人教版九年级数学下册第26章《二次函数》-二次函数y=ax^2+k的图象与性质课件(21张ppt)
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件
课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章 二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究 归纳
y＝ax2 图象
位置开 口方向
对称性 顶点最值
增减性
第二十二章 二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章 二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
人教版九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
பைடு நூலகம்
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
|a|越大,抛物线的开口越小;
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
(0,0)最低点
开口方向 开口向上
开口向下
对称轴 对称轴是y轴，即直线x＝0
顶点
顶点坐标是原点（0，0）
最值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
3
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x>0时，y随x的增大而增大
增大；当x>0时，y随x的 增大而减小
|a|越大,抛物线的开口越小;
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质》PPT课件 湘教版
6.试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的异同．
解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同； (2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当 x>1时都是右升； (3)它们都有最小值． 不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1， 0)，y＝2(x－1)2＋5的顶点坐标是(1，5)； (2)y＝2(x－1)2的最小值是0， y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y 轴于点F，如图所示． 在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20； 在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18； 在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形．
课堂小结
图象特点 二次函数y=a(x-
24
平移方法2
y 1 x2 2
3
个 单 位
向 上 平 移
y 1 (x 1)2 3 2
向右平移 1个单位
y 1 x2 3 2
－4
8 6 4 2
－2
24
知识要点
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
平移规律 y = a( x - h )2 + k
当堂练习
1.将抛物线y＝ 1 x2向右平移2个单位，再向下平移1 3
个单位，所得的抛物线是( A ) 1
A．y＝ 3 (x－2)2－1 B．y＝ 1 (x－2)2＋1 C．y＝ 13 (x＋2)2＋1
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
当点 B 与 O 重合时，－12m2＋4＝0， 解得 m＝2 2或 m＝－2 2， 当点 B 与点 D 重合时，如图②， 顶点 A 也与 B、D 重合，点 B 到达最高点， ∴点 B(0，4)，∴－12m2＋4＝4，解得 m＝0.
当抛物线从图②的位置继续向左平移 时，如图③，点 B 不在线段 OD 上， ∴B 点在线段 OD 上时，m 的取值范 围是 0≤m＜1 或 1＜m＜2 2.
(1)当m＝5时，求n的值；
解：当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4， 当 x＝1 时，n＝－12×42＋4＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
解：当 n＝2 时，将 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝－12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4， 解得 m＝3 或 m＝－1(舍去)， ∴此时抛物线的对称轴为 x＝3， 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴x 的取值范围为 1≤x≤5.
7 ∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移 2 个单位 长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图象．
(1)试确定 a、h、k 的值； 解：a＝12，h＝1，k＝－5.
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标．
【答案】①②④
10．【中考·舟山】二次函数 y＝－(x－1)2＋5，当 m≤x≤n 且
mn<0 时，y 的最小值为 2m，最大值为 2n，则 m＋n 的
值为( )
A．52
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质知识点一：图像函数性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)值域a>0 a<0y∈[4ac－b24a，＋∞) y∈(－∞，4ac－b24a]奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数a<0单调性a>0a<0x∈(－∞，－b2a]时递减，x∈[－b2a，＋∞)时递增x∈(－∞，－b2a]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减图像特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：(－b2a，4ac－b24a)例：1、求函数1352++-=xxy图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。
2、如果cbxxxf++=2)(对于任意实数t都有)3()3(tftf-=+，那么（）（A）)4()1()3(fff<<（B）)4()3()1(fff<<（C）)1()4()3(fff<<（D）)1()3()4(fff<<3、求函数522--=xxy在给定区间]5,1[-上的最值。
4、已知函数1)2(2-+-=nxxny是偶函数，试比较)2(f，)2(f，)5(-f的大小。
5、求当k为何值时，函数kxxy++-=422的图象与x轴(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点.6、抛物线642--=xaxy的顶点横坐标是-2，则a=7、已知二次函数bxay+-=2)1(有最小值–1，则a与b之间的大小关系是（）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定 8、二次函数y=(x-k ）2与直线y=kx(k>0)的图像大致是（ ）知识点二：(1)当Δ＝b2－4ac=0，方程有两个相等的实根，这时图象与x 轴只有一个公共点； (2)当Δ＝b2－4ac>0，方程有两个不相等的实根，这时图象与x 轴有两个公共点； (3)当Δ＝b2－4ac<0，方程有两个不相等的实根，这时图象与x 轴无公共点；课堂练习： 一．选择题1．二次函数522+-=x x y 的值域是（ ）Ａ．)4∞+， ［ Ｂ．),4(∞+ Ｃ．(4， ∞-］ Ｄ．)4,( -∞2．如果二次函数452++=mx x y 在区间)1,(--∞上是减函数，在区间),1[+∞-上是增函数，则=m （ ）Ａ．2 Ｂ．-2 Ｃ．10 Ｄ．-103．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不相等的实数根，则m 的聚值范围是（ ） Ａ．),6()2,(+∞⋃--∞ Ｂ．)6,2(- Ｃ．)6,2[- 0 Ｄ．}6,2{- 4．函数3212-+=x x y 的最小值是（ ） Ａ．-3. Ｂ．.213- Ｃ．3 Ｄ．.2135．函数2422---=x x y 具有性质（ ） Ａ．开口方向向上，对称轴为1-=x，顶点坐标为（-1，0）Ｂ．开口方向向上，对称轴为1=x ，顶点坐标为（1，0） Ｃ．开口方向向下，对称轴为1-=x ，顶点坐标为（-1，0） Ｄ．开口方向向下，对称轴为1=x，顶点坐标为（1，0）6．函数（1）3422-+=x x y ；（2）3422++=x x y ；（3）3632---=x x y ；（4）3632-+-=x x y 中，对称轴是直线1=x 的是（ ）Ａ．（1）与（2） Ｂ．（2）与（3） Ｃ．（1）与（3） Ｄ．（2）与（4） 7．对于二次函数x x y 822+-=，下列结论正确的是（ ）Ａ．当2=x 时，y 有最大值8 Ｂ．当2-=x 时，y 有最大值8 Ｃ．当2=x 时，y 有最小值8 Ｄ．当2-=x 时，y 有最小值8 8．如果函数)0(2≠++=a c bx ax y ，对于任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，那么下列选项中正确的是（ ）Ａ．)4()1()2(f f f <-< Ｂ．)4()2()1(f f f <<- Ｃ．)1()4()2(-<<f f f Ｄ．)1()2()4(-<<f f f二．填空1．若函数12)(2-+=x x x f ，则)(x f 的对称轴是直线2．若函数322++=bx x y 在区间]2,(-∞上是减函数，在区间],2(+∞是增函数，则=b3．函数9322--=x x y 的图象与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 、 4．已知6692+-=x x y ，则y 有最 值为 5．已知12842++-=x x y ，则y 有最 值为 三．解答题1．已知二次函数342-+-=x x y（1）指出函数图象的开口方向；（2）当x 为何值时0=y ；（3）求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。
26.1.2(修改)二次函数y=ax2的图象和性质--
性质：a>0，图象开 口向上，顶点是抛 物线的最低点，a越 大开口越小，反之 越大
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
函数y=－ 像相比,有什么共同点和不同点? 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴， 共同点: 顶点是抛物线的最高点 除顶点外,图像都在x轴下方
不同点: 开口大小不同
y=x2
y x2பைடு நூலகம்
二次函数y=ax2的性质
1、抛物线y=ax2的顶点是 原点，对称轴是y轴。
y x2
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方
（除顶点外），它的开口向上，并且向 上无限伸展；a越大，抛物线的开口越小 当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方 （除顶点外），它的开口向下，并且向 下无限伸展。a越大，抛物线的开口越大。
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 a ＞0
O
a ＜0
O
开口
开口向上
开口向下
对称性
顶点 增减性
a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
耐心填一填
1、函数y=4x2的图象的开口 向上 ,对称轴 是 y轴 ,顶点是 (0,0); 2、函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴 (0,0) 是 y轴 ,顶点是 ___ 顶点是抛物线的最 高 点
画函数y=x2的图像
解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 x … -3 -2 -1 0 y … 9 4 1 0
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 1
y
2 4
苏科版九年级下册数学 5.2 y=ax^2+k、y=a^2的图像(共19张PPT)
二次函数y＝a(x ＋ m)2（ m＜0）的图像是由二次函数 y＝ax2的图像沿 x 轴向＿右＿平移｜＿m＿｜个单位长度得到的．
二次函数y＝a(x+m)2 顶点坐标是＿（-m，0）＿ ，对称轴
是＿过（＿-m，0）与y轴平行的直线
．
1．将函数y＝2x2－2的图像先向 上 平移 2 个单 位，就得到函数y ＝ 2x2的图像，再向 右 平移 3 个
幻灯片 7
（2）描点、连线．
从对应点的位置看：函数y＝x2＋1的图像和y＝
x2的图像的位置有什么关系？
y
10
（3）函数y＝x2－2的图像和
9 8
y=x2的图像的位置有何关系？
7 6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
幻灯片 8
y
y=x2+1
8
6
4
2
y=x2
-10
-5
O
5
x 10
-2
y
8
6
4
y=x2
2
-10
-5
O
5
x 10
y=x2-2
-2
y 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
2. y＝-x2＋3， y＝-x2-2 与 y＝-x2
又有什么关系呢？ 画出草图，进行比较
函数y=-x2+3的图
象可由y=-x2的图
a>0
向上
(0 ,c)
y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时， y随着x的增大而增大。
九年级数学二次函数y=ax2的图象和性质(沈贵芬)
x y=x2
-3 -2 -1
0 0
1
2 3 4 9
…… ……
9
4
1
1
解： 列表画图得： x y=x2
-3 -2 -1 9
y
0 0
1
2 3 4 9
…… ……
4
1
1
y=x2
(3,9)
(-3,9)
• 考虑下列几个问 题。（小组讨论 探索）
正比例函数 y=kx ( k≠0 ) 直线 一三 象限
y随x的增大而增大
一次函数 y=kx+b ( k≠0 ) 直线
K>0
K<0
二四 象限
y随x的增大而减小
引入
• 上节课我们学习了二次函数的一般 形式为y=ax² +bx+c（a ≠ 0），那么 它的图象是否也为直线呢？
作二次函数y=x2的图象（书本p29）
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 增 当x<0时， y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。 性 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
练习：
九年级数学下册 第二章 二次函数 2.2 二次函数的图像与性质 2.2.2 二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象与性质
K12课件
4
2．2018·虹口区一模 抛物线y＝2x2－4的顶点在( B )
A．x轴上
B．y轴上
C．第三象限
D．第四象限
[解析] B 根据题意知，抛物线y＝2x2－4的对称轴为直线x＝0，故 它的顶点在y轴上．故选B.
K12课件
5
3．若在同一直角坐标系中，作函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝ －2x2＋1的图象，则它们( A ) A．都关于y轴对称 B．开口方向相同 C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
上的两个点，∴y1＝－2x12＋m，y2＝－2x22＋m.∵x1＜x2＜0，∴x12＞x22，
∴y1＜y2.故选C.(也可以利用二次函数的增减性得出y1＜y2)
K12课件
7
5．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位长度，那么所
得新抛物线的表达式是( C )
A．y＝(x－1)2＋2
B．y＝(x＋1)2＋2
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
K12课件
1
第二章 二次函数
第2课时 二次函数y＝ax2， y＝ax2＋c的图象与性质
课堂达标
素养提升
K12课件
2
课堂达标
一、 选择题
1．2017·余杭区期中 已知二次函数y＝ax2的图象经过点(－2，6)，
则下列点中不在该函数图象上的是( )D
A．(2，6)
B．(1，1.5)
C．(－1，1.5)
D．(2，8)
K12课件
3
[解析] D 把(－2，6)代入 y＝ax2 中，得 4a＝6，则 a＝32，所以这个二次函数 的表达式为 y＝32x2.A.当 x＝2 时，y＝32×22＝6，所以点(2，6)在该函数的图象 上；B.当 x＝1 时，y＝32×12＝1.5，所以点(1，1.5)在该函数的图象上；C.当 x ＝－1 时，y＝32×(－1)2＝1.5，所以点(－1，1.5)在该函数的图象上；D.当 x ＝2 时，y＝32×22＝6，所以点(2，8)不在该函数的图象上．故选 D.