3.2简单的三角恒等变换(一)
第三章 3.2 简单的三角恒等变换
§3.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．知识点一 半角公式思考 半角公式对任意角都适用吗？ 答案 不是，要使得式子有意义的角才适用． 知识点二 辅助角公式 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝ba1．若α≠k π，k ∈Z ，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α恒成立．( √ )2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ与点(a ，b )同象限．( √ )3．sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.( × ) 提示 sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.题型一 应用半角公式求值例1 已知sin θ＝45，5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 ∵sin θ＝45，且5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∵5π4<θ2<3π2，∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.反思感悟 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． (4)下结论：结合(2)求值． 跟踪训练1 已知cos α＝33，α为第四象限角，则tan α2的值为________． 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案2－62解析 方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理因为α为第四象限角，所以α2是第二或第四象限角．所以tan α2<0.所以tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－331＋33 ＝－2－3＝－128－4 3 ＝－12(6－2)2＝2－62.方法二 ⎝⎛⎭⎫用tan α2＝1－cos αsin α来处理因为α为第四象限角，所以sin α<0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－13＝－63. 所以tan α2＝1－cos αsin α＝1－33－63＝2－62.方法三 ⎝⎛⎭⎫用tan α2＝sin α1＋cos α来处理因为α为第四象限角，所以sin α<0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－13＝－63. 所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－631＋33＝－63＋3＝2－62.题型二 三角函数式的化简 例2 化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 反思感悟 三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：①能求出值的应求出值．②尽量使三角函数种数最少．③尽量使项数最少．④尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．跟踪训练2 化简：(1－sin α－cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)．考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22×2sin2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.题型三 三角函数式的证明例3 求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ.∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ，∴左边＝右边， ∴原式得证．反思感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 跟踪训练3 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2 x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x2sin 2 x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x＝右边．所以原等式成立． 题型四 辅助角公式的应用例4 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 反思感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，以便于讨论函数性质． 跟踪训练4 已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)f (x )＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z .利用半角公式化简求值典例 已知等腰三角形的顶角的余弦值为725，则它的底角的余弦值为( )A.34B.35C.12D.45考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 三角恒等变换与三角形的综合应用 答案 B解析 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝725.又β＝π2－α2，所以cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α2＝sin α2＝1－7252＝35，故选B. [素养评析] 从实际问题提炼出等腰三角形底角、顶角间的关系，利用半角公式进行恒等变换化简，进而求值，这正是数学核心素养数学抽象的具体体现.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 由题意知α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．已知sin θ＝－35，3π<θ<72π，则tan θ2的值为( )A ．3B ．－3 C.13 D ．－13考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 ∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－45，tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－3.3．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2等于( )A.12B.12或不存在 C ．2D ．2或不存在考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值答案 B解析 2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，tan α2不存在，当cos α2≠0时，tan α2＝12.4．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．2 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.5．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用辅助角公式化简求值 答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x 是奇函数．6．已知在△ABC 中，sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，求证：sin A ＋sin C ＝2sin B .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 由sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，得sin A ·1＋cos C 2＋sin C ·1＋cos A 2＝32sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin A ·cos C ＋sin C ·cos A ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(π－B )＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin B ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B .1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b )同象限； ②tan φ＝b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握， 例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4； sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等．一、选择题1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， sin α2＝1－cos α2＝105. 2．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2等于( )A ．－55 B.55 C.35 D ．－35考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 因为α是第二象限角，且sin α2<cos α2，所以α2为第三象限角，所以cos α2<0.因为tan α＝－43，所以cos α＝－35，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°， ∵当0°≤x ≤90°时，y ＝sin x 是单调递增的， ∴a <c <b .4．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12C ．2D ．－2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用弦化切对齐次分式化简求值 答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.故选A.5．sin x cos x ＋sin 2x 可化为( ) A.22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 B.2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 A解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12.故选A. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z ) 考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，故选C. 7．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2等于( ) A ．－13B ．5C ．－5或13D ．－13或5 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换化简求值答案 B解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ<0，不符合π2<θ<π. ∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5. 二、填空题8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin 2α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 32解析 因为1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α， 所以sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝32. 9．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 tan x 2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x＝sin x 1＋cos x＝tan x 2. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 65解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35. 所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝65. 11．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1，所以－12≤sin α≤12. 因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 三、解答题12．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x . 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 ∵左边＝tan 3x 2－tan x 2＝sin3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2 ＝sin3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2 ＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝右边． ∴原等式得证．13．(2018·浙江宁波高三期末)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋1－2sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值与最小值．考点 简单的三角恒等变换的应用题点 辅助角公式与三角函数的综合应用解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π3≤x ≤π4，所以－5π12≤2x ＋π4≤3π4. 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π4＝－5π12，即x ＝－π3时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－3＋12， 即f (x )的最小值为－3＋12.14．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝2sin x cos x ＋1；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4； ③f (x )＝sin x ＋3cos x ；④f (x )＝2sin 2x ＋1.其中是“同簇函数”的有( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 ①式化简后为f (x )＝sin 2x ＋1，③式化简后为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，①④中振幅不同，平移后不能重合．②③振幅、周期相同，平移后可以重合．15．证明：sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝116. 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 原式＝sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝12cos 20°·cos 40°·cos 80°＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116＝右边，所以原等式得证．。
3.2简单的三角恒等变换教学设计
3.2简单的三角恒等变换教学设计-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN3.2 简单的三角恒等变换高一备课组一、教学内容及其解析（1）教学内容：简单的三角恒等变换（2）解析：本节课选自人教版.必修四第三章第二节，是学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式后的内容，本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.二、教学目标及其解析（一）教学目标：1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换；2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.（二）解析：1、通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.三、学生学习况情分析本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.所以学生对三角变换与代数变换的区分理解会比较困难，在教学中教师应加强对这二者的内在联系和区别加以分析。
简单的三角恒等变换
即
1 sin cos sin sin 2
证明（２）：由（１）得
sin sin 2sin cos
①
设 那么
,
2
,
2
把 , 的值代入①式中得
解： y sin x 3 cos x 这种形式我们在前面见过，
1 3 y sin x 3 cos x 2 sin x cos x 2sin x 2 2 3
所以，所求的周期 T
2
2
最大值为２，最小值为-2
2
1 cos tan 2 1 cos
2
例2、求证 :
1 ( 1 ) sin cos [sin( ) sin( )]; 2 ( 2 ) sin sin 2 sin cos . 2 2
证明：（１）因为
sin
§ 3.2 简单的三角 恒等变换
引入
学习和（差）公式，倍角公式以后，我
们就有了进行变换的性工具，从而使三角
变换的内容、思路和方法更加丰富，这为
我们的推理、运算能力提供了新的平
台．下面我们以习题课的形式讲解本节内
容．
举例
例1、试以 cos 表示 sin .
2
2
, cos
2
2
, tan
2
2
1 cos 1 cos 2 sin cos 2 2 2 2
和Leabharlann sin 是我们所学习过的知识，因此我们从等式
3.2简单的三角恒等变换(共2课时)
点评：例３是三角 恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数 的性质研究得到延 伸，体现了三角变 3 换在化简三角函数 式 中 的 作 用 .
所以,所求的周期为2,最大值为2,最小值为-2.
»感受三角变换的魅力
变形的目标：化成一角一函数的结构 变形的策略：引进一个“辅助角”
2. 请思考： （1）你怎样理解公式两边的“角”的关系？
（2） 与
2
有什么关系？
探 究1： 如 果 以 那 么 公 式 有 什 么 结 果 ？
代 替2， 以
2
代 替，
6
»新知探究
3. 半角公式：
S : ni s
2
1 soc 2 2 1 soc 2 2
C : soc
3
»复习与回顾
请写出二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2： sin 2 2 sin cos
C 2： cos 2 cos sin 2 2s o c 1 1 2 n is
2 2
2
2 tan T2： tan 2 1 tan 2
4
»新知探究
1 3 f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 ，最小值为 。 4 4
1 1 sin 2 x 4 2
»感受三角变换的魅力
1 1 例5、 已知 tan ,tan ,并且， 均为锐 7 3 角，求 2 . 1 1 解： tan 1, tan 1, 且， 均为锐角， 7 3 0 , 0 , 0 2 3 . 4 4 4 n 2 at 3, 又 n at 2 4 1n at 2 1 3 n at n at (n at 2 ) 7 4 1, 1 3 1 n at n at 1 7 4 2 . 22 4
32简单的三角恒等变换(一)
2
22
因为cos 2 cos2 1，可以得到：cos2 1 cos
2
2
2
所以：tan2
2
sin2
cos2
2
1 cos 1 cos
2
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换， 由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会 有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三 角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是 三角式恒等变换的重要特点．
2
2
例２:证明中用到换元思想， （１）式是积化和差的形式; （２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于
积化和差、和差化积的公式．
教学目标 掌握y=a sinx +b cosx形式化简
例３:求函数 y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小值．
解：y sin x 3 cos x 这种形式我们在前面见过，
学习目标: 1.利用已有的公式进行简单的恒等变换． 2.三角恒等变换在数学中的应用．
例1: 试以 cos表示: sin2 , cos2 , tan2
2
2
2
解：我们可以通过二倍角 cos 2cos2 1 和 cos 1 2sin2
2
2
来做此题．
因为cos 1 2sin2 ，可以得到：sin2 1 cos
弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP= , 求
当角 取何时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大值.
详解 书本 P141
Q
D
C
α
O
A
BP
有例3、例4可以看到，通过三角变换，我们把形如y a sin x b cos x
3.2简单的三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
知源中学高一数学备课组
例1 试用cos 表示 sin
2
2
2
, cos
2
2
, tan
2
2
2
.
是 的二倍角，在公式 cos 2 1 2sin 分析：
中,以 代替2 ,以
2
2
代替 ,
解 cos 1 2sin 2 1 cos 2 sin 2 2
左边是积右边是和差， 从左到右积化和差.
思考2：令 ， 边的式子可得什么结论？
，并交换等式两
q+ j q- j sin q + sin j = 2 sin cos 2 2 q+ j q- j sin q - sin j = 2 cos sin 2 2
思考3：这两个等式左右两边的结构有什么特点？ 从左到右的变换功能是什么？
例4
如图，已知 OPQ是半径为1 ，圆心角为
3 弧上的动点 ，ABCD是扇形的内接矩形. 记COP , 求
的扇形 ，C是扇形
当角取何值时, 矩形ABCD的面积最大?并求出最大面积 .
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
sin cos
3
sin
2
通过三角变换把 形如 1 3 sin 2 1 cos 2 y=asinx+bcosx的 2 6 函数转化为形如 1 3 1 3 通过三角变换把 sin 2 cos 2 6 形如 2 2 3 y=asinx+bcosx的 1 3 sin 2 函数转化为形如 6 6 3 y=Asin(+)的 由于0 ,所以当 2 , 函数,从而使问题 3 6 2 1 3 3 得到简化 即 时, S最大 6 6 3 6
简单的三角恒等变换
面积最大？（分别设边与角为自变量）
讲解范例：
变式.已知半径为1的半圆，PQRS是半圆 的内接矩形如图，问P点在什么位置时， 矩形的面积最大，并求最大面积时的值． Q P
R
O
S
讲解范例： 例3. 已知函数
f ( x ) cos
4
x 2 sin x cos x sin
取得最小值时x的集合.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
课后作业
1. 》作业三十五.
3.2 简单的三角 恒等变换
讲解范例：
例1. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心
角为
的扇形，C是扇形弧上的动点， Q ABCD是扇形的内接矩形. 记∠COP＝，求当角 取何值时，矩形ABCD的 D 面积最大？并求出这个 最大面积. O A
C P B
讲解范例：
例2. 把一段半径为R的圆木锯成横截面
;
4
x.
( 1 )求 f ( x )的最小正周期
( 2 )当 x [ 0， ]时 , 求 f ( x )的最小值及 2 取得最小值时 x 的集合 .
讲解范例： 例4. 若函数 f ( x )
在区间 [ 0 ,
3 sin 2 x 2 cos
2
xm
2
] 上的最大值为6，求常数
m的值及此函数当x∈R时的最小值及
3.2 简单的三角恒等变换
α
求解．
“课下梯度提能”见“课下梯度提能(二十五)” (单击进入电子文档)
一、预习教材·问题导入 根据以下提纲，预习教材 P139～P142 的内容， 回答下列问题． (1)α 与α2是什么关系？ 提示：倍角关系．
(2)如何用 cos α 表示 sin2 α2，cos2 α2和
tan2 α2？
提
示
：
sin2
α 2
＝
1－cos 2
α
，
cos2
α 2
＝
1＋cos 2
α，tan2α2＝11－＋ccooss
(2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)，
∴原式
sin[（α＋β）＋α]－2cos（α＋β）sin α
=
sin α
＝sin（α＋β）cos
α－cos（α＋β）sin sin α
α
＝sin[（sαin＋αβ）－α]＝ssiinn
β α.
探究点三 三角恒等变换的综合应用 [典例精析] 已知函数 f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2 3cos2ωx－ 3(a>0，ω>0) 的最大值为 2.x1，x2 是集合 M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意两个元 素，|x1－x2|的最小值为π2. (1)求 a，ω 的值； (2)若 f(α)＝23，求 sin56π－4α的值．
α tan2.
(3)由于 tanα2＝1＋sincosαα及 tanα2＝1－sincosαα不含
被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于 tanα2的题
目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用
sin2
α2＝1－c2os
α
3.2 简单的三角恒等变换三角恒等变换
§3.2 简单的三角恒等变换三角恒等变换课时目标1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)S α2：sin α2＝____________________；(2)C α2：cos α2＝____________________________； (3)T α2：tan α2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)． 2．辅助角公式 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B.1－cos α2 C ．－1＋cos α2D.1＋cos α22．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值是( )A ．2B ．1 C.12D.33．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为( )A ．－2B ．－3 C ．－2 D ．－14．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 5．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－27．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______．8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________．9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____． 三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 (x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8的值．能力提升13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( ) A.32 B ．－32 C.13 D ．414．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．§3.2 简单的三角恒等变换知识梳理 1．(1)± 1－cos α2 (2)±1＋cos α2(3)±1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α 1－cos αsin α2.a a 2＋b 2b a 2＋b 2点(a ，b )作业设计 1．C2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．]3．D [f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.]4．D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋θ.当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x .]5．D [f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z)，令k ＝0得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π.]6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.]7．π解析 f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π.8.459解析 设α为该等腰三角形的一底角， 则cos α＝23，顶角为180°－2α.∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫232·23＝459.9．3解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(180°－α)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－α2＝1tanα2＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3.10.725解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos θ－sin θ＝15.由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2. ∴cos θ＋sin θ＝75.∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725.11．解 (1)∵f (x )＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z)，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z}．12．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝21＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8－1，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝1625. ∵π<θ<2π， ∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝－45.13．B [y ＝2cos x －3sin x ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫213cos x －313sin x ＝13(sin φcos x －cos φsin x ) ＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，φ－x ＝2k π＋π2时，y 取到最大值．∴φ＝2k π＋π2＋x ，(k ∈Z)∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ， ∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313. ∴tan x ＝－32.]14．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1122＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.。
简单的三角变换学案1
必修4 3.2.1 简单的三角恒等变换（1）【学习目标】1.会用倍角的变形推导半角的正弦、余弦、正切公式；2.会用半角公式与前面的公式联合进行三角变换及其运用于解决实际问题；3.通过实例的解答，引导同学们学会分析、对比、灵活选择与变形运用公式，并能体会数学思想在解题中的重要地位，提高思维、观察、分析能力和解决问题的能力.【学习重点】半角公式公式推证与运用、三角恒等式的证明；【难点提示】灵活半角公式公式解决实际问题，认识、归纳三角变换的特点.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材第139-147相结合进行自主学习、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.本节课型属于“公式法则课”，则需要同学们在学习过程中定要弄清公式的产生、推导、运用，并进一步挖掘拓展，弄清公式特征、联系、记忆方法、深度运用.前面我们学习了三角函数及相关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题和做好学习新课的情感准备：（1）同角三角函数关系式为、，运用时需注意些什么？（2）两角和与差的正弦、余弦、正切公式记熟悉了吗？适用范围在哪里？（3）倍角的正弦、余弦、正切公式：sin2α=；tan2α=；cos2α== = .以上几组公式各有哪些特征？如何记忆？这些公式中各有几个量？有哪些运用方式？公式使用范围是什么？（4）你对“倍角”有怎样的理解？如：α与2α、2α与4α、4α与2α分别有何关系？ 二、学习探究前面我们学习了两角和与差、倍角的正弦、余弦、正切公式.那么，同学们自然就要问由前面这些公式还能得到哪些公式呢？如：将22cos 212sin 2cos 1ααα=-=-中的α换成12α又有怎样结果呢？你能用cos α表示2sin2α，2cos2α，2tan2α吗？请同学们探究一下吧！1.半角公式的探究：归纳结论 cos_________;2α=sin__________;2α=tan_________2α=((21),k k Z απ≠-∈)快乐体验 (1)用半角公式求cos15︒、tan15︒的值．解：(2)已知135sin =α，且α在第二象限，求2tan α的值． 解;(3)求证：sin tan21cos ααα=+ .证明：解后反思 （1）以上三题的题型怎样？怎样求解的？各有几种解法？有易错点吗？（2）通过对正弦、余弦、正切的半角公式的探究、推导、体验，你有哪些感悟？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？挖掘拓展 （1）以上三个公式还有其它形式吗？若有，那么他们有区别吗？（链接1） （2）这些公式有何特征？如何记忆？有哪些运用方式？运用时有哪些易错点？ （3）半角正切采用哪种表达式方式好些？（链接2） 2.积化和差与和差化积公式的探究请同学们再度观察两角和与差的正弦、余弦公式中角与角之间、函数名与函数名之间各有怎样的关系？各个公式间还有怎样的联系？你能将这几个公式运用一些变换手段与方法，如：角的代换、两个公式相加减的方法，变换出另外的公式呢？请探究一下吧！公式探究：归纳结论 和差化积：sin sin _________________;sin sin ________________;cos cos ________________;cos cos ________________;αβαβαβαβ+=-=+=-=积化和差：sin cos _________________;cos sin _________________;cos cos _________________;sin sin _________________;αβαβαβαβ====快乐体验 （1）把sin54sin 22+化成积的形式；（2）把2sin64cos10化成和（或差）的形式；解后反思 （1）以上两题的题型怎样？怎样求解的？有易错点吗？（2）通过对和差化积与积化和差公式的探究、推导、体验，你有哪些感悟？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？挖掘拓展 ①公式是如何推导出来的？有何限制条件？公式的作用在哪里？ ②公式有何特点？如何记忆？公式如何变形？有哪些运用方式？ ③什么叫“和”与“积”？你有怎样的理解？○4代数式变换与三角变换有什么不同？（请同学们仔细阅读教材P140 第一段，并用心感悟！）三．典例赏析例1. 教材P140页例3，请同学们审题后独立解答，再与书上对比，优化解题过程． 解：解后反思 该题题型怎样？怎样求解的？有易错点吗？ 变式练习 设函数()22cos 2cos ,32xf x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭．求()f x 的值域． 解：例2.求22sin 20cos 50+sin 20cos50+ 的值． 解：解后反思 该题题型怎样？关键点、易错点有吗？有几种解法？对你的解法归纳为一般的方法吗？ 变式练习 求22sin 25sin 35sin 25sin35++的值 . 解：例3教材P141页例4，请同学们审题后独立解答，再与书上对比，优化解题过程． 解：解后反思 该题的题型怎样？解本题用了哪些知识与方法？求解的关键点、易错点在哪里？ 变式练习 等腰三角形顶角的余弦值为725，求它的底角的正弦、余弦和正切． 解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：半角公式推导、特征都掌握了吗？如何选择三角变换公式来解决与三角函数相关的问题呢？解决三角问题有哪些规律与方法？（链接4）2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价1． 对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是（ ）A. ()()2sin cos sin sin αβαβαβ⋅=++-；B.()()2cos sin sin cos αβαβαβ⋅=++-；C. cos cos 2sin sin22αβαβαβ+-+=⋅； D.cos cos 2coscos22αβαβαβ+--=⋅ .2.将sin sin 33ππαα⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简的结果是（ ）A ．2sinsin 3πα； B α ； C ．2sin 3COSπα ； D ．sin α.3．在⊿ABC 中，下列关系正确的是（ ）A.sin sin sin 4coscos cos 222A B C A B C ++=；B.cos cos cos 4cos cos cos 222A B CA B C ++=； C.sin sin sin 4sin sin sin 222A B C A B C ++=；D.cos cos cos 4sin sin sin 222A B CA B C ++=.4.化简三角函数式sin (1tan tan )2xx x -，其结果为：5.利用三角公式化简sin50(13tan10)+． 解：6.已知0<β<4π<α<34π，335cos(),sin()45413ππαβ-=+=，求sin()αβ+的值． 解：7.求证：sin sin cotcos cos 2αββααβ+-=- 证：8.教材P 习题3.2全做在作业本上.【学习链接】链接1. tan2α还有另外更为重要的两种形式，即：sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+.这与原半角的正切公式本质上是一样的，请同学们思考为什么？链接2.有理表达式，符号由算式决定，无须先判断；第二个表达式分母为“单项式”更易使用. 链接3.三角变换的一些基本方法有：（1）从角入手，化异角为同角（以已知角的相互关系引入一个新 的角，特殊角是考虑的重点之一）；（2）从幂入手，利用降幂公式（降次是主线）；（3）从形入手，分析结构，减少函数名；（4）分子、分母添因式法；（5）“1”的巧变等.。