2000年考研数学二真题及答案详解
0
（1） 当 n 为正整数，且 nπ ≤ x < (n +1)π 时，证明 2n ≤ S ( x) < 2(n +1);
S ( x)
（2） 求 lim x x→+∞
【详解】
（1）当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，主义到被积函数是非负得，于是有
∫ ∫ nπ cos x dx ≤ S ( x) <
x 1 t 2dt + 02
x 1
⎛ ⎜⎝
−
1 2
t
2
+
2t
−1⎞⎟⎠
dt
= − 1 x3 + x2 − x + 1
6
3
当 x > 2 时，
x
∫0
S
(t
)dt
=
2
∫0
S
(t
)dt
+
x
∫2
S
(t
)dt
=
x
−1
因此
⎧ ⎪ ⎪
1 x3, 0 ≤ x ≤ 1, 6
∫x 0
S
(t
)
dt
=
⎨⎪− ⎪
1 6
x3
+
【详解】 由 B = ( E + )A −1 ( E − A) ，有
(E + A) B = E − A
即
AB + A + B + E = 2E,
(E + A)(E + B) = 2E,
也即
1 (E + A)(E + B) = E,
2
故
⎡ 1 0 0 0⎤
( B + E )−1 = 1 ( E + A) = ⎢⎢−1 2 0 0⎥⎥
( n +1)π
cos x dx
0
0
又因为 cos x 是以 π 为周期的函数，在每一个周期上积分值相等
所以
nπ
π
∫0 cos x dx = n∫0 cos x dx = 2n
∫ ∫ (n+1)π cos x dx = (n +1) nπ cos x dx = 2(n +1)
0
0
因此当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，有
【】
f '' ( x) + ⎡⎣ f ' ( x)⎤⎦2 = x,
知 f '' (0) = 0, 因此点 (0, f (0)) 可能为拐点.
由 f '' ( x) = − ⎡⎣ f ' ( x)⎤⎦2 = x, 知 f ( x) 的三阶导数存在，且
f ''' ( x) = −2 f ' ( x) f '' ( x) +1
（A） y''' − y'' − y' + y = 0
（B） y''' + y'' − y' − y = 0
（C） y''' − 6 y'' +11y' − 6 y = 0
【答】 应选（B） 【详解】 由特解知，对应特征方程的根为
λ1 = λ2 = −1, λ3 = 1
（D） y''' − 2 y'' − y' + 2 y = 0
x→0
x3
= lim x→0
x3
=
lim
x→0
⎡ ⎢ ⎣
6
+
f(
x2
x)
−
⎤ 36 ⎥
⎦
=0
可见
lim
x→0
6
+
f x2
(
x
)
＝36
方法二： 因为
所以
sin 6x + xf ( x)
sin 6x − 6x + 6x + xy ( x)
lim
x→0
x3
= lim x→0
x3
=
lim
x→0
⎡ ⎢ ⎣
sin
n−2
由莱布尼茨公式
( ) uv (n) = u(n)v(0) + Cn1u(n−1)v' + Cn2u(n−2)v'' +" + u(0)v(n)
及
⎡⎣ln
(1+
x )⎤⎦ ( k )
=
(−1)k−1 (k −1)!
（
(1+ x)k
k
为正整数）
得
f
(n)
(
x)
=
x2
(−1)n−1 (n −1)! (1+ x)n
+
2nx
( ) −1 n−2 (1+
(n − )x n−1
2)!
+
n
(n
−1)
( ) −1 n−3 (n − 3)! (1+ x)n−2
于是可得
f (n) (0) = ( ) −1 n−3 n (−1)(n − 3)! = ( ) −1 n−1 n!
n− 2
∫ 六、设函数 S ( x) =
x
cos t dt,
故渐近线方程为
y = 2x +1
⎡ 1 0 0 0⎤
（5）设
A
=
⎢⎢−2 ⎢0
3 −4
0 5
0⎥⎥ 0⎥
,
E
为
4
阶单位矩阵，且
B
=
(E
+
)A −1
(E
−
A)
,则 ( B
+
)E −1
⎢ ⎣
0
0 −6 7⎥⎦
＝.
【答】
⎡ 1 0 0 0⎤
⎢⎢−1 2 0 0⎥⎥
⎢ 0 −2 3 0⎥
⎢ ⎣
0
0
−3 4⎥⎦
可见 f ''' (0) = 1
因此在 x = 0 的左侧，f '' ( x) < 0 ，对应曲线是下凹（上凸）的；而在 x = 0 的右侧，f '' ( x) > 0 ，
对应曲线是上凹（上凸）的.
故点 (0, f (0)) 是曲线 y = f ( x) 的拐点
（ 3 ） 设 函 数 f ( x), g ( x) 是 大 于 零 的 可 导 函 数 ， 且 f ' ( x) g ( x) − f ( x) g' ( x) < 0, 则 当
（A） f (0) 是 f ( x) 的极大值
（B） f (0) 是 f ( x) 的极小值
（C）点 (0, f (0)) 是曲线 y = f ( x) 的拐点
（D） f (0) 不是 f ( x) 的极值，点 (0, f (0)) 不是曲线 y = f ( x) 的拐点
【答】 应选（C）
【详解】 因为 f ' (0) = 0 ，由原关系式
−
x
=
lim
x→0
1 1+ x2
−1
6x2
( ) = lim −x2 x→0 6x2 1+ x2
=−1 6
| （2）设函数 y = y ( x) 由方程 2xy = x + y 所确定，则 dy =
.
x=0
【答】 (ln 2 −1) dx
【详解】 方法一： 根据微分形式不变性，在已知等式两边同时求微分，得
2
⎢ 0 −2 3 0⎥
⎢ ⎣
0
0
−3 4⎥⎦
二、选择题
（1）设函数
f
(x)
=
a
x + ebx
在 (−∞, +∞)
内连续，且
lim
x→−∞
f
(x)
=
0 ，则常数 a,b
满足
（A） a < 0,b < 0
（B） a > 0,b > 0
（C） a ≤ 0,b > 0
（D） a ≥ 0,b < 0
【答】 应选（D）
（4）若 lim x→0
x3
= 0, 则 lim
为
x→0
x2
（A）0
（B）6
（C）36
【答】 应选（C）
【详解】 方法一：
( ) 因为 sin 6x = 6x − 1 (6x)3 + o x3 3!
所以有
sin 6x + xf ( x)
( ) 6x − 36x3 + o x3 + xf ( x)
lim
2n ≤ S ( x) < 2(n +1);
（2）由（1）知，当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，有
2n
(n +1)π
<
S (x)
x
<
2(n +1)
nπ
2xy ( ydx + xdy) ln 2 = dx + dy
由原方程知，当 x = 0 时， y = 1，将其代入上式，得
ln 2dx − dx = dy,
即有
dy| = (ln 2 −1) dx,
x=0
方法二：
在方程 2xy = x + y 两边对 x 求导，得
2xy
ln
2
⋅
⎛ ⎜⎝
考研数学二历年真题(2000-2012)
2 2
的极值.
(17)(本题满分 12 分) 过 (0,1) 点作曲线 L : y ln x 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 A B 围成,求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分 10 分) 计算二重积分 xy d ，其中区域 D 为曲线 r 1 cos 0 与极轴围成.
D
(19)(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) 满足方程 f ( x ) f ( x ) 2 f ( x ) 0 及 f ( x ) f ( x ) 2 e x , (I) 求 f ( x ) 的表达式; (II) 求曲线 y f ( x 2 ) f ( t 2 )d t 的拐点.
(6) 设区域 D 由曲线 y sin x , x
, y 1 围成，则 ( x y 1)d x d y
5 D
( (A) (B) 2 (C) -2 (D) -
)
0 0 1 1 (7) 设 α 1 0 , α 2 1 , α 3 1 , α 4 1 ,其中 c1 , c 2 , c 3 , c 4 为任意常数，则下列向量 c c c c 2 3 4 1
*
1 T （8）设 A ， P 均为 3 阶矩阵， P 为 P 的转置矩阵，且 P A P = 0 0
T
0 1 0
0 0 ，若 2
）
T ，则 Q A Q 为（ P= （ 1， 2， 3） ， Q = （ 1 + 2， 2， 3）
2 A . 1 0 2 C . 0 0
2000-2017考研数学二历年真题word版
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x=0连续，则 (A)12ab =(B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且 ()0f x ''>，则 (A) 11()0f x dx ->⎰ (B) 12()0f x dx -<⎰(C) 0110()()f x dx f x dx ->⎰⎰(D)111()()f x dx f x dx -<⎰⎰（3）设数列{}n x 收敛，则(A)当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=(B)当lim (0n n n x x →∞+= 时，则lim 0n n x →∞=(C)当2lim()0n n n x x →∞+=,lim 0n →∞=(D)当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=（4）微分方程248(1cos 2)xy y y e x '''-+=+ 的特解可设为ky =(A)22(cos 2sin 2)xx Aee B x C x ++ (B)22(cos 2sin 2)xx Axe e B x C x ++(C)22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ (D)22(cos 2sin 2)xx Axexe B x C x ++（5）设()f x 具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,f x y f x y x y∂∂>∂∂则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f <(C)(0,1)(1,0)f f > (D)(0,1)(1,0)f f <（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则(A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t >()s（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得 1000010002P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则123(,,)A ααα=(A)12αα+ (B)232αα+ (C)23αα+ (D)122αα+（8）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020000C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似(B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）曲线()21arcsin y x x =+的斜渐近线方程为（10）设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t ⎧=+⎨=⎩确定，则202t d ydx =（11）()2ln(1)1x dx x +∞++⎰=（12）设函数(),f x y 具有一阶连续偏导数，且()()(),1,0,00y y df x yye dx x y e dy f =++=，则(),f x y = （13）11tan yxdy dx x=⎰⎰（14）设矩阵41212311A a ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则a =三、解答题：15~23小题，共94分。
精选-2000年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案
2000年全国硕士研究生人学统一考试
数学二试题
一、填空题(本题共5小题．每小题3分．满分l5分把答案填在题中横线上)
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出的四个选项中．只有一项符合题目要求。
把所选项前的字母填在题后的括号内)
三、(本题满分5分)
四、(本题满分5分)
五、(本题满分5分)
六、(本题满分6分)
七、(本题满分7分)
八、(本题满分6分)
九、(本题满分7分)
十、(本题满分8分)
十一、(本题满分8分)
十二、(本题满分6分)
十三、(本题满分7分)
参考答案
一、填空题
1．
2．
3．
5．
二、选择题1．
2．
3．
5．
三、
四、
五、
六、
七、
八、
九、
十、
十一、
十二、
十三、
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2000年考研数学试题详解及评分参考
……2 分
即 f (x) ( 1 1) f (x) 1 e2x , x 0 .按一阶线性非齐次微分方程通解公式，有
x
x
f
(
x)
e
(1
1 x
)dx
[
1
e2x
e
(
1 x
1)
dx
dx
C]ex[ Nhomakorabea1 e2x.xexdx C] ex (ex C) .
……5 分
f22
1 x2
g y x3
g .
……5 分
五、(本题满分 6 分)
计算曲线积分 I xdy ydx ，其中 L 是以点 (1, 0) 为中心，R 为半径的圆周 (R 1) .
L 4x2 y2
取逆时针方向.
解： P
y 4x2
y2
,Q
x 4x2
y2
P
0，
……4 分
即得
L
xdy ydx 4x2 y2
C
xdy ydx 4x2 y2
2 0
1 2
2
2
d
.
……6 分
六、(本题满分 7 分) 设对于半空间 x 0 内任意的光滑有向封闭曲面 S ，都有
2000 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2000 年数学试题详解及评分参考
所以 zdS 4 xdS ，故选 (C).
S
S1
(3) 设级数 un 收敛，则必收敛的级数为 n 1
(A) 1n un
n 1
数二考研2000年真题
数二考研2000年真题数学二考研2000年真题2000年数学二考研真题涵盖了线性代数、高等数学、概率论与数理统计等内容。
本文将按照考试的不同部分进行讨论和解答，以帮助考生更好地备考。
一、线性代数线性代数部分的题目主要涉及矩阵与行列式、向量空间、线性方程组和特征值等内容。
1. 矩阵与行列式2. 向量空间3. 线性方程组4. 特征值二、高等数学高等数学部分的题目主要包括极限、连续与可导函数、微分方程和曲线积分等内容。
1. 极限2. 连续与可导函数3. 微分方程4. 曲线积分三、概率论与数理统计概率论与数理统计部分的题目涉及概率、随机变量、统计量以及最小二乘法等内容。
1. 概率2. 随机变量3. 统计量4. 最小二乘法根据以上分析，我们可以得出一些备考的重点和建议。
一、线性代数部分的备考建议：线性代数是数学二考研的重要内容之一，需要掌握矩阵与行列式的性质、向量空间的定义和性质、线性方程组的求解方法以及特征值和特征向量的求解方法等知识点。
备考建议：1. 熟悉矩阵与行列式的运算法则，掌握矩阵的转置、求逆、相似对角化等操作；2. 理解向量空间的定义，熟悉向量组的线性相关与线性无关的判定方法；3. 学习线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、克莱姆法则和矩阵的秩等；4. 理解特征值和特征向量的概念，掌握求解特征值和特征向量的方法。
二、高等数学部分的备考建议：高等数学是数学二考研的必考内容，需要掌握极限、连续与可导函数、微分方程和曲线积分等知识点。
备考建议：1. 熟练掌握极限的定义，掌握极限的运算法则，特别是常见函数的极限性质；2. 理解连续与可导函数的定义，掌握连续函数的性质和可导函数的求导法则；3. 学习微分方程的基本概念和解法，包括一阶微分方程和二阶线性齐次微分方程等；4. 熟悉曲线积分的定义和性质，掌握曲线积分的计算方法。
三、概率论与数理统计部分的备考建议：概率论与数理统计是数学二考研的重点和难点，需要掌握概率的基本概念、随机变量的性质和分布以及统计量的定义和性质。
考研数学二历年真题(2000-2021)
2000年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题1．2．3.4.5.二、选择题6.7.8.10.三、解答题11.12.13.14.15.17.18.19.20.21.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1、213lim21-++--→x x xx x =（）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy e yx 在点（0，1）处的切线方程为：（）．3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（）．4、微分方程11arcsin 2=-+'xy x y 满足(21y =0的特解为：（）．5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（A ）0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ；（D ）1110>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比nx x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4．3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为（A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f '严格单调减小，且)1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <；（B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >；（D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <．5、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示：则)(x f y '=的图形为()三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim(sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ．若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ，)(x g '=2xe －)(x f 且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π02)1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、求L 的方程2、求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为r 0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adxx f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系，144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （）．2．位于曲线xxey -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（）．3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（）．4．1limn n →∞+=（）．5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝（Ａ）－１；（Ｂ）０．１；（Ｃ）１；（Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是(A)⎰x dt t f 02)(；(B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--xdt t f t f t 0)]()([；(D)⎰-+x dt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim20x y x x +→(A)不存在；（Ｂ）等于１；(C)等于２；(D)等于３．４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C)当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D)当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B)21321,,,ββααα+k 线性相关；（Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关；(D)21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x x x x f y x xe xe ，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ．六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分的高h 应为多少？八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）．证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+．十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时，)()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ．十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ，4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a=.（2）设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.（3）xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4）设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5）设α为3维列向量，T α是α的转置.若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα，则ααT =.（6）设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立.(B)n n c b <对任意n 成立.(C)极限n n n c a ∞→lim 不存在.(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在.[]（2）设dx x x a n n nn n +=⎰+-123101,则极限n n na ∞→lim 等于(A)1)1(23++e .(B)1)1(231-+-e .(C)1)1(231++-e .(D)1)1(23-+e .[]（3）已知x x y ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则(yxϕ的表达式为（A ）.22xy -(B).22x y (C).22yx -(D).22yx []（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有一、一个极小值点和两个极大值点.二、两个极小值点和一个极大值点.三、两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[]（5）01x dx x02tan ,则(A).121>>I I (B).121I I >>(C).112>>I I (D).112I I >>[]（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则(A)当s r <时，向量组II 必线性相关.(B)当s r >时，向量组II 必线性相关.(C)当s r <时，向量组I 必线性相关.(D)当s r >时，向量组I 必线性相关.[]三、（本题满分10分）设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax 问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d 五、（本题满分9分）计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.七、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(A)求曲线y=f(x)的方程；(B)已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1)根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式；(2)求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰；(3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ，:2l 032=++a cy bx ，:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a 2004年考硕数学（二）真题一.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+,则()f x 的间断点为x =.（2）设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定,则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定,则3z zx y∂∂+=∂∂______.（5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,矩阵B 满足2ABA BA E **=+,其中A *为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =______-.二.选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰,20x β=⎰,30t dt γ=⎰排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ（B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ（D ）,,.βγα[]（8）设()(1)f x x x =-,则（A ）0x =是()f x 的极值点,但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点.（B ）0x =不是()f x 的极值点,但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（C ）0x =是()f x 的极值点,且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（D ）0x =不是()f x 的极值点,(0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]（9）lim n →∞等于（A ）221ln xdx ⎰.（B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰.（D ）221ln (1)x dx +⎰[]（10）设函数()f x 连续,且(0)0f '>,则存在0δ>,使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加.（B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小.（C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[]（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++.（B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++.（C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x*=+++[]（12）设函数()f u 连续,区域{}22(,)2D x y x y y =+≤,则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A ）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 200(sin cos )d f r rdrπθθθθ⎰⎰[]（13）设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（D ）011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.[]（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵,则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.（C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]三.解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义,在区间[0,2]上,2()(4)f x x x =-,若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+,其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时,()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分）设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体,其体积为()V t ,侧面积为()S t ,在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<,证明2224ln ln ()b a b a e->-.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy=.（2）曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为.（3）=--⎰1221)2(xxxdx.（4）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.（5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k=.（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N”，则必有(D)F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数.（B ）F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数.[]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)32ln 81+.(B)32ln 81+-.(C)32ln 8+-.(D)32ln 8+.[]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A)πab .(B)π2ab .(C)π)(b a +.(D)π2ba +.[]（11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ,其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有(A)2222y u x u ∂∂-=∂∂.（B ）2222y ux u ∂∂=∂∂.(C)222yuy x u ∂∂=∂∂∂.(D)222xuy x u ∂∂=∂∂∂.[]（12）设函数,11)(1-=-x x ex f 则五、x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B ）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C)x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D)x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.[]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ.(B)02≠λ.(C)01=λ.(D)02=λ.[]（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B,**,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则[]15.交换*A 的第1列与第2列得*B .(B)交换*A 的第1行与第2行得*B .(C)交换*A 的第1列与第2列得*B -.(D)交换*A 的第1行与第2行得*B -.三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x （16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象.过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l .记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x （18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：（I ）存在),1,0(∈ξ使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y)的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分）计算二重积分σd y xD⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αTa )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为（2）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =.（3）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰.（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是（5）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则0d d x y x==（6）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则[](A)0d y y <<∆.(B)0d y y <∆<.(C)d 0y y ∆<<.(D)d 0y y <∆<.（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数.[]（9）设函数()g x 可微，1()()e,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln 31-.（B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-[]（10）函数212e ee xxx y C C x -=++满足的一个微分方程是（A ）23e .xy y y x '''--=（B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=[]（11）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（Ａ）(,)d xx f x y y .（B ）00(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x .(D)(,)d y f x y x .[]（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[](A)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=.(B)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠.(C)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.（13）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是[]16.若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.17.若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关.(C)若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D)若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关.（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=.（Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =.（Ｄ）TC PAP =.［］三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()xBx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求arcsin e d e x xx ⎰.（17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥，计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰（18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<== （Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.（19）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.（21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x +→时，与等价的无穷小量是（A）1-（B）（C）1-（D）1-[]（2）函数1(e e)tan ()e e x x xf x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭在[],ππ-上的第一类间断点是x =[]（A ）0（B ）1（C ）2π-（D ）2π（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =--(B)5(3)(2)4F F =（C ）3(3)(2)4F F =（D ）5(3)(2)4F F =--[]（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f =（B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '=（D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[]（5）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为（A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3.[]（6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是：(A)若12u u >，则{}n u 必收敛.(B)若12u u >，则{}n u 必发散(C)若12u u <，则{}n u 必收敛.(D)若12u u <，则{}n u 必发散.[]（7）二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充要条件是[]（A ）()[](,)0,0lim (,)(0,0)0x y f x y f →-=.（B ）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且.（C ）((,)0,0lim0x y →=.（D ）00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→⎡⎤⎡⎤''''-=-=⎣⎦⎣⎦且.（8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰（B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y xππ+⎰⎰（D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y xππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A)122331,,αααααα---(B)122331,,αααααα+++(C)1223312,2,2αααααα---.(D)1223312,2,2αααααα+++.[]（10）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B (A)合同且相似（B ）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11）30arctan sin limx x xx →-=__________.（12）曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_________.（13）设函数123y x =+，则()(0)n y =________.（14）二阶常系数非齐次微分方程2432e xy y y '''-+=的通解为y =________.（15）设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，则z z x y x y ∂∂-=∂∂__________.（16）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为.三、解答题：17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分10分)设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导的函数，且满足()100cos sin ()d d sin cos f x x t t f t t t t t t --=+⎰⎰，其中1f -是f 的反函数，求()f x .（18）（本题满分11分）设D是位于曲线2(1,0)xay a x -=>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ；（Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值.（19）（本题满分10分）求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.（20）（本题满分11分）已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程1e1y y x --=所确定，设()ln sin z f y x =-，求2002d d ,d d x x z z x x ==.（21）(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（22）(本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（23）(本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（24）(本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（II ）求矩阵B .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（）()A 0()B 1.()C 2()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（）()A 曲边梯形ABOD 面积.()B 梯形ABOD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）()A ''''''440y y y y +--=()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛.()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f连续，若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则F u ∂=∂()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若30A =，则（）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（）()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .（12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______.（13）设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂.(17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)（本题满分11分）(1)证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得（21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ；（3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关；（2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（）()A 1.()B 2.()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==.()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点.()B 不是(),f x y 的极值点.()C 是(),f x y 的极大值点.()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,y xydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰.()B ()241,xx dx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点.()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点.()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：1()f x -2023x-1O则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（）()A .()f x 023x1-2-11()B .()f x 023x1-2-11()C .()f x 023x1-11()D .()f x 023x1-2-11（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A 、B 的伴随矩阵。
考研真题数学二(2000——2018)高数大题
数学二高数（2018）（15）（本题满分10分）（一元函数积分学的计算）2.x e ⎰求不定积分（2018）（16）（本题满分10分）20()()()x xf x f t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰已知连续函数满足（I ）()f x 求；（II ）()[0,1]1,.f x a 若在区间上的平均值为求的值（2018）（17）（本题满分10分）（二重积分）sin ,(02),(2).1cos Dx t t D t x x y d y t πσ=-⎧≤≤+⎨=-⎩⎰⎰设平面区域由曲线与轴围成计算二重积分（2018）（18）（本题满分10分）（一元函数微分学的应用，微分不等式）已知常数ln 2 1.k ≥-证明：2(1)(ln 2ln 1)0.x x x k x --+-≥ （2018）（19）（本题满分10分）（多元函数微分学，条件极值）2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最.若存在，求出最小值（2018）（20）（本题满分11分）（一元函数微分学的应用）已知曲线()()24:(0),0,0,0,1.9L y x x O A P L S OA AP L =≥点点设是上的动点，是直线与直线及曲线()3,4.P x S t 所围成图形的面积，若运动到点时沿轴正向的速度是4，求此时关于时间的变化率（2018）（21）（本题满分11分）（数列存在性与计算）{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞>=-=L 设数列满足：证明收敛，并求求+→0lim xt x dt（16）（本题满分10分）设函数(),f u v 具有2阶连续偏导数，()y ,xf e cosx =,求dyd x x=,220d y d x x =（17）（本题满分10分）求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（18）（本题满分10分）已知函数)(x y 由方程023333=-+-+y x y x 确定，求)(x y 的极值 （19）（本题满分10分）设函数()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明 （1）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；（2）方程2)]([)()(x f x f x f '+'' 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.（20）（本题满分11分）已知平面区域(){}22,2D x y xy y =+≤，计算二重积分()21Dx dxdy +⎰⎰（2017）（21）（本题满分11分）设()y x 是区间3(0,)2内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点(0,)P Y ，法线与x 轴相交于点(,0)P X ，若p P X Y =，求L 上点的坐标(,)x y 满足的方程。
考研数学二2000-2012年历年真题完美打印版
2000 年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题1．2．3.4.5.二、选择题6.7.8.9.10.三、解答题11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（ ）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy e yx 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）． 3、xdx x x 223cos )sin (2⎰-+ππ=（ ）． 4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（ ）． 5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）1110>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比nx x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且 )1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示： 则)(x f y '=的图形为 ( )三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(xf 且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、 求L 的方程2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆 在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？ 十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系， 144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数 试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （ ）．2．位于曲线xxe y -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（ ）．3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（ ）． 4．1lim n n→∞=（ ）． 5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝ （Ａ）－１； （Ｂ）０．１；（Ｃ）１； （Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)⎰x dt t f 02)(； (B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--xdt t f t f t 0)]()([； (D)⎰-+x dt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关； （Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x xe xe ，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ． 六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小． 七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分 的高h 应为多少？ 八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）．证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限． 九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+． 十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时， )()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ． 十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= . （2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________. （4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a ea θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ ]（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]（5）01xdx x 02tan , 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ ] （6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ ]三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d五 、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xe x ⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰；(3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx . 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______. （6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量20cos xtdt α=⎰, 20x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα []（8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]（9）lim ln n →∞等于（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰[]（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >. []（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++.（C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A ）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂.（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= .（2）曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为 .（3）=--⎰1221)2(xxxdx.（4）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为 . （5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= .（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A) πab . (B)π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + . [ ] （11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C)222y u y x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222xuy x u ∂∂=∂∂∂. [ ] （12）设函数,11)(1-=-x xex f 则 (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ] （14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则 [ ](A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1Ta =α,)1,,1(2Ta =αTa )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题三、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为（2）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰.（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （5）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则[ ](A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. [ ]（9）设函数()g x 可微，1()()e,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln31-. （B ）ln3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-[ ]（10）函数212e e e xxx y C C x -=++满足的一个微分方程是（A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-= [ ]（11）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（Ａ）(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D)(,)d y f x y x . [ ]（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ](A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. （13）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 [ ](B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (C) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. （14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ ］ 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()xBx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求 arcsin e d e xxx ⎰.（17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰（18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.（19）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.（21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→等价的无穷小量是 （A）1- （B） （C1 （D）1- [ ]（2）函数1(e e)tan ()e e x x xf x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭在[],ππ-上的第一类间断点是x = [ ] （A ）0 （B ）1 （C ）2π-（D ）2π（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ]（5）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是：(A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散(C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. [ ] （7）二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充要条件是[ ] （A ）()[](,)0,0lim(,)(0,0)0x y f x y f →-=.（B ）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且.（C ）((,)0,0lim 0x y →=.（D ）00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→⎡⎤⎡⎤''''-=-=⎣⎦⎣⎦且.（8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则 (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---.(D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]（10）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） 30arctan sin limx x xx→-= __________. （12）曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_________.（13）设函数123y x =+，则()(0)n y =________. （14） 二阶常系数非齐次微分方程2432e xy y y '''-+=的通解为y =________.（15） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.（16）设矩阵01000010********A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导的函数，且满足()10cos sin ()d d sin cos f x xt tf t t tt t t--=+⎰⎰，其中1f -是f 的反函数，求()f x .（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线2(1,0)xay a x -=>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ；（Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值.（19）（本题满分10分）求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.（20）（本题满分11分）已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程1e1y y x --=所确定，设()ln sin z f y x =-，求2002d d ,d d x x zz xx ==.（21） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（22） (本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D(,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（23） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（24） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵. （I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABOD 面积. ()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设x yy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22yx∂∂.(17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()(baf x d x f ba η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得（21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分）设矩阵2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,y xydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A 、B 的伴随矩阵。
2000-2020考研数学二历年真题word版(含答案)
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x=0连续，则 (A)12ab =(B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且 ()0f x ''>，则 (A) 11()0f x dx ->⎰ (B) 12()0f x dx -<⎰(C) 0110()()f x dx f x dx ->⎰⎰(D)111()()f x dx f x dx -<⎰⎰（3）设数列{}n x 收敛，则(A)当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=(B)当lim (0n n n x x →∞+= 时，则lim 0n n x →∞=(C)当2lim()0n n n x x →∞+=,lim 0n →∞=(D)当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=（4）微分方程248(1cos 2)xy y y e x '''-+=+ 的特解可设为ky =(A)22(cos 2sin 2)xx Aee B x C x ++ (B)22(cos 2sin 2)xx Axe e B x C x ++(C)22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ (D)22(cos 2sin 2)xx Axexe B x C x ++（5）设()f x 具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,f x y f x y x y∂∂>∂∂则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f <(C)(0,1)(1,0)f f > (D)(0,1)(1,0)f f <（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则(A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t >()s（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得 1000010002P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则123(,,)A ααα=(A)12αα+ (B)232αα+ (C)23αα+ (D)122αα+（8）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020000C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似(B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）曲线()21arcsin y x x =+的斜渐近线方程为（10）设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，则202t d ydx =（11）()2ln(1)1x dx x +∞++⎰=（12）设函数(),f x y 具有一阶连续偏导数，且()()(),1,0,00y y df x yye dx x y e dy f =++=，则(),f x y = （13）11tan yxdy dx x=⎰⎰（14）设矩阵41212311A a ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则a =三、解答题：15~23小题，共94分。
考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2005年试题，二)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有( )。
A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数B．F(x)是奇函数(x)是偶函数C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数D．F(x)是单调函数f(x)是单调函数正确答案：A解析：由题意可知于是f(x)为奇函数为偶函数的全体原函数为偶函数；F(x)为偶函数f’(x)=f(x)为奇函数所以选A。
[评注]考虑当f(x)具有函数的某种性质时，它的原函数F(x)是否也具有这种性质?反过来考虑呢? 知识模块：函数、极限、连续2．(2001年试题，二)设则f{[f(x)]}等于( )．A．0B．1C．D．正确答案：由题设，则由于f(x)只能取0，1两个值，即｜f(x)｜≤1，x∈(一∞，+∞)，所以f[f(x)]≡1，x∈(一∞，∞)，因而f{f(x)]}=f(1)=1选B。
涉及知识点：函数、极限、连续3．(1999年试题，二)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )．A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B．当f(x)是偶函数时，(x)必是奇函数C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数正确答案：A解析：由已知f(x)是连续函数，则是f(x)的一个原函数，从而f(x)的任一原函数F(x)可表示为即其中C为任意常数，且有当f(x)是奇函数时，即F(x)为偶函数，A成立；当f(x)是偶函数时，所以B不成立；关于选项C，D可举反例予以排除，如令f(x)=1+cosx，则周期为2π，F(x)=x+sinx+C不是周期函数；又令f(x)=x，为单调增函数，但不是单调函数，综上，选A．[评注]是函数f(x)的原函数中的一个，所以f(x)的原函数才为F(x)=，然后再用函数性质的定义进行判定．知识模块：函数、极限、连续4．(1997年试题，二)设则g[f(x)]=( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由已知由f(x)≤0，知x≥0且f(x)=一x；由f(x)>0，知x选D．知识模块：函数、极限、连续5．(2012年试题，一)设an＞0(n=1，2，3，…)，sn=a1+a2+a3+…+an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的( )。