线性代数论文(矩阵在自己专业中的应用及举例)

矩阵在自己专业中的应用及举例

摘要：

I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。

II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等内容。

III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。

关键词：

矩阵可逆矩阵图形学图形变换

正文：

第一部分引言

在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的内容，而这些内容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些内容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。在线性代数中，矩阵也占据着一定的重

要地位，与行列式、方程、向量、二次型等内容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。

图形变换是计算机图形学领域内的主要内容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。 第二部分 研究问题及成果

1. 矩阵的概念

定义：由n m ?个数排列成的m 行n 列的矩阵数表

?????

???????ann an an n a a a n a a a 212222111211 称为一个n m ?矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。A,B 元素都是实数的矩阵称为实矩阵。元素属于复数的矩阵称为复矩阵。

下面介绍几种常用的特殊矩阵。

（1）行距阵和列矩阵

仅有一行的矩阵称为行距阵（也称为行向量），如

A=(a11 a12 .... a1n),

也记为

a=(a11,a12,.....a1n).

仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如

a= ?????

???????12111an a a 。 (2) 零矩阵

A=?????

???????0000000000000000 记为o 或者0.

(3) 方阵。行数与列数相等的矩阵称为方阵.例如：

A= ?????

???????ann an an n a a a n a a a 212222111211 为n n ?矩阵，称为n 阶方阵或者n 阶矩阵，简记为A=（an ）n ，过元素a11，a22，a33,a44,.....ann,的直线为主对角线，主对角线上的元素为主对角元。按方阵的元素排列所构造的行列式称为方阵的行列式。

（4） 对角矩阵。主对角意外的元素全部为零的方阵称为对焦矩阵，常记为：

A=?????

???????ann a a 0002200011 (5） 单位矩阵。主对角线上的元素全部为1的对角矩阵称为单位矩阵，简记为E 或者I ：

A= ?????

???????100010001 (6) 数量矩阵 。主对角线上全相等的对角矩阵。例如：

?????

???????c c c 000000 （其中c 为常数） 为一阶数量矩阵。

（7） 三角矩阵。主对角线上方或下方的元素全部为零的方阵称为上（下）三角矩阵。

?????

???????ann n a a n a a a 00222011211 为n 阶上三角矩阵。

（8） 对称矩阵与反对称矩阵，在方阵A=（aij ）n ，中，如果aij=aji （ij=1,2,3.。。。。。），则称A 为对称矩阵，如果A 还为实矩阵，那么A 为实对称矩阵。如果aij=-aji ，则称A 为反对称矩阵。 定义：两个同类型的矩阵，如果对应的元素相等，则称矩阵A 等于矩阵B 。 2 .矩阵的运算

2.1 矩阵的加法

⑴A+B=B|+A(加法交换律)

⑵(A+B)+C=A+(B+C)（加法结合律）

⑶A+0=0+A=A

⑷A+(-A)=0.

2.2 数乘矩阵

定义1：数乘一矩阵等于这个数乘以矩阵中的每一个元素。

?????

???????=kann kan kan n ka ka ka n ka ka ka kaij 212222111211)( 定义2：设A B 为同类型的矩阵，k ，l 为常数，则

⑴1A=A

⑵k （lA ）=（kl ）A

⑶k （A+B)=KA+KB

⑷(K+L)A=KA+LA.

2.3 矩阵的乘法

（1）矩阵的乘法不满足交换律。

（2）两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵。

（3）矩阵的乘法不满足消去律。

命题：（1）设A 为p m ?矩阵，则

O o P K m k A ??=,O O N M N P A ??=

(2)设A 为n m ?矩阵，则

A A A A E E N m ==,

其中E 为单位阵

（3）设A 为m*p 矩阵，B 为p*q 矩阵，k 为数，则

A(BC)=(AB)C (kA)B=A(kB)=k(AB)

(4)J 矩阵满足数乘的分配律，矩阵乘积的行列式等于矩阵对应行列式的乘积。

2.4 矩阵的转置

定义2.7 称m n ?矩阵

?????

???????ann an an n a a a n a a a 212222111211 的转置为 ?????

???????ann n a n a an a a an a a 212221212111 命题：设A,B,C,1A ,2A n A 是矩阵，且让它们相应的行数和列数使相

应的运算有意义，k 是数，则

（1）A 的转置的装置等于A

（2）B 与C 的和的转置等于它们转置的和

（3）T T kA kA =)(

（4）T T T A B AB =)(

（5）若A 为n 阶矩阵，则M T T M A A )()(=

（6）A 为对称矩阵的充要条件是A A T =,A 为反对称矩阵的充要条件为A A T -=

2.5 可逆矩阵

定义 设A 为n 阶矩阵，若存在n 阶矩阵B ，使得

E BA AB ==,

则称矩阵A 可逆,B 是A 的可逆矩阵，记作1-=A B

定理 如果n 阶矩阵A 可逆，则它的逆矩阵唯一。

定义 设n ij a A )(=为n 阶矩阵，ij A 为A 中的元素ij a 的代数余子式，

ij=1.2.3.......n ，则称矩阵 ?????

???????nn n n n n A A A A A A A A A 2122221

11211 为A 的伴随矩阵，记为*A . 由伴随矩阵的定义，不难验证A E A A AA ==**

定理 n 阶矩阵A 可逆的充要条件为0≠A ，如果A 可逆，则 *11A A

A =-. 若n 阶矩阵A 的行列式不为零，即0≠A ,即称A 为非奇异矩阵，否则称A 为奇异矩阵，由上述公式可以求出A 的伴随矩阵。

推论 对n 阶矩阵A ，若有n 阶矩阵B 使得

E AB =或者E BA =,

则称矩阵A 可逆，且B A =-1.

克拉默法则 设

????????????=nn n n n n a a a a a a a a a A 21222

2111211，??????? ??=n b b b 21β，?????

???????=321x x x x ， 如果矩阵A 可逆，则线性方程组Ax=β存在唯一解β1-=A x 。

2.6 可逆矩阵的性质

命题 设A ，B,),2,1(m i A i =为n 阶可逆矩阵，k 为非零常数，则n A A A AB kA A 211,,,-也是可逆矩阵，且

（1）A A =--11)(;

（2）;1)(11--=A k kA

（3）;)(,)(11121121111-------==A A A A A A A B AB m n