ch1.1__矩阵与方程组之间的转换
解方程组的矩阵方法和运算规则
解方程组的矩阵方法和运算规则解方程组是数学中的一项基本任务，它可以帮助我们找到未知数的值，从而解决实际问题。
在解方程组的过程中，矩阵方法和运算规则是非常重要的工具。
本文将介绍矩阵方法和运算规则在解方程组中的应用。
一、矩阵方法的基本概念矩阵是由数个数排成的矩形阵列，其中每个数称为矩阵的元素。
解方程组的矩阵方法就是将方程组转化为矩阵形式，通过矩阵的运算来解决方程组。
例如，考虑一个包含两个方程的方程组：2x + 3y = 84x - 2y = 2我们可以将其转化为矩阵形式：⎡2 3⎤⎡x⎤⎡8⎤⎣4 -2⎦⎣y⎦ = ⎣2⎦其中左边的矩阵称为系数矩阵，右边的矩阵称为常数矩阵。
二、矩阵的运算规则在解方程组中，我们需要使用矩阵的运算规则来进行计算。
以下是一些常用的矩阵运算规则：1. 矩阵的加法和减法两个矩阵相加或相减的规则是：对应位置上的元素相加或相减。
例如，对于两个矩阵A和B：A = ⎡a₁ a₂⎤B = ⎡b₁ b₂⎤⎣a₃ a₄⎦⎣b₃ b₄⎦A +B = ⎡a₁+b₁ a₂+b₂⎤⎣a₃+b₃ a₄+b₄⎦2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的运算。
对于两个矩阵A和B，其乘法规则是：A的行与B的列相乘，然后求和。
例如，对于两个矩阵A和B：A = ⎡a₁ a₂⎤B = ⎡b₁ b₂⎤⎣a₃ a₄⎦⎣b₃ b₄⎦A ×B = ⎡a₁b₁+a₂b₃ a₁b₂+a₂b₄⎤⎣a₃b₁+a₄b₃ a₃b₂+a₄b₄⎦3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指一个数与矩阵的每个元素相乘的运算。
例如，对于一个矩阵A 和一个数k：A = ⎡a₁ a₂⎤kA = ⎡ka₁ ka₂⎤三、矩阵方法的应用通过矩阵方法和运算规则，我们可以解决各种复杂的方程组。
下面以一个实际问题为例来说明矩阵方法的应用。
假设有一个电子产品制造商生产两种型号的手机和三种型号的平板电脑。
已知每天生产的手机和平板电脑的总数分别为：2倍数手机 + 3倍数平板电脑 = 1004倍数手机 + 2倍数平板电脑 = 1203倍数手机 + 5倍数平板电脑 = 140我们可以将上述方程组转化为矩阵形式：⎡2 3⎤⎡倍数手机⎤⎡100⎤⎢4 2⎥⎢倍数平板电脑⎥ = ⎢120⎥⎣3 5⎦⎣倍数平板电脑⎦⎣140⎦通过矩阵的运算规则，我们可以求解出倍数手机和倍数平板电脑的值，从而得到每天生产手机和平板电脑的具体数量。
矩阵与线性方程组§初等变换共52页文档
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26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
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27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。—。 ——马 克罗维 乌斯
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29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
线性代数矩阵的初等变换与线性方程组
方程组与增广矩阵是一一对应关系 一一对应关系 方程组与增广矩阵是一一对应关系, 我们用增广 矩阵来写求解过程
2 − 1 2 4 ~ A = 1 1 2 1 4 1 4 2
-2-
首先搞清一个概念:什么是同解方程组 同解方程组? 首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程 组也称等价方程组 等价方程组. 组也称等价方程组.
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下面形状的矩阵称为(行 阶梯形矩阵 下面形状的矩阵称为 行)阶梯形矩阵 定义 …
1 0 0 0
1 2 0 2 1 2 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
3 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
下面形状的矩阵称为(行)最简阶梯形矩阵 定义 … 下面形状的矩阵称为 行 最简阶梯形矩阵
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵 §3.3 矩阵的秩 §3.4 线性方程组的解
-1-
§3.1 矩阵的初等变换
引例 用Gauss消元法求解下面方程组 消元法求解下面方程组 ① 2 x1 − x 2 + 2 x 3 = 4 ② x1 + x 2 + 2 x 3 = 1 4 x + x + 4 x = 2 ③ 1 2 3
r3 + 5r2 r4 − 3r2
1r 2 2
4 0 0 2 − 6 0 1 − 3
r3 ↔ r4
r4 − 2r3
r1 − r2 r2 − r3
1 0 0 0
0 −1 0 1 −1 0 0 0
4 3 0 1 − 3 0 0 0
-12-
下面讨论对一个矩阵实施初等变换(既可用行变 下面讨论对一个矩阵实施初等变换 既可用行变 换又可用列变换)能把矩阵化成最简单的形状是什么 换又可用列变换 能把矩阵化成最简单的形状是什么? 能把矩阵化成最简单的形状是什么 定义 如果 A → B ,则称 A 与 B 等价 则称
线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换优选演示
2. 等价关系的性质 (i) 反身性 A ~ A; (ii) 对称性 若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
数学中把具有上述三条性质的关系称为等 价, 例如两个线性方程组同解, 就称这两个线性 方程组等价.
和 面 有
则
B 用 矩
以
3 3 . .
①
①-②-③
②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的 一个, 其中有 4 个未知量 3 个有效方程, 应有一个
自由未知量, 由于方程组 (B5) 呈阶梯形, 可把每个 台阶的第一个未知量 (x1，x2，x4) 选为非自由未知 量, 剩下的 x3 选为自由未知量, 于是解得
x x
1 2
x3 x3
4, 3,
x 4 3 ,
令 x3 = k (k 为任意实数), 则方程组的解可记作
x1 k 4
1 4
x
x2
x x
3 4k 3 k 3 Nhomakorabea,
即
x
k
1 1 0
3
0 3
.
在上述消元过程中, 始终把方程组看做一个整 体即不是着眼于某一个方程的变形, 而是着眼于整 个方程组变成另一个方程组. 其中用到以下三种变 换:
称初等变换.
三、 两个矩阵的等价关系
1. 定义 如果矩阵 A 经有限次初等行变换变 成矩阵 B , 就称矩阵 A 与 B 行等价, 记作 A ~r B ;
如果矩阵 A 经有限次初等列变换变成矩阵 B , 就称
矩阵的初等变换与线性方程组的求解【精品推荐ppt】ppt课件
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1, rm-1=qm+1rm（m≥1, rm=d）
x1 x2 3x3 x4 x5 3
例1 求线性方程组
或“－1”，若主对角线上某一元素为“－1”，则该
32xx11
2x2 4x3 5x4 x5 4x3 2x4 3x5
4 4
位填充矩阵C是匹配的。
由
得
的一般解。 B是匹配的，故C只能是n×n矩阵， 从而C′
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1,
而B的填充矩阵为：
1 0
0
1
0 b1,r1 0 b2,r1
b1,r2 b2,r2
b1n
b2n
C
0
0
1 b b r,r1
r ,r 2
brn
(5)
0 0
0 1 0
0
0 0
00 0
1nn
其所有J－列向量为： r+1=(b1,r+1, …,br,r+1, －1,0, …,0) r+2=(b1,r+1, …,br,r+1,0, －1, …,0)
有解，其增广矩阵A经一系列初等行变换化 为行最简形矩阵B，则B的n×(n+1)单位填充
矩阵பைடு நூலகம்所有“J－列向量”构成方程组(7)的导
出组的一个基础解系，而C的最后一列为方 程组(7)的一个特解。
证明 由定理1，前一结论显然。下证Ｃ的最 后一列为方程组的一个特解。
作齐次线性方程组
用矩阵初等行变换解线性方程组
16
x 1 2 x 2 3 x 3 7 ( r2 ) ( r3 ) x 2 3 x 3 14 2 ) ( r3 ) 0 1 3 14 0 5 4 6
0 0 0 7 7 ( r1 ) ( r3 ) 2 3 1 1 3 4 1 1 1 7 2 1 1 1 5
21
1 ( r1 ) 1 0 0 0 1 7 ( r4 ) 2 3 1 1 3 4 1 1 1 7 2 1 1 1 5
14
三、用矩阵法求线性方程组的解
消元法是解二元、三元一次线性方程组常用的办
法，将其运用到解n元线性方程组中也是有效的．它
的基本思想是将方程组中的一部分方程变成未知量 较 少的方程，从而求出方程组的解．下面通过例子说 明 例4 用消元法解线性方程组 如何解系数行列式不等于零的线性方程组． x1 2 x2 3 x 3 7 2 x1 x2 2 x 3 8 x 3x 7 2 1
用矩阵初等行变换解线性方程组
一.矩阵的行初等变换 二.用行初等变换求逆矩阵 三.用矩阵法求线性方程组.
1
一、矩阵的初等行变换
定义: 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行以下三 种变换： ⑴变换矩阵的某两行位置； ⑵用一个非零数乘矩阵某行的所有元素； ⑶把矩阵某一行的K倍加到矩阵的另一行上去． 矩阵A经过初等行变换得到矩阵B，通常记作 A→B，一般A≠B．符号(ri )↔(rj), (ri )K,(ri)K+(rj)分别 表示交换A的第i 行与 j 行，第i 行乘K及第j行的K倍 加到第i行上． 将定义中所有的“行”字改为“列”字，就得 到矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换 和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换．
矩阵的初等变换与线性方程组的求解教材
原方程组无解
例3
解方程组 3
x1 x1
x2 2 x3 3 x4 13 x2 x3 x4 1
x1 2 x2 x3 x4 8
解 对方程组的增广矩阵B 依次施行下列初等行变换，使 它化为行阶梯形矩阵
1 1 2 3 13 B 3 1 1 1 1
1 2 1 1 8
1 1 2 3 13
最后一个矩阵
1 0
1 1
2 4
3 8
13 33
已是行阶梯形矩阵
0 0 1 2 8
它对应的方程组是
x1
x2 x2
2 4
x3 x3
3 x4 8 x4
13
33
x3 2x4 8
从最后一个方程可得 x3 8 2x4, 其中 x4 可取任意实数．
把 x3 8 2x4 代入第二个方程，得到 x2 1
B 1 4 13 14
0 2 10 12
3 5 4 2 r3 3r1 0 1 5 8
r2 2 1
0 0
2 1 1
3 5 5
2 6 8
1 r3 r2
0 0
2 1 0
3 5 0
2 6 2
这个矩阵的最后一行除最后一个元素不为零外其余元素
都为零，它对应一个矛盾方程 0x1 0x2 0x3 2
．
2 x1 x2 x3 4
解 对方程组的增广矩阵 B 依次施行以下初等行变换，使
它化为行阶梯形矩阵．
0 1 1 2
1 1 1 5
1 1 1 5
B
1 1 2
1 2 1
1 2 1
5 0 r1 r2
7 4
1 2
1 2 1
1 2 1
矩阵运算与线性方程组的解法
矩阵运算与线性方程组的解法在数学中，矩阵运算与线性方程组是一个非常重要的话题。
矩阵运算可以通过矩阵相乘、矩阵加法和矩阵求逆等操作来解决线性方程组的问题。
本文将介绍一些常见的矩阵运算方法，并详细讨论它们在解决线性方程组中的应用。
1. 矩阵相乘矩阵相乘是指将一个矩阵与另一个矩阵相乘的操作。
要进行矩阵相乘，需要确保第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等。
具体计算规则如下：设有两个矩阵A和B，它们分别为m×n矩阵和n×p矩阵，则它们的乘积C为一个m×p矩阵，其中C的元素c_ij可以通过以下公式计算：c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj矩阵相乘在求解线性方程组中有广泛的应用，特别是在使用高斯消元法和矩阵的LU分解法求解线性方程组时。
2. 矩阵加法矩阵加法是指将两个矩阵进行按元素相加的操作。
要进行矩阵加法，需要确保两个矩阵具有相同的尺寸。
具体计算规则如下：设有两个矩阵A和B，它们都是m×n的矩阵，则它们的和C为一个m×n的矩阵，其中C的元素c_ij可以通过以下公式计算：c_ij = a_ij + b_ij矩阵加法在解决线性方程组时通常用于消元过程中，通过行变换将线性方程组转化为最简形式。
3. 矩阵的逆对于一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵I，则称B为A的逆矩阵，记为A^-1。
只有方阵才有逆矩阵。
逆矩阵可以通过伴随矩阵和行列式的乘积来计算。
具体计算规则如下：设有一个n阶方阵A，如果A可逆，则A的逆矩阵A^-1可以通过以下公式计算：A^-1 = (1/|A|) * Adjoint(A)其中|A|表示A的行列式，Adjoint(A)表示A的伴随矩阵。
逆矩阵在求解线性方程组中扮演着重要的角色，它可以直接求解线性方程组的解，也可以通过矩阵的LU分解法求解线性方程组。
4. 线性方程组的解法线性方程组是由多个线性方程组成的方程组。
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
r2r3
12 00
3 45 002
0.5×r2
12 00
3 40 001
0 0 0 0 0 r1+(-5)r2 0 0 0 0 0
例：继续将A的行简化阶梯形化为标准形。
1 2 3 4 0 1 0 0 0 0
A 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
结论：任意矩阵Am×n总是与一个行阶梯形矩阵或行 简化阶梯形矩阵等价，也与一个标准形矩阵等价。
转例
注：矩阵A的行阶梯形矩阵中非零行的数目， 称为A的秩R(A)。
➢矩阵在作初等变换后其秩不改变，即 若A→B，则R(A)=R(B)。
➢矩阵秩的性质： （1）0 R( Amn ) min{ m, n}
（2）R( A) R( AT )
转例
3.1 线性方程组的增广矩阵
线性方程组的一般形式为
a11x1a12x2 a1nxn b1 a21x1a22x2 a2nxn b2
———
2 10 -2 -2 1 -9 3 7 3 8 -1 1
r1+r4×(-2)
———
0 14 -4 -8 1 -9 3 7 3 8 -1 1
1 -2 1 3
1 -2 1 3
1.2 初等矩阵 初等矩阵一定是方阵
定义：对单位矩阵E作一次初等变换后，得 到的矩阵称为初等矩阵。
初等矩阵有如下三种类型（对应于三种变 换），分别记作P ( i,j )，P (i[k])，P (i,j[k]) 。
对上式现右乘A-1，得 Ps Ps-1 P2 P1 AA-1 EA-1
则有 Ps Ps-1 P2 P1 E A-1 表明，通过有限次的初等行变换，将可逆矩 阵A化为E的同时，单位矩阵E则化为A-1 。
线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换
例如
2. 重要结论 定理 每一个矩阵都可以经过单纯的初等行
变换化为行阶梯形矩阵. 这个定理我们不作证明,下面通过几个具体的
例子说明如何用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩 阵.
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五、行最简形矩阵和标准形矩阵
定义 一个行阶梯形矩阵若满足
(1) 每个非零行的第一个非零元素为 1 ; (2) 每个非零行的第一个非零元素所在列
定理 1 把矩阵的初等变换与矩阵的乘法运算联 系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到 初等变换的运算规律，也可以利用矩阵的初等变换 去研究矩阵的乘法.
由定理 1 可得如下推论.
推论 方阵 A 可逆的充要条件是 A ~r E .
七、求逆矩阵的初等变换法
表明，如果
A ~r ，
B
即 A 经一系列
九、矩阵的行阶梯形、行最简形和 标准形的比较
我们还是以引例中的矩阵 B 为例.
矩阵 B 的行阶梯形、行最简形和标准形分 别如下：
行阶梯形矩阵
特点：阶梯线以下的元 素全是０，台阶数即为非零 行数, 竖线后面的第一个元素 为非零元 .
行最简形矩阵
特点：非零行的第一个 非零元为１，且这些非零元 所在的列的其他元素都为０.
（i） A ~r B 的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，使 PA = B；
（ii）A ~c B 的充要条件是存在 n 阶可逆矩阵 Q，使 AQ = B；
（iii）A ~ B 的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，及 n 阶可逆矩阵 Q，使 PAQ = B .
为了证明定理 1，需引进初等矩阵的知识.
利用初等变换, 把一个矩阵化为行阶梯形矩 阵和行最简形矩阵, 是一种很重要的运算. 由引 例可知, 要解线性方程组只需把增广矩阵化为行 最简形矩阵.