
定理 设随机变量X有期望 有期望E(X)和方差 σ 2 则对于 设随机变量 有期望 和方差 , 任给 ε >0, 2
σ P{| X E( X ) |≥ ε} ≤ 2 ε
■方差的定义
是一个随机变量, 设X是一个随机变量,若E[X-E(X)]2 < ∞,则 是一个随机变量 , 称 D(X)=E[X-E(X)]2 (1) 的方差. 为X 的方差
采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用 都起正面的作用 差值
方差的算术平方根 D(X) 称为标准差 由于标准差与X具有相同的度量单位, 由于标准差与 具有相同的度量单位, 具有相同的度量单位 在实际问题中经常使用. 在实际问题中经常使用
a
甲仪器测量结果
a
乙仪器测量结果
又如,甲 乙两门炮同时向一目标射击 发炮 又如 甲,乙两门炮同时向一目标射击10发炮 其落点距目标的位置如图,试比较精度. 弹,其落点距目标的位置如图,试比较精度
中心
中心
甲炮射击结果
乙炮射击结果
为此需要引进另一个数字特征,用它 为此需要引进另一个数字特征 用它 来度量随机变量取值在其中心附近的离 来度量随机变量取值在其中心附近的离 散程度. 散程度 这个数字特征就是: 这个数字特征就是:
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY) -E(X)E(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)
∞ ∑g( xk ) pk , X离散型 E(Y ) = E[g( X)] = k=1 ∞ g( x) f ( x)dx, X连续 型 ∫∞
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第四章 随机变量的数字特征
一、填空题：
1. 设随机变量ζ~B(n,p) ,且5.0=ζE ，45.0=ζD ，则n= , p= 。
2. 设随机变量ξ表示10次独立重复射击中命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为0.4，则)(2
ξE = 。
3. 已知随机变量ξ的概率密度为1
22
1
)(-+-=
x x
e x π
ϕ（+∞<<∞-x ），则
=)(ξE ，=)(ξD 。
4. 设随机变量ξ),(~b a U ，且2)(=ξE ，3
1)(=
ξD ，则=a ，=b 。
5. 设随机变量ζ,有10=ζE ，25=ζD ，已知 0)(=+b a E ζ ，1)(=+b a D ζ 则 a= , b= , 或 a= , b= 。
6. 已知离散型随机变量ζ服从参数为2的普哇松分布，则随机变量23-=ζη的数学期望=ηE 。
7. 设随机变量1ξ]6,0[~U ，2ξ)2,0(~2
N ，且1ξ与2ξ相互独立，则
=-)2(21ξξD 。
8. 设随机变量n ζζζ,,,21 独立，并且服从同一分布。
数学期望为a , 方差为2
σ，
令 i n
i n ζζ∑==1
1 ，则 =ζE ，=ζD 。
9. 已知随机变量ζ与η的方差分别为49=ζD ， 64=ηD ， 相关系数
8.0=ζηρ，则=+)(ηζD ，=-)(ηζD 。
10. 若随机变量ζ的方差为004.0)(=ξD ，利用切比雪夫不等式知
{}≥<-2.0ξξE P 。
二、选择题：
1. 设随机变量ζ的函数为b a +=ζη，（a , b 为常数），且ζE ，ζD 均存在，则必有（ C ）。
A. ζηaE E =
B. ζηaD D =
C. b aE E +=ζη
D. b aD D +=ζη
2. 设随机变量ζ的方差ζD 存在，则=+)(b a D ζ（ B ）（a , b 为常数）。
A. b aD +ζ
B. ζD a 2
C. b D a +ζ2
D. ζD a
3. 如果随机变量ζ~),(2σμN ，且3=ζE ，1=ζD ，则=≤<-)11(ζP （ D ）.
A. 1)1(2-Φ
B.)4()2(Φ-Φ
C.)2()4(-Φ--Φ
D.)2()4(Φ-Φ
4. 若随机变量ζ服从指数分布，且2
5.0=ζD ，则ζ的数学期望=ζE （ A ）.
A.
21 B. 2 C. 4
1
D. 4 5. 设随机变量ζ的分布函数为⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤<=1
,110,
,
0)(3
x x x x x F ，则=)(ξE （ B ）. A.
dx x ⎰
+∞
4
B.
dx x ⎰1
2
3 C. ⎰⎰+∞
+1
1
4
xdx dx x
D.
dx x ⎰
+∞
23
6. 设随机变量ζ的期望ζE 为一非负值，且2)12
(
2
=-ζE ，2
1
)12
(
=
-ζ
D ，则
=ζE （ C ）。
A. 0 B. 1 C. 2 D.
8
7． 随机变量ζ与η相互独立，且4)(=ξD ，2)(=ηD ，则
=+-)523(ηξD （ D ）。
A. 8 B. 16 C. 28 D. 44
8. 如果ζ与η满足)()(ηζηζ-=+D D ，则必有（ B ）。
A. ζ与η独立
B. ζ与η不相关
C. 0=ηD
D. 0=⋅ηζD D 9. 设随机变量ζ与η的相关系数为1=ξηρ，则（ D ）。
A. ζ与η相互独立
B. ζ与η必不相关
C.{
}12
=++=c b a P ξξη D. {}
1=+=b a P ξη
三、计算题：
1. 设随机变量ζ的分布律为
求)(ζE ，)(2
ζE , )53(2
+ζ
E ，
)12(-ζD
2．三枚硬币，用ξ表示出现正面的个数，试求3
ξη=的数学期望)(ηE 。
3.
(此种题一般为均匀分布)某公共汽车站每隔10分钟有一辆车经
过，某一乘客到达车站的时间是任意的，该乘客的候车时间（单位：分钟）是一个随机变量ζ，求ζ的数学期望与标准差。
4. 设随机变量的密度函数为⎩⎨⎧<=其它
,01
,)(2x Ax x ϕ，
求:（1）常数A ; (2) ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤
21ξP ; (3) )(ξE ,)(ξD 5. 设随机变量)(~λπξ,且已知1)]2)(1[(=--ξξE ，求λ。
6. 设ζ为一个随机变量。
已知1=ζE ，1)2
(=ζ
D ，求 2
)1(-ζE 。
7. 设随机变量ζ服从指数分布，且方差3=ζD ，写出ζ的概率密度，并计算
)31(≤<ζP 。
8. 已知随机变量ζ服从参数为1的指数分布，求随机变量ζ
ζη2-+=e
的数学期
望。
9. 设圆的半径ζ服从[0，1]内的均匀分布，求其面积η的数学期望。
10. 设随机变量ζ与η的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧
<
<=其它,
010,2)(2θθϕx x x ，
若θ
ηζ1
)2(=
+c E ，求常数c 。
11. 设三台仪器出现故障的概率分别为1P ，2P ，3P ，求出现故障的仪器数的数学期望和方差。
12. 掷10颗骰子，假定每颗骰子出现1至6点都是等可能的，求10颗骰子的点数和
的数学期望与方差。
13. 设4=ζD ，1=ηD ，6.0=ζηρ 求 )23(ηζ-D 。
14. 设二维随机变量（ηξ,）的联合概率分布为 η ξ 0 1
0 3625 365 1 36
5
36
1 求：（1）)(ξE ，)(ηE ；（2）)(ξηE ；（3）),cov(ηξ；（4）ξηρ。
5. 设随机变量),(ηζ的密度为⎪⎩
⎪⎨⎧+=0)
(81
),(y x y x ϕ ， 其他20≤≤x ，20≤≤y
求ζE ，ηE ，),cov(ηζ。
四、证明题：
设随机变量),(ηζ的联合分布律为
ζ η -1 0 1
-1 1/8 1/8 1/8
0 1/8 0 1/8
1 1/8 1/8 1/8
试证ζ与η既不相关也不独立。
五、附加题：
1. 设随机变量ζ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,
00,2
cos 21
)(π
ϕx x x ，对ζ独立地重复观察4次，用η表示观察值大于
3
π的次数，求2
η的数学期望。
2. 设二维随机变量（ηξ,）在区域:D 10<<x ，x y <内服从均匀分布，求关于ξ
的边缘概率密度函数及随机变量12+=ξη的方差)(ηD 。
3. 设 A , B 是两个随机事件，随机变量⎩
⎨⎧-=不出现若，出现
若A A 1,1ξ，
⎩⎨
⎧-=不出现
若，出现
若B B 1,1η，试证ξ与η不相关的充要条件是事件A , B 相互独立。