高考数列专题练习(整理)
数列综合题
1．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．
（Ⅰ）求n a 及n S ；
（Ⅱ）令b n =
2
1
1
n a -（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T 。
2.已知递增的等比数列{}n a 满足234328,2a a a a ++=+且是24,a a 的等差中项。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若n n n S a b ,12log +=是数列{}n n a b 的前n 项和，求.
n S
3.等比数列}{n a 为递增数列，且,324=a 9
2053=+a a ，数列2log 3n n a b =(n ∈N ※
)
（1）求数列}{n b 的前n 项和n S ；
（2）122221-++++=n b b b b T n ，求使0>n T 成立的最小值n ．
4．已知数列{ n a }、{ n b }满足：112
1
,1,41n n n n n b a a b b a +=+==-. (1)求1,234,,b b b b ; (2)求数列{ n b }的通项公式；
(3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立
5．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2
,(,*)n n S ka n n k R n N =∈∈+-．
（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{21}n a n --为公比不为1的等比数列，且1>k ，求n S ．
6．已知数列{}n a 中，14a =，12(1)n n a a n +=-+，（1）求证：数列{}2n a n -为等比数列。
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2
2n n S a n ≥+，求正整数列n 的最小值。
7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
1
2,.n n n n n n a S a n b a a +-=+=
且
（1）求证：{1}n a -为等比数列；
（2）求数列{}n b 的前n 项和。
8．已知数列{}n a 中，11
3a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2221
n n n S a S =-．
（1）求n S 的表达；
（2）求数列{}n a 的通项公式；
9.已知数列{}n a 的首项135a =
，1
231+=+n n n a a a ，其中*
∈N n 。 （1）求证：数列11n a ??
-?
???
为等比数列； （2）记12
111
n n
S a a a =++，若100n S <，求最大的正整数n ．
10已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*
N n ∈，有,,n n n a S 成等差数列．
（1）记数列*
1(N )n n b a n =+∈，求证：数列{}n b 是等比数列；
（2）数列{}n a 的前n 项和为n T ，求满足221117227
n n T n T n ++<<++的所有n 的值．
11．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：)1(+-=n n n a S a S （a 为常数，0,1a a ≠≠） （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n n n n a S a b ?+=2
，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，1
1
111--+=
+n n n a a c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ． 求证：2
12->n T n ．
12 正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1． （1）试求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n ＝1
a n ·a n +1
，{b n }的前n 项和为T n ，求证：12
n T <．
13已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，且305=S ，又931,,a a a
成等比数列． （1）求n S ；
（2）若对任意t n >，*
N n ∈，都有25
122121212211>
+++++++++n n a S a S a S ， 求t 的最小值．
14已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n +++
+=-=．
（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；
（2）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），如果对任意*
n N ∈，都有21
4
n b t t +≤，
求实数t 的取值范围．
15 在数列{}n a 中，11a =，*13(1)3()n n n a a n n N +=++?∈， （1）设3n
n n
a b =
，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a
n
的前n 项和n S ．
16．已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，(p – 1)S n = p 2 – a n ，n ∈N *，p > 0且p ≠1，数列{b n }满足b n = 2log p a n ． （1）若p =
21
，设数列?
?????n n a b 的前n 项和为T n ，求证：0 < T n ≤4； （2）是否存在自然数M ，使得当n > M 时，a n > 1恒成立？若存在，求出相应的M ；若
不存在，请说明理由．
17.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n ma m S -+=)1(对任意正整数n 都成立，其中m 为
常数，且1- （2）设数列}{n a 的公比)(m f q =，数列}{n b 满足： ),2)((,3 1 111N n n b f b a b n n ∈≥==-，求数列}{1+?n n b b 的前n 项和n T ． 第3讲 数列的综合问题 「考情研析」 1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为5～8分. 核心知识回顾 数列综合应用主要体现在以下两点： (1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等． (2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力． 热点考向探究 考向1 数列与函数的综合问题 例 1 (2019·上海市青浦区高三二模)已知函数f (x )＝x 2 ＋ax ＋b (a ，b ∈R )，且不等式|f (x )|≤2019|2x －x 2 |对任意的x ∈[0,10]都成立，数列{a n }是以7＋a 为首项，公差为1的等差数列(n ∈N * )． (1)当x ∈[0,10]时，写出方程2x －x 2 ＝0的解，并写出数列{a n }的通项公式(不必证明)； (2)若b n ＝a n ·? ?? ??13an (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N * ，都有S n 数列专题复习专练 3．设a 1=1,a 2= 35,a n +2=35a n +1-3 2 a n (n =1,2,---),令 b n =a n +1-a n (n =1,2---)求数列{b n }的通项公式，(2)求数列{na n }的前n 项的和S n 。 6．已知数列{a n }中，a 1=1，a 2k =a 2k -1+(-1)K ,a 2k +1=a 2k +3k ,其中k =1,2,3，…。 (1)求a 3,a 5； （2）求{a n }的通项公式 7．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，1 1 3 n n a S ，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式． 8．已知数列n a 满足*111,21().n n a a a n N 求数列n a 的通项公式； 9．已知数列42n a n 和1 2 4n n b ，设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T ． 10．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且1 11a b ，35 21a b ， 5313a b （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列 n n a b 的前n 项和n S ． 11．已知数列}{n a 的通项公式为n a ＝ 1 2 n ，设1324 2 111 n n n T a a a a a a ，求n T ． 12．n S 设是等差数列{}n a 的前n 项和，已知434 13 1S S 与的等比中项为55 1S ，434 13 1S S 与的等差中项为1，求数列{}n a 的通项． 15. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为b a S n n +⊕=2，且31=a ． （1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式； （2）设n n a n b = ，求数列}{n b 的前n 项和n T ． 17. 设数列}{n a 是等差数列，65=a ． （Ⅰ）当33=a 时，请在数列}{n a 中找一项m a ，使得m a a a ,,53成等比数列； （Ⅱ）当23=a 时，若)(,,,* 21N n k k k n ∈ 满足 <<<< 高考复习数列专题： 数 列(参考答案附后) 第一节 数列的概念与数列的简单表示 一、选择题 1．已知数列{}a n 对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－ 6，那么a 10＝( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 3．若数列{a n }的前n 项积为n 2 ，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝ n ＋12 n 2 D ．a n ＝ n 2n －1 2 4．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 5．已知数列{a n }中，a n ＝n －79n －80 (n ∈N *)，则在数列{a n }的前50 项中最小项和最大项分别是( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 8 C ．a 8，a 9 D ．a 9， a 50 二、填空题 6．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2 －10n (n ＝1,2,3，…)，则此数 列的通项公式为________；数列{}na n 中数值最小的项是第__________项． 7．数列35，12，511，37，7 17，…的一个通项公式是 ___________________________． 8．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 三、解答题 9．如果数列{}a n 的前n 项和为S n ＝3 2a n －3，求这个数列的通项 公式． 10．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N ＋ )在函数y ＝x 2 ＋1的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若列数{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2 n ＋1. 高考数列专题练习精选 文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8- 1..等比数列}{n a 为递增数列，且,324=a 9 20 53= +a a ，数列2log 3n n a b =(n ∈N ※) （1）求数列}{n b 的前n 项和n S ； （2）122221-++++=n b b b b T n ，求使0>n T 成立的最小值n ． 2．已知数列{ n a }、{ n b }满足：112 1 ,1,41n n n n n b a a b b a +=+==-. (1)求1,234,,b b b b ; (2)求数列{ n b }的通项公式； (3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立 3．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2,(,*)n n S ka n n k R n N =∈∈+-． （I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{21}n a n --为公比不为1的等比数列，且1>k ，求n S ． 4．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 1 1 n a -（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T 。 5，已知递增的等比数列{}n a 满足234328,2a a a a ++=+且是24,a a 的等差中项。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若n n n S a b ,12log +=是数列{}n n a b 的前n 项和，求.n S 6．已知数列{}n a 中，14a =，12(1)n n a a n +=-+，（1）求证：数列{}2n a n -为等比数列。 （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22n n S a n ≥+，求正整数列n 的最小值。 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 1 2,.n n n n n n a S a n b a a +-=+=且 （1）求证：{1}n a -为等比数列； 高三数学数列专题复习题含答案 一、选择题 1.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()'0f =（ ） A ．62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x 项均取0，则()' 0f 只与函数()f x 的一次项 有关；得：412 123818()2a a a a a a ??==L 。 2、在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 【答案】C 3、已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ?? ???? 的前5项和为 （A ） 158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15 8 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 显然q ≠1，所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q -?+?=-，所以1{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列， 前5项和5 51 1()31211612 T -= =-. 4、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 【答案】A 【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，3 7897988()a a a a a a a ===g 10,所以 13 2850a a =, 所以13 3 3 64564655 28()()(50)52a a a a a a a a a =====g 5.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ， 321 ,22 a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A.12+ B. 12- C. 322+ D 322- 6、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2 Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D 【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足。 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=L A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2n D. 2 (1)n - 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 高考数学数列专题练习 一. 选择题 1．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1,a 3,a 4成等比数列，则a 2=（ ） (A)-4 (B)-6 (C)-8 (D)-10 2．（，全国3，3）设数列{}n a 是等差数列，26,a =- 86a =，S n 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ） A.S 4＜S 5 B.S 4＝S 5 C.S 6＜S 5 D.S 6＝S 5 3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A81 B1 C168 D192 4．设Sn 是等差数列{a n }的前n 项和，若a a 35=95，则S S 5 9=( ) A 1 B －1 C 2 D 21 5．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前等于（ ） A ．160 B ．180 C ． D ．2．已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的（ ） A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．已知数列{n a }的前n 项和 ),,2,1]()2 1)(1(2[])21(2[11 =+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得（ ） A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列 B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列 C ．}{,n n n n x y x a 其中?=为等差数列，{n y }都为等比数列 D ．}{,n n n n x y x a 其中?=和{n y }都为等比数列 数列专题复习（0929） 一、证明等差等比数列 1． 等差数列的证明方法： （1）定义法：1n n a a d +-=(常数) （2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥ 2．等比数列的证明方法： （1）定义法： 1 n n a q a +=(常数) （2）等比中项法：211(2)n n n a a a n +-=≥ 例1.设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75， T n 为数列｛n S n ｝的前n 项和，求T n ． 解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则 S n =na 1＋21 n （n －1）d ．∴S 7＝7，S 15＝75，∴???=+=+,7510515,721711d a d a 即???=+=+,57,1311d a d a 解得a 1＝－2，d ＝1．∴n S n ＝a 1＋21（n －1）d ＝－2＋21 （n －1）． ∵ 2111=-++n S n S n n ，∴数列｛n S n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为2 1 ， ∴T n ＝ 41n 2－4 9n ． 例2．设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式： 3tS n －（2t +3）S n －1=3t （t >0，n =2，3，4，…） 求证：数列{a n }是等比数列； 解：（1）由a 1=S 1=1，S 2=1+a 2，得a 2=t t a a t t 323,32312+= + 又3tS n －（2t +3）S n －1=3t ① 3tS n －1－（2t +3）S n －2=3t ② ①－②得3ta n －（2t +3）a n －1=0 ∴t t a a n n 33 21+= -，（n =2，3，…） 所以{a n }是一个首项为1，公比为 t t 33 2+的等比数列. 练习：已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列； （2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项； 答案 .(2) 21 3 n n T -=,21 3 1n n a -=-; 二．通项的求法 （1）利用等差等比的通项公式 (2)累加法：1()n n a a f n +-= 例3．已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1 1 1)1(112 1+-=+=+= -+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即 )()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-=所以n a a n 1 11-=- 211=a ，n n a n 1231121-=-+=∴ （3）构造等差或等比 1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+ 例4．已知数列{}n a 满足* 111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式； 解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。 12.n n a ∴+= 即 *21().n n a n N =-∈ 专题数列知识网络 专题训练 一．选择题 1.设数列{}n a的前n项和 2 n S n =，则 8 a的值为 （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 2.设等差数列 {} n a 的前n项和为n S,若111 a=-, 46 6 a a +=-,则当 n S取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 3.如果等差数列 {} n a 中，34512 a a a ++=，那么 127 ... a a a +++= （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 4.已知等比数列{m a}中，各项都是正数，且1a，32 1 ,2 2 a a 成等差数列，则 910 78 a a a a + = + A.12 + B. 12 - C. 322 +D322 - 5.在等比数列 {} n a 中，11 a=，公比1 q≠ .若12345 m a a a a a a =，则m= （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 6.等比数列 {} n a 中，15252||1,8,, a a a a a ==->则 n a = A ．1 (2)n -- B ．1 (2)n --- C ．(2)n - D ．(2)n -- 7.设{n a }是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知24a a =1, 37 S =, 则 5S = （A ）152 (B)314 (C)33 4 (D)172 8.设 n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332 S a =-，则公比q = （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 9.（文）设{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是数列{}n a 是递增数列的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （理）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12 a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 10.已知{ n a }是首项为1的等比数列，n S 是{n a }的前n 项和，且36 9S S =。则数列 n 1a ?? ?? ??的前5项和为 （A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15 8 11.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则5 2S S = （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11- 12.设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 数列 题型一、数列的综合问题 【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且 S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3 ＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×? ?? ??－12n －1 ＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－? ????－12n ＝?????1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数， 当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1 综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. 【分析】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口. 【即时应用】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列??????????1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∴?????? ????5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ）， 解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9， ∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n . (2)不存在.理由如下： ∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12? ?? ??12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12???? ??? ????13－15＋? ????15－17＋…＋? ????12n ＋1－12n ＋3 ＝12? ?? ??13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3 (k ∈N *)， 易知数列?????? ????12k ＋3为单调递减数列， ∴23<1－2T k ≤1315，又1b k ＝13k ∈? ????0，13， 高三文科数学数列测试题 ） 1．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ） A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 2．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a 、3a 、4a 成等比数列，则2a 等于（ ） A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 3.在等差数列{}n a 中,已知1 1253,4,33,n a a a a n =+==则为( ) A.48 B.49 C.50 D.51 4．在等比数列{n a }中，2a ＝8，6a ＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.-1,a,b,c,-9成等比数列，那么（ ） A ．3,9b ac == B.3,9b ac =-= C.3,9b ac ==- D.3,9b ac =-=- 6,已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ． 7.等差数列的通项为219n a n =-,前n 项和记为n s ，求下列问题: (1)求前n 的和n s （2）当n 是什么值时, n s 有最小值，最小值是多少？ 8. 已知实数列是}{n a 等比数列,其中74561,,1,a a a a =+且成等差数列. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)数列}{n a 的前n 项和记为,n S 证明: n S ＜128,3,2,1(=n …). 9、（本小题满分14分） 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； 高三数列专题训练二 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n n c a b =?，若对任意*n N ∈，求λ的取值范围． 4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =， 24b a =，313b a =． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 数列专题复习（0929） 一、证明等差等比数列 1． 等差数列的证明方法： （1）定义法：1n n a a d +-=(常数) （2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥ 2．等比数列的证明方法： （1）定义法： 1 n n a q a +=(常数) （2）等比中项法：211(2)n n n a a a n +-=≥ 例1.设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75， T n 为数列｛ n S n ｝的前n 项和，求T n ． 解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则 S n =na 1＋21 n （n －1）d ．∴S 7＝7，S 15＝75，∴???=+=+,7510515,721711d a d a 即???=+=+,57,131 1d a d a 解得a 1＝－2，d ＝1．∴ n S n ＝a 1＋21（n －1）d ＝－2＋21 （n －1）． ∵ 2111=-++n S n S n n ，∴数列｛n S n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为21 ， ∴T n ＝ 41n 2－4 9 n ． 例2．设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式： 3tS n －（2t +3）S n －1=3t （t >0，n =2，3，4，…） 求证：数列{a n }是等比数列； 解：（1）由a 1=S 1=1，S 2=1+a 2，得a 2=t t a a t t 323,32312+= + 又3tS n －（2t +3）S n －1=3t ① 3tS n －1－（2t +3）S n －2=3t ② ①－②得3ta n －（2t +3）a n －1=0 ∴ t t a a n n 33 21+= -，（n =2，3，…） 所以{a n }是一个首项为1，公比为t t 33 2+的等比数列. 练习：已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列； （2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项； 答案 .(2) 2 1 3n n T -=,2 1 31n n a -=-; 二．通项的求法 （1）利用等差等比的通项公式 (2)累加法：1()n n a a f n +-= 例3．已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1 1 1)1(112 1+-=+=+= -+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即 )()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-=所以n a a n 1 11-=- 211=a ，n n a n 1231121-=-+=∴ （3）构造等差或等比 1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+ 例4．已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式； 解：* 121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。 12.n n a ∴+= 即 *21().n n a n N =-∈ 例5．已知数列{}n a 中，11a =,1111 ()22 n n n a a ++=+，求n a . 解：在1111 ()22 n n n a a ++= +两边乘以12+n 得：112(2)1n n n n a a ++?=?+ 令2n n n b a =?，则11n n b b +-=,解之得：111n b b n n =+-=-,所以1 22 n n n n b n a -= =. （江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题6 数列 第38练 数列 的前n 项和练习 理 训练目标 (1)求数列前n 项和的常用方法；(2)数列通项求和的综合应用． 训练题型 (1)一般数列求和；(2)数列知识的综合应用． 解题策略 数列求和的常用方法：(1)公式法；(2)分组法；(3)并项法；(4)倒序相加法； (5)裂项相消法；(6)错位相减法. 1．(2016·东营期中)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________. 2．(2017·山西晋中联考)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝321 64，则项 数n ＝________. 3．(2016·河南中原名校联考二)已知函数f (x )＝x 2 ＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，若数列{ 1 f n }的前n 项和为S n ，则S 20的值为________． 4．(2016·徐州模拟)若S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S n ＝________. 5．数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N * 都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 013 ＝ ________. 6．(2016·合肥第二次教学质量检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n ，则S n ＝________. 7．(2016·苏州模拟)设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的x ，y ∈R ，都有 f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12 ，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是 ________________． 8．(2016·宿迁模拟)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π 2 ＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝ ________. 9．(2016·云南师大附中月考)设S ＝ 1＋112＋1 2 2＋1＋122＋13 2＋ 1＋132＋1 4 2＋…＋ 1＋12 0142＋12 0152，则不大于S 的最大整数[S ]等于________． 10．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2 n －(n 2 ＋n －1)S n －(n 2 ＋n )＝0. 文科数列专题复习 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想： 常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。（a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较 等差数列 等比数列 定义 常数）为(}{1d a a P A a n n n =-??+ 常数） 为(}{1q a a P G a n n n =? ?+ 通项公 式 n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）d=dn+1a -d k n k n n q a q a a --==11 求和公 式 n d a n d d n n na a a n s n n )2(22) 1(2)(1211-+=-+=+= ??? ??≠--=--==)1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na s n n n 中项 公式 A= 2 b a + 推广：2n a =m n m n a a +-+ ab G =2。 推广：m n m n n a a a +-?=2 性质 1 若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+ 若m+n=p+q ，则q p n m a a a a =。 2 若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。 若}{n k 成等比数列 （其中N k n ∈），则}{n k a 成等比数列。 3 ．n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。 n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。 高考数列大题专题 （内部资料勿外 传） 1．已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足． （1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 4．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 5．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 6．在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n ，n≥1． （I）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=tana n?tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n． 7.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15=0． （Ⅰ）若S5=5，求S6及a1； （Ⅱ）求d的取值范围． 8．已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． 【高考专题】2018年高考数学数列专题复习100题 1.已知等差数列{a }与等比数列{b n}满足，，，且{a n}的公差比{b n}的公比 n 小1. （1）求{a n}与{b n}的通项公式； （2）设数列{c n}满足，求数列{c n}的前项和. 2.已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足 ，. （1）求数列、的通项公式； （2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由. 3.已知公差不为0的等差数列{a }的首项为，且成等比数列． n (1)求数列{a n}的通项公式； (2)对，试比较与的大小． 4.已知数列{a }的前n项和为，且. n （1）求数列{a n}的通项公式； （2）定义，其中为实数的整数部分，为的小数部分，且，记，求数列{c n}的前n项和. 5.已知数列{a }是递增的等比数列，且 n （1）求数列{a n}的通项公式； （2）设为数列{a n}的前n项和，，求数列的前n项和。 6.知数列{a }的前n项和为，且满足，数列{b n}为等差数列，且满足 n ． (I)求数列{a n}，{b n}的通项公式； (II)令，关于k的不等式的解集为M，求所有的和S． 7.设数列{a }的前n项和为S n,已知a1=1,a2=2,且a n+2=3S n- S n+1,n∈N*. n （Ⅰ）证明：a n+2=3a n （Ⅱ）求S n 8.等差数列{}中， （I）求{}的通项公式； (II)设=[]，求数列{}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2全国通用高考数学二轮专题三数列第3讲数列的综合问题练习理
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