曲线积分和格林公式学习总结

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姓名：徐艳涛 班级：电子商务1133 学号：201161102348 曲线积分和格林公式学习总结 §1对弧长的曲线积分 1．1由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分

化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量 最后举例巩固计算方法的掌握。 2、szyxfd),,(为第一类曲线积分，其中为曲线，被积函数),,(zyxf中的点),,(zyx

位于曲线上，即),,(zyx必须满足对应的方程，222dzdydxds是弧微分、弧长元素。 若是封闭曲线，则第一类曲线积分记为szyxfd),,( 3、第一类曲线积分的应用： 1）、曲线的长s=sd

2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(zyxf，),,(zyx，则其质量Mdszyxf),,(;

质心坐标为),,(zyx，其中MdszyxzfzMdszyxyfyMdszyxxfx),,(,),,(,),,(; 对x轴的转动惯量dszyxfzyIx),,()(22 4、第一类曲线积分的计算方法：

若空间曲线参数方程为：)()()(tzztyytxx，t ，则dttztytxds222)]('[)]('[)]('[，

szyxfd),,(

=))(),(),((tztytxfttztytxd)]('[)]('[)]('[222。

例1 计算dszyx)(222，其中：txcos，tysin，tz，20t 解 因为222zyx=222sincosttt=21t，dtdtttds21)(cos)sin(22, 所以dszyx)(222)382(22)1(3220dtt 例2 dsy||，其中为球面2222zyx与平面yx的交线； 解 的参数方程为tztyxsin2,cos，20t，dtdtzyxds2'''222，根据对称性得到Ldsy||=24dcos2420tt 例3 计算dszyx)(222，其中:1222zayx )0(a 解

:1sincosztaytax,20t,dttztytxds222)]('[)]('[)]('[adtdttta)cos(sin222

 dszyx)(222)1(2)1(2220aaadta



 或解：被积函数222zyx中的点),,(zyx位于曲线上，即),,(zyx必须满足对应的方程 ，所以12222azyx，dszyx)(222=dsa)1(2=)1(2)1(22aadsa

1.2 第一类曲线积分

公式：= 应用前提:

1.曲线L光滑,方程可以写成为: 2.函数在L上有定义，且连续。 公式变形：若L为平面曲线，L方程为，则公式可以写成为：

常用计算法： １．对于曲线L可以写成为参数形式的，可直接套用公式． ２．对于平面曲线，可以用公式的变形． ３．计算中，根据图形特点，直接将ds化为dx,dy或dz．

如： ,其中：ds=P(x,y,z)dx ,x 4.当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，

否则，公式中的将有无意义的点．

公式推导及证明 推导的总体思想：将曲线Ｌ先分割，再求和，最后取极限。推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数的一些极限性质． 分割：在Ｌ上插入n个分割点，令，（）； 记d＝max（），为［］上的弧长，为［］上任意一点．

求和：利用积分定义， 由弧长公式： 由中值定理： 其中是由中值定理确定的［］上的一点，；

于是： 利用,,,的连续性，有：

于是： 右端是黎曼积分和数，利用黎曼积分定义

取极限：得公式： 1.3第二类曲线积分 问题的来源：物理上，力Ｆ作用于物体上，使之沿曲线ＡＢ由Ａ运动到Ｂ，求力Ｆ所做的功Ｗ．

公式的推导 分割：将ＡＢ曲线分为小弧段，，．．．，．在每个小段上将Ｆ视为常力Ｆ．于是上作功，（其中，是线段与的夹角）

设，，是在x,y,z三轴正方向的投影． 则：

做和： 1.4两类曲线积分的联系 设曲线上以(t,x),(t,y),(t,z)表示正向切线t与三正向坐标系的夹角.于是

,,,据二类曲线计算公式:

; 由一类曲线推导得: 由曲线方程对称性的公式如下:

对于平面时,公式可化为: 平面上,设n为法方向,t为切向,则cos(t,x)=cos(n,y),cos(t,y)=-cos(n,x) 于是: 1.5对坐标的曲线积分 1）内容要点 引例：变力沿曲线所作的功 由例子引入对坐标的曲线积分的定义，给出性质然后介绍将对坐标的曲线积分化为定积分的计算方法，并强调指出两类曲线积分化为定积分的计算方法，最后举例巩固计算方法的掌握。

dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(

为第二类曲线积分，其中是一条定向曲线，

)),,(),,,(),,,((zyxRzyxQzyxPF为向量值函数，rd),,(dzdydx为定向弧长元素（有向曲线

元）

若曲线的参数方程为：)()()(tzztyytxx，则 切向量))('),('),('(tztytx，单位切向量)cos,cos,(cose 弧长元素ds=dttztytx222)(')(')(' 定向弧长元素rd),,(dzdydx=))(',)(',)('(dttzdttydttxdttztytx))('),('),('(

dstztytxtztztytxtytztytxtx))(')(')(')(,)(')(')(')(',)(')(')(')('(222222222 =dseds)cos,cos,(cos dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(

=Frd=Fdse

=dszyxRzyxQzyxP]cos),,(cos),,(cos),,([=dstztytxtzzyxRtyzyxQtxzyxP222)(')(')(')(),,()(),,()(),,( 上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分。 例1 把第二类曲线积分dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(化成第一类曲线积分，其

中为从点)0,0,0(到点)1,22,22(的直线段。 解 方向向量)1,22,22(，其方向余弦22cos,21cos,21cos， 原式=dszyxRzyxQzyxP]cos),,(cos),,(cos),,([=dszyxRzyxQzyxP2),,(2),,(),,( 例2.把第二类曲线积分LdyyxQdxyxP),(),(化成第一类曲线积分，其中L为 从点)0,0(沿上半圆周xyx222到点)1,1(

解 L的参数方程为10:22xxxyxx，切向量)','(yx)21,1(2xxx 其方向余弦22cosxx，x1cos， LdyyxQdxyxP),(),(=dsyxQyxPL]cos),(cos),([

=dsyxQxyxPxxL)],()1(),(2[2。

2）第二类曲线积分的应用： 若一质点从点A沿光滑曲线（或分断光滑曲线）移动到点B，在移动过程中，这质点受到力kzyxRjzyxQizyxPF),,(),,(),,(，则该力所作的功

W=Frd=dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,( 3）第二类曲线积分的计算方法： 1、若空间定向曲线的参数方程battzztyytxx:)()()(，则

dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(

=badttztztytxRtytztytxQtxtztytxP)]('))(),(),(()('))(),(),(()('))(),(),(([

2、若平面定向曲线L的参数方程：battyytxx:)()(，则 LdyyxQdxyxP),(),(

=badttytytxQtxtytxP)]('))(),(()('))(),(([

例1 计算ydzzdydxx2，其中为曲线sin,cos,azaykx上从0到

的一段弧。

解 ydzzdydxx2=daak]cossin[0222223=2333ak。 例2 计算曲线积分czyxyzxxyzd)(d)(d)(，其中C是曲线







2122zyxyx

从z轴正向看去，C取顺时针方向

分析 先写出曲线C的参数方程，可令cosx，siny，则sincos2z，为参数，由题设，C的起点、终点对应的参数值分别为2和0；在代入计算公式。 解 曲线C的参数方程为 cosx，siny，sincos2z，02:，于

是 原式02cos)sin2cos2()sin)(cos2[(d)]sin)(cossin(cos

20d)12cos2cos2sin2(202d0

．

.

§2格林公式

2.1格林(Green)公式是指出了沿闭曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系.下面我们来规定L的正向:设区域D是由一条或几条光滑曲线所围成.边界曲线L的正向规定为:当人沿着L行走时,区域D总在他的左边.若与L的正向相反,就称为负方向.记作–L.

定理1 设闭区域D由分段光滑的闭曲线L围成,函数),(yxP,),(yxQ在D上具有一阶连续偏导数,则

LQdyPdx=DdxdyyPxQ (1)

其中左端的闭曲线积分是沿边界曲线L的正方向.公式(1)称为格林公式. 证:(i)首先我们证明一个特殊情况:D既可表示为X-型区域,也可表示为Y-型区域.由D可表示为X型区域,不妨设

D={(x,y) : a≤x≤b, )(1x≤y≤)(2x} (如图)