综合评价模型——动态加权综合评价方法
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综合评价方法及其应用
象往往都涉及到多个属性（或指标）。
综合评价的目的:根据系统的属性判断确定这些系
统的运行（或发展）状况哪个优，哪个劣，即按优
劣对各被评价对象进排序或分类。这类问题又称为
多属性（或多指标）的综合评价问题。
综合评价的应用:研究多目标决策问题的前提，因
此研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特别
是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及科
x
11,
a
c
x
,
xa a xb
1
x
c
b
,
xb
其中[a, b] 为指标x 的最佳稳定的区间，c max{a m, M b} ，
M 和m 分别为指标x 的可能取值的最大值和最小值。即可将区
间型指标 x学院 理学院
10
二、评价指标的规范化处理
m
权重系数，则应有 wj 0( j 1, 2,L , m) ，且 wj 1 。 j 1
注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后， 问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即 权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可 信度，甚至影响到最后决策的正确性。
2020/5/25
中原工学院 理学院
5
（4）综合评价模型
对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要 通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合 成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据， 从而得到相应的评价结果。
不 妨 假 设 n 个 被 评 价 对 象 的m 个 评 价 指 标 向 量 为 x (x1, x2,L , xm )T ，指标权重向量为w (w1, w2,L , wm )T ， 由此构造综合评价函数为 y f (w, x) 。
数学建模评价模型方法
• 对于不同的指标可以取相同的权函数， 也可以取不同的权函数。
四、数据建模的动态加权方法
2. 动态加权函数的设定
四、数据建模的动态加权方法
2. 动态加权函数的设定
四、数据建模的动态加权方法
2. 动态加权函数的设定
返回
四、数据建模的动态加权方法
3. 动态加权的综合评价模型
五、数据建模的综合排序方法
定的区间内为最好。
什么是一 致化处理? 为什么要
一致化?
二、数据处理的一般方法
1. 数据类型的一致化处理方法
二、数据处理的一般方法
1. 数据类型的一致化处理方法
二、数据处理的一般方法
2. 数据指标的无量纲化处理方法
常用方法: 标准差法、极值差法和功效系数法等 。
二、数据处理的一般方法
2. 数据指标的无量纲化处理方法 (1) 标准差方法
数据处理与数据建模方法
1. 一般数据建模问题的提出 2. 数据处理的一般方法 3. 数据建模的综合评价方法 4. 数据建模的动态加权方法 ５. 数据建模的综合排序方法 ６. 数据建模的预测方法
一、一般数据建模问题的提出 一般问题：
•实际对象都客观存在一些相关的数据信息；
•如何综合利用这些相关信息给出综合评价结果 、制定决策方案，或预测未来？
4. 其他综合评价法
因子分析 聚类分析 模糊评价 层次分析法等
四、数据建模的动态加权方法
1. 动态加权问题的一般提法
问题:如何对n个系统做出综合评价呢?
四、数据建模的动态加权方法
2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的 评价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的 最近28个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的 最主要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn） 、氨氮(NH3-N) 和PH值，要求综合这四种污染指标的28个月 的检测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。
四、数据建模的动态加权方法
2. 动态加权函数的设定
四、数据建模的动态加权方法
2. 动态加权函数的设定
四、数据建模的动态加权方法
2. 动态加权函数的设定
返回
四、数据建模的动态加权方法
3. 动态加权的综合评价模型
五、数据建模的综合排序方法
定的区间内为最好。
什么是一 致化处理? 为什么要
一致化?
二、数据处理的一般方法
1. 数据类型的一致化处理方法
二、数据处理的一般方法
1. 数据类型的一致化处理方法
二、数据处理的一般方法
2. 数据指标的无量纲化处理方法
常用方法: 标准差法、极值差法和功效系数法等 。
二、数据处理的一般方法
2. 数据指标的无量纲化处理方法 (1) 标准差方法
数据处理与数据建模方法
1. 一般数据建模问题的提出 2. 数据处理的一般方法 3. 数据建模的综合评价方法 4. 数据建模的动态加权方法 ５. 数据建模的综合排序方法 ６. 数据建模的预测方法
一、一般数据建模问题的提出 一般问题：
•实际对象都客观存在一些相关的数据信息；
•如何综合利用这些相关信息给出综合评价结果 、制定决策方案，或预测未来？
4. 其他综合评价法
因子分析 聚类分析 模糊评价 层次分析法等
四、数据建模的动态加权方法
1. 动态加权问题的一般提法
问题:如何对n个系统做出综合评价呢?
四、数据建模的动态加权方法
2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的 评价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的 最近28个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的 最主要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn） 、氨氮(NH3-N) 和PH值，要求综合这四种污染指标的28个月 的检测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。
综合评价模型动态加权综合评价方法
wi ( x)
2
1
x
a(i) 1
b(i) K
a(i) 1
2
, a1(i)
x
c,
2
x
b(i) K
b(i) K
a(i) 1
2
,c
x
bK(i) ,
其中参数 c
1 2
(a1( i )
b(i) K
),
且wi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(c)
0.5
。
(1 i m)
2023/12/28
10
2. 动态加权综合评价旳一般措施
j 1
经计算可得到各城市的 Borda 数及总排序结果如表(2)所示。
表(2)：按各城市的水质污染总排序结果
城市 排序
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17
Borda 数 203 136 143 234 106 139 138 378 232 271 60 357 277 264 438 214 217
, m; k 1, 2,
,
K
)
，即当属性
xi
[ak( i )
,
b(i) k
)
时，则
属性 xi 属于第 k 类 pk (1 k K ) 。也就是对于每一个属性而言，既有不
同类别的差异，同类别的又有不同量值的差异。对于这种既有“质差”，
又有“量差”的问题，如果用通常的定常权综合评价法做综合评价显然是
1. 指标数据旳原则化处理
（４）PH 值的处理 酸碱度（PH 值）的大小反映出水质呈酸碱性的程度，
通常的水生物都适应于中性水质，即酸碱度的平衡值（PH
动态加权综合评价方法
20
2018年8月18日
二、综合评价的一般方法
3. 评价指标权重系数的确定方法
（2）基于“指标差异”的赋权方法
2）突出局部差异的均方差法、极差法和熵值法 均方差法、极差法和熵值法：根据被评价对象的 同一个指标观测值之间的差异程度来确定相应指标的 权重系数，由此来反映其重要的程度。 这些基于“指标差异”的赋权方法是一类“求 大异存小同”的方法。 特点：客观性强，无主观因素的影响，评价过 程的透明性和再现性好。
8 2018年8月18日
一、综合评价的基本概念
２.综合评价的一般步骤与流程
明 任 确 务 对 s1, s2 , , sn 进行综合评价 明 目 确 的 排序或 分类 ? 确 系 定 数 权 权 重 系 数 确定评 价指标 确定指标 初始值 指 预 标 处 的 理 规范化指标
x1 , x2 , , xm
（3）权重系数 针对某种评价目的，各评价指标之间的相对重要性 是不同的，这种相对重要性的大小用权重系数来刻画。 如果用 w j 来表示 x j ( j 1, 2,, m) 的权重系数，则应有
wj 0( j 1, 2,, m) ，且 w j 1。
j 1
m
注意：当各被评价对象和评价指标值确定后，综合评 价结果就完全依赖于权重系数了，即权重系数确定的合 理与否，关系到评价结果的可信度，甚至影响到最后决 策的正确性。
选 价 择 模 评 型 综合评价指 标 y f (x, w) 计算综合 评价指标 依 指 标 y1, y2 , , yn 对 s1, s2 , , sn 排序或分类
w1, w2 ,, wm
9
2018年8月18日
二、综合评价的一般方法
１.评价指标体系的建立及筛选方法
综合评价模型——动态加权综合评价方法22页PPT
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
综合评价模型——动态加权综 合评价方法
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
综合评价模型——动态加权综 合评价方法
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
综合评价方法及其应用
如果不对这些指标作相应的无量纲处理, 如果不对这些指标作相应的无量纲处理,则在综合评 价过程中就会出"大数吃小数"的错误结果, 价过程中就会出"大数吃小数"的错误结果,从而导致最 后得到错误的评价结论. 后得到错误的评价结论. 无量纲化处理又称为指标数据的标准化 规范化处理 标准化,或 处理. 无量纲化处理又称为指标数据的标准化 或规范化处理. 常用方法:标准差方法 极值差方法和功效系数方法等. 标准差方法, 常用方法 标准差方法,极值差方法和功效系数方法等.
(i = 1,2,, n; j = 1,2,, m) ,
′ 其中 M j = max{xij }, mj = min{xij }( j = 1,2,, m) .则 xij ∈[0,1]
不妨假设 n 个被评价对象的 m 个评价指标向量为
x = ( x1, x2 ,, xm ) ,指标权重向量为 w = (w1, w2 ,, wm ) , 由此构造综合评价函数为 y = f (w, x) .
T T
如果已知各评价指标的 n 个观测值为 {xij }(i =1,2,, n;
j =1,2,, m) ,则可以计算出各系统的综合评价值 yi = f (w, x(i) ) ,
2010-4-5 信息工程大学 信息工程学院 12
2. 评价指标的无量纲化
假设 m 个评价指标 x1, x2 ,, xm ,在此不妨假设已进行了 类型的一致化处理,并都有 n 组样本观测值 xij (i = 1,2,, n; j = 1,2,, m) ,则将其作无量纲化处理. 则将其作无量纲化处理.
2010-4-5 信息工程大学 信息工程学院 11
二,评价指标的规范化处理
2. 评价指标的无量纲化
长江水质预测修改后
长江水质的评价与预测摘要本文主要针对长江干流各监测点的污染程度定量分析，基于过去十年的水质报告资料，应用不同的理论建立三种不同的模型，为环保机构制订长江治污措施提供决策依据。
针对问题一：考虑到污染物浓度这一评价指标的“质的差异”和“量的差异”，采用动态加权综合评价方法建立评价模型。
首先对评价指标数据进行极性处理，选取偏大型正态分布函数作为动态加权函数建立评价模型，然后用决策分析中的Borda数方法对17个点位的水质综合排序。
分析得出结果为：水质最差的是观测城市江西南昌滁槎，最好的城市是湖北丹江口胡家岭；干流水质最差的是湖南岳阳城陵矶，干流水质最好的区段是江西九江河西水厂，针对问题二：由于污染源的污染物排放量等于本地区污染物的流量与上游流下的污染物流量之差。
因此，建立污染物流量随时间变化的一维水质微分方程模型。
最后求得：高锰酸钾指数和氨氮的污染源主要集中在宜昌至岳阳之间。
针对问题三：根据已知的过去10年的主要统计数据，建立了灰色预测模型。
同时，利用已知值对模型进行检验，在相对误差较小的情况下对未来10年的水质情况作出了预测，分析得出结论：未来10年可饮用水所占的比例越来越低，排污量有明显的上升趋势。
关键词：动态加权 Borda函数一维水质模型灰色预测微分方程一、问题重述1.1 问题背景长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。
2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。
为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”，并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤。
长江是我们赖以生存的资源，我们必须采取有效的措施来保护它。
1.2问题提出（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
动态综合评价模型及应用
动态综合评价模型及应用作者：王海元来源：《价值工程》2015年第13期摘要：目前，动态综合评价方法以指标集、评价对象和时间因素组成的评价系统中，各时间点评价指标是固定不变的。
评价的过程中，指标比较多的情况下，为保证指标相对独立，需找到主要指标，但不能保证在评价期间指标的一致性。
基于此，本文提出一种评价时间点指标不一致的动态评价方法，通过实例检验了该方法的有效性。
关键词：动态综合评价；港口类；上市公司；理想点法中图分类号：F832.5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）13-0239-020 引言经济全球化和贸易的自由化促使港口的职能从作业区转变为物流服务、金融、工业和贸易等功能一体化的集合体。
作为多式联运的一个节点，与其他运输方式和节点之间的依存度不断升高，逐步出现了区域性乃至全球性生产、贸易和消费的中心.在发展的过程中，传统港口物流职能逐步弱化，港口的价值最大化越来越依赖合作伙伴和物流联盟的其他成员，近年来，港口物流对临港工业发展的作用日益明显，港口类上市公司正在日益受到投资者的关注.对港口类上市公司的经营情况进行综合评价是决策者和投资者决策的需要。
通过综合评价可以全面客观的考察港口类上市公司的业绩，做出合理的评价。
大量的研究者对综合评价的理论和方法继续进行了研究，并应用到各类上市公司、区域上市公司的业绩评价中，动态评价在静态综合评价的基础上加入时间影响因素，更加能够综合的分析指标时间序列的变化状况，应用领域拓展到很多方面有着非常广阔的应用前景，更加符合对于评价对象在考虑时间因素的情况下的时序综合评价。
王璐（2005）考虑上市公司静态评价指标值和指标值增长变化两个方面的因素，采用主成分分析和理想点法构造时序多指标序列对电力类上市公司进行了综合评价[1]，王璐等（2006）提出了综合评价问题的三种基本方式，构建了考虑静态指标值、指标值的增减变化和评价影响程度的时间效应的动态评价方法并进行了实证[2]，郑少锋等（2008）采用主成分分析和理想点法对我国农业上市公司2004-2006年经营业绩进行了综合评价，认为该方法更有利于投资者和决策者的经营状况预测[3]，张济建等（2013）利用主成分分析和相关性检验对指标体系进行筛选的基础上利用聚类方法进行排序，在此基础上通过对各个时间点进行主观赋权，对23家物流上市公司进行了动态评价[4]，孙秀峰（2009）分析了港口类上市公司的融资决策[5]；周霞等（2013）用数据包络法对物流上市公司技术效率进行了实证研究[6]。
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（４）PH 值的处理 酸碱度（PH 值）的大小反映出水质呈酸碱性的程度， 通常的水生物都适应于中性水质， 即酸碱度的平衡值（PH 值略大于７）在这里不妨取正常值的中值 7.5。 PH<7.5 ， 当 时水质偏碱性，当 PH>7.5 时偏酸性，而偏离值越大水质 就越坏，PH 值属于中间型指标。为此，对所有的 PH 值指 标数据作均值差处理，即令
2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的 评价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的 最近28个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的 最主要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn） 、氨氮(NH3-N) 和PH值，要求综合这四种污染指标的28个月 的检测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。
四、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法 根据国标（GB 3838—2002）的规定，关于地表水的水 质可分为Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类共六个类 别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间）， 只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所 以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水 在污染物的含量上也有一定的差别。 在对17个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指 标值不同类别水的“质的差异”和同类别水的“量的差异 ”,在此简称为“质差”和“量差”。因此，这是一个较复 杂的多因素多属性的综合评价问题。
i
。也就是对于每一个属性而言，既有不
同类别的差异，同类别的又有不同量值的差异。对于这种既有“质差” ， 又有“量差”的问题，如果用通常的定常权综合评价法做综合评价显然是 不合理的，然而合理有效的方法是动态加权综合评价方法。
四、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则， 解决问题的主要过程分三步完成： •将各评价指标作标准化处理； •根据各属性的特性构造动态加权函数； •构建问题的综合评价模型，并做出评价。 实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型 的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同 的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理， 即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准 化指标。
和 NH3-N 三项指标的动态加权函数。
五、长江水质的综合评价模型
3.综合评价指标函数的确定
考虑到对实际评价效果影响差异较大的是前三项指标，以及指标PH 值 的特殊性，这里取前三项指标的综合影响权值为 0.8，而 PH 值的影响权值 取 0.2。因此，根据综合评价模型，某城市某一时间的水质综合评价指标定 义为
i 1
m
m 以此作为问题的综合评价指标函数，如果每个被评价对象的 个属性 都有 N 组样本观测值 {xij }(i 1, 2, , m; j 1, 2, , N ) ，代入上式计算，
则每一个被评价对象都有 N 个综合评价指标值 X k ( j ) (k 1, 2, , n;
j 1, 2, , N ) 。由此按其大小排序，可以给出n
j 1, 2, , 28) ，根据其大小（即污染的程度）进行排序，数值越
大说明水质越差。由此可得反映 17 个城市水质污染程度的 28 个排 i Si 序结果， 根据Borda数的计算方法则得到第 个城市(被评价对象) 的 Borda 数为
B( Si ) B j ( Si ) (i 1, 2, ,17) 。
（３）氨氮（NH3-N）的标准化 氨氮也是极小型指标， 对指标数据作极差变换将其数据标准化，
x3 即令 x3 ，对应的分类区间随之变为 2 (0, 0.075] , (0.075, 0.25] , (0.25, 0.5] , (0.5, 0.75] , (0.75,1] , (1, )
1. 指标数据的标准化处理
个被评价对象的 N 个
排序方案。
五、长江水质的综合评价模型
针对长江水质的综合评价这一问题，采用动态加权综合评价方 法来解决。假设 17 个城市为被评价对象 S1 , S 2 , , S17 ，共有四项评 价指标（或属性）DO、CODMn、NH3-N 和 PH 值，分别记为 x1 , x 2 , x3 和
x a (i ) 2 2 ( i ) 1 ( i ) , a1( i ) x c , b a1 wi ( x ) K 2 (i ) 1 2 x bK , c x b ( i ) , (i ) K bK a1( i ) 1 (i ) ( c (a1 bKi ) ), 且wi (c ) 0.5 其中参数 。 2 (1 i m)
五、长江水质的综合评价模型
1. 指标数据的标准化处理
（1）溶解氧（DO）的标准化 注意到溶解氧（DO）为极大型指标，首先将数据指标作极小化处理，
1 ，相应的分类标准区间变为 x1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (0, ] , ( , ] , ( , ] , ( , ] , ( , ] , ( , ) ， 7.5 7.5 6 6 5 5 3 3 2 2 x1 然后通过极差变换 x1 将其数据标准化，对应的分类区间随之变为 0 .5 (0, 0.2667] , (0.2667, 0.3333] , (0.3333, 0.4] , (0.4, 0.6667] , (0.6667,1] , (1, ) 即令倒数变换 x1
(i ) (i )
K 每一个属性xi 都可以分为 个等级，记为 p1 , p2 , , pK ( K 1) 。而对
，且
ak(i ) bk( i ) (i 1, 2, , m; k 1, 2, , K ) ，即当属性 xi [ak(i ) , bk(i ) ) 时，则 k x p (1 k K )
( i 由 wi (a 4i ) ) 0.9(i 1,2,3) 确定。 由 实 际 数 据 经 计 算 可 得 1 0.1333 , 2 0.0667 , 3 0.0375 ， 1 0.1757 , 2 0.2197 , 3 0.3048 ， 则代入上式可以得到 DO、 CODMn
x4 ，前三项指标都有 6 个等级 p1 , p2 , , p6 ，相应的分类区间值如
表（1）所示，而 PH 值没有等级之分。
表（1）: 《地表水环境质量标准》 （GB3838— 2002） 中 4 个主要项目标准限值 指 标 Ⅰ类 Ⅱ类 Ⅲ类 Ⅳ类 [6,7.5) [5,6) [3,5) 溶解氧(DO) [7.5,∞) (0,2] (2,4] (4,6] (6,10] 高锰酸盐指数(CODMn) (0,0.15] (0.15,0.5] (0.5,1] (1,1.5] 氨氮（NH3-N） [6 , 9] PH 值（无量纲） 单位：mg/L Ⅴ类 劣Ⅴ类 [2,3) [0,2] (10,15] (15, ∞) (1.5,2] (2, ∞)
X 0.8 wi ( xi )xi 0.2 x 4 。
i 1
3
根据 17 个城市的 28 组实际检测数据，经计算可得各城市的水质综合 17 28 评价指标值，即可得到一个 阶的综合评价矩阵 ( X ij ) 1 7 2 8 。
五、长江水质的综合评价模型
4.各城市水质的综合评价
由 17 个城市 28 个月的水质综合评价指标X ij (i 1, 2, ,17;
四、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
2.2 动态加权函数的设定
考虑到评价指标的“质差”与“量差”的关系， 在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标 之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。 根据实际问题具体取什么样的动态加权函数， 主要是从实际问题出发分析确定。 对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以 取不同的权函数。
x4
则将其数据标准化。
x 4 7.5 1.5
2 x 4 7.5 ， 3
五、长江水质的综合评价模型
2. 动态加权函数的确定
根据对这一实际问题的分析，不妨取动态加权函数为偏大型正态分布 函数，即
当 x i时, 0 , 2 x i wi ( x) i 1 e , 当 x i时, (i ) (i ) x 其中 i 在这里取指标 i 的Ⅰ类水标准区间的中值，即 i (b1 a1 ) / 2 ，
动态加权综合评价问题的一般提法：
现设有n 个被评价对象（或系统） ，分别记为S1 , S2 ,, Sn (n 1) ，每
个系统都有m 属性（或评价指标） ，分别记为 x1 , x2 , , xm (m 1) ，对于 于 每 一 个 等 级 pk 都 包 含 一 个 区 间 范 围 ， 记 为 [ak , bk ) 属性 属于第 类
当 x i时, 0 , 2 x i wi ( x) i 1 e , 当 x i时,
i 可取[a1(i ) , b1(i ) ) 中的某 其中参数 (i ) (i ) 定值，在此不妨取 i (b1 a1 ) / 2 ，
( i 由 wi (aKi ) ) 0.9(1 i m) 确定。
2.2 动态加权函数的设定
（3）S 型分布函数 x 如果 某项指标 i 对 于综合评价 效果的影 响大约是随着 类别
pk (k 1, 2, , K ) 的增加而增加的过程，呈一条“S”曲线，那么，
此时对指标xi 的变权函数可以设定为 S 型分布函数。即
1. 指标数据的标准化处理
（２）高锰酸盐指数（CODMn）的标准化 高猛酸盐指数本身就是极小型指标，即由极差变换将其数据标准化，
x2 即令 x 2 , 对应的分类区间随之变为 15 (0, 0.1333] , (0.1333, 0.2667] , (0.2667, 0.4] , (0.4, 0.6667], (0.6667,1] , (1, )
2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的 评价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的 最近28个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的 最主要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn） 、氨氮(NH3-N) 和PH值，要求综合这四种污染指标的28个月 的检测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。
四、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法 根据国标（GB 3838—2002）的规定，关于地表水的水 质可分为Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类共六个类 别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间）， 只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所 以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水 在污染物的含量上也有一定的差别。 在对17个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指 标值不同类别水的“质的差异”和同类别水的“量的差异 ”,在此简称为“质差”和“量差”。因此，这是一个较复 杂的多因素多属性的综合评价问题。
i
。也就是对于每一个属性而言，既有不
同类别的差异，同类别的又有不同量值的差异。对于这种既有“质差” ， 又有“量差”的问题，如果用通常的定常权综合评价法做综合评价显然是 不合理的，然而合理有效的方法是动态加权综合评价方法。
四、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则， 解决问题的主要过程分三步完成： •将各评价指标作标准化处理； •根据各属性的特性构造动态加权函数； •构建问题的综合评价模型，并做出评价。 实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型 的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同 的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理， 即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准 化指标。
和 NH3-N 三项指标的动态加权函数。
五、长江水质的综合评价模型
3.综合评价指标函数的确定
考虑到对实际评价效果影响差异较大的是前三项指标，以及指标PH 值 的特殊性，这里取前三项指标的综合影响权值为 0.8，而 PH 值的影响权值 取 0.2。因此，根据综合评价模型，某城市某一时间的水质综合评价指标定 义为
i 1
m
m 以此作为问题的综合评价指标函数，如果每个被评价对象的 个属性 都有 N 组样本观测值 {xij }(i 1, 2, , m; j 1, 2, , N ) ，代入上式计算，
则每一个被评价对象都有 N 个综合评价指标值 X k ( j ) (k 1, 2, , n;
j 1, 2, , N ) 。由此按其大小排序，可以给出n
j 1, 2, , 28) ，根据其大小（即污染的程度）进行排序，数值越
大说明水质越差。由此可得反映 17 个城市水质污染程度的 28 个排 i Si 序结果， 根据Borda数的计算方法则得到第 个城市(被评价对象) 的 Borda 数为
B( Si ) B j ( Si ) (i 1, 2, ,17) 。
（３）氨氮（NH3-N）的标准化 氨氮也是极小型指标， 对指标数据作极差变换将其数据标准化，
x3 即令 x3 ，对应的分类区间随之变为 2 (0, 0.075] , (0.075, 0.25] , (0.25, 0.5] , (0.5, 0.75] , (0.75,1] , (1, )
1. 指标数据的标准化处理
个被评价对象的 N 个
排序方案。
五、长江水质的综合评价模型
针对长江水质的综合评价这一问题，采用动态加权综合评价方 法来解决。假设 17 个城市为被评价对象 S1 , S 2 , , S17 ，共有四项评 价指标（或属性）DO、CODMn、NH3-N 和 PH 值，分别记为 x1 , x 2 , x3 和
x a (i ) 2 2 ( i ) 1 ( i ) , a1( i ) x c , b a1 wi ( x ) K 2 (i ) 1 2 x bK , c x b ( i ) , (i ) K bK a1( i ) 1 (i ) ( c (a1 bKi ) ), 且wi (c ) 0.5 其中参数 。 2 (1 i m)
五、长江水质的综合评价模型
1. 指标数据的标准化处理
（1）溶解氧（DO）的标准化 注意到溶解氧（DO）为极大型指标，首先将数据指标作极小化处理，
1 ，相应的分类标准区间变为 x1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (0, ] , ( , ] , ( , ] , ( , ] , ( , ] , ( , ) ， 7.5 7.5 6 6 5 5 3 3 2 2 x1 然后通过极差变换 x1 将其数据标准化，对应的分类区间随之变为 0 .5 (0, 0.2667] , (0.2667, 0.3333] , (0.3333, 0.4] , (0.4, 0.6667] , (0.6667,1] , (1, ) 即令倒数变换 x1
(i ) (i )
K 每一个属性xi 都可以分为 个等级，记为 p1 , p2 , , pK ( K 1) 。而对
，且
ak(i ) bk( i ) (i 1, 2, , m; k 1, 2, , K ) ，即当属性 xi [ak(i ) , bk(i ) ) 时，则 k x p (1 k K )
( i 由 wi (a 4i ) ) 0.9(i 1,2,3) 确定。 由 实 际 数 据 经 计 算 可 得 1 0.1333 , 2 0.0667 , 3 0.0375 ， 1 0.1757 , 2 0.2197 , 3 0.3048 ， 则代入上式可以得到 DO、 CODMn
x4 ，前三项指标都有 6 个等级 p1 , p2 , , p6 ，相应的分类区间值如
表（1）所示，而 PH 值没有等级之分。
表（1）: 《地表水环境质量标准》 （GB3838— 2002） 中 4 个主要项目标准限值 指 标 Ⅰ类 Ⅱ类 Ⅲ类 Ⅳ类 [6,7.5) [5,6) [3,5) 溶解氧(DO) [7.5,∞) (0,2] (2,4] (4,6] (6,10] 高锰酸盐指数(CODMn) (0,0.15] (0.15,0.5] (0.5,1] (1,1.5] 氨氮（NH3-N） [6 , 9] PH 值（无量纲） 单位：mg/L Ⅴ类 劣Ⅴ类 [2,3) [0,2] (10,15] (15, ∞) (1.5,2] (2, ∞)
X 0.8 wi ( xi )xi 0.2 x 4 。
i 1
3
根据 17 个城市的 28 组实际检测数据，经计算可得各城市的水质综合 17 28 评价指标值，即可得到一个 阶的综合评价矩阵 ( X ij ) 1 7 2 8 。
五、长江水质的综合评价模型
4.各城市水质的综合评价
由 17 个城市 28 个月的水质综合评价指标X ij (i 1, 2, ,17;
四、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
2.2 动态加权函数的设定
考虑到评价指标的“质差”与“量差”的关系， 在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标 之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。 根据实际问题具体取什么样的动态加权函数， 主要是从实际问题出发分析确定。 对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以 取不同的权函数。
x4
则将其数据标准化。
x 4 7.5 1.5
2 x 4 7.5 ， 3
五、长江水质的综合评价模型
2. 动态加权函数的确定
根据对这一实际问题的分析，不妨取动态加权函数为偏大型正态分布 函数，即
当 x i时, 0 , 2 x i wi ( x) i 1 e , 当 x i时, (i ) (i ) x 其中 i 在这里取指标 i 的Ⅰ类水标准区间的中值，即 i (b1 a1 ) / 2 ，
动态加权综合评价问题的一般提法：
现设有n 个被评价对象（或系统） ，分别记为S1 , S2 ,, Sn (n 1) ，每
个系统都有m 属性（或评价指标） ，分别记为 x1 , x2 , , xm (m 1) ，对于 于 每 一 个 等 级 pk 都 包 含 一 个 区 间 范 围 ， 记 为 [ak , bk ) 属性 属于第 类
当 x i时, 0 , 2 x i wi ( x) i 1 e , 当 x i时,
i 可取[a1(i ) , b1(i ) ) 中的某 其中参数 (i ) (i ) 定值，在此不妨取 i (b1 a1 ) / 2 ，
( i 由 wi (aKi ) ) 0.9(1 i m) 确定。
2.2 动态加权函数的设定
（3）S 型分布函数 x 如果 某项指标 i 对 于综合评价 效果的影 响大约是随着 类别
pk (k 1, 2, , K ) 的增加而增加的过程，呈一条“S”曲线，那么，
此时对指标xi 的变权函数可以设定为 S 型分布函数。即
1. 指标数据的标准化处理
（２）高锰酸盐指数（CODMn）的标准化 高猛酸盐指数本身就是极小型指标，即由极差变换将其数据标准化，
x2 即令 x 2 , 对应的分类区间随之变为 15 (0, 0.1333] , (0.1333, 0.2667] , (0.2667, 0.4] , (0.4, 0.6667], (0.6667,1] , (1, )