空间图形的公理
空间图形的公理(公理1,2,3)
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
2. 下列命题中正确的是（ B ） A ．空间三点可以确定一个平面 B ．三角形一定是平面图形 C ．若 A ， B ， C ， D 既在平面 α 内，又在平面 β 内， 则平面 α 和平面 β 重合 D ．四条边都相等的四边形是平面图形
B
A l ,B l ,A ,B l
作用： 判定直线是否在平面内．
思考5：观察长方体，你发现长方体的两个平面有
什么位置关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？ 提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那
么这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的 基础．
B
提示：不只相交于一点B，如下图所示：
B
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那
么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l, 且 P l
P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1．下列说法中正确的是( D )
A．经过三点确定一个平面
1.4.2空间图形的公理课件5(北师大版)
F
H
D
G C
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
观察正方体ABCD A1B1C1D1 ADC与A1D1C1，ADC与A1B1C1
的两边怎样的位置关系，大小如何？
2、等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角相等或互补.
两直线的夹角：
两直线相交所成的4个角中，其中不大于 90 ° 的角叫做两直线的夹角.
课堂探究2
两条异面直线所成的角
l2
l1
P
b
a
如图所示，a，b是两条异面直线， 在空间中任选一点O， 过O点分别作a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成 的锐角θ(或直角)， 称为异面直线a，b所成的角.
b
a′ OP a
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b.
1、空间直线的平行关系及相关定理. 2、异面直线的定义及两条异面直线所成的角. 3、掌握求异面直线所成的角的一般方法.
2．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上都有可能
【解析】如图，a∥b，c与d相交，a与d异面． 答案:D
3．直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直
线的平面的个数为( )
A．1
B．3
C．6
D．0
【解析】以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共 面，显然经过其中的两条直线的平面有3个．
D1 A1
C1 B1
1)AB与CC1所成的角 等于90° 2)A1 B1与AC所成的角 等于45° 3)A1B与D1B1所成的角 等于60°
空间图形的基本关系与公理 PPT
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边 形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直 线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
北师大版高中数学必修2课件第一章空间图形的公理(二)
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提示
3．空间中有两个角 α，β，且角 α，β 的两边分别平行．若 α＝60°，则 β ＝________.
提示：60°或 120° 因为 α 与 β 两边对应平行，但方向不确定，所以 α 与 β 相等或互补．
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解析
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3．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 BC，CC1 的中 点，则异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为________．
答案 60°
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答案
解析 连接 BC1，BD，DC1，因为 EF∥BC1，B1D1∥BD，所以∠C1BD 即为异面直线 EF 与 B1D1 所成的角或其补角．因为△C1BD 为正三角形，所 以∠C1BD＝60°，即异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为 60°.
求证：(1)D1E∥BF； (2)∠B1BF＝∠D1EA1.
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证明 (1)取 BB1 的中点 M，连接 EM，C1M. 在矩形 ABB1A1 中，易得 EM 綊 A1B1，
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答案
∵A1B1 綊 C1D1，∴EM 綊 C1D1，
答案
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类题通法 求两条异面直线所成的角的一般步骤
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
高三一轮复习7.2 空间图形的基本关系与公理
空间图形的基本关系与公理
【2015年高考考纲下载】
1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的
位置关系的简单命题.Fra bibliotek考点梳理
一､知识结构
1．空间图形的公理 两点 在一个平面内，那么这 (1)公理1：如果一条直线上的_____ 条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． 不在同一条直线上 的三点，有且只有一个 (2)公理2：经过_________________ 平面(即可以确定一个平面)． 一个 公共点，那么它 (3)公理3：如果两个不重合的平面有_____ 们有且只有一条通过这个点的公共直线．
考向二
空间中两直线的位置关系
【例2】►如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别 为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
[审题视点] 还原成正四面体来判断．
解析
如图所示，GH与EF为异面直线，
BD与MN为异面直线，GH与MN成60° 角，DE⊥MN. 答案 ②③④
空间中两直线位置关系的判定，主要是异
面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法 或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线
情况．
平行 、_____ 相交 两种情况． (2)平面与平面的位置关系有_____
(3) 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两 相等或互补 ． 个角___________
【助学· 微博】 一个理解 异面直线概念的理解
《1.4.2 空间图形的公理公理4、定理》课件 5-优质公开课-北师大必修2精品
学 方
＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB
当 堂
案
双
设 计
所成的角．
基 达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课
堂
互
图1－4－13
动
探 究
【思路探究】 如何找出异面直线所成的角？
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学
思
教
想
法
方
分
法
析
技
巧
教
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当
方
堂
案
双
设
基
计
达
课
【自主解答】 如图所示，取BD的中点G，连接EG， 标
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学
教 法
1．公理4
分
析
文字语言
教
学
方 案
平行于同一条直线的
设
计 两条直线平行
课
前
自
主
导 学
2.定理(等角定理)
图形语言
思
想
方
法
技
符号语言
巧
当
若a∥b，b∥c，
堂 双
基
则 a∥c
达 标
课 时 作 业
课 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个
互
动 的角．
探
究
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学
思
教
想
法
方
高中数学-8.3 空间图形的基本关系与公理
考纲要求
-3-
1.空间图形的公理 (1)公理1:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可 以确定一个平面). 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上 所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 有一条过这个点的公共直线. (4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
考点1 考点2 考点3
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理 双击自测 核心考点 核心考点 学科素养
考纲要求
-18-
知识方法
易错易混
对点训练2 (1)如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的 中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正 确答案的序号)
关闭
题图①中,直线GH∥MN; 题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面; 题图③中,连接MG,GM∥HN, 因此GH与MN共面; 题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.
解析
答案
第八章 1 2 3 4 5
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理 双击自测 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-11-
自测点评 1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只 有”“只能”“最多”等. 2.两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交 且得到的是一条直线. 3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能 错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.
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.
职教中心高中数学必修2导学案
2013-2014学年第2 学期高一年级班姓名编写者使用时间2014-2-22
课题：§4.2空间图形的公理 1 课时
学习目标：
1、知识与技能
(1)四个公理一个定理的文字叙述及它们的符号表示
(2)利用公理2去推出确定平面的另外3种方法
(3) 四个公理一个定理个公理的简单应用
2、过程与方法
(1)通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；
(2)让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感与价值
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
学习重点：对四个公理一个定理的理解及简单应用。
学习难点：符号语言与文字叙述的相互转化。
基础达标：
1、公理1：___________________________________________________________
_____________________________________________________________
图形：
符号语言：_____________________________________________________________
2、公理2：___________________________________________________________ _____________________________________________________________
图形：
符号语言：_____________________________________________________________
推论1_____________________________________________________________
推论2_____________________________________________________________
推论3_____________________________________________________________
3、公理3___________________________________________________________ _____________________________________________________________
图形
符号语言_____________________________________________________________
4、公理4：
___________________________________________________________
图形
符号语言_____________________________________________________________
5、等角定理____________________________________________________________ ___________________________________________________________________
6、异面直线成角_________________________________________________________ ________________ _______
合作探究：
1．公理4和等角定理在平面几何中成立吗？它们的作用是什么？
2．如何求两异面直线所成的角？
达标检测：
.
1、设AA 1是正方体的一条棱，则这个正方体中与AA 1平行的棱共有
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条 2、已知
AB∥A′B′，AC∥A′C′，则
A ．∠BAC＝∠B′A′C′
B ．∠BAC＋∠B′A′C′＝90°
C ．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
D ．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
3、两条直线a ，b 分别和两条异面直线相交，则直线a ，b 的位置关系是
A ．一定是异面直线
B ．一定是相交直线
C ．可能是平行直线
D ．可能是异面、相交
4、（2010·全国高考）正直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 5、已知棱长为a 的正方体ABCD －A′B′C′D′中， M 、N 分别为CD 、AD 的中点． 求证：四边形MNA′C′是梯形．
6、如图1－4－11所示，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．
求证：E ，F ，G ，H 四点共面．
课后学习小结：。