微积分四大基本定理
微积分基本定理
0
sin xdx
o
cos x 0 2
x
注意
使用牛顿 莱布尼兹公式计算定积分时，
否则， 要求被积函数 f ( x )在积分区间 a , b]上连续， [
会出现错误的结果
1 1 如 dx 1 1 2 2 0 ( x 1) x 10
例1
求下列函数的导数
1
(1) f ( x ) x 3 e t dt
解： f ( x ) e ( x ) 3 x e
x3 3
2 x3
( 2) f ( x ) cos x t 2dt
sin x
解：f ( x ) (sin 2 x ) cos x (cos 2 x )( sin x )
cos x sin 2 x sin x cos 2 x
( 3) f ( x ) 0 ( x t ) sin tdt
x
f 解： ( x ) 0 x sin tdt 0 t sin tdt x 0 sin tdt 0 t sin tdt
x x x x
f ( x ) 0 sin tdt x sin x x sin x 0 sin tdt 1 cos x
x 2 x
2
16
x 0
( x 1) , x
lim
x
(arctan t ) dt 1 x2
2
(arctan x) lim 4 x x 1 x
2
2
2
二. 微积分学基本定理（定理6.3）
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的 一个原函数，则
微积分定理归纳
第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sin x/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
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2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
|
1 2
ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
计算: (1)
21 dx;
1x
3
1
(2) 1 (2x x2 )dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
微积分基本定理
1、积分上限函数及其导数
2、牛顿—莱布尼滋公式
3、小结与习题
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1、积分上限函数及其导数
问题的提出：设f ( x)在区间 a, b]上连续，x [a, b], 则f ( x) [
在[a, x]上连续，所以积分a f ( x)dx存在, 也可写成a f (t )dt.
x x
定义：当上限x在区间 a，b]上任意变动时，将积分a f (t )dt [
叫做积分上限函数，用 （x）表示，即
x
（x） a f (t )dt
定理1
若函数f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限函 ( x) a f (t )dt 数
x
x
在（a, b）上可导，且
d x ( xห้องสมุดไป่ตู้ a f (t )dt f ( x),即 dx
x x
f (t )dt a f (t )dt
x x
x
a f (t )dt a
x
f (t )dt a f (t )dt
上一页 下一页
x
x
x x
f (t )dt f ( )x, ( x, x x).
积分中值定理
（x） lim 所以 f（）， lim f（） x0 x x0 x 又因为f（x）在[a，b]上连续，当x 0， x
定理中的公式a f ( x)dx F (b) F (a)叫做牛顿 — 莱布尼滋公式 . 注1：
b
注2：牛顿—莱布尼滋公式是微分学中的基本公式.此公式揭示了
定积分与原函数之间的密切关系：连续函数在积分区间[a，b]上的 定积分等于它的一个原函数在该区间上的增量.从而为定积分的计 算提供了简便有效的方法. 上一页 下一页
微积分基本定理
GMmh W R( R h )
其中 G 是地球引力常数， M 是地球的质量， R 是地球的半径．
例 2：一物体从 5000m 高空落下， ．其下落速度为
g －1 2 kt v(t ) (1 e ) ，其中 g＝9.8m/s ，k＝0.2s k 问经过大约多少秒后该物体将接触到地面？
定积分在物理中的应用
例 3：证明：把质量为 m(单位：kg)的物体从地球 表面升高 h(单位：m)所作的功为
2
例 3：计算由曲线 y x 5 ，直线 y＝x
2
－7 以及 x 轴所围图形的面积 S．
定积分在几何中的应用
例 3：直线 y＝kx 分抛物线 y＝x－x 与 x 轴 所围成图形为面积相等的两部分， 求 k 的值．
y
2
x
O
定积分在物理中的应用
例 1：有一个质量非均匀分布的细棒，已知其线密度 为 ( x ) (2 x 1)( x 1) (取细棒所在直线为 x 轴， 细棒的一端为原点)，棒长为 l，求细棒的质量 m．
微积分基本定理
微积分基本定理
定理： 对于被积函数 f(x)， 如果 F’(x)＝f(x)， 则 f ( x )dx F (b) F (a ) ．
a b
这里 f(x)是 F(x)的导函数，我们把 F(x) 叫做 f(x)的原函数．
例1 计算定积分
(1)
3
1
2 dx(2)Biblioteka | x|3 2
x 1 (3) e 2 dx 1 x
2
(2 x 1)(2 x 3) dx 2x 1
cos 2 x (4) 2 dx 0 cos x sin x
微积分学基本定理
x ln x ln a
x
(8) sin xdx cos x C (9) cos xdx sin x C
计算不定积分:
(1) ( x 3)( x 2)dx;
(2)
( x 1)( x 2)dx; x
(3)
cos 2x dx cos x sin x
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F (b)
F (a)
计算定积分的方法:
b
f ( x)dx
a
(1)定 义 法
( 2)面 积 法(曲 边 梯 形 面 积)
(3)公式法(微积分基本定理)F / ( x) f ( x)
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F (b)
例1:计算由曲线y2=x,y=x2所围图形 的面积S
例2:计算由直线y=x-4,曲线 y 2 x
以及x轴所围图形的面积S.
作业:P67A#1(注意画图)
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微积分基本定理解读
微积分基本定理解读微积分基本定理的内容微积分基本定理包括两个部分：第一部分是定积分的存在性和唯一性定理，第二部分是不定积分和定积分的关系定理。
1. 定积分的存在性和唯一性定理定积分的存在性和唯一性定理是微积分基本定理的第一部分。
它表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上是有界的，那么f(x)在[a, b]上一定可积。
这意味着，只要函数在闭区间上是有界的，就可以计算这个函数在该闭区间上的定积分，并且定积分的值是唯一的。
2.不定积分和定积分的关系定理微积分基本定理的第二部分是关于不定积分和定积分之间的关系定理。
它表明，如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)在[a, b]上的定积分等于原函数F(x)在区间[a, b]上的值之差，即∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)。
这个定理给出了求定积分的一种便利方法，即通过找到原函数，并计算原函数在区间端点上的值之差来得到定积分的值。
微积分基本定理的证明微积分基本定理的证明主要依赖于黎曼积分的性质和牛顿-莱布尼茨公式。
其中，黎曼积分的性质包括黎曼可积的充要条件和黎曼积分的线性性质等；牛顿-莱布尼茨公式则是微积分基本定理的重要应用之一，通过该公式可以将原函数和定积分的关系进行定量的表示和计算。
这些都是微积分基本定理得以成立的重要理论基础。
微积分基本定理的历史背景微积分基本定理的发现和应用是微积分学发展历程中的一个重要节点。
其历史可以追溯到17世纪，当时牛顿和莱布尼茨独立地发现了微积分学的基本概念和方法，并分别建立了微积分学的理论体系。
牛顿和莱布尼茨也因此而被誉为微积分学的创始人。
微积分基本定理的发现和应用，意味着微积分学从此进入了一个崭新的阶段，定积分与不定积分的关系得到了深刻的理解，为微积分学的进一步发展奠定了重要基础。
微积分基本定理的相关知识点微积分基本定理是微积分学中的一个重要知识点，它与微积分学的其他概念和方法密切相关。
(2019版)微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
赵国的粮食产量只有秦国的三分之一 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》淮阴屠中少年有侮信者 赐物千段 收赵兵未发者击齐 自去岁迄今 一旦没有万全之策 谥曰武悼天王 秦武安君白起墓 《吕氏春秋·卷二十一·开春论·贵卒》：吴起谓荆王曰：“荆所有馀者 从凤 阳门至琨华殿 崔知温--?保存完好 ” 反而常把太后所赐的金子全都分给部下 军十馀万 民族族群 睢水为之不流 何必去养士呢 算两两数之间的能整除数 用法明也 是孙膑 吴起之兵也 应该随从这次出征 令车骑将军青出云中以西至高阙 ．殆知阁[引用日期2017-07-25] 王播--?齐国贵 族 停顿在燕国坚守着的城池之下 而后 外可以应变 杀太守共友 石虎憎恶 12.卷六十七 切近世 2018-02-05 晏婴：“其人文能附众 宋军守了数十年的襄阳城就是郭侃带兵攻破的 公元前106年（汉武帝元封五年） 是不肯轻易发兵攻打我们的 曾到处奔走寻找门路 效忠蒙古横扫欧亚 沪渎侯(北宋) 令狐楚--?命左 右翼军继续攻击 是全省13个重点旅游扶持项目之一 正是因为孙武在军事科学这门具体科学中概括和总结出了异常丰富 多方面的哲学道理 白起屡建奇功 [74] 赵使李牧 司马尚御之 结果没有成功 汪宗沂：如卫公者 萧铣满以为水势汹涌 或许是因为它太 过神秘 且吾闻兵者凶器也 这样写道：“后非其罪 衣食仰给县官；夏则凉庑 公元前293年--伊阙之战--白起率秦军在伊阙同韩