2020-2021学年江苏省南通市崇川区田家炳中学九年级(上)期中数学试卷 解析版
2020-2021学年江苏省南通市崇川区田家炳中学九年级（上）期中数学试卷一、（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．点（﹣5，7）关于原点对称的点为（）A．（﹣5，﹣7）B．（5，﹣7）C．（5，7）D．（﹣5，7）3．下列事件是随机事件的是（）A．画一个三角形，其内角和是360°B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7C．在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球D．射击运动员射击一次，命中靶心4．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定5．函数y＝（m2﹣m）是反比例函数，则（）A．m≠0B．m≠0且m≠1C．m＝2D．m＝1或26．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF 的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为（）A．4B．2C．6D．28．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．100°B．105°C．110°D．120°9．如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是（）A．B．C．D．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E 顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（）A．4B．2C．5D．4二、填空题（本大题共8小题，第11～13小题每小题3分，第14～18小题每小题3分，共29分不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．已知圆锥的底面圆的半径为3cm，母线长为5cm，则侧面展开图面积为cm2．（结果保留π）12．已知反比例函数y＝的图象经过点A（1，﹣3），则实数k的值为．13．热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是．14．（4分）如图，将Rt△ABC绕点B按逆时针方向旋转33°到△EBD的位置，斜边AC和DE相交于点F，则∠DFC＝．15．（4分）如图，P A、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠P＝38°，则∠ACB ＝．16．（4分）如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个多边形的对角线条数是．17．（4分）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝4，则△ABC的面积为．18．（4分）如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．三、解答题（本大题共8小题，共91分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（9分）如图，在10×10的网格中建立平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）．（1）先作△ABC关于原点O的成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位得到△A2B2C2；（2）A2点的坐标为；（3）请直接写出CC1+C1C2＝．20．（10分）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1．（1）求y的表达式；（2）求当x＝时y的值．21．（10分）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；②图1和图2是两幅不完整的统计图．根据以上信息解答问题：（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．22．（10分）如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．（1）求∠ADC的大小；（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，CD＝4，求AD的长．23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，CE 为⊙O的切线交AD于点E，连接AC．（1）求证：CE⊥AD；（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．24．（12分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，弦BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：BC平分∠ECA；（2）求证：BE是⊙O的切线；（3）若CE＝1，BE＝3，求DE的长．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为2+2时，求正方形的边长．26．（14分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作d（P，M）．已知直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙O的半径为1．（1）若b＝2，①求d（B，⊙O）的值；②若点C在直线AB上，求d（C，⊙O）的最小值；（2）以点A为中心，将线段AB顺时针旋转120°得到AD，点E在线段AB，AD组成的图形上，若对于任意点E，总有2≤d（E，⊙O）＜6，直接写出b的取值范围．2020-2021学年江苏省南通市崇川区田家炳中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．2．点（﹣5，7）关于原点对称的点为（）A．（﹣5，﹣7）B．（5，﹣7）C．（5，7）D．（﹣5，7）【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【解答】解：点（﹣5，7）关于原点对称的点为（5，﹣7）．故选：B．3．下列事件是随机事件的是（）A．画一个三角形，其内角和是360°B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7C．在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球D．射击运动员射击一次，命中靶心【分析】直接利用不可能事件、随机事件的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件，不合题意；B、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7，是必然事件，不合题意；C、在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球，是不可能事件，不合题意；D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，符合题意；故选：D．4．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y轴的距离大于圆心距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切．【解答】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，所以圆与y轴相交，故选：C．5．函数y＝（m2﹣m）是反比例函数，则（）A．m≠0B．m≠0且m≠1C．m＝2D．m＝1或2【分析】依据反比例函数的定义求解即可．【解答】解：由题意知：m2﹣3m+1＝﹣1，整理得m2﹣3m+2＝0，解得m1＝1，m2＝2．当m＝l时，m2﹣m＝0，不合题意，应舍去．∴m的值为2．故选：C．6．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据圆心角定理，以及轴对称图形的定义即可解答．【解答】解：①、要强调在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故错误．②、平分弦的直径垂直于弦，其中被平分的弦不能是直径，若是直径则错误．③、对称轴是直线，而直径是线段，故错误．④、正确．故选：C．7．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF 的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为（）A．4B．2C．6D．2【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，∴AD＝DC＝2，∵DE＝2，∴Rt△ADE中，AE＝＝2故选：D．8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．100°B．105°C．110°D．120°【分析】利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余计算出∠BAC＝60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD＝45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．故选：B．9．如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是（）A．B．C．D．【分析】如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s．求出S1，S2（用s表示）即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s．∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，∴S△AOB＝S△BOC＝S平行四边形ABCD＝s，∵EF＝AB，GH＝BC，∴S1＝s，S2＝s，∴＝＝，故选：B．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E 顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（）A．4B．2C．5D．4【分析】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明△AED≌△GFE（AAS），确定F点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF ＝45°，从而确定C'点在AB的延长线上；当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，求出DC'＝4即可．【解答】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，∴∠EDA＝∠FEG，在△AED和△GFE中，，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，∴F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，∵EG＝DA，FG＝AE，∴AE＝BG，∴BG＝FG，∴∠FBG＝45°，∴∠CBF＝45°，∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动，∴C'点在AB的延长线上，当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，∴DC'＝＝＝4，∴DF+CF的最小值为4，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，第11～13小题每小题3分，第14～18小题每小题3分，共29分不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．已知圆锥的底面圆的半径为3cm，母线长为5cm，则侧面展开图面积为15πcm2．（结果保留π）【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：圆锥的侧面展开图面积＝×2π×3×5＝15π（cm2）．故答案为15π．12．已知反比例函数y＝的图象经过点A（1，﹣3），则实数k的值为﹣3．【分析】根据待定系数法即可求得．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，﹣3），∴k＝1×（﹣3）＝﹣3，故答案为：﹣3．13．热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是 4.5．【分析】根据中位数的定义求解可得．【解答】解：将数据重新排列为：3，3，4，5，5，6，所以这组数据的中位数为＝4.5，故答案为：4.5．14．（4分）如图，将Rt△ABC绕点B按逆时针方向旋转33°到△EBD的位置，斜边AC和DE相交于点F，则∠DFC＝33°．【分析】设DE与BC相交于H，根据旋转的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：设DE与BC相交于H，∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转33°到△EBD，∴∠D＝∠C，∠DBC＝33°，∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DFC＝∠DBC＝33°，故答案为：33°．15．（4分）如图，P A、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠P＝38°，则∠ACB ＝71°．【分析】由P A与PB都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据∠P的度数，利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠ACB的度数即可．【解答】解：如图所示，连接OA、OB．∵P A、PB都为圆O的切线，∴∠P AO＝∠PBO＝90°．∵∠P＝38°，∴∠AOB＝142°．∴∠C＝∠AOB＝×142°＝71°．故答案为：71°．16．（4分）如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个多边形的对角线条数是35．【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数，再根据一个多边形有条对角线，即可算出有多少条对角线．【解答】解：由题意可得：边数为360°÷36°＝10，所以这个多边形的对角线条数是（条），故答案为：35．17．（4分）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝4，则△ABC的面积为8﹣4或8+4．【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下△ABC的面积．【解答】解：由题意可得，当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC，∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝4，OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，OB＝OC＝BC＝4，OA1⊥BC于点D，∴CD＝2，∴OD＝＝2，∴A1D＝4﹣2，∴△ABC的面积＝×4×（4﹣2）＝8﹣4，当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC，A2D＝4+2同理可得，△ABC的面积＝8+4，故答案为：8﹣4或8+4．18．（4分）如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为2﹣2．【分析】过G作GM⊥AC于M，连接AG．由∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题．【解答】解：过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示：∵GO⊥AB，∴OA＝OB，∵G（0，2），∴OG＝2，在Rt△AGO中，∵AG＝4，OG＝2，∴AG＝2OG，OA＝＝2，∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝4，∴∠AGO＝60°，∵GC＝GA＝4，∴∠GCA＝∠GAC，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴AC＝2OA＝4，MG＝CG＝2，∵∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝2﹣2，故答案为：2﹣2．三、解答题（本大题共8小题，共91分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（9分）如图，在10×10的网格中建立平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）．（1）先作△ABC关于原点O的成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位得到△A2B2C2；（2）A2点的坐标为（3，4）；（3）请直接写出CC1+C1C2＝2+4．【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，再描点得到△A1B1C1，然后利用点平移的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点得到△A2B2C2；（2）由（1）得到A2点的坐标；（3）利用两点间的距离公式计算CC1和C1C2的长度即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；（2）A2点的坐标为（3，4）；（3）CC1+C1C2＝＝2+4．故答案为（3，4），2+4．20．（10分）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1．（1）求y的表达式；（2）求当x＝时y的值．【分析】（1）先根据题意得出y1＝k1（x﹣1），y2＝，根据y＝y1+y2，当x＝0时，y ＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1得出x、y的函数关系式即可；（2）把x＝代入（1）中的函数关系式，求出y的值即可．【解答】解：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，∴y1＝k1（x﹣1），y2＝，∵y＝y1+y2，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1．∴，∴k2＝﹣2，k1＝1，∴y＝x﹣1﹣；（2）当x＝﹣，y＝x﹣1﹣＝﹣﹣1﹣＝﹣．21．（10分）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；②图1和图2是两幅不完整的统计图．根据以上信息解答问题：（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．【分析】（1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图；（2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论；（3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可．【解答】解：（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，因此A档共有：12﹣4＝8人，8÷20%＝40人，则C档的人数有40﹣8﹣16﹣4＝12（人），补全图形如下：（2）1200×＝480（人），答：全校B档的人数为480．（3）用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，所以抽到的2名学生来自不同年级的概率是：＝．22．（10分）如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．（1）求∠ADC的大小；（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，CD＝4，求AD的长．【分析】（1）由旋转的性质可得AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，由三角形的内角和定理可求出答案；（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE＝60°，AD＝DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD＝BE＝4，由勾股定理可求出答案．【解答】解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，∵∠BFD＝97°＝∠AFE，∴∠E＝180°﹣97°﹣60°＝23°，∴∠ADC＝∠E＝23°；（2）如图，连接DE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△AED是等边三角形，∴∠ADE＝60°，AD＝DE，∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，∴△ACD≌△ABE，∴CD＝BE＝4，∵∠BDC＝7°，∠ADC＝23°，∠ADE＝60°，∴∠BDE＝90°，∴DE＝＝＝2，∴AD＝DE＝2．23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，CE 为⊙O的切线交AD于点E，连接AC．（1）求证：CE⊥AD；（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．【分析】（1）如图1，连接BF，连接OC，由圆周角定理可证明BF⊥AD，由切线的性质得出OC⊥CE，证明BF∥CE，即可得到结论；（2）如图2，连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．【解答】解：（1）如图1，连接BF，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，∵CE是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，∴OC⊥CE，∵点C为劣弧的中点，∴OC⊥BF，∴BF∥CE，∴CE⊥AD；（2）如图2，连接OF，CF，∵OA＝OC，∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵点C为劣弧的中点，∴＝，∴∠FOC＝∠BOC＝60°，∵OF＝OC，∴∠OCF＝∠COB，∴CF∥AB，∴S△ACF＝S△COF，∴阴影部分的面积＝S扇形COF，∵AB＝4，∴FO＝OC＝OB＝2，∴S扇形FOC＝＝π，即阴影部分的面积为：π．24．（12分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，弦BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：BC平分∠ECA；（2）求证：BE是⊙O的切线；（3）若CE＝1，BE＝3，求DE的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质证明即可；（2）连结OB，OD，证明△ABO≌△DBO，得到∠DBO＝∠ABO，证明OB∥ED，根据平行线的性质得到EB⊥BO，根据切线的判定定理证明结论；（3）证明△BEC∽△DEB，即可求解．【解答】解：（1）∵BD＝BA，∴∠BDA＝∠BAD，∵∠BCA＝∠BDA，∴∠BCA＝∠BAD，∵四边形BCDA是⊙O的内接四边形，∴∠BCE＝∠BAD，即CB是∠ECA的角平分线；（2）连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO＝∠ABO，∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC，∴∠DBO＝∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切线；（3）∵BE是⊙O的切线，则∠EBC+∠CBO＝90°，∴∠CBA＝90°＝∠CBO+∠OBA，∴∠EBC＝∠OBA＝CBA＝∠BDE，∵∠BEC＝∠BED＝90°，∴△BEC∽△DEB，∴，即，解得DE＝9．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为2+2时，求正方形的边长．【分析】（1）由题意得MB＝NB，∠ABN＝15°，所以∠EBN＝45°，容易证出△AMB ≌△ENB；（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；②根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（如图）；（3）作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF＝30°，设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为2．【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°．∵∠MBN＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．即∠MBA＝∠NBE．又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小．理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．在△ABM和△CBM中，，∴△ABM≌△CBM，∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠BEN，∵EB＝CB，∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE，∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，∴M、N可以同时在直线EC上．∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝．在Rt△EFC中，∵EF2+FC2＝EC2，∴（）2+（x+x）2＝（2+2）2．解得x1＝2，x2＝﹣2（舍去负值）．∴正方形的边长为2．26．（14分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作d（P，M）．已知直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙O的半径为1．（1）若b＝2，①求d（B，⊙O）的值；②若点C在直线AB上，求d（C，⊙O）的最小值；（2）以点A为中心，将线段AB顺时针旋转120°得到AD，点E在线段AB，AD组成的图形上，若对于任意点E，总有2≤d（E，⊙O）＜6，直接写出b的取值范围．【分析】（1）①直接利用圆外一点到圆上的一点的最大距离，即可得出结论；②先判断出OC⊥AB时，OC最短，即可得出结论；（2）Ⅰ、当b＞0时，当直线AB与⊙O相切时，d（E，⊙O）最小，当点E恰好在点D 时，d（E，⊙O）最大，即可得出结论；Ⅱ、当b＜0时，同Ⅰ的方法即可得结论．【解答】解：（1）如图1，①∵b＝2，∴B（0，2），∴d（B，⊙O）＝2+1＝3；②过点O作OC⊥AB于C，此时，直线上的点C到点O的距离最小，即d（C，⊙O）取最小值，∵直线y＝x+2与x轴交于点A，令y＝0，则0＝x+2，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∴OA＝2，令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），根据勾股定理得，AB＝＝4，∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OC，∴OC＝＝，∴d（C，⊙O）的最小值为+1；（2）Ⅰ、当b＞0时，如图2，针对于直线y＝x+b（b≠0），令x＝0，则y＝b，∴B（0，b），∴OB＝b，令y＝0，则0＝x+b，∴x＝﹣b，∴A（﹣b，0），∴OA＝b，则AB＝2b，tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°，由旋转知，AD＝AB＝2b，∠BAD＝120°，∴∠OAD＝90°，∴OD＝＝b，∵⊙O的半径为1，∴当线段AB与⊙O相切时，d（E，⊙O）最小＝2，同（1）的方法得，OF＝＝1，∴b＝（舍去负值），对于任意点E，总有2≤d（E，⊙O）＜6，∴b＜6﹣1，∴b＜，即≤b＜；Ⅱ、当b＜0时，如图3，同Ⅰ的方法得，﹣＜b≤﹣，综上述，﹣＜b≤﹣或≤b＜．。
2020-2021学年江苏省南通市崇川区九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期中数学试卷一．选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）A．6m2B．7m2C．8m2D．9m22．（3分）下列命题中是真命题的有（）①直径是圆中最大的弦；②长度相等的弧是等弧；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；⑤等弧所对的圆心角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个3．（3分）若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作a3，a6，则a3：a6等于（）A．1：B．1：3C．3：1D．：14．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A，B，C，D都在边长为1的小正方形网格的格点上，过点M（1，﹣2）的抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）可能还经过（）A．点A B．点B C．点C D．点D5．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（）A．B．C．D．6．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中不正确的个数是（）A．1B．2C．3D．47．（3分）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+AP的最小值为（）A．B．C．3D．2二．填空题（9-14每小题3分，15-18每小题3分，共34分）9．（3分）如图①是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产航母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长AB为．10．（3分）方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2++2020＝．11．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．12．（3分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．其中错误结论的序号为．13．（3分）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、、4，则正方形ABCD的面积为．14．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③m（am+b）﹣b＜a（m≠1）；④若点A的坐标为（﹣2，0），则3a+c＜0；⑤若点B的坐标为（4，0），则当x＜﹣2或x＞6时，y＜0；⑥若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；⑦M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；⑧若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为．15．（3分）如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝8，∠CAB＝60°，P是弧上的一个点，连接AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，在点P移动过程中，BD长的最小值为．16．（3分）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．17．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．18．（3分）已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD＝，∠BPD＝90°，则点A到BP的距离等于．三．解答题（共92分）19．（10分）（1）若△ABC是直角三角形，AB＝13，BC＝12，AC＝5．将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB1C1；则线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长是；扫过的面积是（保留π）．（2）若△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）（3）在（2）的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为．20．（12分）（1）若关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，求a的取值范围．（2）若x1，x2是关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0的两实数根，且k||＝kx1﹣12x2+2，求k的值．（3）若x1，x2，x3，是关于x的方程x（x﹣2）2＝t的三个实数根，且x1＜x2＜x3；则x3﹣x1的最大值为．21．（8分）生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为；（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为．22．（8分）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连接BD交AC于点G，且AF＝FG．（1）求证：点D平分；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连接DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．23．（8分）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m＝3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B 两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．24．（13分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF＝AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．25．（17分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（4）已知点H（0，），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．26．（16分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，求点C所在的区域的面积；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．2020-2021学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）A．6m2B．7m2C．8m2D．9m2【解答】解：假设不规则图案面积为xm2，由已知得：长方形面积为20m2，根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，综上有：，解得x＝7．故选：B．2．（3分）下列命题中是真命题的有（）①直径是圆中最大的弦；②长度相等的弧是等弧；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；⑤等弧所对的圆心角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①直径是圆中最大的弦，①是真命题；②长度相等的弧不一定是等弧，②是假命题；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，③是假命题；④在同圆或等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等，④是假命题；⑤等弧所对的圆心角相等，⑤是真命题；故选：B．3．（3分）若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作a3，a6，则a3：a6等于（）A．1：B．1：3C．3：1D．：1【解答】解：设圆的半径是r，则多边形的半径是r，如图1，则内接正三角形的边长a3＝2r sin60°＝r，如图2，正六边形的边长是a6＝r，因而半径相等的圆的内接正三角形、正六边形的边长之比a3：a6＝：1．故选：D．4．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A，B，C，D都在边长为1的小正方形网格的格点上，过点M（1，﹣2）的抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）可能还经过（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：∵抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）过点（1，﹣2），∴m+2m+n＝﹣2，即n＝﹣3m﹣2，若抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）过点A（2，﹣3），则4m+4m+n＝8m+（﹣3m﹣2）＝5m﹣2＝﹣3，得m＝﹣与m＞0矛盾，故选项A不符合题意，若抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）过点B（﹣1，0），则m﹣2m+（﹣3m﹣2）＝﹣4m﹣2＝0，得m＝﹣与m＞0矛盾，故选项B不符合题意，若抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）过点C（﹣2，1），则4m﹣4m+（﹣3m﹣2）＝﹣3m﹣2＝1，得m＝﹣1与m＞0矛盾，故选项C不符合题意，若抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）过点D（﹣4，﹣1），则16m﹣8m+（﹣3m﹣2）＝5m ﹣2＝﹣1，得a＝0.2，故选项D符合题意，故选：D．5．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转α，设AB′与BC交于点F，则∠BAB′＝∠CAC′＝α，∠B＝∠C′＝30°，AB＝AC＝AC′，∴△ABF≌△AC′E（AAS），∴BF＝C′E，AE＝AF，同理△CDE≌△B′DF（AAS），∴B′D＝CD，∴B′D+DE＝CD+ED＝x，AB＝AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的高为1，等于△AEC′的高，BC＝2＝B′C′，y＝EC′×△AEC′的EC′边上的高＝（2）＝﹣x+，故选：B．6．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中不正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：连接OB、OC，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点O是△ABC的中心，∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（ASA），∴BD＝CE，OD＝OE，∴①正确；∵△BOD≌△COE，∴S△BOD＝S△COE，∴四边形ODBE的面积＝S△OBC═S△ABC＝××42＝，故③正确；作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，∴S△ODE＝×OE×OE＝OE2，即S△ODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，∴S△ODE≠S△BDE；故②错误；∵BD＝CE，∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，∴△BDE周长的最小值＝4+2＝6，∴④正确．故选：A．7．（3分）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值【解答】解：方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，如图1，过点B作BC⊥AD于C，∴∠BCD＝90°，∵∠ADE＝∠BED＝90°，∴∠ADE＝∠BCD＝∠BED＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，∵点A，B在抛物线y＝x2上，且a，b同号，∴45°≤∠ABC＜90°，∴tan∠ABC≥1，∴n﹣m≥1，当a，b异号时，m＝0，当a＝﹣，b＝时，n＝，此时，n﹣m＝，∴≤n﹣m＜1，即n﹣m≥，即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为，故选项C，D都错误；②当n﹣m＝1时，如图2，当a，b同号时，过点N作NH⊥MQ于H，同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，在Rt△MHN中，tan∠MNH＝＝，∵点M，N在抛物线y＝x2上，∴m≥0，当m＝0时，n＝1，∴点N（0，0），M（1，1），∴NH＝1，此时，∠MNH＝45°，∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴≥1，当a，b异号时，m＝0，∴n＝1，∴a＝﹣1，b＝1，即b﹣a＝2，∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；故选：B．方法2、当n﹣m＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b都越大时，a﹣b越接近于0，但不能取0，即b﹣a没有最小值，当a，b异号时，当a＝﹣1，b＝1时，b﹣a＝2最大，当b﹣a＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b离y轴越远，n﹣m越大，但取不到最大，当a，b在y轴两侧时，当a＝﹣，b＝时，n﹣m取到最小，最小值为，因此，只有选项B正确，故选：B．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+AP的最小值为（）A．B．C．3D．2【解答】解：连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，当y＝0时，﹣x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，则B（2，0），y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+3，则A（，3），∴OA＝＝2，而AB＝AO＝2，∴AB＝AO＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠OAP＝30°，∴PH＝AP，∵AP垂直平分OB，∴PO＝PB，∴OP+AP＝PB+PH，当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，而BC＝AB＝×2＝3，∴OP+AP的最小值为3．故选：C．二．填空题（9-14每小题3分，15-18每小题3分，共34分）9．（3分）如图①是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产航母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长AB为13．【解答】解：∵圆锥底面周长＝侧面展开后扇形的弧长＝10π，∴OB＝，在Rt△AOB中，AB＝，所以该圆锥的母线长AB为13．故答案为：13．10．（3分）方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2++2020＝2001.5．【解答】解：∵方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，∴+2x1x2++2020，＝+2x1x2++2020＝+2x1x2+2020，＝+2x1x2+2020，＝+2×（﹣8）+2020，＝﹣2.5﹣16+2020，＝2001.5，故答案为：2001.5．11．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为﹣．【解答】解：连接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵点D为AB的中点，∴DC＝AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，在△DCH和△DBG中，，∴△DCH≌△DBG（ASA），∴S四边形DGCH＝S△BDC＝S△ABC＝AB•CD＝×2×1＝．∴S阴影＝S扇形DEF﹣S△BDC＝﹣＝﹣．故答案为﹣．12．（3分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．其中错误结论的序号为②．【解答】解：∵x2﹣2x﹣a＝0，∴△＝4+4a，∴①当a＞﹣1时，△＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x＝＝1±，∵a＞﹣1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，故答案为②．13．（3分）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、、4，则正方形ABCD的面积为14+4．【解答】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．∵BP＝BM＝，∠PBM＝90°，∴PM＝PB＝2，∵PC＝4，P A＝CM＝2，∴PC2＝CM2+PM2，∴∠PMC＝90°，∵∠BPM＝∠BMP＝45°，∴∠CMB＝∠APB＝135°，∴∠APB+∠BPM＝180°，∴A，P，M共线，∵BH⊥PM，∴PH＝HM，∴BH＝PH＝HM＝1，∴AH＝2+1，∴AB2＝AH2+BH2＝（2+1）2+12＝14+4，∴正方形ABCD的面积为14+4．解法二：连接AC，利用勾股定理求出AC即可．故答案为14+4．14．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③m（am+b）﹣b＜a（m≠1）；④若点A的坐标为（﹣2，0），则3a+c＜0；⑤若点B的坐标为（4，0），则当x＜﹣2或x＞6时，y＜0；⑥若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；⑦M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；⑧若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为①②③⑤⑧．【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；②抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故4ac﹣b2＜0，故正确；③x＝1时，函数有最大值，则am2+bm+c＜a+b+c（m≠1），故m（am+b）﹣b＜a（m≠1），故正确；④若点A的坐标为（﹣2，0），则x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴3a+c＞0，故错误；⑤若点B的坐标为（4，0），则A的坐标为（﹣2，0），∴当x＜﹣2或x＞4时，y＜0，∴当x＜﹣2或x＞6时，y＜0，故正确；⑥△ABC的面积＝AB•y C＝AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故错误；⑦函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故错误；⑧抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故④正确；故答案为①②③⑤⑧．15．（3分）如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝8，∠CAB＝60°，P是弧上的一个点，连接AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，在点P移动过程中，BD长的最小值为2﹣2．【解答】解：如图，以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC，O'D，∵CD⊥AP，∴∠ADC＝90°，∴在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AB＝8，∠CAB＝60°，∴BC＝AB•sin60°＝4，AC＝AB•cos60°＝4，∴AO'＝CO'＝2，∴BO'＝＝＝2，∵O′D+BD≥O′B，∴当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D＝2﹣2，故答案为2﹣2．16．（3分）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是﹣4≤t＜5．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．∴，得即抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当y＝t时，t＝x2﹣2x﹣3，即x2﹣2x﹣3﹣t＝0，∵关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，∴t＝x2﹣2x﹣3有实数根，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴当﹣1＜x≤4时，x＝1时，y有最小值﹣4，当x＝4时，y取得最大值5，∴t的取值范围是﹣4≤t＜5，故答案为：﹣4≤t＜5．17．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，的长l＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+＝．故答案为：．18．（3分）已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD＝，∠BPD＝90°，则点A到BP的距离等于或．【解答】解：∵点P满足PD＝，∴点P在以D为圆心，为半径的圆上，∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴如图，点P是两圆的交点，若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，∴BD＝4，∵∠BPD＝90°，∴BP＝＝3，∵∠BPD＝90°＝∠BAD，∴点A，点B，点D，点P四点共圆，∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，∴∠HAP＝∠APH＝45°，∴AH＝HP，在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，∴16＝AH2+（3﹣AH）2，∴AH＝（不合题意），或AH＝，若点P在CD的右侧，同理可得AH＝，综上所述：AH＝或．三．解答题（共92分）19．（10分）（1）若△ABC是直角三角形，AB＝13，BC＝12，AC＝5．将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB1C1；则线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长是24+9π；扫过的面积是36π（保留π）．（2）若△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）（3）在（2）的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC绕A顺时针方向旋转90°后得到△AB1C1，∴B1C1＝BC＝12，∠BAB1＝∠CAC1＝90°，△ABC≌△AB1C1，∴弧CC1的长度＝π，弧BB1的长度＝＝π，∴线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长＝CB+弧BB1的长+B1C1+弧CC1的长＝12+π+12+π＝24+9π；∵△ABC≌△AB1C1，∴S△BAC＝，∵S扫过的面积+S△BAC+S扇形C1AC＝S扇形BAB1+S△B1AC1，∴线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积＝S扇形BAB1﹣S扇形C1AC＝﹣＝36π；故答案为：24+9π，36π．（2）如图2，直线l，⊙O即为所求．（3）如图3，过点O作OE⊥AB于E．设OE＝ON＝r，∵BM＝，BC＝2，MN垂直平分线段BC，∴BN＝CN＝1，∴MN＝＝＝，∵S△BNM＝S△BNO+S△BOM，∴×1×＝×1×r+××r，解得，r＝．故答案为：．20．（12分）（1）若关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，求a的取值范围．（2）若x1，x2是关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0的两实数根，且k||＝kx1﹣12x2+2，求k的值．（3）若x1，x2，x3，是关于x的方程x（x﹣2）2＝t的三个实数根，且x1＜x2＜x3；则x3﹣x1的最大值为．【解答】（1）①a＝1，方程为一元一次方程，必有一根；②a≠1，方程为一元二次方程，△＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）＝4﹣4a+4＝8﹣4a≥0，解得a≤2，即a≤2且a≠1，综上，a≤2．（2）∵x1，x2是关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0的两实数根，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝＝＞0，kx12+（k+2）x1+＝0，∴x1，x2同号，kx12＝﹣（k+2）x1﹣．∵k||＝kx1﹣12x2+2，∴kx2＝kx12﹣12x1x2+2x1，∴kx2＝﹣（k+2）x1﹣﹣12x1x2+2x1，∴k（x1+x2）++12x1x2＝0，∴﹣（k+2）++3＝0，解得k＝．△＝（k+2）2﹣4k×≥0，解得k≥﹣1．∵二次项系数不为零k≠0，∴k≥﹣1且k≠0．∴k＝．（3）由题意得，x（x﹣2）2﹣t＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），∴x3﹣4x2+4x﹣t＝x3﹣（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x2x3+x3x1）x﹣x1x2x3，∴x1+x2+x3＝4，x1x2+x2x3+x3x1＝4，x1x2x3＝t，∴x1x2+x2x3+x3x1的值为4，∵x1+x2+x3＝4，∴x1+x3＝4﹣x2，∵x1x2+x2x3+x3x1＝4，∴x3x1＝4﹣（x1+x3）x2，∵x1x2x3＝t，∴x3x1＝，∵（x3﹣x1）2＝（x3+x1）2﹣4x3x1∴（x3﹣x1）2＝（4﹣x2）2﹣4[4﹣（x1+x3）x2]＝﹣3x22+8x2＝﹣3（x2﹣）2+≤，∴当x2＝时，x3﹣x1的最大值为：＝．∴x3﹣x1的最大值为，故答案．21．（8分）生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为16；（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为3．【解答】解：（1）画树状图如下：共有4种等可能结果，∴图③可表示不同信息的总个数为4；（2）画树状图如下：共有16种等可能结果，故答案为：16；（3）由图②得：当n＝1时，21＝2，由图④得：当n＝2时，22×22＝16，∴n＝3时，23×23×23＝512，∵16＜492＜512，∴n的最小值为3，故答案为：3．22．（8分）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连接BD交AC于点G，且AF＝FG．（1）求证：点D平分；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连接DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．【解答】证明：（1）如图1，连接AD、BC，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ABD，又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，∴DF＝AF，∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC，∴＝，∴即点D平分；（2）如图2所示，连接OD、AD，∵点E是线段OA的中点，∴，∴∠AOD＝60°，∴△OAD是等边三角形，∴AD＝AO＝AH，∴△ODH是直角三角形，且∠HDO＝90°，∴DH是⊙O的切线．23．（8分）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m＝3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B 两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．【解答】解：（1）问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比？3n×＝n，n：n＝；（2）依题意有×3n（1+x%）＝[3n（1+x%）+n（1+4x%）﹣×3n（1+x%）][3n×÷（3n+n﹣n）+x%]，100（x%）2+45x%﹣13＝0，解得x%＝20%，x%＝﹣65%（舍去），设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a，今年上半年两公司总经济收益为1.5a×3n×（1+20%）+an×（1+4×20%）＝7.2na，去年下半年两公司总经济收益为1.5a×3n+an＝5.5na，故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为（5.5na）：（7.2na）＝55：72．故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为55：72．24．（13分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF＝AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，DE＝AD，又∵AB＝AC，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，∵点F是DE的中点，∴CF＝DE＝AD；（2）AG＝BC，理由如下：如图2，过点G作GH⊥BC于H，∵BD＝2CD，∴设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝＝a，由（1）可知：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝2a，∵CF＝DF，∴∠FDC＝∠FCD，∴tan∠FDC＝tan∠FCD，∴＝2，∴GH＝2CH，∵GH⊥BC，∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BGH＝45°，∴BH＝GH，∴BG＝BH∵BH+CH＝BC＝3a，∴CH＝a，BH＝GH＝2a，∴BG＝2a，∴AG＝BG﹣AB＝a＝CD＝BC；（3）如图3﹣1，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，P A+PB+PC值最小，此时，如图3﹣2，连接MC，∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，∴BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60°＝∠CBM，∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，∴∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，∵BM＝CM，AB＝AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BPD＝60°，∴BD＝PD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∴PD＝PD+AP，∴PD＝m，∴BD＝PD＝m，由（1）可知：CE＝BD＝m．25．（17分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（4）已知点H（0，），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入，可得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）如图1中，连接AC，BC．∵S△ACE：S△CEB＝3：5，∴AE：EB＝3：5，∵AB＝4，∴AE＝4×＝，∴OE＝0.5，设直线CE的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线EC的解析式为y＝﹣6x+3．（3）由题意C（0，3），D（1，4）．当四边形P1Q1CD，四边形P2Q2CD是平行四边形时，点P的纵坐标为1，当y＝1时，﹣x2+2x+3＝1，解得x＝1±，∴P1（1+，1），P2（1﹣，1），当四边形P3Q3DC，四边形P4Q4DC是平行四边形时，点P的纵坐标为﹣1，当y＝﹣1时，﹣x2+2x+3＝﹣1，解得x＝1±，∴P1（1+，﹣1），P2（1﹣，﹣1），综上所述，满足条件的点P的坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1﹣，﹣1）或（1+，﹣1）．（4）如图3中，连接BH交对称轴于F，连接AF，此时AF+FH的值最小．。
江苏省南通市初三数学上册数学期中试卷
江苏省南通市初三数学上册数学期中试卷(含解析解析)江苏省南通市2021初三数学上册数学期中试卷(含答案解析)一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）1．抛物线y=2（x+1）2﹣3的顶点坐标是( )A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）2．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范畴是( ) A．x＜1B．x＞1C．x＞﹣2D．﹣2＜x＜43．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2﹣2D．y=（x+1）2﹣24．若二次函数y=﹣x2+6x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y25．抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为( )A．0个B．1个C．2个D．以上都不对6．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象是( )A．B．C．D．7．已知函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，依照其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范畴是( )A．﹣1≤x≤3B．﹣3≤x≤1C．x≥﹣3D．x≤﹣1或x≥38．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx +c+2=0的根的情形是( )A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根9．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶（即抛物线的顶点）离水面2m，水面宽为4m，水面下降1m后，水面宽为( ) A．5mB．6mC．mD．2m10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x 值的增大而增大．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共10小题，每题4分，共4 0分）11．二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=__________，x=﹣1对应的函数值y=__________．12．将二次函数y=x2﹣2x﹣3化为y=（x﹣h）2+k的形式，则______ ____．13．抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线__________．14．若二次函数y=（m+1）x2+m2﹣9的图象通过原点且有最大值，则m=__________．15．抛物线y=x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为______ ____．16．若抛物线y=bx2﹣x+3的对称轴为直线x=﹣1，则b的值为______ ____．17．若二次函数y=ax2﹣4x+a的最小值是﹣3，则a=__________．18．二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象在x轴上截得的线段长为_________ _．19．如图，一拱桥呈抛物线状，桥的最大高度是32m，跨度是80m，在线段AB上距离中心M20m的D处，桥的高度是__________m．20．二次函数y=x2+b x的图象如图，对称轴为x=﹣2．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣5＜x＜2的范畴内有解，则t的取值范畴是__________．三、解答题（本题共7小题，共80分）21．已知二次函数y=﹣x2+4x+5．（1）用配方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+k（其中a、h、k差不多上常数且a≠0）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求那个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．22．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都通过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直截了当写出答案）23．如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象通过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直截了当写出点P的坐标．24．某校初三年级的一场篮球竞赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中；（2）现在，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？25．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为15米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式；（2）假如要围成花圃的面积为36平方米，求AB的长为多少米？（3）假如要使围成花圃面积最大，求AB的长为多少米？26．（14分）某公司为一工厂代销一种建筑材料（那个地点的代销是指厂家先免费提供货源，待物资售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，预备采取降价的方式进行促销．经市场调查发觉：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．（1）当每吨售价是240元时，运算现在的月销售量；（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范畴）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．27．（14分）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直截了当写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求现在E点的坐标．江苏省南通市2021初三数学上册数学期中试卷(含答案解析)参考答案及试题解析：一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）1．抛物线y=2（x+1）2﹣3的顶点坐标是( )A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）考点：二次函数的性质．分析：已知抛物线解析式为顶点式，可直截了当求出顶点坐标．解答：解：∵y=2（x+1）2﹣3是抛物线的顶点式，依照顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣3），故选D．点评：考查求二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标、对称轴．2．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范畴是( ) A．x＜1B．x＞1C．x＞﹣2D．﹣2＜x＜4考点：二次函数的性质．分析：函数，由于a= ＞0，开口向上，则先求出其对称轴，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大．解答：解：函数y= x2﹣x﹣4，对称轴x=1，又其开口向上，则当x＞1时，函数y= x2﹣x﹣4随x的增大而增大，当x＜1时，函数y= x2﹣x﹣4随x的增大而减小．故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，重点是对称轴两侧函数的单调增减问题．3．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2﹣2D．y=（x+1）2﹣2考点：二次函数图象与几何变换．分析：依照函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．解答：解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y=（x﹣1）2+2，故选：A．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．4．若二次函数y=﹣x2+6x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2考点：二次函数图象上点的坐标特点．分析：先依照二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=3，然后比较三个点都直线x=3的远近得到y1、y2、y3的大小关系．解答：解：∵二次函数的解析式为y=﹣x2+6x+c，∴抛物线的对称轴为直线x=3，∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3），∴点A离直线x=3最远，点C离直线x=3最近，而抛物线开口向下，∴y3＞y2＞y1；故选C．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．5．抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为( )A．0个B．1个C．2个D．以上都不对考点：抛物线与x轴的交点．分析：让函数值为0，得到一元二次方程，依照根的判别式判定有几个解就有与x轴有几个交点．解答：解：当与x轴相交时，函数值为0．0=﹣x2+2kx+2，△=b2﹣4ac=4k2+8＞0，∴方程有2个不相等的实数根，∴抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为2个，故选C．点评：用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0；抛物线与x轴的交点个数与函数值为0的一元二次方程的解的个数相同．6．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象是( )A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：依照抛物线开口向下确定出a＜0，再依照对称轴确定出b，然后依照一次函数的性质确定出函数图象即可得解．解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＞0，∴函数y=ax+b的图象通过第二四象限且与y轴正半轴相交，故选B．点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，依照抛物线的开口方向与对称轴确定出a、b的正负情形是解题的关键．7．已知函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，依照其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范畴是( )A．﹣1≤x≤3B．﹣3≤x≤1C．x≥﹣3D．x≤﹣1或x≥3考点：二次函数的图象．分析：认真观看图中虚线表示的含义，判定要使y≥1成立的x的取值范畴．解答：解：由图可知，抛物线上纵坐标为1的两点坐标为（﹣1，1），（3，1），观看图象可知，当y≥1时，x≤﹣1或x≥3．故选：D．点评：此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．8．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx +c+2=0的根的情形是( )A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根考点：抛物线与x轴的交点．专题：压轴题．分析：依照抛物线的顶点坐标的纵坐标为﹣3，判定方程ax2+bx+c+2= 0的根的情形即是判定y=﹣2时x的值．解答：解：∵y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是﹣3，∵方程ax2+bx+c+2=0，∴ax2+bx+c=﹣2时，即是y=﹣2求x的值，由图象可知：有两个同号不等实数根．故选D．点评：考查方程ax2+bx+c+2=0的根的情形，先看函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标纵坐标，再通过图象可得到答案．9．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶（即抛物线的顶点）离水面2m，水面宽为4m，水面下降1m后，水面宽为( ) A．5mB．6mC．mD．2m考点：二次函数的应用．分析：以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为y= ax2将A点代入抛物线方程求得a，得到抛物线解析式，再把y=﹣3代入抛物线解析式求得x0，进而得到答案．解答：解：如图，以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y=ax2，将A（﹣2，﹣2）代入y=ax2，解得：a=﹣，∴y=﹣x2，代入D（x0，﹣3）得x0= ，∴水面宽CD为2 ≈5，故选A．点评：本题要紧考查二次函数的应用．建立平面直角坐标系求出函数表达式是解决问题的关键，考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x 值的增大而增大．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：代数几何综合题；压轴题；数形结合．分析：依照抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观看函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，因此8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a =﹣30a，再依照抛物线开口向下得a＜0，因此有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，依照二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，（故②错误）；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y 随x的增大而减小，（故④错误）．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c （a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本题共10小题，每题4分，共40分）11．二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=2，x=﹣1对应的函数值y=﹣22．考点：二次函数的性质．分析：由表格的数据能够看出，x=1和x=3时y的值相同差不多上﹣6，因此能够判定出点（1，﹣6）和点（3，﹣6）关于二次函数的对称轴对称，利用公式：x= 可求出对称轴；利用表格中数据反映出来的对称性，结合对称轴x=2，可判定出x=﹣1时关于直线x=2对称的点为x=5，故可求出y=﹣22．解答：解：∵x=1和x=3时y的值相同差不多上﹣6，∴对称轴x= =2；∵x=﹣1的点关于对称轴x=2对称的点为x=5，∴y=﹣22．故答案为：2，﹣22．点评：此题考查二次函数的性质，把握二次函数的对称性，会利用表格中的数据规律找到对称点，确定对称轴，再利用对称轴求得对称点．12．将二次函数y=x2﹣2x﹣3化为y=（x﹣h）2+k的形式，则y=（x ﹣1）2﹣4．考点：二次函数的三种形式．分析：利用配方法整理即可得解．解答：解：y=x2﹣2x ﹣3=（x2﹣2x+1）﹣3﹣1=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4．故答案为：y=（x﹣1）2﹣4．点评：本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练把握和运用配方法是解题的关键．13．抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线x=1．考点：二次函数的性质．分析：先把抛物线的方程变为y=ax2﹣2ax﹣3a，由公式x= 得抛物线的对称轴为x=1．解答：解：y=a（x+1）（x﹣3）=ax2﹣2ax﹣3a由公式得，抛物线的对称轴为x=1．点评：本题考查抛物线的对称轴的求法，同学们要熟练经历抛物线的对称轴公式x= ．14．若二次函数y=（m+1）x2+m2﹣9的图象通过原点且有最大值，则m=﹣3．考点：二次函数的最值．分析：此题能够将原点坐标（0，0）代入y=（m+1）x2+m2﹣9，求得m的值，然后依照有最大值确定m的值即可．解答：解：由于二次函数y=（m+1）x2+m2﹣9的图象通过原点，代入（0，0）得：m2﹣9=0，解得：m=3或m=﹣3；又∵有最大值，∴m+1＜0，∴m=﹣3．故答案为：﹣3；点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，通过代入点的坐标即可求解，较为简单．15．抛物线y=x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为9．考点：抛物线与x轴的交点．专题：运算题．分析：利用△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=62﹣4m= 0，然后解关于m的一次方程即可．解答：解：依照题意得△=62﹣4m=0，解得m=9．故答案为9．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程．关于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．16．若抛物线y=bx2﹣x+3的对称轴为直线x=﹣1，则b的值为﹣．考点：二次函数的性质．分析：利用二次函数的对称轴运算方法x=﹣，求得答案即可．解答：解：∵抛物线y=bx2﹣x+3的对称轴为直线x=﹣1，∴x=﹣=﹣1，解得b=﹣．故答案为：﹣．点评：此题考查二次函数的性质，把握二次函数的顶点坐标公式是解决问题的关键．17．若二次函数y=ax2﹣4x+a的最小值是﹣3，则a=1．考点：二次函数的最值．分析：依照题意：二次函数y=ax2﹣4x+a的最小值是﹣3，则判定二次函数的系数大于0，再依照公式y最小值= 列出关于a的一元二次方程，解得a的值即可．解答：解：∵二次函数y=ax2﹣4x+a有最小值﹣3，∴a＞0，y最小值= =﹣3，整理，得a2+3a﹣4=0，解得a=﹣4或1，∵a＞0，∴a=1．故答案为：1；点评：本题要紧考查二次函数的最值的知识点，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直截了当得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．18．二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象在x轴上截得的线段长为2 ．考点：抛物线与x轴的交点．专题：运算题．分析：通过解方程x2﹣2x﹣1=0可得到抛物线与x轴的两交点坐标，然后运算两交点间的距离即可．解答：解：当y=0时，x2﹣2x﹣1=0，x2﹣2x+1=2，（x﹣1）2=2，解得x1=1+ ，x2=1﹣，因此抛物线与x轴的两交点坐标为（1﹣，0），（1+ ，0），因此抛物线在x轴上截得的线段长=1+ ﹣（1﹣）=2 ．故答案为．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程．19．如图，一拱桥呈抛物线状，桥的最大高度是32m，跨度是80m，在线段AB上距离中心M20m的D处，桥的高度是24m．考点：二次函数的应用．分析：依照题意假设解析式为y=ax2+bx+c，用待定系数法求出解析式．然后把自变量的值代入求解对应函数值即可．解答：解：设抛物线的方程为y=ax2+bx+c已知抛物线通过（0，32），（﹣40，0），（40，0），可得，可得a=﹣，b=0，c=32，故解析式为y=﹣x2+32，当x=20时，y=24．故答案为：24．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．20．二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为x=﹣2．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣5＜x＜2的范畴内有解，则t的取值范畴是﹣4≤t＜12．考点：抛物线与x轴的交点．专题：运算题．分析：先利用对称轴方程求出b得到抛物线解析式为y=x2+4x，再配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），接着依照二次函数的性质，运用函数图象求出当﹣5＜x＜2时，对应的函数值的范畴为﹣4≤y＜12，由于关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣5＜x＜2的范畴内有解，则抛物线y=x2+bx与直线y=t有交点，然后借助图象可得到﹣4≤t＜1 2．解答：解：∵﹣=﹣2，解得b=4，∴抛物线解析式为y=x2+4x，即y=（x+2）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），当x=2时，y=x2+4x=12，∴当﹣5＜x＜2，﹣4≤y＜12，∵一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）的解可看作抛物线y=x2+bx与直线y=b的交点的横坐标，∴关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣5＜x＜2的范畴内有解时，抛物线y=x2+bx与直线y=t有交点，如图，∴﹣4≤t＜12．故答案为﹣4≤t＜12．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数与一次函数图象的交点问题．运用数形结合的思想是解决本题的关键．三、解答题（本题共7小题，共80分）21．已知二次函数y=﹣x2+4x+5．（1）用配方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+k（其中a、h、k差不多上常数且a≠0）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求那个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的三种形式．分析：（1）先配方，得到二次函数的顶点坐标式，即可直截了当写出其对称轴和顶点坐标；（2）令y=0，求出x的值，即可确定函数图象与x轴的交点坐标；令x=0，求出y的值，即可确定函数图象与y轴的交点坐标．解答：解：（1）y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，对称轴为：x=2，顶点坐标：（2，9）；（2）令y=0，得﹣x2+4x+5=0，解得x1=﹣1，x2=5，因此图象与x轴的交点坐标为：（﹣1，0）与（5，0）；令x=0，得y=5，因此图象与y轴的交点坐标为：（0，5）．点评：本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一样式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．同时考查了函数图象与坐标轴的交点坐标的求法．22．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都通过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直截了当写出答案）考点：二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式．分析：（1）分别把点A（1，0），B（3，2）代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c，利用待定系数法解得y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；（2）依照题意列出不等式，直截了当解二元一次不等式即可，或者依照图象可知，x2﹣3x+2＞x﹣1的图象上x的范畴是x＜1或x＞3．解答：解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：0=1+m，，∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，因此y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；（2）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．点评：要紧考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质．要具备读图的能力．23．如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象通过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直截了当写出点P的坐标．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特点．分析：（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）依照三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x 轴的上方与下方两种情形解答即可．解答：解：（1）由已知条件得，解得，因此，此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x；（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），∴AO=4，设点P到x轴的距离为h，则S△AOP= ×4h=8，解得h=4，①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4，解得x=﹣2，因此，点P的坐标为（﹣2，4），②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4，解得x1=﹣2+2 ，x2=﹣2﹣2 ，因此，点P的坐标为（﹣2+2 ，﹣4）或（﹣2﹣2 ，﹣4），综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2 ，﹣4）、（﹣2﹣2 ，﹣4）．点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特点，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情形讨论求解．24．某校初三年级的一场篮球竞赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中；（2）现在，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？考点：二次函数的应用．分析：已知最高点坐标（4，4），用顶点式设二次函数解析式更方便求解析式，运用求出的解析式就能够解决题目的问题了．解答：解：（1）依照题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：A（0，）B（4，4）C（7，3）设二次函数解析式为y=a（x﹣h）2+k代入A、B点坐标，得y=﹣（x﹣4）2+4 ①将C点坐标代入①式得左边=右边即C点在抛物线上∴一定能投中；（2）将x=1代入①得y=3∵3.1＞3∴盖帽能获得成功．点评：本题考查了二次函数解析式的求法，及事实上际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．25．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为15米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式；（2）假如要围成花圃的面积为36平方米，求AB的长为多少米？（3）假如要使围成花圃面积最大，求AB的长为多少米？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后依照矩形的面积=长×宽，得出S与x的函数关系式；（2）依照（1）的函数关系式，将S=36代入其中，求出x的值即可；（3）依照二次函数的性质求出自变量取值范畴内的最值．解答：解：（1）花圃的宽AB为x米，则BC=（24﹣3x）米，∴S=x（24﹣3x），即S=﹣3x 2+24x（3≤x＜8）；（2）当S=36时，﹣3x2+24x=36，解得x1=2，x2=6，当x=2时，24﹣3x=18＞15，不合题意，舍去；当x=6时，24﹣3x=6＜15，符合题意，故AB的长为6米．（3）S=﹣3x2+24x=﹣3（x﹣4）2+48，∵3≤x＜8，∴当x=4米时面积最大，最大面积为48平方米．点评：本题考查了二次函数的综合应用，依照已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范畴．26．（14分）某公司为一工厂代销一种建筑材料（那个地点的代销是指厂家先免费提供货源，待物资售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，预备采取降价的方式进行促销．经市场调查发觉：当每吨售价每下降1 0元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．（1）当每吨售价是240元时，运算现在的月销售量；（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范畴）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：本题属于市场营销问题，月利润=（每吨售价﹣每吨其它费用）×销售量，销售量与每吨售价的关系要表达清晰．再用二次函数的性质解决最大利润问题．解答：解：（1）由题意得：45+ ×7.5=60（吨）．（2）由题意：y=（x﹣100）（45+ ×7.5），化简得：y=﹣x2+315x﹣24000．（3）y=﹣x2+315x﹣24000=﹣（x﹣210）2+9075．利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．（4）我认为，小静说的不对．理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而关于月销售额W=x（45+ ×7.5）=﹣（x﹣160）2+19200来说，当x为160元时，月销售额W最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．方法二：当月利润最大时，x为210元，现在，月销售额为17325元；而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．（说明：假如举出其它反例，说理正确，也能够）点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．27．（14分）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直截了当写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求现在E点的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；动点型．分析：（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可依照（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M 点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），依照M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情形进行讨论：①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P 的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，假如设PM=CP=x，那么直角三角形CP Q中CP=x，OM的长，可依照M的坐标得出，CQ=3﹣x，因此可依照勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM=MP时，依照CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P 的坐标（要注意分上下两点）．。
江苏省南通市2020版九年级上学期期中数学试卷B卷
江苏省南通市2020版九年级上学期期中数学试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）当你看到镜子中的你在用右手往左梳理你的头发时，实际上你是（）A . 右手往左梳B . 右手往右梳C . 左手往左梳D . 左手往右梳2. （2分） (2017九上·禹州期末) 抛物线y= x2+x﹣4的对称轴是（）A . x=﹣2B . x=2C . x=﹣4D . x=43. （2分）如图，CD是⊙0的直径，A，B是⊙0上的两点，若∠ADC=70°，则∠ABD的度数为（）A . 50°B . 40°C . 30°D . 20°4. （2分）(2020·重庆模拟) 如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知tan∠CDB＝，BD＝10，则OH的长度为（）A .B . 1C .D .5. （2分）如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角α的大小可以是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°6. （2分）(2014·宿迁) 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（）A . y=（x+2）2+3B . y=（x﹣2）2+3C . y=（x+2）2﹣3D . y=（x﹣2）2﹣37. （2分）已知⊙O的面积为4π，则其内接正三角形的面积为（）A .B .C . 3D . 38. （2分）一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（）A . 5cm或11cmB . 2.5cmC . 5.5cmD . 2.5cm或5.5cm9. （2分） (2018九上·大冶期末) 如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则下列说法中错误的是（）A . ac＜0B . 2a+b＝0C . 对于任意x均有ax2+bx≥a+bD . 4a+2b+c＞010. （2分）以下是某市自来水价格调整表：自来水价格调整表（部分）单位：元/立方米用水类别现行水价拟调整后水价一、居民生活用水0.721．一户一表第一阶梯：月用水量在 0～30立方米/户 0.82第二阶梯：月用水量超过 30立方米/户 1.232．集体表略则AC调整水价后某户居民月用水量x（立方米）与应交水费y（元）的函数图象是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共7分)11. （1分） (2016九上·宜春期中) 在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是________．12. （1分）(2018·吉林模拟) 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=4，CD=1，则EC的长为________．13. （1分） (2019九上·湖北月考) 若抛物线y＝(a－3)x2－2有最低点，那么a的取值范围是________.14. （1分）(2017·舟山) 一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，（如图1），点为边的中点，边与相交于点．现将三角板绕点按顺时针方向旋转（如图2），在从到的变化过程中，点相应移动的路径长为________．（结果保留根号）15. （2分）如图，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为 C，图中相等的线段有________，相等的劣弧有________.16. （1分）如图，在△O AB中，∠ABO=90°，∠AOB=30°，将△AOB绕点O逆时针方向旋转95°得到△OA1B1 ，则∠A1OB的度数为________ °三、解答题 (共12题；共120分)17. （5分）抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式．18. （10分）(2016·张家界模拟) 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，Rt△ABC的项点均在格点上．A（﹣6，1）B（﹣3，1）C（﹣3，3）（1）将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位长度后得到Rt△A1B1C1．试在图中画出Rt△A1B1C1，并写出C1点的坐标；（2）将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2．试在图中画出Rt△A2B2C2．19. （10分） (2018九上·南京月考) 如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O 于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于点E，F．（1）求证：AF⊥EF．（2）探究线段AF、CF、AB之间的数量关系，并证明．20. （10分）(2017·胶州模拟) 如图①，在地面上有两根等长的立柱AB，CD，它们之间悬挂了一根抛物线形状的绳子，按照图中的直角坐标系，这条绳子可以用y= x2﹣ x+3表示（1）求这条绳子最低点离地面的距离；（2）现由于实际需要，要在两根立柱之间再加一根立柱EF对绳子进行支撑（如图②），已知立柱EF到AB距离为3m，两旁的绳子也是抛物线形状，且立柱EF左侧绳子的最低点到EF的距离为1m，到地面的距离为1.8m，求立柱EF的长．21. （15分） (2016九上·南昌期中) 如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．（1）求证：点E是的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）若AD=12，⊙O的半径为10，求弦DF的长．22. （15分）已知二次函数y=﹣x2+4x．（1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．23. （5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．24. （10分）(2017·合川模拟) 某商店以每件50元的价格购进某种品牌衬衫100件，为使这批衬衫尽快出售，该商店先将进价提高到原来的2倍，共销售了10件，再降低相同的百分率作二次降价处理；第一次降价标出了“出厂价”，共销售了40件，第二次降价标出“亏本价”，结果一抢而光，以“亏本价”销售时，每件衬衫仍有14元的利润．（1）求每次降价的百分率；（2）在这次销售活动中商店获得多少利润？请通过计算加以说明．25. （15分） (2018九上·金华月考) 二次函数的部分图象如图所示，其中图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点．（1）求此二次函数的解析式；（2）将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出顶点坐标以及它与轴的另一个交点的坐标．（3）利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，求的取值范围26. （5分）有一块土地，如图所示，已知AB=8，∠B=90°，BC=6，CD=24，AD=26，求这块土地的面积．27. （10分）已知抛物线的解析式为（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上，求m的值.．28. （10分）将面积为4的正方形ABCD与面积为8的正方形AEFG按图①的位置放置，AD、AE在同一条直线上，AB、AG在同一条直线上．（1）试判断DG、BE的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图2，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，求此时BE的长．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共12题；共120分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、23-1、24-1、24-2、25-1、25-2、25-3、26-1、27-1、27-2、28-1、28-2、。
江苏省南通市部分学校2020-2021学年第一学期九年级(上)数学期中考试测试
A
B
C
D
2．下列方程中是一元二次方程的是（ ▲ ）．
A． xy +2 =1
B． (x - 2)2 +16 = x2 C． x2 + 1 - 3 = 0 x
3．下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ▲ ）．
D． x2 =1
A．经过任意两点画一条直线
B．任意画一个五边形，其外角和为 360°
C．过平面内任意三个点画一个圆
三、解答题（本大题共 8 小题，共 91 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）
19．（本小题满分 10 分） 用适当的方法解下列方程：
（1） x x 2 3
（2） 4x2 x 3 0
20．（本小题满分 10 分） 一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字 1、－2、3，搅匀后先从中 任意摸出一个小球（不放回），记下数字作为点 A 的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球， 记下数字作为点 A 的纵坐标．求点 A 落在第四象限的概率．
B． y = 4 x2 + 5 810 2
C． y = 1 x2 + 2 810
D． y = 4 x2 + 2 810
（第 7 题）
（第 9 题）
（第 10 题）
二、填空题（本大题共 8 小题，第 11～13 题每小题 3 分，第 14～18 题每小题 4 分，共 29 分．不需写出 解答过程，请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上）
2020-2021 学年度初三（上）数学期中测试
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上．）
江苏省南通市2020版九年级上学期期中数学试卷C卷
江苏省南通市2020版九年级上学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列图形是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分）关于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程，则（）A . a＞0B . a≠0C . a=1D . a≥03. （2分）(2017·越秀模拟) 当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A .B .C .D .4. （2分）已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A . 有两个不相等的实数根B . 有两个相等的实数根C . 没有实数根D . 有两个实数根5. （2分） (2019九上·萧山月考) 已知二次函数y=（x-3）2图像上的两个不同的点A（3，a）和B（x，b），则a和b的大小关系（）A . a≤bB . a＞bC . a＜bD . a≥b6. （2分）(2017·东光模拟) 在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则关于点D的说法正确的是（）甲：点D在第一象限乙：点D与点A关于原点对称丙：点D的坐标是（﹣2，1）丁：点D与原点距离是．A . 甲乙B . 丙丁C . 甲丁D . 乙丙7. （2分） (2017九上·鄞州月考) 如图，在中，∠CAB=70°，在同一平面内，将绕点A 旋转到的位置，使得CC′∥AB，则 =（）A .B .C .D .8. （2分）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）A . -4B . -1C . 1D . 49. （2分）一个小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：，则小球距离地面的最大高度是（）.A . 1米B . 5米C . 6米D . -5米10. （2分） (2019八下·金华期中) 下列一元二次方程没有实数根的是（）A . x2+x+3＝0B . x2+2x+1＝0C . x2﹣2＝0D . x2﹣2x﹣3＝011. （2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）。
江苏省南通市部分学校2020~2021学年 第一学期期中学业水平质量监测 九年级数学试卷
初三数学试卷 第 1 页（共6页）2020～2021学年（上）期中学业水平质量监测初三数学试卷有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上．） 1． 下列方程中，有两个相等实数根的是A ．x 2－2x ＝0B ．x 2－1＝0C ．x 2－2x ＝3D ．(x －1)2＝02． 下列用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A .赵爽弦图B . 科克曲线C . 笛卡尔心形线D .斐波那契螺旋线3． 已知四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠B ＝108°，则∠D 的大小为A ．54°B ．62°C ．72°D ．82°4． 将抛物线y ＝(x －2)2＋1向上平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式是A ．y ＝(x －2)2＋4B ．y ＝(x －5)2＋1C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x ＋1)2＋1 5． 已知方程2x 2＋4x －3＝0的两根分别为a 和b ，则a ＋b 的值等于A ．－2B ．2C ．32D ．326． 下列事件中，能用列举法求得事件发生的概率的是A . 投一枚图钉，“钉尖朝上”B ．一名篮球运动员在罚球线上投篮，“投中”C . 同时掷两枚质地均匀的骰子，“两个骰子正面朝上的点数相同”D . 把一粒种子种在花盆中，“发芽”初三数学试卷 第 2 页（共6页）（第7题）C（第15题）7． 如图，⊙O 的直径CD ＝10 cm ，弦AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ∶MC ＝3∶2，则AB 的长为Acm B ．8 cm C ．6 cm D ．4 cm8． 已知平面直角坐标系xOy 中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，AO ＝AB ＝2，∠OAB ＝120°，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 的对应点B ′的坐标是 A ．(－1，2＋3) B ．(3-，2＋3) C ．(－3，3) D ．(3-，3) 9． 如图，圆内接正六边形的边长为2，以其各边为直径向外作半圆，则图中阴影部分的面积为A ．6 3－πB ．33＋π C ．6 3＋2π D ．63＋π10．已知当0≤x ≤1时，关于x 的函数y ＝x 2＋bx ＋c 有最大值y 1，有最小值y 2，则y 1－ y 2 A .与b 有关，且与c 有关 B . 与b 有关，但与c 无关 C .与b 无关，且与c 无关 D . 与b 无关，但与c 有关二、填空题（本大题共8小题，第11～12小题每小题3分，第13～18小题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 11．一元二次方程x 2－5x ＋6＝0根的判别式的值是 ▲ ．12．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，以点B 为圆心，r 为半径作⊙B ，当r ＝3时，⊙B 与AC 的位置关系是 ▲ ．13．请写出一个二次函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴： ▲ ．14．已知圆锥的底面直径是8 cm ，母线长为5 cm ，则这个圆锥的侧面积为 ▲ cm 2． 15．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是 ▲ ．16．已知二次函数 y ＝x 2－mx ＋5 的图象经过（－1，n ）和（3，n ）两点，则 n 的值为 ▲ ．17．在平面直角坐标系中，若⊙I 过A （2，2），B （6，2），C （4，5）三点，则圆心I 的坐标是 ▲ ．（第9题）初三数学试卷 第 3 页（共6页）18．如图，O 为正方形ABCD 的中心，直线l 经过点O ，过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，连接DH ．若 正方形ABCD 的边长为4，则线段DH 长的最小值 为 ▲ ．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分10分）解方程：（1）x (x －2)＋x －2＝0； （2）x 2－2x ＋1＝5．20．（本小题满分10分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出的小球标号的和为偶数的概率．21．（本小题满分10分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，E 是CD 边上一点，连接BE ，以BE 为边作等边△BEF .（1）连接一条线段，使图中存在经过旋转可完全重合的两个三角形，该线段是 ▲ ； （2）在图中找出与（1）中所连线段相等的线段，并证明.AF BCED（第21题）ABCDl H （第18题）·O初三数学试卷 第 4 页（共6页）22．（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两个点，AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，连接AD ，过点D作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，求弦AD 的长．23．（本小题满分12分）某商场以每件40元的价格购进一批商品，当每件商品售价为60元时，每周可卖出300件.为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销.市场调查反映：若每件商品降价0.5元，则商场每周可多卖出10件．设每件商品降价x 元． （1）降价后商场每周实际卖出 ▲ 件（用含x 的式子表示）； （2）商场如何定价才能使每周的利润最大？最大利润是多少？（第22题）初三数学试卷 第 5 页（共6页）24．（本小题满分12分）我们可以利用函数图象，通过不断缩小根所在的范围估计方程x 2－2x －2＝0的根. 第一步：画出函数y ＝x 2－2x －2的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在2，3之间.第二步：因为当x ＝2时，y ＝－2＜0；当x ＝3时，y ＝1＞0，所以可确定方程x 2－2x －2＝0的一个根x 1所在的范围是2＜x 1＜3.第三步：通过取2和3的平均数缩小x 1所在的范围：取x ＝2＋32＝52，因为当x ＝52时，y ＜0，当x ＝3时，y ＞0，所以52＜x 1＜3.（1）请仿照第二步，通过运算，验证方程x 2－2x －2＝0的另一个根x 2所在的范围是－1＜x 2＜0；（2）在（1）的基础上，某学习小组重复．．两．次．应用第三步中取平均数的方法，将x 2所在的范围缩小，得到x 2的近似值约为－0.76.判断这个结论是否正确，并说明理由.25．（本小题满分13分）已知抛物线y ＝x 2－(2m －2)x ＋m 2－2m (其中m 为常数). （1）求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；（2）若(2m ，y 1)，(2m ＋1，y 2) 两点在该抛物线上，试比较y 1－y 2与0的大小； （3）若该抛物线在－4≤x ≤1的部分与直线y ＝－2mx ＋m 2＋1有两个公共点，试直接写出整数m 的值．初三数学试卷 第 6 页（共6页）26．（本小题满分13分）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形.如图1，线段MQ ，QN 组成折线段MQN . 若点P 在折线段MQN 上，MP ＝PQ ＋QN ，则称点P 是折线段MQN 的中点.【理解运用】（1）如图2，⊙O 的半径为2，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，点B 是折线段POA 的中点. 若∠APO ＝30°，则PB ＝ ▲ ；（2）如图3，⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，D 是AC ︵上一点，AH ⊥BD ，垂足为H .求证：点H 是折线段BDC 的中点； 【拓展提升】（3）如图4，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，AB ＝AC ＝2 3，AP ＝5，求PB ·PC的值.N（第26题图1）（第26题图4）（第26题图3）（第26题图2）。
江苏省南通市2020年九年级上学期期中数学试卷A卷
江苏省南通市2020年九年级上学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共16题；共29分)1. （2分）用公式法解方程x2﹣2x+2=0时，确定a，b，c的值是（）A . a=1，b=2， c=2B . a=1，b=﹣2， c=2C . a=﹣1，b=﹣2， c=﹣2D . a=﹣1，b=2， c=﹣22. （2分） (2015九上·宜昌期中) 关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A . 1B . ﹣1C . 1或﹣1D .3. （2分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A . 2B . -2C . 4D . -44. （2分）(2017·宁波) 抛物线（m是常数）的顶点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限5. （2分）已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A . 第四象限B . 第三象限C . 第二象限D . 第一象限6. （2分） (2016九上·桐乡期中) 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则反比例函数与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图像是（）A .B .C .D .7. （2分）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（）A . （160+x）（100+x）=160×100×2B . （160+2x）（100+2x）=160×100×2C . （160+x）（100+x）=160×100D . 2（160x+100x）=160×1008. （2分） (2017九上·岑溪期中) 对抛物线y= x2﹣x+1，下列分析正确的是（）A . 开口向下B . 与x轴没有交点C . 顶点坐标是（1，0）D . 对称轴是直线x=﹣19. （2分） (2017九上·柳江期中) 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（）A . y=（x+2）2+3B . y=（x﹣2）2+3C . y=（x+2）2﹣3D . y=（x﹣2）2﹣310. （2分） (2016九上·磴口期中) 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②﹣b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个11. （1分） (2016九上·博白期中) 如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是________．12. （4分） (2019八下·北京期中) 阅读材料：如果，是一元二次方程的两根，那么有 .这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题.例是方程的两根，求的值.解法可以这样：则 .请你根据以上解法解答下题：已知是方程的两根，求：（1） + =________ ;（2） =________ ;（3） =________;（4） =________.13. （1分）二次函数y＝x2＋ax＋a与x轴的交点分别是A(x1 ， 0)、B(x2 ， 0)，且x1＋x2－x1x2＝－10，则抛物线的顶点坐标是________．14. （1分） (2016九上·玄武期末) 在平面直角坐标系中，将抛物线y=2x2先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为________．15. （1分） (2020九上·长兴期末) 二次函数y=(x-2)2+1图象的对称轴是________。
2020-2021学年江苏省南通市九年级中考一模(期中)数学试题及答案解析
期中考试 九年级数学中，恰有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1．－3的倒数是【▲】 A ．31B ．3C ．31-D ．3-2．下列运算中正确的是【▲】 A ．2a a a =+B ．22a a a =⋅C ．222()=ab a bD ．532)(a a =3．若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是【▲】 A ．5B ．6C ．7D ．84．将0.000075用科学记数法表示为【▲】A ．7.5×105B ．7.5×10-5C ．0.75×10-4D ．75×10-65．在直角坐标系中，点M （1，2）关于y 轴对称的点的坐标为【▲】 A ．（1，－2） B ．（2，－1） C ．（－1，2） D ．（－1，－2） 6．若两圆的半径分别是2和3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是【▲】 A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离7．图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上．．一面的字是【▲】 A ．我 C ．梦 D ．中8．甲盒子中有编号为1、2、3的3个白色乒乓球，乙盒子中有编号为4、5、6的3个黄色乒乓球．现分别从每个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出乒乓球的编号之和大于6的概率为【▲】 A ．94B ．95C ．32D ．979．若二次函数72++=bx x y 配方后为k x y +-=2)1(，则b 、k 的值分别为【▲】A ．2、6B ．2、8C ．－2、6D ．－2、810．如图，在平行四边形ABCD 中，AC = 12，BD = 8，P 是AC 上的一个动点，过点P 作EF ∥BD ，与平行四边形的 两条边分别交于点E 、F ．设CP=x ，EF=y ，则下列图象 中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是【▲】二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11．在函数y =x 的取值范围是 ▲ ． 12．分解因式：269ab ab a -+= ▲ ． 13．若分式42x x -+的值为0，则x 的值为 ▲ ． PF E DCBAAB CDE F14．如图，平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD=2DE ．若△DEF 的面积为1， 则平行四边形ABCD 的面积为 ▲ ．15．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB 的高度．如图，他们先在点C 处 测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30︒，然后向建筑物AB前进20m 到达点D 处，又测得点 A 的仰角为60︒，则建筑物AB 的高度是 ▲ m ．16．抛物线252+-=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 ▲ ．17．如图，在△ABC 中，∠ACB=52°，点D ，E 分别是AB ， AC 的中点．若点F 在线段DE 上，且∠AFC=90°，则 ∠FAE 的度数为 ▲ °．18．如图，在平行四边形OADB 中，对角线AB 、OD 相交于点C ，反比例函数xky =（k ＞0）在第一象限的图象经 过A 、C 两点，若平行四边形OADB 面积为12，则k 的值为 ▲ ． 三、解答题（本题共10小题，共96分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．ADB C30︒60︒（第14题）（第15题）ABCD EF（第17题）（第18题）19．（本题满分10分）计算：（1）231(1)sin30(73)42⎛⎫-÷+-⨯- ⎪⎝⎭o；（2）．20．（本题满分8分）先化简22121x xxx x x--⎛⎫÷-⎪+⎝⎭，再选取一个合适的x的值代入求值．21．（本题满分8分）解方程组：16,2 2.x yx y+=⎧⎨-=⎩22．（本题满分8分）如图，在□ABCD中，E F，为BC上两点，且BE CF=，AF DE=．求证：（1）ABF DCE△≌△；（2）四边形ABCD是矩形．23．（本题满分8分）已知二次函数cbxxy++-=2的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y（1）求出b，c（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；ABDF（第22题）（3）当12≤x ≤2时，求y 的最大值．24．（本题满分8分）已知关于x 的一元二次方程093)6(2=+++-m x m x 的两个实数根分别为1x ，2x ．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若521-+=x x n ，判断动点P （m ，n ）所形成的函数图象是否经过点A （4，5），并说明理由．25．（本题满分8分）在直角三角形ABC 中，∠点O 为AB 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径 的圆弧与BC 相切于点D ，交AC 于点E ，连接AD ． （1）求证：AD 平分∠BAC ；元，试销过程中发现，每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的关系可以近似地看作一次函数y ＝－2x ＋100．（利润=售价－制造成本） （1）写出每月的利润z （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（第23题）（2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？（3）如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？27．（本题满分12分）在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=120°，点D 在AB 边上，∠EDF=60°．（1）当点D 为AB 中点时，且∠EDF 的两边分别交线段AC 、BC 于点E 、F ，如图1，求证：DE=DF ； （2）当点D 不是AB 中点，且AD AB =13时， ①若∠EDF 的两边分别交线段AC 、BC 于点E 、F ，如图2，求DEDF； ②若∠EDF 的边DE 交线段AC 于点E ，边DF 交BC 延长线于点F ，如图3，直接写出DEDF 的值．A B CDE 图1ABCDE F 图2A BC DE图328．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，∠ACB ＝90°， A（0，1），C （1）求点B 的坐标；（2）将Rt △ABC 沿x到Rt △A 1B 1C 1位置，A ，B 两点的对应点 A 1，B 1恰好落在反比例函数xky =的图像上， 求反比例函数的解析式和点C 1的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q 为反比例函数 xky =（x>0）的图像上的一点，问在x 轴 上是否存在点P ，使得△PQ C 1∽△ABC ？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．九年级期中考试参考答案一、选择题：本大题共10小题；每小题3分，共30分。
江苏省南通市三校联考2020-2021学年度第一学期九年级期中考试数学试卷(含详细答案)
2020-2021学年度第一学期江苏省南通市三校联考九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点关于原点对称得到点，再将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标是（）A. B. C. D.5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线与直线交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
2019-2020学年江苏省南通市崇川区田家炳中学九年级(上)期中数学试卷解析版
2019-2020学年江苏省南通市崇川区田家炳中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）某商店举办有奖储蓄活动，购货满100元者发兑奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个．若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是（）A．B．C．D．3．（3分）下列命题中正确的有（）个（1）平分弦的直径垂直于弦（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线（3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半（4）平面内三点确定一个圆（5）三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．A．1B．2C．3D．44．（3分）已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是（）A．24cm B．48cm C．96cm D．192cm5．（3分）若函数为反比例函数，则m的值为（）A．±1B．1C．D．﹣16．（3分）如图所示，直线P A，PB是⊙O的两条切线，A，B分别为切点，∠APB＝120°，OP＝10cm，则弦AB 的长为（）A．5cm B．5cm C．10cm D．cm7．（3分）如图，直线l和双曲线（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（）A．S1＜S2＜S3B．S1＞S2＞S3C．S1＝S2＞S3D．S1＝S2＜S38．（3分）如图，A、B、C是反比例函数y＝（x＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条9．（3分）如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于A、B两点，若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）A．2≤k≤9B．2≤k≤8C．2≤k≤5D．5≤k≤810．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AE＝AB．已知⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF＝：2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是（）A．8B．4C．12D．12或4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，则∠CEF＝度．12．（3分）连掷两次骰子，它们的点数都是4的概率是．13．（3分）一个反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（﹣2，﹣1），则该反比例函数的解析式是．14．（3分）如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是．15．（3分）如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝nx的图象交于A（﹣1，﹣3）、B两点，则﹣nx≥0的解集是．16．（3分）如图，点A为函数y＝（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y＝（x＞0）的图象于点B，点C 是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为．17．（3分）如图，点A、C为反比例函数y＝（x＜0）图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点B、E恰好为OD、OC的中点，当△AEC的面积为32时，k的值为．18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝4，∠C＝60°，M是线段BC的中点，将△MDC 绕点M旋转，当MD（即MD'）与AB交于点E，MC（即MC′）同时与AD交于点F时，点E、F和点A构成△AEF．在此过程中，△AEF的周长的最小值．三、解答題（本大題共9小题，共96分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．（8分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2），点A的坐标为（4，0）．（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1；（2）点B1的坐标为；（3）求点A旋转到A1所经过的路线长．20．（12分）如图所示，已知点A（4，m），B（﹣1，n）在反比例函数y＝的图象上，直线AB分别与xy轴相交于C、D两点．（1）求直线AB的解析式；（2）求C、D两点坐标；（3）连接AO、BO，记△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2，求的值．21．（8分）为了推进球类运动的发展，某校组织校内球类运动会，分篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项，要求每位学生必须参加一项并且只能参加一项，某班有一名学生根据自己了解的班内情况绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图．某班参加球类活动人数统计表：请根据图表中提供的信息，解答下列问题（1）图表中m＝，n＝；（2）该班参加乒乓球活动的4位同学中，有3位男同学（分别用A、B、C表示）和1位女同学（用D表示），现准备从中选出两名同学参加比赛，用树状图或列表法求出恰好选出一男一女的概率．22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．23．（10分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．24．（10分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D 两点，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PC交x轴于点E，连接DB，∠BDC＝30°．（1）求弦AB的长；（2）求直线PC的函数解析式；（3）连接AC，求△ACP的面积．26．（12分）如图①，已知点D在线段AB上，在△ABC和△ADE中，AB＝BC，AD＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°，M为EC的中点．（1）连接DM并延长交BC于N，求证：CN＝AD；（2）直接写出线段BM与DM的关系：；（3）将△ADE绕点A逆时针旋转，使点E在线段CA的延长线上（如图②所示位置），则（2）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．27．（14分）如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为6（1）求k的值；（2）若双曲线y＝（k＞0）上一点C的纵坐标为9，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y＝（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、Q 为顶点组成的四边形面积为96，求点P的坐标．2019-2020学年江苏省南通市崇川区田家炳中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意．故选：C．2．【解答】解：中一等奖的概率是＝，故选：B．3．【解答】解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故（1）错误；经过半径在圆上的一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故（2）错误；在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故（3）错误；平面内不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故（4）错误；三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，故（5）正确；故选：A．4．【解答】解：设这个扇形铁皮的半径为rcm，由题意得＝π×80，解得r＝48．故这个扇形铁皮的半径为48cm，故选：B．5．【解答】解：根据题意得：m2﹣2＝﹣1，且m﹣1≠0解得：m＝﹣1．故选：D．6．【解答】解：连OA，OB，∵直线P A，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∵∠APB＝120°，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，则△AOB为等边三角形，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得：P A＝5cm，再由勾股定理OA＝＝5cm，从而得AB＝5（cm）．故选：A．7．【解答】解：如右图，∵点A在y＝上，∴S△AOC＝k，∵点P在双曲线的上方，∴S△POE＞k，∵点B在y＝上，∴S△BOD＝k，∴S1＝S2＜S3．故选：D．8．【解答】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条，故选A．9．【解答】解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴，∴当x＝1时，y＝﹣1+6＝5，当y＝2时，﹣x+6＝2，解得x＝4，∴点A、B的坐标分别为A（4，2），B（1，5），根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小，设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大，则k＝x（﹣x+6）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，∵1≤x≤4，∴当x＝3时，k值最大，此时交点坐标为（3，3），因此，k的取值范围是2≤k≤9．故选：A．10．【解答】解：边BC所在的直线与⊙O相切时，如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，∴EN＝NF，又∵EG：EF＝：2，∴EG：EN＝：1，又∵GN＝AD＝8，∴设EN＝x，则GE＝x，根据勾股定理得：（x）2﹣x2＝64，解得：x＝4，GE＝4，设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2+ON2得：r2＝16+（8﹣r）2，∴r＝5．∴OK＝NB＝5，∴EB＝9，又AE＝AB∴AB＝12．同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，连接OH，∴OH＝AN＝5，∴AE＝1．又AE＝AB，∴AB＝4．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．【解答】解：∵△DCF是△BCE旋转以后得到的图形，∴CF＝CE．又∵∠ECF＝90°，∴∠EFC＝∠FEC＝（180°﹣∠ECF）＝（180°﹣90°）＝45°．故填：45．12．【解答】解：列表得：∴一共有36种等可能的情况，它们的点数都是4的有1种情况，∴点数都是4的概率是：，故答案为：．13．【解答】解：由题意知，﹣1＝，∴k＝2，∴该反比例函数的解析式是y＝．故答案为：y＝．14．【解答】解：∵AB是⊙O切线，∴OC⊥AB，∴AC＝BC，在Rt△BOC中，∵∠BCO＝90°，OB＝5，OC＝3，∴BC＝＝4（cm），∴AB＝2BC＝8cm．故答案为：8cm．15．【解答】解：∵反比例函数y1＝和正比例函数y2＝nx的图象交于A（﹣1，﹣3）、B两点，∴点B与点A关于原点对称，∴B（1，3）．根据图象可知：﹣nx≥0的解集是x≤﹣1或0＜x≤1，故答案为x≤﹣1或0＜x≤1．16．【解答】解：方法一：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），∵点C是x轴上一点，且AO＝AC，∴点C的坐标是（2a，0），设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y＝kx，∴，解得，k＝，又∵点B（b，）在y＝上，∴，解得，或（舍去），∴S△ABC＝S△AOC﹣S△OBC＝＝，故答案为：6．方法二：作BD⊥x轴于点D，作AE⊥x轴于点E，∵点A在为函数y＝（x＞0）图象上一点，AO＝AC，∴△AOC的面积是9，∵点A为函数y＝（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y＝（x＞0）的图象于点B，∴＝，∴，∴，∴S△ABC＝6，故答案为：6．17．【解答】解：设点C的坐标为（m，），则点E（m，），A（m，），∵S△AEC＝BD•AE＝（m﹣m）•（﹣）＝﹣k＝32，∴k＝﹣．故答案为﹣．18．【解答】解：连接AM，过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，即AQ∥DP，∵AD∥BC，∴四边形ADPQ是平行四边形，∴AD＝QP＝AB＝CD，∵∠C＝∠B＝60°，∴∠BAQ＝∠CDP＝30°，∴CP＝BQ＝AB＝2，即BC＝2+2+4＝8，∵CD＝4，∴BC＝2CD，∵点M是BC的中点，BC＝2CM，∴CD＝CM，∵∠C＝60°，∴∠CDP＝30°，∵CD＝4，∴CP＝2，∴由勾股定理得：DP＝2，∴△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，∠BMA＝∠BME+∠AME＝60°，∠EMF＝∠AMF+∠AME＝60°，∴∠BME＝∠AMF，在△BME与△AMF中，，∴△BME≌△AMF（ASA），∴BE＝AF，ME＝MF，AE+AF＝AE+BE＝AB，∵∠EMF＝∠DMC＝60°，故△EMF是等边三角形，EF＝MF，∵MF的最小值为点M到AD的距离等于DN的长，即是2，即EF的最小值是2，△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AB+EF，△AEF的周长的最小值为4+2，故答案为：4+2．三、解答題（本大題共9小题，共96分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．【解答】解：（1）△OA1B1如图所示；（2）点B1的坐标为（﹣2，4）；故答案为：（﹣2，4）；（3）点A旋转到点A1所经过的路线长＝＝2π．20．【解答】解：（1）∵A（4，m），B（﹣1，n）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝2，n＝﹣8，∴A（4，2），B（﹣1，﹣8），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴函数的解析式是：y＝2x﹣6；（2）在y＝2x﹣6中，当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝﹣6，∴C（3，0），D（0，﹣6）；（3）∵S1＝×3×2＝3，S2＝×6×1＝3，∴＝1．21．【解答】解（1）总人数＝＝40（人），m＝40×40%＝16（人），n%＝×100%＝20%，∴n＝20，故答案为16，20；（2）如图所示：共有12种等可能的情况数，其中一男一女的有6种可能，则P（恰好选到一男一女）＝＝．22．【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝（180°﹣70°）＝55°，∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．∵OE⊥AC，∴AE＝EC，又∵OA＝OB，∴OE＝BC＝．又∵OD＝AB＝2，∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．23．【解答】（1）证明：连接OC．∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°．∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°．∴∠OCD＝180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2＝90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A＝30°，∴∠1＝2∠A＝60°．∴S扇形BOC＝．在Rt△OCD中，∵，∴．∴．∴图中阴影部分的面积为：．24．【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx，将（4，8）代入得：8＝4k，解得：k＝2，故直线解析式为：y＝2x，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝，将（4，8）代入得：8＝，解得：a＝32，故反比例函数解析式为：y＝；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）．（2）当y＝4，则4＝2x，解得：x＝2，当y＝4，则4＝，解得：x＝8，∵8﹣2＝6（小时），∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．25．【解答】（1）解：∵CD⊥AB，CD为直径，∴弧AC＝弧BC，∴∠AMO＝2∠P＝2∠BDC＝60°，∵MA＝MC，∴△MAC是等边三角形，∴MA＝AC＝MC，∵x轴⊥y轴，∴∠MAO＝30°，∴AM＝2OM＝2，由勾股定理得：AO＝3，由垂径定理得：AB＝2AO＝6．（2）解：连接PB，∵AP为直径，∴PB⊥AB，∴PB＝AP＝2，∴P（3，2），∵MA＝AC，AO⊥MC，∴OM＝OC＝，C（0，﹣）设直线PC的解析式是y＝kx+b，代入得：，解得：k＝，b＝﹣，∴y＝x﹣．（3）解：P（3，2），∴S△ACP＝S△ACM+S△CPM，＝×2×3+×2×3＝6，答：△ACP的面积是6．26．【解答】（1）解：CN＝AD，理由如下：如图①，∵AB＝BC，AD＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠EAD＝∠AED＝45°，∠BAC＝∠BCA＝45°，∵M为EC的中点，∴EM＝CM，∵∠EDA＝∠ABC＝90°，∴DE∥BC，∴∠DEM＝∠MCB，在△EMD和△CMN中，，∴△EMD≌△CMN（ASA），∴CN＝DE，∵AD＝DE，∴CN＝AD；（2）BM⊥DM，BM＝DM，理由如下：由（1）得：△EMD≌△CMN，∴CN＝AD，DM＝MN，∵BA＝BC，∴BD＝BN，∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，∴BM⊥DM，BM＝DM；故答案为：BM⊥DM，BM＝DM；（3）BM⊥DM，BM＝DM仍然成立，理由如下：如图2，作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，∴∠E＝∠MCN＝45°，在△EMD与△CMN中，，∴△EMD≌△CMN（ASA），∴CN＝DE＝DA，MN＝MD，又∵∠DAB＝180°﹣∠DAE﹣∠BAC＝90°，∠BCN＝∠BCM+∠NCM＝45°+45°＝90°，∴∠DAB＝∠BCN，在△DBA和△NBC中，，∴△DBA≌△NBC（SAS），∴∠DBA＝∠NBC，DB＝BN，∴∠DBN＝∠ABC＝90°，∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，∴BM⊥DM，BM＝DM．27．【解答】解：（1）在y＝x中x＝6时，y＝3，即点A（6，3），将点A（6，3）代入y＝得：k＝18；（2）如图1，把y＝9代入y＝得，x＝2，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，S△AOC＝S△CON+S梯形AMNC﹣S△AOM＝S梯形AMNC＝（9+3）（6﹣2）＝24；（3）如图2，∵反比例函数的图象关于原点对称，∴由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形，∴PQ与AB交于O点，过A作AM⊥x轴于M，过P作PN⊥x轴于N，∵四边形APBQ的面积为96，∴S△AOP＝S四边形APBQ＝24，∵P在双曲线上，设P（x，），∵S△AOP＝S△AOM+S梯形AMNP﹣S△PON＝S图象AMNP，∴（3+）|x﹣6|＝24，整理得x2﹣16x﹣36＝0和x2+16x﹣36＝0，∵P在第一象限，解得x＝2或18，∴P（18，1）或（2，9）；。