【数学】北京市西城区2018-2019学年高一下学期期末考试试卷(解析版)
北京市西城区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试卷A 卷[立体几何初步与解析几何初步]一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.已知点(1,2)P ，(3,0)Q ，则线段PQ 的中点为（ ）A. (4,2)B.(2,1)C. (2,4)D. (1,2)【答案】B【解析】因为点(1,2)P ，(3,0)Q ，所以PQ 的中点的横坐标为1322+=，纵坐标为2012+=，所以线段PQ 的中点为(2,1)，故本题选B.2.直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，则直线l 的斜率是（ ）A. 2B. 2-C. 12D.12-【答案】A【解析】因为直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，所以直线l 的斜率为1(1)210--=-，故本题选A.3.下列直线中，与直线320x y +-=平行的是（ ） A. 30x y -=B. 30x y -=C. 30x y +=D.30x y +=【答案】C【解析】直线320x y +-=的斜率为3-，在纵轴上的截距为2. 选项A:直线30x y -=的斜率为3，显然不与直线320x y +-=平行；选项B:直线30x y -=的斜率为13，显然不与直线320x y +-=平行；选项C:直线30x y +=的斜率为3-，在纵轴上的截距为0，故与与直线320x y +-=平行；选项D:直线30x y +=的斜率为13-，显然不与直线320x y +-=平行，故本题选C.4.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 其中正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④【答案】D【解析】命题①: 平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交、异面，显然命题①是假命题；命题②：垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以垂直，显然命题②是假命题； 命题③：这是平行公理显然命题③是真命题；命题④：根据平行线的性质和线面垂直的性质，可以知道这个真命题，故本题选D.5.圆226160x x y -+-=的周长是（ ） A. 25πB. 10πC. 8πD. 5π【答案】B【解析】22226160(3)25x x y x y -+-=⇒-+=，所以圆的半径为5，因此圆的周长为10π，故本题选B.6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111A B BB CC C D ，，，的中点，则必有（ ）A. 1BD GH PB. BD EF PC. 平面EFGH P 平面ABCDD. 平面EFGH P 平面11A BCD【答案】D【解析】选项A:由中位线定理可知：1GH D CP ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1EF A BP ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的； 选项C: 由中位线定理可知：1EF A BP ，而直线1A B与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的； 选项D:由三角形中位线定理可知：111,EF A B EH A D P P ，所以有EF P 平面11A BCD ，EH P平面11A BCD 而EF EH E =I ，因此平面//EFGH 平面11A BCD ，故本题选D.7.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是( )A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱【答案】B【解析】由三视图可知，剩余几何体是如图所示的四棱柱11ABEA DCFD -，则截去的部分是三棱柱11BB E CC F-，故选B.8.已知点(0,1)A ,点B 在直线10x y ++=上运动．当||AB 最小时，点B 的坐标是（ ）A. (1,1)-B. (1,0)-C. (0,1)-D. (2,1)-【答案】B【解析】因为点B 在直线10x y ++=上运动，所以设点B 的坐标为(,1)x x --，由两点间距离公式可知：AB ==1x =-时, ||AB ，此时点B 的坐标是(1,0)-，故本题选B.9.已知圆1O 的方程为224x y +=，圆2O 的方程为22()(1)1x a y -+-=，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ） A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切【答案】C 【解析】因为圆1O 的方程为224x y +=，所以圆1O 的圆心坐标为(0,0)，半径为2，又因为圆2O 的方程为22()(1)1x a y -+-=，所以圆2O 的圆心坐标为(,1)a ，半径为1，因此有121O O =≥，两圆的半径和为3，半径差的绝对值为1，故两圆的圆心距不可能小于两圆的半径差的绝对值，不可能是内含关系，故本题选C.10.如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BE x AB =，则（ ）A. 函数()y f x =值域为(0,4]B. 函数()y f x =的最大值为8C. 函数()y f x =在2(0,)3上单调递减D. 函数()y f x =满足()(1)f x f x =-【答案】D【解析】由题可得，////EF AC HG AC ，，所以//EF HG ．同理////EH BD GF BD ，，所以//EH GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又AC BD ⊥，所以EF EH ⊥，所以平行四边形EFGH 为矩形．因为//EF AC ，所以EF BFxAC AB ==，所以4EF x =,因为//EH BD ，所以1AE EHx AB BD ==-，所以()61-EH x =．所以矩形EFGH 的面积()()24101y x x x =-<<．函数()y f x =图象关于12x =对称，在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，可求得()max 162f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以值域是(]0,6. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11.直线1y =+的倾斜角的大小是______． 【答案】π3（或60o ）【解析】πtan [0,π)3θθθ=∈∴=. 12.对于任意实数k ，直线1y kx =+经过的定点坐标为______． 【答案】(0,1)【解析】对于任意实数k ，直线1y kx =+在纵轴上的截距圴为1，因此直线1y kx =+经过的定点坐标为(0,1).13.圆柱的高是2，底面圆的半径是1，则圆柱的侧面积是______． 【答案】4π【解析】因为圆柱的侧面积公式为:2πS rl =，（其中,r l 分别是圆柱底面的半径和圆柱的母线），因为圆柱的高是2，所以圆柱的母线也是2，因此圆柱的侧面积为2π4πS rl ==. 14.圆心为(1,0)，且与直线0x y -=相切的圆的方程是______． 【答案】221(1)2x y -+=【解析】圆心(1,0)到直线0x y -=2=，而直线0x y -=是圆的切线，所以圆的半径为2，因此圆的方程为221(1)2x y -+=. 15.设三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且1PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积是______．【答案】16【解析】由题意可知:,,PA PB PB PC PA PC ⊥⊥⊥，因为PB PC P ⋂=,,PB PC ⊂平面PBC ,所以有PA ⊥平面PBC ,所以三棱锥P ABC -的体积是-P ABC A PBC V V -==11113326BPC S AP PB PC PA ∆⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=.16.已知点(1,0)M -,(1,0)N ．若直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是______．【答案】[【解析】设直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，点P 的坐标为(,)x m x -，则(1,),(1,)MP x m x NP x m x =+-=--u u u r u u u r ，因为PM PN ⊥，所以MP NP ⊥u u u r u u u r ，由平面向量数量积的坐标表示公式可得，(1)(1)()()0x x m x m x +-+--=，222210x mx m ⇒-+-=，由题意可知该方程有实根，即22(2)8(1)0m m ∆=---≥，解得m ≤≤三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =．D ，E 分别是BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE P 平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ；（Ⅲ）在图中作出点P 在底面ABC 的正投影，并说明理由． （Ⅰ）证明：因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点，所以DE PC P ． 因为DE ⊄平面PAC ，所以DE P 平面PAC ．（Ⅱ）证明：因为PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点，所以PD BC ⊥，AD BC ⊥．所以BC ⊥平面PAD ．所以平面ABC ⊥平面PAD ． （Ⅲ）解：在△PAD 中，过P 作PO AD ⊥于O ，则点O 为点P 在底面ABC 的正投影．理由如下：由（Ⅱ）知平面ABC ⊥平面PAD ，且平面ABC I 平面PAD AD =， 又PO ⊂平面PAD ，PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABC ， 即点O 为点P 在底面ABC 的正投影．18.已知圆心为(43)C ，的圆经过原点O ． （Ⅰ）求圆C 的方程； （Ⅱ）设直线34150x y -+=与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积．（Ⅰ）解：圆C 的半径为||5OC ==，从而圆C 的方程为22(4)(3)25x y -+-=． （Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ．在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得||3CD ==，所以||4AD ==．所以||2||8AB AD ==．所以△ABC 的面积1||||122S AB CD ==．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．（Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：PB PD =；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ），使得BM ∥平面PAD ？说明理由． （Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．因为AC PD ⊥，BD PD D =I ，,BD PD ⊂平面PBD ， 所以AC ⊥平面PBD ． （Ⅱ）证明：连接PO ．由（Ⅰ）可知AC BD ⊥．因为平面PAC ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC ． 因为PO ⊂平面PAC ，所以BD PO ⊥．因为底面ABCD 是菱形，所以BO DO =．所以PB PD =． （Ⅲ）解：不存在，证明如下．假设存在点M （异于点C ），使得BM P 平面PAD ．因为菱形ABCD 中，BC AD P ，且BC ⊄平面PAD ，所以BC P 平面PAD ． 又因为BM ⊂平面PBC ，所以平面PBC P 平面PAD ．这显然矛盾！ 从而，棱PC 上不存在点M ，使得BM ∥平面PAD ．B 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 20.某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________. 【答案】分层抽样【解析】由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样.21.从某校3000名学生中随机抽取若干学生，获得了他们一天课外阅读时间（单位：分钟）的数据，整理得到频率分布直方图如下．则估计该校学生中每天阅读时间在[70,80)的学生人数为_____．【答案】900【解析】因为在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，所以有下列等式成立：(0.0050.0350.0200.010)1010.03a a ++++⨯=⇒=，在[70,80)这个组内，频率与组距之比的值为0.03，所以频率为0.03100.3⨯=，因此3000名学生每天阅读时间在[70,80)的学生人数为0.33000=900⨯.22.设正方形ABCD 的边长是2，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点A 的距离大于2的概率是_____． 【答案】4π4- 【解析】正方形ABCD 的面积为224⨯=，如下图所示：阴影部分的面积为:21π2π4⋅⋅=，在正方形内，阴影外面部分的面积为4π-，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点A 的距离大于2的概率是4π4-.23.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_____．【答案】38【解析】写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为4416⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为：(2,1),(3,1),(3,2)(4,1)(4,2),(4,3)，共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为63168=. 24.在△ABC 中，2a =，c =sin cos 0A A +=，则角B 的大小为_____． 【答案】π12【解析】因为角A 是三角形的内角，所以(0,π)A ∈，又因为sin cos 0A A +=，所以有tan 1A =-，所以3π4A =，由正弦定理可知：1sin sin sin sin 2a c C A C C=⇒=⇒=，因为3π4A =，所以π(0,)4C ∈，因此π6C =， 由三角形内角和定理可知：ππ12B A C =--=. 二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25.为缓解交通运行压力，某市公交系统实施疏堵工程．现调取某路公交车早高峰时段全程运输时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A 组；从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B 组．A 组：128 100 151 125 120B 组：100 102 97 101 100（Ⅰ）该路公交车全程运输时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率； （Ⅱ）试比较A ，B 两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．（Ⅰ）解：从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据，所有不同的取法共有5525⨯=种． 从A 组中取到128,151,125,120时，B 组中符合题意的取法为100,97,100，共4312⨯=种； 从A 组中取到100时，B 组中符合题意的取法为100,102,97,101,100，共155⨯=种； 因此符合题意的取法共有12517+=种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725P =.（Ⅱ）解：B 组数据的方差小于A 组数据的方差．说明疏堵工程完成后，该路公交车全程运输时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．26.已知ABC △同时满足下列四个条件中的三个： ①π3A =；②2cos 3B =-；③7a =；④3b =． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求ABC △的面积．（Ⅰ）解：ABC △同时满足①，③，④．理由如下：若ABC △同时满足①，②． 因为21cos 32B =-<-，且(0,π)B ∈，所以2π3B >．所以πA B +>，矛盾． 所以ABC △只能同时满足③，④．所以a b >，所以A B >，故ABC △不满足②． 故ABC △满足①，③，④．（Ⅱ）解：因为2222cos a b c bc A =+-，所以222173232c c =+-⨯⨯⨯．解得8c =，或5c =-（舍）．所以△ABC 的面积1sin 2S bc A ==27.在直角坐标系xOy 中，已知圆22:(3)(4)4M x y -+-=及其上一点A ． （Ⅰ）求||OA 的最大值；（Ⅱ）设(3,2)A ，点T 在x 轴上．若圆M 上存在两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=u u r u u r u u u r，求点T 的横坐标的取值范围．（Ⅰ）解：圆22:(3)(4)4M x y -+-=的圆心为(3,4)M ，半径2r =．根据平面几何知识得||OA 的最大值为||27OM r +=． （Ⅱ）解：设1122(,),(,),(,0)P x y Q x y T t ．因为TA TP TQ +=u u r u u r u u u r ，所以1122(3,2)(,)(,)t x t y x t y -+-=-，即21213,2.x x t y y =+-⎧⎨=+⎩①因为点Q 在圆M 上，所以2222(3)(4)4x y -+-=．②将①代入②，得2211()(2)4x t y -+-=．于是点11(,)P x y 既在圆M 上，又在圆22()(2)4x t y -+-=上，从而圆22:(3)(4)4M x y -+-=与圆22()(2)4x t y -+-=有公共点．所以2222-+，解得33t -+≤。
北京市西城区2018-2019学年高二第一学期期末考试数学试题(解析版)
北京市西城区2018—2019学年度第一学期期末试卷高二数学2019.1一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由椭圆方程得到的值，然后由求得的值，进而求得离心率.【详解】根据椭圆标准方程，得，故，所以椭圆的离心率为.故选B.【点睛】本小题主要考查根据椭圆的标准方程写出，根据椭圆的几何性质求离心率，属于基础题.2.命题“对任意的，”的否定是（）A. 不存在，B. 存在，C. 存在，D. 对任意的，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出原命题的否定，注意否定结论.【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，主要到要否定结论，故原命题的否定是“存在，”.故选C.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.3.数列的前项和为，且，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件得到数列是等比数列，并且得到首项和公比，根据等比数列前项和公式求得.【详解】由可知数列为等比数列，且公比为，首项为，故.所以选D.【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前项和公式，属于基础题.4.已知点，，是中点，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中点坐标公式，求得的中点的坐标.【详解】根据中点坐标公式得，即，故选A.【点睛】本小题主要考查空间坐标计算，考查空间两点中点坐标的求法，属于基础题.5.平面经过三点，，，则平面的法向量可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对四个选项，通过计算判断是否是平面的法向量.【详解】设平面的法向量为，对于选项，，故A选项错误.对于B选项，，故B选项错误.对于C选项，，故C选项错误.对于D选项，由于，故D选项符合题意.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查空间法向量的概念以及法向量的判断，属于基础题.6.如果，那么下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用的特殊值，代入选项逐一判断选项是否正确，由此得出正确选项.【详解】令.对于A选项，所以A选项错误.对于B选项，，故B选项错误.对于C选项，，C选项正确.对于D选项，，故D选项错误.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查比较数的大小，考查选择题的特殊值排除法，属于基础题.比较两个数的大小，对于对于选择题或者填空题来说，最主要的方法是特殊值法.还有的方法就是利用不等式的性质，或者指数函数单调性、对数函数的单调性来求解.如果问题较为复杂，还需要借助奇偶性，结合图像来求解.7.已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出、，即可得到双曲线方程.【详解】双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为，可得，即，解得，所求双曲线方程为：.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.8.设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，虽然有，但是数列不是递增数列，所以不充分；反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，应选答案B。
北京市西城区2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)
f (x) g(x) 2x 1 2x2 1 2(x
2 )(x 2
2) 2
xx
x
因为 x 0,
2 2
,
f
(x)
g
(
x)
0;
x
2 2
,
,
f
(
x)
g(
x)
0;
6
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x
2 , f (x) g(x) 0 ，所以 x
2
2 时， f (x) g(x) 有最小值 1 ln 2 1 0
D. sin x 【答案】D 【解析】 【分析】
1
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根据余弦函数的求导公式即可.
【详解】 cos x sin x ，故选 D.
【点睛】本题考查常见函数的求导，属于基础题.
3.用 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( ) A. 360 B. 300
C. 240
D. 180
【答案】B 【解析】 【分析】 分为有 0 和没 0 两类求解. 【详解】当四个数字中没有 0 时，没有重复数字的四位数有： A54 120 种；
当四个数字中有 0 时，没有重复数字的四位数有： A31 A53 180 种,
两类相加一共有 300 种，故选 B. 【点睛】本题考查排列组合与分类加法计数原理，考查分类讨论思想，属于基础题.
B. 1 i C. 1 i D. 1 i 【答案】B
【解析】
【分析】
先化简，再求共轭复数.
2 【详解】 1 i
21 i 1 i1 i
1
i
2
，所以复数
1i
的共轭复数是1
北京市西城区2018-2019学年高一下期末考试物理试题及答案
北京市西城区2018-2019学年高一下期末考试物理试题及答案一、本题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。
每小题3分，共36分。
物体做曲线运动时，一定发生变化的是A ．速度方向B ．速度大小C ．加速度方向D ．加速度大小牛顿在2018年提出万有引力定律后，首次比较准确地测定引力常数的科学家是 A ．开普勒 B ．伽利略 C ．卡文迪许 D ．牛顿 以下关于经典力学的说法正确的是A ．经典力学适用于接近光速运动的物体B ．经典力学适用于某些强引力场的天体C ．经典力学适用于宏观、低速运动的物体D ．由于相对论、量子力学的提出，经典力学已经被完全否定一辆汽车在平直公路上以额定功率行驶，设所受阻力不变。
在汽车加速过程中 A ．牵引力减小，加速度增大 B ．牵引力减小，加速度减小 C ．牵引力增大，加速度增大 D ．牵引力增大，加速度减小据报道，我国目前已经发射了三颗数据中继卫星“天链一号01星”“天链一号02星”“天链一号03星”，它们都是地球同步卫星。
这些卫星的成功发射与组运行，标志着我国第一代中继卫星系统正式建成。
这三颗卫星相比，可能不同．．的是 A ．它们的质量 B ．它们距地面的高度4. C ．它们的周期 D ．它们运行的线速度大小5. 如图所示的皮带传动装置中， a 、b 、c 分别为轮边缘上的三点。
已知R a :R b :R c ＝1:2:3。
假设在传动过程中皮带不打滑，则在传动过程中，b 、c 的角速度之比为 A ．3:1B ．1:3C ．2:1D ．1:2我国发射的“嫦娥一号”卫星经过多次加速、变轨后，最终成功进入环月工作轨道。
如图所示，卫星既可以在离月球比较近的圆轨道a 上运动，也可以在离月球比较远的圆轨道b 上运动。
下列说法正确的是 A ．卫星在a 上运行的周期大于在b 上运行的周期B ．卫星在a 上运行的加速度大于在b 上运行的加速度C ．卫星在a 上运行的线速度小于在b 上运行的线速度D ．卫星在a 上运行的角速度小于在b 上运行的角速度如图所示，在同一水平方向恒力F 作用下，一物体分别沿着粗糙水平面和光滑水平面从静止开始，运动相同位移x 。
北京市西城区2018 — 2018学年度第一学期期末试卷高一
北京市西城区2018 —2018学年度第一学期期末试卷高一数学2018.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.10. 如图，半径为1的M 切直线AB 于O 点，射线OC 从OA出发，绕着点O ，顺时针方向旋转到OB ，在旋转的过程中，OC 交M 于点P ，记PMO x ∠=，弓形PNO （阴影部分）的面积()S f x =，那么()f x 的图象是（ ）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（A ）（B ）（C ）（D ）11. 若向量(12)=-，a 与向量(,4)x b =平行，则实数x =______.12. 若θ为第四象限的角，且1sin 3θ=-，则cos θ=______；sin 2θ=______.13. 将函数cos 2y x =的图象向左平移π4个单位，所得图象对应的函数表达式为______. 14. 若,a b 均为单位向量，且a 与b 的夹角为120 ，则-a b 与b 的夹角等于______. 15. 已知11sin sin ,cos cos 35x y x y +=+=，则cos()x y -=_____. 16. 已知函数()sin()(0,(0,π))f x x ωϕωϕ=+>∈满足π5π()()066f f ==，给出以下四个结论:○1 3ω=； ○26k ω≠，k *∈N ；○3 ϕ可能等于3π4； ○4符合条件的ω有无数个，且均为整数. 其中所有正确的结论序号是______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知(0,π)ϕ∈，且π1tan()43ϕ+=-. （Ⅰ）求tan 2ϕ的值；（Ⅱ）求sin cos 2cos sin ϕϕϕϕ+-的值．18．（本小题满分12分）已知函数π()cos cos()3f x x x =⋅-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若直线y a =与函数()f x 的图象无公共点，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD = ，PB PC y ⋅=，则得到函数()y f x =.（Ⅰ）求(1)f 的值；（Ⅱ）对于任意(0,)a ∈+∞，求函数()f x 的最大值.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设全集U =R ，集合{|0}A x x =<，{|||1}B x x =>，则()U A B =ð_____．2．已知函数20,,0,()ln ,x x f x x x -⎧<=⎨>⎩ 若()2f a =，则实数a = .3．定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且()f x 在(0,)+∞是增函数，(3)0f =，则不等式()0f x >的解集为_____．4．函数1()()22x x f x x +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N 的值域为_____．（其中[x ]表示不大于x 的最大整数，例如[3.15]＝3，[0.7]＝0.）5． 在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200 m 2的内接矩形花园（阴影部分）， 则其边长x （单位：m ）的取值范围是______.A D CP二、解答题：本大题共3小题，共30分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数41()log 1x f x x -=+. （Ⅰ）若1()2f a =，求a 的值； （Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论．7．（本小题满分10分）已知函数()3x f x =，()||3g x x a =+-，其中a ∈R .（Ⅰ）若函数()[()]h x f g x =的图象关于直线2x =对称，求a 的值； （Ⅱ）给出函数[()]y g f x =的零点个数，并说明理由.8．（本小题满分10分）设函数)(x f 的定义域为R ，如果存在函数()g x ，使得()()f x g x ≥对于一切实数x 都成立，那么称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数.已知函数2()f x ax bx c =++的图象经过点(1,0)-.（Ⅰ）若1a =，2b =．写出函数)(x f 的一个承托函数（结论不要求注明）； （Ⅱ）判断是否存在常数,,a b c ，使得y x =为函数)(x f 的一个承托函数，且)(x f 为函数21122y x =+的一个承托函数？若存在，求出,,a b c 的值；若不存在，说明理由．。
北京市西城区2018—2019学年度第一学期期末试卷高三数学理科试题
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷在等比数列｛a n ｝中，若a^2 , a 5 =8，则av 二一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为高三数学（理科）第I 卷（选择题共40 分）2019.1选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.2已知集合 A ={x|x =2k,k Z} , B ={x|x< 5｝，那么 A 「|B(A) {0,2,4}(B) {-2,0,2}(C ) {0,2}(D) {-2,2}(A ) 10(B) 16(C )24(D)325.(A).5(B)6(C) 2 2(D)10在极坐标系中，点(A) 1在平面直角坐标系(A) 3P（2-）到直线Pcos日=一1的距离等于2(B) 2(C) 3xOy 中，点A(1,1),点B在圆x2 y2 =4 上,(B) 1 2(C) 2 • ..2(D)|OA-OB|的最大值(D) 4-—1—>俯视图2侧（左）视图6.设M,N 0 , 0 :：: a d，则“ log a M ■ log b N ”是“ M ::N 1 ”的(D)既不充分也不必要条件7.已知函数f (x) =sin n, g(x) =x2—x • 2，贝U(A)曲线y = f(x) ・g(x)不是轴对称图形(B)曲线y = f(x)—g(x)是中心对称图形f (x) 4(C)函数y二f(x)g(x)是周期函数(D)函数y最大值为—g(x) 78. 一个国际象棋棋盘(由8 8个方格组成)，其中有一个小方格因破损而被剪去(破损位置不确定)• “L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示.现要将这个破损的棋盘剪成数个“ L”形骨牌，则(A) 至多能剪成(B) 至多能剪成(C) 一定能剪成19块“ L”形骨牌20块“ L”形骨牌21块“ L”形骨牌(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C)充要条件(D)前三个答案都不对L”形骨牌国际象棋棋盘第H卷(非选择题共110 分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9•复数z满足方程1_i z=i，则z= ________ .10.已知角a的终边经过点(-3,4)，贝U tana = _______ ；cos(a +冗)= ____11 •执行如图所示的程序框图，若输入的m =1，则输出数据的总个数为2x —y 3>0,12 •设x, y满足约束条件以-y-0,则z = x+3y的取值范围是_______________-x+2y\ 0,13.能说明“若定义在R上的函数f(x)满足f(0)f(2)・0,则f(x)在区间(0,2)上不存在零点”为假命题的一个函数是14•设双曲线C： x2壬1的左焦点为F，右顶点为A.若在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得PF PA=k成立，则实数九的取值范围是____________________ .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.15. (本小题满分13分)在.ABC 中，a =3, b=2. 6 , B=2A .(I)求cos A 的值； (n)试比较.B 与.C 的大小.16. (本小题满分14分) 中点，AB_平面BCM .(I)求证：平面 B 1BCC^ 平面A 1 ABB 1 ； (n)求证：AN//平面BCM ；(川)若 AABB 1是边长为2的菱形，求直线 面MCC 1所成角的正弦值.如图，在三棱柱 ABC -ABG 中，侧面B 1BCC 1为正方形, M , N 分别是AB, , AC 的AN 与平17. (本小题满分13分)为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这 两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据•已知该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]等级次品二等品一等品二等品三等品次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数 分布表(图表如下，其中a > 0 )(I)现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；(H)为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁..，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元• 一名顾客随机购买了乙企业销售的 2件该食品，记其支付费用为X 元，用频率估计概率，求 X 的分布列和数学期望； (川)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较•18. (本小题满分13分)已知函数f (x) =1 n x -X • a ，其中a R .(I)如果曲线 y = f (x)与x 轴相切，求a 的值；(n)如果函数g(x)二上舉在区间(1，e)上不是单调函数，求 a 的取值范围.x质量指标值频数[15,20) 2 [20,25) 18 [25,30) 48 [30,35) 14 [35,40) 16 [40,45]2 合计100甲企业 乙企业19.（本小题满分14分）2 2x y已知椭圆C: —J 1(aa 2.2）的离心率为—，左、右顶点分别为A,B，点M是椭圆2C上异于A, B的一点，直线AM与y轴交于点P.（I）若点P在椭圆C的内部，求直线 A M的斜率的取值范围；（H）设椭圆C的右焦点为F ,点Q在y轴上，且AQ//BM，求证：• PFQ为定值.20.（本小题满分13分）设正整数数列A:a i,a2,IH,a N（N 3）满足a「：：a j ,其中仁i ：：：丘N•如果存在k • { 2,3丨N,,使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，贝U称A为“k阶平衡数列”.（I）判断数列2, 4, 6, 8, 10和数列1, 5, 9, 13, 17是否为“ 4阶平衡数列”？（□）若N为偶数，证明：数列A:1,2,3,HI,N不是“ k阶平衡数列”，其中k・{2,3,（（|,N}.（川）如果a N < 2019，且对于任意k {2,3川|, N}，数列A均为“ k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值.2019学年度第一学期期末北京市西城区2018 —高三数学（理科）一、选择题: 本大题共8小题，每小题1. B2. D 5. C6. A二、填空题: 本大题共6小题，每小题5分，共30分.参考答案及评分标准2019.15分，共40分.3. C4. A7. D8. C9. _i16.(本小题满分14分)4310.刁；5注：第10题第一问3分，第二问2分.由 A (0, n ，得 sin A = . 1 - cos 2因为B =2A ,2所以 cosB 二cos2A= 2cos AT所以 sin B = . 1「cos 2 B =3又因为A B C所以 COS C 「COS (A B)「COS A COS B sin Asin B 」 9所以 cos B cosC .又因为函数y =cosx 在(0, n 上单调递减，且B , c •(0, n ,13分12.[-1，：：)213•答案不唯一，如 f(x)=(x -1)14.(-2,0)11. 6三、解答题：本大题共 6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分15.(本小题满分13分) 解: (I)在.'ABC 中，由正弦定理a sin A32 6得，即 sin A sin 2A分3 _ 2 ,6sin A 2sin Acos A11第7页共14页9. _i16.(本小题满分14分)解：（I ）因为AB_平面BCM , BC 平面BCM ,由正方形 B 1BCC 1，知BB t _BC ,又因为 ABp| BB 1 二B , 所以BC —平面A i ABB i .又因为BC 二平面B 1BCC 1 , 所以平面 B i BCC i _平面 AABB i .（n ）设BC 中点Q ，连结NQ , MQ .因为M , N 分别是A i B i , AC 的中点,1所以 NQ // AB ，且 NQ AB .2又因为 AB // A 1B 1，且 AB = AB , 所以 NQ//AM ，且 NQ =AiM . 所以四边形A i MQN 为平行四边形.又因为MQ 二平面BCM , AN 二平面BCM , 所以AN//平面BCM（川）由（I ）可知BA , BM , BC 两两互相垂直,分因为A i ABB i 是边长为2的菱形，M 为AB i 的中点，且 A B _ BM , 易得■ BBiA^60，则 B0 , A(2, 0,0) , M (0, 3, 0) , C(0,0,2) , A i (i, 3, 0),B i (-i, 3,0) ,C i (-i, 3, 2) , N(i,0,i).所以 AN (0, -£3,i) , MC =(-1,0,2) , CC i =(-1, 3, 0). 设平面MCC i 的法向量为n= (x, y,z),BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 B -xyz ，如图所示.所以 A i N // MQ .因此以B 为原点，以BA , BM , i0分令 y =2，则 x =2..3 , z =^3 .所以 n = (2 .. 3, 2, •. 3). 设直线AN 与平面MCC i 所成角为〉，17. （本小题满分13分）解：(I)由(a 0.020 0.022 0.028 0.042 0.080) 5 =1，得 a =0.008,所以甲企业的样本中次品的频率为 （a ，0.020） 5=0.14 ,故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率约为 0.14 .1 1 1 1 沁=,P(X =150)=C ； 3 6 P(X =180)=C ；丄5,P(X=210)=C ；1」=丄,2633 182 3 31 1 1P(X =240) ...........2 2 4所以随机变量 X（n ）由图表知，乙企业在100件样品中合格品有96件,则一等品的概率为1 ，二等品的概率为96 29648 18141，三等品的概率为9；1由题意，随机变量 X 的所有可能取值为：120, 150,180, 210, 240. 则n MC1=°,—、即 *2"°,|' x .-』3y =012则 sin : =|cos n , A 1N |二 n ANI n IIAN'l57"38因此直线AN 与平面MCC i 所成角的正弦值为唱 14且 P(X =120)」6 636115 11所以E(X)=120361509180 - 2103 240 V200.10分(川)答案不唯一，只要言之有理便可得分(下面给出几种参考答案)(1) 以产品的合格率.(非次品的占有率)为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行 比较• 由图表可知：甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为 0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以可以认为乙企业的食品生产质量更高.(2) 以产品次.品•率.为标准对甲、乙两家企业的食品质量进行比较(略) (3 )以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较 .根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4 ；乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即乙企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高.(4)根据第(H)问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，进而比较甲、乙两个企业产品的优劣(略) .......................................................... 13 分18. (本小题满分13分)解: (I)求导，得 f (X )= 1 -1 =1—x ,.................. 1 分XX因为曲线y = f(x)与X 轴相切，所以此切线的斜率为 0,.................... 2分由 f (x) =0，解得 x =1 ,又由曲线y = f (x)与x 轴相切，得f (1) = —1^0 ,解得a=1.................... 4分,、 f (x) In x —x + a g(x) 22X X因为x • (1, e)，所以g (x)与h(x) = x - 2ln x • 1 - 2a 的正负号相同.……6分 2 x — 2对 h(x)求导，得 h (x) =1 —= -------------- ,X X由 h(x) =0，解得 X =2 ,................... 7 分 当x变化时，h (x)与h(x)的变化情况如下表所示:(H)由题意，得求导，得g (x)= x -2 Inx 1 -2a所以h(x)在(1,2)上单调递减，在(2,e)上单调递增又因为 h ⑴=2 —2a , h (e) = e —1 -2a , 所以 h(x)min =h (2)=3—2In 2—2a；h(x)max = h(1) = 2 —'2a ..................... 9 分 如果函数g(x)二丄里 在区间(1,e)上单调递增，则当x ・(1,e)时，g (x)> 0.x所以 h(x) > 0 在区间(1 , e)上恒成立，即 h(x) min 二 h(2) =3-2ln 2—2a 》0 ,3 3解得a< In 2，且当a In 2时，g (x)=0的解有有限个，2 23 即当函数g(x)在区间(1,e)上单调递增时，a——In 2 ;① ............... 11分2 如果函数g (x) =f (：)在区间(1 , e)上单调递减，则当(1,e)时，g (x)< 0 ,x所以 h(x )w 0 在区间(1 ,e)上恒成立，即 h(x)max 二 h(1) = 2-2a w o , 解得a >1，且当a =1时，g (x)=0的解有有限个， 所以当函数g(x)在区间(1,e)上单调递减时，a >1. 因为函数g (x)=上£。
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学理科试题答案
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．A 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．1i -- 10．43-；3511． 6 12．[1,)-+∞13．答案不唯一，如2()(1)f x x =-14．(2,0)-注：第10题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 2分得3sin A =3sin A = ……………… 4分解得cos A = ……………… 6分（Ⅱ）由(0,π)A ∈，得sin A = ……………… 7分因为2B A =，所以21cos cos22cos 13B A A ==-=. ……………… 8分所以sin B =. ……………… 9分 又因为πA B C ++=，所以co s co s()co s co s s i ns C A B A B A B =-+=-+. ……………… 11分 所以cos cos B C >.又因为函数cos y x =在(0,π)上单调递减，且,(0,π)B C ∈，所以B C ∠<∠. ……………… 13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面BCM ，BC ⊂平面BCM ，所以AB BC ⊥． ……………… 1分 由正方形11B BCC ，知1BB BC ⊥， 又因为1ABBB B =，所以BC ⊥平面11A ABB ． ……………… 3分 又因为BC ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面11A ABB ． ……………… 4分 （Ⅱ）设BC 中点Q ，连结NQ MQ ，．因为M ，N 分别是11A B ，AC 的中点， 所以//NQ AB ，且12NQ AB =． 又因为11//AB A B ，且11AB A B =， 所以1//NQ A M ，且1NQ A M =． 所以四边形1A MQN 为平行四边形．所以1//A N MQ ． ……………… 6分 又因为MQ ⊂平面BCM ，1A N ⊄平面BCM ， 所以1//A N 平面BCM ．……………… 8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BA ，BM ，BC 两两互相垂直，因此以B 为原点，以BA ，BM ，BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． ………… 9分因为11A ABB 是边长为2的菱形，M 为11A B 的中点，且11A B BM ⊥， 易得1160BB A ∠=，则(0,0,0)B ，(2,0,0)A，(0,0)M ，(0,0,2)C，10)A，1(1,0)B -，1(12)C -，(1,0,1)N ． ……………… 10分所以1(0,A N −−→=，1(1,0,2)MC −−→=-，1(0)CC −−→=-. 设平面1MCC 的法向量为(,,)n x y z =，x则 110,0,MC CC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即20,0.x z x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令2y =，则x =，z =2,=n ． ……………… 12分 设直线1A N 与平面1MCC 所成角为α， 则111sin |cos ,|||||A N A N A N α−−→−−→−−→⋅=〈〉=n nn =． 因此直线1A N 与平面1MCC． ……………… 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由(0.0200.0220.0280.0420.080)51a +++++⨯=，得0.008a =， …………2分所以甲企业的样本中次品的频率为(0.020)50.14a +⨯=，故从甲企业生产的产品中任取一件,该产品是次品的概率约为0.14. ……… 4分 （Ⅱ）由图表知，乙企业在100件样品中合格品有96件，则一等品的概率为481962=，二等品的概率为18141963+=，三等品的概率为161966=， ……………… 5分由题意，随机变量X 的所有可能取值为：120，150，180，210，240. …… 6分且111(120)6636P X ==⨯=，12111(150)C 369P X ==⨯⨯=， 1211115(180)C 263318P X ==⨯⨯+⨯=，12111(210)C 233P X ==⨯⨯=， 111(240)224P X ==⨯=. ……………… 8分 所以随机变量的分布列为：……………… 9分所以11511()1201501802102402003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………10分 （Ⅲ）答案不唯一，只要言之有理便可得分（下面给出几种参考答案）.（1）以产品的合格率．．．（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较. X由图表可知：甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以可以认为乙企业的食品生产质量更高.（2）以产品次品率．．．为标准对甲、乙两家企业的食品质量进行比较（略）. （3）以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4；乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即乙企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高.（4）根据第（Ⅱ）问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，进而比较甲、乙两个企业产品的优劣（略）. ……………… 13分18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）求导，得11()1-'=-=xf x x x， ……………… 1分 因为曲线()y f x =与x 轴相切，所以此切线的斜率为0， ……………… 2分 由()0'=f x ，解得1=x ，又由曲线()y f x =与x 轴相切，得(1)10f a =-+=，解得1=a . ……………… 4分（Ⅱ）由题意，得22()ln ()-+==f x x x ag x x x ， 求导，得32ln 12()-+-'=x x ag x x ， ……………… 5分因为(1,e)x ∈，所以()g x '与()2ln 12h x x x a =-+-的正负号相同.…… 6分 对()h x 求导，得22()1-'=-=x h x x x， 由()0'=h x ，解得2=x ， ……………… 7分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(1,2)上单调递减，在(2,e)上单调递增. 又因为(1)22h a =-，(e)e 12h a =--，所以min ()(2)32ln 22h x h a ==--； max ()(1)22h x h a ==-. ……………… 9分 如果函数2()()=f xg x x在区间(1,e)上单调递增，则当(1,e)x ∈时，()0≥'g x . 所以()0h x ≥在区间(1,e)上恒成立，即min0()(2)32ln 22h x h a ==--≥，解得3ln 22≤-a ，且当3ln 22=-a 时，()0g x '=的解有有限个，即当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递增时，3ln 22≤-a ； ○1 ………… 11分 如果函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上单调递减，则当(1,e)x ∈时，()0≤'g x ， 所以()0h x ≤在区间(1,e)上恒成立，即max 0()(1)22h x h a ==-≤，解得1≥a ，且当1=a 时，()0g x '=的解有有限个，所以当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递减时，1≥a . ○2 ………… 12分 因为函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上不是单调函数， 结合○1○2，可得3ln 212-<<a ，所以实数a 的取值范围是3ln 212-<<a . ……………… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得222c a =-，c a =， ……………… 2分解得2a =，c C 的方程为22142x y +=. ……………… 3分设(0,)P m ，由点P 在椭圆C 的内部，得m < 又因为(2,0)A -，所以直线AM 的斜率0(022AM m m k -==∈+， ……………… 5分 又因为M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，所以2((0,)AM k ∈. ……………… 6分（Ⅱ）由题意F ，设00(,)M x y ，其中02x ≠±，则2200142x y +=. 所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++. ……………… 7分令0x =，得点P 的坐标为002(0,)2y x +. ……………… 8分 因为002MB y k x =-，所以002AQ y k x =-. 所以直线AQ 的方程为00(2)2y y x x =+-. ………………10 分 令0x =，得点Q 的坐标为002(0,)2y x -. 由002()2y FP x =+，002()2y FQ x =- ， ……………… 12分 得 FP FQ ⋅222000220042482044y x y x x +-=+==--， 所以FP FQ ⊥，即90PFQ ∠=，所以PFQ ∠为定值. ……………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）数列2, 4, 6, 8, 10不是4阶平衡数列；数列1, 5, 9, 13, 17是4阶平衡数列. ……………… 3分 （Ⅱ）若k 为偶数，设k =2m ()m *∈N . 考虑1,2,3,,k 这k 项，其和为(1)2k k S +=， 所以这k 项的算术平均值为(1)2122S k m k ++==，此数不是整数. ………… 5分若k 为奇数，设k =2m +1()m *∈N .考虑1,2,3,,1,1k k -+这k 项，其和为(1)12k k S +'=+， 所以这k 项的算术平均值为(1)111221S k m k k m '+=+=+++，此数不是整数.故数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈. ……… 8分（Ⅲ）在数列A 中任取两项,()s t a a s t ≠，对于任意{2,3,,1}k N ∈-，在A 中任取与,s t a a 相异的k -1项，并设这k -1项的和为0S .由题意，得00,s t S a S a ++都是k 的倍数，即00,(,)s t S a pk S a qk p q +=+=∈Z ， 因此()s t a a p q k -=-，即数列中任意两项的差s t a a -都是k 的倍数，其中{2,3,,1}k N ∈-.因此所求数列A 的任意两项之差都是2,3,,1N -的公倍数. ……………… 9分如果数列A 的项数超过8，那么213287,,,a a a a a a ---均为2, 3, 4, 5, 6, 7的倍数，即213287,,,a a a a a a ---均为420的倍数 （注： 420为2, 3, 4, 5, 6, 7的最小公倍数），所以81213287()()()42072940a a a a a a a a -=-+-++->⨯=，所以8129402940a a >+>，这与2019N a ≤矛盾，因此数列A 至多有7项. ……………… 11分 如果数列A 的项数为7，那么213276,,,a a a a a a ---均为2, 3, 4, 5, 6的倍数，即213276,,,a a a a a a ---均为60的倍数（注：60为2, 3, 4, 5, 6的最小公倍数），又因为72019a ≤，且1237a a a a <<<<，所以6201960a -≤，52019260a -⨯≤，，12019660a ⨯≤-，所以1672019(201960)(2019660)12873a a a ++++-++-⨯=≤.当且仅当201960(7)159960i a i i =--=+（其中1,2,,7i =）时，167a a a +++取到最大值12873.验证知此数列为“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈.如果数列A 的项数小于或等于6，由2019N a ≤，得数列A 中所有项之和小于或等 于2019612114⨯=.综上可得：数列A 的所有元素之和的最大值为12873. ……………… 13分。
2017-2018学年北京市西城区上学期高一年级期末考试数学试卷(解析版)
北京市西城区2017-2018学年上学期高一年级期末考试数学试卷【三角函数与平面向量】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知sinα<0，且tanα>O，则α的终边所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】的终边在第一或第三象的终边所在的象限是第三象限角．故选C．2. 函数f(x)=sin2x的最小正周期为( )B. πC. 2πD. 4π【答案】B故选B3. 如果向量a=(1，2)，b=(3，4)，那么2a-b=( )A. （-1,0)B. （-1,-2)C. (1,O)D. (1,-2)【答案】A故选A．4. 计算sin（π-α）+ sin（π+α）=( )A. 0B. 1C. 2sinαD. -2sinα【答案】A故选A.5. 如图，在矩形ABCD)【答案】B故选B.6. 已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b则向量a，b的夹角为( )【答案】D故选D7. 已知m是函数f(x)=cosx图象一个对称中心的横坐标，则f(m)=( )A. -1B. 0 D. 1【答案】B时，可得故选B．8. y=sin2x的图象( )A. 个单位长度B.C. D.【答案】Cy = sin2x考点：三角函数图像平移9. 函数f(x) =A sinx(A>0)的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=( )A. 3B.C. D. 1【答案】B【解析】由题意作轴的垂线，可得：故选B10. 已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB =1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，( )A. [-1，0]B. 0]C. ，D. [0]【答案】D【解析】所在直线为解得：在线段上时，有最大值为0在线段上时，有最小值，设的范围是[，0]故选D．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，数量积的坐标运算，以及数形结合的思想方法，其中建立平面直角坐标系并利用数形结合的思想是解答该题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上.11.【答案】.12. 已知向量a=(1，2)，b=(x，-2)，若a∥b，则实数x=____________．【答案】-1即答案为：-1．13. 角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为（-1，2），则tanθ=___________．【答案】-2∴x=-1，y=2即答案为：-2．14. 函数f(x)=sinx+cosx的最大值为____________．15. 已知点A(0，4)，B(2，0)，那么点C的坐标为_____________；设点P(3，t)，且∠APB 是钝角，则t的取值范围是___________________．【答案】(1). (3,-2)(2). (1,3)又由点若解可得的坐标为即答案为(1). (3,-2) (2). (1,3)【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算公式，涉及向量平行的坐标表示方法，其中解题的关键是掌握向量坐标计算的公式．16. 已知函数f(x)=sinxtanx.给出下列结论：①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)在区间0）上是增函数；③函数f(x)的最小正周期是2π;④函数f(x)的图象关于直线x=π对称．其中正确结论的序号是_______________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①③④，而故②错误；的最小正周期是故③正确；即对称，故④正确．∴正确结论的序号是①③④．即答案为①③④．三、解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知αaπ），且(I)求tanα的值；(Ⅱ)【答案】(I)【解析】试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，求得的值．试题解析：(I)所以由(I) ，18. 已知函数(I)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象；(Ⅱ)求f(x)在区间；(Ⅲ)写出f(x)的单调递增区间．【答案】(I)见解析；（II）见解析（III【解析】试题分析：（Ⅰ）利用列表、描点、连线法画出在一个周期上的图象；的单调递增区间．试题解析：(I)f(x)，所以，即时，最大值等于当最小值等于所以在区间上的最大值为，最小值为（的单调递增区间为19. 如图，已知AB⊥BC，BC=a，a∈[1，3]，圆A是以A为圆心、半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E、F分别为圆A、圆B，设∠BAE=θ(θ∈[0，π])．(I)当θ；(Ⅱ)用a，θa，θ【答案】（I（II【解析】试题分析：（Ⅰ）建立平面直角坐标系，根据向量的数量积公式计算即可，（Ⅱ）利用坐标计算得到关于的三角函数，利用三角函数的性质求出最值．试题解析：（I）如图，以点A为原点，AB所在直线为x轴，与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系.（II）因为，所以以a为变量的二次函数的对称轴，此时.所以，当，时，B卷【学期综合】四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．20. 设全集U=R，集合A={x|x<0），B={x|x>1}，则AU(u B)=_____________.21. ___________________．∴函数【答案】(1). 4(2).可得解得舍去）；即答案为(1). 423. 三个数中最大的是____________.24. 某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如下图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为________________折.在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为___________________折（保留一位小数）．【答案】(1). 7.5(2). 6.7【解析】由折，显然三件商品价格一致时折扣最大，设购买3故商品实际折扣力度最大约为即答案为(1). 7.5 (2). 6.7五、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25.(I)求a的值；(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.【答案】（I（II）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据函数的奇偶性求出a的值即可；（Ⅱ）根据函数的单调性的定义证明即可．试题解析：（I）函数的定义域为x都成立，（II）函数上任取，的，，.26. 设a x∈R．(I)当a=0时，求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小值．【答案】（I）见解析;（II）的最小值为【解析】试题分析：上，取绝对值，根据二次函数的单调性即可求解在区试题解析：（I，；时， 3.（II）①当上单调递减，在上的最小值为，则函数②当.在上的最小值为所以，当时，的最小值为与.所以，当时，的最小值为的最小值为的最小值为【点睛】本题主要考查函数最值的求解，利用零点分段思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．27. 若函数f(x)满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，则称函数f (x)为“T函数”．(I)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=lg(x+1)是否是“T函数”，并说明理由；(Ⅱ)设f (x)为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求证：f (x0) =x0；(Ⅲ)试写出一个“T函数”f(x)，满足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的个数最少．（只需写出结论）【答案】（I）见解析;(II) 见解析;（III【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用定义判断函数与T函数”即可；所以，对于一定有即可证明;（Ⅲ）根据中元素的个数最少，以及新定义即可确定．试题解析：（I函数”.对于函数，所以不是“T函数”.(II)设所以，对于是“T函数”，.，不符合题意.，不符合题意.所以（III。
北京市中央民族大学附属中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题
中央民族大学附中20182019学年第二学期高一年级期末数学试题第Ⅰ卷一､选择题1.设全集U =R ，集合{}{}0,1A x x B x x =>=>，则U A C B ⋂=（）A.{}01x x ≤< B.{}01x x <≤ C.{}0x x < D.{}1x x >2.已知a ，b ，c 是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，下面给出五个命题:①//a α，//b a b α⊂⇒；②a α⊥，//b a b α⊥⇒；③//a c ，////c a αα⇒；④//a α，b a b α⊥⇒⊥；⑤αβ⊥，αγβγ⊥⇒ .其中正确的命题是（）A.①⑤ B.②③ C.②④D.②⑤3.已知向量()()4,2,,3a b x == ，且//a b ，则x 的值是（）A.－6B.6C.9D.124.方程220x x +-=的解所在的区间为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)5.函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象可以看成是由函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移得到的，下列所述平移方法正确的是（）A.向右平移2π个单位 B.向右平移4π个单位 C.向左平移2π个单位 D.向左平移4π个单位6.已知圆22:450C x y x +--=，则过点(1,2)P 的最短弦所在直线l 的方程是()A .3270x y +-= B.240x y +-=C.-230x y -= D.-230x y +=7.已知函数()()2log ,03,0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则()10f -的值是（）A.1B.1-C.0D.2-8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A.1033 B.1053C.1073 D.1093第Ⅱ卷二､填空题9.在ABC 中，222a b c --=，则A =________.10.已知0x >，0y >，且191x y+=，求x y +的最小值________.11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时2()1,f x x =+，则(2)(0)f f -+=____________12.已知tan 2α=，则2sin cos sin cos αααα-=+__________．13.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ），则该几何体的体积为__________m 3．14.已知P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为．三､解答题15.设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =.(1)求B 的大小．(2)若a =，5c =，求b .16.已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的周期和单调递增区间；（2）求()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.17.在四面体ABCD 中，CB =CD ，AD BD ⊥，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点，求证：（I ）直线EF ACD 面；（II ）EFC BCD ⊥面面．18.设圆上的点()2,3A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，且直线10x y -+=被圆截得的弦长为19.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如图所示：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185cm 的概率；(3)从样本中身高在180～190cm 的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm 的概率．20.设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈= ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α= 和()12,,,n y y y β= ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦ ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．。
2018-2019学年北京市西城区高一(上)期末数学试卷
2018-2019学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣2．（4分）函数的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．6π3．（4分）如果向量＝（0，1），＝（﹣2，1），那么|+2|＝（）A．6B．5C．4D．34．（4分）＝（）A．tanαB．﹣tanαC．1D．﹣15．（4分）已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间I上都是减函数，那么区间I可以是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＝（）A．B．C．D．7．（4分）已知，为单位向量，且•＝﹣，那么向量，的夹角是（）A．B．C．D．8．（4分）设α∈[0，2π），则使成立的α的取值范围是（）A．B．C．D．9．（4分）已知函数f（x）＝A1sin（ω1x+φ1），g（x）＝A2sin（ω2x+φ2），其图象如图所示．为得到函数g（x）的图象，只需先将函数f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位10．（4分）在△ABC中，，AB＝2，AC＝1．D是BC边上的动点，则的取值范围是（）A．[﹣4，1]B．[1，4]C．[﹣1，4]D．[﹣4，﹣1]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若cosθ＝﹣，且θ为第三象限的角，则tanθ＝．12．（4分）已知向量＝（1，2）．与向量共线的一个非零向量的坐标可以是．13．（4分）如果，那么x的最小值是．14．（4分）如图，已知正方形ABCD．若＝λ+μ，其中λ，μ∈R，则＝．15．（4分）在直角坐标系xOy中，已知点A（3，3），B（5，1），P（2，1），M是坐标平面内的一点．①若四边形APBM是平行四边形，则点M的坐标为；②若+＝2，则点M的坐标为．16．（4分）设函数．若f（x）的图象关于直线对称，则ω的取值集合是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出f（x）的单调递增区间．19．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），，C（cosθ，sinθ），其中．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）是否存在，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．20．（4分）若集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝．21．（4分）函数f（x）＝的定义域是．22．（4分）已知三个实数，，c＝log32．将a，b，c按从小到大排列为．23．（4分）里氏震级M的计算公式为：M＝lgA﹣lgA0，其中A0＝0.005是标准地震的振幅，A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅．在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍．24．（4分）已知函数若c＝0，则f（x）的值域是；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）是奇函数；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．26．（10分）已知函数f（x）＝ax2+x定义在区间[0，2]上，其中a∈[﹣2，0]．（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）的最小值；（Ⅱ）求f（x）的最大值．27．（10分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意x1，x2∈D，且x1≠x2，都有，则称函数f（x）为“凸函数”．（Ⅰ）判断函数f1（x）＝2x与是否为“凸函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）＝a•2x+b（a，b为常数）是“凸函数”，求a的取值范围；（Ⅲ）写出一个定义在上的“凸函数”f（x），满足0＜f（x）＜x．（只需写出结论）2018-2019学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结论．【解答】解：sin（﹣）＝﹣sin＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2．（4分）函数的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．6π【分析】直接利用三角函数的周期求解即可．【解答】解：函数的最小正周期为：T＝＝4π．故选：C．【点评】本题考查三角函数的简单性质的应用，周期的求法，考查计算能力．3．（4分）如果向量＝（0，1），＝（﹣2，1），那么|+2|＝（）A．6B．5C．4D．3【分析】本由向量加法的坐标运算有：+2＝（﹣4，3），由向量的模的运算有|+2|＝＝5，得解．【解答】解：由向量＝（0，1），＝（﹣2，1），所以+2＝（﹣4，3），由向量的模的运算有|+2|＝＝5，故选：B．【点评】本题考查了向量加法的坐标运算及向量的模的运算，属简单题．4．（4分）＝（）A．tanαB．﹣tanαC．1D．﹣1【分析】利用诱导公式化简即可计算得解．【解答】解：＝＝1．故选：C．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5．（4分）已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间I上都是减函数，那么区间I可以是（）A．B．C．D．【分析】依次分析四个选项可得结果．【解答】解：A：y＝sin x在（0，）上是增函数；C：y＝cos x在（π，）上是增函数；D：y＝cos x在（，2π）上是增函数．故选：B．【点评】本题考查了正、余弦函数的单调区间，熟练掌握函数图象是关键，属基础题．6．（4分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据向量加法和减法的几何意义即可得出答案．【解答】解：．故选：D．【点评】考查向量加法和减法的几何意义．7．（4分）已知，为单位向量，且•＝﹣，那么向量，的夹角是（）A．B．C．D．【分析】根据条件即可求出，根据向量夹角的范围即可求出向量的夹角．【解答】解：∵为单位向量，且；∴＝；又；∴．故选：D．【点评】考查单位向量的概念，向量数量积的计算公式，以及向量夹角的范围．8．（4分）设α∈[0，2π），则使成立的α的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用正弦函数的图象和性质直接求解．【解答】解：∵α∈[0，2π），，∴．∴设α∈[0，2π），则使成立的α的取值范围是（，）．故选：B．【点评】本题考查满足正弦值的角的取值范围的求法，考查正弦函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（4分）已知函数f（x）＝A1sin（ω1x+φ1），g（x）＝A2sin（ω2x+φ2），其图象如图所示．为得到函数g（x）的图象，只需先将函数f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：函数f（x）＝A1sin（ω1x+φ1），g（x）＝A2sin（ω2x+φ2），其图象如图所示，可见f（x）的周期为2π，g（x）的周期为π，且f（x）图象上的点（0，0），在g（x）的图象上对应（，0），为得到函数g（x）的图象，只需先将函数f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），在向右平移个单位，故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．（4分）在△ABC中，，AB＝2，AC＝1．D是BC边上的动点，则的取值范围是（）A．[﹣4，1]B．[1，4]C．[﹣1，4]D．[﹣4，﹣1]【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量、，求出的取值范围即可．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则A（0，0），B（2，0），C（0，1），设D（x，y），则+y＝1，x∈[0，2]；∴＝（x，y），＝（﹣2，1），∴•＝﹣2x+y＝﹣2x+（1﹣x）＝﹣x+1∈[﹣4，1]，则的取值范围是[﹣4，1]．故选：A．【点评】本题考查了平面向量数量积的计算问题，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若cosθ＝﹣，且θ为第三象限的角，则tanθ＝．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式先求sinθ，进而可求tanθ的值．【解答】解：∵，且θ为第三象限的角，∴sinθ＝﹣＝﹣，∴tanθ＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12．（4分）已知向量＝（1，2）．与向量共线的一个非零向量的坐标可以是（2，4）．【分析】可求出，而与共线，即得出与向量共线的一个非零向量的坐标可以是（2，4）．【解答】解：与共线；即与向量共线的一个非零向量的坐标可以是（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】考查共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算．13．（4分）如果，那么x的最小值是．【分析】由正切韩寒说的图象和性质可得x+＝kπ，k为正整数，即可得到所求最小值．【解答】解：，可得x+＝kπ，即x＝kπ﹣，k∈N*，可得x的最小值为π﹣＝，故答案为：，【点评】本题考查三角方程的解法，注意运用正切函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题．14．（4分）如图，已知正方形ABCD．若＝λ+μ，其中λ，μ∈R，则＝﹣1．【分析】利用向量加减法容易把表示成，从而得λ，μ，得解．【解答】解：∵，∴＝，∴λ＝﹣1，μ＝1，∴，故答案为：﹣1．【点评】此题考查了向量加减法，属容易题．15．（4分）在直角坐标系xOy中，已知点A（3，3），B（5，1），P（2，1），M是坐标平面内的一点．①若四边形APBM是平行四边形，则点M的坐标为（6，3）；②若+＝2，则点M的坐标为（4，2）．【分析】①可设M（x，y），得出，根据四边形APBM为平行四边形即可得出，从而得出（﹣1，﹣2）＝（5﹣x，1﹣y），从而得到，解出x，y即可；②可求出，根据即可得出（4，2）＝（2（x﹣2），2（y﹣1）），从而得出，解出x，y即可．【解答】解：①设M（x，y），则：；∵四边形APBM是平行四边形；∴；∴（﹣1，﹣2）＝（5﹣x，1﹣y）；∴；解得；∴点M的坐标为（6，3）；②；∵；∴（1，2）+（3，0）＝2（x﹣2，y﹣1）；∴（4，2）＝（2（x﹣2），2（y﹣1））；∴；解得；∴点M的坐标为（4，2）．故答案为：（6，3），（4，2）．【点评】考查相等向量的概念，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算．16．（4分）设函数．若f（x）的图象关于直线对称，则ω的取值集合是{ω|ω＝6k+1，k∈Z}．【分析】利用正弦函数图象的对称轴为x＝kπ，列出关于ω的方程，得解．【解答】解：由题意，k∈Z，得ω＝6k+1，k∈Z，故答案为：{ω|ω＝6k+1，k∈Z}．【点评】此题考查了正弦函数的对称性，难度不大．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出，（Ⅱ）根据二倍角公式和两角和的正切公式即可求出．【解答】解（Ⅰ）：因为，，所以＝．所以＝．（Ⅱ）：因为，，所以＝．所以＝．【点评】本题考查同角的三角形函数的关系，以及两角差的正想说和二倍角公式，属于中档题18．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值．（Ⅲ）由f（x）的图象，可得它的单调递增区间．【解答】（Ⅰ）解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象可知A＝3，因为f（x）的最小正周期为，所以．令，解得，适合|φ|＜π．所以．（Ⅱ）解：因为，所以．所以，当，即x＝π时，f（x）取得最大值，当，即时，f（x）取得最小值﹣3．（Ⅲ）解：结合f（x）的图象可得它的单调递增区间为（k∈Z）．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的增区间，属于中档题．19．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），，C（cosθ，sinθ），其中．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）是否存在，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）由平面向量数量积的坐标运算，利用三角恒等变换求得的最大值2；（Ⅱ）由两点间的距离公式求得|AC|、|BC|，并判断△ABC为钝角三角形时角C是钝角，利用，结合题意求得θ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，；……………………（2分）所以……………………（3分）＝＝；……………………（4分）因为，所以；……………………（5分）所以当，即θ＝0时，取得最大值2；……………………（6分）（Ⅱ）因为|AB|＝2，，；又，所以sinθ∈[0，1]，cosθ∈[0，1]，所以|AC|≤2，|BC|≤2；所以若△ABC为钝角三角形，则角C是钝角，从而；………………（8分）由（Ⅰ）得，解得；……………………（9分）所以，即；……………………（11分）反之，当时，，又A，B，C三点不共线，所以△ABC为钝角三角形；综上，当且仅当时，△ABC为钝角三角形．……………………（12分）【点评】本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是中档题．四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．20．（4分）若集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}．故答案为：{x|﹣1＜x＜3}．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．（4分）函数f（x）＝的定义域是{x|0＜x＜1或x＞1}．【分析】由函数的解析式可得log2x≠0，即，由此求得函数的定义域．【解答】解：由函数的解析式可得log2x≠0，即，解得函数的定义域为{x|0＜x＜1或x＞1}，故答案为{x|0＜x＜1或x＞1}．【点评】本题主要考查函数的定义域的求法，对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，属于基础题．22．（4分）已知三个实数，，c＝log32．将a，b，c按从小到大排列为c＜b＜a．【分析】容易得出，log32＜1，从而a，b，c从小到大排列为c＜b＜a．【解答】解：，log32＜log33＝1；∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．【点评】考查对数函数和的单调性，以及增函数的定义．23．（4分）里氏震级M的计算公式为：M＝lgA﹣lgA0，其中A0＝0.005是标准地震的振幅，A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅．在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为5级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的1000倍．【分析】根据题意中的假设，可得M＝lgA﹣lgA0＝lg500﹣lg0.005＝lg105＝5；设8级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，8＝lgx+5，5＝lgy+5，由此知8级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的1000倍．【解答】解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是500，此时标准地震的振幅为0.005，则M＝lgA﹣lgA0＝lg500﹣lg0.005＝lg105＝5．设8级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，8＝lgx+5，5＝lgy+5，解得x＝103，y＝1，∴＝1000．故答案为：5；1000．【点评】本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用，是基础题．24．（4分）已知函数若c＝0，则f（x）的值域是[﹣，+∞）；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是[，1]．【分析】若c＝0，分别求得f（x）在[﹣2，0]的最值，以及在（0，3]的范围，求并集即可得到所求值域；讨论f（x）在[﹣2，1]的值域，以及在（c，3]的值域，注意c＞0，运用单调性，即可得到所求c的范围．【解答】解：c＝0时，f（x）＝x2+x＝（x+）2﹣，f（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递增，可得f（﹣2）取得最大值，且为2，最小值为﹣；当0＜x≤3时，f（x）＝递减，可得f（3）＝，则f（x）∈[，+∞），综上可得f（x）的值域为[﹣，+∞）；∵函数y＝x2+x在区间[﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1]上是增函数，∴当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）最小值为f（﹣）＝﹣，最大值是f（﹣2）＝2；由题意可得c＞0，∵当c＜x≤3时，f（x）＝是减函数且值域为[，），当f（x）的值域是[﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．【点评】本题给出特殊分段函数，求函数的值域，并在已知值域的情况下求参数的取值范围，着重考查了函数的值域和二次函数的单调性和最值等知识，属于中档题．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）是奇函数；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．【分析】（Ⅰ）先求定义域，再用奇函数的定义f（﹣x）＝﹣f（x）证明f（x）为奇函数；（Ⅱ）按照①取值，②作差，③变形，④判号，⑤下结论，这5个步骤证明．【解答】解：（Ⅰ）：函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠±1}．……………………（1分）对于任意x∈D，因为，……………………（3分）所以f（x）是奇函数．……………………（4分）（Ⅱ）解：函数在区间（﹣1，1）上是减函数．……………………（5分）证明：在（﹣1，1）上任取x1，x2，且x1＜x2，……………………（6分）则．……………………（8分）由﹣1＜x1＜x2＜1，得1+x1x2＞0，x2﹣x1＞0，，，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以函数在区间（﹣1，1）上是减函数．……………………（10分）【点评】本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题．26．（10分）已知函数f（x）＝ax2+x定义在区间[0，2]上，其中a∈[﹣2，0]．（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）的最小值；（Ⅱ）求f（x）的最大值．【分析】（Ⅰ）根据题意，将a＝﹣1代入函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得f （x）在区间上单调递增，在上f（x）单调递减，分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，按a的取值范围分情况讨论，求出函数的最大值，综合即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当a＝﹣1时，；所以f（x）在区间上单调递增，在上f（x）单调递减．因为f（0）＝0，f（2）＝﹣2，所以f（x）的最小值为﹣2．（Ⅱ）①当a＝0时，f（x）＝x．所以f（x）在区间[0，2]上单调递增，所以f（x）的最大值为f（2）＝2．当﹣2≤a＜0时，函数f（x）＝ax2+x图象的对称轴方程是．②当，即时，f（x）的最大值为．③当时，f（x）在区间[0，2]上单调递增，所以f（x）的最大值为f（2）＝4a+2．综上，当时，f（x）的最大值为；当时，f（x）的最大值为4a+2．【点评】本题考查二次函数的性质以及函数的最值，注意结合函数的单调性进行讨论．27．（10分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意x1，x2∈D，且x1≠x2，都有，则称函数f（x）为“凸函数”．（Ⅰ）判断函数f1（x）＝2x与是否为“凸函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）＝a•2x+b（a，b为常数）是“凸函数”，求a的取值范围；（Ⅲ）写出一个定义在上的“凸函数”f（x），满足0＜f（x）＜x．（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）取x1＝0，x2＝1，有f（x1）+f（x2）＝f（0）+f（1）＝2，，验证，然后利用单调性证明即可．（Ⅱ）函数f（x）＝a•2x+b的定义域为R．对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，转化证明即可．（Ⅲ）．【解答】（本小题满分10分）（Ⅰ）解：对于函数f1（x）＝2x，其定义域为R．取x1＝0，x2＝1，有f（x1）+f（x2）＝f（0）+f（1）＝2，，所以，所以f1（x）＝2x不是“凸函数”．…………（2分）对于函数，其定义域为[0，+∞）．对于任意x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，由，所以．因为f（x1）+f（x2）＞0，，所以，所以是“凸函数”．……………（4分）（Ⅱ）解：函数f（x）＝a•2x+b的定义域为R．对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，＝……………………（5分）＝＝．……………………（7分）依题意，有．因为，所以a＜0．……………………（8分）（Ⅲ）．（注：答案不唯一）……………………（10分）【点评】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．。
2018_2019学年北京市西城区高中一年级上学期期末考试数学试题
2018-2019学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题2019.01学校 班级 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,2}A =，{|02}B x x =<<，则A B =I ( )（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{02}x x <≤（2）已知向量(,6)m =a ，(1,3)=-b ，且a b P ，则m = ( )（A ）18 （B ）2 （C ）18- （D ）2-（3）下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数的是 （ ）（A ）()2x f x -= （B ）3()f x x = （C ）()lg f x x = （D ）()sin f x x =（4）命题2:2,10p x x ∀>->，则p ⌝是 （ ）（A ）22,10x x ∀>-≤ （B ）22,10x x ∀≤->（C ）22,10x x ∃>-≤ （D ）22,10x x ∃≤-≤（5）已知3tan 4α=，sin 0α<，则cos α= （ ） （A ）35 （B ）35- （C ）45 （D ）45- （6）若角α的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是（ ）（A ）sin α （B ）cos α（C ）tan α（D ）sin(π)α+（7）为了得到函数πsin()3y x =--的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点（ ）（A ） 向左平移2π3个单位长度 （B ） 向左平移π3个单位长度 （C ） 向右平移π3个单位长度 （D ） 向右平移5π3个单位长度（8）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α. 则下列关于函数()f α的说法正确的是（ ）（A ）()f α的定义域是π{|2π,}2k k αα≠+∈Z （B ）()f α的图象的对称中心是π(π,0),2k k +∈Z（C ）()f α的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k +∈Z （D ）()f α对定义域的α均满足(π)()f f αα-= 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知()ln f x x =，则2(e )f = .（10）已知(1,2)=a ，(3,4)=b ，则⋅=a b ______；2-=a b ______.（11）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5}B =，集合S 满足S A ¹Ì，S B A =U .则一个满足条件的集合S 是 .（12）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ³时，()f x x =，则不等式()20f x ->的解集是 .（13）如图，扇形AOB 中，半径为1，»AB 的长为2，则»AB 所对的圆心角的大小为 弧度；若点P 是»AB 上的一个动点，则当OA OP OB OP ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r取得最大值时，,OA OP <>=u u u r u u u r . （14）已知函数122, ,()2,.x x a f x x a x a -⎧<=⎨-+≥⎩（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值围是________；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =.在①12-； ②12；③1；⑤32中，函数()f x 的包容数是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）BO三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分） 已知函数π()2sin(2)3f x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ()([,])66f x x T ∈--+的简图，并直接写出函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值围.(16)（本小题共10分）已知函数2()f x x bx c =++，存在不等于1的实数0x 使得00(2)()f x f x -=.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用单调性定义证明； （Ⅲ）直接写出(3)c f 与(2)c f 的大小关系.(17)（本小题共11分）如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，90D ∠=︒，且1BO AD ==u u u r u u u r. （Ⅰ）用,OA OB u u u r u u u r 表示CB u u u r；（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值.(18)（本小题共12分）设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得12()()2f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的ℱ区间.（Ⅰ）判断(,)-∞+∞是否是函数31xy =+的ℱ区间;（Ⅱ）若1[,2]2是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的ℱ区间，求a 的取值围; （Ⅲ）设ω为正实数，若[π,2π]是函数cos y x ω=的ℱ区间，求ω的取值围.附加题：（本题满分5分。