2018年广州市荔湾区中考一模数学
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荔湾区2018年第二学期九年级一模调研测试
数学试题
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分）
1、-3的绝对值是（ ）
A、-3 B、 3 C、
31 D、 3
1
2、 在下列几何体中，主视图是圆的是（ ）
3、 如图所示的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
4、 下列运算正确的是（ ）
A、
826xxx B、2352xyxy C、2121aa（） D、22
39xx（）
5、 若代数式2x1有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A、
2x B、2x C、 2x D、 2x
6、 一次函数的图像过定点A（0，2），且函数值y随自变量x的增大而减小，则函数图像
经过的象限为（ ）
A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限
C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限
7、 一元二次方2x3y程01x4kx2有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A、4k B、4k C、4k D、0k4k且
8、 将抛物线向上平移3个单位，再向上平移2个单位，那么得到的抛物线解析式为（ ）
A、
32x3y
2）（ B、32x3y2
）（
C、
32x3y
2）（ D、32x3y2
）（
2
9、 如图⊙O是△ABC的外接圆，且∠A=50，则∠OCB= （ ）
A、
40 B、50 C、25 D、
45
10、 已知二次函数2cbxaxy2的图像如图所示，顶点为（-1，0）下列结论：
abc＜0，
0ac4b
2
，a＞2，④4a-2b+c＞0，其中正确结论的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、 3个 D、4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11、甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，
22
乙甲
SS
，那么两人成绩比较稳定的是 。
12、每天供给地球光和热的太阳与我们距离非常遥远，它距地球15000000千米，
将15000000千米用科学计数法表示为 千米。
13、在⊙O中，半径为5，AB//CD，且AB=6，CD=8，则AB、CD之间的距离为
14、已知反比例函数xm1y的图像如图，，则m的取值范围是
3
15、如图是二次函数cbxaxy2的部分图像，则不等式0cbxax2＜的解集是
__
16、如图，AB是半圆O的直径，AD、BC、CD分别切⊙O与点A、B、E，连结OD。OC，
则下列结论中，∠DOC=90，AD+BC=CD,OC:OD=EC:DE,④
CEDCOC•
2
,正确
的是
三、解答题（本大题共9小题，共102分）
17、（9分）接不等式组
7x2x251x3）＜（
，并在数轴上表示出它的解集。
18、（9分）（1）化简(
a
a-b
−1)÷
b
2
a
2
-ab
，（2）当13a，13b时，求代数式的值。
4
19、（10分）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线。
（1）作AC的垂直平分线EF，分别交AB、DC于点E、F，垂足为O；（要求用尺规作图，
保留作图痕迹，不要求写做法）
（2）求证：OE=OF
20、（10分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球 B．乒
乓球C．羽毛球 D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部
分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这
四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树
状图或列表法解答）
5
21、（12分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，
他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C
处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度（732.13，结果
保留一位小数）
22、（12分）如图，一次函数bkxy1的图像与反比例函数xmy2的图像相
交与点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）。
（1）求这两个函数的解析式。
（2）求当x取何值时，21yy＞。
6
23、（12分）如图AB是⊙O 的直径，BC切⊙O于点B，CA交⊙O于点D，E
是BC的中点，连接DE。
（1）求证：DE是⊙O的切线
（2）若∠C=60，BC=32，求图中阴影部分面积。
24、（14分）如图，在矩形ABCD中，∠CAB=30，BC=34cm，将△ABC沿
AC边翻折，使点B到点B′，AB′与DC相交于点O．
（1）求证：△ADO∽△ABC；
（2）点P（不与点A重合）是线段AB′上一动点，沿射线AB′的方向以2cm/s的
速度匀速运动，请你求出△APC的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写
出自变量t的取值范围；
（3）在（2）中，以AP、B′P、BC的长为边能否构成直角三角形？若能，求出
点P的位置；若不能，请说明理由．
7
25、（14分）抛物线2bxaxy2与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0），与y轴交
于点C。
（1）求抛物线的解析式
（2）在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的
周长
（3）若点P是x轴上的一个动点，过点P 作PQ//BC交抛物线与点Q，在抛物线上是否存
在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不
存在请说明理由。
2018年广州市中考数学试卷及答案-中考真题
广东省广州市2018年中考数学试题一、选择题1.四个数0，1，，中，无理数的是（）A. B.1 C. D.02.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）A.1条B.3条C.5条D.无数条3.如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（）A. B. C. D.4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.5.如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（）A.∠4，∠2B.∠2，∠6C.∠5，∠4D.∠2，∠46.甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2，乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2，从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（）A. B. C. D.7.如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB，交圆O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（）A.40°B.50°C.70°D.80°8.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚黄金重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13辆（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x辆，每枚白银重y辆，根据题意得（）A. B.C. D.9.一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中大致图像是（）A. B. C. D.10.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到……，第n次移动到，则△的面积是（）A.504B.C.D.二、填空题11.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）12.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。
2018年广州中考数学一模第10题和16题专题汇编
2018一模第10、16题汇编例题分析例题1、（18白云一模）如图1，D ，E ，F 分别为△ABC 边AC ，AB ，BC 上的点，∠A ＝∠1＝∠C ，DE ＝DF .下面的结论一定成立的是（ ）.（A ）AE ＝FC （B ）AE ＝DE （C ）AE ＋FC ＝AC （D ）AD ＋FC ＝AB例题2、（18天河一模）如图抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝－1给出下列结论：①b 2＝4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a －2b ＋c ＞0其中正确的个数有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例题3、（18天河一模）如图，已知在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，给出下列结论：①BE ＝DF ；②∠DAF ＝15°；③AC 垂直平分EF ；④BE ＋DF ＝EF ．其中结论正确的是 ．例题4、（18广雅一模）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分图1CAB1FE析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝34其中正确的结论是________．.例题5、（18培正一模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1, 0），点D 的坐标为（0, 2），延长CB交x轴于点,作正方形C,延长交x轴于点，作正方形,……按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（）A.5·B. 5·C. 5·D. 5·我爱展示1、（18广雅一模）如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（）．A．（4，23）B．（3，33）C．（4，33）D．（3，23）2、（18越秀外国语一模）如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，P A长为半径的⊙P交射线AB，AC于D，E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（）A．3 B．6 C．332D．3 33、（18增城一模）如图所示，在正方形ABCD中，边长为2的等边△AEF顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋ 3.其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）.4、（18华侨一模）二次函数y＝x2－x＋m(m为常数)的图象如图所示,当X=a时,Y<0，那么当X=a-1时,函数值（）A . y<0 B. o<y<m C. y>m D. y＝m5、（18华侨一模）如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45,点E在DC上,AE,BC的延长线相交于点F,若AE=10,则S△ADE＋S△CEF的值是___________6、（18十六中一模）平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（）.A．3：4B．13：25C. 13：26D. 23：13课后训练1、（18广州中学一模）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，交x 轴的正半轴于（1，0），则下列结论： （1）－abc ＜0； （2）a －b ＋c ＜0； （3）2a ＋b ＜0； （4）a ＋c ＜0． 正确的个数有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、（18十六中一模）已知点D 与点A （8，0），B （0，6），C （a ，－a ）是一平行四边形的四个顶点，则CD 长的最小值为____________.3、（18省实一模）若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1＜x 2，图象上有一点M （x 0，y 0）在x 轴下方，对于以下说法：①b 2－4ac ＞0； ②x ＝x 0是方程ax 2＋bx ＋c ＝y 0的解； ③x 1＜x 0＜x 2； ④（x 0 －x 1）（x 0－x 2）＜0；⑤x 0 ＜x 或x 0＞x 2；其中正确的有（ ）A.①②B. ①②④C. ①②⑤D. ①②④⑤ 4、（18增城一模）如图所示，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC ＋PD 最小时，点P 的坐标为（ ） A.（－3,0） B.（－6,0） C.（－32，0） D.（－52，0）5、（18三中一模）如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连结EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是___________（把所有的正确序号都填在横线上）.○1∠DCF ＝12∠BCD○2EF =CF ○3S △BEC =2S △CEF ○4∠DFE =3∠AEF 6、（18育才一模）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）A ．22 B ． 32C ． 2D ． 37、（18海珠一模）正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE 平分∠ADO 交AC 于点E ，把△ADE沿AD 翻折，得到△ADE ′，点F 是DE 的中点，连接AF ，BF ，E′F ．若AE =2．下列结论： ①AD 垂直平分EE′，②tan ∠ADE=2﹣1，③C △ADE ﹣C △ODE =22﹣1，④S 四边形AEFE′=3＋ 22其中结论正确的个数是（ ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个。
2018年广州中考数学一模函数综合压轴题汇编参考答案
2018一模函数压轴题汇编——参考答案【例题分析】例题1、解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，…………………………………………2分∵y=x2﹣x﹣=（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．…………………………………………3分（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA=1，OB=，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∴PH=PB，…………………………………………5分∴PB+PD=PH+PD=DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，∴sin60°=，∴DH=，∴PB+PD的最小值为．故答案为．…………………………………………7分（3）如图，RT△AOB中，∵tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，…………………………………………8分作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，∵EB==，∴OE=OB﹣EB=，…………………………………………10分∵F（，t），EF2=EB2，∴（）2+（t+）2=（）2，解得t=或，…………………………………………12分故F（，），G（，），∴t的取值范围≤t≤…………………………………………14分例题2、解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，∴，∴，∴y=﹣x2﹣x+2；…………………………………………3分（2）①如图，令y=0，∴﹣x2﹣x+2=0，∴x1=﹣4，x2=1，∴B（1，0），…………………………………………4分过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴==，…………………………………………5分设D（a，=﹣a2﹣a+2），∴M（a，a+2），∵B（1.0），∴N（1，），∴==（a+2）2+；…………………………………………7分∴当a=2时，的最大值是；…………………………………………8分②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=2，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，………………………9分∴P（﹣，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，…………………………………………10分过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR=﹣a，RC=﹣a2﹣a，∴，∴a1=0（舍去），a2=﹣2，∴x D=﹣2，…………………………………………12分情况二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=，设FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC==，∴FG=6k，∴CG=2k，DG=3k，∴∴RC=k，RG=k，DR=3k﹣k=k，∴==，∴a1=0（舍去），a2=，点D的横坐标为﹣2或﹣．…………………………………………14分例题3、解：(1)A(0,4)，B(4,0)，C(-1,0) ……………………………3分(2) ①AQ AO AQ COQP CO QP AO ==或 2431x x x =-2134x x x =-或 解得134x =或7x =, 均在抛物线对称轴的右侧. ∴点P 的坐标为1351(,)-416或（7，24）. …………………5分 （图1） ② Q (x ，4) ，P (x ,2-34x x ++) PQ =23x x -=PM ,△AEM ∽△MFP . 则有AM MPME PF=. ∵ME =OA ＝4，AM=AQ ＝x ,PM =PQ =23x x -，所以234x x xPF-=.得PF =4x -12，∴ OM =(4x -12)-x =3x -12. ………………7分 Rt △AOM 中，由勾股定理得222OM OA AM +=,∴222(312)4x x -+=，解得x 1=4,x 2=5.,均在抛物线对称轴的右侧. (图2) ∴点P 的坐标为（4,0）或（5，-6）.………………………………9分例题4、解:(1)由题意得，⎧⎪⎨⎪⎩∴二次函数的解析式为y =(10)B ∴，,其顶点坐标为(-(2)由题意知，3AO =,OB 60CBA ∴∠=︒，又BM BN =,∴△MBN将BMN ∆沿MN 翻折后，2t B N BN '==,60B NM BMN '∠=∠=︒，//,B N MB '∴(13t B '∴-）. …………………………5分若点B '=化简得：29t 9t=0-，t 0≠∴，此时，(10(0M N -，），，（3）由题意可得ABC ∆且30,60.BAC ABC ∠=︒∠=︒又分二种情况讨论：1),当P 在x 轴上时，过Q 作1PQ BQ x ⊥交轴于1P ,则1PBQ ABC ∆∆∽,此时1(10)P -，; 过Q 作2PQ x ⊥轴于2P ,则2QBP ABC ∆∆∽,此时21(0)2P，;P 在x 轴上其他位置时，三角形PQB ∆不为直角三角形，不可能与ABC ∆相似. ……………………………11分2),同理，当P 点在y 轴上时,设1PQ BQ y ⊥交轴于3P ，则3BPQ ABC ∆∆∽，此时3(03P，;过B 作4P B BQ ⊥交y 轴于4P ,但4,BP ACBQ BC≠则2QBP ABC ∆∆与不相似，P 在y 轴上其他位置时，三角形PQB ∆不为直角三角形，不可能与ABC ∆相似. ……………………………14分例题5、解: (1) 抛物线223(0)y ax ax a =--＞的对称轴为：212x a-=-=. ………………………1分 a ＞0，抛物线开口向上，大致图象如图所示. ∴当1x ≥时，y 随x 增大而增大；由已知：当24x ≤≤时，函数有最大值5.∴当4x =时， 5y =， 16835,1a a a ∴--==得：. 223y x x ∴=-- ……………………………2分令0,x = 得3y =- ，令0,y = 得13x x =-=或，∴ 抛物线与y 轴交于0（，-3）， 抛物线与x 轴交于-（1，0）、（3,0）. ……………………………3分 （2）2223(1)4y x x x =--=--,其折叠得到的部分对应的解析式为：2(1)43)y x x =--+<<（-1，其顶点为1,4（）. …………………4分图象与直线y n =恒有四个交点， ∴04n <<由2(1)4x n --+=，解得1x =(1),(1)B n C n ∴，BC =…………………………6分当以BC 为直径的圆与x 轴相切时，2BC n =.即：2n =，=24n n ∴=- ,得n =，04n <<，∴n =………………………8分 （另法：∵BC 直径，且⊙F 与x 轴相切，∴FC =y =n ,∵对称轴为直线x =1,∴F (1,n ),则C （1+n ,n ),又∵C 在2(1)43)y x x =--+<<（-1上， ∴2(11)4n n =-+-+，得12n -±=，04n <<，∴12n -+=（3）若关于m 的一元二次方程20040m y m k y -+-+= 恒有实数根，则须 200=)4(4)0y k y ∆---+≥（ 恒成立， ……………………………10分即2004416k y y ≤-+恒成立，即202124y k -+≤（）恒成立点00(,)P x y 是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，004y ∴<≤，∴ 20212344y -+<≤（）， （ k 取 202124y -+（）值之下限）…………………………13分∴ 实数k 的最大值为3. ……………………………14分例题6、解：（1）∵C （0，3）．∴﹣9a=3，解得：a=﹣．令y=0得：ax 2﹣2 x ﹣9a=0， ∵a ≠0，∴x 2﹣2 x ﹣9=0，解得：x=﹣ 或x=3 ． ∴点A 的坐标为（﹣ ，0），B （3 ，0）．∴抛物线的对称轴为x= ．……………………………3分 （2）∵OA= ，OC=3， ∴tan ∠CAO= ， ∴∠CAO=60°．∵AE 为∠BAC 的平分线， ∴∠DAO=30°．∴DO=AO=1． ∴点D 的坐标为（0，1）……………………………5分设点P 的坐标为（ ，a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD=PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD=DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a=2或a=0，∴点P的坐标为（，2）或（，0）．……………………………6分当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4．∴点P的坐标为（，﹣4）．综上所述，点P的坐标为（，2）或（，0）或（，﹣4）．…………………………8分（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣m+3=0，解得：m=，∴直线AC的解析式为y=x+3．设直线MN的解析式为y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=﹣，∴点N的坐标为（﹣，0）．∴AN=﹣+=．……………………………10分将y=x+3与y=kx+1联立解得：x=．∴点M的横坐标为．……………………………12分过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=+．∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG=+2=．∴+=+=+===．…………………14分例题7、解：(1)由题意，得点B的坐标为(4，–1)．∵抛物线过点A(0，–1)，B(4，–1)两点，∴21,1144.2c b c -=⎧⎪⎨-=-⨯++⎪⎩解得2,1.b c =⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的函数表达式为：21212y x x =-+-． ……………………………3分(2)ⅰ)∵A 的坐标为(0，–1)，C 的坐标为(4，3)．∴直线AC 的解析式为：y ＝x –1．设平移前的抛物线的顶点为P 0,则由(1)可得P 0的坐标为(2,1),且P 0在直线AC 上． ∵点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为(m ，m －1)，则平移后的抛物线的函数表达式为21()(1)2y x m m =--+-．解方程组21,1()(1).2y x y x m m =-⎧⎪⎨=--+-⎪⎩得{11,1,x m y m ==-{222,3.x m y m =-=- 即P (m ，m －1)，Q (m －2，m －3)．……………………………5分 过点P 作PE ∥x 轴，过点Q 作QE ∥y 轴，则 PE =m －(m －2)=2，QE =(m －1)－(m －3)=2． ∴PQ=AP 0．……………………………6分若△MPQ 为等腰直角三角形，则可分以下两种情况：①当PQ 为直角边时：M 到PQ 的距离为为22(即为PQ 的长)． 由A (0，－1)，B (4，－1)，P 0(2，1)可知：△ABP 0为等腰直角三角形，且BP 0⊥AC ，BP 0=22．过点B 作直线l 1∥AC 交抛物线21212y x x =-+-于点M ,则M 为符合条件的点．∴可设直线l 1的解析式为：1y x b =+．又∵点B 的坐标为(4，–1)，∴114b -=+．解得15b =-． ∴直线l 1的解析式为：5y x =-．解方程组25,12 1.2y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩得：114,1,x y =⎧⎨=-⎩222,7.x y =-⎧⎨=-⎩ ∴1(4,1)M -，2(2,7)M --． ……………………………8分②当PQ 为斜边时：MP =MQ =2，可求得M 到PQ 的距离为为2．取AB 的中点F ，则点F 的坐标为(2，－1)．由A(0，－1)，F(2，－1)，P 0(2，1)可知：△AFP 0为等腰直角三角形，且F 到AC 的距离为2．∴过点F 作直线l 2∥AC 交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 2的解析式为：2y x b =+．又∵点F 的坐标为(2，–1)，∴212b -=+．解得23b =-．∴直线l 2的解析式为：3y x =-． 解方程组23,12 1.2y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩ 得：1112x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2212x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴3(12M -，4(12M -．综上所述：所有符合条件的点M 的坐标为： 1(4,1)M -，2(2,7)M --，3(12M -，4(12M -．……………10分ⅱ) PQ NP BQ +存在最大值，理由如下： 由ⅰ)知PQ =22，当NP +BQ 取最小值时，PQ NP BQ+有最大值． 取点B 关于AC 的对称点B ′，易得B ′ 的坐标为(0，3)，BQ = B ′Q ．连接QF ，FN ，QB ′，易得FN PQ ．∴四边形PQFN 为平行四边形．……………………………12分∴NP=FQ ．∴NP +BQ ＝F Q + B ′P ≥F B ′当B ′，Q ，F 三点共线时，NP +BQ最小，最小值为． ∴PQ NP BQ +的最大值． …………………………14分例题8、解：（１）y ＝－223x ＋43x ＋２………………………………………………………２分［或y ＝－228(1)33x -+］（２）△ＰＡＣ的周长有最小值．……………………………………………………１分连结ＡＣ、ＢＣ，∵ＡＣ的长度一定，∴要使△ＰＡＣ的周长最小，就是使ＰＡ＋ＰＣ最小．∵点Ａ关于对称轴x ＝１的对称点是Ｂ点，∴ＢＣ与对称轴的交点即为所求的点Ｐ（如图2）．…………………………………２分设直线ＢＣ（用BC l 表示，其他直线可用相同方式表示）的表达为BC l ：y ＝kx b +，则有302k b b +=⎧⎨=⎩，解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴BC l ：y ＝－23x ＋２．……………………………３分 把x ＝１代入，得y ＝43， 即点Ｐ的坐标为Ｐ（１，43）．…………………………………………………………４分 ∴△ＰＡＣ的周长取得最小值，取得最小值时点Ｐ的坐标为Ｐ（１，43）；作ＤＥ∥ＢＣ交x 轴于点Ｅ，ＤＥ交对称轴x ＝１于点Ｑ（如图3）．……………5分在Ｒt过点Ｄ作ＤＦ⊥y 轴于点Ｆ，交对称轴x ＝１于点Ｎ． ∵Ｒt △ＣＤＦ∽Ｒt △ＣＨＯ，∴CF CD CO CH=， ∴ＣＦ＝CO CD CH ⋅＝5，ＯＦ＝ＣＯ－ＣＦ＝２－5； 同样，FD CD OH CH =，ＦＤ＝OH CD CH ⋅5， x y，…………………………6分． ∵ＤＥ∥ＢＣ，∴可设DE l （过点Ｄ、Ｅ的直线）：y ＝－23x ＋1b ，把Ｄ点坐标代入其中，得－23⋅1b解得1b DE l ：y ＝－23x 8分点Ｅ的纵坐标为０，代入其中，解得x ＝３－5，．∵点Ｑ在对称轴x ＝１上，把x ＝１代入DE l 中，解得y ＝43∴Ｑ（１，43．ＰＱ＝43－（43ＥＨ＝３－5－１＝２－5． Ｓ＝Ｓ△ＰＤＥ＝Ｓ△ＰＤＱ＋Ｓ△ＰＥＱ＝12ＰＱ·ＤＮ＋12ＰＱ·ＥＨ＝12ＰＱ（ＤＮ＋ＥＨ）＝12·15（１－5＋２－5），化简得Ｓ＝－225m 10分 可知Ｓ是关于m 的二次函数．Ｓ存在最大值．配方可得：Ｓ＝－22(5m ＋12，由此可得，Ｓ取得最大值为12，…………12分取得最大值时m的值为：m14分例题9解：（1）∵将点A（﹣1，0）代入抛物线的解析式得：﹣1﹣b+3=0，解得：b=2，∴y=﹣x2+2x+3．………………………………………………1分∴抛物线的对称轴为直线x=1．令x=0得：y=3，则C（0，3）．∵点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），B（3，0）．设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（2，3）代入得：，解得：k=1，b=1，∴直线AD的解析式为y=x+1．…………………………………………………2分∴直线AD与x轴正方向的夹角为45°．………………………………………………3分（2）如图1所示：设E（m，﹣m2+2m+3），则F（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），EF=﹣m2+2m+2﹣m=﹣m2+m+2．∵∠EGF=90°，∠EFG=45°，∴△EFG为等腰直角三角形．…………………………………………………6分∴l=EF+FG+EG=EF+EF+EF=（1+）EF=（1+）（﹣m2+m+2）=﹣（）m2+（+1）m+2+2．…………………………………………………7分（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4）．…………………………………………………8分①AM为矩形的对角线时，如图2所示：∵由矩形的性质可知：N为AM的中点，A（﹣1，0），M（1，4），∴N（0，2）．…………………………………………………10分∵由两点间的距离公式可知：MN==．∴NQ1=NQ2=，∴Q1（0，2+），Q2（0，2﹣）．…………………………………………………11分②当AM为矩形的一边时，如图3所示：过Q3作Q3E⊥y轴，垂直为E，过Q4作Q4F⊥y轴，垂足为F．∵在△ANO中，AO=1，ON=2，∴tan∠ANO=，∴tan∠MNP4=，∴P4M MN=，NP4=MN=．…………………………………………………12分∴P4Q3=．∴P4E=P4Q3=1，EQ3=P4Q3=2．∵OE=OP4﹣P4E=4.5﹣1=3.5，∴Q3的坐标为（2，3.5）．…………………………………………………13分∵点Q3与Q4关于点N对称，∴Q4（﹣2，）．综上所述，点Q的坐标为（0，2+），或（0，2﹣）或（2，3.5）或（﹣2，）．…………………………………………………14分例题10 解：（1）将(2,5)A -，(1,0)B -代入2y x bx c =++得42510b c b c -+=⎧⎨-+=⎩………………2分（每个各1分） 解得23b c =-⎧⎨=-⎩ ∴二次函数的解析式为223y x x =-- ………………3分 （2）将0y =代入223y x x =--得2230x x --=，解得121,3x x =-=∴点(3,0)C ……………………4分∵点P 直线AC 下方抛物线上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴交AC 于点E ，如右图所示： 则1()2PAC C A S PE x x =-…………………5分 由(2,5)A -，(3,0)C 得直线AC 的解析式为：3y x =-+∴设2(,23)P x x x --，则点(,3)E x x -+ ………………………6分∴3(2)5C A x x -=--=22(3)(23)6E P PE y y x x x x x =-=-+---=-++……………………7分 ∴221155()(6)5152222PAC C A S PE x x x x x x =-=-++=-++ ……………………8分 ∵5125222()2b x a =-=-=-， 将12x =代入2551522PAC S x x =-++可得最大面积为1258PAC S =………………9分 （3）答：存在………………………10分1(1,8)Q ,2(1,2)Q -,3(1,6),Q 4(1,1)Q -………………………14分（注：每个坐标1分）【强化训练】1、解：（1）设抛物线为y=a（x﹣1）2+4，将点（2，3）代入得到a=﹣1 ∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，∴y=﹣x2+2x+3．……………………………3分（2）如图1，令y=0，则﹣（x﹣1）2+4=0，∴x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，3），M（1，4），∴直线CM的解析式为y=x+3，……………………………4分令y=0，则x+3=0，∴x=﹣3，∴D（﹣3，0），∵∠DEM=∠AEP=90°，∠DME=∠APE，∴△DEM∽△AEP，∴，……………………………6分∵A（﹣1，0），E（1，0），D（﹣3，0），M（1，4），∴DE=4，ME=4，AE=2，∴，∴PE=2，∴P（1，2）或（1，﹣2）；……………………………8分（3）如图2，当点P在x轴上方时，连接BP，∵PE是抛物线的对称轴，∴∠APE=∠BPE，∵∠ANB=2∠APE，∴∠ANB=∠APB，∴点A，B，N，P四点共圆，……………………………9分∴设圆心F的坐标为（1，n），∴PF=AF=NF，∵A（﹣1，0），N（2，3），∴AF=，NF=，∴n2+4=1+（3﹣n）2，∴n=1，……………………………10分∴F（1，1），PF=AF=，∴PE=+1，∴P（1，+1），当点P在x轴下方时，由对称知，P'（1，﹣﹣1），……………………………12分即：点P的坐标为P（1，+1），或（1，﹣﹣1）．……………………………14分2、解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．……………………………3分（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．∴PE=|y P﹣y E|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，EF=|y E﹣y F|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15| ……………………………5分（a）若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；（b）若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．……………………………7分由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．∴m=2或m=．……………………………8分（3）假设存在．作出示意图如下：∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．……………………………10分由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，∴，即，解得CE=|m|，∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|．……………………………12分①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m=3+或m=3﹣．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）．……………………………14分3、解：⑴ 点C 的坐标为（0，2）．点A 坐标为（-1，0）． ……………………………3分⑵ AD=． ……………………………6分 ⑶ 要使，由于PQA=PDE ，所以只须∽，即须∽．……………………………8分○1 当0 <m<1时，点P 在x 轴下方，此时PQA 显然为钝角， 而PDE 显然为锐角，故此时不能有∽． ………………………10分○2 当1<m<2时， ，而此时1<m<2， 则应有，由此知>1． ……………………………12分 综上所述，当>1时，才存在实数m 使得∽， 从而有，此时；当0<1时， 不存在实数m 使得．……………………………14分4、解：（1）设抛物线解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，则有4＝a (6＋1)(6－3)，解得a ＝421， 故抛物线解析式为y ＝421(x ＋1)(x －3)，对称轴为x ＝-1＋32＝1，………………………2分 顶点坐标D （1，－1621）.……………………3分（2） 设E （1，t ），则有DE ＝t ＋1621， t ＝421(x ＋1)(x －3)即421x 2－821x －47－t ＝0 …………4分 故丨x 1－x 2丨＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16＋21t ，即FG ＝16＋21t ，由DE FG ＝157，解得DE ＝157FG ， ∴t ＋1621＝15716＋21t ，解得 t ＝173，故E （1，173）.……………………………6分 m 25DE PQ AQ CD ⋅=⋅∠∠PQA ∆CDE ∆PQA ∆PDE ∆∠∠PQA ∆CDE ∆a a m 1+=211<+<aa a a PQA ∆CDE ∆DE PQ AQ CD ⋅=⋅a a m 1+=≤a DE PQAQ CD ⋅=⋅如图，作∠ABC 的平分线与对称轴x ＝1的交点即为符合题意的H 点，记为H 1；在x 轴上取点R （-2，0），连接RC 交∠ABC 的平分线BH 1于Q ，则有RB ＝5；过点C 作CN ⊥x 轴交x 轴于点N在Rt △BCN 中，∵BC ＝RB ，BQ 平分∠ABC ，∴Q 为RC 中点∵R （-2，0），C （6，4）∴Q （2，2）.∵B （3，0），∴过点B 、Q 两点的一次函数解析式为y ＝-2x ＋6当x ＝1时，y ＝4.故H 1（1，4）…………………………8分如图，过点B 作BH 2⊥BH 1交对称轴于点H 2，则点H 2符合题意，记对称轴于x 轴交于点T.∵BH 2⊥BH 1，∴∠H 1BH 2＝90°即∠H 1BT ＋∠TBH 2＝90°∵∠H 1BT ＋∠TH 1B ＝90°，∴∠TBH 2＝∠TH 1B∵∠BTH 2＝∠H 1TB ＝90°，∴Rt △BTH 2∽Rt △H 1TB∴BT H 1T ＝H 2T TB ＝即24＝H 2T 2解得H 2T ＝1即H 2（1，-1）综上，H 1（1，4），H 2（1，-1）.………………10分（3）存在定值λ＝35，使得（CJ ＋λ·EJ ）min ＝26. 理由如下： 如图，在对称轴上取点K （1，3），则EI ＝173－32＝256，JI ＝4－32＝52，IK ＝3－32＝32故 EI JI ＝JI IK ＝53，∵∠JIE ＝∠KIJ ∴△IJE ∽△IKJ ， ∴EJ KJ ＝IJ IK ＝53，即KJ ＝35EJ …………………………12分 从而CJ ＋35EJ ＝CJ ＋KJ ，当且仅当K 、J 、C 三点共线时， （CJ ＋λ·EJ ）min ＝KC ＝26，即（CJ ＋λ·EJ ）min ＝26故存在定值λ＝35，使得（CJ ＋λ·EJ ）min ＝26. ……………………………14分5、解：（1）∵直线l ：y=x +m 经过点B （0，﹣1），∴m=﹣1， ……………………………1分∴直线l 的解析式为y=x ﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），∴n=×4﹣1=2……………………………2分（2）∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），∴，解得，……………………………5分∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；……………………………7分（3）令y=0，则x﹣1=0，解得x=，∴点A的坐标为（，0），∴OA=，……………………………9分在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y轴，∴∠ABO=∠DEF，……………………………11分在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，……………………………13分∴当t=2时，p有最大值；……………………………14分6、解：（1）设抛物线为y=a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3），∴3=a（0﹣4）2﹣1，；∴抛物线为；……………………………3分（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当时，x1=2，x2=6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4，∴OB=2，AB==，BC=4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，∴△AOB∽△BEC，∴=，即=，解得CE=，∵＞2，∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．（7分）（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；（8分）设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；∴PQ=﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）=﹣m2+m．∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6=﹣（m﹣3）2+；∴当m=3时，△PAC的面积最大为；…………………………13分此时，P点的坐标为（3，）．…………………………14分【课后训练】1、解：（1）由题意得，，∴，∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3；…………………………3分（2）如图2，∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣x+3；∴B（﹣3，0），∵A（1，0），∴AB=4，…………………………………………4分在x轴上方抛物线的对称轴上，取一点M，使DM=AB=2，∴∠AMB=90°，M（﹣1，2），∴MA=2，………………………………………………………5分以点M为圆心，以MA为半径，作圆，与y轴正半轴相较于点N，即：∠ANB=45°，∴MN=MA=2，…………………………………………6分设点N（0，m）（m＞0），∴=2，∴m=2+或m=2﹣（舍）即：当∠ANB=45°时，N（0，2+）；…………………………………………8分（3）如图3，∵D（﹣1，0），C（0，3），∴直线CD的解析式为y=3x+3，过点D作DE⊥CD交y轴于E，∴直线DX的解析式为y=﹣x﹣，…………………………………………9分∴E（0，﹣），∵∠CDP=45°，∴DF是∠CDE的平分线，∴，…………………………………………10分设F（0，n），∵C（0，3），∴CF=3﹣n，EF=n+，∵D（﹣1，0），C（0，3），E（0，﹣），∴CD=，DE=，…………………………………………11分∴，∴n=，∴直线DF的解析式为y=x+①，…………………………………………12分∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3②；联立①②得，，或（舍）∴点P的坐标（，）．…………………………………………14分2、解：⑴ 令01=y ，得△＝222)1(4484)12(4)2(-=+-=---t t t t t ， ……………………1分∵t >1，∴△＝2)1(4-t >0，…………………………………………2分∴无论t 取何值，方程0)12(22=-+-t tx x 总有两个不相等的实数根，∴无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点．…………………………………………3分 ⑵解法一：解方程0)12(22=-+-t tx x 得，11=x ，122-=t x ， …………………………………………4分 ∵t >1，∴112>-t ．得A (1，0)，B (12-t ，0)，∵D (m ，n )，E (m ＋2，n )， ∴DE ＝AB ＝2，即2112=--t ，解得2=t ． …………………………………………5分 ∴二次函数为1)2(34221--=+-=x x x y ，…………………………………………6分显然将抛物线1C 向上平移1个单位可得抛物线2C ：22)2(-=x y ，………………………7分故1=n ． …………………………………………8分 解法二：∵D (m ，n )在抛物线2C ：22)(t x y -=上，∴2)(t m n -=，解得n t m ±=， …………………………………………5分 ∴D (n t -，n )，E (n t +，n )，∵DE ＝2，∴n t +－(n t -)＝n 2＝2， …………………………………………7分解得 1=n ． …………………………………………8分⑶由⑵得抛物线2C ：22)2(-=x y ，D (1，1)，E (3，1)，翻折后，顶点F (2，0)的对应点为F ＇(2，2)， 如图，当直线b x y +-=21经过点D (1，1)时，记为1l ， 此时23=b ，图形G 与1l 只有一个公共点；………………10分 当直线b x y +-=21经过点E (3，1)时，记为2l ，此时25=b ，图形G 与2l 有三个公共点； ………………………………………12分当3<b 时，由图象可知，只有当直线l :b x y +-=21位于1l 与2l 之间时，图形G 与直线l 有且只有两个公共点，∴符合题意的b 的取值范围是2523<<b ．…………………………………………14分3、解：（1）∵抛物线y=﹣ x +2与y 轴交于点C ， ∴C （0，2），令y=0，则0=﹣x +2， ∴x=﹣1或x=4，…………………………………………1分∵点A 在点B 的左侧，∴A （﹣1，0），B （4，0），∴OA=1，OB=4，OC=2，根据勾股定理得，AC= ，BC=2 ，∵AB=OA +OB=5，∴AC 2+BC 2=5+20=25=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，…………………………………………2分∴AB 是Rt △ABC 的外接圆的直径，∴△ABC 的外接圆的圆心是线段AB 的中点，∴其坐标为（，0）；…………………………………………3分（2）∵C（0，2）设直线BC的解析式为y=kx+2，∵B（4，0），∴4k+2=0，∴k=﹣，∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，…………………………………………4分∵P是抛物线上一点，设点P（m，﹣m2+m+2）如图，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q，∴Q（m，﹣m+2），…………………………………………5分①当点P在直线BC上方时，S△PBC=S△PQC+S△PBQ=S△ABC，∴[（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）]×m﹣[（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）]（m﹣4）=×5×2∴m2﹣4m+5=0，∵△=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，…………………………………………6分∴此方程没有实数根；∴当点P在直线BC上方时，S△PBC ≠S△ABC，②当点P在直线BC下方时，S△PBC=S△PQC﹣S△PBQ=S△ABC，∴[（﹣m+2）﹣（﹣m2+m+2）]×m﹣[（m+2）﹣（﹣m2+m+2）]（m﹣4）=×5×2∴m2﹣4m﹣5=0，∴m=﹣1（舍）或m=5，∴P（5，﹣3）…………………………………………6分作PM⊥x轴于，交BC于Q，∴PM=3，MB=1，根据勾股定理得，BP=，AP=3，过点B作BN⊥AP于N，∴∠ANB=∠AMP=90°，∠BAN=∠PAM，∴△ABN∽△APM，∴，，∴BN=，…………………………………………7分在Rt△BPN中，PN==，∴BN=PN，∴∠APB=45°；…………………………………………8分（3）存在，如图2，∵抛物线y=﹣x+2的对称轴为x=，由（2）知，P（5，﹣3），BP=，设E（n，﹣n2+n+2），…………………………………………9分①当点E在抛物线对称轴右侧时，即：点E处时，EF=BP=，∴点E到对称轴的距离为EG=BM=1，∴n﹣=1，∴n=，∴E（，），易知，FG=PM=3，∴F（，）；…………………………………………11分②当点E在抛物线对称轴左侧时，即：E'处时，E'F'=BP=，∴点E'到对称轴的距离为E'G'=BM=1，∴﹣n=1，∴n=，∴E'（，），易知，F'G'=PM=3，∴F'（，﹣）．…………………………………………13分即：满足条件的点F的坐标为（，）或（，﹣）．…………………………………14分4、解：（1）∵抛物线y=mx 2+（m +2）x +2过点（2，4）， ∴m•22+2（m +2）+2=4，解得m=﹣，…………………………………1分∴抛物线解析式为y=﹣x 2+x +2，令y=0，则﹣x 2+x +2=0，整理得，x 2﹣5x ﹣6=0，解得x 1=﹣1，x 2=6，令x=0，则y=2，∴A （﹣1，0），B （6，0），C （0，2），…………………………………2分 ∴()721621=⨯+⨯=∆ABC S …………………………………3分（2）过点B 作BM ⊥CD 交CD 的延长线于M ， 在Rt △DOC 中，∵OC=OD=2，∴∠CDO=∠BDM=45°，CD=2，在Rt △BMD 中，∵BD=6﹣2=4，∴DM=BM=4×=2，…………………………………5分在Rt△CMB中，tan∠BCM===，又∵tan∠ACO==，∴∠ACO=∠BCD；…………………………………7分（3）①由勾股定理得，BC==2，BE=DE时，点E的横坐标为6﹣×（6﹣2）=4，点E的纵坐标是×（6﹣2）×=，所以，点E1（4，）；…………………………………8分BE=BD时，点E的横坐标为6﹣（6﹣2）×=6﹣，点E的纵坐标为（6﹣2）×=，所以，点E2（6﹣，），综上所述，点E1（4，）或E2（6﹣，）时，△BDE是等腰三角形；…………………………………10分②设P（x，﹣x2+x+2），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交CD的延长线于点Q，则直线CD的解析式为y=﹣x+2，∴点Q（x，﹣x+2），S△CDP=S△CPQ﹣S△DPQ，=PQ•OF﹣PQ•DF，=PQ•OD，∵OD=2，=PQ=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+x（0＜x＜6），…………………………………11分∴S△CDP∵S=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+，∴当x=4时，△CDP的面积最大，此时，﹣x2+x+2=﹣×42+×4+2=，∴点P（4，），…………………………………12分设直线PD的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线PD的解析式为y=x﹣，…………………………………13分直线BC的解析式为y=﹣x+2，联立，解得，所以，点E的坐标为（，）．…………………………………14分5、解：（1）∵y=x2﹣x﹣，∴y=（x+1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．…………………………………1分当x=4时，y=．∴E（4，）．…………………………………2分设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=．∴直线AE的解析式为y=x+．…………………………………3分（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．∴直线CE的解析式为y=x﹣．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．∴△EPC的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．∴当x=2时，△EPC的面积最大．∴P（2，﹣）．…………………………………5分如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．∵K是CB的中点，∴k（，﹣）．∴tan∠KCP=．…………………………………6分∵OD=1，OC=，∴tan∠OCD=．∴∠ODD=∠KCP=30°．∴∠KCD=30°．∵k是BC的中点，∠OCB=60°，∴OC=CK．∴点O与点K关于CD对称．…………………………………7分∴点G与点O重合．∴点G（0，0）．∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）．…………………………………8分∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．∴GH==3．∴KM+MN+NK的最小值为3．…………………………………10分（3）如图3所示：∵y′经过点D，y′的顶点为点F，∴点F（3，﹣）．…………………………………11分∵点G为CE的中点，∴G（2，）．∴FG==．…………………………………13分∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，∴点Q″（3，2）．当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=﹣．∴点Q1的坐标为（3，﹣）．…………………………………13分综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．…………………………………14分。
广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷含答案解析
广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．实数a的相反数是（）A．a B．﹣a C．D．|a|2．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B．C． D．3．直线y=x﹣2不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．抛物线y=2x2﹣3的对称轴是（）A．y轴B．直线x=2 C．直线D．直线x=﹣35．将图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（）A． B．C．D．6．甲、乙两名同学在参加体育中考前各作了5次投掷实心球的测试，甲、乙所测得的成绩的平均数相同，且甲、乙成绩的方差分别为0.62、0.72，那么（）A．甲、乙成绩一样稳定B．甲成绩更稳定C．乙成绩更稳定D．不能确定谁的成绩更稳定7．下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）A．y=x2B．y=x﹣1 C．D．8．用一个半径为30cm，面积为300π cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm9．如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于（）A．115°B．130°C．120°D．65°10．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4 C．4D．8二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．方程组的解是．12．用科学记数法表示0.00210，结果是．13．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=．14．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为．15．若m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的解，则2m2﹣3m+n的值是．16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．三、解答题（本大题共9题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．求不等式组的解，并在数轴上表示出来．18．已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．19．先化简：，若﹣1＜a＜4时，请代入你认为合适的一个a值并求出这个代数式的值．20．如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上．（1）在网格中画出将△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A′BC′的图形．（2）求点A在旋转中经过的路线的长度．（结果保留π）21．某校七年级各班分别选出3名学生组成班级代表队，参加知识竞赛，得分最多的班级为优胜班级，各代表队比赛结果如下：班级七（1）七（2）七（3）七（4）七（5）七（6）七（7）七（8）七（9）七（10）得分85 90 90 100 80 100 90 80 85 90（1）写出表格中得分的众数、中位数；（2）学校从获胜班级的代表队中各抽取1名学生组成“绿色环保监督”小组，小明、小红分别是七（4）班和七（6）班代表队的学生，用列表法或画树状图的方法说明同时抽到小明和小红的概率是多少？22．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．（1）求k和m的值；（2）求当x≥1时函数值y的取值范围．23．广州市体育中考项目改为耐力跑后，某体育用品商场预测某款运动鞋能够畅销，就用16000元购进了一批这款运动鞋，上市后很快脱销，商场又用40000元购进第二批这款运动鞋，所购数量是第一批的2倍，但每双鞋的进价高了10元．求该款运动鞋第一次进价是多少元？24．如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是BC上的一点，且PB＜PC，PA交BC于E，点F是PC延长线上的点，CF=PB，AB=，PA=4．（1）求证：△ABP≌△ACF；（2）求证：AC2=PA•AE；（3）求PB和PC的长．25．如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．实数a的相反数是（）A．a B．﹣a C．D．|a|【考点】实数的性质．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：a的相反数是﹣a，故选：B．2．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B．C． D．【考点】最简二次根式．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；C、，是最简二次根式；故C选项正确；D. =5，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；故选C．3．直线y=x﹣2不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】由已知中函数的解析式，结合一次函数的图象和性质，分析直线y=x﹣2的位置，可得答案．【解答】解：∵直线y=x﹣2的斜率k=1＞0，故直线必过第一，第三象限，又∵直线y=x﹣2的截距b=﹣2＜0，故直线与y轴的交点在原点下方，故直线过第四象限，即直线y=x﹣2不经过第二象限，故选：B4．抛物线y=2x2﹣3的对称轴是（）A．y轴B．直线x=2 C．直线D．直线x=﹣3【考点】二次函数的性质．【分析】根据所给的二次函数表达式，可知a、b、c的值，再代入对称轴的计算公式，即可求．【解答】解：∵a=2，b=0，c=3=﹣3，∴﹣=﹣=0，故对称轴是x=0．故选A．5．将图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（）A． B．C．D．【考点】利用平移设计图案．【分析】根据平移的特征分析各图特点，只要符合“图形的形状、大小和方向都不改变”即为答案．【解答】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，将题图所示的图案通过平移后可以得到的图案是A，其它三项皆改变了方向，故错误．故选A．6．甲、乙两名同学在参加体育中考前各作了5次投掷实心球的测试，甲、乙所测得的成绩的平均数相同，且甲、乙成绩的方差分别为0.62、0.72，那么（）A．甲、乙成绩一样稳定B．甲成绩更稳定C．乙成绩更稳定D．不能确定谁的成绩更稳定【考点】方差；算术平均数．【分析】根据方差的意义解得即可．【解答】解：∵S甲2=0.62，S乙2=0.72，∴S甲2＜S乙2，∴甲成绩更稳定．故选B．7．下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）A．y=x2B．y=x﹣1 C．D．【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【分析】A、根据二次函数的图象的性质解答；B、由一次函数的图象的性质解答；C、由正比例函数的图象的性质解答；D、由反比例函数的图象的性质解答．【解答】解：A、二次函数y=x2的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时），y随x的增大而增大；故本选项错误；B、一次函数y=x﹣1的图象，y随x的增大而增大；故本选项错误；C、正比例函数的图象在一、三象限内，y随x的增大而增大；故本选项错误；D、反比例函数中的1＞0，所以y随x的增大而减小；故本选项正确；故选：D．8．用一个半径为30cm，面积为300π cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm【考点】圆锥的计算．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到•2π•r•30=300π，然后解方程求出r即可．【解答】解：根据题意得•2π•r•30=300π，解得r=10（cm）．故选B．9．如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于（）A．115°B．130°C．120°D．65°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠前后角相等可知．【解答】解：∵∠1=50°，∴∠AEF=180°﹣∠BFE=180°﹣÷2=115°故选A．10．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4 C．4D．8【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．【解答】解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．方程组的解是．【考点】解二元一次方程组．【分析】先用加减消元法消去y求出x的值，再用代入法求出y的值即可．【解答】解：（1）+（2）得，3x=6，解得，x=2．把x=2代入（2）得，2+y=3，y=1．故原方程组的解为．12．用科学记数法表示0.00210，结果是 2.1×10﹣3．【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：用科学记数法表示0.00210，结果是2.1×10﹣3．故答案为：2.1×10﹣3．13．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解．【解答】解：在直角△ABD中，BD=1，AB=2，则AD===，则sinA===．故答案是：．14．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为10．【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD．【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=10．故答案为：10．15．若m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的解，则2m2﹣3m+n的值是4．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】由m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的解，利用根与系数的关系即可得出“m+n=﹣=2，mn==﹣1”，再将2m2﹣3m+n变成m+n与mn的形式，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的解，∴m+n=﹣=2，mn==﹣1．∵2m2﹣3m+n=2m2﹣4m+（m+n）=2m（m﹣2）+（m+n）=﹣2mn+（m+n），∴2m2﹣3m+n=﹣2×（﹣1）+2=4．故答案为：4．16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．【考点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF===2，∴CH=，故答案为：．三、解答题（本大题共9题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．求不等式组的解，并在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集即可．【解答】解：解不等式3x+2＞﹣4，得x＞﹣2，解不等式﹣x＞﹣2，得x＜2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x＜2把解集在数轴上表示，18．已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】证法一：根据矩形的对边相等可得AB=CD，四个角都是直角可得∠A=∠C=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；证法二：先求出BF=DE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BFDE为平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证．【解答】证法一：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=DF（全等三角形对应边相等）；证法二：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即ED=BF，而ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形，∴BE=DF（平行四边形对边相等）．19．先化简：，若﹣1＜a＜4时，请代入你认为合适的一个a值并求出这个代数式的值．【考点】分式的化简求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=a﹣2，当a=1时，原式=1﹣2=﹣1．20．如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上．（1）在网格中画出将△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A′BC′的图形．（2）求点A在旋转中经过的路线的长度．（结果保留π）【考点】作图-旋转变换；弧长的计算．【分析】（1）将BC绕点B顺时针旋转90°，得到BC′，再以BC′为直角边，利用网格画出△A′BC′即可；（2）利用网格，根据勾股定理求出BA的长，在根据扇形弧长公式解答即可．【解答】解：（1）△A′BC′为所求；（2）∵在△ABC中，∠ACB=90°∴AB===∵∠ABA'=90°∴==．21．某校七年级各班分别选出3名学生组成班级代表队，参加知识竞赛，得分最多的班级为优胜班级，各代表队比赛结果如下：班级七七七七七七七七七七（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）得分85 90 90 100 80 100 90 80 85 90（1）写出表格中得分的众数、中位数；（2）学校从获胜班级的代表队中各抽取1名学生组成“绿色环保监督”小组，小明、小红分别是七（4）班和七（6）班代表队的学生，用列表法或画树状图的方法说明同时抽到小明和小红的概率是多少？【考点】列表法与树状图法；中位数；众数．【分析】（1）由表格，直接根据众数与中位数的定义求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与同时抽到小明和小红的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）众数90，中位数90；（2）设七（4）班另外两名学生为A、B，七（6）班另外两名学生为a、b，据此可画树状图：∴所有可能出现的结果有9种，其中同时抽到小明、小红的结果有1种，∴同时抽到小明和小红的概率P=．22．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．（1）求k和m的值；（2）求当x≥1时函数值y的取值范围．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=，可求出k的值；（2）求出x=1时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．【解答】解：（1）∵A（2，m），∴OB=2，AB=m，∴S△AOB=•OB•AB=×2×m=，∴m=，∴点A的坐标为（2，），把A（2，）代入y=，得k=1；（2）∵当x=1时，y=1，又∵反比例函数y=在x＞0时，y随x的增大而减小，∴当x≥1时，y的取值范围为0＜y≤1．23．广州市体育中考项目改为耐力跑后，某体育用品商场预测某款运动鞋能够畅销，就用16000元购进了一批这款运动鞋，上市后很快脱销，商场又用40000元购进第二批这款运动鞋，所购数量是第一批的2倍，但每双鞋的进价高了10元．求该款运动鞋第一次进价是多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】设该款运动鞋第一次进价为x元，则第二次进价为（x+10）元，接下来，用含x 的式子可表示出两次购进这款运动鞋的数量，最后依据第二批所购数量是第一批的2倍列方程求解即可．【解答】解：设该款运动鞋第一次进价为x元，则第二次进价为（x+10）元．依题意得 2•=，解得：x=40．经检验x=40是原分式方程的根．答：该款运动鞋第一次进价为40元．24．如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是BC上的一点，且PB＜PC，PA交BC于E，点F是PC延长线上的点，CF=PB，AB=，PA=4．（1）求证：△ABP≌△ACF；（2）求证：AC2=PA•AE；（3）求PB和PC的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP，于是可根据“SAS”判断△ABP≌△ACF；（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC，于是可判断△ACE∽△APC，然后利用相似比即可得到结论；（3）先利用AC2=PA•AE计算出AE=，则PE=AP﹣AE=，再证△APF为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP∽△CEP，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB和PC看作方程x2﹣4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB和PC的长．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∵四边形ABPC为圆的内接四边形，∴∠ACF=∠ABP，在△ABP和△ACF中，，∴△ABP≌△ACF；（2）∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠APC=∠ABB=60°，∴∠ACE=∠APC，∵∠CAE=∠PAC，∴△ACE∽△APC，∴AE：AC=AC：AP，∴AC2=PA•AE；（3）解：∵AC2=PA•AE，AB=AC，∴AE==，∴PE=AP﹣AE=4﹣=，∵△ABP≌△ACF，∴∠APB=∠F=60°，而∠APC=60°，∴△APF为等边三角形，∴PF=PA=4，∴PC+CF=PC+PB=4，∵∠BAP=∠PCE，∠APB=∠APC，∴△ABP∽△CEP，∴PB：PE=AP：PC，∴PB•PC=PE•AP=×4=3，∵PB+PC=4，∴PB和PC可看作方程x2﹣4x+3=0的两实数解，解此方程得x1=1，x2=3，∵PB＜PC，∴PB=1，PC=3．25．如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）求二次函数的表达式，需要求出A、B、C三点坐标．已知B点坐标，且OB=OC，可知C（0，3），tan∠ACO=，则A坐标为（﹣1，0）．将A，B，C三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式．（2）假设存在这样的点F（m，n），已知抛物线关系式，求出顶点D坐标，今儿求出直线CD，E是直线与x轴交点，可得E点坐标．四边形AECF为平行四边形，则CE∥AF，则两直线斜率相等，可列等式（1），CE=AF，可列等式（2），F在抛物线上，为等式（3），根据这三个等式，即可求出m、n是否存在．（3）分情况讨论，当圆在x轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为r，则N的坐标为（r+1，r），将其代入抛物线解析式，可求出r的值．当圆在x 轴的下方时，方法同上，只是N的坐标变为（r+1，﹣r），代入抛物线解析式即可求解．（4）G在抛物线上，代入解析式求出G点坐标，设点P的坐标为（x，y），即（x，x2﹣2x﹣3）已知点A、G坐标，可求出线段AG的长度，以及直线AG的解析式，再根据点到直线的距离求出P到直线的距离，即为三角形AGP的高，从而用x表示出三角形的面积，然后求当面积最大时x的值．【解答】解：（1）方法一：由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0），将A、B、C三点的坐标代入，得：，解得：，所以这个二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3，方法二：由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0），设该表达式为：y=a（x+1）（x﹣3），将C点的坐标代入得：a=1，所以这个二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，﹣3），理由：易得D（1，﹣4），所以直线CD的解析式为：y=﹣x﹣3，∴E点的坐标为（﹣3，0），由A、C、E、F四点的坐标得：AE=CF=2，AE∥CF，∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，∴存在点F，坐标为（2，﹣3），方法二：易得D（1，﹣4），所以直线CD的解析式为：y=﹣x﹣3，∴E点的坐标为（﹣3，0），∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，∴F点的坐标为（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣4，3），代入抛物线的表达式检验，只有（2，﹣3）符合，∴存在点F，坐标为（2，﹣3）．（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得，②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，﹣r），代入抛物线的表达式，解得，∴圆的半径为或．（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，﹣3），直线AG为y=﹣x﹣1．设P（x，x2﹣2x﹣3），则Q（x，﹣x﹣1），PQ=﹣x2+x+2．S△APG=S△APQ+S△GPQ=（﹣x2+x+2）×3 当x=时，△APG的面积最大此时P点的坐标为（，﹣），S△APG的最大值为．6月27日。
2018年广东省广州市中考数学试卷-答案
广东省广州市2018年初中毕业生学业考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】本题考查无理数的概念.根据已知四个选项中的实数是无限不循环小数,是无理数,1,12,0都是有理数,故选A . 【考点】无理数的概念 2.【答案】C【解析】本题考查轴对称图形的性质.由图可知,经过五角星的五个顶点将图形分成两个全等图形的5条直线都是它的对称轴,∴五角星有5条对称轴,故选C . 【考点】理解轴对称图形的性质是解答本题的关键. 3.【答案】B【解析】本题考查几何体的主视图.根据题意,从正面看已知几何体,得到的平面图形是故选B .【考点】几何体的主视图. 4.【答案】D【解析】本题考查整式的运算.∵222( 2)a b a ab b +=++,∴选项A 计算错误；∵22223a a a +=,∴选项B 计算错误；∵22221x y x y y x y y÷==,∴选项C 计算错误；∵323236()()228()x x x =--=-,∴选项D 计算正确,故选D .【考点】整式的运算. 5.【答案】B【解析】本题考查同位角和内错角的概念.由图可知,1∠的同位角是2∠,5∠的内错角是6∠,故选B . 【考点】同位角和内错角的概念. 6.【答案】C【解析】本题考查随机事件发生的概率.根据题意,取出小球的等可能情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4种,其中两个小球上都写有数字2的只有一种,∴所求概率为14,故选C .【考点】随机事件发生的概率. 7.【答案】D【解析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”性质.∵20ABC =∠,∴240AOC ABC ==∠∠,又∵OA OB =,OC AB ⊥,∴AOC BOC =∠∠,∴80AOB =∠,故选D .【考点】圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”性质. 8.【答案】D【解析】本题考查列方程组解应用题.根据题意,交换前甲袋重量为9x 两,乙袋重量为11y 两,由两袋重量相等,得911x y =；交换后,甲袋有黄金8枚,白银1枚,重(8)x y +两,乙袋有白银10枚,黄金1枚,重(10)y x +两,由甲袋比乙袋轻13两,得()()10813y x x y +-+=,∴可列得方程组(911108)()13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩，，故选D .【考点】列方程组解应用题. 9.【答案】A【解析】本题考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质.选项A ,B 中,对y ax b =+,当1x =-时,0y ＜,即0a b -+＜,∴0a b -＞,则反比例函数的图象经过第一、三象限,选项A 中的图象满足条件,而选项B 中的图象不满足条件；选项C ,D 中,对y ax b =+,当1x =-时,0y ＞,即0a b -+＞,∴0a b -＜,则反比例函数的图象经过第二、四象限,选项C ,D 中的图象均不满足条件,故选A . 【考点】一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质. 10.【答案】A【解析】本题考查探索规律、求三角形的面积.根据题意,201845042÷=…,即点2A 与点2018A 在同一水平直线上,且线段220185042100m ()8A A =⨯=,∴220182111008)m (5042OA A S =⨯⨯=△,故选A . 【考点】探索规律、求三角形的面积.第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】增大【解析】二次函数2y x =的图象开口向上,对称轴是y 轴,∴当0x ＞时,图象在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大.【考点】本题考查二次函数的图象与性质. 12.【答案】12【解析】由题意可知,在Rt ABC △中,81tan 162AB C BC ===.【考点】本题考查锐角三角函数的定义. 13.【答案】2x =【解析】本题考查解分式方程.原方程可变为46x x =+,解得2x =,经检验,2x =是原方程的解,∴原方程的解是2x =. 【考点】解分式方程. 14.【答案】()5,4-【解析】∵点A 的坐标是(3,0),∴3OA =,∵点B 的坐标是()2,0-,∴2OB =,∴5AB AD ==,在Rt AOD △中,由勾股定理得4OD =,过点C 作CW x ⊥轴于点M ,则3BM OA ==,∴5OM =,∴点C 的坐标为()5,4-.【考点】本题考查菱形的性质、勾股定理. 15.【答案】2【解析】本题考查二次根式的性质、整式的运算.从数轴上可以看出,02a ＜＜,∴22a a a a +=+-=.【考点】二次根式的性质、整式的运算. 16.【答案】①②④【解析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质、菱形的判定、相似三角形的判定和性质.在ABCD 中,AB DC ∥,∵EC 是AB 的垂直平分线,∴90DCE AOE ==∠∠,CA CB AD AE ===,∴BC EA ∥,∴四边形ACBE 是平行四边形,又EA EB =,∴ ACBE 是菱形,结论①正确；∵AB DC ∥,∴BAE ADC =∠∠,又∵AD AC =,∴ADC ACD =∠∠,∴ACD BAE =∠∠,结论②正确；∵AB DC ∥,∴AOF CDF △△,∴::1:2AO CD AF CF ==,∴:1:3AF AC =,又∵AC BE =,∴:1:3AF BE =,结论③错误；设1AOF S =△,则4CFD S =△,2COF S =△,2ADF S =△,3AOE S =△,∴4AFOE S =四边形,6COD S =△,∴:4:62:3COD AFOE S S ==△四边形,结论④正确,综上所述,正确的结论是①②④.【考点】平行四边形的性质、直角三角形的性质、菱形的判定、相似三角形的判定和性质.三、解答题17.【答案】解：10,213,x x +⎧⎨-⎩＞①＜②解不等式①,可得1x -＞,解不等式②,可得24x ＜,解得2x ＜, ∴不等式组的解集为12x -＜＜.【解析】先分别解出不等式组中的每个不等式的解集,再求它们的公共解集即可.解：10,213,x x +⎧⎨-⎩＞①＜②解不等式①,可得1x -＞,解不等式②,可得24x ＜,解得2x ＜, ∴不等式组的解集为12x -＜＜. 【考点】本题考查解不等式组.18.【答案】证明：在ADE △和CBE △中,,,,AE CE AED CEB DE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴()SAS ADE CBE △≌△ ∴A C =∠∠【解析】根据已知条件和对顶角相等,证明两个三角形全等,得对应角相等,从而证明结论成立. 证明：在ADE △和CBE △中,,,,AE CE AED CEB DE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴()SAS ADE CBE △≌△, ∴A C =∠∠.【考点】本题考查全等三角形的判定和性质.19.【答案】(1)22963()3()a T a a a a -=+++22()(96)33a a a a -++=+22961(83)a a a a -++=+2269(3)a a a a ++=+22()1(33)a a a a +=+=(2)∵正方形ABCD 的边长为a ,且它的面积为9,∴3a =, ∴113T a ==.【解析】(1)先通分,进行分式的加法运算,合并后再约分,从而将分式化为最简分式； (2)根据正方形的面积公式求出a 的值,代入(1)中的最简分式,即可求出分式的值.解：(1)22963()3()a T a a a a -=+++ 22()(96)33a a a a -++=+ 22961(83)a a a a -++=+ 2269(3)a a a a ++=+ 22()1(33)a a a a+=+=. (2)∵正方形ABCD 的边长为a ,且它的面积为9,∴3a =, ∴113T a ==. 【考点】本题考查分式的化简求值、求算术平方根.20.【答案】(1)这组数据按大小排序可得：0,7,9,12,15,17,17,17,20,26.中间两位数是15,17,则中位数是1517162+=,这组数据中17出现的次数最多,则众数是17. (2)这组数据的平均数是171215201707261791410x +++++++++==.(3)若该小区有200名居民,该小区一周内使用共享单车的总次数大约是200142800⨯=(次).【解析】(1)先将数据从小到大排序,取最中间的两个数求中位数,找出出现次数最多的数,即为这组数据的众数；(2)根据求平均数的公式计算即可；(3)根据平均数和小区市民人数,可估计所求使用共享单车的总次数. 解：(1)这组数据按大小排序可得：0,7,9,12,15,17,17,17,20,26. 中间两位数是15,17,则中位数是1517162+=,这组数据中17出现的次数最多,则众数是17. (2)这组数据的平均数是171215201707261791410x +++++++++==.(3)若该小区有200名居民,该小区一周内使用共享单车的总次数大约是200142800⨯=(次). 【考点】本题考查统计知识的应用.21.【答案】(1)应选择方案一,最少费用是7.2a 元. (2)设方案一、二的费用分别为1W ,2W , 由题意可得10.9W ax =(x 为正整数), 当05x ≤≤时,2W ax =(x 为正整数),.当5x ＞时,2550.80(.8)W a x a ax a =+-⨯=+(x 为正整数), ∴2(05),=0.8(5),ax x W ax a x ⎧⎨+⎩≤≤＞其中x 为正整数,由题意可得12W W ＞,∵当05x ≤≤时,21W ax W =＞,不符合题意, ∴0.80.9ax a ax +＜,解得10x ＞且x 为正整数. 即该公司采用方案二购买更合算,x 的取值范围为10x ＞且x 为正整数. 【解析】(1)先根据题意分别求出8x =时,两种方案的总费用,再根据a 的取值范围即可确定费用最少的方案；(2)根据题意列出不等式,解不等式即可求出x 的取值范围. 解：(1)当8x =时,方案一的费用是0.90.987.2ax a a =⨯=, 方案二的费用是50.8550.(8)(7.)854x a a a a a +-=+-=, ∵0a ＞,∴7.27.4a a ＜.答：(1)应选择方案一,最少费用是7.2a 元. (2)设方案一、二的费用分别为1W ,2W , 由题意可得10.9W ax =(x 为正整数), 当05x ≤≤时,2W ax =(x 为正整数),.当5x ＞时,2550.80(.8)W a x a ax a =+-⨯=+(x 为正整数), ∴2(05),=0.8(5),ax x W ax a x ⎧⎨+⎩≤≤＞其中x 为正整数,由题意可得12W W ＞,∵当05x ≤≤时,21W ax W =＞,不符合题意, ∴0.80.9ax a ax +＜,解得10x ＞且x 为正整数. 即该公司采用方案二购买更合算,x 的取值范围为10x ＞且x 为正整数. 【考点】本题考查函数的实际应用.22.【答案】解：(1)∵0(),P x 与原点的距离为1y , 当0x ≥时,1y OP x ==, 当0x ＜时,1y OP x ==-, ∴y 关于x 的函数解析式为1(0),(0),x x y x x ⎧=⎨-⎩≥＜即为1||y x =,函数图象如图所示.(2)①∵点A 的纵坐标为2,∴把2y =代入1y x =,可得2x =,此时A 为(2,2),224k =⨯=. 把2y =代入1y x =-,可得2x =-,此时A ()2,2-,224k =-⨯=-. ②当4k =时,如图可得12y y ＞时,0x ＜或2x ＞. 当4k =-时,如图可得12y y ＞时,2x ＜-或0x ＞.【解析】(1)根据题意可写出函数解析式(注意是距离),作出图象；(2)①结合(1)中的解析式可求出k 的值；②根据图象,以交点为界,当直线在双曲线的上方时,根据交点的横坐标写出x 的取值范围.解：(1)∵0(),P x 与原点的距离为1y , 当0x ≥时,1y OP x ==, 当0x ＜时,1y OP x ==-, ∴y 关于x 的函数解析式为1(0),(0),x x y x x ⎧=⎨-⎩≥＜即为1||y x =,函数图象如图所示.(2)①∵点A 的纵坐标为2,∴把2y =代入1y x =,可得2x =,此时A 为(2,2),224k =⨯=. 把2y =代入1y x =-,可得2x =-,此时A ()2,2-,224k =-⨯=-. ②当4k =时,如图可得12y y ＞时,0x ＜或2x ＞. 当4k =-时,如图可得12y y ＞时,2x ＜-或0x ＞.【考点】本题考查函数图象的实际应用、一次函数和反比例函数的图象与性质. 23.【答案】解：(1)如图所示.(2)①证明：在AD 上取一点F 使DF DC =,连接EF ,∵DE 平分ADC ∠,∴FDE CDE =∠∠,在FDE △和CDE △中,,,,DF DC FDE CDE DE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴(SAS)FDE CDE △≌△, ∴90DFE DCE ==∠∠,18090AFE DFE =-=∠∠,∴DEF DEC =∠∠.∵AD AB CD =+,DF DC =,∴AF AB =,∴Rt AFE △和Rt ABE △中,,,AF AB AE AE =⎧⎨=⎩∴Rt (HL),AFE Rt ABE △≌△ ∴AEB AEF =∠∠,∴1122AED AEF DEF BEF CEF =+=+∠∠∠∠∠1()902BEF CEF =+=∠∠, ∴AE DE ⊥,②过点D 作DP AB ⊥于点P ,∵由①可知,B ,F 关于AE 对称,BM FM =, ∴BM MN FM MN +=+,当F ,M ,N 三点共线且FN AB ⊥时,有最小值. ∵DP AB ⊥,6AD AB CD =+=, ∴90DPB ABC C ===∠∠∠. ∴四边形DPBC 是矩形,∴2BP DC ==,2AP AB BP =-=,在Rt APD △中,DP =, ∵FN AB ⊥,由①可知4AF AB ==, ∴FN DP ∥,∴AFN ADP ∽△△,∴AF FNAD DP =,即46解得3FN =,∴BM MN +的最小值是3. 【解析】(1)根据角平分线的作图方法作出图形；(2)①作辅助线,根据全等三角形的判定和性质,得两组对应角相等,可代换出直角,即可证明垂直；②根据对称的特点可找到BM MN +最小时点M ,N 的位置,结合相似三角形的性质解直角三角形即可得最小值.解：(1)如图所示.(2)①证明：在AD 上取一点F 使DF DC =,连接EF ,∵DE 平分ADC ∠,∴FDE CDE =∠∠,在FDE △和CDE △中,,,,DF DC FDE CDE DE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴(SAS)FDE CDE △≌△,∴90DFE DCE ==∠∠,18090AFE DFE =-=∠∠,∴DEF DEC =∠∠.∵AD AB CD =+,DF DC =,∴AF AB =,∴Rt AFE △和Rt ABE △中,,,AF AB AE AE =⎧⎨=⎩∴Rt (HL),AFE Rt ABE △≌△∴AEB AEF =∠∠, ∴1122AED AEF DEF BEF CEF =+=+∠∠∠∠∠ 1()902BEF CEF =+=∠∠, ∴AE DE ⊥,②过点D 作DP AB ⊥于点P ,∵由①可知,B ,F 关于AE 对称,BM FM =,∴BM MN FM MN +=+,当F ,M ,N 三点共线且FN AB ⊥时,有最小值.∵DP AB ⊥,6AD AB CD =+=,∴90DPB ABC C ===∠∠∠.∴四边形DPBC 是矩形,∴2BP DC ==,2AP AB BP =-=,在Rt APD △中,DP =,∵FN AB ⊥,由①可知4AF AB ==,∴FN DP ∥,∴AFN ADP ∽△△,∴AF FNAD DP =,即46解得3FN =,∴BM MN + 【考点】本题考查基本作图、角平分线的定义、三角形全等的判定和性质、解直角三角形.24.【答案】解：(1)证明：当抛物线与x 轴相交时,令0y =,得：2240x mx m +--=,∴224248(1)6m m m m ∆=++=++2()4m =+,∵0m ＞,∴2(40)m +＞,∴该抛物线与x 轴总有两个不同的交点.(2)①令224y x mx m =+--2()20)(x x m =-++=,解得：12x =,22x m =--.∵抛物线与x 轴的两个交点分别为A ,B (点A 在点B 的右侧),∴()2,0A ,()2,0B m --.∵抛物线与y 轴交于点C ,∴0,2(4)C m --.设P 的圆心为00(),P x y , 则0(22)22m m x +--==-, ∴0,2()m P y -, 且PA PC =,则22PA PC =, 即202220224()()2()2m m y m y --+=-+---, 解得0322m y --=, ∴32,)22(m m P ---.设P 与y 轴的另一交点的坐标为(0,)b , 则()243222b m m +----=,∴1b =, ∴P 经过y 轴上一个定点,该定点坐标为(0,1).②由①知,()0,1D 在P 上,∵点E 是点C 关于直线2m x =-的对称点, 且P 的圆心32,)22(m m P ---, ∴,()24E m m ---且点E 在P 上. 即D ,E ,C 均在P 上,且90DCE =∠, ∴DE 为P 的直径,∴90DBE =∠,DBE △为直角三角形.∵()0,1D ,,()24E m m ---,()2,0B m --,∴DBBE=∴2BE DB =.∴在Rt DBE △中,设DB x =,则2BE x =,∴DE =,∴BDE △的周长2l DB BE DE x x =++=++(3x =+, P的半径2DE r =,∴2l r ==+ 【解析】(1)令函数值0y =,得一元二次方程,证明一元二次方程根的判别式∆大于0,即可证明抛物线与x 轴总有两个不同的交点；(2)①令函数值0y =,得一元二次方程,求出方程的解(含m 的代数式),再求出抛物线与y 轴的交点坐标(含m 的代数式),然后根据对称轴求出圆心P 的横坐标,又根据半径相等可求出点P 的纵坐标,设出P 与y 轴的另一个交点的坐标,根据中点坐标公式建立方程,从而求解出定点坐标；②根据①所得点的坐标,判断DBE △为直角三角形,利用定理表示出线段的长,得线段BE 与DB 的关系,再在直角三角形中利用勾股定理表示出线段的长,从而表示出三角形的周长和圆的半径,即可求出它们的比值.解：(1)证明：当抛物线与x 轴相交时,令0y =,得：2240x mx m +--=,∴224248(1)6m m m m ∆=++=++2()4m =+,∵0m ＞,∴2(40)m +＞,∴该抛物线与x 轴总有两个不同的交点.(2)①令224y x mx m =+--2()20)(x x m =-++=,解得：12x =,22x m =--.∵抛物线与x 轴的两个交点分别为A ,B (点A 在点B 的右侧),∴()2,0A ,()2,0B m --.∵抛物线与y 轴交于点C ,∴0,2(4)C m --.设P 的圆心为00(),P x y , 则0(22)22m m x +--==-, ∴0,2()m P y -, 且PA PC =,则22PA PC =, 即202220224()()2()2m m y m y --+=-+---, 解得0322m y --=, ∴32,)22(m m P ---. 设P 与y 轴的另一交点的坐标为(0,)b , 则()243222b m m +----=,∴1b =, ∴P 经过y 轴上一个定点,该定点坐标为(0,1).②由①知,()0,1D 在P 上,∵点E 是点C 关于直线2m x =-的对称点,且P 的圆心32,)22(m m P ---, ∴,()24E m m ---且点E 在P 上. 即D ,E ,C 均在P 上,且90DCE =∠, ∴DE 为P 的直径,∴90DBE =∠,DBE △为直角三角形.∵()0,1D ,,()24E m m ---,()2,0B m --,∴DBBE=∴2BE DB =.∴在Rt DBE △中,设DB x =,则2BE x =,∴DE =,∴BDE △的周长2l DB BE DE x x =++=++(3x =+, P的半径2DE r =,∴2l r ==+. 【考点】本题考查抛物线的性质、三角形的外接圆、圆的性质、一元二次方程的根的判别式、勾股定理.25.【答案】解：(1)在四边形ABCD 中,60B =∠,30D =∠,∴360A C B C +=--∠∠∠∠3606030270=--=.(2)如图,将BCD △绕点B 逆时针旋转60得到BAQ △,连接DQ .∵BD BQ =,60DBQ =∠,∴BDQ △是等边三角形,∴BD DQ =,∴270BAD C +=∠∠,270BAD BAQ +=∠∠,∴36027090DAQ =-=∠,∴DAQ △是直角三角形,∴222AD AQ DQ +=,即222AD CD BD +=.(3)如图,将BCE △绕点B 逆时针旋转60得到BAF △,连接EF .∵BE BF =,60EBF =∠,∴BEF △是等边三角形,∴BE EF =,60BFE =∠.∵222AE BE CE =+,∴222AE EF AF =+,∴90AFE =∠,∴6090150BFA BFE AFE =+=+=∠∠∠,∴150BEC =∠,则动点E 在四边形ABCD 内部运动,满足150BEC =∠,以BC 为边向外作等边OBC △,则点E 是在以O 为圆心,OB 为半径的圆周上运动,运动轨迹为BC .∵1OB AB ==,则点E 的运动路径的长度为60π1π1803BC ⨯==. 【解析】(1)根据四边形的内角和,减去已知两角的度数,可得其余两角的和；(2)根据旋转性质和旋转角度得等边三角形,根据角度计算得直角三角形,利用勾股定理,将线段代换,可得出结论；(3)根据旋转性质和旋转角度得等边三角形,根据已知条件转换线段的平方关系,利用勾股定理的逆定理判定直角三角形,判断运动轨迹是圆弧,作等边三角形和圆,根据圆心角和半径求出弧长.解：(1)在四边形ABCD 中,60B =∠,30D =∠,∴360A C B C +=--∠∠∠∠3606030270=--=.(2)如图,将BCD △绕点B 逆时针旋转60得到BAQ △,连接DQ .∵BD BQ =,60DBQ =∠,∴BDQ △是等边三角形,∴BD DQ =,∴270BAD C +=∠∠,270BAD BAQ +=∠∠,∴36027090DAQ =-=∠,∴DAQ △是直角三角形,∴222AD AQ DQ +=,即222AD CD BD +=.(3)如图,将BCE △绕点B 逆时针旋转60得到BAF △,连接EF .∵BE BF =,60EBF =∠,∴BEF △是等边三角形,∴BE EF =,60BFE =∠.∵222AE BE CE =+,∴222AE EF AF =+,∴90AFE =∠,∴6090150BFA BFE AFE =+=+=∠∠∠,∴150BEC =∠,则动点E 在四边形ABCD 内部运动,满足150BEC =∠,以BC 为边向外作等边OBC △,则点E 是在以O 为圆心,OB 为半径的圆周上运动,运动轨迹为BC .∵1OB AB ==,则点E 的运动路径的长度为60π1π1803BC ⨯==. 【考点】本题考查多边形的内角和定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理.。
2018年广东省广州市中考数学试卷含答案解析(Word版)
广东省广州市2018年中考数学试题一、选择题1.四个数0，1，，中，无理数的是（）A.B.1C.D.02.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）A.1条B.3条C.5条D.无数条3.如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（）A. B. C. D.4.下列计算正确的是（）A.B.C.D.5.如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（）A.∠4，∠2B.∠2，∠6C.∠5，∠4D.∠2，∠46.甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2，乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2，从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（）A. B. C. D.7.如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB，交圆O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（）A.40°B.50°C.70°D.80°8.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚黄金重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13辆（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x辆，每枚白银重y辆，根据题意得（）A.B.C.D.9.一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中大致图像是（）A.B.C.D.10.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到……，第n次移动到，则△的面积是（）A.504B.C.D.二、填空题11.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）12.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。
2018年广州中考数学一模几何综合压轴题汇编参考答案
2018一模几何综合题汇编例题分析例题1、（18真光一模）已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动.（1）如图1，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．答案：（1）证明：∵b=2a，点M是AD的中点，∴AB=AM=MD=DC=a，又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°，∴∠BMC=90°．（2）解：存在，理由：若∠BMC=90°，则∠AMB+∠DMC=90°，又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC，又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC，∴=，设AM=x，则=，整理得：x2﹣bx+a2=0，∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b2﹣4a2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°，（3）解：不成立．理由：若∠BMC=90°，由（2）可知x2﹣bx+a2=0，∵b ＜2a ，a ＞0，b ＞0，∴△=b2﹣4a2＜0，∴方程没有实数根，∴当b ＜2a 时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．例题2、（18增城一模）如图所示，在边长为2的正方形ABCD 中，以点D 为圆心，DC 为半径作⌒AC，点E 在AB 上，且与A ，B 两点均不重合，点M 在AD 上，且ME ＝MD ，过点E 作EF ⊥ME ，交BC 于点F ，连接DE ，MF .（1）求证：EF 是⌒AC所在的⊙ D 的切线； （2）当MA ＝34时,求MF 的长； （3）试探究：△MFE 能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF 的长度；若不能，请说明理由.答案（1）证明：过点D 作DG ⊥EF 于G ，∵ME=MD ，∴∠MDE=∠MED ，∵EF ⊥ME ，∴∠DEM +∠GED=90°，∵∠DAB=90°，∴∠MDE +∠AED=90°，∴∠AED=∠GED ，∵在△ADE 和△GDE 中，，∴△ADE ≌△GDE （AAS ），∴AD=GD ，∵的半径为DC ，即AD 的长度，∴EF是所在⊙D的切线；（2）MA=时，ME=MD=2﹣=，在Rt△AME中，AE===1，∴BE=AB﹣AE=2﹣1=1，∵EF⊥ME，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，∵∠B=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵∠DAB=∠B=90°，∴△AME∽△BEF，∴=，即=，解得EF=，在Rt△MEF中，MF===；（3）假设△MFE能是等腰直角三角形，则ME=EF，∵在△AME和△BEF中，，∴△AME≌△BEF（AAS），∴MA=BE，设AM=BE=x，则MD=AD﹣MA=2﹣x，AE=AB﹣BE=2﹣x，∵ME=MD，∴ME=2﹣x，∴ME=AE，∵ME、AE分别是Rt△AME的斜边与直角边，∴ME≠AE，∴假设不成立，故△MFE不能是等腰直角三角形．例题3、（18越秀外国语一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：=；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：∵OA=2，OC=2，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DCE=∠EDC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①如图1，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，∵A（0，2）和C（2，0），∴直线AC的解析式为y=﹣x+2，设D（a，﹣a+2），∴DN=﹣a+2，BM=2﹣a∵∠BDE=90°，∴∠BDM+∠NDE=90°，∠BDM+∠DBM=90°，∴∠DBM=∠EDN，∵∠BMD=∠DNE=90°，∴△BMD∽△DNE，∴==．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y=[]2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．例题4、（18培正一模）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．【解答】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，∵，∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°．（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°∴△DAF为等腰三角形∴AD=DF，∴CE=CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF在△BHD与△GFD中，∵，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°AB上的一个动点（不例题5（18天河一模）如图1，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB等于90°，点C是⌒与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，点E．BC；（1）当BC＝2时，求线段OD的长及⌒（2）在点C的运动过程中，△DOE中是否存在长度保持不变的边或度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其长度或度数（只求一种即可）；如果不存在，请说明理由；（3）作DF⊥OE于点F（如图2），当DF2＋EF＝y，BD＝x，求y关于x的函数关系式，并求出DF2＋EF的最大值．解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=．又∵OB=2，∴；（2）存在，DE的长度是不变的．如图1，连结AB，则，∵点D、点E分别是BC、AC的中点，∴DE=．存在，∠DOE的度数是不变的．如图2，连结OC，可得∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠AOB=90°∴∠2+∠3=45°即∠DOE=45°；（3）如图3，设EF=x，由（2）可知DE=在Rt△DFE中，DF2=DE2﹣EF2=2﹣x2∴DF 2+EF=﹣x2+x+2∴当，即EF=时，DF 2+EF取得最大值，此时，DF=例题6、如图，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在A B边上，以O为圆心的圆与AC相切于点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G．（1）求证：D是弧EC的中点；（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点K，连接CF，求证：CF＝OK＋DO；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB交⊙O于点Q，连接QH，若DO＝256，KG＝2，求QH．答案；（1）证明：如图1中，连接OC．∵AC是⊙O的切线，∴OC⊥AC，∴∠ACO=90°，∴∠A+∠AOC=90°，∵CA=CB，∴∠A=∠B，∵EF⊥BC，∴∠OGB=90°，∴∠B+∠BOG=90°，∴∠BOG=∠AOC，∵∠BOG=∠DOE，∴∠DOC=∠DOE，∴点D是的中点．（2）证明：如图2中，连接OC．∵EF⊥HC，∴CG=GH，∴EF垂直平分HC，∴FC=FH，延长OF至F'使FF'=CF，连接CF'，∴∠CFK=2∠F'，∵∠CFK=2∠CHK，∴∠F'=∠CHK，∴点C，K，F'，C四点共圆，∴FC=FK=FH，∵DO=OF，∴DO+OK=OF+OK=FK=CF，即CF=OK+DO；（3）解：如图3中，连接OC、作HM⊥AQ于M．设OK=x，则CF=+x，OG=2﹣x，GF=﹣（2﹣x），∵CG2=CF2﹣FG2=CO2﹣OG2，∴（+x）2﹣[（2﹣x）]2=（）2﹣（2﹣x）2，解得x=，∴CF=5，FG=4，CG=3，OG=，∵∠CFE=∠BOG，∴CF∥OB，∴==，可得OB=，BG=，BH=，由△BHM∽△BOG，可得==，∴BM=，HM=，MQ=OQ﹣OB﹣BM=，在Rt△HMQ中，QH===．强化训练1、（18天河一模）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△AB C这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．特例探索（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝4时，a＝，b＝；如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝，b＝；归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；拓展应用（3）如图4，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝25，AB＝3．求AF的长．解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，∴AP=BP=AB=22，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF=AB=2，∴∠PFE=∠PEF=45°，∴PE=PF=2，在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE=BF==，∴AC=BC=2，∴a=b=2，如图2，连接EF，同理可得：EF=×4=2，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，∴，在Rt△ABP中，AB=4，∠ABP=30°，∴AP=2，PB=2，∴PF=1，PE=，在Rt△APE和Rt△BPF中，AE=，BF=，∴a=2，b=2，故答案为：2，2，2，2；（2）猜想：a2+b2=5c2，如图3，连接EF，设∠ABP=α，∴AP=csinα，PB=ccosα，由（1）同理可得，PF=PA=，PE==，AE2=AP2+PE2=c2sin2α+，BF2=PB2+PF2=+c2cos2α，∴=c2sin2α+，=+c2cos2α，∴+=+c2cos2α+c2sin2α+，∴a2+b2=5c2；（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，∵点E、G分别是AD，CD的中点，∴EG∥AC，∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=2，∴∠EAH=∠FCH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE=AD，BF=BC，∴AE=BF=CF=AD=，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=3，AP=PF，在△AEH和△CFH中，，∴△AEH≌△CFH，∴EH=FH，∴EP，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，∴AF2=5﹣EF2=16，∴AF=4．或连接F与AB的中点M，证MF垂直BP，构造出“中垂三角形”，因为AB=3，BC=1/2AD=5，根据上一问的结论，直接可求AF．2、（18三中一模）如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．（1）若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求证：CN⊥OB．（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．①问：﹣的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．解：（1）过P作PE⊥OA于E，∵PQ∥OA，PM∥OB，∴四边形OMPQ为平行四边形，∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，∴PE=PM•sin60°=，ME=，∴CE=OC﹣OM﹣ME=，∴tan∠PCE==，∴∠PCE=30°，∴∠CPM=90°，又∵PM∥OB，∴∠CNO=∠CPM=90°，则CN⊥OB；（2）①﹣的值不发生变化，理由如下：设OM=x，ON=y，∵四边形OMPQ为菱形，∴OQ=QP=OM=x，NQ=y﹣x，∵PQ∥OA，∴∠NQP=∠O，又∵∠QNP=∠ONC，∴△NQP∽△NOC，∴=，即=，∴6y﹣6x=xy．两边都除以6xy，得﹣=，即﹣=．②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，则S1=OM•PE，S2=OC•NF，∴=．∵PM∥OB，∴∠PMC=∠O，又∵∠PCM=∠NCO，∴△CPM∽△CNO，∴==，∴==﹣（x﹣3）2+，∵0＜x＜6，则根据二次函数的图象可知，0＜≤．3、（18培正一模）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.(1) 如图1 ，等腰直角四边形ABCD，AB = BC ,ABC = 90゜,①若AB = CD = 1 , AB∥CD ,求对角线BD的长；②若AC⊥BD ,求证：AD = CD .(2) 如图2，在矩形ABCD中，AB = 5 , BC = 9 ,点P是对角线BD上一点，且BP = 2PD ,过点P作直线分别交边AD,BC于点E，F,使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长.解：（1）①∵AB=CD=1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD=AC==．②如图1中，连接AC、BD．∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE=AB=5．②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴DE：BF=PD：PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．4（18越秀外国语一模）如图，已知⊙O的直径AB＝14，弦BC＝10，点D为弧AC的中点，过点D作DE ⊥BC，交BC延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求BE的长．5、（18荔湾区一模）如图，在矩形ABCD中，∠CAB=30°，BC=43cm，将△ABC沿AC边翻折，使点B到点B’，AB’与DC相交于点O.（1）求证：△ADC≌△ABC；（2）点P（不与点A重合）时线段AB’上一动点，沿射线AB’的方向以2cm/s的速度匀速运动，请你求出△APC的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）中，以AP、BP、BC的长为边能否构成直角三角形？若能，求出点P的位置；若不能，请说明理由.解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，∵∠CAB=30°，∴∠CAD=60°，由折叠得，∠B'AC=∠CAB=30°，∴∠DAO=∠CAD﹣∠B'AC=30°=∠BAC，∵∠ADO=∠ABC=90°，∴△ADO∽△ABC；（2）如图，连接PC，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，∴AB=BC=12，由折叠知AB'=AB=12，由运动知，AP=2t，由折叠得，B'C=BC=4cm，=AP•B'C=×2t×4=4t（0＜t≤6）；∴S=S△APC（3）能构成直角三角形，由运动知，AP=2t，B'P=AB'﹣AP=12﹣2t，∵以AP、B′P、BC的长为边构成直角三角形，∴①AP2+B'P2=BC2，∴（2t）2+（12﹣2t）2=48，∴此方程无解；②AP2+BC2=B'P2，∴（2t）2+48=（12﹣2t）2，∴t=2，∴AP=2t=4cm，此时，点P在AB'上距点A4cm处③B'P2+BC2=AP2，（12﹣2t）2+48=（2t）2，∴t=4，∴AP=2t=8cm，此时，点P在AB'上，距点A8cm处．即：点p距点A是4cm和8cm处时，以AP、B′P、BC的长为边构成直角三角形．6、（18汇景一模）.在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，AB上（均不与顶点重合），且∠BCD=120°，∠ECF=60°．（1）如图1，若AB=AD，求证：△AEC≌△BFC；（2）如图2，若AB=2AD，过点C作CM⊥AB于点M，求证：①AC⊥BC；②AE=2FM；（3）如图3，若AB=3AD，试探究线段CE与线段CF的数量关系．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，∴∠D=∠B=60°，AB=CD，AD=BC，∵AB=AD，∴△ABC、△ACD均为等边三角形，∴∠B=∠CAD=∠ACB=60°，BC=AC，∵∠ECF=60°，∴∠BCF=∠ACE，在△AEC和△BFC中，，∴△AEC≌△BFC（ASA）；（2）证明：①∵CM⊥AB，∠B=60°，∴∠BCM=30°，∴BC=2BM，设BM=x，则BC=2x，CM===x，∴AB=2AD=2BC=4x，∴AM=3x，∵CM⊥AB，∴AC===2x，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC；②∵AC⊥BC，∠BCM=30°，∴∠ACM=60°，∵∠ECF=60°，∴∠MCF=∠ACE，∵AC⊥BC，四边形ABCD是平行四边形，∴∠CAE=90°，∴∠CMF=∠CAE=90°，∴△ACE∽△MCF，∴===2，∴AE=2FM；（3）解：作CN⊥AB于点N，CH⊥AD于点H，CH与AB交于点M，如图所示：∴∠HAM+∠AMH=∠NCM+∠CMN=90°，∵∠AMH=∠CMN，∴∠HAM=∠MCN，∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，∴∠HAM=∠MCN=60°，∵∠ECF=60°，∴∠ECH=∠FCN，∴△CFN∽△CEH，∴=，∵平行四边形ABCD的面积=AB•CN=AD•CH，AB=3AD，∴CH=3CN，∴==，∴CE=3CF．课后训练1、（18华侨一模）1如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E,D 分别是P A、PB的中点，过点A、M、D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE（1）当∠APB=28°时，求∠B和⌒CM的度数；（2）求证：AC=AB（3）在点P的运动过程中①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG、CG、DG、EG，直接写出△ACG与△DEG的面积之比.解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，∵∠APB=28°，∴∠B=76°，如图1，连接MD，∵MD为△PAB的中位线，∴MD∥AP，∴∠MDB=∠APB=28°，∴=2∠MDB=56°；（2）∵∠BAC=∠MDC=∠APB，又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，∴∠BAP=∠ACB，∵∠BAP=∠B，∴∠ACB=∠B，∴AC=AB；（3）①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，∵MD是Rt△MBP的中线，∴DM=DP，∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，∴RC=RP，∵∠ACR=∠AMR=90°，∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，∴12+MR2=22+PR2，∴12+（4﹣PR）2=22+PR2，∴PR=，∴MR=，Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ=MR=；Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，在Rt△QCP中，PQ=2PR=，∴MQ=；Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，∵BM=1，MP=4，∴BP=，∴DP=BP=，∵cos∠MPB==，∴PQ=，∴MQ=；Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，∴MQ=；综上所述，MQ的值为或或；②△ACG和△DEG的面积之比为．理由：如图6，∵DM∥AF，DE∥AB，∴四边形AMDE是平行四边形，四边形AMDF是等腰梯形，∴DF=AM=DE=1，又由对称性可得GE=GD，∴△DEG是等边三角形，∴∠EDF=90°﹣60°=30°，∴∠DEF=75°=∠MDE ，∴∠GDM=75°﹣60°=15°，∴∠GMD=∠PGD ﹣∠GDM=15°，∴∠GMD=∠GDM ，∴GM=GD=1，过C 作CH ⊥AB 于H ，由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG ，AH=， ∴CG=MH=﹣1，∴S △ACG =CG ×CH=， ∵S △DEG =，∴S △ACG ：S △DEG =．2、（18海珠区一模）.如图，在菱形OABC 中，已知点B (8,4)，C (5,0)，点D 为OB 、AC 交点，点P 从原点出发向x 轴正方向运动；(1)在点P 运动过程中，若∠OPB ＝90°，求出点P 坐标；(2)在点P 运动过程中，若∠PDC ＋∠BCP ＝90°，求出点P 坐标；(3)点P 在(2)的位置时停止运动，点M 从点P 出发沿x 轴正方向运动，连接BM ，若点P 关于BM 的对称点P ’到AB 所在的直线的距离为2，求此时点M 的坐标.17. 解：（1）在菱形OABC 中，有OD ＝BD ，∠ODC ＝90°∵∠OBP ＝90°，∴CD ∥BP∵OD ＝ED ，∴OC ＝PCC （5,0），∴P （10，0）（2）∵∠BDC ＝90°，∠PDC ＋∠BCP ＝90°∴∠BCP ＝∠BDP∵OC ＝BC ，∴∠BOC ＝∠CBO∵∠BCP ＝∠BOC ＋∠CBO ，∠BDP ＝∠BOC ＋∠DPC∴∠DPC ＝∠CBO ＝∠BOC ，∴OD ＝DP∵D 为OB 中点∴点P 在以OB 为直径的⊙D 上，∴∠BPO ＝90°（1）过点P ’作P ’N ⊥AB 交直线AB 于点N ，交x 轴于点K ，记BM 与PP ’交点为L①如图，当点P ’在直线AB 下方时，∵点P 与点P ’关于BM 对称∴BP ＝BP ’＝4，NP ’＝P ’K ＝2，∵BN ＝PK∵Rt △BNP ’≌Rt △PKP ’∴BP ’＝PP ’，即△BPP ’为等边三角形，在Rt △PLM 中，∵PM ＝2ML ,∴PM ²＝2²＋（12PM ）² 解得PM ＝43 3 ，∴OM ＝8＋433 ∴M 1（8＋433，0） ②如图，当点P ’在直线AB 上方时∵点P 与点P ’关于BM 对称∴BP ＝BP ’＝4，NP ’＝2在Rt △BP ’N 中，∵BP ’＝2NP ’，∴∠PBN ＝30°∴∠P ’BP ＝30°＋90°＝120°∵BP ＝BP ’，∴∠BPP ’＝30°∵∠BPM ＝90°，∴∠LPM ＝60°∵∠PLM ＝90°，∴∠BMP ＝30°，在Rt △BPM 中∵BP ＝4，∴PM ＝3BP ＝4 3∴OM ＝8＋4 3 ∴M 2（8＋43，0）故点M 的坐标为（8＋433,0）或（8＋43，0）3、（18广雅一模） 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，cos B ＝45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交射线BA 于点D ，∠BPD ＝∠BAC ，以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E ，连接CE ，设BD ＝x ，CE ＝y ．（1）当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；（2）当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）在CE 的垂直平分线上存在一点O ，使得OB ＝OC ，连接OP ，当OP ＝54时，求AD 的长．解：（1）作PF⊥BD于F，作AH⊥BC于H，如图，设⊙P的半径为r，∵AB=AC，∴BH=CH，在Rt△ABH中，∵cosB==，∴BH=×5=4，∴AH=3，BC=2BH=8，在Rt△ABH中，sinB=在Rt△BPF中，sinB==，∴PF=（8﹣r），当⊙P与AB相切时，PF=PC，即（8﹣r）=r，解得r=3，即当⊙P与AB相切时，⊙P的半径为3；（2）∵∠BPD=∠BAC，∠DBP=∠ABC，∴△BDP∽△BCA，∴=，即=，∴r=8﹣x，作PG⊥CE于G，如图，则CG=EG=y，∵PE=PC，∴∠EPG=∠EPC，∵△BDP∽△BCA，∴∠D=∠C=∠B，∴PB=PD，∴∠DPF=∠DPB，∴∠GPF=∠DPC+∠DPB=90°，∴FP⊥PG，∴∠GPC=∠B，在Rt△PGC中，sinB==，∴y=r，∴y=（8﹣x），∴y=，当P点在C点时，r=0，即8﹣x=0，解得x=，∴x的取值范围为5＜x＜；（3）∵⊙O与⊙P相交于点C、E，且⊙O经过点B，∴点O在CE和BC的垂直平分线上，即点O为AH和GP的交点，如图，∵∠OPH=∠GPC，∴cos∠OPH==，∴PH=×=1，当点P在BH上，即点D在AB上，此时r=1+4=5，则8﹣x=5，解得x=，∴AD=AB﹣AD=5﹣x=5﹣=当点P在CH上，即点D在AB的延长线上，此时r=4﹣1=3，则8﹣x=3，解得x=8，∴AD=AD﹣AB=8﹣5=3，综上所述，AD的长为或3．4、（18广大附中一模）如图，矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF，CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；求点G移动路线的长．解：（1）证明：如图1，∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90°．∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．∴四边形EFCG是矩形．（2）①存在．连接OD，如图2①，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上．∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴=（）2．∵AD=4，AB=3，∴BD=5，S△CFE=（）2•S△DAB=××3×4=．∴S=2S△CFE矩形EFCG=．∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′）处，如图2①所示．此时，CF=CB=4．Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，如图2②所示，此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，如图2③所示．S=BC•CD=BD•CF∴4×3=5×CF∴CF=．∴≤CF≤4．=，∵S≤×42．∴×（）2≤S矩形EFCG∴≤S≤12．矩形EFCG．∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，如图2②所示，∴点G的移动路线是线段DG″．∵∠G″DC=∠BDA，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．∴=．∴=．∴DG″=．∴点G移动路线的长为．解：（1）由题意AC=，∴t==2s ， 故答案为2．（2）证明：连接BD 交AC 于点O ．∵四边形ABCD 是菱形，且边长为2cm ，∠DAB=60°，∴AB=BC=2，∠BAC=∠BAD=30°，∵AC ⊥BD ，OA=AC=， ∴AC=2，∵AB=2，AP=t ，AQ=t ， ∴=．即=，又∵∠PAQ=∠CAB ，∴△PAQ ∽△CAB ，∴∠APQ=∠ACB ，∴PQ ∥BC ．（3）当⊙P 与边BC 相切与点M 时，连接PM ，则PM ⊥BC ，在Rt △CPM 中，∵∠PCM=30°，∴PM=PC=﹣t ，又PM=PQ=AQ=t ， 即﹣t=t ，∴t=4﹣6， 当⊙P 过点B 时，PQ=PB ，∵∠PQB=∠PAQ +∠APQ=60°，∴△PQB 为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t ，∴t=1．综上，若使⊙P 与边BC 有2个公共点，则4﹣6＜t ≤1．图（a ） 图（b ）6（18聚贤一模）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1，若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，∴∠CC1B=∠C1CB=45°，∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．（2）∵△ABC≌△A1BC1，∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，∴∠ABA1=∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1．∴，=4，∵S△ABA1=；∴S△CBC1（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB 上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7．7（一八年16中一模）已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC，CB于点E，F．（1）特殊发现：如图1，若点E，F分别是边DC，CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC，BD交点O 即为等边△AEF的外心；（2）若点E，F始终分别在边DC，CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断1DM＋1DN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC，∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．∠ADO=∠ADC=×60°=30°，又∵E、F分别为DC、CB中点，∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，∴0E=OF=OA，∴点O即为△AEF的外心．（2）解：①猜想：外心P一定落在直线DB上．证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°，∴∠IPJ=360°﹣∠PIE﹣∠PJD﹣∠JDI=120°，∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA，∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ，∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．②为定值2．当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P在BD上，即为△AEF的外心．如图3．设MN交BC于点G，设DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），则CN=y﹣1，∵BC∥DA，∴△GBP≌△MDP．∴BG=DM=x．∴CG=1﹣x∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM，∴，∴，∴x+y=2xy，∴+=2，即=2．8（18三中一模）如图，在平面直角坐标系x O y中，边长为2的等边△OAB的顶点B再第一象限，顶点A在x轴的正半轴上，另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形．请直接写出符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别为OB、AB交于点M、N，连接MN，将∠MCN绕着点C旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上，试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；如发生变化，请说明理由．解：（1）过点C作CD⊥OA于点D．（如图）∵OC=AC，∠ACO=120°，∴∠AOC=∠OAC=30°．∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=DA=1．在Rt△ODC中，OC===（i）当0＜t＜时，OQ=t，AP=3t，OP=OA﹣AP=2﹣3t．过点Q作QE⊥OA于点E．（如图）在Rt△OEQ中，∵∠AOC=30°，∴QE=OQ=，=OP•EQ=（2﹣3t）•=﹣+t，∴S△OPQ即S=﹣+t；（ii）当＜t≤时（如图）OQ=t，OP=3t﹣2．∵∠BOA=60°，∠AOC=30°，∴∠POQ=90°．=OQ•OP=t•（3t﹣2）=﹣t，∴S△OPQ即S=﹣t；故当0＜t＜时，S=﹣+t；当＜t≤时，S=﹣t．（2）（i）当D点在OA上，①以D为顶点，如图OCD1，∠COA=30°，OC=OD1，则OD1=，②以O为顶点，如图OCD2，OD2=OC=，③以C为顶点，此时D点和A点重合．（ii）当D点在OB上，由于∠BOC=90°，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形，以O为顶点时，如图OCD3，OD3=OC，∠AOB=60°，则D3（，1）．（iii）当D点在AB上时，此时OD的最短距离为OD⊥AB时，此时OD=＞，因此OD≠OC，不存在以O为顶点的等腰三角形；当以C为顶点时，D点和A点重合，当以D为顶点时，如图OCD4，易得此时D4（，）．综上所述，D点坐标为（，1）或（，0）或（，0）或（，）．（3）△BMN的周长不发生变化．理由如下：延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．（如图）又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，∴△MOC≌△FAC，∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA=∠OCA﹣∠MCN=60°，∴∠FCN=∠MCN．在△MCN和△FCN中，，∴△MCN≌△FCN，∴MN=NF．∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO﹣OM+BA+AF=BA+BO=4．∴△BMN的周长不变，其周长为4．9（18番禺一模）如图，△OAB中，OA=OB=5，∠AOB=80°，以点O为圆心，3为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N．（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP=BP′；（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；（3）设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．答案（1）证明：如图1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，∴∠AOP=∠BOP′，∵在△AOP和△BOP′中∴△AOP≌△BOP′（SAS），∴AP=BP′；（2）解：如图1，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H，∵AT与相切，∴∠ATO=90°，∴AT===8，∵×OA×TH=×AT×OT，即×10×TH=×8×6，解得：TH=，即点T到OA的距离为；（3）解：如图2，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大；理由：∵OQ⊥OA，∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°，当Q点在优弧右侧上，∵OQ⊥OA，∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，∴∠BOQ=∠AOQ﹣∠AOB=90°﹣80°=10°，综上所述：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大．。
2018年广东省广州市中考数学试卷含答案解析(Word版)
广东省广州市2018年中考数学试题一、选择题1.四个数0，1，，中，无理数的是（）A.B.1C.D.02.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）A.1 条B.3 条C.5 条D.无数条3. 如图所示的几何体是由4 个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（）A. B. C. D.4.下列计算正确的是（）A.B.C.D.5.如图，直线AD，BE 被直线BF 和AC 所截，则∠1 的同位角和∠5 的内错角分别是（）A.∠4，∠2B.∠2，∠6C.∠5，∠4D.∠2，∠46.甲袋中装有2 个相同的小球，分别写有数字1 和2，乙袋中装有2 个相同的小球，分别写有数字1 和2，从两个口袋中各随机取出1 个小球，取出的两个小球上都写有数字2 的概率是（）A. B. C. D.7.如图，AB 是圆O 的弦，OC⊥AB，交圆O 于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB 的度数是（）A.40°B.50°C.70°D.80°8.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11 枚（每枚黄金重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1 枚后，甲袋比乙袋轻了13 辆（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 辆，每枚白银重y 辆，根据题意得（）A.B.C.D.9.一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中大致图像是（）A.B.C.D.10.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1 次移动到，第2 次移动到…… ，第n 次移动到，则△的面积是（）A.504B.C.D.二、填空题11.已知二次函数，当x＞0 时，y 随x 的增大而________（填“增大”或“减小”）12. 如图，旗杆高AB=8m ，某一时刻，旗杆影子长BC=16m ，则tanC=________ 。
2018年广东省广州市中考数学试卷-答案
广东省广州市2018年初中毕业生学业考试 数学答案解析第Ⅰ卷 一、选择题1.【答案】A【解析】本题考查无理数的概念.根据已知四个选项中的实数是无限不循环小数,是无理数,1,12,0都是有理数,故选A .【考点】无理数的概念2.【答案】C【解析】本题考查轴对称图形的性质.由图可知,经过五角星的五个顶点将图形分成两个全等图形的5条直线都是它的对称轴,∴五角星有5条对称轴,故选C .【考点】理解轴对称图形的性质是解答本题的关键.3.【答案】B【解析】本题考查几何体的主视图.根据题意,从正面看已知几何体,得到的平面图形是故选B .【考点】几何体的主视图.4.【答案】D【解析】本题考查整式的运算.∵222( 2)a b a ab b +=++,∴选项A 计算错误；∵22223a a a +=,∴选项B 计算错误；∵22221x y x y y x y y ÷==,∴选项C 计算错误；∵323236()()228()x x x =--=-,∴选项D 计算正确,故选D .【考点】整式的运算.5.【答案】B【解析】本题考查同位角和内错角的概念.由图可知,1∠的同位角是2∠,5∠的内错角是6∠,故选B .【考点】同位角和内错角的概念.6.【答案】C【解析】本题考查随机事件发生的概率.根据题意,取出小球的等可能情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4种,其中两个小球上都写有数字2的只有一种,∴所求概率为14,故选C .【考点】随机事件发生的概率.7.【答案】D【解析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”性质.∵20ABC =∠,∴240AOC ABC ==∠∠,又∵OA OB =,OC AB ⊥,∴AOC BOC =∠∠,∴80AOB =∠,故选D .【考点】圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”性质.8.【答案】D【解析】本题考查列方程组解应用题.根据题意,交换前甲袋重量为9x 两,乙袋重量为11y 两,由两袋重量相等,得911x y =；交换后,甲袋有黄金8枚,白银1枚,重(8)x y +两,乙袋有白银10枚,黄金1枚,重(10)y x +两,由甲袋比乙袋轻13两,得()()10813y x x y +-+=,∴可列得方程组(911108)()13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩，，故选D . 【考点】列方程组解应用题.9.【答案】A【解析】本题考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质.选项A ,B 中,对y ax b =+,当1x =-时,0y ＜,即0a b -+＜,∴0a b -＞,则反比例函数的图象经过第一、三象限,选项A 中的图象满足条件,而选项B 中的图象不满足条件；选项C ,D 中,对y ax b =+,当1x =-时,0y ＞,即0a b -+＞,∴0a b -＜,则反比例函数的图象经过第二、四象限,选项C ,D 中的图象均不满足条件,故选A .【考点】一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质.10.【答案】A【解析】本题考查探索规律、求三角形的面积.根据题意,201845042÷=…,即点2A 与点2018A 在同一水平直线上,且线段220185042100m ()8A A =⨯=,∴220182111008)m (5042OA A S =⨯⨯=△,故选A . 【考点】探索规律、求三角形的面积. 第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】增大【解析】二次函数2y x =的图象开口向上,对称轴是y 轴,∴当0x ＞时,图象在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大.【考点】本题考查二次函数的图象与性质.12.【答案】12【解析】由题意可知,在Rt ABC △中,81tan 162AB C BC ===.【考点】本题考查锐角三角函数的定义.13.【答案】2x =【解析】本题考查解分式方程.原方程可变为46x x =+,解得2x =,经检验,2x =是原方程的解,∴原方程的解是2x =.【考点】解分式方程.14.【答案】()5,4-【解析】∵点A 的坐标是(3,0),∴3OA =,∵点B 的坐标是()2,0-,∴2OB =,∴5AB AD ==,在Rt AOD △中,由勾股定理得4OD =,过点C 作CW x ⊥轴于点M ,则3BM OA ==,∴5OM =,∴点C 的坐标为()5,4-.【考点】本题考查菱形的性质、勾股定理.15.【答案】2【解析】本题考查二次根式的性质、整式的运算.从数轴上可以看出,02a ＜＜,∴22a a a a +=+-=.【考点】二次根式的性质、整式的运算.16.【答案】①②④【解析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质、菱形的判定、相似三角形的判定和性质.在 ABCD 中,AB DC ∥,∵EC 是AB 的垂直平分线,∴90DCE AOE ==∠∠,CA CB AD AE ===,∴BC EA ∥,∴四边形ACBE 是平行四边形,又EA EB =,∴ ACBE 是菱形,结论①正确；∵AB DC ∥,∴BAE ADC =∠∠,又∵AD AC =,∴ADC ACD =∠∠,∴ACD BAE =∠∠,结论②正确；∵AB DC ∥,∴AOF CDF △△,∴::1:2AO CD AF CF ==,∴:1:3AF AC =,又∵AC BE =,∴:1:3AF BE =,结论③错误；设1AOF S =△,则4CFD S =△,2COF S =△,2ADF S =△,3AOE S =△,∴4AFOE S =四边形,6COD S =△,∴:4:62:3COD AFOE S S ==△四边形,结论④正确,综上所述,正确的结论是①②④.【考点】平行四边形的性质、直角三角形的性质、菱形的判定、相似三角形的判定和性质.三、解答题17.【答案】解：10,213,x x +⎧⎨-⎩＞①＜②解不等式①,可得1x -＞,解不等式②,可得24x ＜,解得2x ＜,∴不等式组的解集为12x -＜＜.【解析】先分别解出不等式组中的每个不等式的解集,再求它们的公共解集即可.解：10,213,x x +⎧⎨-⎩＞①＜②解不等式①,可得1x -＞,解不等式②,可得24x ＜,解得2x ＜,∴不等式组的解集为12x -＜＜.【考点】本题考查解不等式组.18.【答案】证明：在ADE △和CBE △中,,,,AE CE AED CEB DE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴()SAS ADE CBE △≌△∴A C =∠∠【解析】根据已知条件和对顶角相等,证明两个三角形全等,得对应角相等,从而证明结论成立.证明：在ADE △和CBE △中,,,,AE CE AED CEB DE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴()SAS ADE CBE △≌△,∴A C =∠∠.【考点】本题考查全等三角形的判定和性质.19.【答案】(1) 2296 3()3()a T a a a a -=+++22()(96)33a a a a -++=+ 22961(83)a a a a -++=+ 2269(3)a a a a ++=+22()1(33)a a a a +=+=(2)∵正方形ABCD 的边长为a ,且它的面积为9,∴3a =, ∴113T a ==.【解析】(1)先通分,进行分式的加法运算,合并后再约分,从而将分式化为最简分式；(2)根据正方形的面积公式求出a 的值,代入(1)中的最简分式,即可求出分式的值.解：(1)2296 3()3()a T a a a a -=+++ 22()(96)33a a a a -++=+ 22961(83)a a a a -++=+ 2269(3)a a a a ++=+ 22()1(33)a a a a+=+=. (2)∵正方形ABCD 的边长为a ,且它的面积为9,∴3a =, ∴113T a ==. 【考点】本题考查分式的化简求值、求算术平方根.20.【答案】(1)这组数据按大小排序可得：0,7,9,12,15,17,17,17,20,26.中间两位数是15,17,则中位数是1517162+=,这组数据中17出现的次数最多,则众数是17. (2)这组数据的平均数是171215201707261791410x +++++++++==. (3)若该小区有200名居民,该小区一周内使用共享单车的总次数大约是200142800⨯=(次).【解析】(1)先将数据从小到大排序,取最中间的两个数求中位数,找出出现次数最多的数,即为这组数据的众数；(2)根据求平均数的公式计算即可；(3)根据平均数和小区市民人数,可估计所求使用共享单车的总次数.解：(1)这组数据按大小排序可得：0,7,9,12,15,17,17,17,20,26.中间两位数是15,17,则中位数是1517162+=,这组数据中17出现的次数最多,则众数是17. (2)这组数据的平均数是171215201707261791410x +++++++++==.(3)若该小区有200名居民,该小区一周内使用共享单车的总次数大约是200142800⨯=(次).【考点】本题考查统计知识的应用.21.【答案】(1)应选择方案一,最少费用是7.2a 元.(2)设方案一、二的费用分别为1W ,2W ,由题意可得10.9W ax =(x 为正整数),当05x ≤≤时,2W ax =(x 为正整数),.当5x ＞时,2550.80(.8)W a x a ax a =+-⨯=+(x 为正整数),∴2(05),=0.8(5),ax x W ax a x ⎧⎨+⎩≤≤＞其中x 为正整数, 由题意可得12W W ＞,∵当05x ≤≤时,21W ax W =＞,不符合题意,∴0.80.9ax a ax +＜,解得10x ＞且x 为正整数.即该公司采用方案二购买更合算,x 的取值范围为10x ＞且x 为正整数.【解析】(1)先根据题意分别求出8x =时,两种方案的总费用,再根据a 的取值范围即可确定费用最少的方案；(2)根据题意列出不等式,解不等式即可求出x 的取值范围.解：(1)当8x =时,方案一的费用是0.90.987.2ax a a =⨯=,方案二的费用是50.8550.(8)(7.)854x a a a a a +-=+-=,∵0a ＞,∴7.27.4a a ＜.答：(1)应选择方案一,最少费用是7.2a 元.(2)设方案一、二的费用分别为1W ,2W ,由题意可得10.9W ax =(x 为正整数),当05x ≤≤时,2W ax =(x 为正整数),.当5x ＞时,2550.80(.8)W a x a ax a =+-⨯=+(x 为正整数),∴2(05),=0.8(5),ax x W ax a x ⎧⎨+⎩≤≤＞其中x 为正整数, 由题意可得12W W ＞,∵当05x ≤≤时,21W ax W =＞,不符合题意,∴0.80.9ax a ax +＜,解得10x ＞且x 为正整数.即该公司采用方案二购买更合算,x 的取值范围为10x ＞且x 为正整数.【考点】本题考查函数的实际应用.22.【答案】解：(1)∵0(),P x 与原点的距离为1y ,当0x ≥时,1y OP x ==,当0x ＜时,1y OP x ==-,∴y 关于x 的函数解析式为1(0),(0),x x y x x ⎧=⎨-⎩≥＜即为1||y x =,函数图象如图所示.(2)①∵点A 的纵坐标为2,∴把2y =代入1y x =,可得2x =,此时A 为(2,2),224k =⨯=.把2y =代入1y x =-,可得2x =-,此时A ()2,2-,224k =-⨯=-.②当4k =时,如图可得12y y ＞时,0x ＜或2x ＞.当4k =-时,如图可得12y y ＞时,2x ＜-或0x ＞.【解析】(1)根据题意可写出函数解析式(注意是距离),作出图象；(2)①结合(1)中的解析式可求出k 的值；②根据图象,以交点为界,当直线在双曲线的上方时,根据交点的横坐标写出x 的取值范围.解：(1)∵0(),P x 与原点的距离为1y ,当0x ≥时,1y OP x ==,当0x ＜时,1y OP x ==-,∴y 关于x 的函数解析式为1(0),(0),x x y x x ⎧=⎨-⎩≥＜即为1||y x =,函数图象如图所示.(2)①∵点A 的纵坐标为2,∴把2y =代入1y x =,可得2x =,此时A 为(2,2),224k =⨯=.把2y =代入1y x =-,可得2x =-,此时A ()2,2-,224k =-⨯=-.②当4k =时,如图可得12y y ＞时,0x ＜或2x ＞.当4k =-时,如图可得12y y ＞时,2x ＜-或0x ＞.【考点】本题考查函数图象的实际应用、一次函数和反比例函数的图象与性质.23.【答案】解：(1)如图所示.(2)①证明：在AD 上取一点F 使DF DC =,连接EF ,∵DE 平分ADC ∠,∴FDE CDE =∠∠,在FDE △和CDE △中,,,,DF DC FDE CDE DE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴(SAS)FDE CDE △≌△,∴90DFE DCE ==∠∠,18090AFE DFE =-=∠∠,∴DEF DEC =∠∠.∵AD AB CD =+,DF DC =,∴AF AB =,∴Rt AFE △和Rt ABE △中,,,AF AB AE AE =⎧⎨=⎩∴Rt (HL),AFE Rt ABE △≌△∴AEB AEF =∠∠, ∴1122AED AEF DEF BEF CEF =+=+∠∠∠∠∠ 1()902BEF CEF =+=∠∠, ∴AE DE ⊥,②过点D 作DP AB ⊥于点P ,∵由①可知,B ,F 关于AE 对称,BM FM =,∴BM MN FM MN +=+,当F ,M ,N 三点共线且FN AB ⊥时,有最小值.∵DP AB ⊥,6AD AB CD =+=,∴90DPB ABC C ===∠∠∠.∴四边形DPBC 是矩形,∴2BP DC ==,2AP AB BP =-=,在Rt APD △中,DP ==,∵FN AB ⊥,由①可知4AF AB ==,∴FN DP ∥,∴AFN ADP ∽△△,∴AF FNAD DP=,即46解得3FN =,∴BM MN +的最小值是3. 【解析】(1)根据角平分线的作图方法作出图形；(2)①作辅助线,根据全等三角形的判定和性质,得两组对应角相等,可代换出直角,即可证明垂直；②根据对称的特点可找到BM MN +最小时点M ,N 的位置,结合相似三角形的性质解直角三角形即可得最小值.解：(1)如图所示.(2)①证明：在AD 上取一点F 使DF DC =,连接EF ,∵DE 平分ADC ∠,∴FDE CDE =∠∠,在FDE △和CDE △中,,,,DF DC FDE CDE DE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴(SAS)FDE CDE △≌△,∴90DFE DCE ==∠∠,18090AFE DFE =-=∠∠,∴DEF DEC =∠∠.∵AD AB CD =+,DF DC =,∴AF AB =,∴Rt AFE △和Rt ABE △中,,,AF AB AE AE =⎧⎨=⎩∴Rt (HL),AFE Rt ABE △≌△∴AEB AEF =∠∠, ∴1122AED AEF DEF BEF CEF =+=+∠∠∠∠∠ 1()902BEF CEF =+=∠∠, ∴AE DE ⊥,②过点D 作DP AB ⊥于点P ,∵由①可知,B ,F 关于AE 对称,BM FM =,∴BM MN FM MN +=+,当F ,M ,N 三点共线且FN AB ⊥时,有最小值.∵DP AB ⊥,6AD AB CD =+=,∴90DPB ABC C ===∠∠∠.∴四边形DPBC 是矩形,∴2BP DC ==,2AP AB BP =-=,在Rt APD △中,DP ==,∵FN AB ⊥,由①可知4AF AB ==,∴FN DP ∥,∴AFN ADP ∽△△,∴AF FNAD DP=,即46解得3FN =,∴BM MN + 【考点】本题考查基本作图、角平分线的定义、三角形全等的判定和性质、解直角三角形.24.【答案】解：(1)证明：当抛物线与x 轴相交时,令0y =,得：2240x mx m +--=,∴224248(1)6m m m m ∆=++=++2()4m =+,∵0m ＞,∴2(40)m +＞,∴该抛物线与x 轴总有两个不同的交点.(2)①令224y x mx m =+--2()20)(x x m =-++=,解得：12x =,22x m =--.∵抛物线与x 轴的两个交点分别为A ,B (点A 在点B 的右侧),∴()2,0A ,()2,0B m --.∵抛物线与y 轴交于点C ,∴0,2(4)C m --.设P 的圆心为00(),P x y , 则0(22)22m m x +--==-, ∴0,2()m P y -, 且PA PC =,则22PA PC =, 即202220224()()2()2m m y m y --+=-+---, 解得0322m y --=, ∴32,)22(m m P ---.设P 与y 轴的另一交点的坐标为(0,)b , 则()243222b m m +----=,∴1b =, ∴P 经过y 轴上一个定点,该定点坐标为(0,1).②由①知,()0,1D 在P 上,∵点E 是点C 关于直线2m x =-的对称点, 且P 的圆心32,)22(m m P ---, ∴,()24E m m ---且点E 在P 上. 即D ,E ,C 均在P 上,且90DCE =∠, ∴DE 为P 的直径,∴90DBE =∠,DBE △为直角三角形.∵()0,1D ,,()24E m m ---,()2,0B m --,∴DB =BE=∴2BE DB =.∴在Rt DBE △中,设DB x =,则2BE x =,∴DE ==,∴BDE △的周长2l DB BE DE x x =++=+(3x =+, P的半径2DE r ==,∴2l r = 【解析】(1)令函数值0y =,得一元二次方程,证明一元二次方程根的判别式∆大于0,即可证明抛物线与x 轴总有两个不同的交点；(2)①令函数值0y =,得一元二次方程,求出方程的解(含m 的代数式),再求出抛物线与y 轴的交点坐标(含m 的代数式),然后根据对称轴求出圆心P 的横坐标,又根据半径相等可求出点P 的纵坐标,设出P 与y 轴的另一个交点的坐标,根据中点坐标公式建立方程,从而求解出定点坐标；②根据①所得点的坐标,判断DBE △为直角三角形,利用定理表示出线段的长,得线段BE 与DB 的关系,再在直角三角形中利用勾股定理表示出线段的长,从而表示出三角形的周长和圆的半径,即可求出它们的比值.解：(1)证明：当抛物线与x 轴相交时,令0y =,得：2240x mx m +--=,∴224248(1)6m m m m ∆=++=++2()4m =+,∵0m ＞,∴2(40)m +＞,∴该抛物线与x 轴总有两个不同的交点.(2)①令224y x mx m =+--2()20)(x x m =-++=,解得：12x =,22x m =--.∵抛物线与x 轴的两个交点分别为A ,B (点A 在点B 的右侧),∴()2,0A ,()2,0B m --.∵抛物线与y 轴交于点C ,∴0,2(4)C m --.设P 的圆心为00(),P x y , 则0(22)22m m x +--==-, ∴0,2()m P y -, 且PA PC =,则22PA PC =, 即202220224()()2()2m m y m y --+=-+---, 解得0322m y --=, ∴32,)22(m m P ---. 设P 与y 轴的另一交点的坐标为(0,)b , 则()243222b m m +----=,∴1b =, ∴P 经过y 轴上一个定点,该定点坐标为(0,1).②由①知,()0,1D 在P 上,∵点E 是点C 关于直线2m x =-的对称点,且P 的圆心32,)22(m m P ---, ∴,()24E m m ---且点E 在P 上. 即D ,E ,C 均在P 上,且90DCE =∠, ∴DE 为P 的直径,∴90DBE =∠,DBE △为直角三角形.∵()0,1D ,,()24E m m ---,()2,0B m --,∴DB =BE=∴2BE DB =.∴在Rt DBE △中,设DB x =,则2BE x =,∴DE ==,∴BDE △的周长2l DB BE DE x x =++=+(3x =+, P的半径2DE r ==,∴2l r =. 【考点】本题考查抛物线的性质、三角形的外接圆、圆的性质、一元二次方程的根的判别式、勾股定理.25.【答案】解：(1)在四边形ABCD 中,60B =∠,30D =∠,∴360A C B C +=--∠∠∠∠3606030270=--=.(2)如图,将BCD △绕点B 逆时针旋转60得到BAQ △,连接DQ .∵BD BQ =,60DBQ =∠,∴BDQ △是等边三角形,∴BD DQ =,∴270BAD C +=∠∠,270BAD BAQ +=∠∠,∴36027090DAQ =-=∠,∴DAQ △是直角三角形,∴222AD AQ DQ +=,即222AD CD BD +=.(3)如图,将BCE △绕点B 逆时针旋转60得到BAF △,连接EF .∵BE BF =,60EBF =∠,∴BEF △是等边三角形,∴BE EF =,60BFE =∠.∵222AE BE CE =+,∴222AE EF AF =+,∴90AFE =∠,∴6090150BFA BFE AFE =+=+=∠∠∠,∴150BEC =∠,则动点E 在四边形ABCD 内部运动,满足150BEC =∠,以BC 为边向外作等边OBC △,则点E 是在以O 为圆心,OB 为半径的圆周上运动,运动轨迹为BC .∵1OB AB ==,则点E 的运动路径的长度为60π1π1803BC ⨯==. 【解析】(1)根据四边形的内角和,减去已知两角的度数,可得其余两角的和；(2)根据旋转性质和旋转角度得等边三角形,根据角度计算得直角三角形,利用勾股定理,将线段代换,可得出结论；(3)根据旋转性质和旋转角度得等边三角形,根据已知条件转换线段的平方关系,利用勾股定理的逆定理判定直角三角形,判断运动轨迹是圆弧,作等边三角形和圆,根据圆心角和半径求出弧长.解：(1)在四边形ABCD 中,60B =∠,30D =∠,∴360A C B C +=--∠∠∠∠3606030270=--=.(2)如图,将BCD △绕点B 逆时针旋转60得到BAQ △,连接DQ .∵BD BQ =,60DBQ =∠,∴BDQ △是等边三角形,∴BD DQ =,∴270BAD C +=∠∠,270BAD BAQ +=∠∠,∴36027090DAQ =-=∠,∴DAQ △是直角三角形,∴222AD AQ DQ +=,即222AD CD BD +=.(3)如图,将BCE △绕点B 逆时针旋转60得到BAF △,连接EF .∵BE BF =,60EBF =∠,∴BEF △是等边三角形,∴BE EF =,60BFE =∠.∵222AE BE CE =+,∴222AE EF AF =+,∴90AFE =∠,∴6090150BFA BFE AFE =+=+=∠∠∠,∴150BEC =∠,则动点E 在四边形ABCD 内部运动,满足150BEC =∠,以BC 为边向外作等边OBC △,则点E 是在以O 为圆心,OB 为半径的圆周上运动,运动轨迹为BC .∵1OB AB ==,则点E 的运动路径的长度为60π1π1803BC ⨯==. 【考点】本题考查多边形的内角和定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理.。
2018年广州市中考数学试卷(含答案)
广东省广州市2018年中考数学试题一、选择题四个数 ， ， ， 中，无理数的是（∙∙∙ ）✌ 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（∙∙∙ ）✌条 条 条 无数条如图所示的几何体是由 个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（∙∙∙ ）✌∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙∙∙∙下列计算正确的是（∙∙∙ ）✌ 如图，直线✌， ☜被直线 ☞和✌所截，则∠ 的同位角和∠ 的内错角分别是（∙ ）✌∠ ，∠ ∠ ，∠ ∠ ，∠ ∠ ，∠甲袋中装有 个相同的小球，分别写有数字 和 ，乙袋中装有 个相同的小球，分别写有数字 和 ，从两个口袋中各随机取出 个小球，取出的两个小球上都写有数字 的概率是（∙∙∙ ）✌∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙如图，✌是圆 的弦， ⊥✌，交圆 于点 ，连接 ✌， ， ，若∠✌，则∠✌的度数是（∙∙∙ ）✌ 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：❽今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？❾意思是：甲袋中装有黄金 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银 枚（每枚黄金重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换 枚后，甲袋比乙袋轻了 辆（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重⌧辆，每枚白银重⍓辆，根据题意得（∙∙∙ ）✌ 一次函数 和反比例函数 在同一直角坐标系中大致图像是（∙∙∙ ）✌ 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动 ❍，其行走路线如图所示，第 次移动到 ，第 次移动到 ⑤⑤，第⏹次移动到 ，则△ 的面积是（∙∙∙ ）✌ 二、填空题已知二次函数 ，当⌧＞ 时，⍓随⌧的增大而♉♉♉♉♉♉♉♉（填❽增大❾或❽减小❾） 如图，旗杆高✌❍，某一时刻，旗杆影子长 ❍，则♦♋⏹♉♉♉♉♉♉♉♉。