高二数学《函数的极值与导数》学案
函数的极值与导数的教案
函数的极值与导数教案章节一：极值的概念与定义教学目标：1. 了解极值的概念；2. 掌握极值的定义；3. 能够判断函数的极值点。
教学内容：1. 引入极值的概念；2. 讲解极值的定义；3. 举例说明如何判断函数的极值点。
教学方法：1. 采用讲解法，讲解极值的概念和定义；2. 利用图形和实际例子，让学生直观地理解极值点；3. 进行课堂练习，巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂练习；2. 学生能够准确判断函数的极值点。
教案章节二：导数与极值的关系教学目标：1. 了解导数与极值的关系；2. 掌握求函数极值的方法；3. 能够运用导数研究函数的极值问题。
教学内容：1. 讲解导数与极值的关系；2. 教授求函数极值的方法；3. 举例说明如何运用导数研究函数的极值问题。
教学方法：1. 采用讲解法，讲解导数与极值的关系；2. 通过例题，教授求函数极值的方法；3. 进行课堂练习，巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂练习；2. 学生能够运用导数研究函数的极值问题。
教案章节三：一元函数的极值教学目标：1. 了解一元函数的极值；2. 掌握一元函数极值的判断方法；3. 能够求出一元函数的极值。
教学内容：1. 讲解一元函数的极值；2. 教授一元函数极值的判断方法；3. 举例说明如何求出一元函数的极值。
教学方法：1. 采用讲解法，讲解一元函数的极值；2. 通过例题，教授一元函数极值的判断方法；3. 进行课堂练习，巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂练习；2. 学生能够准确判断一元函数的极值点；3. 学生能够求出一元函数的极值。
教案章节四：二元函数的极值教学目标：1. 了解二元函数的极值；2. 掌握二元函数极值的判断方法；3. 能够求出二元函数的极值。
教学内容：1. 讲解二元函数的极值；2. 教授二元函数极值的判断方法；3. 举例说明如何求出二元函数的极值。
教学方法：1. 采用讲解法，讲解二元函数的极值；2. 通过例题，教授二元函数极值的判断方法；3. 进行课堂练习，巩固所学知识。
高中数学教案函数的极值和导数
高中数学教案——函数的极值和导数一、教学目标：1. 理解导数的概念，掌握基本初等函数的导数公式。
2. 学会利用导数判断函数的单调性，理解函数的极值概念。
3. 能够运用导数解决实际问题，提高解决函数问题的能力。
二、教学内容：1. 导数的定义及几何意义2. 基本初等函数的导数公式3. 导数的计算法则4. 利用导数判断函数的单调性5. 函数的极值及其判定三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义、基本初等函数的导数公式、导数的计算法则、利用导数判断函数的单调性、函数的极值及其判定。
2. 难点：导数的应用，如何利用导数解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生主动探究导数的定义及应用。
2. 利用多媒体课件，直观展示函数的导数与单调性、极值之间的关系。
3. 结合实际例子，让学生感受导数在解决实际问题中的重要性。
4. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程：1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何判断函数的单调性、2. 讲解导数的定义：通过几何直观，解释导数的含义，引导学生理解导数表示函数在某点的瞬时变化率。
3. 学习基本初等函数的导数公式：讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式。
4. 导数的计算法则：讲解导数的四则运算法则，举例说明。
5. 利用导数判断函数的单调性：引导学生利用导数符号判断函数的单调性，讲解“增函数”和“减函数”的概念。
6. 函数的极值及其判定：讲解极值的概念，举例说明如何利用导数判断函数的极值。
7. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
8. 总结：回顾本节课所学内容，强调导数在研究函数单调性、极值方面的应用。
9. 拓展：引导学生思考导数在其他领域的应用，如物理、经济学等。
10. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学评价：1. 课后作业：通过布置相关的习题，检验学生对导数概念、基本初等函数的导数公式、导数计算法则、单调性和极值的理解和应用能力。
函数的极值与导数 学案——高二上学期数学人教A版选修2-2
《1.3.2 函数的极值与导数》学案【课标要求】理解函数极值的概念，感受函数图像在刻画极值中的作用；经历从具体函数的极值点、极值抽象出一般函数极值点、极值的过程；掌握用导数求可导函数的极值的方法；通过函数极值与导数的学习，进一步体会数形结合、由特殊到一般、函数与方程的思想。
【学习目标】1.经历从具体函数的图象认识极值点、极值，抽象出一般函数的极值点、极值的过程；理解函数极值的概念。
2.会用导数求简单的可导函数的极值。
3.了解可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件。
重点：理解函数极值的概念，会用导数求简单的可导函数的极值。
难点：对可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件的理解。
【评价任务】1.完成第一次先学后教的问题1,2和极值的判定方法1,2；2.完成思考1,2；3.独立完成第二次先学后教的问题1,2,3,4；4.通过讨论和合作学习完成第三次先学后教的问题.【学习过程】资源与建议1.函数的极值与导数是导数在研究函数中的应用—函数的单调性、函数的极值、函数的最值中的第二类应用，是学习函数的最值与导数的前备知识；函数的单调性与导数的关系是本节课中探究函数极值求法的基础。
2. 本节课的学习按以下流程进行：函数极值的概念 函数极值的判定方法 求极值的步骤 简单应用。
需要准备的知识：复习（1）单调性与导数的关系：若f ′(x )＞0，则f (x )单调递 ；若f ′(x )＜0，则f (x )单调递 。
（2）充分条件与必要条件的概念：p q ，则p 是q 的 条件，q 是p 的 条件.一、结合函数图像，引出极值概念第一次“先学后教”：自学课本2726P P -，思考并完成以下问题。
1.从图1.3-8可知，=)('a h ，),0(a t ∈时，的单调性？)(t h ，)('t h 的正负？ ；),(+∞∈a t 时，的单调性？)(t h ，)('t h 的正负？ 。
)(t h a t 是=的极 ，的极是)()(t h a h 。
高二数学下册学案：函数的极值与导数
编 课 号 题 授课时间 班 级 姓 名
【导学过程】 一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，判别 f(x0)是极大（小）值的 方法是： ⑴如果在 x0 附近的左侧 f '(x)＞0，右侧 f '(x)＜0，那么，f(x0)是________ ⑵如果在 x0 附近的左侧 f '(x)＜0，右侧 f '(x)＞0，那么，f (x0)是________ 注意：导数为 0 的点不一定是极值点． 探究一：极值点两侧导数正负符号有何规律? 1 例 1．求 f x x3 4 x 4 的极值 3 填4） f ( x) 3x x3
2．已知 f ( x) ax bx cx(a 0) 在 x＝±1 时取得极值，且 f(1)＝－1，
3 2
(1)试求常数 a、b、c 的值； (2)试判断 x＝±1 时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
x
f '( x)
(–∞, –2)
–2
(–2, 2)
2
( 2, +∞)
f (x)
探究二：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？ 例 2．求 y=(x2－1)3+1 的极值
1
【达标检测】 1．求下列函数的极值: （1） f ( x) 6x2 x 2 （2） f ( x) x3 27 x
【课后反思】
2
3
[拓展提升] 1． 函数 f ( x) a ln x bx 3x 的极值点为 x1 1 ，x2 2 ， 则a
2
，b
．
3 2 ★2．已知函数 f ( x) x 3ax 2bx 在 x 1 处有极小值 1 ，试求 a , b 的值，并求出 f ( x) 的
单调区间．
(完整版)函数的极值与导数导学案(最新整理)
叫做函数 y＝f(x)
2.关于极值概念的几点说明
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值
（3）函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
（5）函数 y=f(x)在一点的导数为 0 是函数在这点取极值的
二．新课讲授 1、极值点与极值
(1)极小值点与极小值：
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)
＝ ，而且在点 x＝a 附近的左侧
，右侧
，就把
叫做函数 y＝f(x)的
极小值点，
叫做函数 y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值：
若函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)
求下列函数的极值．
（1） f (x) 1 x3 4x 4 3
(2)f(x)＝(x2－1)3＋1； ln x
(3)f(x)＝ . x来自(1)若函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处取得极值 10.
则 a＝________，b＝________.
2 (2)已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝－ 时都取得极值．
§1.3.2 函数的极值与导数
教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．复习与思考
函数极值与导数学案
高二数学选修2-2 导数及其应用 主备人_____________ 审核：高二数学组
1.3.2函数的极值与导数
【课标要求】
结合函数图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：会用导数求不超过三次的多项式
函数的极大值、极小值。
【学习目标】
能记住极值、极值点的定义；会用导数求不超过三次的多项式的极大值、极小值
【学习重、难点】 会用导数求不超过三次的多项式的极大值、极小值 【问题探究】
请认真阅读教材P26—P29例1以前的内容，完成下列问题：
1.看教材P27图1.3-8，分析在t=a 附近图像有什么特点？)(a h =________
2.（1）写出函数y=f(x)极值、极值点的定义。
(2)对定义中的“附近”应怎么理解？看导学案P25问题1
3.（1）在图1.3-11中，找出图中的极大值点和极小值点。
（2）一个函数的极值点是唯一的么？它的极大值一定比极小值大么？所以极值刻画的是函数的________性质
4.对于函数y=f(x),若)('
a f =0，那么x=a 一定是函数的极值点么？函数y=f(x)在x=a 处取得极大（小）值的充分条件是什么？必要条件是什么？
5.完成例4，总结求一个可导函数极值的基本步骤。
【自主测评】
教材P29练习1，2
【能力提升】 导学案P27页5题 【本节收获】 通过本节的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？ 【作业布置】 习题1.3A 组 4,5。
高二数学选修2-3《1.3.2函数的极值与导数》导学案
§1.3.2函数的极值与导数使用时间:4.3知识目标：理解极值的定义，掌握求函数极值的方法，会根据函数的极值求参数。
能力目标：培养数形结合、转化的数学思维能力。
【课前准备】1.函数4431)(3+-=x x x f 的 单调增区间为 ，单调减区间为 ，画出)(x f 的草图.【新课导学】观察3的中)(x f 的草图，思考以下问题:(1)函数)(x f y =在x= -2、2点的函数值与它们附近的函数值相比较有什么关系?(2)函数)(x f y =在x= -2、2点的导数值是多少?(3)在x= -2、2点两侧：)(x f y =的单调性有什么关系？)(x f '值的符号有什么规律？设可导函数)(x f y =在0x x =附近有定义，如果对于x 0附近的所有点都有f (x )<f (x 0),就称 f (x 0)是函数f (x )的一个极大值. 记作y 极大值= ， 叫极大值点； 如果对于x 0附近的所有点都有f (x )>f (x 0),就称f (x 0)是函数f (x )的一个极小值. 记作y 极小值= ， 叫极小值点；极大值与极小值统称为极值, 极大值点与极小值点统称为极值点. 1、下图是函数)(x f y =的图象，则极大值点是 ，极小值点是 .（第1题） （第2题）2、上图是导函数)(x f y '=的图象，函数y=f (x )的极大值点是_ _,极小值点是 . ※小结：在原函数图象上怎么找极值点？在导函数图象上怎么找极值点？提示：若x 0是)(x f 的极值点，则在x 0两侧)(x f y =的单调性 ,)(x f '值的符号【探究任务】借助本学案，举例说明1.当导数0)('0=x f 时，0x 是否一定为y =)(x f 的极值点？2.由第1问可知0)('0=x f 是0x 为y =)(x f 的极值点的________________条件？ 例1：求下列函数的极值。
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义引入极值的概念，解释函数在某一点的局部性质。
通过图形和实例直观展示极值的存在。
1.2 极值的判定条件介绍函数的导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。
分析导数为正和导数为负时函数的单调性，得出极值的判定条件。
1.3 极值的判定定理介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理在极值判定中的应用。
证明极值的判定定理，并通过实例进行验证。
第二章：导数与函数的单调性2.1 导数的定义与计算引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
讲解导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。
2.2 导数与函数的单调性分析导数正负与函数单调性的关系，得出单调递增和单调递减的定义。
通过实例和图形展示导数与函数单调性的联系。
2.3 单调性的应用讲解利用单调性解决函数极值问题的方法。
分析函数的单调区间和极值点，得出函数的单调性对极值的影响。
第三章：函数的极值点与导数3.1 极值点的定义与判定引入极值点的概念，解释极值点是函数导数为零或不存在的点。
讲解极值点的判定方法，包括导数为零和导数不存在的条件。
3.2 极值点的求解方法介绍求解极值点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的极值点。
3.3 极值点的应用分析极值点在实际问题中的应用，如最优化问题。
举例说明如何利用极值点解决实际问题。
第四章：函数的拐点与导数4.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点是函数导数由正变负或由负变正的点。
讲解拐点的判定方法，包括导数的正负变化和二阶导数的符号。
4.2 拐点的求解方法介绍求解拐点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的拐点。
4.3 拐点的应用分析拐点在实际问题中的应用，如曲线拟合和物体的运动。
举例说明如何利用拐点解决实际问题。
第五章：函数的极值与图像5.1 极值与函数图像的关系分析极值点在函数图像中的位置和特征。
高二数学 3.3.2函数的极值与导数学案 新人教A版选修1-1
高中数学 3.3.2函数的极值与导数学案►基础梳理1．极值的概念．如果函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则把点a 叫做y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值；如果函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则把点b 叫做y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．2．求函数y ＝f (x )的极值的一般方法． 解方程f ′(x )＝0.当f ′(x )＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值．,►自测自评 1．下面说法正确的是(B)A ．可导函数必有极值B ．函数在极值点一定有定义C ．函数的极小值不会超过极大值D ．函数在极值点处导数一定存在2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极小值有(A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．函数y ＝1＋3x －x 3有极小值________，极大值__________．解析：∵y ＝1＋3x －x 3，∴y ′＝3－3x 2，令y ′＝0，得x ＝±1，且y ′在区间(－∞，－1)，(－1，1)，(1，＋∞)上的正负性依次为－，＋，－.∴当x ＝－1时，y ＝－1是极小值； 当x ＝1时，y ＝3是极大值． 答案：－1 31．函数y ＝2x 3－x 2的极大值为(A )A ．0B ．－9C ．0，2716 D.2716解析：y ′＝6x 2－2x ，令y ′＞0，解得x ＜0，x ＞13，令y ′＜0，解得0＜x ＜13，∴当x ＝0时，取得极大值0，故选A.2．若函数y ＝x 3－2mx 2＋m 2x, 当x ＝13时， 函数取得极大值， 则m 的值为(C )A.13或1B.13C ．1D ．都不对 3．若函数y ＝13x 3＋x 2＋ax 在R 上没有极值点，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，∵f (x )在R 上没有极值点，∴Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1. 答案：a ≥14．求函数f (x )＝－x (x －2)2的极值． 解析：函数f (x )的定义域为R .f (x )＝－x (x 2－4x ＋4)＝－x 3＋4x 2－4x ，∴f ′(x )＝－3x 2＋8x －4＝－(x －2)(3x －2)，令f ′(x )＝0得x ＝23或x ＝2.列表：从表中可以看出，当x ＝23时，函数有极小值，且f ⎝⎛⎭⎫23＝－23⎝⎛⎭⎫23－22＝－3227.当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝－2(2－2)2＝0.5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．求a 、b 的值与函数f (x )的单调区间．解析：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，则 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0，f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.即f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)．函数f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23与(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1.1．f ′(x 0)＝0是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值点的(C )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件解析：y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值点时不仅要f ′(x 0)＝0，而且还要x 0左右的增减性相异．故f (x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．2．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )有唯一的极值，并且当x ＝1时，f (x )存在极小值，则(C ) A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0 B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0 C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0 D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0解析：考查函数极小值的概念，只不过换成了符号语言，抓住极小值的定义即可得出答案C.3．函数y ＝1＋3x －x 3(D)A ．极小值－1，极大值1B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值3解析：y ′＝3－3x 2，令y ′＝0，得x ＝±1， 易判断当x ＝1时，有极大值y ＝3， 当x ＝－1时，有极小值y ＝－1.故选D.4．已知函数y ＝2x 3－ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(B ) A ．(2，3) B ．(3，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，3)解析：y ′＝6x 2－2ax ＋36， ∵x ＝2为极值点，∴当x ＝2时，y ′＝6×4－2a ×2＋36＝0，解得a ＝15，∴y ′＝6x 2－30x ＋36， 令y '＝0，得x ＝2，x ＝3，∴y ′＞0时，x ＜2或x ＞3，故选B.5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在区间(0，1)内有极小值，则(A ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1C ．b ＞0D ．b ＜12解析：问题等价于方程f ′(x )＝3x 2－3b ＝0在区间(0，1)内有解，并且其较大的解必须在区间(0，1)内．于是得到0＜b ＜1，即0＜b ＜1.故选A.6．设函数f (x )＝x 3－mx 2－nx 的图象与x 轴切于点(1，0)，则f (x )的极值为(A )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值0 解析：根据导数的几何意义，得到f (1)＝0，且f ′(1)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－m －n ＝0，f ′（1）＝3－2m －n ＝0，解得m ＝2，n ＝－1，此时f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)，再依据求极值的方法，可以得到极大值为f ⎝⎛⎭⎫13＝427，极小值为f (1)＝0.故选A.7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________．解析：本题考查对极值定义的理解．依题意有f ′(x )＝2x ()x ＋1－（x 2＋a ）()x ＋12，f ′(1)＝0，解得a ＝3. 答案：38．已知三次函数f (x )的图象经过原点，并且当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，则函数f (x )的解析式为________________________________________________________________________．解析：依题意，可设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，于是 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′（3）＝27a ＋6b ＋c ＝0，f （1）＝a ＋b ＋c ＝4，f （3）＝27a ＋9b ＋3c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－6，c ＝9.∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x .答案：f (x )＝x 3－6x 2＋9x点评：典型的待定系数法解题，本题的条件有多余，所以要注意验根．9．若函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，∴f ′(2)＝c 2－8c ＋12＝0，c ＝2或c ＝6.当c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(3x －2)(x －2)， 当23＜x ＜2，f ′(x )＜0，当x ＞2，f ′(x )＞0， ∴当x ＝2时有极小值．当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)， 当2＜x ＜6时，f ′(x )＜0，当x ＜2时，f ′(x )＞0， ∴当x ＝2时有极大值． ∴c ＝6符合题意． 答案：610．已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )的极小值；(2)若直线x ＋y ＋m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围．解析：(1)∵当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1. 当x ∈(－1，1)时，f ′(x )＜0.当x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)时，f ′(x )＞0.∴f (x )在(－1，1)上单调递减，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上单调递增． ∴f (x )的极小值是f (1)＝－2.(2)f ′(x )＝3x 2－3a ，直线x ＋y ＋m ＝0，即y ＝－x －m ，依题意得，切线斜率k ＝f ′(x )＝3x 2－3a ≠－1，即3x 2－3a ＋1＝0无解．∴Δ＝0－4×3(－3a ＋1)＜0，∴a ＜13.11．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n ，直线与函数f (x )、g (x )的图象都相切于点(1，0)．(1)求直线的方程及g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－g ′(x )[其中g ′(x )是g (x )的导函数]，求函数h (x )的极大值． 解析：(1)∵直线是函数f (x )＝ln x 在点(1，0)处的切线，∴其斜率k ＝f ′(1)＝1. ∴直线的方程y ＝x －1.又∵直线与g (x )的图象相切，且切于点(1，0)，∴g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n 在点(1，0)的导函数值为1.⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝0，g ′（1）＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝16. ∴g (x )＝13x 3＋12x 2－x ＋16.(2)∵h (x )＝f (x )－g ′(x )＝ln x －x 2－x ＋1(x >0)．∴h ′(x )＝1x －2x －1＝1－2x 2－x x ＝－（2x －1）（x ＋1）x.令h ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1(舍去)．当0<x <12时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x >12时，h ′(x )<0，h (x )单调递减．因此，当x ＝12时，h (x )取得极大值．∴[h (x )]极大值＝h ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＋14.►体验高考1、函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ∶f ′(x 0)＝0；q ∶x ＝x 0是f (x )的极值点，则(C ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 即不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0. 综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件．2．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y ＝12x .(1)求a 得值；(2)求函数f (x )的单调区间和极值．解析：(1)对f (x )求导数得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数； 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.3．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解析：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．4．已知函数f (x )＝x 2e －x.(1)求f (x )的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f (x )的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围． 解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝－e －x x (x －2)．①当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2.(2)设切点为(t ，f (t ))，则l 的方程为 y ＝f ′(t )(x －t )＋f (t )．所以l 在x 轴上的截距为m (t )＝t －f （t ）f ′（t ）＝t ＋t t －2＝t －2＋2t －2＋3.由已知和①式得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h (x )＝x ＋2x(x ≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h (x )的取值范围为[22，＋∞)；当x ∈(－∞，－2)时，h (x )的取值范围是(－∞，－3)． 所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m (t )的取值范围是(－∞，0)∪ [22＋3，＋∞)．综上，l 在x 轴的截距的取值范围是(－∞，0)∪ [22＋3，＋∞).。
§1.3.2-函数的极值与导数导学案
1高二数学选修 2-2 §1.3.2-函数的极值与导数一、学习任务1．了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件;2.会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）;3.理解函数极值点与导函数的零点之间的关系. 二、新课探究 第一部分 自学探究问题1.自学教材P93，观察如图所示，并回答以下问题。
（1）函数)(x f y =在4321,,,x x x x 各点处的函数值 与这些点附近的函数值有什么大小关系？（2）函数)(x f y =在4321,,,x x x x 各点处的导数值是多少？（3）函数)(x f y =在4321,,,x x x x 点附近的函数值有什么规律？问题2．函数极值的定义是怎样的? 包括的类型有哪些? *1．函数极值的定义一般地，设函数f(x)在点0x 及附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有f(x)＜f(0x )，就说f(0x )是，0x 叫做．如果对0x 附近的所有的点，都有f(x)＞f(0x )，就说，0x 叫做．极大值与极小值统称为极值．*2．判别f(0x )是极大、极小值的方法：若0x 满足f′(0x )＝0，且在0x 的两侧f(x)的导数异号，则0x 是f(x)的极值点，f(0x )是极值，并且如果f′(x)的符号在0x 两侧满足“ ”，则0x 是，f(0x )是 ；如果f′(x)在0x 两侧满足“”，则0x 是 ，f(0x )是．问题3．你能给出求可导函数)(x f y =极值的步骤吗？ 【技能提炼】*1. 已知函数y=－3＋48x －x 3．求函数的极值；变式：已知函数431)(3+=x x f ,能求该函数的极值.反思：(1)求函数的极值的步骤是什么？ (2)f`(x 0)=0的x 0处一定是极值吗？请举例说明。
2．设函数c bx ax x x f 8332)(23+++=在1=x 及2=x 时取得极值．求a ，b 的值；3.求函数x xx f ln 33)(+=的单调区间和极值。
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高二数学《函数的极值与导数》学案
高二数学《函数的极值与导数》学案
一、教学目标
1 知识与技能
〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条和充分条
〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值
2 过程与方法
结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。
3 情感与价值
感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。
二、重点：利用导数求函数的极值
难点：函数在某点取得极值的必要条与充分条
三、教学基本流程
回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系提出问题，激发求知欲组织学生自主探索，获得函数的极值定义通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解四、教学过程
〈一〉创设情景，导入新
1、通过上节的学习，导数和函数单调性的关系是什么？
（提问Ｃ类学生回答，Ａ，Ｂ类学生做补充）
函数的极值与导数教案2、观察图138 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t变化的函数函数的极值与导数教案=-49t2+6t+10的图象，回答以下问题
函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案
函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数函数的极值与导数教案在t=a处的导数是多少呢？
（2）在点t=a附近的图象有什么特点？
（3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？
共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数函数的极值与导数教案单调递增, 函数的极值与导数教案＞0;当t＞a 时,函数函数的极值与导数教案单调递减, 函数的极值与导数教案＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 函数的极值与导数教案先正后负,且函数的极值与导数教案连续变化,于是h/(a)=0
3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？<二>探索研讨
函数的极值与导数教案1、观察139图所表示的=f(x)的图象，回答以下问题：
函数的极值与导数教案（1）函数=f(x)在ab点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?
（2）函数=f(x)在ab点的导数值是多少?
（3）在ab点附近, =f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?
2、极值的定义:
我们把点a叫做函数=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数=f(x)的极小值；点b叫做函数=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数=f(x)的极大值。
极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值
3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条吗？
充要条：f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反
4、引导学生观察图1311，回答以下问题：
（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？
（2）极大值一定大于极小值吗？
、随堂练习:
如图是函数=f(x)的函数,试找出函数=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点如果把函数图象改为导函数=函数的极值与导数教案的图象?
函数的极值与导数教案<三>讲解例题
例4 求函数函数的极值与导数教案的极值
教师分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点；②由函数单调性确定在极点x0附近f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值
学生动手做,教师引导
解:∵函数的极值与导数教案∴函数的极值与导数教案=x2-4=(x-2)(x+2)令函数的极值与导数教案=0,解得x=2,或x=-2
函数的极值与导数教案
函数的极值与导数教案
下面分两种情况讨论:
(1) 当函数的极值与导数教案＞0,即x＞2,或x＜-2时;
(2) 当函数的极值与导数教案＜0,即-2＜x＜2时
当x变化时, 函数的极值与导数教案,f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
函数的极值与导数教案+0_0+f(x)单调递增
函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案单调递减
函数的极值与导数教案单调递增
函数的极值与导数教案因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= 函数的极值与导数教案;当x=2时,f(x)有极
小值,且极小值为f(2)= 函数的极值与导数教案
函数函数的极值与导数教案的图象如:
函数的极值与导数教案归纳：求函数=f(x)极值的方法是:
函数的极值与导数教案1求函数的极值与导数教案,解方程函数的极值与导数教案=0,当函数的极值与导数教案=0时:
(1) 如果在x0附近的左边函数的极值与导数教案＞0,右边函数的极值与导数教案＜0,那么f(x0)是极大值
(2) 如果在x0附近的左边函数的极值与导数教案＜0,右边函数的极值与导数教案＞0,那么f(x0)是极小值
<四>堂练习
1、求函数f(x)=3x-x3的极值
2、思考：已知函数f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1处取得极值,
求函数f（x）的解析式及单调区间。
Ｃ类学生做第１题，Ａ，Ｂ类学生在第１,２题。
<五>后思考题
1、若函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，求实数b的范围。
2、已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a的范围。
<六>堂小结
1、函数极值的定义
2、函数极值求解步骤
3、一个点为函数的极值点的充要条。
<七>作业P32 ①④
教学反思
本节的教学内容是导数的极值,有了上节导数的单调性作铺垫,借助函
数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值教学反馈中主要是书写格式存在着问题为了统一要求主张用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解本节的难点是函数在某点取得极值的必要条与充分条,为了说明这一点多举几个例题是很有必要的在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练函数的极值与导数教案
研讨评议
教学内容整体设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生都得到不同效果的收获。