高中数学知识点精讲精析 存在量词与特称命题
3.2 存在量词与特称命题
1．“存在一个”、“至少有一个”等词在逻辑中被称为存在量词，记作“?”，含有存在量词的命题叫做特称命题。
2．M 中至少存在一个x ，使p(x)成立，记作"?"x ∈M ，p(x)。
3．常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等。
特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”。简记为：x M ?∈，()p x
读作：存在一个x 属于M ，使()p x 成立。
1．下列特称命题中假命题．．．
的个数是（ ） ①0,≤∈?x R x ；
②有的菱形是正方形；
③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．
（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3
【解析】A
2．用符号“?”与“?”表示含有量词的命题“p ：已知二次函数)1()1()(2+++=x b x a x f ，则存在实数b a ,，使不等式)1(21)(2+≤
≤x x f x 对任意实数x 恒成立”． 【解析】
已知二次函数)1()1()(2+++=x b x a x f ，则R b a ∈?,，使得对R x ∈?，)1(21)(2+≤≤x x f x ． 设计意图：能够正确表述一些一些含有量词的数学命题，
高中数学知识点精讲精析 不等关系
13.1 不等关系 （一）不等关系与不等式 1. 用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式。 2. 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。 3. 对于任意两个实数a 和b ，在三种关系中有且只有一种关系成立。 4. 这组关系告诉我们比较两个实数的大小，可以通过判断它们的差 的符号来确定。 5. 若a 、b ∈R ＋，则 这组关系告诉我们比较两个正实数的大小，可以通 过判断它们的商与“1”的大小关系来确定。 （二）不等式的性质 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础，证明这些性质必须是严格的，不能盲目地乱用。保证每一步推理都有理论根据，否则可能导致推理错误。 1. 等式两边同乘以同一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数a （或代数式），结果有三种： （1）当a ＞0时，得同向不等式。 （2）当a ＝0时，得等式。 （3）当 a ＜0时，得异向不等式。 a b,a b,a b =><
2. 不等式性质，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减。若 或.这个结论常用，不妨记为：“大数减小数大于 小数减大数。” 3. 不等式性质，有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除。若 ，这个结论也常用。不妨记为：“大正数除以小正 数大于小正数除以大正数。” 4. 不等式性质有 .不能忽略a 、b 均为正数 这个条件，即由 是不一定成立的。 5. 由 成立。但不一定成立。反过来也不一定成立。事实上。 （三）均值不等式 1. 对于任意实数a ，b 都有 ，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 2. 对于任意正实数a ，b ，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 3. 对于任意正实数a, b 都有 ，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 4. 的几何解释：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE 是过C 点垂直于AB 的弦。若AC ＝a, BC ＝b 则AB ＝a ＋ b ，⊙O 的半径 ， Rt △ACD ∽Rt △BCD ，,。 a b,c d a c b d >>?->- c b d a ->-a a b 0,c d 0d >>>>? >b c d c b a > 或n n a b 0a b (n N,n 1)>>?>∈>n n a b a b (n N,n 1)>?>∈>11a b 0a b >>? <11a b a b >?<11a b a b 11 a b ab 0a b >>? < 且22a b 2ab +≥a b 2+2 a b ab 2+??≤ ? ??a b 2+a b r 2+= 2 CD AC CB ab =?=CD =
高中数学选修2-1 1.4全称量词与存在量词
组长评价： 教师评价： §1.4全称量词与存在量词 编者：史亚军 学习目标 1. 认识常见的全称量词和存在量词；并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性；掌握含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 2. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3. 激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养积极进取的精神． 重点：理解全称量词与存在量词的意义． 难点：全称命题和特称命题真假的判定和含一个量词的否定． 学习过程 使用说明： （1）预习教材P 2 ~ P 8，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法； （2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容； （3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。 预习案（20分钟） 一．知识链接 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）是整数； （2）； （3）如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （5）任丘一中今年所有高中一年级的学生数学课本都是人民教育出版社A 版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的； （8）对任意一个是整数。 二．新知导学 问题1：什么是全称量词？什么是存在量词？它们如何表示？ 问题2：我们如何对含有全称量词和存在量词的命题进行否定呢？它们的否定形式有何规律？ 问题3：请把下列日常用语，哪些表示全称量词，哪些表示存在量词？ “凡”、“所有”、“有一个”、“一切”、 “ 至多有一个”、“任意一个”、“存在一个”、“有些”、“至少有一个”。 其中： 全称量词的有： 存在量词的有： 问题4：辨别下列命题格式？并给出相应的否定形式？ （1） （2） 探究案（30分钟） 三．新知探究 【知识点一】含有全称量词和存在量词的命题结构与否定 例1：用符号“”与“”表示下列含有量词的命题？并给出相应的否定形式？
高中数学知识点精讲极限和导数
第十二章 极限和导数 第十四章 极限与导数 一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞ →+∞ →， 另外)(lim 0 x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。类似地)(lim 0 x f x x -→表示x 小 于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。 2 极限的四则运算：如果0 lim x x →f(x)=a, 0 lim x x →g(x)=b ，那么0 lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0 lim x x →).0()()(≠=b b a x g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0 lim x x →f(x)存在，并且0 lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因
变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若x y x ??→?0lim 存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限 值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或 x dx dy ，即 00) ()(lim )('0 x x x f x f x f x x --=→。由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。若f(x)在 区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。 6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1 )'(-=a a ax x （a 为任意常数）；（3） ;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）)'(log x a x x a log 1 = ；（8）.1)'(ln x x = 7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则 （1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）)(')]'([x u c x cu ?=（c 为常数）；（4）)()(']')(1[ 2x u x u x u -=；（5）) () ()(')(')(]')()([2 x u x v x u x v x u x u x u -=。 8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=?(x)，已知?(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=?(x))处可导，则复合函数y=f[?(x)]在点x 处可导，且（f[?(x)])'=)(')](['x x f ??. 9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)(' 高中数学-全称量词、存在量词练习 【选题明细表】 知识点、方法题号 全称命题与特称命题的判定1,2 全称命题与特称命题的符号表示7,8 全称命题与特称命题的真假判断3,4,8,9 由全称命题与特称命题的真假求参数(或范围) 5,6 综合应用10,11,12,13 【基础巩固】 1.下列命题中,不是全称命题的是( D ) (A)任何一个实数乘以0都等于0 (B)自然数都是正整数 (C)每一个向量都有大小 (D)一定存在没有最大值的二次函数 解析:D选项是特称命题.故选D. 2.下列命题中全称命题的个数为( C ) ①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等. (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个 解析:①②是全称命题,③是特称命题.故选C. 3.(2017·河南许昌高二期末)下列命题中,真命题是( D ) (A)?x0∈R,使 (A)(0,1) (B)(,+∞) (C)(0,) (D)(-∞,) 解析:由题意,得-x2+2ax<3x+a2, 即x2+(3-2a)x+a2>0恒成立, 所以Δ=(3-2a)2-4a2<0, 解得a>. 故选B. 6.(2018·肥城统考)已知命题p:?x∈R,mx2+1≤0,命题q:?x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是( C ) (A)(-∞,-2) (B)[-2,0) (C)(-2,0) (D)(0,2) 解析:p真:m<0. q真:Δ=m2-4<0, 所以-2 1．4全称量词与存在量词 1.4.1全称量词1.4.2存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标 （1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词． （2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题 及 判断其命题的真假性． 2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3.情感态度价值观 通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育． (二)教学重点与难点 重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定. 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神． （三）教学过程 学生探究过程：1．思考、分析 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）2x＋１是整数； (2) x＞３； (3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的x∈Ｒ, x＞３； （8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。 1．推理、判断 （让学生自己表述） （1）、（2）不能判断真假，不是命题。 （3）、(4)是命题且是真命题。 （5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。 注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。 （5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假； 命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人． §3全称量词与存在量词 3.1全称量词与全称命题 3.2存在量词与特称命题 课时目标 1.理解全称量词和存在量词的意义.2.掌握全称命题和特称命题的定义，能判定全称命题和特称命题的真假． 1．全称量词与全称命题 短语“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”等都是在指定范围内，表示________或________的含义，这样的词叫作全称量词，含有____________的命题，叫作全称命题． 2．存在量词与特称命题 短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示________或_____的含义，这样的词叫作存在量词，含有______________的命题叫作特称命题． 一、选择题 1．下列语句不是全称命题的是() A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高二(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个向量都有大小 2．下列命题是特称命题的是() A．偶函数的图象关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于3 3．下列命题不是“存在x0∈R，使x20>3”成立的表述方法的是() A．有一个x0∈R，使x20>3 B．有些x0∈R，使x20>3 C．任选一个x∈R，使x2>3 D．至少有一个x0∈R，使x20>3 4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是() A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x0，使x20>0 C．任一无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数x0，使1 x0>2 5．下列命题中全称命题的个数是() ①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列； ④三角形的内角和是180°. A．0 B．1 C．2 D．3 6．给出下列命题： ①存在实数x>1，使x2>1； ②全等的三角形必相似； ③有些相似三角形全等； 高中数学高考总复习命题量词逻辑连接词习题及详解 一、选择题 1．(2010·广东惠州一中)如果命题“綈(p ∨q )”是真命题，则正确的是( ) A ．p 、q 均为真命题 B ．p 、q 中至少有一个为真命题 C ．p 、q 均为假命题 D ．p 、q 中至多有一个为真命题 [答案] C [解析] ∵命题“綈(p ∨q )”为真命题， ∴命题“p ∨q ”为假命题， ∴命题p 和命题q 都为假命题． 2．(2010·胶州三中)命题：“若x 2<1，则－1 3 数学符号 1．数学符号的来历 例如加号曾经有好几种，现在通用“＋”号。 “＋”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“plu”（加的意思）的第一个字母表示加，草为“μ”最后都变成了“＋”号。 “－”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了“－”了。 也有人说，卖酒的商人用“－”表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“－”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“＋”号。 到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：“＋”用作加号，“－”用作减号。 乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是“·”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为：“×”号象拉丁字母“X”，加以反对，而赞成用“·”号。他自己还提出用“п”表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。 到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号。他认为“×”是“＋”斜起来写，是另一种表示增加的符号。 “÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“－”（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将“÷”作为除号。 平方根号曾经用拉丁文“Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用“√”表示根号。“√”是由拉丁字线“r”变，“——”是括线。 十六世纪法国数学家维叶特用“＝”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号“＝”就从1540年开始使用起来。 1591年，法国数学家韦达在菱形中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。十 高中数学全称存在量词命题练习及答案 1．命题“0x R ?∈，00 1 2x x + ≥”的否定形式是（ ）. A ．x R ?∈，1 2x x +> B ．x R ?∈，1 2x x + < C ．x R ?∈，1 2x x +> D ．x R ?∈，1 2x x +< 2.命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A.存在x 0∈R ，使得＜0 B.对任意x ∈R ，都有x 2 ＜0 C.存在x 0∈R ，使得≥0 D.不存在x ∈R ，使得x 2＜0 3.命题：“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是（ ） A.对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根 B.对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有负实根 C.存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有负实根 D.存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根 4.命题“?x ∈R ，?n ∈N * ，使得n ≥x 2 ”的否定形式是（ ） A.?x ∈R ，?n ∈N *，使得n ＜x 2 B.?x ∈R ，?n ∈N *，使得n ＜x 2 C.?x ∈R ，?n ∈N *，使得n ＜x 2 D.?x ∈R ，?n ∈N *，使得n ＜x 2 5.写出下列全称命题的否定： （1）p ：所有能被3整除的整数都是奇数； （2）p ：每一个四边形的四个顶点共圆； （3）p ：对任意x ∈Z ，x 2的个位数字不等于3. 6．将下列命题用“?”或“?”表示． （1）实数的平方是非负数； （2）方程()2 2100ax x a ++=<至少存在一个负根. 7.命题p ：?m 0∈R ，使方程x 2＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“p ”形式的命题是（ ） A.?m 0∈R ，使得方程x 2＋m 0x ＋1＝0无实根 B.对?m ∈R ，方程x 2 ＋mx ＋1＝0无实根 C.对?m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 D.至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 8.命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是（ ） A.对任意实数x ，都有x ＞1 B.不存在实数x ，使x ≤1 C.对任意实数x ，都有x ≤1 D.存在实数x ，使x ≤1 9.若命题p ：?x 0∈[－3,3]，＋2x 0＋1≤0，则对命题p 的否定是（ ） A.?x ∈[－3,3]，x 2＋2x ＋1＞0 B.?x ∈（－∞，－3）∪（3，＋∞），x 2＋2x ＋1＞0 C.?x ∈（－∞，－3）∪（3，＋∞），＋2x 0＋1≤0 D.?x 0∈[－3,3]，＋2x 0＋1＜0 10.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 11.下列命题正确的是（ ） A ．4 ,1x x ?∈≥Z B ．2 00,3x x ?∈=Q C ．2,210x x x ?∈-->R D ．00,0x x ?∈≤N 12.已知下列命题： 全称命题与特称命题 课前预习学案 一、预习目标 理解全称量词与存在量词的意义, 并判断全称命题和特称命题的真假 全称命题与特称命题是两类特殊的命题, 也是两类新型命题, 这两类命题的否定又是这两类命题中的重要概念, 二、预习内容 1.全称量词和全称命题的概念： 概念： 短语————, ——————在逻辑中通常叫做全称量词, 用符号————表示。 含有全称量词的命题, 叫做——————。 例如： ⑴对任意n ∈N , 21n +是奇数； ⑵所有的正方形都是矩形。 常见的全称量词还有： “一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等 通常, 将含有变量x 的语句用()p x 、()q x 、()r x 表示, 变量x 的取值范围用M 表示。 全称命题“对M 中任意一个x, 有()p x 成立”。简记为：x M ?∈, ()p x 读作：任意x 属于M, 有()p x 成立。 2．存在量词和特称命题的概念 概念： 短语————, ——————在逻辑中通常叫做存在量词, 用符号——表示。 含有存在量词的命题, 叫做————（————命题）。 例如： ⑴有一个素数不是奇数； ⑵有的平行四边形是菱形。 特称命题“存在M 中的一个x, 使()p x 成立”。简记为：x M ?∈, ()p x 读作：存在一个x 属于M, 使()p x 成立。 3．如果含有一个量词的命题的形式是全称命题, 那么它的否定是————；反之, 如果含有一个量词的命题的形式是存在性命题, 那么它的否定是————。书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词, 从对量词的否定入手, 书写命题的否定 三、提出疑惑 同学们, 通过你的自主学习, 你还有哪些疑惑, 请把它填在下面的表 2.3独立性 1．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件。 独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的。 2．公式 (1)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A·B ）=P （A ）·P （B ）； 推广：若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P(A 1·A 2…A n )=P(A 1)·P(A 2)·…·P(n )。 (2)如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：P n (k)=C P k (1－P)n-k 。 1． 设有一个均匀的正四面体，第一，二，三面分别涂上红，黄，兰一种颜色，第四面涂上红，黄，兰三种颜色。现以A,B,C 分别记投一次四面体底面出现红，黄，兰颜色的事件，问A ，B ，C 事件相互独立吗？ 【解析】 所以A,B,C 两两独立，但 因而A,B,C 不相互独立。 2． 设有四张形状，大小，质量完全一样的卡片，上面分别标有数字112，121，211，222，现从四张卡片中任抽一张，以随机变量X,Y ,Z 分别表示抽到卡片上的第一，二，三位数字，问X ，Y ，Z 事件相互独立吗？ 【解析】 k n 41)()()(,21)()()(==== ==BC P AC P AB P C P B P A P )()()(8141)(C P B P A P ABC P =≠= 所以X,Y ,Z 两两独立，但 因而X,Y ,Z 不相互独立。 41 )1,1()1,1()1,1(2 1 )1()1()1(= ==============Z Y P Z X P Y X P Z P Y P X P )1()1()1(810)1,1,1(====≠====Z P Y P X P Z Y X P 1.4.1全称量词与存在量词（一）量词 教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。 教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别； 教学难点：正确使用全称命题、存在性命题； 课型：新授课 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境 在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。 问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词 ①一纸；②一牛；③一狗；④一马；⑤一人家；⑥一小船 ①张②头③条④匹⑤户⑥叶 什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。 二、活动尝试 所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。 问题2：下列命题中含有哪些量词？ （1）对所有的实数x，都有x2≥0； （2）存在实数x，满足x2≥0； （3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立； （4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立； （5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得s = n × n； （6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有s = n × n； 上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。 三、师生探究 命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。 全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。” 存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。” 含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。 单称命题：其公式为“（这个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。 全称命题：其公式为“所有S是P”。例句：“所有产品都是一等品”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有 §3 全称量词与存在量词 3.1 全称量词与全称命题 3.2 存在量词与特称命题 课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义. 2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假． 1．全称量词与全称命题 命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语，都是在指定范围内，表示______________的含义，这样的词叫作全称量词，含有______________的命题，叫作全称命题． 2．存在量词与特称命题 命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语，都是表示________的含义，这样的词叫作存在量词．含有____________的命题叫作特称命题． 一、选择题 1．下列语句不是全称命题的是( ) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高二(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个向量都有大小 2．下列命题是特称命题的是( ) A．偶函数的图像关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于3 3．下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．任意x ∈R ，x 2 >0 B ．任意x ∈Q ，x 2 ∈Q C ．存在x 0∈Z ，x 2 0>1 D ．任意x ，y ∈R ，x 2＋y 2 >0 4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( ) A ．斜三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x 0，使x 2 0>0 C ．任一无理数的平方必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1 x 0 >2 5．下列全称命题中假命题的个数是( ) ①2x ＋1是整数(x ∈R )； ②对所有的x ∈R ，x >3； ③对任意一个x ∈Z,2x 2 ＋1为奇数 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．下列命题中，真命题是( ) A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2 ＋mx (x ∈R )是偶函数 B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2 ＋mx (x ∈R )是奇函数 C ．任意m ∈R ，使函数f (x )＝x 2 ＋mx (x ∈R )都是偶函数 D ．任意m ∈R 2 二、填空题 7．下列特称命题中是真命题的有________．(填序号) ①存在x ∈R ，x 2 ＝0； ②有的菱形是正方形； ③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数． 8．不等式(a －2)x 2 ＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________． 9．下列命题中，真命题有__________．(填序号) ①不存在实数x ，使x 2 ＋x ＋1<0； ②对任意实数x ，均有x ＋1>x ； ③方程x 2 －2x ＋3＝0有两个不等的实根； ④不等式x 2－x ＋1 |x |＋1 <0的解集为?. 三、解答题 10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假． (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0. (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1 3.4对数 3·4·1 对数及其运算 1.对数及其运算： ①对数：一般地，如果的b 次幂等于N ，即，那么数b 就叫作以a 为底的N 的对数，记作： 其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数. 通常将以10为底的对数称为常用对数，N 的常用对数记作：lgN ； 将以自然常数e=2.71828…… 为底的对数称为自然对数，N 的自然对数记作：lnN. ②对数的运算性质： 如果则 1） ； 2） ； 3） 2 3. 重要公式： ⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，1log =a a ⑶对数恒等式N a N a =log 例1 计算 （1）5log 25， （2）4.0log 1， （3）2log （74×5 2）， （4）lg 5100 解：（1）5log 25= 5log 25（2）4.0log （3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 5 2 (0,1)a a a >≠N a b =b N log a =0,1,0,0,a a N M >≠>>()log log log a a a MN M N =+)(log log R n M n M a n a ∈?=log log log a a a M M N N ?? =- ??? = 2log 7 22 ?+ 2log 5 2 = 2× （4）lg 5100= 5 2lg1052log10512==例2 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式： 3 2log )2(; (1)log z y x z xy a a 解：（1）z xy a log =a log （xy ）-a log z=a log x+a log y- a log z （2）3 2log z y x a =a log （2 x 3log )z y a - = a log 2 x +a log 3log z y a -=2a log x+z y a a log 3 1log 2 1-例4计算： (1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3)2 .1lg 10 lg 38lg 27lg -+ 说明：此例题可讲练结合. (1)解法一：lg14-2lg 3 7 +lg7-lg18 =lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(2 3×2) 解法二： lg14-2lg 37+lg7-lg18=lg14-lg 2 )3 7(+lg7-lg18 =lg 01lg 18)3 7(7 142 ==??评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视. 253lg 23lg 53 lg 3lg 9lg 243lg )2(2 5===10 23lg ) 10lg(32lg )3lg(2.1lg 10lg 38lg 27lg ) 3(2 2 13 2 13 ?=+= -+2 3 12lg 23lg ) 12lg 23(lg 23 =-+-+= 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ?基础知识 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”“或”“非”?叫做逻辑联结词． ①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q； ②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q； ③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.? ?“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”. ?“命题的否定”与“否命题”的区别 (1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论． (2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系． (2)命题真值表： 命题真假的判断口诀 p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反. 2．全称量词与存在量词 3. 4．全称命题与特称命题的否定 ?常用结论 含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)p∨q真?p，q至少一个真?(非p)∧(非q)假． (2)p∨q假?p，q均假?(非p)∧(非q)真． (3)p∧q真?p，q均真?(非p)∨(非q)假． (4)p∧q假?p，q至少一个假?(非p)∨(非q)真． 考点一判断含有逻辑联结词命题的真假 [典例] (1)(2017·山东高考)已知命题p：?x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是() A．p∧q B．p∧非q C．非p∧q D．非p∧非q (2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：?x0∈(0，＋∞)，x0＋1 x0>3；命题q：?x∈(2，＋∞)，x 2>2x，则下列 命题为真的是() A．p∧(非q) B．(非p)∧q C．p∧q D．(非p)∨q [解析](1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题． (2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1 x0＝17 4>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，2 4＝42＝16， 即?x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(非q)为真命题，故选A. §3全称量词与存在量词 3.1 全称量词与全称命题 3.2 存在量词与特称命题 课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假． 1．全称量词与全称命题 命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语，都是在指定范围内，表示______________的含义，这样的词叫作全称量词，含有______________的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题 命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语，都是表示________的含义，这样的词叫作存在量词．含有____________的命题叫作特称命题． 一、选择题 1．下列语句不是全称命题的是( ) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高二(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个向量都有大小 2．下列命题是特称命题的是( ) A．偶函数的图像关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于3 3．下列是全称命题且是真命题的是( ) A．任意x∈R，x2>0 B．任意x∈Q，x2∈Q C．存在x0∈Z，x20>1 D．任意x，y∈R，x2＋y2>0 4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( ) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x0，使x20>0 C．任一无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数x0，使1 x0 >2 5．下列全称命题中假命题的个数是( ) ①2x＋1是整数(x∈R)； ②对所有的x∈R，x>3； ③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数 A．0 B．1 C．2 D．3 6．下列命题中，真命题是( ) A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．任意m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 1.4.2全称量词与存在量词（二）量词否定 教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用. 教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化； 教学难点：隐蔽性否定命题的确定； 课 型：新授课 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境 数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ?”与“?”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。 二、活动尝试 问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。 （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）?x ∈R ，x 2-2x+1≥0 分析：（1）?∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；?∈?x M,p(x) （2）?∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；?∈?x M,p(x) （3）?∈x M,p(x)，否定：?x ∈R ，x 2-2x+1<0；?∈?x M,p(x) 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？ 结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究? 问题2：写出命题的否定 （1）p ：? x ∈R ，x 2＋2x +2≤0； （2）p ：有的三角形是等边三角形； （3）p ：有些函数没有反函数； （4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分； 分析：（1）? x ∈R ，x 2＋2x+2>0； （2）任何三角形都不是等边三角形； （3）任何函数都有反函数； （4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分； 从集合的运算观点剖析：()U U U A B A B =I U 痧?,()U U U A B A B =U I 痧? 四、数学理论 1.全称命题、存在性命题的否定 一般地，全称命题P ：? x ∈M,有P （x ）成立；其否定命题┓P 为：?x ∈M,使P （x ）不成立。存在性命题P ：?x ∈M ，使P （x ）成立；其否定命题┓P 为：? x ∈M,有P （x ）不成立。 用符号语言表示： P:?∈M, p(x ）否定为? P: ?∈M, ? P （x ） P:?∈M, p(x ）否定为? P: ?∈M, ? P （x ）高中数学-全称量词、存在量词练习
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