考研数学二历年真题及答案详解(2003—2014)
考研数学二历年真题(2003—2012)题目
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a的值；将f化为标准形.(II) 求正交变换x Qy2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2010年考研数学二真题一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),zf x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xFx f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**AB，分别为A 、B 的伴随矩阵。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编14(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编14(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．等于A．∫01ln2xdxB．2∫12lnxdxC．2∫12ln(1+x)dxD．∫12ln2(1+x)dx正确答案：B解析：故应选(B)．2．设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数．B．F(x)是奇函数f(x)是偶函数．C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数．D．F(x)是单调函数f(x)是单调函数．正确答案：A解析：直接法若F(x)是连续函数f(x)的原函数，且F(x)是偶函数，则F(一x)=F(x)，式两端对x求导得一F’(一x)=F(x)即一f(一x)=f(x)故f(x)为奇函数．反之，若f(x)为奇函数，则G(x)=∫0xf(t)dt是f(x)的一个原函数，又G(一x)=∫0一xf(x)dt∫0xf(u)du=G(x)则G(x)是偶函数，由于F(x)也是f(x)的原函数，则F(x)=G(x)+CF(x)亦是偶函数，故应选(A)．3．设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫0xf(t)dt 是A．连续的奇函数．B．连续的偶函数．C．在x=0间断的奇函数．D．在x=0间断的偶函数．正确答案：B解析：直接法由于f(x)是奇函数，则∫0x(t)dt是偶函数，又由于f(x)除x=0外处处连续，且x=0是其第一类间断点，则f(x)在任何一个有限区间上可积，从而∫0xf(t)出为连续函数，故应选(B)．4．如图，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)=f∫0x(t)dt，则下列结论正确的是A．B．C．D．正确答案：C解析：根据定积分的几何意义知，也可用排除法：由定积分的几何意义知也可利用f(x)是奇函数，则F(x)=∫0xf(t)出为偶函数，从而则(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)．5．如图，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0xxf’(x) dx等于A．曲边梯形ABOD的面积．B．梯形ABOD的面积．C．曲边三角形ACD的面积．D．三角形ACD面积．正确答案：C解析：∫0a(x)dx=∫0af(x)=xf(x)|0a一∫0af(x)dx=af(a)一∫0af(x) dx其中af(a)应等于矩形ABOC的面积，∫0af(x)如应等于曲边梯形ABOD的面积，则∫0axf’(x)dx应等于曲边三角形ACD的面积．6．设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形为则函数F(x)=∫0xf(t)dt的图形为A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设知，当x∈(一1，0)时F’(x)=f(x)，而当x∈(一1，0)时f(x)=1＞0，即F’(x)＞0，从而F(x)单调增，显然(A)选项是错误的，因为(A)选项中F(x)在(一1，0)中单调减．由于F(x)=∫0xf(t)dt，则F(0)=0，显然(C)选项错误．由于当x∈(2，3]时f(x)=0，则当x∈(2，3]时F(x)=∫0xf(t)dt=∫02f(t)dt+∫2xf(t)dt=∫02f(t) dt+∫2x0dt=F(2)则(B)是错误的，(D)是正确的．7．设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性A．仅与m的取值有关．B．仅与n的取值有关．C．与m，n的取值都有关．D．与m，n的取值都无关．正确答案：D解析：故原反常积分的敛散性与m和n的取值无关．8．设则I，J，K的大小关系为A．I＜J＜K．B．I＜K＜J．C．J＜I＜K．D．K＜J＜I．正确答案：B解析：当x∈(0，)时，sinx＜cosx＜1＜cotx，而lnx为单调增的函数，则lnsinx ＜lncosx ＜lncotx x∈故应选(B)．填空题9．=________．正确答案：解析：10．设函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：解析：由于f(x)在x=0处连续，则f(x)=a，而11．广义积分=________．正确答案：解析：12．∫01e一xsinnxdx=________．正确答案：0．解析：13．已知∫一∞+∞ek|x|dx=1，则k=________．正确答案：一2．解析：1=∫一∞+∞ek|x| dx=2∫0+∞ekxdx=，(k＜0)k=一2．14．当0≤θ≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为________．正确答案：(eπ一1)．解析：所求弧长为解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[研究生入学考试]考研数学二真题2003—2012
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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11xy==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+< . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T Tf x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a的值；将f化为标准形.(II) 求正交变换x Qy2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2010年考研数学二真题一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x→时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.（3）设函数(),zf x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xFx f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A 、B 的伴随矩阵。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1999年)记行列式为f(x)．则方程f(x)=0的根的个数为A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：B解析：计算该行列式可以有多种方法．例如，为了便于降阶．先把第1列的(-1)倍分别加到第2、3、4列，得f(x)=(把第2行的(-1)倍加到第1行)故方程f(x)=0的根为x=0和x=1，于是知(B)正确．知识模块：行列式2．(2014年)行列式A．(ad-bc)2B．-(ad-bc)2C．a2d2-b2c2D．b2c2-a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=ad(ad-bc)+bc(ad-bc)=-(ad-bc)2. 知识模块：行列式3．(1998年)没A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是A的伴随矩阵．又k为常数．且k≠0．±1，则必有(kA)*=A．kA*B．kk-1A*C．knA*D．k-1A*正确答案：B解析：由于n阶行列式的每个元素的余子式都是一个n-1阶行列式，故｜kA｜的每个元素的代数余子式等于｜A｜的对应元素的代数余子式的k-1倍，于是由伴随矩阵的定义知(kA)*的每个元素等于A*的对应元素的kn-1倍，即(kA)*=kn-1A*．知识模块：矩阵4．(2004年)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B 的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为A．B．C．D．正确答案：D解析：记交换单位矩阵的第1列与第2列所得初等矩阵为E(1，2)，记将单位矩阵第2列的k倍加到第3列所得初等矩阵为E(3，2(k))，则由题设条件，有AE(1，2)=B，BE(3，2(1))=C．故有AE(1，2)E(3，2(1))=C．于是得所求逆矩阵为Q=E(1，2)E(3，2(1))=所以只有选项(D)正确．知识模块：矩阵5．(2005年)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则A．交换AA*的第1列与第2列得BA*．B．交换AA*的第1行与第2行得BA*．C．交换AA*的第1列与第2列得-BA*．D．交换AA*的第1行与第2行得-BA*．正确答案：C解析：方法1：用排除法．以2阶方阵为例，设则由此可见，交换A*的第1列与第2列得-B*，而其它选项均不对．故只有(C)正确．方法2：记P为交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等方阵．则由题设条件有B=PA，且｜B｜=-｜A｜，P-1=P．由A可逆知B可逆，利用B-1=｜B｜-1B-1．得B*=｜B｜B-1=-｜A｜(PA)-1=-(｜A｜A-1)P-1=-A*P或A*P==-B*因为用P右乘矩阵A*，等价于交换A*的第1列与第2列．故知选项(C)正确．知识模块：矩阵6．(2006年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记P=，则A．C=P-1AP．B．C==PAP-1.C．C=PTAP．D．C=PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P．由初等变换与初等矩阵的关系，有B=PA．令矩阵则将E的第1列的-1倍加到第2列即得矩阵Q。
考研数学二历年真题(2003—2012)荟萃
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题（集）一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++ ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10)22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ . (11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z zxy x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x yy +-=满足条件11x y==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++= n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根； (II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a的值；将f化为标准形.(II) 求正交变换x Qy2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2010年考研数学二真题一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ） ()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),zf x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xx dx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xFx f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**AB，分别为A 、B 的伴随矩阵。
考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2014年] 行列式==( )．A．(ad—bc)2B．一(ad一bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：待计算的行列式为数字型行列式，且元素排列有一定规律，应利用行列式性质将其变形化为能直接使用非零元素仅在主、次对角线上的2n阶或2n 一1阶行列式计算：=(a1a2n一b1b2n)(a2a2n-1—b2b2n-1)…(anan+1—bnbn+1)，=an(an-1an+1一bn-1bn+1)(an-2an+2一bn-2bn+2)…(a2n-1a1一b2n-1一b1)．解一令.此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，由式(2．1．1．5)，即得∣A∣=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．解二将∣A∣按第1行展开，然后可利用式(2．1．1．6)直接写出结果：∣A∣=(一a)=(一a)d(ad一bc)+bc(ad —bc)=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．知识模块：行列式2．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：利用行列式性质将f(x)化为含零子块的四分块矩阵的行列式或三角形行列式计算．(式(2．1．1．6))=5x(x－1)．由此可知f(x)=0的根有2个．仅(B)入选．知识模块：行列式3．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式∣AB∣≠0B．当m＞n时，必有行列式∣AB∣=0C．当n＞m时，必有行列式∣AB∣≠0D．当n＞m时，必有行列式∣AB∣=0正确答案：B解析：证秩(AB)＜m或证ABX=0有非零解(利用命题2．1．2．7)证之．解一利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于的法则确定正确选项．因AB为m阶矩阵，行列式∣AB∣是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到：(1)当m＞n时，有秩(A)≤min{m，n)=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m；(2)秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故∣AB∣=0．仅(B)入选．解二因BX=0的解必是ABX=0的解．而BX=0是n个方程m 个未知数的齐次线性方程组．当m＞n时，BX=0有非零解，从而ABX=0有非零解，故∣AB∣=0．仅(B)入选．知识模块：行列式4．[2012年] 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=.若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：注意到Q的列向量为α1，α2，α3的线性组合，首先将Q改写为P与一数字矩阵相乘的形式，再代入Q-1AQ中进行运算，即可求得正确选项．解一因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]因而Q-1AQ=，故仅(B)入选．解二用初等矩阵表示，有Q=PE12：(1)，由E12-1(1)=E12(一1)得到Q-1AQ=[PE12(1)]-1APE12(1)=E12-1(1)P-1APE12(1)=E12(一1)P-1APE12(1)=仅(B)入选．知识模块：矩阵5．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E一A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：利用命题2．2．1．4及命题2．1．2．6求之．解一易求得(E —A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E－A+A2)=E+A3=E．由命题2．2．1．4知E一A可逆，E+A也可逆．仅(C)入选．解二由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E—A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值，由命题2．1．2．6知，它们均可逆．仅(C)入选．知识模块：矩阵6．[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．A．√3／3B．3C．1／3D．√3正确答案：A解析：出现第l行3个相等的元素，自然想到用行列式展开定理．用a11的表达式表示∣A∣，再利用命题2．1．2．8即可求出a11解一显然矩阵A满足命题2．1．2．8中的三个条件，因而由该命题即得∣A∣=1．将∣A∣按第1行展开得到1=∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112，故以a11=√3／3．仅(A)入选．解二由A*=AT，即，其中Aij为∣A∣中元素aij(i，j=1，2，3)的代数余子式，得aij=Aij(i，j=l，2，3)．将∣A∣按第1行展开，得∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112＞0．又由A*=AT得到∣A*∣=∣A∣3-1=∣AT∣=∣A∣，即∣A∣(∣A∣一1)=0，而∣A∣＞0，故∣A∣一1=0，即∣A∣=1，则3a112=1，因a11＞0，故a11==√3／3．仅(A)入选．知识模块：矩阵填空题7．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量．记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如果∣A∣=1，那么∣B∣=_________．正确答案：将分块矩阵B改写为分块矩阵A右乘另一数字矩阵的形式，再在等式两边取行列式；也可利用行列式性质恒等变形找出∣A∣与∣B∣的关系，从而求出∣B∣．解一B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC，其中C=为三阶范德蒙行列式，则∣C∣=2，故∣B∣=∣A∣∣C∣=1×2=2．解二用行列式性质将∣B∣化为∣A∣的线性函数，找出∣A ∣与∣B∣的关系，求出∣B∣．∣B∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，α2+5α3∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，2α3∣∣α1+α2+α3，α2，2α3∣=2∣α1+α2+α3，α2，α3∣2∣α1，α2，α3∣=2∣A∣=2．涉及知识点：行列式8．[2006年] 设矩阵A=，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则∣B∣=_________．正确答案：可用上述法一或法二求之．解一由BA=B+2E得∣B(A—E)∣=∣2E∣=22=4，故∣[B∣∣A—E∣=4，∣B∣=4／∣A—E∣=4／2=2．解二由BA=B+2E得B(A—E)=2E，则B=2(A—E)-1=2，故∣B∣=2．涉及知识点：行列式9．[2003年] 设三阶方阵A，B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则∣B∣=_________．正确答案：注意到所给矩阵方程A2B—A—B=E含单位矩阵E的加项，左端又出现矩阵A的平方，应将它们结合在一起，因式分解，将方程化成矩阵乘积形式，再取行列式求解．题设等式化为(A2一E)B=A+E，即(A+E)(A—E)B=A+E．易求得∣A+E∣=18≠0，故A+E可逆．在上式两端左乘(A+E)-1，得到(A—E)B=E．再在两边取行列式，得∣A—B∣∣B∣=1．因∣A—E∣==2，故∣B∣=／2．涉及知识点：行列式10．[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式∣2A∣=一48，则λ=________．正确答案：先利用命题2．1．2．2求出行列式∣A∣，再利用命题2．1．2．4即可求出参数λ．由命题2．1．2．2得∣2A∣=23∣A∣=一48，解得∣A ∣=一6．又由命题2．1．2．4得到∣A∣=一6=λ·2·3，故λ=一1．涉及知识点：行列式11．[2012年] 设A为三阶矩阵，∣A∣=3．A*为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则∣BA*∣=_________．正确答案：先将矩阵B用初等变换E12与A表示．为利用AA*=∣A∣E，将所得表示式右乘A*．再取行列式．计算行列式时，要正确计算出初等矩阵的行列式∣E12∣．由题设有B=E12A，两边右乘A*得到BA*=E12AA*=∣A ∣E12E=∣A∣E12，则∣BA*∣=∣∣A∣∣E12∣=∣A∣3∣E12∣=33(一1)=一27．涉及知识点：行列式12．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，∣A∣为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则∣A∣=__________．正确答案：利用A*=(Aij)及∣A∣=∣A∣3-1求之．由a=一A，则(a)=(－Aij)，(aij)T=(－Aij)T=一(Aij)，故AT=一A*，从而∣A∣=∣AT∣=∣—A*∣=(一1)3∣A∣3-1=一∣A∣2，即∣A∣2+∣A∣=∣A∣(∣A∣+1)=0，故∣A∣=0或∣A∣=一1．若∣A∣=0，则由∣A∣=ai1Ai1+ai1Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0(i=1，2，3)得到a=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵，这与题设矛盾，故∣A∣=一1．涉及知识点：行列式13．[20l0年] 设A，B为三阶矩阵，且∣A ∣=3，∣B∣=2，∣A-1+B∣=2，则∣A+B-1∣=_________．正确答案：∣A+B-1∣=∣A+B-1∣，常用单位矩阵E将其恒等变形为∣A+B-1∣=∣A+B-1E∣而求之，也可在A+B-1的左和(或)右边乘以适当矩阵化为其行列式已知的矩阵而求之．解一∣A+B-1∣=∣EA+B-1E∣=∣(B-1B)A+B-1(A-1A)∣=∣B-1(BA+A-1A)∣=∣B-1(B+A-1)A∣=∣B-1∣∣B+A-1∣A∣=1．2．3=3．解二A-1(B-1+A)B=A-1B-1B+A-1AB=A-1+B，故∣A-1∣∣B-1+A∣∣B∣=∣A-1+B∣=2，即∣B-1+A∣=2∣A∣／∣B ∣=6／2=3．涉及知识点：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是_________．正确答案：利用命题2．1．3．1(1)寻找λ满足的条件．因方程个数与未知数的个数相等，又该方程组只有零解，由命题2．1．3．1(1)知∣A∣≠0，从而∣A∣==(λ—1)2．于是当λ≠1时，∣A∣≠0，即该方程组只有零解．涉及知识点：行列式15．[2003年] 设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=则αTα=_________．正确答案：由命题2．2．1．2知，αTα为ααT的主对角线元素之和．另一种思路是利用向量运算规律求出α，再求αTα．解一由命题2．1．1．2知，αTα为ααT的主对角线上的元素之和，即αTα=1+1+1=3．解二由ααT=[1，一1，1]知α=，于是αTα=3．涉及知识点：矩阵16．设A=，而n≥2为整数，则An－2An-1=_________．正确答案：求方阵的n次幂一般要先就n=2，n=3进行计算，然后归纳其规律，得出结论．也可用相似对角化及命题2．2．1．3求之．解一先求出n=2，3时，A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A,A3=A2．A=2A·A=2A2=2．2A=22A，设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak．A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1．2A=2kA．因而对任何自然数，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1．A－2·2n-2A=0．解二由于A为实对称矩阵，可用相似对角化求出An．由∣λE－A∣=λ(λ－2)2得到A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0．由于A为实对称矩阵，必存在可逆阵P，使P-1AP=diag(2，2，0)=Λ，于是A=PΛP-1，An=PΛnP-1，2An-1=P(2Λn-1)P-1=PΛnP-1，故An一2An-1=0．涉及知识点：矩阵17．设A=，其中ai≠0(i=1，2，…，n)，则A-1=_________．正确答案：把A看作是A=的分块矩阵，利用分块矩阵的求逆公式(命题2．2．1．5(3))易求得A-1也可用初等行变换求之．涉及知识点：矩阵18．设A=,A*是A的伴随矩阵，则(A*)-1=_________．正确答案：直接利用式(2．2．2．1)求之．由式(2．2．2．1)得到(A*)-1= 涉及知识点：矩阵19．设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为________．正确答案：解一因A的秩为2，较其阶数4小2，由命题2．2．2．1知秩(A*)=0．解二由题设知A的秩为2，因而A的所有三阶子式等于0．于是A 的所有元素的代数余子式均为0，即A*=0，故秩(A*)=0．涉及知识点：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2003-2011考研数学2真题高数部分要点
2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= . （2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ ]（3）已知x x y ln =是微分方程)(yxx y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为 （A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ ]（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]yO x（5）设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ ] 三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax 问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d五 、（本题满分9分）计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）121dx x x +∞=-⎰_____..（5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y==的特解为_______. 二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 20tan x t dt β=⎰, 30sin x t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα []（8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]（9）22212lim ln (1)(1)(1)n n nnnn→∞+++等于（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰ []（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >. []（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导. （17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂. 2005年考研数学二真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设x x y )sin 1(+=，则|x dy π==______ .（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为______ .（3）=--⎰1221)2(xxxdx______ .（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为______ . （5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= ______ .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ]（12）设函数,11)(1-=-x x ex f 则 (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分） 如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .（2）设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0A dy dx== .二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则 （A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【 】（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()x f t dt ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. 【 】（9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln 31-.（B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-【 】（10）函数212x x x y C e C e xe -=++满足一个微分方程是 （A ）23.xy y y xe '''--= （B ）23.xy y y e '''--=（C ）23.x y y y xe '''+-=（D ）23.xy y y e '''+-=三 解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16．arcsin xxe dx e⎰求. 18．{}110,sin (0,1,2,)n n n x x x x n π+<<==设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限；211(2)lim()n x n x nx x +→∞计算.19．sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时,21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t⎧=+≥⎨=-⎩（Ⅰ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点（-1，0）引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.2007年考研数学二真题一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 （ ） A. 1xe- B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -（2）函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在区间[],ππ-上的第一类间断点是x =( )A. 0B. 1C. 2π-D.2π （3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是： （ ）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = B. 若0()()lim x f x f x x→+-存在, (0)0f =C. 若0()lim x f x x →存在, 则(0)0f '=D. 0()()lim x f x f x x→--存在, (0)0f =（5）曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为 （ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3(6)设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且"()0f x >, 令n u = ()1,2.......,,f n n = 则下列结论正确的是 ( )A.若12u u >，则{}n u 必收敛B. 若12u u >，则{}n u 必发散C. 若12u u <，则{}n u 必收敛D. 若12u u <，则{}n u 必发散二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(11)30arctan sin limx x xx →-=____.(12)曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_____(13)设函数123y x =+，则()0ny ＝_____.(14)二阶常系数非齐次线性微分方程2''4'32x y y y e -+=的通解y ＝_____.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导函数，且满足()100cos sin ()sin cos f x x t t f t dt t dt t t --=+⎰⎰，其中1f-是f 的反函数，求()f x .（18）（本题满分11分） 设D 是位于曲线y xa =- ()1,0a x >≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ； （Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值.（19）求微分方程()2''''y x y y +=满足初始条件(1)'(1)1y y ==的特解.（20）已知函数()f a 具有二阶导数，且'(0)f ＝1，函数()y y x =由方程11y y xe --=所确定.设(ln sin ),z f y x =-求x dzdx=，202x d z dx=.(21)（本题11分） 设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==证明：存在(,)a b ξ∈，使得''''()()f g ξξ=. 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设2()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数（ ）()A 0()B 1 ()C 2()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'()axf x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A 440y y y y ''''''+--=.()B 440y y y y ''''''+++=.()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.（4）判断函数ln ()sin (0)1xf x x x x =>-间断点的情况( ) ()A 有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ()B 有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ()C 有两个无穷间断点 ()D 有两个跳跃间断点（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）()f x 连续，21cos(sin )lim1(1)()x x x e f x →-=-，则(0)f =（10）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （11）求函数23()(5)f x x x =-的拐点______________.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分10分）求极限()40sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (17)（本题满分10分） 求积分212arcsin 1x x dx x-⎰(19)（本题满分10分）曲线()y f x =满足(0)1f =对于任意的t 曲线是严格递增，在x 轴上0t >，该曲线与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为()V t ,侧面积为()S t .如果()f x 二阶可导,且()2()S t V t =，求曲线()y f x =. （21）（本题满分11分）证明(1)积分中值定理；(2)已知()x ϕ在[1,3]上连续且可导，32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰证明至少存在一点(1,3)ξ∈，()0ϕξ'=使得.2010年考研数学二真题一 填空题(8×4=32分)2011考研数学二真题一选择题 1.已知当0x→时，函数是等价无穷小，则与k cx x x x f 3sin sin 3)(-=A k=1,c=4B k=a, c=-4C k=3,c=4D k=3,c=-4 2.=-==→3320)(2)(,0)0(0)(limx x f x f x f x x fx 则处可导，且在已知A )0(2f '-B )0(f '-C )0(f ' D03.函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为A0 B1 C2 D3 4.微分方程的特解形式为)0(2>+=-'-λλλλx x e e y yA)(x x e e a λλ-+ B )(x x e e ax λλ-+C )(x xbe aex λλ-+ D )(2x x be ae x λλ-+5设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C0)0(,1)0(>''<f f D 0)0(,1)0(<''<f f6.设⎰⎰⎰===44400cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I的大小关系是、、则K J IA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I 二填空题9.=+→xx x 10)221(lim 10.微分方程===+'-y y x e y y x 的解满足条件0)0(cos11.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s=____________12.设函数{0,)(0,0,0>=>≤-λλx x x f ，则=⎰+∞∞-dx x xf )(三解答题15.已知函数αxdt t x F x⎰+=2)1ln()(，设0)(lim )(lim 0==+→+∞→x F x F x x ，试求α的取值范围。
考研数学二(函数、极限与连续)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学二（函数、极限与连续）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2011年] 已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )．A．k=1，c=4B．k=1，c=一4C．k=3，c=4D．k=3，c=一4正确答案：C解析：利用等价无穷小定义、等价无穷小代换及泰勒展开式求之．解一由题设有=1．即=1.因而k=3．当k=3时，由上式得到27／(6c)一1／(2c)=1，即c=4．仅(C)入选.解二当k一2=1即k=3时，=1，即c=4．仅(C)入选．知识模块：函数、极限与连续2．[2014年] 当x→0+时，若lnα(1+2x)，(1一cosx)1/α均是比x高阶的无穷小，则α的取值范围是( )．A．(2，+∞)B．(1，2)C．(1／2，1)D．(0，1／2)正确答案：B解析：由lnα(1+2x)，(1一cosx)1/α均是比x高阶的无穷小，分别求出α的取值范围即可．a＞0时，显然有lnα(1+2x)～(2x)α=2αxα(x→0-)，(1一cosx)1/α～(x→0+)因它们均是比x高阶的无穷小，由分别得到α一1＞0，一l ＞0，即1＜α＜2，因而α的取值范围为(1，2)．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续3．[2000年] 若=0，则为( )．A．0B．6C．36D．∞正确答案：C解析：消去未知函数f(x)，或求出其表达式，代入极限式求之．解一或=36．解二用带皮亚诺型余项的泰勒公式求之．题设相当于sin6x+xf(x)=o(x3)，将sin6x=6x一(6x)3／3!+o(x3)代入，得到6+f(x)=36x2+o(x2)，[6+f(x)]／x2=36+o(1)，于是{[6+f(x)]／x2}=36．仅(C)入选．知识模块：函数、极限与连续4．[2017年] 设数列{xn}收敛，则( )．A．当sinxn=0时，xn=0B．当=0时，xn=0C．当(xn+xn2)=0时，xn=0D．当(xn+sinxn)=0时，xn=0正确答案：D解析：取特殊值法或反推法求之．解一对于选项(A)，(B)，(C)分别取xn=π,xn=一1，xn=一l，可排除(A)，(B)，(C)．仅(D)入选．解二令xn=A，由(xn+sinxn)=A+sinA=0得A=0．仅(D)入选．知识模块：函数、极限与连续5．[2017年] 若函数f(x)=在x=0处连续，则( )．A．ab=B．ab=一C．ab=0D．ab=2正确答案：A解析：所给函数为分段函数，因其在分段点连续，可先求出其左右极限，然后利用函数在分段点处左右极限相等的性质求之．f(0+0)=f(0)一f(0—0)=b，因f(x)在x=0处连续，故f(0+0)=f(0一0)=f(0)，从而=b，即ab=仅(A) 入选．知识模块：函数、极限与连续6．[2018年] 设函数f(x)=若f(x)+g(x)在R上连续，则( )．A．a=3，b=1B．a=3，b=2C．a=一3，b=1D．a=一3，b=2正确答案：D解析：由函数表达式易得分段点为x=一1，x=0．在x=一1点处，f(x)为连续函数，故只需考虑g(x)的连续性，而g(x)=g(一1)=2+a，g(x)=一1，所以2+a=一1，解得a=一3；在x=0点处，有[f(x)+g(x)]=f(0)+g(0)=1一b，[f(x)+g(x)]=一l+0=一1，从而1一b=一1，得b=2．故选(D)．知识模块：函数、极限与连续7．[2015年] 函数f(x)=在(一∞，+∞)内( )．A．连续B．有可去间断点C．有跳跃间断点D．有无穷间断点正确答案：B解析：f(x)显然在x=0处无定义，因而x=0为其不连续点，至于是哪一类的不连续点，首先需考查其极限是否存在．因f(x)==ex(x≠0)，而=1，又因f(x)在x=0处无定义，故x=0为其可去间断点．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续8．[2005年] 设函数f(x)=，则( )．A．x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点B．x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点C．x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点D．x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点正确答案：D解析：找出间断点，让x趋向这些间断点时考察f(x)的左、右极限或其极限的存在情况．由于函数f(x)在x=0，x=1处无定义，这些点为f(x)的间断点，因=0，故f(x)=∞，因而x=0为f(x)的第二类间断点(无穷间断点)．又因，所以=一1．因而x=1为f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．仅(D)入选．知识模块：函数、极限与连续9．[2007年] 函数f(x)=在[一π，π]上的第一类间断点是x=( )．A．0B．1C．一π／2D．π／2正确答案：A解析：根据定义，应考察f(x)在上述诸点的左、右极限是否都存在．左、右极限都存在的点为第一类间断点，否则不是第一类间断点．解一函数f(x)虽不是分段函数，但因其含e1/x，需分f(0+0)及f(0—0)考察．f(0+0)==1，f(0一0)=×1=一1．因f(0+0)，f(0—0)都存在，故x=0为第一类间断点．仅(A)入选．解二函数e1/x在x=l，x=±π／2处的极限存在，不必分左、右极限讨论，但需注意tanx=±∞．因故x=1，±π／2是f(x)的第二类间断点．由排除法可知，仅(A)入选．知识模块：函数、极限与连续10．[2009年] 函数f(x)=的可去间断点的个数为( )．A．1B．2C．3D．无穷多个正确答案：C解析：先求出f(x)的所有间断点，然后求x趋近这些点时哪些有极限，有极限的点即为可去间断点．f(x)的间断点为x=0，x=±1，x=±2，…，故f(x)的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点．而分子中x—x3=0的点只有x=0，x=±1，极限存在的点只可能在这些点中去寻找．因则x=0，x=±1为f(x)的可去间断点，其余均为无穷间断点．仅(C)入选．知识模块：函数、极限与连续11．[2008年] 设函数f(x)=sinx，则f(x)有( )．A．1个可去间断点，1个跳跃间断点B．2个跳跃间断点C．1个可去间断点，1个无穷间断点D．2个无穷间断点正确答案：A解析：先求f(x)的间断点，再用f(x)在这些间断处的极限确定正确选项．f(x)的间断点为x=0，1，其中x=0为可去间断点．这是因为可见，x=1为f(x)的跳跃间断点．仅(A)入选．知识模块：函数、极限与连续12．[2010年] 函数f(x)=的无穷间断点的个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：先找出f(x)无定义的点．再进一步找出极限为无穷间断点．由题设已看出，f(x)除在x=0，x=1，x=一1处外处处有定义，因而f(x)只有3个间断点．而故x=1为f(x)的第一类间断点，且为可去间断点．而所以x=0为f(x)的第一类间断点，且为跳跃间断点．而故x=一1是f(x)的无穷间断点．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续填空题13．[2004年] 设f(x)=，则f(x)的间断点为x=__________.正确答案：先求得f(x)的表达式，再求间断点．当x=0时，f(x)=0；当x ≠0时，f(x)=(n为自变量，x是常数)，或f(x)=因(1/x)=∞≠f(0)，故x=0为f(x)的第二类间断点．涉及知识点：函数、极限与连续14．[2008年] 已知函数f(x)连续，且=1，则f(0)=___________．正确答案：利用等价无穷小代换将所给极限用f(0)表示出来，由此求得f(0)．当x→0时，xf(x)→0，故1一cos[xf(x)]～[xf(x)]2／2．由1=,得到f(0)／2=l，即f(0)=2．涉及知识点：函数、极限与连续15．[2002年] 设函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：f(x)为分段函数，先求出f(x)在分段点x=0处的左、右极限f(0—0)，f(0+0)，再根据f(0—0)=f(0+0)或f(0+0)=f(0)确定常数a．解一因f(x)=f(0+0)==—2．f(x)=f(0—0)==a，由f(x)在x=0处连续，有f(0+0)=f(0—0)．因而一2=a，即a=一2．解二由题设有f(0)=ae2x∣x-0=a.又由解一知f(0+0)=一2，再由f(x)在x=0处连续得到f(0+0)=f(0)，即a=一2．涉及知识点：函数、极限与连续16．[2006年] 设函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：利用函数在一点连续的定义求之．因，故a=f(x)=1／3．涉及知识点：函数、极限与连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)
考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2003年)设{an}，{bn}，{Cn}均为非负数列，且，则必有【】A．an＜bn对任意n成立．B．bn＜cn对任意n成立．C．极限ancn不存在．D．极限bncn不存在．正确答案：D解析：由于bn＝1≠0，cn＝∞．则bncn＝∞即极限bncn不存在，故应选D．知识模块：函数、极限、连续2．(2005年)设函数f(χ)＝，则【】A．χ＝0，χ＝1都是f(χ)的第一类间断点．B．χ＝0，χ＝1都是f(χ)的第二类间断点．C．χ＝0是f(χ)的第一类间断点，χ＝1是f(χ)的第二类间断点．D．χ＝0是f(χ)的第二类间断点，χ＝1是f(χ)的第一类间断点．正确答案：D解析：显然χ＝0和χ＝1是f(χ)的间断点，又，则χ＝0是f(χ)的第二类间断点；则χ＝1是f(χ)的第一类间断点，故应选D．知识模块：函数、极限、连续3．(2007年)当χ→0+时，与等价的无穷小量是【】A．1－B．C．D．1－cos．正确答案：B解析：则应选B．知识模块：函数、极限、连续4．(2007年)函数f(χ)＝在[－π，π]上的第一类间断点是χ＝【】A．0B．1C．D．正确答案：A解析：则χ＝0是f(χ)的第一类间断点．故应选A．知识模块：函数、极限、连续5．(2008年)设函数f(χ)在(一∞，＋∞)内单调有界，{χn}为数列，下列命题正确的是【】A．若{χn}收敛，则{f(χn)}收敛．B．若{χn}单调，则{f(χn)}收敛．C．若{f(χn)}收敛，则{χn}收敛．D．若{f(χn)}单调，则{χn}收敛．正确答案：B解析：由于f(χ)在(－∞，＋∞)上单调有界，若{χn}单调，则{f(χn)}是单调有界数列，故{f(χn)}收敛．事实上A、C、D都是错误的．若令χn＝，显然＝0，即{χn}收敛，令f(χ)＝，显然f(χ)在(－∞，＋∞)上单调有界，但{f(χn)}不收敛．由于f(χn)＝，所以f(χn)不存在，故A不正确．若令χn，f(χ)＝arctanχ．显然{f(χn)}收敛且单调，但χn＝n不收敛，故C和D 不正确．知识模块：函数、极限、连续6．(2008年)设函数f(χ)＝sinχ，则f(χ)有【】A．1个可去间断点，1个跳跃间断点．B．1个可去间断点，1个无穷间断点．C．2个跳跃间断点．D．2个无穷间断点．正确答案：A解析：显然f(χ)＝sinχ在χ＝1和χ＝0没定义，因此χ＝1和χ＝0为间断点，其余点都连续．则χ＝1为f(χ)的跳跃间断点．则χ＝0为f(χ)的可去间断点．故应选A．知识模块：函数、极限、连续7．(2009年)当χ→0时，f(χ)＝χ－sinaχ与g(χ)＝χ2ln(1－bχ)是等价无穷小，则【】A．a＝1，b＝－．B．a＝1，b＝．C．a＝－1，b＝－．D．a＝－1，b＝．正确答案：A解析：由于当χ→0时，f(χ)＝χ－sinaχ与y(χ)＝χ2ln(1－bχ)是等价无穷小，则则b＝－．故应选A．知识模块：函数、极限、连续8．(2009年)函数f(χ)＝的可去间断点的个数为【】A．1．B．2．C．3．D．无穷多个．正确答案：C解析：当χ＝k(k＝0，±1，±2，…)时，sinπχ＝0，则这些点都是f(χ)的间断点．而当χ＝0，±1时，χ－χ3＝0，则χ＝0，χ＝±1为f(χ)的可去间断点，其余均为无穷间断点．故应选C．知识模块：函数、极限、连续9．(2010年)函数f(χ)＝的无穷间断点的个数为【】A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：显然f(χ)＝有间断点χ＝0，χ＝±1．则χ＝1为可去间断点．知识模块：函数、极限、连续10．(2011年)已知当χ→0时，函数f(χ)＝3sinχ－sin3χ与cχk是等价无穷小，则【】A．k＝1，c＝4．B．k＝1，c＝－4．C．k＝3，c＝4．D．k＝3，c＝－4．正确答案：C解析：则k＝3，＝1，c＝4 知识模块：函数、极限、连续11．(2012年)设an＞0(n＝1，2，…)，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的【】A．充分必要条件．B．充分非必要条件．C．必要非充分条件．D．既非充分条件也非必要条件．正确答案：B解析：由于an＞0，则数列{Sn}单调增，若{Sn}有界，则{Sn}收敛，设Sn －a，则即{an}收敛．但若{an}收敛，{Sn)不一定有界．如an＝1，Sn ＝n，故应选B．知识模块：函数、极限、连续12．(2013年)设cosχ－1＝χsinα(χ)，其中｜α(χ)｜＜，则当χ→0时，α(χ)是【】A．比χ高阶的无穷小．B．比χ低阶的无穷小．C．与χ同阶但不等价的无穷小．D．与χ等价的无穷小．正确答案：C解析：由cosχ－1＝χsinα(χ)知故应选C．知识模块：函数、极限、连续13．(2014年)(1)当χ→0+时，若lna(1＋2χ)，均是比χ高阶的无穷小，则a的取值范围是【】A．(2，＋∞)B．(1，2)C．(，1)D．(0，)正确答案：B解析：由于当χ→0+时ln口(1＋2χ)～2χ，，由题设可知，α＞1，且＞1．则1＜α＜2，故应选B．知识模块：函数、极限、连续14．(2015年)函数f(χ)＝在(－∞，＋∞)内【】A．连续．B．有可去间断点．C．有跳跃间断点．D．有无穷间断点．正确答案：B解析：由f(χ)＝知，f(0)无意义，且当χ≠0时，f(χ)＝＝χχ则χ＝0为f(χ)的可去间断点．故应选B．知识模块：函数、极限、连续填空题15．(1997年)已知f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．正确答案：解析：由于知识模块：函数、极限、连续16．(2001年)＝_______．正确答案：解析：将分子有理化，分母分解因式得知识模块：函数、极限、连续17．(2002年)设函数f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．正确答案：－2．解析：由于当χ→0时1－eχ～(－tanχ)～(－χ)，arcsin，则而f(0)＝a 所以要使函数f(χ)在χ＝0处连续，则a＝－2．知识模块：函数、极限、连续18．(2003年)若χ→0时，－1与χsinχ是等价无穷小，则a＝_______．正确答案：－4．解析：由于当χ＝0时(1＋χ)μ－1～μχ，则当→0时－1～－aχ2，从而由题意知－＝1，即a＝－4．知识模块：函数、极限、连续19．(2004年)设f(χ)＝，则f(χ)的间断点为χ＝_______．正确答案：χ＝0．解析：显然，χ＝0为f(χ)的唯一的间断点．知识模块：函数、极限、连续20．(2005年)当χ→0时，a(χ)＝kχ2与β(χ)＝是等价无穷小，则k＝_______．正确答案：解析：则k＝知识模块：函数、极限、连续21．(2007年)＝_______．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续22．(2008年)已知函数f(χ)连续，且＝1，则f(0)＝________．正确答案：2．解析：则f(0)＝一2 知识模块：函数、极限、连续23．(2011年)＝________．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续24．(2013年)________．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二历年真题word版
- 1 - 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
(1)曲线221xxyx的渐近线条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()=(1)(2)()xxnxfxeeenL其中n为正整数,则'(0)f ( )
(A) 1(1)(1)!nn (B) (1)(1)!nn (C) 1(1)!nn (3) 设1230(1,2,3),nnnanSaaaaLL，则数列nS有界是数列na收敛的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
(4) 设20sind(1,2,3),kxkIexxk则有 ( ) (A) 123III (B) 321III (C) 231III (D) 213III
(5) 设函数(,fxy）为可微函数，且对任意的,xy都有0,0,xy（x,y）（x,y）则使不等式1122(,)(,)fxyfxy
成立的一个充分条件是 ( )
(A) 1212,xxyy (B) 1212,xxyy (C) 1212,xxyy (D) 1212,xxyy
(6) 设区域D由曲线sin,,12yxxy围成，则5(1)ddDxyxy ( ) (A) (B) 2 (C) -2 (D) -
(7) 设1100C，2201C,3311C,4411C,1C，2C，3C ，4C均为任意常数,则下列数列组相关的是 ( )
(A) 1，2，3 (B) 1，2，4 (C) 2，3，4 (D) 1，3，4