2019考研数学一考试真题及答案解析(完整版)
考研数学2019完整版附参考答案
考研数学2019完整版附参考答案仅供参考一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（ ）(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .（2）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. （ ）（3）设函数()g x 可微，1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（ ）（A ）ln 31-. （B ）ln3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-（4）函数212e e e xx x y C C x -=++满足的一个微分方程是 [ ]（A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（5）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（）（Ａ）0(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D) 00(,)d y f x y x .（6）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.（7）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 [ ](A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.（8）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =.一．填空题 （9）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为（10）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a = （11）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰. （12） 微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （13）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==（14）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求 arcsin e d exxx ⎰. （17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ （18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. （19）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. （21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解. (Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.数学答案1. A 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>，则0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.165【例6.1】，P.193【１（３）】. 2. B 【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去计算0()()d x F x f t t =⎰，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩. 则当0x ≠时，()2220011()()d lim d lim 22x xF x f t t t t x x εεεε++→→===-=⎰⎰，而0(0)0lim ()x F F x →==，所以()F x 为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006文登最新模拟试卷（数学三）（8）.3. C 【分析】题设条件1()()e g x h x +=两边对x 求导,再令1x =即可.【详解】1()()e g x h x +=两边对x 求导,得1()()e ()g x h x g x +''=.上式中令1x =，又(1)1,(1)2h g ''==，可得1(1)1(1)1(1)e (1)2e (1)ln21g g h g g ++''===⇒=--，故选（C ）.【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例12】，《数学复习指南》理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1【典例精析】. 4. D 【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 121,2λλ==-.则对应的齐次微分方程的特征方程为 2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即.故对应的齐次微分方程为20y y y '''+-=.又*e xy x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e x f x C =（C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D ）.【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式..完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第7讲第2节【例9】和【例10】，《数学复习指南》P.156【例5.16】，《数学题型集粹与练习题集》（理工类）P.195（题型演练3），《考研数学过关基本题型》（理工类）P.126【例14】及练习.5. C 【分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】 由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则原式0(,)d yy f x y x =.故选（Ｃ）.【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节例4，《数学复习指南》（理工类）P.286【例10.6】，《考研数学过关基本题型》（理工类）P.93【例6】及练习.6. D 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠）， 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法. 相关定理见《数学复习指南》（理工类）Ｐ.251定理1及Ｐ.253条件极值的求法.7. A 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.8. B 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110110110,010********1001001001B AC B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例2.19】，文登暑期辅导班《线性代数》第2讲例12.9. 【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】 4sin 14sin 1lim lim 2cos 52cos 55x x xx x x x x x x →∞→∞++==--. 故曲线的水平渐近线方程为 15y =.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（理工类）P.180【例6.30】，【例6.31】.10. 【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a →==，又因为 2203200sin d sin 1lim ()limlim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 13a =. 【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第1节【例13】，《数学复习指南》（理工类）P.35【例1.51】.88年，89年，94年和03年均考过该类型的试题，本题属重点题型.11. 【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】222222200d 1d(1+)111111lim lim lim (1)2(1)21+21+22b b b b b x x x x x x b +∞→∞→∞→∞==-=-+=++⎰⎰. 【评注】 本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第5讲第6节【例1】，《数学复习指南》（理工类）P.119【例3.74】.12 .【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e x y Cx -=.（1e C C =）【评注】 本题属基本题型.完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.139.13. 【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导（注意y 是x 的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】 方法一：方程两边对x 求导，得e e y y y xy ''=--.又由原方程知，0,1x y ==时.代入上式得d e d x x yy x=='==-.方法二：方程两边微分，得d e d e d y y y x x y =--，代入0,1x y ==，得0d e d x yx==-.方法三：令(,)1e y F x y y x =-+，则()0,10,10,10,1ee,1e 1yy x y x y x y x y FF x xy========∂∂===+=∂∂，故0,10,1d e d x y x x y F y xF xy=====∂∂=-=-∂∂.【评注】 本题属基本题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例14】，《数学复习指南》（理工类）P.50【例2.12】.14. 【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 ()2B A E E -= 于是有4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =. 【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1讲例6，《数学复习指南》（理工类）P.378【例2.12】15.【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x 的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得,,A B C 的值.【详解】将e x 的泰勒级数展开式233e 1()26xx x x o x =++++代入题设等式得 233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226B B x B C x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B AB C B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得 132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》理工类P.124表格.16.【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】arcsin e d arcsin e de e arcsin e e e x x x x x x xx x x --=-=-+⎰⎰⎰－e arcsin e x x x -=-+.令t =221ln(1),d d 21t x t x t t=-=--， 所以21111d d 1211x t t t t t ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭⎰⎰111ln 212t C t -=+=+.【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第3讲第3节【例6】，《数学复习指南》理工类P.79【例3.21】.17. 【分析】 由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称， 函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xy x y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰， 故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第1节例1和例2，《数学复习指南》（理工类）P.284【例10.1】18. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<.可推得10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1si n n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即l i m 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 令n tx =，则,0n t →∞→，而22sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 33233000()1sin sin 13!lim 1lim lim 6t t t t t o t tt t t t t t t →→→-+--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.19. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时）， 故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.20利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.【详解】 （I ）设u =((z z f u f u x y ∂∂''==∂∂22()()zf u f ux∂'''=+∂()22322222()()x yf u f ux yx y'''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y xf u f uy x yx y∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z zx y∂∂∂∂代入2222z zx y∂∂+=∂∂得()()0f uf uu'''+=.（II）令()f u p'=，则d dp p upu p u'+=⇒=-，两边积分得1ln ln lnp u C=-+，即1Cpu=，亦即1()Cf uu'=.由(1)1f'=可得11C=.所以有1()f uu'=，两边积分得2()lnf u u C=+，由(1)0f=可得20C=，故()lnf u u=.【评注】本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第1节【例8】，《数学复习指南》（理工类）P.336【例12.14】,P.337【例12.15】21. 【分析】（I）利用曲线凹凸的定义来判定；（II）先写出切线方程，然后利用(1,0)-在切线上；（III）利用定积分计算平面图形的面积.【详解】（I）因为dd d d422d2,421dd d d2dyx y y ttt txt t x t tt-==-⇒===-2223d d d12110,(0)dd d d2dy ytxx t x t t tt⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=-<>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故曲线L当0t≥时是凸的.（II）由（I）知，切线方程为201(1)y xt⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t=+，20004y t t=-，则220000241(2)t t t t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即23200004(2)(2)t t t t -=-+整理得 20000020(1)(2)01,2(t t t t t +-=⇒-+=⇒=-舍去）.将01t =代入参数方程，得切点为（2，3），故切线方程为231(2)1y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+.（III ）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为 (1,0),(2,0),(2,3),(1,0)A B C D -， 设L 的方程()x g y =， 则()30()(1)d Sg y y y =--⎡⎤⎣⎦⎰ 由参数方程可得2t =(221x =+.由于（2，3）在L 上，则(2()219x g y y ==+=--.于是(309(1)d S y y y ⎡⎤=----⎣⎦⎰30(102)d 4y y y =--⎰⎰()()3233208710433y y y =-+-=. 【评注】 本题为基本题型，第3问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.完全类似例题和公式见《数学复习指南》（理工类）P.187【例6.40】. 22. 【分析】 （I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】 （I ） 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤. 又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤. 因此 ()2r A =. （II ） 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a ab a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解. 13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】 本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.427【例4.5】，P.431【例4.11】. 23. 解： 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 令[]123,,Q ηηη=，则1TQ Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。
2015-2019年考研数学一真题及答案解析精编版
一、选择题，1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的.
1.当 x 0 时，若 x tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
【答案】C
【答案解析】根据泰勒公式有 x tan x ~ 1 x3 ，故选 C. 3
ai1x ai2 y ai3z di (i 1,2,3)
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A, A ，则
A. r( A) 2, r(A) 3.
B. r( A) 2, r(A) 2.
C. r( A) 1, r(A) 2.
D. r( A) 1, r( A) 1.
【答案】A 【答案解析】由图像可知平面两两分别相交，所以系数矩阵的秩大于等于 2，又因为三个平 面没有共同的交线，所以方程组无解，所以增广矩阵的秩为 3.其相关知识如下：
设平面1 2 3 的方程所组成的线性方程组（下简称方程组）的系数矩阵和增广矩阵
分别为 A 和 A .下面根据线性代数和解析几何知识讨论其位置关系.因秩 A 秩 A ，秩 A 3,秩 A 1，故只有下述 6 种不同情况：
A. un .
n1 n
B. (1)n 1 .
n1
un
C.
n1
1
un un1
.
D.
u2 n1
un2
.
n1
【答案】D
【答案解析】
选项
A：
u n
单调递增有界，知 un收敛,
故lim n
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
案写在答题纸指定位置上。
15、（本题满分 10 分）
设函数
y(x)
是微分方程
y
xy
x2
e2
满足条件
y(0)
0 的特解，
（1）求 y(x) ；
（2）求曲线 y y(x) 凹凸区间及拐点。
16、（本题满分 10 分）
设 a,b 为实数，函数 z 2 ax2 by2 在点 (3,4) 处的方向导数中，沿方向 l 3i 4 j 的方
（C）与 ， 2 都有关，
（D）与 ， 2 都无关.
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上9、设函数f(u) 可导，z
f
(sin
y
sin
x)
xy
，则
1 cos x
z x
1 cos
y
z y
_________
10、微分方程 2 yy y2 2 0 满足条件 y(0) 1的特解 y _____
设总体
X
的概率密度为
f
( x;
2)
A
e
(
x) 2 2
2
,
x
0, x
其中 是已知参数， 0 是未知参数， A 是常数， X1, X 2,....X n 是来自总体 X 的简单随
机样本。
（1）求 A ； （2）求 2 的最大似然估计量.
标。
20、（本题满分 11 分）
设向量组1 (1,2,1)T ,2 (1,3,2)T ,3 (1, a,3)T 为 R3 的一组基， (1,1,1)T 在这组基下 的坐标为 (b,c,1)T 。 （1）求 a,b,c 的值； （2）证明2 ,3, 为 R3 的一组基，并求2 ,3, 到1,2 ,3 的过渡矩阵。
2019年数学一详解共15页word资料
2019年数学一试题详解一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）【分析】 本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可. 【详解】 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x xx x →→+⋅==-.（2） 微分方程(1)y x y x-'=的通解是e (0).xy Cx x -=≠【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得 e xy Cx -=.（1e CC =） （3）设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，则d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑++-=⎰⎰2π.【分析】本题∑不是封闭曲面，首先想到加一曲面1∑：2211z x y =⎧⎨+≤⎩，取上侧，使1∑+∑构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】 设1∑：221(1)z x y =+≤，取上侧，则d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑++-⎰⎰11d d 2d d 3(1)d d d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y x y z y z x z x y ∑+∑∑=++--++-⎰⎰⎰⎰.而1d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑+∑++-⎰⎰＝2116d 6d d d 2rVv r r z πθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1d d 2d d 3(1)d dx y zy z x zx y ∑++-=⎰⎰. 所以d d 2d d 3(1)d d 2x y z y z x z x y π∑++-=⎰⎰.（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离d=.【分析】本题直接利用点到平面距离公式d =进行计算即可. 其中000(,,)x y z 为点的坐标，0Ax By Cz D +++=为平面方程.【详解】d ==【评注】 本题属基本题型，要熟记空间解析几何中的概念和公式. （5）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则 =B 2 .【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2019年考过.（6）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰. 【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ Ａ ]【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>， 则 0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.（8）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（Ａ）(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D)(,)d y f x y x . [ Ｃ ]【分析】 本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可. 【详解】 由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y型域，则原式0(,)d yy f x y x =.故选（Ｃ）.【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形. （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ Ｄ ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1n n a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛，所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法： 取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取(1)nn a =-，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. 【评注】 本题主要考查级数收敛的性质和判别法，属基本题型.（10）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ ] 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ 消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=,整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠）， 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）. （11）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.[ C ]【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ Ｂ ］ 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. （13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有(A) ()()P A B P A⋃>(B) ()()P A B P B ⋃> (C) ()()P A B P A ⋃= (D) ()()P A B P B ⋃= [ B ] 【分析】 利用事件和的运算和条件概率的概念即可. 【详解】 由题设，知 ()(|)1()P AB P A B P B ==，即()()P AB P A =.又 ()()()()()P A B P A P B P AB P A ⋃=+-=.故应选(Ｃ).【评注】 本题考查随机事件的运算和关系的概念，应牢记.（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ D ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则1211σσ>，即12σσ<.故选(A).【评注】 对于服从正态分布2(,)N μσ的随机变量X ，在考虑它的概率时，一般先将X 标准化，即X μσ-.三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ 【分析】 由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称，函数221(,)1f x y x y =++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xyx y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰， 故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算. （16）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即l i m 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 令n t x =，则,0n t →∞→，而222sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 23300001sin sin cos 1sin 1lim1lim lim lim 366t t t t t t t t t t t t t t →→→→---⎛⎫-====- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【评注】 对于有递推关系的数列极限的证明问题，一般利用单调有界数列必有极限准则来证明. （17）（本题满分12分） 将函数2()2xf x x x=+-展成x 的幂级数. 【分析】 利用常见函数的幂级数展开式. 【详解】 2()2(2)(1)21x x A Bf x x x x x x x===++--+-+， 比较两边系数可得21,33A B ==-，即121111()3213112f x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫=-=-⎪ ⎪-++⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 而1(1),(1,1)1n nn x x x ∞==-∈-+∑，01,(2,2)212nn x x x ∞=⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭-∑， 故120001111()(1)(1),(1,1)23232n n n n n n n n n n x f x x x x x x x ∞∞∞+===⎛⎫⎛⎫==--+=-+∈- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 【评注】 分式函数的幂级数展开一般采用间接法.要熟记常用函数的幂级数展开公式：（1）∑∞=-∈=+++++=-12)1,1(,111n n nu u u u u u ； （2）∑∞=-∈-=+-+-+-=+12)1,1(,)1()1(111n n n nn u u u u u u ； （3）),(,!1!1!21102+∞-∞∈=+++++=∑∞=u u n u n u u e nn n u；（4）),(,)!12()1()!12()1(!3sin 012123+∞-∞∈+-=++-++-=∑∞=++u n u n u u u u n n n n n； （5）),(,)!2()1()!2()1(!21cos 0222+∞-∞∈-=+-++-=∑∞=u n u n u u u n n n n n ； （6）]1,1(,1)1(1)1(32)1(ln 01132-∈+-=++-+-+-=+∑∞=++u n u n u u u u u n n n n n ； （7）]1,1(,!)1()1(!2)1(1)1(2-∈++--++-++=+u u n n u u u n ααααααα.（18）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.【分析】 利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.【详解】 （I ）设u =，则((z z f u f u x y ∂∂''==∂∂. 22()()z f u f u x ∂'''=+∂()22322222()()x y f u f u x y x y '''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y x f u f u y x yxy∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂得 ()()0f u f u u'''+=. （II ） 令()f u p '=，则d d 0p p u p u p u'+=⇒=-，两边积分得 1ln ln ln p u C =-+，即1C p u =，亦即 1()Cf u u'=. 由(1)1f '=可得 11C =.所以有 1()f u u'=，两边积分得 2()ln f u u C =+， 由(1)0f =可得 20C =，故 ()ln f u u =.【评注】 本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解. （19）（本题满分12分）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty tf x y -=. 证明：对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有(,)d (,)d 0Lyf x y x xf x y y -=⎰.【分析】 利用曲线积分与路径无关的条件Q Px y∂∂=∂∂. 【详解】 2(,)(,)f tx ty tf x y -=两边对t 求导得3(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y -''+=-.令 1t =，则 (,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=-. ① 设(,)(,),(,)(,)P x y yf x y Q x y xf x y ==-，则(,)(,),(,)(,)x y Q Pf x y xf x y f x y yf x y x y∂∂''=--=+∂∂.则由①可得 Q P x y∂∂=∂∂. 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有(,)d (,)d 0L yf x y x xf x y y -=⎰.【评注】 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.（20）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.【分析】 （I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】 （I ） 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则 1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤.又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤.因此 ()2r A =.（II ） 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a a b a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解.13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩. 选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数. 【评注】 本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.（21）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=， ()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛ ⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 令 []123,,Q ηηη=，则1T Q Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T 300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【评注】 本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，则要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式.（22）（本题满分9分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y(Ⅱ) 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 （I ） 设Y 的分布函数为()Y F y ，即2()()()Y F y P Y y P Xy =≤=≤，则1) 当0y <时，()0Y F y =；2) 当01y ≤<时，(2()()Y F y P X y P X =<=<<011d d 24x x =+=⎰3) 当14y ≤<时，(2()()1Y F y P X y P X =<=-<<01011d d 242x x -=+=⎰. 4) 当4y ≥，()1Y F y =.所以1()()40,Y Y y f y F y y <<⎪'==≤≤⎪⎪⎩其他.（II ） 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12111d 24x --==⎰. （23）（本题满分9分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数，求θ的最大似然估计.【分析】 先写出似然函数，然后用最大似然估计法计算θ的最大似然估计.【详解】 记似然函数为()L θ，则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=-个个.两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--， 令d ln ()0d 1L N n N θθθθ-=-=-，解得N nθ=为θ的最大似然估计.。
卓顶精文2019历年考研数学一真题(答案+解析)
历年考研数学一真题1987-2019（答案+解析）（经典珍藏版）最近三年+回顾过去最近三年篇（2019-2019）2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ）2．设21123()x xy e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y a y b y c e '''++=的一个特解，则（A ）321,,a b c =-==-（B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-==（D ）321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=，同时*xy xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ） ３．若级数1nn a∞=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数11()n n n na x ∞=-∑的（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点(Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点 【详解】注意条件级数1nn a∞=∑条件收敛等价于幂级数1n nn ax ∞=∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11limn n na a +→∞=，所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然33,x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=22141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D ：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B ）．5．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω（B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω（D ）,a d ∈Ω∈Ω【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()B A b ad a d a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D ）． 6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y-+（B ）2221232y y y+-（C ）2221232y y y --（D ）2221232y y y ++【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T T Q P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T Tf x Ax y PAPy y y ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪ ⎪⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝故选择（A ）．7．若,A B 为任意两个随机事件，则（）（A ）()()()P AB P A P B ≤（B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）2()()()P A P B P AB +≤（D ）2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C ）．8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===，则2(())E X X Y +-=（） （A ）3-（B ）3（C ）5-（D ）5【详解】22222(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX+-=+-=++-故应该选择（D ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．20ln(cos )limx x x →=【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-． 10．221sin cos x x dx xππ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ ．【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数，在对称区间上积分为零，所以22202214sin .cos x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰11．若函数(,)z z x y =是由方程2cos z e xyz x x +++=确定，则01(,)|dz = ．【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-，则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy '''=+-==+ 且当01,x y ==时，0z =，所以0101010010********(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z z x y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂'' 也就得到01(,)|dz =.dx -12．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰ ．【详解】注意在积分区域内，三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是dxdydz dxdydz dxdydz x y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11212366314()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13．n 阶行列式2002120200220012-=- ．【详解】按照第一行展开，得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+，有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==，得11122222()n n n D D -+=+-=-．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P X Y Y -<=． 【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立． 则101~(,)X N -．{}{}{}{01001001(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =-=-=-16．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =，得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--=' 整理，得218y y '=，解方程，得118C x y =-，由于02()f =，得12C =所求曲线方程为84.y x=- 17．（本题满分10分）设函数(,)f x y x y xy =++，曲线223:C x y xy ++=，求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数． 【详解】显然11,f f y x x y∂∂=+=+∂∂． (,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y 处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模2211()()gradf y x =+++所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩，得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----，进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=处，方向导数取到最93.= 18．（本题满分10分）（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+；（2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(x v x u y=)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-v x u x x uv ∆∆∆)()(++=xux u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++= 由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x ∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x =1121212()()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ 19．（本题满分10分）已知曲线L 的方程为222z x y z x⎧=--⎪⎨=⎪⎩02(,)A ，终点为020(,,)B ，计算曲线积分22()()()Ly z dx z x y d y xyd z ++-+++⎰． 【详解】曲线L 的参数方程为2cos ,cos x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点020(,)A 对应2t π=，终点为020(,,)B 对应2t π=-．22222222222()()()(cos )(cos )()()(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰220222sin .tdt π==⎰ 20．（本题满分11分） 设向量组123,,ααα为向量空间3R 的一组基，113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++．（1）证明：向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基；（2）当k 为何值时，存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ【详解】（1）()123123201020201(,,),,k k βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，因为2012102024021201k k k k ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以123,,βββ是线性无关的，当然是向量空间3R 的一组基． （2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得：1132231320()()x k x x k ααααα++++=，所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解．从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k kαααααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关，所以10110020kk=，也就是0k =． 此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭，由于12,αα线性无关，所以13200x x x +=⎧⎨=⎩，通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，其中C 为任意常数．所以满足条件的0C C ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数．21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =． 也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． （2）由212050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A ，B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1100010005.P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1） 求Y 的概率分布； （2） 求数学期望.EY 【详解】（1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,, 且2211117171234888648()(),,,,k k k P Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设2232221111()()(),()n nn n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量． 【详解】（1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰令()E X X =，解得参数θ的矩估计量：21ˆX θ=-．（2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).n x x x θ=2019年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案共16页
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。
【详解】 由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y . （2）已知xx xe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式，再积分即可。
【详解】 令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='， 即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x .（3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。
【详解】 正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd ydx xdy L]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为 221x c x c y +=. 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可。
2019年考研数学一真题试题
4、
设函数
Q(x, y)
=
x ，如果对上半平面 y2
(y
>
0)
内的任意有向光滑封闭曲线
C
都有
P (x, y)dx +
C
Q (x, y) dy = 0，那么函数 P (x, y) 可取为(
)
A.
y
−
x2 y2
B.
1 y
−
x2 y2
C.
1 x
−
1 y
D.
x
−
1 y
5、 设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，若 A2 + A = 2E，且 |A| = 4，则二次型 xT Ax 规范性
(I) α1
=
1 1
, α2
=
1 0
, α3 =
1 2
, (II) β1 =
1 1
, β2 =
0 2
, β3 =
1 3
4
4
a2 + 3
a+3
1−a
a2 + 3
若向量组 I 与向量组 II 等价，求 α 的取值，并将 β3 用 α1, α2, α3 线性表示.
23、 (本小题满分 10 分)
设总体 X 的概率密度为
f
( x,
σ2)
=
A e−
(x−µ)2 2σ2
,
x
≥
µ
σ
0, x < µ
其中 µ 是已知参数，σ > 0 是未知参数，A 是常数.X1, X2, · · · , Xn 是来自总体 X 的简单随机样本. (1) 求 A.
2019年考研数学一真题完整版
2019年考研已经结束，为方便考生备考，特整理2019年全国硕士研究生考试真题，供各位考生复习使用，以下是2019年数学（一）考研真题。
一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1欢迎下载。
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分
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三、解答题：15-23小题，共94分。
解答英写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题(Word版)
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当0x →时，若tan x x -与kx 是同阶无穷小，则k =A. 1.B. 2.C. 3.D. 4.2、设函数,0,()ln ,0,x x x f x x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩则0x =是()f x 的A. 可导点，极值点.B. 不可导点，极值点.C. 可导点，非极值点.D. 不可导点，非极值点. 3、设{}n u 是单调增加的有解数列，则下列级数中收敛的是A. 1.n n un ∞=∑ B.11(1).nn nu ∞=-∑ C. 11(1).n n n uu ∞=+-∑ D.2211().n n n uu ∞+=-∑4、设函数2(,).xQ x y y =如果对上半平面(0)y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)d (,)d 0CP x y x Q x y y +=⎰，那么函数(,)P x y 可取为A. 23.x y y -B. 231.x y y-C.11.x y - D. 1.x y- 5、设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵. 若22+=A A E ，且4=A ，则二次型T x Ax 规范形为A. 222123.y y y ++B. 222123.y y y +- C. 222123.y y y -- D. 222123.y y y ---6、如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则 A. ()2,() 3.r r ==A A B. ()2,() 2.r r ==A A C. ()1,() 2.r r ==A A D. ()1,() 1.r r ==A A7、设,A B 为随机事件，则()()P A P B =充分必要条件是A. ()()().P AB P A P B =+ B. ()()().P AB P A P B =C. ()().P AB P B A =D. ()().P AB P AB =8、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ，则{1}P X Y -<A. 与μ无关，而与2σ有关. B. 与μ有关，而与2σ无关. C. 与μ，2σ都有关. D. 与μ，2σ都无关.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分． 9、设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z z x x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ . 10、微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解y = .11、幂级数0(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 12、设∑为曲面22244(0)x y z z ++=的上侧，则2244d d x z x y ∑--=⎰⎰ .13、设123(,,)=A ααα为3阶矩阵. 若12,αα线性无关，且3122=-+ααα，则线性方程组=Ax 0的通解为 .14、设随机变量X 的概率密度为,02,()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,()F x 为X 的分布函数，EX 为X 的数学期望，则{()1}P F X EX >-= .三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本题满分10分） 设函数()y x 是微分方程22e x y xy -'+=满足条件(0)0y =的特解.（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =凹凸区间及拐点. 16、（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34=--l i j 的方向导数最大，最大值为10. （1）求,a b ；（2）求曲面222(0)z ax by z =++的面积.17、求曲线()e sin 0xy x x -=与x 轴之间图形的面积18、()⋅⋅⋅=-=⎰2,1,0112n dx x xa n π设（1）证明数列{}n a 单调递减；且()⋅⋅⋅=--=-3,2212n a n n a n n ()2求1lim-∞→n nn a a19、设Ω是由锥面()()()101222≤≤---+z z z y x 与平面z < 0围成的椎体，求Ω的形心坐标。
2019考研数学一选择题15试题及答案解析.doc
感谢你的阅读2019考研数学一选择题1-5试题及答案解析一、选择题（4分）1、当0x →时，...则k =（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4【答案】C由泰勒公式可知，当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，则33311tan ()33x x x o x x -=-+-:，故3k =.选C.2、设函数...，则0x =是()f x 的（ ）A 、可导点，极值点B 、不可导点，极值点C 、可导点，非极值点D 、不可导点，非极值点【答案】B2,0()ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨>⎩由定义可知0ln (0)lim x x xf x ++→'==-∞...当0x <时，2()0(0)f x x f =-<=.故0x =为极值点.选B.3、设{}n u 是单调...，则下列级数中收敛的是（ ）A 、1nn u n ∞=∑ B 、11(1)n n nu ∞=-∑感谢你的阅读 C 、11(1)n n n u u ∞=+-∑ D 、2211()n n n u u ∞+=-∑ 【答案】D解析：对选项A ，如果{}n u 是正项的，就有1n u u n n >，这种情况下，1n n u n ∞=∑是发散的。
对选项B ，由于{}n u 是单调有界的，可知lim n n u →∞是存在的，从而1lim 0n nu →∞≠。
可知，级数11(1)n n n u ∞=-∑不满足级数收敛的必要条件，因此，11(1)n n n u ∞=-∑是发散的。
对选项C ，当0n u <时级数有可能是发散的，例如，令1n u n =-，则11111n n u n u n n ++-=-=-，此时，级数11(1)n n n u u ∞=+-∑是发散的。
对选项D ，级数的部分和序列为222222222132111......n n n n S u u u u u u u u ++=-+-++-=-。