等差数列、等比数列的综合应用
等差数列与等比数列在生活中的应用
等差数列与等比数列在生活中的应用年金---小额投资，聚沙成塔当我们漫步在商业大道上，可以看到有关于贷款买房的中介，分期付款买车、买大宗物品等各种还款的广告；在银行前面也有关于投资的宣传，有保险的，有证券的，有关于年金的. 参与年金计划是一种很好的投资安排，而提供年金合同的金融机构一般为银行、保险公司和国库券等，比如你购买养老保险，其实就是参与年金合同. 年金终值包括各年存入的本金相加以及各年存入的本金所产生的利息，但是，由于这些本金存入的时间不同，所以所产生的利息也不相同. 下面我们将对银行中年金的计算问题做一个简单的概述. 了解年金的知识不仅使我们投资年金是做到有的放矢，更让我们掌握年金的计算问题，掌握主动权，参与家庭消费规划，年金里面的计算问题跟我们的高中数学的数列知识，特别是是同学们的家庭日常消费、储蓄、分期付款等问题是紧密相连的，这些问题可以归类为年金问题.年金[1]，国外叫annuity ，是定期或不定期的时间内一系列的现金流入或流出. 年金按其每次收付款项发生的时点不同，可以分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等类型. 本文介绍最普通的两种年金——普通年金、养老储备金.一，普通年金，又叫期末付年金、后付年金，是指从第一期起，在一定时期内每期期末等额收付的系列款项. 如下图：0 1 2 3 …… n-1 n在1时刻投入x 元，在n 时刻的本息和为1(1)n x i -+元,在2时刻投入x 元，在n 时刻的本息和为2(1)n x i -+元, 在3时刻投入x 元，在n 时刻的本息和为3(1)n x i -+元,在n 时刻投入x 元，在n 时刻的本息和为x 元.全部的投资在n 时刻的本息和为： 123(1)(1)(1)n n n F x i x i x i x ---=+++++++，这正是第五册中的等比数列，应用求和公式： [1(1)][(1)1]1(1)n n x i x i F i i-++-==-+ . 这个值我们称之为，基金的终值.基金的应用（1）：住房贷款某同学父母打算购置新房一套，价值50万元，2010年底手上将有现金22万元整，按照银行规定首付房价三成以上即可以贷款，贷款期限不得超过20年，每月还款额不得超过家庭收入的50%，该同学父母每月收入6000元，且希望每年年底留出2万元的应急金，按以往消费每月2000元消费，自2010年1月份开始还款，问如果贷款20年能否满足银行规定以及自己的需求？每月还款额是多少？贷款15年呢？假定贷款月利率为0.5% 解：首付可以支付的最高额为20万元，设每月还款为x 元，3000x ≤，如果还款20年，则还款次数为240次，我们将还款假设为每月固定存款，则20年后的终值即相当于30万元20年后的本息和.按基金终值定义：240240[(10.5%)1]300000(10.5%)0.5%x F +-==⨯+ 计算得：2149.3x =元.按照该家庭收入每月为6000元，年收入7.2万元，每月还款2149.3元，每月消费2000元，年底将结余：72000(2149.32000)1222208-+⨯=元，超过2万元，满足该家庭的消费收入.如果贷款期限改为15年，则还款次数为180次，按照基金终值定义：180180[(10.5%)1]300000(10.5%)0.5%x F +-==⨯+ 计算得：2531.6x =元.此时，年底将结余：72000(2531.62000)1217621-+⨯=元，不能满足该家庭的消费收入.因此可以建议该学生父母，贷款20年每月还款2149.3元，满足家庭的需要.基金的使用（2）：偿债基金某学生家长想开一家餐馆，初步估计需要资金10万元，已有资金2万元，欲通过借贷方式筹备资金，五年还清，已知2009年4月时中国人民银行的利率五年零存整取年利率为3.6%[2],假定贷款年利率为6%，贷款规定五年后一次性还清贷款，该学生家长准备在五年期间通过每月等额向银行存一笔钱建立偿债基金的方法还款，问此学生家长每月该存入多少元？分析：从题意可以看出，借贷8万元，五年后还款额为580000(16%)+，假设每月存款为x 元，存款次数为60次. 因为是每月存款，所以需要将存款年利率转换为月利率：12(1)10.036i +=+，计算得，0.3%i =按照基金终值定义： 605[(10.3%)1]80000(16%)0.3%x F +-==+ 计算得:1631.2x =元也就是借贷8万元，每月存入银行1631.2元，五年后本息和即为580000(16%)107060+=元，但是存入的钱为1631.26097872⨯=元，比五年内不做任何储蓄而直接存款节省了107060978729188-=元.二，养老储备金某养老储备金制度[3]规定，公民在就业的第一年末就可以缴纳养老储备金，数目为1a ，以后每年缴纳的数目均比上一年增加d （0d >），因此，历年缴纳的数目12,,a a 是一个公差为d 的等差数列，与此同时国家给与计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，设固定利率为i （0i >），计算第n 年末所积累的储备金金额n T . 由题意，121121(1)(1)(1)(2)n n n n n T a i a i a i a n ---=+++++++≥，上式两端同乘(1)i +，得12121(1)(1)(1)(1)(1)(2)n n n n n i T a i a i a i a i n --+=++++++++≥，下式减上式： 12111(1)[(1)(1)(1)][(1)1](1)(1),n n n n nn n iT a i d i i i a d i i a i a n d i--=+++++++-=+--++--- 即：112(1)(1)[(1)1]n n n a i a n d d T i i i i +---=+--+.对基金问题中的第一个应用，假定该学生父母预测随着工作年限的增加以及经验的增长，工资会随之上涨，因此该学生父母决定每月还款额都比上个月增加30元，10年还清贷款，问第一个月，最后一个月还款多少？（利率假设同前）分析：假设第一个月还款为x 元，，还款10年，则还款次数为120次，仍然将还款假设为每月固定存款，则10年后的终值即相当于30万元10年后的本息和，这种还款跟养老基金的存储模型是一样的，因此按养老储蓄金定义10年后：12012010212030(10.5%)(1201)30[(10.5%)10.5%]0.5%0.5%300000(10.5%)x x T +---⨯=+--+=+ 计算得：1724.1x =元也就是说第一个月还款1724.1元，最后一个月还款为：1724.1(1201)305294.1+-⨯=元.通过上面两种计算基金的方法过程，以及三个例子可以看到，这些都是发生在我们身边的经常遇到的现实问题，解决的工具竟是高中数学数列的内容，把数学应用到实际的生产生活中，这不仅能加强对课堂上学到的知识的认识，更加深了同学们的兴趣，动脑动手去解决实际问题的能力，更是要做到面对问题，用自己掌握的知识去处理，这样才可提高学习的水平，更是对教材内容有更深一层的把握.。
“一题多问、一题多变”有效教学模式的课例探究——等差、等比数列的综合应用
“一题多问、一题多变”有效教学模式的课例探究——等差、等比数列的综合应用作者：何淑娟来源：《新课程·上旬》 2014年第5期文/何淑娟有效教学坚持以学生发展为本的教学目标，不仅关注学生的考试分数，更关注学生体魄的健壮、情感的丰富和社会适应性的提升，从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度去促进学生个体的全方位发展，使学生获得知识与基本技能的同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。
与低效、无效教学不同，有效教学特别注重教学目标和学生发展的全面性、整体性和协调性。
“三维目标”是一个完整、协调、互相联系的整体。
同时，“三维目标”不是三个独立的目标，而是一个问题的三个方面。
在课堂教学中，不能完成了一维目标再落实另一维目标，而是要注重“三维目标”的整体性和协调性。
因此，有效教学主张教师树立教学目标的整体结构观念，全面实现“三维目标”，使教学目标价值的实现统一于同一教学过程中，从而充分实现教学的基本价值，促进学生全面和谐的发展。
在推进数学教学改革的实践中，我校提出课例研究主题为“开展有效课堂教学”。
目的是通过有效课堂教学，使复习更有效，更有利于学生的高考，同时又能减轻学生的负担。
在课堂教学中又能培养学生参与意识、合作意识、创新素质，一步一个脚印地面向全体学生，使每个学生有所发展，获得有价值的数学。
使他们在数学学习中摆脱枯燥乏味，而是能真正地了解数学、体会数学，甚至爱上数学。
本次的课例研究也是围绕这个主题开展的。
我选择的是高三的一节数学课作为课例研究的载体，课题为《等差、等比数列的通项及其求和》，教学课时为高考二轮专题复习课。
第一次授课：一、创设情境，引入新课教师：我们已经熟练掌握了等差、等比数列的通项公式及其前n项和公式，也能根据等差、等比数列的基本性质求出等差、等比数列的通项，运用公式求前n项和。
下面请同学们动手做一下浙江2012年样卷中的数列大题。
例1.（浙江2012年样卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，已知a1=b1=1，a2+b2=a3，S3=3（a3+b3）。
等差数列和等比数列的求和公式与应用
等比数列的求和公式
定义：等比数列的求和公式是指将等比数列中的所有项加起来所得到的和。
公式：S=a1(1-q^n)/(1-q) 其中，a1是首项，q是公比，n是项数。
应用：等比数列的求和公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，例如在解决贷款还款 问题、计算复利、解决几何级数增长问题等方面。
等差数列的求和公式
定义：等差数列是一种常见的数列， 其相邻两项的差相等
应用：等差数列的求和公式在数学、 物理、工程等领域有广泛的应用
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求和公式：Sn=n/2*(a1+an)
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推导过程：通过倒序相加法、裂项 相消法等技巧推导得到等差数列的 求和公式
求和公式的应用
计算等差数列的和 解决与等差数列相关的数学问题 应用于物理、化学等其他领域 拓展到等比数列的求和公式
统计学：在统计学中， 等差数列和等比数列 常用于描述数据分布、 抽样调查和概率计算 等方面。
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等差数列和等比数列 的求和公式与应用
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汇报
02
等比数列的求 和公式
03
等差数列与等 比数列的应用 实例
01 等差数列的求和公式
等差数列的定义
等差数列：每 一项与它的前 一项的差等于 同一个常数的
02 等比数列的求和公式
等比数列的定义
等比数列：每一项 与它的前一项的比 值都等于同一个常 数的数列
首项：a1
公比：q
通项公式： an=a1*q^(n-1)
等比数列的通项公式
定义：等比数列中任意一项与首项的比值相等 公式：a_n=a_1*q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比 推导：由等比数列的定义和性质推导得出 应用：在数学、物理、工程等领域有广泛应用
等差数列与等比数列的应用知识点总结
等差数列与等比数列的应用知识点总结等差数列和等比数列是高中数学中常见的两种数列。
它们具有很多重要的应用，在不同的数学问题中发挥着重要的作用。
本文将对等差数列与等比数列的应用进行知识点总结，并探讨它们在实际生活和其他学科中的具体应用。
一、等差数列的应用等差数列是指一个数列中，从第二项起每一项与前一项之差都相等的数列。
其常用的应用有：1. 数列求和公式对于等差数列的前n项和Sn，有求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
这个公式的应用非常广泛，可以用于求解各种数学问题，比如求等差数列的和、计算时间、距离、速度等问题。
2. 平均数的应用对于等差数列，它的各项的平均数与首末两项的平均数是相等的。
这个特性可以用来解决一些平均数相关的问题，比如求取某一连续数列的平均值等。
3. 等差数列的推广等差数列可以推广到高阶等差数列，即每一项与前一项之差的差值也相等。
这种推广常用于解决一些复杂的数学问题，比如等差数列的前n项和Sm，可以通过差分公式Sm = (m/2)(2a1 + (m-1)d)来求解。
4. 几何问题等差数列在几何问题中也有重要应用，比如解决一些等边三角形、等腰梯形等形状相关的问题时，常常需要利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列的应用等比数列是指一个数列中，从第二项起每一项与前一项的比值都相等的数列。
其常用的应用有：1. 数列求和公式对于等比数列的前n项和Sn，有求和公式Sn = a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
这个公式的应用也非常广泛，可以用于求解各种数学问题，比如计算财务中的复利问题、人口增长问题等。
2. 指数问题等比数列可以与指数问题进行关联。
比如在计算家庭用电量、金融中的复利计算、物理中的指数增长问题等方面，常常需要利用等比数列的特性进行计算。
3. 几何问题等比数列在几何问题中同样有重要应用，比如解决一些等比序列相关的问题，如等比数列构造的等边五角星等。
数列的等差与等比数列的应用
数列的等差与等比数列的应用在我们的日常生活和众多领域中，数列的等差与等比数列的应用无处不在。
从经济领域的金融计算到工程领域的设计规划，从自然科学的规律探索到社会科学的数据分析，等差与等比数列都发挥着重要的作用。
先来说说等差数列。
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
比如，一个等差数列1，3，5，7，9每一项都比前一项大 2，这个 2 就是公差。
在实际生活中，等差数列有着广泛的应用。
例如，在薪资增长的问题上，如果一个员工每年的工资固定增加一定的金额，这就形成了一个等差数列。
假设初始工资为每月 3000 元，每年增加 500 元，那么第n 年的工资就可以用等差数列的通项公式 an ＝ a1 ＋（n 1)d 来计算，其中 a1 是首项（即初始工资 3000 元），d 是公差（即每年增加的 500 元），n 是年数。
通过这个公式，我们可以很清楚地知道在未来的某一年，这位员工的工资水平。
再比如，在阶梯电价的制定中，也会用到等差数列的概念。
假设用电量在 0 100 度时，单价为 05 元/度；101 200 度时，单价为 06 元/度；201 度及以上时，单价为 08 元/度。
这里每个阶段的电价差价就构成了一个等差数列，通过这样的设置，可以引导用户合理用电，达到节约能源的目的。
等差数列还在建筑设计中有所体现。
比如，在建造楼梯时，每个台阶的高度相等，相邻台阶之间的距离也相等，这就形成了一个等差数列。
通过合理设计台阶的高度和间距，可以保证人们在上下楼梯时的舒适和安全。
接下来谈谈等比数列。
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。
比如，一个等比数列 2，4，8，16，32每一项都是前一项的 2 倍，这个 2 就是公比。
在金融领域，等比数列的应用非常常见。
比如，复利计算就是一个典型的例子。
假设本金为 P，年利率为 r，投资年限为 n 年，那么经过n 年后的本利和 A 就可以用等比数列的通项公式 An ＝ A1 × q^（n 1)来计算，其中 A1 是首项（即本金 P），q 是公比（即 1 ＋ r）。
等差数列与等比数列的应用
等差数列与等比数列的应用等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列。
它们在不同领域的应用十分广泛，本文将介绍它们的基本概念以及在不同领域中的应用。
一、等差数列的应用等差数列是指数列中任意两个相邻项之差相等的数列。
假设等差数列的首项为a，公差为d，则该数列的通项公式为an=a+(n-1)d，其中n表示第n个项。
1.1 等差数列的求和等差数列的求和是等差数列应用中常见的问题，可以通过求和公式来解决。
等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn=n/2*(a+an)。
这个求和公式可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和，提高计算效率。
1.2 财务中的应用等差数列在财务领域中有广泛的应用。
例如，假设某公司每年初始资产为a，每年增加的资产为d，如果要计算第n年的总资产，可以使用等差数列的通项公式an=a+(n-1)d。
这样，我们就可以根据公司每年的增长情况来计算未来某一年的总资产。
1.3 时间和距离中的应用在时间和距离的计算中，等差数列也有应用。
例如，假设一个物体的初始位置为a，每秒移动的距离为d，如果要计算第n秒物体的位置，可以使用等差数列的通项公式an=a+(n-1)d。
这样，我们就可以根据物体每秒移动的距离来计算未来某一秒物体的位置。
二、等比数列的应用等比数列是指数列中任意两个相邻项的比相等的数列。
假设等比数列的首项为a，公比为r，则该数列的通项公式为an=ar^(n-1)，其中n表示第n个项。
2.1 等比数列的求和等比数列的求和也是等比数列应用中常见的问题，可以通过求和公式来解决。
等比数列的前n项和Sn可以表示为Sn=a(r^n-1)/(r-1)。
这个求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和，提高计算效率。
2.2 银行利息的计算等比数列在银行利息的计算中有应用。
例如，某银行的存款利率为r%，如果某人每年将存款的本金乘以r/100再加上本金作为下一年的存款，那么每年的存款金额就可以看作是等比数列的项。
通过等比数列的通项公式an=ar^(n-1)，我们可以计算出未来某一年的存款金额。
等差数列与等比数列的特点与应用
等差数列与等比数列的特点与应用等差数列与等比数列是数学中常见而重要的数列类型。
它们具有一些独特的特点和广泛的应用，本文将对它们进行详细介绍和讨论。
一、等差数列的特点与应用等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
如果一个等差数列的首项为a，公差为d，那么它的通项公式可表示为an = a + (n-1)d，其中n为项数。
等差数列具有如下特点：1. 公差：公差是等差数列中相邻两项之差的固定值。
通过公差的正负，可以判断等差数列是递增还是递减。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来计算数列中任意一项的数值，这对于问题求解非常重要。
3. 总和公式：等差数列的前n项和可以通过总和公式来计算，公式为Sn = (n/2)(a + an)。
等差数列在实际应用中有着广泛的应用，例如：1. 计算问题：等差数列的通项公式和总和公式可以用于求解各种计算问题，如求和问题、推理问题等。
2. 法则问题：等差数列的特性在数学中被用作问题求解的法则，如等差数列法则可以用于逻辑推理、证明等。
3. 几何问题：等差数列在几何问题中也有应用，如等差中项法则可以用于解决线性函数的几何性质。
二、等比数列的特点与应用等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
如果一个等比数列的首项为a，公比为r，那么它的通项公式可表示为an = ar^(n-1)，其中n为项数。
等比数列具有如下特点：1. 公比：公比是等比数列中相邻两项之比的固定值。
公比可以为正数、负数或零，通过公比的正负和大小，可以判断等比数列的增长趋势。
2. 通项公式：等比数列的通项公式可以用来计算数列中任意一项的数值，这对于问题求解非常重要。
3. 总和公式：等比数列的前n项和可以通过总和公式来计算，公式为Sn = a(1-r^n)/(1-r)。
等比数列在实际应用中也有广泛的应用，例如：1. 财务问题：等比数列可以用于计算复利问题，如银行利息、投资回报等。
2. 比例问题：等比数列可以用于描述比例关系，如物体的等比缩放、图形的相似性等。
等差、等比数列的性质及综合应用
2 3
.
7
5.已知数列{an}、{bn}分别为等差、等比数列， 且 a1=b1>0 ， a3=b3 ， b1≠b3 ， 则 一 定 有 a2 b2，>a5 b5（<填“>”“<”“=”).
(措施一)由中项性质和等比数列性质知
b1>0，b3>0，又b1≠b3，
a2= a1 a3 =b1 b3 >
等差、等比数列旳 性质及综合应用
1
掌握等差、等比数列旳基本性质： 如（１）“成对”和或积相等问题； （２）等差数列求和S2n-1与中项an；能 灵活利用性质处理有关问题.如分组求和 技巧、整体运算.
2
1.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列 结论正确旳是( C ) A.a1+a9=a10,b1·b9=b10 B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6 C.a1+a9=a4+a6,b1·b9=b4·b6 D.a1+a9=2a5,b1·b9=2b5
=a14q166=a14·q6·q160
=(a14q6)·(q16)10
=1·210=1024. 23
(措施二)由性质可知，依次４项旳积为等 比数列，设公比为q,T1=a1·a2·a3·a4=1,
T4=a13·a14·a15·a16=8,
所以T4=T1·q3=1·q3=8 q=2,
所以T11＝a41·a42·a43·a44=T1·q10=1024.
a1 qn+
1 q
a1 1 q
=aqn+b,这
里a+b=0，但a≠0，b≠0，这是等比数列前n
项和公式旳一种特征，据此很轻易根据Sn判 断数列{an}是否为等比数列.
等差数列与等比数列的应用
问题探究
例3 某林场计划第1年造林80公顷，以后每一年比前一年多 造林20%，第5年造林多少公顷？5年后共造林多少公顷？ 解：依题意，林场每年造林的公顷数成等比数列 an
其中a1 80, q 1.2, n 5,
a5 801.24 165.89 80(1 1.25 ) S 20 595.33 1 1.2
其中a1 60, a3 48.6, q 1 x, n 3
a3 a1q 2
整理，得
48.6 601 x 2
2 1 x 0 . 81
1 x 0 . 9
x 0 . 1或 x 1 .（舍去） 9
答：平均每次降价的百分率为10%。
总结提升
答：第5年造林约为165.89公顷，
5年后共造林约为595.33公顷。
Page 6
问题探究
例4 某商品经过2次降价后，每件的价格由原来的60元降至48.6元， 则平均每次降价的百分率为 （ ） A.10% B.20% C.30% D.35% 解：设每次降价的百分率为x，则每次降价后的单价是降价前的(1-x)倍，从 而原价格与两次降价后的单价组成一个等比数列 an ，
例2 某林场计划第一年造林5公顷，以后每年比上一年多造3 公顷，问第10年造林多少公顷？20年后林场共造林多少公顷？ 解：依题意，林场每年造林的公顷数成等差数列 an
其中a1 5, d 3, n 20,
a10 5 (10 1) 3 32 2019 S 20 20 5 3 100 570 670 2
答：第10年造林32公顷，20年后林场共造林670公顷。
Page问题中所隐含的数学问题
等比数列与等差数列的应用实例
等比数列与等差数列的应用实例数列在数学中是一个非常重要的概念，这个概念用于描述一些数按照规律排列的方式。
数列可以分为等差数列和等比数列两种。
在实际生活中，这两种数列的应用十分广泛。
本文将分别介绍等差数列与等比数列的概念，以及它们在实际应用中的实例。
一、等差数列等差数列是指数列中每一项与它前一项之间的差都相等的数列。
其中，这个差值被称为等差数列的公差。
等差数列可以表示为：{a, a+d, a+2d, a+3d, ... }，其中，a为数列的首项，d为数列的公差。
等差数列在实际生活中有很多应用，其中包含以下几个实例：1. 银行利率银行的利率是一种等差数列。
一般而言，银行的利率是按照年份，月份、天数等类型进行计算的。
例如，A银行的年利率为4%，则第一年的月利率为4%/12=0.3333%，第二年的月利率为4.3333%，由此可以看出，银行的利率就是一种等差数列。
2. 罚款违法者通常需要支付罚款，而罚款一般都是以等差数列的形式进行计算。
例如，如果在城市中心区域停车，将会面临不同的罚款，第一次罚款为100元，第二次罚款为150元，第三次罚款为200元，那么这三次罚款就是一种等差数列。
3. 商业利润商业利润有时也被看作是一种等差数列。
商业的盈利相当于销售额与成本之间的差值，而商业的成本中包含着许多费用，如固定费用、人工费用等。
这些成本在规模不断增大的商业中会随着等比数列的方式发生变化。
因此，商业的利润也可以看作是一种等差数列。
二、等比数列等比数列是指数列中每一项与它前一项的比都相等的数列。
其中，这个比值被称为等比数列的公比。
等比数列可以表示为：{a,ar, ar^2, ar^3, ... }，其中a为数列的首项，r为数列的公比。
等比数列也在实际生活中有很多应用，下面将介绍一些实例：1. 货币升值货币的升值通常可以用等比数列的形式进行描述。
在国际金融市场中，投资者可以通过参与外汇投资来获得货币升值的收益。
这种情况下，投资者的收益往往就呈现等比数列的形式。