2019 年陕西省西安市高考数学一模试卷及答案(文科)
2019年陕西省西安市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）﹣i（﹣2﹣3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i2．（5分）己知集合A＝{2，4，6，8}，B＝{1，2，5，6}，则A∩B＝（）A．{2}B．{6}C．{2，6}D．{l，2，4，5，6，8}3．（5分）函数f（x）＝的大致图象为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||＝1，＝﹣1，则•（2）＝（）A．4B．3C．2D．05．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是男同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.36．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，cos，BC＝2，AC＝3，则AB＝（）A．B．4C．2D．8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a＝﹣1，则输出的S＝（）A．2B．3C．4D．59．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是（）A．πB．C．D．11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C 的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．212．（5分）设函数f（x）＝，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）二、填空题：大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）曲线y＝2lnx在点（2，f（2））处的切线方程为．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为．15．（5分）已知＝．16．（5分）已知函数f（x）＝，f（a）＝4，则f（﹣a）＝三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．记S n为等差数列{a n）的前n项和，已知S1＝3，S3＝3．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最大值．18．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表：[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7）日用水量频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表：日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3m3的概率（3）估计该家庭使用节水龙头后，一个月能节省多少水？（一个月按30天计算，）19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝，P A＝PB＝PC＝AC＝2，O为AC的中点．（1）证明；PO⊥面ABC；（2）若点M在棱BC上，且CM＝2MB，求点C到平面POM的距离．20．设椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过F的直线1与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，直线l不与x轴重合，求的值．21．设函数f（x）＝（x﹣2）e x+ax2﹣ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a＝1，当x≥0时，f（x）≥kx﹣2，求k的取值范围．选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．2019年陕西省西安市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）﹣i（﹣2﹣3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：﹣i（﹣2﹣3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．（5分）己知集合A＝{2，4，6，8}，B＝{1，2，5，6}，则A∩B＝（）A．{2}B．{6}C．{2，6}D．{l，2，4，5，6，8}【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{2，4，6，8}，B＝{1，2，5，6}；∴A∩B＝{2，6}．故选：C．【点评】考查列举法的定义，以及交集的运算．3．（5分）函数f（x）＝的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析函数的奇偶性以及在（0，+∞）上的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣x）＝＝＝f（x），即函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f′（x）＝，分析可得f（x）在（0，+∞）先减后增，故选：D．【点评】本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，属于基础题．4．（5分）已知向量，满足||＝1，＝﹣1，则•（2）＝（）A．4B．3C．2D．0【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：向量，满足||＝1，＝﹣1，则•（2）＝2﹣＝2+1＝3，故选：B．【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题5．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是男同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3【分析】基本事件总数n＝，选中的2人都是男同学包含的基本事件个数m＝，由此能求出选中的2人都是男同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，基本事件总数n＝，选中的2人都是男同学包含的基本事件个数m＝，则选中的2人都是男同学的概率为p＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析双曲线的焦点位置，由离心率公式可得c＝a，由双曲线的性质可得b＝＝a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点在x轴上，若其离心率为，则e＝＝，即c＝a，则b＝＝a，则该双曲线的渐近线方程为y＝±x；故选：A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，涉及双曲线的离心率的计算，属于基础题．7．（5分）在△ABC中，cos，BC＝2，AC＝3，则AB＝（）A．B．4C．2D．【分析】利用半角公式求cos C后利用余弦定理可得AB．【解答】解：因为，所以，由余弦定理得，＝＝．故选：A．【点评】本题考查了半角公式和余弦定理，属基础题．8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a＝﹣1，则输出的S＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K值，当K＝7时，程序终止即可得到结论．【解答】解：执行程序框图，有S＝0，K＝1，a＝﹣1，代入循环，第一次满足循环，S＝﹣1，a＝1，K＝2；满足条件，第二次满足循环，S＝1，a＝﹣1，K＝3；满足条件，第三次满足循环，S＝﹣2，a＝1，K＝4；满足条件，第四次满足循环，S＝2，a＝﹣1，K＝5；满足条件，第五次满足循环，S＝﹣3，a＝1，K＝6；满足条件，第六次满足循环，S＝3，a＝﹣1，K＝7；K≤6不成立，退出循环输出S的值为3．故选：B．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】推导出BE＝＝，AE＝＝3，由CD∥AB，得∠BAE 是异面直线AE与CD所成角（或所成角的补角），利用余弦定理能求出异面直线AE与CD所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，∵E为棱CC1的中点，∴BE＝＝，AE＝＝，∵CD∥AB，∴∠BAE是异面直线AE与CD所成角（或所成角的补角），cos∠BAE＝＝＝，∴sin∠BAE＝＝．∴异面直线AE与CD所成角的正弦值为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力和推理能力，是中档题．10．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是（）A．πB．C．D．【分析】利用辅助角公式先进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：f（x）＝sin（x+），当x∈[0，a]是增函数，则x+∈[，+a]，若此时f（x）为增函数，则＜+a≤，0＜a≤，即a的最大值为，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解是解决本题的关键．11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．2【分析】利用双曲线的离心率求出a，b的关系，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得＝，即：，解得a＝b，双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的渐近线方程为：y＝±x，点（4，0）到C的渐近线的距离为：＝2．故选：D．【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12．（5分）设函数f（x）＝，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．【解答】解：函数f（x）＝，的图象如图：满足f（x+1）＜f（2x），可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，解得x∈（﹣∞，0）．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力．二、填空题：大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）曲线y＝2lnx在点（2，f（2））处的切线方程为x﹣y+2ln2﹣2＝0．【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（2）的值以及函数的导数，进而可得切线的斜率k＝f′（2）的值，由直线的点斜式方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，y＝2lnx，则有f（2）＝2ln2，又由f′（x）＝，则切线的斜率k＝f′（2）＝＝1，故切线的方程为：y﹣2ln2＝（x﹣2），变形可得x﹣y+2ln2﹣2＝0，即切线的方程为x﹣y+2ln2﹣2＝0；故答案为：x﹣y+2ln2﹣2＝0．【点评】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为6．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝3x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象知当直线y＝﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z＝3×2＝6，故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．15．（5分）已知＝．【分析】利用两角和差的正切公式进行计算即可．【解答】解：由＝﹣tan（﹣α﹣）＝﹣＝﹣＝，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用拆角技巧，结合两角和差的正切公式是解决本题的关键．16．（5分）已知函数f（x）＝，f（a）＝4，则f（﹣a）＝﹣2【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（a）+f（﹣a）＝2，又由f（a）＝4，分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x ）＝，则f（﹣x ）＝，则f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（a）+f（﹣a）＝2，又由f（a）＝4，则f（﹣a）＝﹣2；故答案为：﹣2【点评】本题考查函数值的计算，涉及对数的运算性质，属于基础题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．记S n为等差数列{a n）的前n项和，已知S1＝3，S3＝3．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最大值．【分析】（1）设{a n}}的公差为d，由题意得3a1+3d＝3．由a1＝S1＝3得d＝﹣2．由此能求出{a n}的通项公式．（2）由．得到当n＝2时，S n取得最大值，最小值为4．【解答】解：（1）设{a n}}的公差为d，由题意得3a1+3d＝3．由a1＝S1＝3得d＝﹣2．所以{a n}的通项公式为a n＝5﹣2n．（2）由（1）得．所以当n＝2时，S n取得最大值，最大值为4．【点评】本题考查等差数列通项公式、前n项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表：[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7）日用水量频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表：日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3m3的概率（3）估计该家庭使用节水龙头后，一个月能节省多少水？（一个月按30天计算，）【分析】（1）由频数分布表，能作出使用节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图．（2）由该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.30m3的频率，该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.3m3的概率的估计值．（3）求出该家庭末使用节水龙头50天日用水量的平均数和该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数，由此能求出估计使用节水龙头后，一个可节省水的数量．【解答】解：（1）由频数分布表，作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图如下：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.30m3的频率为：0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1＝0.38，∴该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.3m3的概率的估计值为0.48．（3）该家庭末使用节水龙头50天日用水量的平均数为：＝（0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5）＝0.48，该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为：＝（0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5）＝0.35，估计使用节水龙头后，一个可节省水（0.48﹣0.35）×30＝3.9m3．【点评】本题考查日用水量数据的频率分布直方图、概率、平均数的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝，P A＝PB＝PC＝AC＝2，O为AC的中点．（1）证明；PO⊥面ABC；（2）若点M在棱BC上，且CM＝2MB，求点C到平面POM的距离．【分析】（1）推导出OP⊥AC，且OP＝，连结OB，则△ABC是等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝1，推导出OP⊥OB，由此能证明PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H，由OP⊥CH，得CH⊥平面POM，从而CM的长为点C 到平面POM的距离，由此能求出点C到平面POM的距离．【解答】证明：（1）∵AP＝CP＝AC＝2，O为AC的中点，∴OP⊥AC，且OP＝，连结OB，∵AB＝BC＝，∴△ABC是等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝1，由OP2+OB2＝PB2，知OP⊥OB，且AC∩OB＝O，∴PO⊥平面ABC．解：（2）作CH⊥OM，垂足为H，由（1）得OP⊥CH，∴CH⊥平面POM，∴CM的长为点C到平面POM的距离，由题设知OC＝1，CM＝，∠ACB＝45°，∴OM＝，CH＝＝，∴点C到平面POM的距离为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．设椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过F的直线1与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，直线l不与x轴重合，求的值．【分析】（1）求出点A的坐标为或．然后求解AM的方程．（2）当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，当l与x轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线MA，MB的斜率之和为的表达式，通过直线与椭圆方程联立，利用韦达定理转化求解即可．【解答】解：（1）由已知得F（1，0），l的方程为x＝1，由已知可得，点A的坐标为或．所以AM的方程为或；（2）当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），当，直线MA，MB的斜率之和为，由y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1）得，将y＝k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，所以．则，从而k MA+k MB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA＝∠OMB，所以．【点评】本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21．设函数f（x）＝（x﹣2）e x+ax2﹣ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a＝1，当x≥0时，f（x）≥kx﹣2，求k的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）＝f（x）﹣kx+2，求出函数的导数，通过讨论k的范围结合函数的单调性确定k的范围即可．【解答】解：（1）∵x∈R，f′（x）＝（x﹣1）（e x+a），当a≥0时，x∈（﹣∞，1），f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；所以f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，当a＜0时，令f′（x）＝0，得x＝1，x＝ln（﹣a），①当a＜﹣e时，x∈（﹣∞，1），f′（x）＞0；当x∈（1，lnn（﹣a））时，f′（x）＜0；当x∈（ln（﹣a），+∞）时，f′（x）＞0；所以f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣a），+∞）单调递增，在（1，ln（﹣a））单调递减；②当a＝﹣e时，f′（x）≥0，所以f（x）在R单调递增；③当﹣e＜a＜0时，x∈（﹣∞，ln（﹣a）），f′（x）＞0；当x∈（ln（﹣a），1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；所以f（x）在（﹣∞，ln（﹣a）），（1，+∞）单调递增，在（ln（﹣a），1）单调递减；（2）令g（x）＝f（x）﹣kx+2＝（x﹣2）e x+x2﹣x﹣kx+2，有g′（x）＝（x﹣1）e x+x﹣1﹣k，令h（x）＝（x﹣1）e x+x﹣1﹣k，有h′（x）＝xe x+1，当x≥0时，h′（x）＝xe x+1＞0，h（x）单调递增，所以h（x）≥h（0）＝﹣2﹣k，即g′（x）≥﹣2﹣k，①当﹣2﹣k≥0即k≤﹣2时，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）单调递增，g（x）≥g（0）＝0，不等式f（x）≥kx﹣2恒成立②当﹣2﹣k＜0即k＞﹣2时，g′（x）＝0有一个解，设为x0根，所以有x∈（0，x0），g′（x）＜0，g（x）调递减；当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0；g（x）单调递增，所以有g（x0）＜g（0）＝0，故当x≥0时，f（x）≥kx﹣2不恒成立；综上所述，k的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．【分析】（I）根据题意直接求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．（II）先化直线l的参数方程为普通方程，求出圆心坐标，用圆心的直线距离和半径比较可知位置关系．【解答】解（I）直线l的参数方程为，（t为参数）圆C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．（6分）（II）因为对应的直角坐标为（0，4）直线l化为普通方程为圆心到，所以直线l与圆C相离．（10分）【点评】本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程，和普通方程的互化，直线与圆的位置关系，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，（2）由题意可得|x+a|+|x﹣2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝5﹣|x+1|﹣|x﹣2|＝．当x≤﹣1时，f（x）＝2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，当﹣1＜x＜2时，f（x）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）＝﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≥4，∴|x+a|+|x﹣2|＝|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|＝|a+2|，∴|a+2|≥4，解得a≤﹣6或a≥2，故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题第21页（共21页）。
2019年陕西省西安市高考数学一模试卷和答案(理科)
2019年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x||x|＜1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合∁U（M∪N）＝（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）在复平面内，复数z＝1﹣i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1 4．（5分）（x2+x+2）（﹣1）5的展开式的常数项是（）A．﹣3B．﹣2C．2D．35．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种7．（5分）若直线l：ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1无交点，则点P（b，a）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定8．（5分）已知函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a18），则{a n}的前21项之和为（）A．0B．C．21D．429．（5分）△ABC中，BC＝2，AC＝3，，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，直线OA与截面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．πD．π11．（5分）设F为双曲线C：的右焦点，B（0，2b），若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为（）A．B．2C．D．312．（5分）设函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g （b）＝0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量与的夹角为60°，，，则＝．14．（5分）设曲线y＝a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）在点（2，0）处的切线方程为y＝2x﹣4，则a ＝．15．（5分）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为．16．（5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝3，则线段AB的中点到准线的距离为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一)必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）证明：{a n}成等比数列；（2）设，若数列{b n}为等比数列，求b n的通项公式．18．（12分）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如表：（1）判断是否有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为X，求X的分布列、数学期望．（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面P AB是正三角形，AB＝2，BC＝，PC＝．（1）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（2）若E为P A中点，求二面角E﹣BD﹣A的大小．20．（12分）已知椭圆C：的短轴长为，离心率为，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0）．（1）求椭圆C的方程；（2）求y0的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+px﹣﹣2lnx．（1）若p＞0，且函数F（x）＝f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（2）设函数g（x）＝e x+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系及参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos （）＝．（1）求曲线C2的直角坐标方程及曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；（2）若曲线C2与曲线C1相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求||+||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣a|．（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）设函数g（x）＝|x+1|．当x∈R时，f（x）+g（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．2019年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x||x|＜1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合∁U（M∪N）＝（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵M＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}．又∵U＝R，M∪N＝{x|x＞﹣1}，∴∁U（M∪N）＝（﹣∞，﹣1]．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数z＝1﹣i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数z＝1﹣i对应的向量为，复数z2＝﹣2i对应的向量为，则向量对应的复数为：﹣2i﹣（1﹣i）＝﹣1﹣i．故选：D．3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．4．（5分）（x2+x+2）（﹣1）5的展开式的常数项是（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【解答】解：∵（x2+x+2）（﹣1）5＝（x2+x+2）（x﹣10﹣5x﹣8+10x﹣6﹣10x﹣4+5x﹣2﹣1），∴展开式的常数项是5﹣2＝3，故选：D．5．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：令函数＝0，则x＝0，或x＝，即函数有两个零点，故排除B；当0＜x＜时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由＝0，可排除D，故选：A．6．（5分）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种【解答】解：最前排甲，共有＝120种，最前只排乙，最后不能排甲，有＝96种，根据加法原理可得，共有120+96＝216种．故选：B．7．（5分）若直线l：ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1无交点，则点P（b，a）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径r＝1，直线l：ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1无交点，则圆心C到直线的距离d＝＞1，变形可得：a2+b2＜1，即（a﹣0）2+（b﹣0）2＜1，则点P（b，a）一定在圆的内部；故选：C．8．（5分）已知函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a18），则{a n}的前21项之和为（）A．0B．C．21D．42【解答】解：函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，可得y＝f（x）的图象关于x＝1对称，由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a18），可得a4+a18＝2，又{a n}是等差数列，所以a1+a21＝a4+a18＝2，可得数列的前25项和S21＝＝21，则{a n}的前21项之和为21．故选：C．9．（5分）△ABC中，BC＝2，AC＝3，，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵BC＝2，AC＝3，，∴由余弦定理可得：AB＝＝＝3，∵sin∠BCA＝＝，∴设△ABC外接圆的半径为R，可得：2R＝＝，解得：R＝，∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝．故选：C．10．（5分）已知A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，直线OA与截面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．πD．π【解答】解：∵A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，∴BC为△ABC外接圆的直径，又∵直线OA与平面ABC成30°角则球的半径R＝＝故球的表面积S＝4×π×（）2＝π故选：D．11．（5分）设F为双曲线C：的右焦点，B（0，2b），若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为（）A．B．2C．D．3【解答】解：F为双曲线C：的右焦点F（c，0），B（0，2b），若直线FB与C的一条渐近线垂直，可得：得：＝3，可得2b2＝3ac，即2c2﹣2a2＝3ac，可得2e2﹣3e﹣2＝0，e＞1，解得e＝2．故选：B．12．（5分）设函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g （b）＝0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0【解答】解：①由于y＝e x及y＝x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）＝e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y＝e x，y＝2﹣x的图象，∵f（0）＝1+0﹣2＜0，f（1）＝e﹣1＞0，f（a）＝0，∴0＜a＜1．同理g（x）＝lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g（）＝，g（b）＝0，∴．∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，f（b）＝e b+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量与的夹角为60°，，，则＝1．【解答】解：∵，，∴＝＝9，则＝1．故答案为：114．（5分）设曲线y＝a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）在点（2，0）处的切线方程为y＝2x﹣4，则a ＝3．【解答】解：y＝a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）的导数为：y′＝a﹣，在点（2，0）处的切线斜率为a﹣1＝2，解得a＝3，故答案为：3．15．（5分）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为2．【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）＝sin（ax+b），则函数的周期相同，若a＝3，此时sin（3x﹣）＝sin（3x+b），此时b＝﹣+2π＝，若a＝﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）＝sin（﹣3x+b）＝﹣sin（3x﹣b）＝sin（3x﹣b+π），则﹣＝﹣b+π，则b＝，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故答案为：2．16．（5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝3，则线段AB的中点到准线的距离为．【解答】解：∵F是抛物线y2＝x的焦点F（，0）准线方程x＝﹣设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|＝x1++x2+＝3解得x1+x2＝∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到准线的距离为+＝故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一)必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）证明：{a n}成等比数列；（2）设，若数列{b n}为等比数列，求b n的通项公式．【解答】（1）证明：由题意，∵S n＝t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．整理，化简得：．①当n＝1时，，解得：a1＝t．②当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝＝，整理，化简得：a n＝ta n﹣1．∴{a n}成首项为t，公比为t的等比数列．（2）解：由（1）可知：∴＝．∵数列{b n}为等比数列，，∴∴＝．18．（12分）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如表：（1）判断是否有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为X，求X的分布列、数学期望．（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（1）由公式：K2＝≈11.978＞10.828．∴有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．（2）随机变量X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布为：∴E（X）＝＝0.9．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面P AB是正三角形，AB＝2，BC＝，PC＝．（1）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（2）若E为P A中点，求二面角E﹣BD﹣A的大小．【解答】（1）证明：∵△P AB是正三角形，∴PB＝AB＝2，又∵BC＝，PC＝，∴PB2+BC2＝PC2，∴BC⊥PB，∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，又PB∩AB＝B，∴BC⊥平面P AB，又BC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面P AB．（2）取AB的中点H，连接PH，则PH⊥AB，∵平面ABCD⊥平面P AB，平面ABCD∩平面P AB＝AB，∴PH⊥平面ABCD，以H为原点，以HA，HP和AB过H的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（﹣1，0，0），P（0，0，），D（1，，0），E（，0，），∴＝（，0，），＝（2，，0），设平面EBD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1可得＝（1，﹣，﹣），又＝（0，0，）为平面ABCD的一个法向量，∴cos＜＞＝＝＝﹣，由图形可知二面角E﹣BD﹣A为锐二面角，∴二面角E﹣BD﹣A的大小．20．（12分）已知椭圆C：的短轴长为，离心率为，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0）．（1）求椭圆C的方程；（2）求y0的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆C：的短轴长为，离心率为，∴，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆的方程为+＝1，（2）当MN⊥x轴时，显然y0＝0．当MN与x轴不垂直时，由右焦点为（1，0），可设直线MN的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），则x1+x2＝．则x3＝＝，y3＝k（x3﹣1）＝﹣．线段MN的垂直平分线方程为y+＝﹣（x﹣）．在上述方程中令x＝0，得y0＝＝．当k＜0时，4k+＜﹣4；当k＞0时，4k+≥4．所以﹣≤y0＜0，或0＜y0≤．综上：y0的取值范围是[﹣，]．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+px﹣﹣2lnx．（1）若p＞0，且函数F（x）＝f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（2）设函数g（x）＝e x+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．【解答】解：（1）F（x）＝f（x）﹣e x＝px﹣﹣2lnx．定义域为（0，+∞）．F′（x）＝p+﹣＝．∵函数F（x）＝f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，∴F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．∴px2﹣2x+p≥0，化为：p≥，对任意x＞0恒成立．设h（x）＝，（x＞0）．h′（x）＝，可得函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴h（x）max＝h（1）＝1，∴p≥1．∴实数p的取值范围是[1，+∞）．（2）令u（x）＝f（x）﹣g（x）＝px﹣﹣2lnx．x∈[1，e]．∵在x∈[1，e]上至少存在一点x0，u（x0）＞0，⇔u（x）max＞0，x∈[1，e]．u′（x）＝p+﹣＝．①当p＝0时，u′（x）＝≥0，则u（x）在x∈[1，e]上单调递增，u（x）max＝u（e）＝﹣4＜0，舍去．②当p＜0时，u（x）＝p（x﹣）﹣﹣2lnx．∵x∈[1，e]，∴x﹣≥0，＞0，lnx＞0．∴u（x）＜0，舍去．③当p＞0时，u′（x）＝＞0，则u（x）在x∈[1，e]上单调递增，u（x）max＝u（e）＝pe﹣﹣4＞0，化为：p＞．综上可得：p∈．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系及参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos （）＝．（1）求曲线C2的直角坐标方程及曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；（2）若曲线C2与曲线C1相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求||+||的值．【解答】解：（1）∵曲线C2的极坐标方程为ρcos（）＝，∴ρcosθ﹣ρsinθ＝2，∴曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0，∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴P（3cosα，sinα），∴|OP|＝＝，∴曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值为|OP|max＝3．（2）由（1）知直线x﹣y﹣2＝0与x轴交点E的坐标为（2，0），曲线C2的参数方程为，（t为参数），曲线C1的直角坐标方程为＝1，联立，得：﹣5＝0，∵||+||＝|t1|+|t2|，∴||+||＝|t1﹣t2|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣a|．（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）设函数g（x）＝|x+1|．当x∈R时，f（x）+g（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）当a＝4时，f（x）＝|3x﹣4|．由|3x﹣4|＜3，解得．所以，不等式f（x）＜3的解集为．（Ⅱ）f（x）+g（x）＝|3x﹣a|+|x+1|＝＝（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）＝．综上，当时，f（x）+g（x）有最小值．故由题意得，解得a＜﹣6，或a＞0．所以，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）．。
陕西西安高新一中等五校2019高三第一次联考-数学文
陕西西安高新一中等五校2019高三第一次联考-数学文数学〔文〕试题第一卷〔选择题共50分〕【一】选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、集合M={x|一3<x<3，x ∈Z 〕，N={x|x<1}，那么MN=A 、{|3x x -<<1}B 、{|02}x x <<C 、{-3，-2，-1，0,1〕D 、{-2，一1，0〕2、直线a 和平面α，那么a//α的一个充分条件是A 、存在一条直线b ，a//b 且b ⊂αB 、存在一条直线b ，a ⊥b 且b ⊥αC 、存在一个平面β，a ⊂β∥且α//βD 、存在一个平面β，α//β且α//β3、假如数列321121,,,,,n n a a a a aa a -…是首项为1，公比为的等比数列，那么a 5等于 A 、32 B 、64 C 、—32D 、—64 4、设实数x ，y 满足11,11x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩那么点〔x,y 〕在圆面2212x y +≤内部的概率为 A 、8π B 、4π C 、 34π D 、2πA 、三5、过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，假设122,||4x x PQ +==，那么抛物线方程是A 、24y x =B 、28y x =C 、22y x =D 、26y x=6、假设某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积是A 、2+B 、2(1++ C、23D 、22++7、给出15个数：1，2，4，7，1l ，…，要计算这15个数的和，现给出解决该问题的程序框图〔如右图所示〕，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入A 、16?;1i p p i ≤=+-B 、14?;1i p p i ≤=++C 、15?;1i p p i ≤=++D 、15?;i p p i ≤=+8、函数()sin(2)f x A x ϕ=+的部分图象如下图，那么f 〔0〕=A 、12- B 、—1 C 、D 9、台风中，C,A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区。
2019届陕西省高三高考全真模拟(五)考试数学(文)试卷【含答案及解析】
2019届陕西省高三高考全真模拟（五）考试数学（文）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设复数，则的共轭复数为（）A ． B． C．____________________________ D．2. 的值为（）A ． B．______________ C．D．3. 已知命题，，则是（）A ．，______________________________________ B．，C ．，______________________________________ D．，4. 已知平面向量，，则向量（）A ．____________________________ B．C．____________________________ D．5. 已知数列是等差数列，，其前项和，则其公差等于（）A ．____________________ B． C．D．6. 一个简单组合体的三视图及尺寸如下图所示（单位：），则该组合体的体积为（）A ． B．____________________ C．______________________ D．7. 海面上有，，三个灯塔，，从望和成视角，从望和成视角，则（）．（表示海里，）．A ． B． C．______________________________ D．8. 如图，一面旗帜由，，三块区域构成，这三块区域必须涂上不同的颜色，现有红、黄、蓝、黑四种颜色可供选择，则区域是红色的概率是（）p9. ly:宋体; font-size:10.5pt">1 2 3 A ． B．C．_________ D．10. 在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（）A ． B． C．______________ D．11. 执行下边的算法语句，则输出为（）A ． B．______________ C．______________ D．12. 已知点是圆：上的动点，点，，是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最小值为（） A ． B． C． D．13. 已知函数，函数（），若存在，，使得成立，则实数的取值范围是（）A ． B． C． D．二、填空题14. 已知实数，满足，则的最大值为______________ ．15. 已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，有下列个命题：①若，且，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则．其中真命题的序号是 ____________ ．（填上你认为正确的所有命题的序号）16. 定义在上的函数满足，当时，有成立；若，，，，则，，大小关系为______________________________ ．17. 已知抛物线与点，过的焦点，且斜率为的直线与交于，两点，若，则______________________________ ．三、解答题18. 已知函数．（ 1 ）若点在角的终边上，求的值；（ 2 ）若，求的最小值．19. 如图，直三棱柱中，，为的中点，．（ 1 ）求证：平面；（ 2 ）若，求三棱锥的体积．20. 班主任想对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班名女同学，名男同学中随机抽取一个容量为的样本进行分析．（ 1 ）如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少位才符合抽样要求？（ 2 ）随机抽出位，他们的数学、地理成绩对应如下表：① 若规定分以上（包括分）为优秀，在该班随机调查一位同学，该同学的数学和地理成绩均为优秀的概率是多少？② 根据上表，用变量与的相关系数或用散点图说明地理成绩与数学成绩之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求出与的线性回归方程（系数精确到）；如果不具有线性相关关系，说明理由．参考公式：相关系数；回归直线的方程是：，其中，，是与对应的回归估计值．参考数据：，，，，，，，21. 椭圆（）的左右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，面积的最大值为．（ 1 ）求椭圆的方程；（ 2 ）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连结，并延长交直线分别于，两点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．22. 设函数，．（ 1 ）求的单调区间；（ 2 ）判断方程在区间上是否有解？若有解，说明解得个数及依据；若无解，说明理由．23. 选修4-1：几何证明选讲如图，弦与相交于圆内一点，过作的平行线与的延长线交于点，且．（ 1 ）求证：；（ 2 ）若，求长．24. 选修4-4：坐标系与参数方程已知圆的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中，，）．（ 1 ）直线过原点，且它的倾斜角，求与圆的交点的极坐标（点不是坐标原点）；（ 2 ）直线过线段中点，且直线交圆于，两点，求的最大值．25. 选修4-5：不等式选讲已知，．（ 1 ）当，解关于的不等式；（ 2 ）当时恒有，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
陕西省2019年高三(上)第一次模拟数学试卷(Word版 含解析)
2019年陕西省高三（上）第一次模拟数学试卷一．选择题（共12小题，每题4分，共48分）1．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}2．设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数4．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）6．如图所示，输入x=4程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．3 B．4 C．5 D．87．若f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a≥﹣38．如果命题“p且q”的否定为假命题，则（）A．p、q均为真命题 B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题9．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x3C．y=lnx D．y=|x|10．如果幂函数y=（m2﹣3m+3）x的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2 B．m=1或m=2 C．m=2 D．m=111．函数f（x）=ax2+bx+2a﹣b是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，则a+b=（）A．﹣B．C．0 D．112．函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式xf（x）＞0在[﹣1，3]上的解集为（）A．（1，3）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）∪（1，3）D．（﹣1，0）∪（0，1）二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知函数f（x）=，若f（m）=1，则m=．14．若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．15．已知log a＜1，那么a的取值范围是．16．设p：f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上是递增的，q：m≥﹣4，则p是q的条件．三．解答题（共5小题，共52分）17．（1）求不等式（）x＞（）x﹣1的解集（2）求函数的递增区间．18．设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．19．已知函数f（x）=是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3．（1）当a=2，x∈[﹣2，3]时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为1，求实数a的值．21．已知函数f（x）=﹣x3+12x+m．（1）若x∈R，求函数f（x）的极大值与极小值之差；（2）若函数y=f（x）有三个零点，求m的取值范围；（3）当x∈[﹣1，3]时，f（x）的最小值为﹣2，求f（x）的最大值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每题4分，共48分）1．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：D．2．设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i【考点】A6：复数代数形式的加减运算．【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，∴z=3﹣2i，∴=3+2i，故选：C3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数【考点】2J：命题的否定．【分析】根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．【解答】解：∵命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”是特称命题而特称命题的否定是全称命题，则命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数故选B4．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充要条件．【分析】求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选：A5．函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【考点】74：一元二次不等式的解法；4K：对数函数的定义域．【分析】利用对数函数的真数大于0求得函数定义域．【解答】解：由题意得：x2+2x﹣3＞0，即（x﹣1）（x+3）＞0解得x＞1或x＜﹣3所以定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）故选D．6．如图所示，输入x=4程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．3 B．4 C．5 D．8【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出y=的值，代入x=4，即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出y=的值，由于x=4＞0，可得：y=2×4﹣3=5．故选：C．7．若f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a≥﹣3【考点】3W：二次函数的性质．【分析】先由f（x）=x2+2（a﹣1）x+2得到其对称，再由f（x）在区间（﹣∞，4）上是减函数，则对称轴在区间的右侧，所以有1﹣a≥4，计算得到结果．【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴为x=1﹣a，∵f（x）在区间（﹣∞，4）上是减函数，开口向上，则只需1﹣a≥4，即a≤﹣3．故选：C．8．如果命题“p且q”的否定为假命题，则（）A．p、q均为真命题 B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据命题的否定求出”p且q”是真命题，从而判断命题的真假．【解答】解：若“p且q”的否定是假命题，则“p且q”是真命题，故p，q均是真命题，故选：A．9．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x3C．y=lnx D．y=|x|【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论．【解答】解：对于选项A，y=e x为增函数，y=﹣x为减函数，故y=e﹣x 为减函数，对于选项B，y′=3x2＞0，故y=x3为增函数，对于选项C，函数的定义域为x＞0，不为R，对于选项D，函数y=|x|为偶函数，在（﹣∞．0）上单调递减，在（0，∞）上单调递增，故选：B．10．如果幂函数y=（m2﹣3m+3）x的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2 B．m=1或m=2 C．m=2 D．m=1【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于等于0，系数为1，建立不等式组，解之即可．【解答】解：幂函数的图象不过原点，所以解得m=1或2，符合题意．故选B．11．函数f（x）=ax2+bx+2a﹣b是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，则a+b=（）A．﹣B．C．0 D．1【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+2a﹣b是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴b=0，又a﹣1=﹣2a，∴a=，∴a+b=．故选：B．12．函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式xf（x）＞0在[﹣1，3]上的解集为（）A．（1，3）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）∪（1，3）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考点】3Q：函数的周期性．【分析】根据函数的周期性和奇偶性，求出当x∈[﹣1，3]上的解析式，结合图象将不等式转化为或，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，∵当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，∴f（﹣x）=﹣x﹣1，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣x﹣1=f（x），即当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣x﹣1，即在一个周期[﹣2，2]内，f（x）=，若x∈[2，4]，则x﹣4∈[﹣2，0]，即f（x）=f（x﹣4）=﹣（x﹣4）﹣1=﹣x+3，x∈[2，4]，作出函数f（x）在[﹣2，4]上的图象如图：则当x∈[﹣1，3]时，不等式xf（x）＞0等价为或，即1＜x＜3或﹣1＜x＜0，即（﹣1，0）∪（1，3），故选：C二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知函数f（x）=，若f（m）=1，则m=﹣1或10．【考点】3T：函数的值．【分析】根据分段函数的表达式进行解方程即可．【解答】解：若x＞0，则由f（m）=1得f（m）=m2=1，解得m=﹣1，若x≤0，则由f（m）=1得f（m）=lgm=1，解得m=10，综上m=﹣1或m=10，故答案为：﹣1或10．14．若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．15．已知log a＜1，那么a的取值范围是0＜a＜或a＞1．【考点】7J：指、对数不等式的解法．【分析】对a讨论，分a＞1，0＜a＜1，运用对数函数的单调性，得到a的不等式，解出它们，注意前提，最后求并．【解答】解：log a＜1，即log a＜log a a．当a＞1时，＜a，∴a＞1．当0＜a＜1时，＞a，∴0＜a＜．∴a的取值范围是0＜a＜或a＞1．故答案为：0＜a＜或a＞1．16．设p：f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上是递增的，q：m≥﹣4，则p是q的充要条件．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合函数单调性的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：要使f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，则f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，即f′（x）=恒成立，∴m在（0，+∞）恒成立，∵当x＞0时，，∴，即m≥﹣4，∴p：m≥﹣4，∵q：m≥﹣4，∴p是q的充分必要条件．故答案为：充要条件三．解答题（共5小题，共52分）17．（1）求不等式（）x＞（）x﹣1的解集（2）求函数的递增区间．【考点】7J：指、对数不等式的解法．【分析】（1）根据指数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可；（2）根据复合函数的性质求出函数的递增区间即可．【解答】解：（1）∵（）x＞（）x﹣1，∴＜，∴2x＜x﹣1，解得：x＜﹣1，故不等式的解集是：（﹣∞，﹣1）；（2）令f（x）=x2+2x+2，对称轴x=﹣1，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，故在（﹣∞，1）递增．18．设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）利用已知条件通过求解方程得到a，利用对数的真数大于0即可求解函数的定义域．（2）化简函数的解析式，通过复合函数以及二次函数的单调性，函数的定义域，求解函数的最大值．【解答】解：（1）∵f（1）=2，∴log a4=2（a＞0，a≠1），∴a=2．由3﹣x＞0，1+x＞0，得x∈（﹣1，3），∴函数f（x）的定义域为（﹣1，3）．（2）f（x）=log2（1+x）+log2（3﹣x）=log2[（1+x）（3﹣x）]=log2[﹣（x﹣1）2+4]，∴当x∈（﹣1，1]时，f（x）是增函数；当x∈（1，3）时，f（x）是减函数，故函数f（x）在[0，]上的最大值是f（1）=log24=2．19．已知函数f（x）=是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】分段函数f（x）=是R上的单调递增函数，则每一段均为增函数，且当x=1时，左段函数值不大于右段函数值，进而可得实数a的取值范围．【解答】解：根据函数f（x）=是R上的单调递增函数，可得：每一段均为增函数，且当x=1时，左端函数值不大于右端函数值，所以，解得4≤a＜8．故实数a的取值范围为[4，8）．20．已知函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3．（1）当a=2，x∈[﹣2，3]时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为1，求实数a的值．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】（1）利用二次函数，配方通过闭区间以及二次函数的对称轴求解函数最值即可．（2）求出函数的对称轴，利用对称轴与求解的中点，比较，求解函数的最大值，然后求解a的值即可．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x2+3x﹣3=（x+）2﹣，又x∈[﹣2，3]，所以f（x）min=f（﹣）=﹣，f（x）max=f（3）=15，所以值域为[﹣，15]．（2）对称轴为x=﹣．①当﹣≤1，即a≥﹣时，f（x）max=f（3）=6a+3，所以6a+3=1，即a=﹣31满足题意；②当﹣＞1，即a＜﹣时，f（x）max=f（﹣1）=﹣2a﹣1，所以﹣2a﹣1=1，即a=﹣1满足题意．综上可知a=﹣或﹣1．21．已知函数f（x）=﹣x3+12x+m．（1）若x∈R，求函数f（x）的极大值与极小值之差；（2）若函数y=f（x）有三个零点，求m的取值范围；（3）当x∈[﹣1，3]时，f（x）的最小值为﹣2，求f（x）的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；54：根的存在性及根的个数判断；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出导函数求出极值点，然后求解即可．（2）利用（1）的结果，列出不等式求解即可．（3）利用函数的最值求解m，然后求解最大值即可．【解答】解：（1）f′（x）=﹣3x2+12．当f′（x）=0时，x=﹣2或x=2．当f′（x）＞0时，﹣2＜x＜2．当f′（x）＜0时，x＜﹣2或x＞2．∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递减，在（﹣2，2）上单调递增．∴f（x）极小值=f（﹣2）=﹣16+m．f（x）极大值=f（2）=16+m．∴f（x）极大值﹣f（x）极小值=32．（2）由（1）知要使函数y=f（x）有三个零点，必须即∴﹣16＜m＜16．∴m的取值范围为（﹣16，16）．（3）当x∈[﹣1，3]时，由（1）知f（x）在[﹣1，2）上单调递增，f（x）在[2，3]上单调递减，f（x）的最大值为f（2）．又f（﹣1）=﹣11+m，f（3）=m+9，∴f（﹣1）＜f（3），∴在[﹣1，3]上f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣11+m，∴﹣11+m=﹣2，∴m=9．∴当x∈[﹣1，3]时，f（x）的最大值为：f（2）=（﹣2）3+12×2+9=25．。
2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷(文科)
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注：资料封面，下载即可删除2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{1A =，2，3，6，9}，{3|}B x x A =∈，{|3}C x N x A =∈∈，则(BC =)A ．{1，2，3}B ．{1，6，9}C ．{1，6}D ．{3}2．（5分）右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为,x x 乙甲，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )A ．,x x σσ><乙乙甲甲B ．,x x σσ>>乙乙甲甲C ．,x x σσ乙乙甲甲D ．,x x σσ<<乙乙甲甲3．（5分）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式cos sin ix e x i x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，2i e 表示的复数所对应的点在复平面中位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（5分）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =+ 5．（5分）《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？( ) A ．18B ．20C ．21D ．256．（5分）设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r ，y 关于x 的回归直线方程为ˆykx b =+，则( ) A ．k 与r 的符号相同 B ．b 与r 的符号相同C ．k 与r 的符号相反D ．b 与r 的符号相反7．（5分）如果对定义在R 上的奇函数()y f x =，对任意两个不相邻的实数1x ，2x ，所有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()y f x =为“H 函数”，下列函数为H 函数的是( ) A ．()sin f x x =B ．()x f x e =C ．3()3f x x x =-D ．()||f x x x =8．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A 出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点1A ，则该蚂蚁走过的最短路径为( )A 193B ．25C ．2193D ．319．（5分）将函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位，在向上平移一个单位，得到()g x 的图象．若12()()4g x g x =，且1x ，2[2x π∈-，2]π，则122x x -的最大值为( ) A ．92πB ．72π C ．52π D ．32π 10．（5分）已知圆22:2430C x y x y +--+=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则||PC 的最大值为( ) ABC．D．11．（5分）抛物线212x y =在第一象限内图象上一点(i a ，22)i a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i N ∈，若232a =，则246a a a ++等于( ) A ．64B ．42C ．32D ．2112．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为( ) AB ．2CD ．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．（5分）已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，点(,)P x y 在抛物线C 上，且1x =，则||PF = ．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件42047020x y x y x y ++⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，则5z x y =-+的最大值为 ．15．（5分）设函数21,1()(1),1x x f x f x x ⎧-<=⎨-⎩，则函数2(log 10)f = ．16．（5分）如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -O ，底面ABCD 在半球O 底面所在平面上，1A ，1B ，1C ，1D 四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,23a b c a =，且(23)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-．（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E ，F 分别为PC ，PA 的中点，底面是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，2AB AD PD ===，4CD =． （1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ； （2）求三棱锥P EFB -的体积．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值x 及方差2s ；（3）当质量指标值位于(80,122.5)时，认为该产品为合格品，求该产品为合格品的概率．20．（12分）已知椭圆C 过点(26,2)A ，两个焦点(26,0),(26,0)-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为3，求AOB ∆面积的最大值．21．（12分）已知函数()()x f x e ax a R =-∈有两个零点． （1）求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，求证：122x x +>．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程] 22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=，直线l 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数，0)απ<．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； （Ⅱ）若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长． [选修4-：5：不等式选讲]23．已知函数()|1||3|f x x x m =++--R ． （Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{1A =，2，3，6，9}，{3|}B x x A =∈，{|3}C x N x A =∈∈，则(BC =)A ．{1，2，3}B ．{1，6，9}C ．{1，6}D ．{3}【解答】解：集合{1A =，2，3，6，9}， {3|}{3B x x A =∈=，6，9，18，27}， {|3}{1C x N x A =∈∈=，2，3}， {3}BC ∴=．故选：D ．2．（5分）右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为,x x 乙甲，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )A ．,x x σσ><乙乙甲甲B ．,x x σσ>>乙乙甲甲C ．,x x σσ乙乙甲甲D ．,x x σσ<<乙乙甲甲【解答】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中， 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定， 设甲乙两位同学成绩的平均值分别为,x x 乙甲， 标准差分别为σ甲，σ乙， 则x x >乙甲，σσ<乙甲． 故选：A ．3．（5分）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式cos sin ix e x i x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，2i e 表示的复数所对应的点在复平面中位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由题意可得，2cos2sin 2i e i =+，22ππ<<，cos20∴<，sin 20>，则2i e 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限． 故选：B ．4．（5分）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则( ) A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =+ 【解答】解：3BC CD =；∴3()AC AB AD AC -=-； ∴1433AD AB AC =-+． 故选：A ．5．（5分）《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？( ) A ．18B ．20C ．21D ．25【解答】解：设公差为d ，由题意可得：前30项和3030293903052S d ⨯==⨯+，解得1629d =． ∴最后一天织的布的尺数等于165295292129d +=+⨯=． 故选：C ．6．（5分）设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r ，y 关于x 的回归直线方程为ˆykx b =+，则( ) A ．k 与r 的符号相同 B ．b 与r 的符号相同C ．k 与r 的符号相反D ．b 与r 的符号相反【解答】解：相关系数r 为正，表示正相关，回归直线方程上升， r 为负，表示负相关，回归直线方程下降，k ∴与r 的符号相同．故选：A ．7．（5分）如果对定义在R 上的奇函数()y f x =，对任意两个不相邻的实数1x ，2x ，所有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()y f x =为“H 函数”，下列函数为H 函数的是( ) A ．()sin f x x =B ．()x f x e =C ．3()3f x x x =-D ．()||f x x x =【解答】解：根据题意，对于所有的不相等实数1x ，2x ，则11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，则有1212()[()()]0x x f x f x -->恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数， 则“H 函数”为奇函数且在R 上为增函数， 据此依次分析选项：对于A ，()sin f x x =，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意； 对于B ，()x f x e =，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C ，3()3f x x x =-，为奇函数，但在R 上不是增函数，不符合题意； 对于D ，22,0()||,0x x f x x x x x ⎧==⎨-<⎩，为奇函数且在R 上为增函数，符合题意；故选：D ．8．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A 出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点1A ，则该蚂蚁走过的最短路径为( )A ．193B ．25C ．2193D ．31【解答】解：将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．2343=，所以矩形的长等于4624⨯=，宽等于7， 由勾股定理求得2224725d +=． 故选：B ．9．（5分）将函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位，在向上平移一个单位，得到()g x 的图象．若12()()4g x g x =，且1x ，2[2x π∈-，2]π，则122x x -的最大值为( ) A ．92πB ．72π C ．52π D ．32π 【解答】解：将函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位，再向上平移一个单位，得到2()sin(2)1cos2136g x x x ππ=-++=-+ 的图象， 故()g x 的最大值为2，最小值为0，若12()()4g x g x =，则12()()2g x g x ==，或12()()2g x g x ==-（舍去）． 故有12()()2g x g x ==，即12cos2cos21x x ==-，又1x ，2[2x π∈-，2]π，则12x π=，22x π=- 则122x x -取得最大值为322πππ+=． 故选：D ．10．（5分）已知圆22:2430C x y x y +--+=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则||PC 的最大值为( )AB C ．D ．【解答】解：由圆22:2430C x y x y +--+=，得：22(1)(2)2x y -+-=，∴圆心坐标(1,2)C ，半径r =等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，圆中最长弦即为直径，||AB ∴的最大值为直径又PAB ∆为等边三角形，||PC ∴的最大值也为故选：C ．11．（5分）抛物线212x y =在第一象限内图象上一点(i a ，22)i a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i N ∈，若232a =，则246a a a ++等于( ) A ．64 B ．42C ．32D ．21【解答】解：22(0)y x x =>，4y x ∴'=， 212x y ∴=在第一象限内图象上一点(i a ，22)i a 处的切线方程是：224()i i i y a a x a -=-， 整理，得2420i i a x y a --=， 切线与x 轴交点的横坐标为1i a +， 112i i a a +∴=，2{}k a ∴是首项为232a =，公比14q =的等比数列， 246328242a a a ∴++=++=．故选：B ．12．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为( )A B ．2CD ．5【解答】解：2(,0)F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为2||F P b ==，即有||OP a ==，OP 为△12MF F 的中位线，可得1||2||2MF OP a ==， 2||2MF b =，可得21||||2MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得c e a ===故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，点(,)P x y 在抛物线C 上，且1x =，则||PF = 178． 【解答】解：由22y x =，得212x y =，则14p =；由1x =得2y =，由抛物线的性质可得117||22288p PF =+=+=， 故答案为：178． 14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件42047020x y x y x y ++⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，则5z x y =-+的最大值为 10 ．【解答】解：作出实数x ，y 满足约束条件42047020x y x y x y ++⎧⎪+-⎨⎪-+⎩的可行域如图所示：作直线0:50l x y -+=，再作一组平行于0l 的直线:5l x y z -+=， 当直线l 经过点A 时，5z x y =-+取得最大值， 由42020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得点A 的坐标为(2,0)-，所以5(2)010max z =-⨯-+=． 5z x y =-+的最大值为：10．故答案为：10．15．（5分）设函数21,1()(1),1x x f x f x x ⎧-<=⎨-⎩，则函数2(log 10)f = 14 ．【解答】解：函数21,1()(1),1x x f x f x x ⎧-<=⎨-⎩，∴函数210322223101(log 10)(log 101)(log 102)(log 103)21124log f f f f -=-=-=-=-=-=． 故答案为：14． 16．（5分）如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -和半径为3的半球O ，底面ABCD 在半球O 底面所在平面上，1A ，1B ，1C ，1D 四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为 4 ．【解答】解：设正四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ，底面棱长为a ，则正四棱柱的底面外接圆直径为22r a ，所以，2r =． 由勾股定理得222(3)h r +=，即2232a h +=，得2262a h =-，其中03h <<，所以，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为223(62)26V a h h h h h ==-=-+，其中03h <<，构造函数3()26f h h h =-+，其中0h <2()66f h h '=-+，令()0f h '=，得1h =．当01h <<时，()0f h '>；当1h <<()0f h '<．所以，函数()V f h =在1h =处取得极大值，亦即最大值，则max V f =（1）4=． 因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c a =，且)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-．（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积的最大值．【解答】解：（1）在ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c a =，且)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-．整理得：()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-， 利用正弦定理得：222a b c bc -=-，即：2221cos 22b c a A bc +-==，由于：0A π<<， 解得：3A π=．（2）由于3a A π==，所以：2222cos a b c bc A =+-，整理得：22122b c bc bc bc bc =+--=， 所以：113sin 1233222ABC S bc A ∆==．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E ，F 分别为PC ，PA 的中点，底面是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，2AB AD PD ===，4CD =． （1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ； （2）求三棱锥P EFB -的体积．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，过点B 作BH CD ⊥于H ， 在BCH ∆中，有2BH CH ==，45BCH ∴∠=︒． 又在DAB ∆中，有2AD AB ==，45ADB ∴∠=︒． 45BDC ∴∠=︒，90DBC ∴∠=︒．BC BD ∴⊥．PD CD ⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⋂平面ABCD CD =，PD ⊂平面PCD ，PD ∴⊥平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BDPD D =，BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，BC ∴⊥平面PBD ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ；（2）解：//AB CD ，且AB ⊂平面PAB ，CD ⊂/平面PAB ，则//CD 平面PAB ，在Rt PDA ∆中，由2AD PD ==，可得D 到PA 的距离为2，即D 到平面PAB 的距离为2． 又E 为PC 的中点，可得E 到平面PAB 的距离为22． 在Rt PAB ∆中，由2AB =，22PA =，且F 为PA 的中点， 可得122PBF PAB S S ∆∆==．1212323P EFB E PBF V V --∴==⨯⨯=．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值x及方差2s；（3）当质量指标值位于(80,122.5)时，认为该产品为合格品，求该产品为合格品的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：-+++⨯=，[95，105)内的频率为：1(0.0060.0260.0220.008)100.38由此能补全频率分布直方图如下：（2）质量指标值的样本平均数为：800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．质量指标值的样本方差为22222(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104S =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）当质量指标值位于(80,122.5)时，认为该产品为合格品， 质量指标值位于(80,122.5)的频率为：0.006310(0.0260.0380.022)100.008100.9524⨯+++⨯+⨯⨯=． ∴该产品为合格品的概率为0.95．20．（12分）已知椭圆C 过点A ，两个焦点(-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为3，求AOB ∆面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距c ．则c =2221b+=，222a b c =+．联立解得：c =，6a =，212b =．∴椭圆C 的标准方程为：2213612x y +=．（2）直线l 与x 轴平行时，把3y =±代入椭圆方程可得：2913612x +=，解得3x =±，可得AOB∆面积16392S =⨯⨯=．直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x ty m =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 原点到直线AB 的距离3d ==，化为：229(1)m t =+．联立22336x ty m x y =+⎧⎨+=⎩，化为：222(3)2360t y tmy m +++-=， △222244(3)(36)0t m t m =-+->，12223tmy y t +=-+，2122363m y y t -=+．则22(1)(||6(3)t t AB t +===+，令233t n+=，则AOB∆面积2222 11(1)(9)||3622(3)t tS d ABt++==⨯⨯+44933=⨯=当且仅当6n=，t=AOB∆面积取得最大值．21．（12分）已知函数()()xf x e ax a R=-∈有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数()f x的两个零点分别为1x，2x，求证：122x x+>．【解答】解：（1）由()xf x e ax=-，得()xf x e a'=-，当0a<时，()f x在R上为增函数，函数()f x最多有一个零点，不符合题意，所以0a>．当0a>时，()x x lnaf x e a e e'=-=-()0f x x lna'<⇔<；()0f x x lna'>⇔>；所以()f x在(,)lna-∞上为减函数，在(,)lna+∞上为增函数；所以()()minf x f lna a alna==-；若函数()f x有两个零点，则()0f lna a e<⇒>；当a e>时，(0)10f=>，f（1）0e a=-<；32(3)()30af a e a=->；由零点存在定理，函数()f x在(0,1)和(1,3)a上各有一个零点．结合函数()f x的单调性，当a e>时，函数()f x有且仅有两个零点，所以，a的取值范围为(,)e+∞．（2）证明：由（1）得a e>，120x x<<；由11ex ax=，22ex ax=得11x lna lnx=+，22x lna lnx=+；所以221211xx x lnx lnx lnx-=-=；设21xtx=(1)t>，则2121x txx x lnt=⎧⎨-=⎩，解得11lnt x t =-，21tlnt x t =-； 所以12(1)1t lnt x x t ++=-， 当1t >时，12(1)221t lnt x x t ++>⇔>- 2(1)01t lnt t -⇔->+； 设2(1)()1t h t lnt t -=-+，则22(1)()(1)t h t t t -'=+，当1t >时，()0h t '>； 于是()h t 在(1,)+∞上为增函数；所以，当1t >时，()h t h >（1）0=，即2(1)01t lnt t -->+； 所以122x x +>．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=，直线l 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数，0)απ<．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状；（Ⅱ）若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程24cos sin θρθ=化为22sin 4cos ρθρθ=， 得到曲线C 的直角坐标方程为24y x =，故曲线C 是顶点为(0,0)O ，焦点为(1,0)F 的抛物线；（2）直线l 的参数方程为cos (1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩ t 为参数，0)απ<． 故l 经过点(0,1)；若直线l 经过点(1,0)，则34πα=， ∴直线l的参数方程为3cos 4(31sin 142x t t y t ππ⎧==⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩为参数）．代入24y x =，得220t ++=设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=-，122t t =．12||||8AB t t =-=．[选修4-：5：不等式选讲]23．已知函数()f x =R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值． 【解答】解：（1）函数定义域为R ，|1||3|0x x m ∴++--恒成立， 设函数()|1||3|g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值，又|1||3||(1)(3)|4x x x x ++-+--=，即()g x 的最小值为4，4m ∴．（2）由（1）知4n =，12112(3)2(2)12974(622)()(5)(52)432423434a b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b b a b +++∴+=++++=+++⨯=+++++，当且仅当23a b a b +=+，即3210b a ==时取等号． 74a b ∴+的最小值为94．。
2019年陕西省高考数学全真模拟文科试卷(五)
2019年陕西省高考数学全真模拟文科试卷（五）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x≥0}，B={﹣1，0，1}，则A∩B=（）A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，0} D．∅2．已知向量，则向量=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，0）C．（1，1）D．（0，﹣1）3．若复数z满足，其中i为复数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i4．已知抛物线方程为，则该抛物线的焦点坐标为（）A．（0，﹣1）B．C．D．（0，1）5．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=lnx B．y=cosx C．y=﹣x2D．6．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a5+a8=15，则S9的值（）A．54 B．45 C．36 D．277．已知x、y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣28．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣φ＜）的部分图象如图所示，则f（）=（）A．B．1 C．D．29．已知某个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．4B．12 C．8D．810．已知菱形ABCD的边长为4，，若在菱形内取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为（）A．B．C．D．11．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=112．定义f（x）•g（x）=，函数F（x）=（x2﹣1）•（x）﹣k的图象与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．k≥3或0≤k＜1 B．k＞3或0＜k＜1 C．k≤1或k≥3 D．0≤k≤1或k＞3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若b在[0，10]上随机地取值，则使方程x2﹣bx+b+3=0有实根的概率是．14．已知的值为．15．已知函数f（x）=log a是奇函数（a＞0，a≠1），则m的值等于．16．设点P是圆x2+y2=4上的任一点，定点D的坐标为（8，0）．当点P在圆上运动时，则线段PD的中点M的轨迹方程是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知f（x）是R上的单调函数，∀x1，x2∈R，∃x0∈R，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．（I）求x0的值；（II）若f（x0）=1，且∀n∈N*，有a n=f（）+1，若数列{a n}的前n项和S n，求证：S n＜1．18．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，高为h，过底面一边BC作截面，与侧面PAQ交于EF，若截面将棱锥分成体积相等的两部分，（I）求证：EF∥平面ABCD；（II）求EF到底面ABCD的距离．19．五一劳动节期间，记者通过随机询问某景区60名游客对景区的服务是否满总计60已知在60人中随机抽取1人，抽到男性的概率为．（I）请将上面的2×2列联表补充完整（直接写结果），并判断是否有75%的把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关，说明理由；（II）从这60名游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，从这5人中任选3人，求所选的3人至少有一名男性的概率．k0 1.323 2.072 2.706 3.841 6.635K2=（其中n=a+b+c+d）20．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y﹣1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=．（1）求抛物线的方程；（2）在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2+3x﹣3﹣ke x．（I）当x≥﹣5时，f（x）≤0，求k的取值范围；（II）当k=﹣1时，求证：f（x）＞﹣6．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，曲线C的参数方程是（α是参数）．（I）求直线l及曲线C的直角坐标方程；（II）求曲线C上的点到直线l的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]23．对于实数x∈（0，），f（x）=．（I）f（x）≥t恒成立，求t的最大值；（II）在（I）的条件下，求不等式|x+t|+|x﹣2|≥5的解集．2019年陕西省高考数学全真模拟文科试卷（五）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x≥0}，B={﹣1，0，1}，则A∩B=（）A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，0} D．∅【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|x≥0}，B={﹣1，0，1}，∴A∩B={0，1}，故选：B．2．已知向量，则向量=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，0）C．（1，1）D．（0，﹣1）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用=，即可得出．【解答】解：==（1，1），故选：C．3．若复数z满足，其中i为复数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，直接利用复数代数形式的乘法运算得答案．【解答】解：由，得z=i（1﹣i）=1+i，故选：B．4．已知抛物线方程为，则该抛物线的焦点坐标为（）A．（0，﹣1）B．C．D．（0，1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】把抛物线方程化成标准方程，根据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标．【解答】解：把抛物线方程化为标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点在y轴的正半轴，p=2，．∴抛物线的焦点坐标为（0，1）．故选：D．5．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=lnx B．y=cosx C．y=﹣x2D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据偶函数图象的对称性，对数函数和指数函数的图象，偶函数的定义，二次函数以及余弦函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=lnx的图象不关于y轴对称，不是偶函数，∴该选项错误；B．y=cosx在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；C．y=﹣x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，∴该选项正确；D.的图象不关于y轴对称，不是偶函数，∴该选项错误．故选C．6．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a5+a8=15，则S9的值（）A．54 B．45 C．36 D．27【考点】等差数列的前n项和．【分析】由条件并等差数列的定义和性质可得3a5=15，求出a5=5，由S9= =9a5运算求得结果．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a5+a8=15，则由等差数列的定义和性质可得3a5=15，∴a5=5．S9==9a5=45，故选B．7．已知x、y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：画出可行域（如下图），由z=x﹣y可得y=x﹣z则﹣z为直线y=x﹣z在y轴上的截距，截距越小，z越大由图可知，当直线l经过点C（2，0）时，z最大，且最大值为zmax=2故选C8．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣φ＜）的部分图象如图所示，则f（）=（）A．B．1 C．D．2【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣φ＜）的部分图象，可得==﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可的2•+φ=，求得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣），∴f（）=2sin=，故选：A．9．已知某个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．4B ．12C ．8D ．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原图形，然后利用正方体和三棱柱的体积公式求得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：则该几何体的体积为V=．故选：B ．10．已知菱形ABCD 的边长为4，，若在菱形内取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积进行求解即可． 【解答】解：分别以A ，B ，C ，D 为圆心，1为半径的圆， 则所以概率对应的面积为阴影部分，则四个圆在菱形内的扇形夹角之和为2π，则对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积S=π×12=π， ∵S 菱形ABCD =AB •BCsin=4×4×=8，∴S 阴影=S 菱形ABCD ﹣S 空白=8﹣π×12=8﹣π． 因此，该点到四个顶点的距离大于1的概率P===，故选：D ．11．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由已知得双曲线的标准方程为=1，且2a+2b=•2c，由此能求出双曲线方程．【解答】解：∵双曲线的顶点坐标为（0，2），∴a=2，且双曲线的标准方程为=1．根据题意2a+2b=•2c，即a+b=c．又a2+b2=c2，且a=2，∴解上述两个方程，得b2=4．∴符合题意的双曲线方程为．故选：B．12．定义f（x）•g（x）=，函数F（x）=（x2﹣1）•（x）﹣k的图象与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．k≥3或0≤k＜1 B．k＞3或0＜k＜1 C．k≤1或k≥3 D．0≤k≤1或k＞3【考点】分段函数的应用；函数的图象．【分析】根据定义求出（x2﹣1）*（x）的表达式，然后将函数转化为（x2﹣1）*（x）=k，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由x2﹣1+x≥1，即x2+x﹣2≥0，解得x≥1或x≤﹣2，由x2﹣1+x＜1，即x2+x﹣2＜0，解得﹣2＜x＜1，即（x2﹣1）*（x）=，由F（x）=（x2﹣1）*（x）﹣k=0得（x2﹣1）*（x）=k，作出函数（x2﹣1）*（x）的图象如图：要使（x2﹣1）*（x）=k有两个交点，则满足k≥3或0≤k＜1，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若b在[0，10]上随机地取值，则使方程x2﹣bx+b+3=0有实根的概率是．【考点】几何概型．【分析】由题意，本题是几何概型的概率；利用区间长度的比解之．【解答】解：已知b在[0，10]上，区间长度为10，又在此范围内满足方程x2﹣bx+b+3=0有实根的b的范围是b2﹣4（b+3）≥0，即[6，10]，区间长度为4，由几何概型的公式得到使方程x2﹣bx+b+3=0有实根的概率是；故答案为：14．已知的值为﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、二倍角公式，求得sin（α﹣）的值．【解答】解：∵sin（α+）+2=1﹣，sinα+cosα+1﹣cosα=1﹣，即sinα﹣cosα=﹣，∴sin（α﹣）=﹣，故答案为：﹣．15．已知函数f（x）=log a是奇函数（a＞0，a≠1），则m的值等于﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=log a是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，则log a+log a=log a（•）=0，则•==1，即m2=1，则m=1或m=﹣1，当m=1时，f（x）=log a=log a（﹣1）无意义，故m=﹣1，故答案为：﹣116．设点P是圆x2+y2=4上的任一点，定点D的坐标为（8，0）．当点P在圆上运动时，则线段PD的中点M的轨迹方程是（x﹣4）2+y2=1．【考点】轨迹方程．【分析】设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由中点坐标公式写出方程组，解出x0和y0，代入已知圆的方程即可．此求轨迹方程的方法为相关点法．【解答】解：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则，．即x0=2x﹣8，y0=2y．因为点P（x0，y0）在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4．即（2x﹣8）2+（2y）2=4，即（x﹣4）2+y2=1，这就是动点M的轨迹方程．故答案为：（x﹣4）2+y2=1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知f（x）是R上的单调函数，∀x1，x2∈R，∃x0∈R，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．（I）求x0的值；（II）若f（x0）=1，且∀n∈N*，有a n=f（）+1，若数列{a n}的前n项和S n，求证：S n＜1．【考点】数列与函数的综合；抽象函数及其应用；数列的求和．【分析】（I）令x1=x2=0，得f（0）=f（x0）+2f（0），故f（x0）=﹣f（0），令x1=1，x2=0，得f（x0）=f（x0）+f（1）+f（0），故f（1）=﹣f（0），得f（x0）=f（1），由函数的单调性即可求得x0的值；（II）由（I）可知：求得f（n）=2n﹣1，可知数列{f（n）}，是以2为公差，以1为首项的等差数列，代入求得数列{a n}的通项公式，根据等比数列前n项和公式即可求证S n＜1．【解答】解：（I）令x1=x2=0，得f（0）=f（x0）+2f（0），∴f（x0）=﹣f（0）①令x1=1，x2=0，得f（x0）=f（x0）+f（1）+f（0），∴f（1）=﹣f（0）②由①、②知，f（x0）=f（1），又f（x）是R上的单调函数，∴x0=1．（II）证明：∵f（x1+x2）=f（1）+f（x1）+f（x2）=1+f（x1）+f（x2），∴f（n+1）=1+f（n）+f（1）=f（n）+2，（n∈N*），∴数列{f（n）}，是以2为公差，以1为首项的等差数列，f（n）=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴f（n）=2n﹣1，∴．数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列前n项和公式可知：．∴S n＜1．18．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，高为h，过底面一边BC作截面，与侧面PAQ交于EF，若截面将棱锥分成体积相等的两部分，（I）求证：EF∥平面ABCD；（II）求EF到底面ABCD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（I）利用四边形ABCD为平行四边形，可得BC∥AD，再利用线面平行的判定与性质定理即可证明．（II）设EF到底面ABCD的距离为x．连接BF，BD，ED，则x分别是三棱锥E﹣ABD和F﹣BCD的高，设平行四边形ABCD的底面面积为S，利用“等体积法”可得：．同理可得．于是多面体FEABCD的体积=．即可得出．【解答】（I）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥面PAD．又∵截面BCEF∩面PAD=EF，EF⊄平面ABCD，∴EF∥面ABCD．（II）解：设EF到底面ABCD的距离为x．连接BF，BD，ED，则x分别是三棱锥E﹣ABD和F﹣BCD的高，设平行四边形ABCD的底面面积为S，则．∵三棱锥B﹣ADE与三棱锥B﹣DEF等高，而△ADE与△DEF也等高，∴，∴．∴多面体FEABCD的体积．由可得：．解之，得．∵，故应舍去，∴所求距离为．19．五一劳动节期间，记者通过随机询问某景区60名游客对景区的服务是否满总计60已知在60人中随机抽取1人，抽到男性的概率为．（I）请将上面的2×2列联表补充完整（直接写结果），并判断是否有75%的把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关，说明理由；（II）从这60名游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，从这5人中任选3人，求所选的3人至少有一名男性的概率．k0 1.323 2.072 2.706 3.841 6.635K2=（其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（I）由题意可知求得男生的人数，即可求得女生的总人数，将2×2列联表填完整，根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，即可得到没有75%的把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关；（II）分别求得总的事件和可能了的事件的个数，根据古典概型公式即可求得所选的3人至少有一名男性的概率．总计24 36 60K2==0.476＜1.323，∴没有75%的把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关．（II）这60名游客中采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，其中男性2人，女性3人，男性记为a1，a2，女性记为b1，b2，b3，则所有可能结果为：（a1，a2，b1）；（a1，a2，b2）；（a1，a2，b3）；（a1，b1，b2）；（a1，b2，b3）；（a1，b1，b3）；（a2，b1，b2）；（a2，b2，b3）；（a2，b1，b3）；（b1，b2，b3），共有10种情况，记“所选的3人至少有一名男性的概率”为事件M，则事件M包含的基本事件共有9种情况，则P（M）=．20．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y﹣1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=．（1）求抛物线的方程；（2）在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设所求抛物线的方程为y2=2px，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得P值，从而解决问题．（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x轴上存在满足条件的点C（x0，0），再利用△ABC为正三角形，求出CD的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】解：（1）设所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），由消去y，得x2﹣2（1+p）x+1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2（1+p），x1•x2=1．∵|AB|=，∴=，∴121p2+242p﹣48=0，∴p=或﹣（舍）．∴抛物线的方程为y2=x．（2）设AB的中点为D，则D．假设x轴上存在满足条件的点C（x0，0），∵△ABC为正三角形，∴CD⊥AB，∴x0=．∴C（），∴|CD|=．又∵|CD|=|AB|=，故矛盾，∴x轴上不存在点C，使△ABC为正三角形．21．已知函数f（x）=x2+3x﹣3﹣ke x．（I）当x≥﹣5时，f（x）≤0，求k的取值范围；（II）当k=﹣1时，求证：f（x）＞﹣6．【考点】二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）由题意，分离参数求得k的取值范围，构造辅助函数（x≥﹣5），求导，利用导数求得函数的单调区间及最大值，即可求得k的取值范围；（II）当k=﹣1时，求得f′（x），构造辅助函数h（x）=2x+3+e x，求导，求得h（x）单调区间及零点，即可求得f（x）的最小值，由在（﹣2，﹣1）上单调递减，f（x0）＞f（﹣1）=﹣6，即可求证f（x）＞﹣6．【解答】解：（I）由题意可知，当x≥﹣5时x2+3x﹣3≤ke x恒成立，即．令（x≥﹣5），则，由g'（x）＜0，得﹣5≤x＜﹣3或x＞2，由g'（x）＞0，得﹣3＜x＜2，所以g（x）在[﹣5，﹣3）和（2，+∞）单调递减，在（﹣3，2）单调递增．所以，，g（﹣5）＞g（2），所以x≥﹣5时，，所以k≥7e5；（II）证明：当k=﹣1时，f（x）=x2+3x﹣3+e x，f'（x）=2x+3+e x，设h（x）=2x+3+e x，则h'（x）=2+e x＞0恒成立，所以h（x）在R上单调递增．又因为，，所以h（x）=0在R上有唯一的零点，即f'（x）在R上单调递增且f'（x）=0在R上有唯一的零点，设这个零点为x0，则x0∈（﹣2，﹣1），并且有．可知f（x）在（x0，+∞）单调递增，在（﹣∞，x0）单调递减．所以==，因为在（﹣2，﹣1）上单调递减，于是f（x0）＞f（﹣1）=﹣6，所以f（x）＞﹣6．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，曲线C的参数方程是（α是参数）．（I）求直线l及曲线C的直角坐标方程；（II）求曲线C上的点到直线l的最小距离．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由ρsin（θ+）=，展开为，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．由，利用cos2α+sin2α=1，可得曲线C的直角坐标方程．（II）设曲线C上任意一点的坐标为，则该点到直线x+y﹣3=0的距离，利用三角函数的值域即可得出．【解答】解：（I）由ρsin（θ+）=，∴，即ρsinθ+ρcosθ﹣3=0，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，直线l的直角坐标方程是x+y﹣3=0．由，利用cos2α+sin2α=1，可得：曲线C的直角坐标方程是．（II）设曲线C上任意一点的坐标为，则该点到直线x+y﹣3=0的距离，当时，曲线C上的点到直线l的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]23．对于实数x∈（0，），f（x）=．（I）f（x）≥t恒成立，求t的最大值；（II）在（I）的条件下，求不等式|x+t|+|x﹣2|≥5的解集．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】（I）利用柯西不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）≥t恒成立，求t的最大值．（II）在（I）的条件下，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（I）∵实数x∈（0，），∴sinx＞0，cosx＞0，f（x）==[+]•（sin2x+cosx2），当且仅当=时，取等号，所以f（x）的最小值为1，所以t≤1，即t的最大值为1．（II）在（I）的条件下，|x+t|+|x﹣2|≥5，即，|x+1|+|x﹣2|≥5，这个不等式等价于①，或②，或③．解①求得x≤﹣2，解②求得x∈∅，解③求得x≥3，综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}．。
2019年陕西师大附中、西安高中、西工大附中等八校高考数学模拟试卷(文科)(3月份)-含详细解析
2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3，6，9}，B={3x|x∈A}，C={x∈N|3x∈A}，则B∩C=（）A. 2，B. 6，C.D.2.右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为甲，乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A. 甲乙甲乙B. 甲乙甲乙C. 甲乙甲乙D. 甲乙甲乙3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix=cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A. B.C. D.5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 256.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的回归直线方程为=kx+b，则（）A. k与r的符号相同B. b与r的符号相同C. k与r的符号相反D. b与r的符号相反7.如果对定义在R上的奇函数y=f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y=f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. B. C. D.8.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 319.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=4，且x1，x2∈[-2π，2π]，则x1-2x2的最大值为（）A. B. C. D.10.已知圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. D.11.抛物线x2=y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2=32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 2112.已知双曲线：＞，＞的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x=1，则|PF|=______．14.已知实数x，y满足约束条件，则z=-5x+y的最大值为______．15.设函数，则函数f（log210）=______．16.如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，A1，B1，C1，D1四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，PA的中点，底面是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）求三棱锥P-EFB的体积．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值及方差s2；（3）当质量指标值位于（80，122.5）时，认为该产品为合格品，求该产品为合格品的概率．20.已知椭圆C过点，，两个焦点，，，．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为3，求△AOB 面积的最大值．21.已知函数f（x）=e x-ax（a∈R）有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个零点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．23.已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={1，2，3，6，9}， B={3x|x ∈A}={3，6，9，18，27}， C={x ∈N|3x ∈A}={1，2，3}， ∴B∩C={3}． 故选：D ．先分别求出集合A ，B ，C ，由此能求出B∩C ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】A【解析】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中， 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定， 设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙， 则＞，σ甲＜σ乙．故选：A ．甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，从而得到＞，σ甲＜σ乙．本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】B【解析】解：由题意可得，e 2i=cos2+isin2，∵＜2＜π，∴cos2＜0，sin2＞0，则e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．由已知可得e2i=cos2+isin2，再由三角函数的象限符号得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.【答案】A【解析】解：；∴；∴．故选：A．根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5.【答案】C【解析】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，∴k与r的符号相同．故选：A．根据相关系数知相关系数的性质：|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小．r为正，表示正相关，回归直线方程上升，选出正确结果．本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，当相关系数大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系．7.【答案】D【解析】解：根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f（x）=sinx，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f（x）=e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3-3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=x|x|=，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．根据题意，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f （x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为=4，所以矩形的长等于4×6=24，宽等于7，由勾股定理求得d==25．故选：B．将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．9.【答案】A【解析】解：将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）=sin（2x-+）+1=-cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（x1）g（x2）=4，则g（x1）=g（x2）=2，或g（x1）=g（x2）=-2（舍去）．故有g（x1）=g（x2）=2，即cos2x1=cos2x2=-1，又x1，x2∈[-2π，2π]，∴2x1，2x2∈[-4π，4π]，要使x1-2x2取得最大值，则应有2x1=3π，2x2=-3π，故x1-2x2取得最大值为+3π=．故选：A．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1-2x2的最大值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，得：（x-1）2+（y-2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，圆中最长弦即为直径，∴|AB|的最大值为直径2，又∵△PAB为等边三角形，∴|PC|的最大值为等边三角形的高，．故选：B．化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键．11.【答案】B【解析】解：∵y=2x2（x＞0），∴y′=4x，∴x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），整理，得4a i x-y-2a i2=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1=a i，∴{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，∴a2+a4+a6=32+8+2=42．故选：B．由y=2x2（x＞0），求出x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），再由切线与x轴交点的横坐标为a i+1，知a i+1=a i，所以{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，由此能求出a2+a4+a6．本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．12.【答案】C【解析】解：F2（c，0），直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|==b，即有|OP|==a，OP为△MF1F2的中位线，可得|MF1|=2|OP|=2a，|MF2|=2b，可得|MF2|-|MF1|=2a，即为2b-2a=2a，即b=2a，可得e====．故选：C．求得F2到渐近线的距离为b，OP为△MF1F2的中位线，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由y=2x2，得x2=，则p=；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+=2+=，故答案为：．利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.【答案】10【解析】解：作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线l0：-5x+y=0，再作一组平行于l0的直线l：-5x+y=z，当直线l经过点A时，z=-5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（-2，0），所以z max=-5×（-2）+0=10．z=-5x+y的最大值为：10．故答案为：10．作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的最值即可．本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.【答案】【解析】解：∵函数，∴函数f（log10）=f（log210-1）=f（log210-2）=f（log210-3）=-1==．故答案为：．10）=f（log210-1）=f（log210-2）=f（log210-3）=-1，由此推导出函数f（log能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】4【解析】解：设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，．由勾股定理得，即，得a2=6-2h2，其中，所以，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V=a2h=（6-2h2）h=-2h3+6h，其中，构造函数f（h）=-2h3+6h，其中，则f′（h）=-6h2+6，令f′（h）=0，得h=1．当0＜h＜1时，f′（h）＞0；当时，f′（h）＜0．所以，函数V=f（h）在h=1处取得极大值，亦即最大值，则V max=f（1）=4．因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径，利用勾股定理h2+r2=3，得出a2=6-2h2，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值．本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题．17.【答案】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，且．整理得：（a+b）（sin A-sin B）=（c-b）sin C，利用正弦定理得：a2-b2=c2-bc，即：，由于：0＜A＜π，解得：A=．（2）由于，，所以：a2=b2+c2-2bc cos A，整理得：12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以：△ =3．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】（1）证明：在直角梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，在△BCH中，有BH=CH=2，∴∠BCH=45°．又在△DAB中，有AD=AB=2，∴∠ADB=45°．∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°．∴BC⊥BD．∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PD⊂平面PCD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：∵AB∥CD，且AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，则CD∥平面PAB，在Rt△PDA中，由AD=PD=2，可得D到PA的距离为，即D到平面PAB的距离为．又E为PC的中点，可得E到平面PAB的距离为．在Rt△PAB中，由AB=2，PA=，且F为PA的中点，可得△ △ =．∴V P-EFB=V E-PBF=．【解析】（1）过点B作BH⊥CD于H，证明BC⊥BD．PD⊥BC，通过直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PBD；（2）求出E到平面PAB的距离及三角形PBF的面积，利用等积法求三棱锥P-EFB的体积．本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：[95，105）内的频率为：1-（0.006+0.026+0.022+0.008）×10=0.38，由此能补全频率分布直方图如下：（2）质量指标值的样本平均数为：=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．质量指标值的样本方差为S2=（-20）2×0.06+（-10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104．（3）当质量指标值位于（80，122.5）时，认为该产品为合格品，质量指标值位于（80，122.5）的频率为：+=0.95．∴该产品为合格品的概率为0.95．【解析】（1）由频率分布直方图求出[95，105）内的频率为0.38，由此能补全频率分布直方图．（2）由频率分布直方图求出质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差．（3）求出质量指标值位于（80，122.5）的频率，由此能求出该产品为合格品的概率．本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（1）由题意可设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），半焦距c．则c=2，+=1，a2=b2+c2．联立解得：c=2，a=6，b2=12．∴椭圆C的标准方程为：=1．（2）直线l与x轴平行时，把y=±3代入椭圆方程可得：+=1，解得x=±3，可得△AOB 面积S==9．直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）．原点到直线AB的距离d==3，化为：m2=9（1+t2）．联立，化为：（t2+3）y2+2tmy+m2-36=0，△=4t2m2-4（t2+3）（m2-36）＞0，y1+y2=-，y1y2=．则|AB|===6•，令t2+3=n≥3，则△AOB面积S=d•|AB|=×3×6•=9=9≤9×=6，当且仅当n=6，t=时，△AOB面积取得最大值6．【解析】（1）由题意可设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），半焦距c．可得c=2，+=1，a2=b2+c2．联立解出即可得出．（2）直线l与x轴平行时，把y=±3代入椭圆方程可得：+=1，解得x，可得△AOB面积S=9．直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）．原点到直线AB的距离d==3，化为：m2=9（1+t2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（t2+3）y2+2tmy+m2-36=0，利用根与系数的关系可得|AB|=，令t2+3=n≥3，可得△AOB面积S=d•|AB|．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）由f（x）=e x-ax，得f'（x）=e x-a，当a＜0时，f（x）在R上为增函数，函数f（x）最多有一个零点，不符合题意，所以a＞0．当a＞0时，f'（x）=e x-a=e x-e ln af'（x）＜0⇔x＜ln a；f'（x）＞0⇔x＞ln a；所以f（x）在（-∞，ln a）上为减函数，在（ln a，+∞）上为增函数；所以f（x）min=f（ln a）=a-a lna；若函数f（x）有两个零点，则f（ln a）＜0⇒a＞e；当a＞e时，f（0）=1＞0，f（1）=e-a＜0；f（3a）=（e a）3-3a2＞0；由零点存在定理，函数f（x）在（0，1）和（1，3a）上各有一个零点．结合函数f（x）的单调性，当a＞e时，函数f（x）有且仅有两个零点，所以，a的取值范围为（e，+∞）．（2）证明：由（1）得a＞e，0＜x1＜x2；由ex1=ax1，ex2=ax2得x1=ln a+ln x1，x2=ln a+ln x2；所以x2-x1=ln x2-ln x1=ln；设=t（t＞1），则，解得x1=，x2=；所以x1+x2=，当t＞1时，x1+x2＞2⇔＞2⇔ln t-＞0；设h（t）=ln t-，则h'（t）=，当t＞1时，h'（t）＞0；于是h（t）在（1，+∞）上为增函数；所以，当t＞1时，h（t）＞h（1）=0，即ln t-＞0；所以x1+x2＞2．【解析】（1）利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a的范围；（2）由e x1=ax1，e x2=ax2得x1=lna+lnx1，x2=lna+lnx2；得到所以x1+x2=；构造函数h（t）=lnt-，求证即可．本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题．22.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-6，t1t2=2．|AB|=|t1-t2|===8．【解析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2=0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|=即可得出．本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.【答案】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．【解析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
【高考模拟】2019届陕西省西安市第一中学高三上学期第一次月考 数学(文)(word版有答案)
2019届陕西省西安市第一中学高三上学期第一次月考数学试题(文科)一、选择题（共12小题，每题3分,共36分）1．设全集U 是实数集R ，函数)4ln(2-=x y 的定义域为集合M ，集合{}42≤≤=x x N ，则N M C u )(为（ ）A.{)2|-=x x }B. 2C.{)2|=x x }D.{}2=x2．已知p ：，q ：，且是的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A.B.C. D.3．下列说法错误．．的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠” B ．“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件 C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题．D ．若命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”A B C D5．下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ） A ．3y x = B ．ln y x =C ．21y x=D ．cos y x =6．已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4()1(),4(2)(x x f x x f x ，那么(5)f 的值为（ ）A ．32B ．16C ．8D ．647．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （ ） A.9 B.11 C.5 D.78．设非零向量,-=+ ）A.= B. ⊥ C.// >9．已知函数5331)(23-+-=x ax x x f 在区间[1，2]上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．]3,(-∞B ．)2,(-∞C ．]47,(-∞ D ．]32,(-∞10．已知等比数列{}n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （ ） A.2 B.1 C.21 D.81 11．已知不等式sin x 4cos x 4＋3cos 2x 4－23－m≤0对任意的34π－≤x ≤0恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A.[23，＋∞) B.(－∞，23] C.[－23，＋∞) D.(－∞，－23] 12．设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，)('),('x g x f 为其导函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''⋅+⋅>且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是A ．(－3,0)∪(3,＋∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,－3)∪(3,＋∞) D.(－∞,－3)∪(0,3)二、填空题：（共4小题，每题4分共16分）13．已知向量),1()2,2(),2,1(λ=-==，若)2//(+，则=λ________.14．数列{}na 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 15．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=)0(,13)0( ,12)(2x x x x x f x ，则)(x f 零点的个数是________． 16．关于函数))(32sin(4)(R x x x f ∈-=π，有下列命题:①)65(π+=x f y 为偶函数; ②要得到函数x x g 2sin 4)(-=的图像,只需将)(x f 的图像向右平移3π个单位长度; ③)(x f y =的图像关于直线12π-=x 对称;④)(x f y =在[]π20，内的增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1250π，和⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ21211，.其中正确命题的序号为 .三、解答题（共4大题，共48分） 17．（本小题共12分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量)3,(b a m =与)sin ,(cos B A n =平行.（1）求A ；（2）若2,7==b a ，求△ABC 的面积. 18．（本小题共12分）已知函数).(cos sin 32cos sin )(22R x x x x x x f ∈--= （1）求)32(πf 的值； （2）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间. 19．（本小题共12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，.2,1,12211=+=-=b a b a（1）若533=+b a ，求{}n b 的通项公式； （2）若21T 3=，求.3S 20．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x ax bx =++（其中,a b 为常数）在1x =处取得极值．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0<a 时，若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值．市一中2018-2019学年度第一学期第一次模拟考试高三数学试题答案 （文科）一、 选择题（共12题，每题3分，共36分）二、填空题（共4题，每题4分，共16分）13.1/2 14.1/2 15. 316. ②③ 三、解答题（共5大题，共48分）17. 解：(1)因为)3,(b a =与)sin ,(cos B A =平行，所以0cos 3sin =-A b B a ，由正弦定理得0cos sin 3sin sinA =-A B B ，又0sinB ≠，从而3tanA =， 由于π<<A 0，所以.3π=A （2）由余弦定理得3=c ，故面积为233. （2）由正弦定理得721sin =B ，再得14213)sin(sin =+=B A C ，故面积为233. 18.解：(1)由已知求得)32(πf =2; （2）由已知)62sin(22sin 32cos )(π+-=--=x x x x f ，所以T=π.由πππππk x k 2236222+≤+≤+得单调增区间为).(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 19. 解: (1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由.222=+b a 得d+q=3，由533=+b a 得2d+q 2=6, 解得d=1,q=2. 所以{}n b 的通项公式为12-=n n b ；（2）由21,131==T b 得q 2+q-20=0, 解得q=-5或q=4， 当q=-5时，d=8，则S 3=21. 当q=4时，d=-1，则S 3=-6。
陕西省2019届高三数学第一次模拟联考试卷文(含答案解析)
陕西省2019届高三（联考）第一次模拟文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，直接运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.复数i（1+2i）的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意,根据复数的运算可得，所以复数的模为，故选D.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简单的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出几何体的直观图，判断几何体的形状以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中判断几何体的形状与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
2019年陕西省高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)
2019年陕西省高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 设，则A.B.C.D.3. 已知向量，，则( )A.B.C.D.4. 生物实验室有只免子，其中只有只测量过某项指标，若从这只兔子中随机取出只，则恰有只测量过该指标的概率为A.B.C.D.5. 在“一带一路”知识测验后，甲，乙，丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A.甲，乙，丙B.乙，甲，丙C.丙，乙，甲D.甲，丙，乙6. 设为奇函数，且当时，，则当时，( )A.B.C.D. 7. 设为两个平面，则的充要条件是A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.平行于同一条直线D.垂直于同一平面8. 若是函数两个相邻的极值点，则( )A.B.C.D.9. 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )A.B.C.D.10. 曲线在点处的切线方程为A.B.C.D.11. 已知,,则( )A.B.C.D.12. 设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为( )A.B.C.D.二、填空题13. 若变量满足约束条件则的最大值是________.14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车种，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.15. 的内角的对边分别为.已知，则 .16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图）.半正多面体由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图是一个棱数为的半正多面体，他的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.三、解答题17. 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.证明：平面，若，，求四棱锥的体积.18. 已知是各项均为正数的等比数列，.求的通项公式；设，求数列的前项和.19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了个企业，得到这些企业的第一季度相对于前一年第一季度产值增长率的频数分布表.的分组企业数分别估计这类企业中产值增长率不低于的企业比例、产值负增长的企业比例；求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）.（精确到）附：.20. 已知是椭圆的两个焦点，为上的点，为坐标原点.若为等边三角形，求的离心率；如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围.21. 已知函数.证明：存在唯一的极值点；有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.四、选做题22. 在极坐标系中，为极点，点在曲线：上，直线过点且与垂直，垂足为.当时，求及的极坐标方程；当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.23. 已知.当时，求不等式的解集；若时，，求的取值范围.参考答案与试题解析2019年陕西省高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，.故选.2.【答案】D【考点】共轭复数复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知：，所以，故选.3.【答案】A【考点】向量的模【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，∴ .故选.4.【答案】B【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：设未测量过某项指标的只兔子为，测量过某项指标的只兔子为，从这只兔子中随机取出只的所有可能有：，，，，，，，，，.所以恰有只测量过该指标的概率为.故选.5.【答案】A【考点】进行简单的合情推理合情推理的作用【解析】此题暂无解析【解答】解：如果只有甲预测正确，此时根据题意得，成绩由高到低顺序为甲，乙，丙，满足条件；如果只有乙预测正确，因为甲错误，得顺序为丙，乙，甲，此时丙也预测正确，不满足条件；如果只有丙预测正确，因为甲错误，得顺序为丙，乙，甲，此时乙也预测正确，不满足条件；故选6.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，∴，又为奇函数，∴，∴ .故选.7.【答案】B【考点】根据充分必要条件求参数取值问题平面与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：，当内有无数条直线与平行时，平面，可能相交，故本选项错误；，内有两条相交直线与平行，根据面面平行的判定定理，可以推出，故本选项正确；，平行于同一条直线，平面，可能相交，故本选项错误；，垂直于同一平面，平面，可能相交，故本选项错误.故选.8.【答案】A【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵是函数两个相邻的极值点，，∴的周期，∴ ,故选.9.【答案】D【考点】抛物线的性质椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：抛物线的焦点为，∵抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，∴，解得.故选.10.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设，则，∴，∴切线方程为：，即，故选.11. 【答案】B【考点】三角函数的恒等变换及化简求值三角函数值的符号【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，∴ ,又∵，∴，∴ ,∴，又∵，∴，∴ ,.故选.12.【答案】A【考点】双曲线的离心率圆与圆的位置关系及其判定【解析】此题暂无解析【解答】解：设以为直径的圆的圆心为，因为，且两圆相交于，，又知两圆的圆心在轴，则必过圆心，且与轴垂直，如图所示：则，解得，所以.故选.二、填空题13.【答案】【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：根据约束条件画出不等式组的可行域如图：易知，，，设，即当截距最小时，最大，由图可知当直线经过点时，最大，此时.故答案为：.14.【答案】【考点】众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】解：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：.故答案为：.15.【答案】【考点】正弦定理运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：根据正弦定理可知，，即，，，，又，，.故答案为：.16.【答案】,【考点】正多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：从图中可得该正多面体有个面；由题意可设该正多面体棱长为，因为其每个顶点都在正方体的表面上，所以有，解得；故答案为：，.三、解答题17.【答案】解：由已知得平面，平面,故，又，所以平面.由知，由题设知，所以，故，，作，垂足为，则平面，且，所以，四棱锥的体积.【考点】直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知得平面，平面,故，又，所以平面.由知，由题设知，所以，故，，作，垂足为，则平面，且，所以，四棱锥的体积.18.【答案】解：设的公比为，由题设得，即.解得（舍去）或.因此的通项公式为.由得,因此数列的前项和为.【考点】等比数列的通项公式等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】解：设的公比为，由题设得，即.解得（舍去）或.因此的通项公式为.由得,因此数列的前项和为.19.【答案】解：根据产值增长率频数分布表得，所调查的个企业中产只增长率不低于的企业频率为.产值负增长的企业频率为.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于的企业比例为，产值负增长的企业比例为. ,，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为.【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数用样本的频率分布估计总体分布【解析】此题暂无解析【解答】解：根据产值增长率频数分布表得，所调查的个企业中产只增长率不低于的企业频率为.产值负增长的企业频率为.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于的企业比例为，产值负增长的企业比例为. ,，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为.20.【答案】解：连结，由为等边三角形可知在中，°，，，于是,故的离心率由题意可知，满足条件的点存在当且仅当，，，即①，②，③由②③及得，又由①知，故由②③得，所以，从而,故，当，时，存在满足条件的点，所以，的取值范围为.【考点】椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：连结，由为等边三角形可知在中，°，，，于是,故的离心率由题意可知，满足条件的点存在当且仅当，，，即①，②，③由②③及得，又由①知，故由②③得，所以，从而,故，当，时，存在满足条件的点，所以，的取值范围为.21.【答案】证明：的定义域为..因为单调递增，单调递减，所以单调递增.又,,故存在唯一,使得.又当时，,单调递减；当时，，单调递增.因此，存在唯一的极值点.由知，又，所以在内存在唯一根.由得.又，故是在的唯一根，综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性根的存在性及根的个数判断【解析】此题暂无解析【解答】证明：的定义域为..因为单调递增，单调递减，所以单调递增.又,,故存在唯一,使得. 又当时，,单调递减；当时，，单调递增.因此，存在唯一的极值点.由知，又，所以在内存在唯一根.由得.又，故是在的唯一根，综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.四、选做题22.【答案】解：∵在上，当时，，由已知得，设为上除的任意一点.在中，.经检验，点在曲线上.∴的极坐标方程为.设，在中，，即，∵在线段上，且，故的取值范围是，∴点轨迹的极坐标方程为，.【考点】直线的极坐标方程圆的极坐标方程极坐标刻画点的位置极坐标的概念【解析】此题暂无解析【解答】解：∵在上，当时，，由已知得，设为上除的任意一点.在中，.经检验，点在曲线上.∴的极坐标方程为.设，在中，，即，∵在线段上，且，故的取值范围是，∴点轨迹的极坐标方程为，.23.【答案】解：当时，.当时，；当时，.所以，不等式的解集为. ∵，∴ .当，时，∴的取值范围是.【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，.当时，；当时，.所以，不等式的解集为. ∵，∴ .当，时，∴的取值范围是.。