《线性代数》第一章习题及解答

2x x 1 2 例 8 设 f (x) = 1 x 1 − 1 ，则 x 4 的系数为（ ）， x 3 的系数为（ ）．
3 2x 1 1 11 x
分析 此类确定系数的题目，首先是利用行列式的定义进行计算．如果用定义比较麻烦
时，再考虑用行列式的计算方法进行计算．
解 从 f (x) 的表达式和行列式的定义可知，当且仅当 f (x) 的主对角线的 4 个元素的
自身大的数，故这四个数的逆序数为 0；3 的前面比它大的数有 2 个（4、5），故逆序数为 2；
2 的前面比它大的数有 4 个（4、5、3、6），故逆序数为 4；7 的前面比它大的数有 1 个（8），
故逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为 t= 0+0+2+4+1= 7，故正确答案为（B）．
例 2 下列排列中（ ）是偶排列.
因此
(−1)t a1n−1a2n−2 Lan−11ann ，其中
t = (n −1)(n − 2) ， 2
( 2007 −1)( 2007 − 2 )
D = (−1) 2 2007!= −2007!．
此题也可以按行(列)展开来计算．
例 11 计算 n 阶行列式
2 1 1L1
1 2 1L1
Dn = 1 1 2 L 1
于是 A31 + A32 + A33 = 0， A34 + A35 = 0．
12345
12345
11122
11122
A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = 3 2 1 4 6 r4 + r2 3 2 1 4 6 = 0
22211
33333
11111
11111
故答案为 0，0，0．
充分利用按行（列）展开的计算方法来进行技巧计算．
12345 11122 解 A31 + A32 + A33 + 2( A34 + A35 ) = 1 1 1 2 2 = 0 （第 2，3 行相同） 22211 43210
即 ( A31 + A32 + A33 ) + 2( A34 + A35 ) =0． 同理 2( A31 + A32 + A33 ) + ( A34 + A35 ) =0
二、重要公式和结论
1、n 阶行列式的定义
n 阶行列式
a11 a12 ... a1n
∑ D = a21
...
a22 ...
... ...
a2n ...
=
(−1)t a1p1 a2 p2 ...anpn .
( p1 p2 ... pn )
an1 an2 ... ann
其中 p1 p2 ... pn 是 n 个数 12…n 的一个排列，t 是此排列的逆序数，∑表示对所有 n 元排列
(λ + 1)(λ −1)2 = 0 ，于是 λ = 1,−1，故正确答案为（B）．
例 5 方程组
⎪⎨⎧λx1x1++λxx22
+ +
x3 x3
=1 = 1有唯一解，则（
）.
⎪⎩x1 + x2 + λx3 = 1
(A) λ ≠ −1 且 λ ≠ −2 (B) λ ≠ 1且 λ ≠ −2 (C) λ ≠ 1且 λ ≠ 2 (D) λ ≠ −1 且 λ ≠ 2
解 由克拉默法则知，当所给非齐次线性方程组的系数行列式不等于 0 时，该方程组有
唯一解，于是令行列式
λ11 1 λ 1 = (2 + λ)(λ −1)2 ≠ 0 11λ
即 λ ≠ 1且 λ ≠ −2 ，故正确答案为（B）．
例 6 D = 2006 2008 = （ ）． 2004 2006
分析 对于 2、3 阶行列式的计算，元素的数值较小时，可以直接采用对角线法则进行计 算；但元素的数值较大时，一般不宜直接采用对角线法则进行计算，而是用行列式的性质进
M MM
M
MM M
M
n+1 1 1 L 2
11 1L2
111L1
0 1 0L0
(n + 1) 0 0 1 L 0 = n + 1
MMM
M
0 0 0L1
解法 2 （加边法）
10 0 0L0
12 1 1L1
Dn
=
Dn+1=Fra bibliotek1 1
1 1
2 1
1 2
L L
1 1 ci
−
c1 (i
=
2,3,L, n
+ 1)
MM MM
例 10
0 0 L01 0
0 0 M 20 0
D= M 0
M
MM
2005 L 0 0
M
.
0
2006 0 L 0 0 0
0 0 L 0 0 2007
分析 当行列式中有较多零元素时，一般可以采用行列式的定义或按行(列)展开来计算.
解 此行列式刚好只有 n 个非零元素 a1n−1 , a2n−2 ,L, an−11, ann ，故非零项只有一项：
2．设
a11 D1 = M
ak1
L a1k
b11
M M ， D2 = M
L akk
bn1
L b1n M M ，则 L bnn
a11 L a1k
MMM
0
ak1 L akk c11 L c1k
b11
L b1n = D1D2 .
MMM MMM
cn1 L cnk bn1 L bnn
3．范德蒙行列式
1 1 ... 1
积才能得出 x 4 ，其系数显然是 2. 当第一行取 a13 (= 1) 或 a14 (= 2) ，则含 a13 或 a14 的行列式
的项中是不出现 x 3 ，含 a11 (= 2x) 的行列式的项中是不出现 x 3 ，于是含 x 3 的项只能是含
a12 ， a21 ， a33 ， a44 的积，故 x 3 的系数为 −1．
⎧D i = j
jk
=
ai1 Aj1
+ ai2 Aj2
+ ... + ain Ajn
=
⎨ ⎩0
i≠ j
其中 Ast 是 ast 的代数余子式.
4、克拉默法则 １．如果线性非齐次方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1
⎪⎪a ⎨
21
x1
⎪
+
a22 x2 MM
+L + a2n xn MMM
）．
(A) a13a44 a32 a41a55 (B) a21a32 a41a15a54 (C) a31a25a43a14 a52 (D) a15a31a22 a44 a53
解 由行列式的定义知，每一项应取自不同行不同列的五个元素之积，因此(A)、(B)不
是五阶行列式的项，但(C)应取负号，故正确答案为（D）．
第一章 行列式
一、目的要求
1．会求 n 元排列的逆序数； 2．会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 3．领会行列式的定义； 4．正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．行列式按（列）展开； 6．代数余子式的定义及性质； 7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．
a1 ...
∏ a2
...
... ...
an ...
=
(a j − ai ) .
1≤i< j≤n
a n−1
a n−1
12
...
ann−1
6、计算行列式的常用方法
1．利用对角线法则计算行列式，它只适用于 2、3 阶行列式；
2．利用 n 阶行列式定义计算行列式；
3．利用行列式的性质化三角形法计算行列式；
即
a11
a12
L
a1n
a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n
M
M
M
MM
M MM
M
ai1 + bi1 ai2 + bi2 L ain + bin = ai1 ai2 L ain + bi1 bi2 L bin
M
M
M
MM
M MM
M
an1
an2
L
ann
an1 an2 L ann an1 an2 L ann
M
11 1 1L2
1 −1 −1 −1 L −1
n +1 0 0 0 L 0
11 0 0L0
1 100L0
10 10
1 0
0 1
L L
0 0
r1 + r2
+ L + rn+1
1 1
0 0
1 0
0 1
L L
0 = n +1. 0
MM M M
M
M MMM
M
10 0 0L1
1 000L1
）．
3412
4123
分析 如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第
一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加法) ．
解 这个行列式的特点是各列 4 个数的和为 10 ，于是，各行加到第一行，得
1 2 3 4 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1
故答案为 2 ， −1．
12345 11122 例 9 设 D = 3 2 1 4 6 ，则（1） A31 + A32 + A33 = （ ）， 22211 43210