2019年高考“三角函数”专题命题分析

专题15 解三角形综合-2019年高考理数母题题源系列(天津专版)(原卷版)

【母题原题1】【2019年高考天津卷理数】在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc．已知2bca，3sin4sincBaC．

（1）求cosB的值；

（2）求sin26B的值．

【答案】（1）14；（2）35716．

【解析】（1）在ABC△中，由正弦定理sinsinbcBC，得sinsinbCcB，

又由3sin4sincBaC，得3sin4sinbCaC，即34ba．

又因为2bca，得到43ba，23ca．

由余弦定理可得222222416199cos22423aaaacbBacaa．

（2）由（1）可得215sin1cos4BB，

从而15sin22sincos8BBB，227cos2cossin8BBB，

故15371357sin2sin2coscos2sin666828216BBB．

【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．

【母题原题2】【2018年高考天津卷理数】在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知专题15 解三角形综合 sincos()6bAaB．

（1）求角B的大小；

（2）设a=2，c=3，求b和sin(2)AB的值．

【答案】（1）π3；（2）b=7，sin(2)AB=3314．

【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．

（1）在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，

又由πsincos()6bAaB，得πsincos()6aBaB，

即πsincos()6BB，可得tan3B．

专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)

专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）

【题型解读】

题型特点命题趋势

从近几年的高考试题看，全国卷交替考查三角函数、解三角形．该部分解答题是高考得分的基本组成部分，考查的热点题型有：一是考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二是考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题. 主要是在三角恒等变换的基础上融合正、余弦定理，在知识的交汇处命题仍然是命题的关注点.

▶▶题型一：三角函数的图象和性质

1．注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解．

2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤

(1)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式．

(2)构造f(x)＝a2＋b2aa2＋b2·sin x＋ba2＋b2·cos x.

(3)和角公式逆用，得f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)．

(4)利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质．

(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．

【例1】 (2017·山东卷)设函数f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，其中0＜ω＜3.已知fπ6＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在－π4，3π4上的最小值．

【答案】见解析

【解析】(1)因为f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，所以f(x)＝32sinωx－12cosωx－cos ωx＝32sin

ωx－32cosωx＝312sinωx－32cosωx＝3sinωx－π3.因为fπ6＝0，所以ωπ6－π3＝kπ，k∈Z.故ω＝6k＋2，k∈Z.又0＜ω＜3，所以ω＝2.

专题：三角函数高考在考什么？如何轻松解答三角函数高考题

一高考要求1三角函数

（1）任意角的概念、弧度制

① 了解任意角的概念．

② 了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化．

（2）三角函数

① 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．

② 能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切，及2的正弦、余弦的诱导公式，能画出sinyx，cosyx，tanyx的图象，了解三角函数的周期性．

③ 理解正弦函数、余弦函数在区间0,2的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等）；理解正切函数在区间(,)22的单调性．

④ 理解同角三角函数的基本关系式：22sincos1xx，sintancosxxx．

⑤ 了解函数sin()yAx的物理意义；能画出sin()yAx的图象，了解参数,,A对函数图象变化的影响．

⑥ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.

2．三角恒等变换

（1）和与差的三角函数公式

① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．

③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

（2）简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．

3．解三角形（1）正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

（2）应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

4常用解题思想方法

1．三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

高考热点剖析——解三角形热点问题

高考对本内容的考查主要有：

正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．

试题类型可能是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题．

1．正弦定理及其变形

asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．

变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.

sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

2．余弦定理及其推论

a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，

c2＝a2＋b2－2abcos C.

推论：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，

cos C＝a2＋b2－c22ab.

3．面积公式

S△ABC＝12bcsin A＝12acsin B＝12absin C.

4．三角形中的常用结论

(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝π.

(2)A＞B＞C⇔a＞b＞c⇔＞sin A＞sin B＞sin C.

(3)a＝bcos C＋ccos B.

【应对策略】

解三角形是三角函数作为工具的重要体现，在历年的高考试题中占有重要地位，尤其是与三角函数的综合更加是考查重点，题型可能是填空题，也可能是解答题．需要熟练掌握三角形中的基本定理及其变形，以及正、余弦定理与三角函数的结合问题．

【必备方法】

1．三角形中的三角函数是三角函数图象和性质的一个重要方面的应用，解决的关键是要善于应用诱导公式、同角三角函数的基本关系等三角函数基础知识对三角函数解析式进行化简、变形，同时要注意有关角的范围限制．

2．正弦定理的应用：(1)已知两角和任意一边，求其它两边和一角；

(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角．

高考数学高考数学压轴题三角函数与解三角形多选题分类精编附解析

一、三角函数与解三角形多选题

1．如图，已知函数()sin()fxAx（其中0A，0，||2）的图象与x轴交于点,AB，与y轴交于点C，2BCBD，,||23OCBOA，221||3AD.则下列说法正确的有（）

A．fx的最小正周期为12 B．6

C．fx的最大值为163 D．fx在区间(14,17)上单调递增

【答案】ACD

【分析】

由题意可得：3|sin|2A，sin(2)0，可得A，B，C，D的坐标，根据221||3AD，可得方程22228(1)243Asin，进而解出，，A．判断出结论．

【详解】

由题意可得：||3||OBOC，3sin2A，sin(2)0，

(2,0)A，(2B，0)，(0,sin)CA，sin1,22AD，

2213AD，222sin281243A，把1|sin|(2)3A代入上式可得：2()2240，0.解得6，6，可得周期212T，sin()03，||2，解得3.可知：B不对，3sin263A，0A，解得163A，函数16()sin()363fxx，可知C正确. 14,17x 时，52,632x，可得：函数()fx在14,17x单调递增.

综上可得：ACD正确.

故选：ACD

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是表示点,,BCD的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.

2．ABC中，2BC，BC边上的中线2AD，则下列说法正确的有（）

高考数学三角函数常见考查题型与解法分析

喾酶　解题技巧与方法　囊　。　．　０～，＿．　●　赢考魏学三詹醯魏震　考查题型％解法馈橇　◎林伟　（深圳市第二实验学校５１　８０２１）　角函数是中学数学的七类基本初等雨数之一，具有　比较完备的函数性质，又冈系统的三角公　及其变换，使＿二　角函数问题丰富多彩、层次分明、变化多端，常与函数、ｊ三　角、数列、解析几何等结合考查．因此三角函数解答题备受　命题者青睐，是历届高考的命题热点，大多属于中低档题．　纵观全国各省市高考试卷以及全国各地高考模拟试卷，　角函数解答题可分以下五种类型：　题型一　三角函数化简与求值　这类题目通常综合考查同角＝三角函数之间的关系、和　差角公式、倍角等内容，解题时注意角所在象限和　角函数　值的符号以及有关角的灵活变换．　例１　（２００９年广东卷理）已知向量ａ＝（ｓｉｎ０，一２）与　ｂ＝（１，ｃ。ｓ　）互相垂直，其中０　ｆ　０，詈１．　（１）求ｓｉｎ０和（．Ｉｌｓｐ的值；　（２）若ｓｉｎ（ｐ一　）＝　，ｏ　ｃ号，求ｃ。ｓ　的值．　解　（１）’．’ａ与６互相垂直，则ａ・ｂ＝ｓｉｎ０—２ｃｏｓ０＝０，　代人ｓｉｎ。日＋ｃ。ｓ　＝ｌ，得ｓｉｎｐ＝２￣５　Ｃ０Ｓ０＝　５　（２）　．’０＜　＜詈，０＜０＜号，．・．一号＜０一　＜詈．　贝０　ｃ。ｓ（ｐ一　）＝　／　＿＝＝＿　＝三—　，　．　．ｃｏｓ＠：ＣＯＳ［０一（０一妒）］　：ｃｏｓＯｃｏｓ（０一　）＋ｓｉｎ０ｓｉｎ（０一　）　一　２’　点评　函数式ｓｉｎｓ＋ｃｏｓｄ，ｓｉｎｓ—ｃ０ｓ　，ｓｉｎｓ・ｃｏｓｄ三者　关系密切，常可以“知一求二”，是高考命题的常考点．　题型二　角函数的图像与性质　例２（２ｏｌｏ年山东理数）已知函数ｌ厂（　）：＿叫＿１　ｉｌ１２　ｓｉｎ　＋　ｃ　…ｓ　一　１　ｓｉｎ（号＋　）（０　），其图像过点（詈，｛）．　（１）求　；（２）将函数Ｙ＝ｌ厂（　）的图像上各点的横坐标缩　短到原来的　１，纵坐标不变，得到函数　：ｇ（　）的图像．　分析　本题考查　角函数的绣导公式及二倍角等基本　公式的灵活应用、罔像变换以及三角函数的最值问题、分析　问题与解决问题的能力．　学学习与研究２０１１．５　解　（１）因为函数图像过点（詈，÷），解得　＝詈．　（２）由（１）知　＝÷，　．‘．几　）＝　１　ｓｉｎ２ｘｓｉｎ詈＋ｃ。ｓ　ｃ。ｓ詈一　÷ｓｉｎｆ詈＋｛）（０　丁　”【　丁Ｊ‘　）　＝　ｓ　＋÷…２　一÷　＝　１　ｓｉｎ（ｚ　＋詈）．　．・．　４　＋詈＝号时，ｇ（　）取最大值÷；　当４　＋　６＝詈或　日寸．ｇ（　）取最小值÷．　点评　角函数图像及其性质是历届高号的热点，这　类题主要考查ｉ角丽数的最佰、周期性、单调性以及对称性　等，大多属于中低档题，大多是课本例题、习题或复习参考　题改编而来．因此在复习备考过程中应注意以下三点：一是　“立足课标，着眼提高”，二是加强掌握常规题型基本解法，　三是加强　角函数式化简训练．　题型三求解三角彤问题　二－角　数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的　热点，在高考试题巾频繁出现．这类题型难度比较低．解决　此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定　理，求边角或将边角互化．　例３　（２０１０年辽宁文数）在△ＡＢＣ中，ａ，ｂ，Ｃ分别为内　角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，且２ａｓｉｎＡ＝（２６＋Ｃ）ｓｉｎＢ＋（２ｃ＋ｂ）ｓｉｎＣ．　（１）求　的大小；　（２）若ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝１，试判断△ＡＢＣ的形状．　解（１）南已知，根据正弦定理，得　２ａ　＝（２ｂ十Ｃ）ｂ＋（２ｃ＋ｂ）Ｃ，即ａ　＝ｂ　＋Ｃ　十６ｃ．　余弦定理，得ａ　＝ｂ　＋ｃ　一２ｂｃｃｏｓＡ．　故ｅｏｓＡ＝一÷，Ａ＝１２０。．　（２）由（１），得ｓｉｎ。Ａ＝ｓｉｎ　Ｂ十ｓｉｎ　Ｃ十ｓｉｎＢｓｉｎＣ．　又ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝１，得ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＣ＝÷・　‘．’０。＜Ｂ＜９０。．０。＜Ｃ＜９０。，Ｂ＝Ｃ，　．’．△ＡＢＣ是等腰钝角三角形．　点评求解三角形的形状问题大致有两条思路：①都　统一成边的关系，②都统一成角的父系，其基本依据是正、　余弦定理以及三角形的内角和定理．

三年高考(2017-2019)理数真题分项版解析——专题10 解三角形(解析版)

专题10 解三角形

1．【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC△中，5cos25C，1BC，5AC，则AB

A．42 B．30

C．29 D．25

【答案】A

【解析】因为2253cos2cos121,255CC

所以22232cos12521532425ABBCACBCACCAB，则，故选A.

【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

2．【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC△的内角ABC，，的对边分别为a，b，c，若ABC△的面积为2224abc，则C

A．π2 B．π3

C．π4 D．π6

【答案】C

【解析】由题可知2221sin24ABCabcSabC△，所以2222sinCabcab，

由余弦定理2222cosabcabC，得sincosCC，因为0,πC，所以π4C，故选C.

【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.

3．【2017年高考山东卷理数】在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC△为锐角三角形，且满足sin(12cos)2sincoscossinBCACAC，则下列等式成立的是

A．2ab B．2ba

C．2AB D．2BA 【答案】A

【解析】由题意知sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC，

所以2sincossincos2sinsin2BCACBAba，

故选A.

【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2ab.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.

近三年三角函数的图像和性质高考真题和答案

一、填空题

1.(2020·全国卷Ⅲ)关于函数f(x)＝sinx＋1sinx有如下四个命题：

①f(x)的图象关于y轴对称；

②f(x)的图象关于原点对称；

③f(x)的图象关于直线x＝π2对称；

④f(x)的最小值为2.

其中所有真命题的序号是________．

2.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．

3.(2019·北京高考)函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．

二、选择题

1.(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )

A．2 B.32 C．1 D.12

2.(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是( )

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )

A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 4.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为( )

A.π4 B.π2 C．π D．2π

三、大题

1.(2019·浙江高考)设函数f(x)＝sinx，x∈R.

(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；

(2)求函数y＝fx＋π122＋fx＋π42的值域．

2.（2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx.

高考数学(理)函数与导数专题14 恒成立及存在性问题(解析版)

函数与导数

14 导数及其应用恒成立及存在性问题

一、具体目标：

1.导数在研究函数中的应用：

①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。

②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.

2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。

考点透析：

1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；

2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；

3.适度关注生活中的优化问题.

3.备考重点：

(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；

(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.

二、知识概述：

一）函数的单调性：

1.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果0)(xf，则函数y=f(x)为增函数；如果f ' (x)<0，则函数y＝f(x)为减函数；如果恒有f ' ( x)＝0，则y=f(x)为常函数.

2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．

3.f(x)在区间I上可导，那么0)(xf是f(x)为增函数的充分条件，例如f(x)=x3是定义于R的增函数，

但 f '(0)=0，这说明f '(x)>0非必要条件．)(xf为增函数，一定可以推出0)(xf，但反之不一定．

4. 讨论可导函数的单调性的步骤：

（1）确定)(xf的定义域；【考点讲解】

（2）求)(xf，令0)(xf，解方程求分界点；

《高考真题》专题07 三角函数求值-2019年高考文数母题题源系列全国Ⅰ专版(原卷版)

1

专题07 三角函数求值

【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=

A．−2−3 B．−2+3

C．2−3 D．2+3

【答案】D

【解析】tan255tan(18075)tan75tan(4530)=tan45tan301tan45tan30

31323.313

故选D.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点1Aa，，2Bb，，且2cos23，则ab

A．15 B．55

C．255 D．1

【答案】B

【解析】根据条件，可知,,OAB三点共线，从而得到2ba，

因为22212cos22cos12131a，解得215a，即55a，

2 所以525abaa，

故选B.

【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.

【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知π(0)2，，tan α=2，则πcos()4= .

【答案】31010

【解析】由tan2得sin2cos，

又22sincos1，所以21cos5，

因为π(0,)2，所以525cos,sin55，

因为πππcos()coscossinsin444，

所以π52252310cos()4525210.

【名师点睛】三角函数求值的三种类型：