湖北省枣阳市高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题理

湖北省襄阳市枣阳市白水高中2015-2016学年高二数学下学期3月月考试卷文(含解析)

2015-2016学年某某省襄阳市枣阳市白水高中高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．设＜＜＜1，那么（）A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a b C．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a2．给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4B．3C．2D．13．已知f（x）=x3﹣ax2+4x有两个极值点x1、x2，且f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数a的取值X围是（）A．B．C．D．4．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．25．若x∈R，则“x=0”是“x2﹣2x=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．7．已知{a n}是公差为1的等差数列；S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10D．128．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．39．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2B．﹣2C．﹣D．10．若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形11．已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线左边一支C．一条射线D．双曲线右边一支12．函数在上的最大值为2，则实数a的取值X围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=．15．设双曲线﹣y2=1的右焦点为F，点P1、P2、…、P n是其右上方一段（2≤x≤2，y≥0）上的点，线段|P k F|的长度为a k，（k=1，2，3，…，n）．若数列{a n}成等差数列且公差d ∈（，），则n最大取值为．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为．三、解答题17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．已知集合，又A∩B={x|x2+ax+b＜0}，求a+b等于多少？19．设数列{a n}的前n项的和S n与a n的关系是S n=﹣a n+1﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a1，a2a3并归纳出数列{a n}的通项（不需证明）；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．20．已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值X围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值X围．21．如图所示，离心率为的椭圆Ω：+=1（a＞b＞0）上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆Ω内一点P的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为常数，过点P作AB的平行线交椭圆于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）若点P（1，1），求直线MN的方程，并证明点P平分线段MN．22．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省襄阳市枣阳市白水高中高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．设＜＜＜1，那么（）A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a b C．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a【考点】指数函数单调性的应用．【分析】先由条件结合指数函数的单调性，得到0＜a＜b＜1，再由问题抽象出指数函数和幂函数利用其单调性求解．【解答】解：∵＜＜＜1且y=（）x在R上是减函数．∴0＜a＜b＜1∴指数函数y=a x在R上是减函数∴a b＜a a∴幂函数y=x a在R上是增函数∴a a＜b a∴a b＜a a＜b a故选C．2．给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【考点】命题的否定；正弦函数的单调性．【分析】①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论即可；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可进行判断．【解答】解：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故错；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a＞b，则2a＞2b ﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；正确；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1；故错；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故正确．其中不正确的命题的个数是：2．故选C．3．已知f（x）=x3﹣ax2+4x有两个极值点x1、x2，且f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数a的取值X围是（）A．B．C．D．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】求导函数，利用f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，可得f′（x）=0的两个根中：x1∈（0，1），x2＞1，由此可得结论．【解答】解：由题意，f′（x）=3x2﹣2ax+4∵f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，∴f′（x）=0的两个根中：x1∈（0，1），x2＞1∴f′（0）=4＞0，f′（1）=7﹣2a＜0，解得故选A．4．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】本题处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最值，即可求解比值．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：当直线z=2x+y过A（2，2）时，Z取得最大值6．当直线z=2x+y过B（1，1）时，Z取得最小值3，故z=2x+y的最大值与最小值的比值为：2．故选D．5．若x∈R，则“x=0”是“x2﹣2x=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义去判断．【解答】解：由x2﹣2x=0，得x=0或x=2，所以“x=0”是“x2﹣2x=0”的充分不必要条件．故选A．6．已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系；函数的图象．【分析】先化简f（x）=x2+sin=x2+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的X围，确定导函数在（﹣，）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【解答】解：由f（x）=x2+sin=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）=﹣cosx，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，故函数y=f′（x）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．故选：A．7．已知{a n}是公差为1的等差数列；S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10D．12【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴=4×（4a1+），解得a1=．则a10==．故选：B．8．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．9．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2B．﹣2C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：B．10．若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【考点】余弦定理．【分析】对（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc化简整理得b2﹣bc+c2=a2，代入余弦定理中求得cosA，进而求得A=60°，又由sinA=2sinBcosC，则=2cosC，即=2•，化简可得b=c，结合A=60°，进而可判断三角形的形状．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc∴=3bc∴（b+c）2﹣a2=3bc，b2﹣bc+c2=a2，根据余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2﹣bc+c2=a2=b2+c2﹣2bccosA即bc=2bccosA即cosA=，∴A=60°又由sinA=2sinBcosC，则=2cosC，即=2•，化简可得，b2=c2，即b=c，∴△ABC是等边三角形．故选B．11．已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线左边一支C．一条射线D．双曲线右边一支【考点】双曲线的定义．【分析】由于动点P满足|PM|﹣|PN|=4|=|MN|，那么不符合双曲线的定义（定义要求||PM|﹣|PN||＜|MN|），则利用几何性质易得答案．【解答】解：因为|MN|=4，且|PM|﹣|PN|=4，所以动点P的轨迹是一条射线．故选C．12．函数在上的最大值为2，则实数a的取值X围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．【考点】分段函数的应用．【分析】当x∈上的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当x=3时，e3a的值必须小于等于2，从而解得a的X围．【解答】解：由题意，当x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1，可得f′（x）=6x2+6x，解得函数在上导数为负，函数为减函数，在上导数为正，函数为增函数，故函数在上的最大值为f（﹣1）=2；又有x∈（0，3]时，f（x）=e ax，分析可得当a＞0时是增函数，当a＜0时为减函数，故要使函数在上的最大值为2，则当x=3时，e3a的值必须小于等于2，即e3a≤2，解得a∈（﹣∞，ln2]．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为 2 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意f（x）=t+g（x），其中g（x）=是奇函数，从而2t=4，即可求出实数t的值．【解答】解：由题意，f（x）==t+，显然函数g（x）=是奇函数，∵函数f（x）最大值为M，最小值为N，且M+N=4，∴M﹣t=﹣（N﹣t），即2t=M+N=4，∴t=2，故答案为：2．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= 30°．【考点】正弦定理．【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°15．设双曲线﹣y2=1的右焦点为F，点P1、P2、…、P n是其右上方一段（2≤x≤2，y≥0）上的点，线段|P k F|的长度为a k，（k=1，2，3，…，n）．若数列{a n}成等差数列且公差d ∈（，），则n最大取值为14 ．【考点】双曲线的简单性质；等差数列的通项公式．【分析】根据双曲线的第二定义，可得|P k F|的长度a k=x k﹣2，结合题意2≤x k≤2得n取最大值时d=，再解不等式＜＜，找出它的最大整数解，即得n的最大值．【解答】解：由题意，得a2=4，b2=1，c==，可得双曲线的右准线为：x=，即x=设P k坐标为（x k，y k），P k到右准线的距离为d k（k=1，2，3，…，n），根据双曲线的第二定义，得=e=，∴|P k F|=d k=（x k﹣）=x k﹣2∵|P k F|的长度为a k，∴a k=x k﹣2∵数列{a n}成等差数列，且公差d∈（，），∴=∈（，），∵2≤x k≤2，（k=1，2，3，…，n），公差d是正数∴0＜x n﹣x1≤2﹣2，得n取最大值时d==∴＜＜，解之得5﹣4＜n＜26﹣5因为26﹣5≈14.82，所以满足条件的最大整数n=14故答案为：1416．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为②③④．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】①根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆；②正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±，0）；③方程2x2﹣5x+2=0的两根为或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线．【解答】解：①根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴①不正确；②正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在x 轴上，焦点坐标为（±，0）；③方程2x2﹣5x+2=0的两根为或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴③正确④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线，且a=4，b=3，c=5．故答案为：②③④．三、解答题17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA （1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．18．已知集合，又A∩B={x|x2+ax+b＜0}，求a+b等于多少？【考点】对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算；指数型复合函数的性质及应用．【分析】先根据指数函数、对数函数的性质，将A，B化简，得出A∩B，再根据一元二次不等式与一元二次方程的关系求出a，b．得出a+b．【解答】解：由题意，A∩B=（﹣1，2）方程x2+ax+b=0的两个根为﹣1和2，由韦达定理则a=﹣1，b=﹣2，∴a+b=﹣319．设数列{a n}的前n项的和S n与a n的关系是S n=﹣a n+1﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a1，a2a3并归纳出数列{a n}的通项（不需证明）；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法．【分析】（Ⅰ）根据已知条件，利用递推思想依次求出a1，a2a3，总结规律能归纳出数列{a n}的通项．（Ⅱ）由，利用错位相减法能求出，再利用错位相减法能求出数列{S n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=﹣a n+1﹣，n∈N*，∴，解得，S2==﹣a2+1﹣，解得a2==，=﹣a3+1﹣，解得，由此猜想．用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=，成立，②假设n=k时成立，即，则当n=k+1时，S k+1=+a k+1=﹣a k+1+1﹣，设S=，①则=，②①﹣②，得=+++…+﹣=﹣=，∴S=1﹣，∴2a k+1=1﹣﹣1+=，∴，成立，∴．（Ⅱ）∵，∴S n=，③S n=+++…+，④③﹣④得：==﹣=，∴，∴T n=n﹣（++…+），⑤=（+…+），⑥⑤﹣⑥，得=（﹣）=[+﹣]=﹣++=+，∴T n=n﹣2+．20．已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值X围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值X围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m的取值X围；（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值X围．【解答】解：（1）若p为真：…解得m≤﹣1或m≥3…若q为真：则…解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…若“p且q”是真命题，则…解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1…由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}…即或t≥4…解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4…21．如图所示，离心率为的椭圆Ω：+=1（a＞b＞0）上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆Ω内一点P的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为常数，过点P作AB的平行线交椭圆于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）若点P（1，1），求直线MN的方程，并证明点P平分线段MN．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由离心率为的椭圆Ω：+=1（a＞b＞0）上的点到其左焦点的距离的最大值为3，联立a2=b2+c2，求出a，b，即可求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）方法一：由可得C的坐标．利用C，A在椭圆上，可得，同理可得：，求出AB的斜率，可得MN的斜率与方程，与椭圆方程联立，即可得到结论；方法二：求出AB的斜率，可得MN的斜率与方程，与椭圆方程联立，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由题得，a+c=3，联立a2=b2+c2，解得a=2，，c=1，∴椭圆方程为…（Ⅱ）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得．∵点C在椭圆上，故整理得：…又点A在椭圆上可知，故有…①由，同理可得：…②②﹣①得：3（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，即…又AB∥MN，故∴直线MN的方程为：，即3x+4y﹣7=0．由可得：21x2﹣42x+1=0⇒x M+x N=2=2x P∴P是MN的中点，即点P平分线段MN…（Ⅱ）方法二：∵，，∴，即AB∥CD在梯形ABCD中，设AB中点为M1，CD中点为M2，过P作AB的平行线交AD，BC于点R，S∵△APD与△BPC面积相等，∴RP=PS∴M1，M2，P三点共线…设A（x1，y1），B（x2，y2）∴，，两式相减得，∴3（x2﹣x1）（x2+x1）+4（y2﹣y1）（y2+y1）=0显然x2≠x1，（否则AB垂直于x轴，∵P（1，1）不在x轴上，此时CD不可能垂直于x轴保持与AB平行）且x1+x2≠0（否则AB平行于x轴或经过原点，此时M1，M2，P三点不可能共线）∴设直线AB斜率为k AB，直线OM1斜率为∴，即…①设直线CD斜率为k CD，直线OM2斜率为同理，，又k AB=k CD，∴，即O，M1，M2三点共线…∴O，M1，M2，P四点共线，∴，代入①得…∴直线MN的方程为，即3x+4y﹣7=0联立3x2+4y2=12得21x2﹣42x+1=0⇒x M+x N=2=2x P∴点P平分线段MN…22．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，某某数a的取值X围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．）（2）已知条件可以转化为a≥lnx﹣x﹣恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可某某数a的取值X围．【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的单调递减区间是（0，）令f'（x）＞0得：，∴f（x）的单调递增区间是（2）g′（x）=3x2+2ax﹣1，由题意2xlnx≤3x2+2ax+1∵x＞0，∴a≥lnx﹣x﹣恒成立①设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣=﹣令h′（x）=0得：x=1，x=﹣（舍去）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h'（x）＜0∴当x=1时，h（x）有最大值﹣2若①恒成立，则a≥﹣2，即a的取值X围是[﹣2，+∞）．。

湖北省部分重点中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题文

某某省部分重点中学2015-2016学年度下学期高二期中考试数学试卷（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

1．函数在点（1，1）处的切线方程为（）A ．x ﹣y ﹣2=0B ．x+y ﹣2=0C ．x+4y ﹣5=0D ．x ﹣4y+3=0 2．抛物线214x y =的焦点到准线的距离为（） A ．2B ．4C ．18D ．123．函数()cos xf x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（）A ．0B ．1-C ．1D ．224．K 为小于9的实数时，曲线与曲线一定有相同的（）A ．焦距B ．准线C ．顶点D ．离心率5. 曲线2()1x a f x x =＋＋在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为34π，则实数a =（）A ．1B ．－1C ．7D ．－76．设21,F F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左，右焦点，P 为直线23ax =上一点，21PF F ∆是底角为 30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（）A ．21B ．32C ．43D ．547．已知函数()sin cos f x x x =+，且'()3()f x f x =，则x 2tan 的值是（）A.34-B.34C.43-D.438．实半轴长等于，并且经过点B （5，﹣2）的双曲线的标准方程是（） A ．或B ．C ．D ．9．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足0120AFB ∠=. 过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为（）A ．33B ．1C ．233D ．210．设双曲线22221x y a b -=的两条渐近线与直线2a x c=分别交于A,B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若6090AFB ︒<∠<︒, 则该双曲线的离心率的取值X 围是( )A ．(1,2)B ．(2,2)C ．(1,2)D ．(2,)+∞11.函数()f x 的定义域为R ，(-2)=2013f ，对任意的x R ∈，都有()2f x x '<成立，则不等式2()2009f x x <+的解集为（）A ．（-2，+∞）B. （-2,2）C.（-∞，-2）D.（-∞，+∞）12. 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，过P 作圆的切线PA,PB,切点为A,.B 使得3π=∠BPA ，则椭圆1C 的离心率的取值X 围是（）A ．23[,]22B ．1[,1)2C ．2[,1)2D ．3[,1)2 第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）。

湖北省部分重点中学(武钢三中、武汉三中、省实验中学等)2015-2016学年高二下学期期中联考数学(理)试题

高二理科数学参考答案一，选择题：13．3214．0.1 15．25 16．120 三，解答题：17．解：(1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类： ①四个点从C 1，C 2，…，C 6中取出，有C 64个四边形；②三个点从C 1，C 2，…，C 6中取出，另一个点从D 1，D 2，D 3，D 4，A ，B 中取出，有C 63C 61个四边形；③二个点从C 1，C 2，…，C 6中取出，另外二个点从D 1，D 2，D 3，D 4，A ，B 中取出，有C 62C 62个四边形．故满足条件的四边形共有N ＝C 64＋C 63C 61＋C 62C 62＝360(个)．(2)类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为C 63＋C 61C 42＋C 62C 41＝116(个)．其中含点C 1的有C 52＋C 51C 41＋C 42＝36(个)．18.解：(1)由题设，得0n C ＋14×2n C ＝2×12×1n C ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍)．在等式的两边取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝1256. (2)设第r ＋1的系数最大，则1881188111221122r r r r r r r r C C C C ⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩＋＋－－，，即11 8211129r r r r⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，－（＋），－解得r ＝2或r ＝3. 所以a i 系数最大值为7.19．解：（1）调查的500位老年人中有75位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为15%．（2）22500(5022525200)500 6.6352502507542551K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20.解：（1）由题意可知，第3组的人数为0.0651000300⨯⨯=，第4组的人数为0.0451000200⨯⨯=，第5组的人数为0.025*******⨯⨯=，第3、4、5组共有600名志愿者．所以利用分层抽样在600名志愿者中抽取12名志愿者，每组抽取的人数为：第3组：123006600⨯=；第4组：122004600⨯=；第5组：121002600⨯=．所以第3、4、5组分别抽取6人、4人、2人．（2）从12名志愿者中抽取3名共有312220C =种可能，第4组至少有一位志愿者被抽中有33128164C C -=种可能，所以第4组至少有一位志愿者被抽中的概率为1644122055P ==．（3）ξ的可能取值为0,1,2,3，()03663122022ξC C P C ===，()12663129122ξC C P C ===， ()21663129222ξC C P C ===，()30663122322ξC C P C ===，所以ξ的分布列为：ξ的期望为：()29920123 1.522222222ξE =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21.（1）甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率为2233331117()()(1)()33327P A C C =⨯⨯-+⨯=4分（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为2412A =种，所以所求的概率为331113()12()()22232P B =⨯⨯⨯=. （3）由题意ξ的取值为0，1，2，3，400202221111(0)()(1)()3329P C C ξ==⨯⨯-⨯⨯= 111020021222221111111(1)()(1)()()(1)()3323323P C C C C ξ==⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯= 22002111120022222222211111111113(2)()(1)()()(1)()()(1)()33233233236P C C C C C C ξ==-+-+-= 220121112222221111111(3)()(1)()()(1)()3323326P C C C C ξ==⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯= 22022221111(4)()(1)()33236P C C ξ==⨯⨯-⨯⨯= 9分故ξ的分布列为0123493366363E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 12分. 22.解：（1）22222(,0),(3)41220022p p F PF p p =-+=-+=由得，所以2,p =或10.p =若10.p =则220,y x =此时点p 在抛物线内，舍去。

湖北省枣阳市2015-2016学年高二数学下册3月月考试题2

湖北省枣阳市第一中学2015-2016学年度下学期高二年级3月月考数学（理科）试题本试卷两大题22个小题，满分150分，考试时间120分钟★ 祝考试顺利 ★第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（）A ．4B ．C ．8D ．与m 有关 2．抛物线21y x m =的焦点坐标为（） .A ．⎪⎭⎫⎝⎛0,41m B ． 10,4m ⎛⎫⎪⎝⎭ C ． ,04m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．0,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．F 1、F 2是双曲线116922=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∣P F 1∣·∣P F 2∣=32，则∠F 1PF 2是（）钝角（B ）直角（C ）锐角（D ）以上都有可能4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若||5PF =，则双曲线的渐近线方程为( )A.y = B ．y x = C. y =D ．2y x =±5．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（） A ． B ． C ．D ．6．下列说法中错误的个数为 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④=与a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件. （）A 、2B 、3C 、4D 、5 7．给出下列命题： ①已知椭圆221168x y +=两焦点12,F F ，则椭圆上存在六个不同点M ，使得△12F MF 为直角三角形；②已知直线l 过抛物线22y x =的焦点，且与这条抛物线交于,A B 两点，则AB 的最小值为2； ③若过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为,M O 为坐标原点，则OM a =；④根据气象记录，知道荆门和襄阳两地一年中雨天所占的概率分别为20％和18％，两地同时下雨的概率为12％，则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率是60％.其中正确命题的序号是( )A ．①③④B ．①②③C ．③④D ．①②④8．已知双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的左、右焦点分别为12F F ，，点P在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（）A ．43B ．53C ．2D ．739．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为（） A ．35 B ．32 C ．22D ．9510．已知P 是双曲线2213x y -=上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则PA PB ⋅的值是（） A ．38- B ．316 C．8- D ．不能确定 11．在双曲线22221x y a b -= （a ＞0，b ＞0）中，222c a b =+，直线2a x c=-与双曲线的两条渐近线交于A ，B 两点，且左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（）[来源:学科网]A ．（0，2）B ．（1，2）C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛122， D ．（2，＋∞） 12．已知抛物线)0(42>=p py x 的焦点为F ，直线2+=x y 与该抛物线交于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若251)(p --=⋅++∙，则p 的值为（）（A ）41 （B ）21 （C ）1 （D ）2第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分） 13．设O 为原点，P 是抛物线24x y =上一点，F 为焦点， 5PF =，则OP = ．14．抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离=______．15．设P 是双曲线116922=-y x 上一点，M ，N 分别是两圆：4)5(22=+-y x 和1)5(22=++y x 上的点，则||||PN PM -的最大值为____________．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设B A ,为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，则弦AB 中点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线192522=-y x 与椭圆13522=+y x 有相同的焦点．其中真命题的序号为__________．（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6个小题，满分70分17．已知p: 1|1|23x --≤,q: 22210(0)x x m m -+-≤>,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的一个焦点，并于双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为)6,23(，求抛物线的方程和双曲线的方程。

湖北省部分重点中学(武钢三中、武汉三中、省实验中学等)2015-2016学年高二数学下学期期中联考试题文(扫

湖北省部分重点中学（武钢三中、武汉三中、省实验中学等）2015-2016学年高二数学下学期期中联考试题文（扫描版）湖北省部分重点中学2015--2016学年度下学期期中联考高二文科数学参考答案一、选择题1 C2 B3 B4 B5 A6 C7 B8 A9 C 10 A 11 B12 B二、填空题13． 14． 15．（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．16．三、解答题17. 试题解析：（1）的定义域是当时在上递减；当时在上递增，的极小值是，无极大值．（2）恒成立对，在上递增，18. 解：（Ⅰ）两数和的各种情况如下表所示：（Ⅱ）该游戏方案是公平的；因为由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以甲班代表获胜的概率P1==，乙班代表获胜的概率P2==，即P1=P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．19.试题解析：由题意可得关于商品和服务评价的列联表：，可以在犯错误概率不超过0．1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，令好评的交易为，，，不满意的交易为，，从5次交易中，取出2次的所有取法为，，，，，，，，，，共计10种情况，其中只有一次好评的情况是，，，，，，共计6种，因此，只有一次好评的概率为20.试题解析：把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、A B3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个1．事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，P（E）=1/20=0．052．事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，P（F）=9/20=0．453．事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P（G）=2/20=0．1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次．则一天可赚，每月可赚1200元．21.试题解析：（1）由已知，．故曲线在处切线的斜率为（2）．①当时，由于，故，所以，的单调递增区间为．②当时，由，得．在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（3）由已知，转化为由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意．（或者举出反例：存在，故不符合题意．）当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，所以，解得．22.试题解析：（1）设在处的切线方程为，因为，所以，故切线方程为.当时，，将（1,6）代入，得.（2），由题意得方程有唯一解，即方程有唯一解.令，则，所以在区间上是增函数，在区间上是减函数.又.故实数的取值范围是.（3），所以.因为存在极值，所以在上有限，即方程在上有限，则有.显然当时，无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正跟.记方程的两根，则，，解得，满足，又，即，故所求的取值范围是.。

湖北省枣阳市第一中学2015-2016学年高二数学5月月考试题文

湖北省枣阳市第一中学高二年级2015-2016学年度下学期五月月考数学（文科）试题时间：120分钟分值150分_ 第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．下列判断错误的是（） A ．“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件 B ．命题“32,10x R x x ∀∈--≤”的否定是“32,10x R x x ∃∈-->” C ．“若1a =，则直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直”的逆否命题 D ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题2．已知:p m R ∀∈，210x mx --=有解，0:q x N ∃∈，200210x x --≤则下列选项中是假命题的为（） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧ C ． p q ∨ D ．()p q ⌝∨3．已知a ∈R ，则“a＞2”是“a 2＞2a”成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．4．如果函数f （x ）=2x 2﹣4（1﹣a ）x+1在区间[3，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣2] B ．[﹣2，+∞） C ．（﹣∞，4] D ．[4，+∞）5．抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则的最小值为（）A ．B ．C ． 1D ．6．如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则该椭圆的离心率为（）A ．14B ．12C D7．已知直线1)y x =-与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，点(1,)M m -，若0⋅=MA MB ，则m =（）A B C ．12D ．0 8．已知函数f （x ）=﹣lnx+x+h ，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣1） B ．（﹣∞，e ﹣3） C ．（﹣1，+∞） D ．（e ﹣3，+∞）AC BC AB ,,的中点分别为Q N M ,,，且Q N M ,,的纵坐标分别为321,,y y y .若直线AC BC AB ,,的斜率之和为1-，则321111y y y ++的值为（）A ．p 21-B ．p 1-C ．p 1D ．p 2110．函数]),[()(cos ππ-∈=x xe x f x 的图象大致是（）11．正项等比数列{}n a 中的 1a ，4031a 是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点，则2016a =（）A ．1-B ．1 CD ．212．已知双曲线C ：﹣=1，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点且=3，则双曲线离心率的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．2二、填空题（20）13．曲线C ：y=xlnx 在点M （e ，e ）处的切线方程为．14．已知函数y=f （x ）是定义在R 上的单调递增函数，且1是它的零点，若f （x 2+3x ﹣3）＜0，则实数x 的取值范围为． 15．若双曲线的实轴长是离心率的2倍，则m= ．16．已知不等式组的解集是不等式2x 2﹣9x+a ＜0的解集的子集，则实数a 的取值范围是．三、解答题（70）17．设a ，b ∈R ，函数f （x ）=ax 2+lnx+b 的图象在点（1，f （1））处的切线方程为4x+4y+1=0．（1）求函数f （x ）的最大值；（2）证明：f （x ）＜x 3﹣2x 2．18．已知函数，g （x ）=x+lnx ，其中a ＞0．（1）若x=1是函数h （x ）=f （x ）+g （x ）的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的x 1，x 2∈[1，e]（e 为自然对数的底数）都有f （x 1）≥g（x 2）成立，求实数a 的取值范围．19．已知函数21()2f x x x=+，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意∈k R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.20．在平面直角坐标系中，已知椭圆11224:22=+y x C ，设点()00,y x R 是椭圆C 上一点，从原点O 向圆()()8:2020=-+-y y x x R 作两条切线，切点分别为Q P ,．(1) 若直线OQ OP ,互相垂直，且点R 在第一象限内，求点R 的坐标； (2) 若直线OQ OP ,的斜率都存在，并记为21,k k ，求证：01221=+k k21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(A ，，点12,F F 分别为其左右焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 面积的最小值．22．已知f （x ）=|2x ﹣1|+ax ﹣5（a 是常数，a ∈R ）（Ⅰ）当a=1时求不等式f （x ）≥0的解集．（Ⅱ）如果函数y=f （x ）恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．答案DBABD DBDBB BC13. y=2x﹣e 14. （﹣4，1） 15.16. （﹣∞，9]17【答案】（1）32ln24+-（2）证明见解析解：（1）∵，由在点（1，f（1））处的切线方程为4x+4y+1=0，∴解得，∴．，令f'（x）=0，得，令f′（x）＞0，得，此时f（x）单调递增；令f′（x）＜0，得，此时f（x）单调递减．∴．（2）证明：设，，令h′（x）=0，得x=1，令h′（x）＞0，得0＜x＜1，此时h（x）单调递增；令h′（x）＜0，得x＞1，此时h（x）单调递减．∴，∴h（x）＜0．从而f（x）＜x3﹣2x2．18. 【答案】（1）（2）解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x ∈[1，e]，a ＞0．①当0＜a ＜1且x ∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a 2≥e+1，得a≥，又0＜a ＜1，∴a 不合题意；②当1≤a≤e 时，若1≤x＜a ，则，若a ＜x≤e，则．∴函数在[1，a ）上是减函数，在（a ，e]上是增函数．∴[f （x ）]min =f （a ）=2a ．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a ＞e 且x ∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a ＞e ，∴a ＞e ；综上所述：a 的取值范围为．19. 【答案】（Ⅰ）函数21()2f x x x =+有极小值3，无极大值（Ⅱ）（Ⅲ）见解析试题解析：函数()f x 定义域为{|0}x x ≠，求导，得32()2f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值．（Ⅱ）证明：假设存在某个∈k R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切，设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x '=-，所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ，所以002300122(2)1x x x x +=--，即2031x =-，此方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意∈k R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线.（Ⅲ）解：“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x +=-的根的个数”.由方程2121x kx x +=-，得3112k x x =++. 令1t x =，则32k t t =++，其中∈t R ，且0t ≠.考察函数3()2h t t t =++，其中∈t R ，因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()∈h t R .而方程32k t t =++中， ∈t R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点.考点：导数的单调性与导数及导数的几何意义. 20. 【答案】（1），（2）证明见解析【解析】试题分析：(1)由题意易得可得四边形OPRQ 为正方形，求出42==r OR ，又()00,y x R 在椭圆C 上，及R 在第一象限，可解得00,x y 的值；(2)由直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x 均与圆R 相切，圆心到直线的距离等于半径可得k 1、k 2是方程082)8(2000220=-+--y k y x k x 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可得88202021--=x y k k ，又因为()00,y x R 在椭圆C 上，可得20202112x y -=，从而21821420221-=--=x x k k ，即2k 1k 2+1=0，得证．试题解析：(1)由题意得：圆R 的半径为22，因为直线OQ OP ,互相垂直，且与圆R 相切，所以四边形OPRQ 为正方形，故42==r OR ，即162020=+y x ① 又()00,y x R 在椭圆C 上，所以11224:2020=+y x C ②由①②及R 在第一象限，解得2200==y x ,(2)证明：因为直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x 均与圆R 相切，所以221||21001=+-k y x k ，化简得082)8(201002120=-+--y k y x k x 同理有082)8(202002220=-+--y k y x k x所以k 1、k 2是方程082)8(200022=-+--y k y x k x 的两个不相等的实数根，所以88202021--=x y k k ，又因为()00,y x R 在椭圆C 上，所以11224:2020=+y x C ，即20202112x y -=，所以218214202021-=--=x x k k ，即2k 1k 2+1=0．21. 【答案】(1) 2212x y +=;(2) .【解析】试题分析：(1)由离心率e =,,a b c 的关系可得,b c a ==，再将点(A 代入椭圆方程求出c ，即可求出椭圆的标准方程；(2)先讨论直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得4,MN PQ S ===，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠与抛物线方程联立由弦长公式得244MN k =+，设直线PQ 的方程为：1(1)y x k=--与椭圆方程联立，由弦，从而可求出四边形PMQN 的面积S ，换元利用函数的单调性求得S >.试题解析：（1）由题意得：222c e a b c a ==-=，得,b c a ==，因为椭圆过点(A ，则221112c c +=，解得1c =，所以a =，所以椭圆C 方程为：2212x y +=（2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得4,MN PQ S ===当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠ 与24y x =联立得2222(24)0k x k x k -++=，令1122(,),(,)M x y N x y ，则1212242,1+=+⋅=x x x x k，244k =+ ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为：1(1)y x k=--，将直线与椭圆联立得，222(2)4220k x x k +-+-=，令23344341222422(,),(,),,22-+=⋅=++k P x y Q x y x x x x k k ，=∴四边形PMQN 的面积S令21(1)t k t =+>，上式21)1S t ===+>-所以S ≥考点：1.椭圆的标准方程及几何意义；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.【名师点睛】本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线的斜率和两条直线的位置关系，属于中档题．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单，解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误. 22. 【答案】（Ⅰ）x≤﹣4（Ⅱ）（﹣2，2）．【解析】试题分析：（Ⅰ）(1)理解绝对值的几何意义，x 表示的是数轴的上点x 到原点的距离, (2) x 分类讨论，分11,22x x <≥三部分进行讨论；求得不等式f(x)的解集；（Ⅱ）由f （x ）=0得|2x ﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x ﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察函数的图像，当a 满足什么条件是两函数图像有两个不同的交点，即函数y=f （x ）有两个不同的零点．从而得到 a 的取值范围.试题解析：①当a=1时，f （x ）=|2x ﹣1|+x ﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f （x ）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}． ②由f （x ）=0得|2x ﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x ﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a ＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f （x ）有两个不同的零点．故a 的取值范围是（﹣2，2）．考点：绝对值不等式及函数的零点.30．已知函数21()ln(1)2f x x ax x =--+，其中a R ∈．（提示：[]1ln(1)1x x '+=+）（1）若2x =是()f x 的极值点，求a 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．【答案】(1) 13a =;(2) 当0a ≤时，()f x 的增区间是 (0,)+∞，减区间是(1,0)-；当01a <<时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是(1,0)-和1(1,)a-+∞；当1a =时，()f x 的减区间是(1,)-+∞；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；，减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞ ;(3) [)1,+∞.【解析】试题分析：(1)求函数()f x 的导数()f x '，由(2)0f '=求出a 即可；(2) 求函数()f x 的导数()f x '，由0a =，01a << ，1a = ，1a >，0a <分别讨论()f x '的正负，即可求出其相应的单调区间；(3)由（2）可知，0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，由(0)0f =，知不合题意，再分01a <<与1a ≥讨论，由max ()0f x ≤求之即可. 试题解析：（1）(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+．依题意，令(2)0f '=，解得13a =．经检验，13a =时，符合题意（2）①当0a =时，()1xf x x '=+，故()f x 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是(1,0)-．②当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-．当01a <<时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a -；单调减区间是(1,0)-和1(1,)a-+∞ 当1a =时，()f x 的单调减区间是(1,)-+∞．当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a -；单调减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞． ③当0a <时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是(1,0)- ．综上，当0a ≤时，()f x 的增区间是 (0,)+∞，减区间是(1,0)-；当01a <<时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是(1,0)-和1(1,)a-+∞；当1a =时，()f x 的减区间是(1,)-+∞；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；，减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞（3）由（2）知0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，由(0)0f =，知不合题意．当01a <<时，()f x 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-．由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意．当1a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递减．可得()f x 在[)0,+∞上的最大值是(0)0f =，符合题意，所以，()f x 在[)0,+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[)1,+∞考点：1.导数与函数的单调性；2.导数与函数的极值. 31．已知函数，a ∈R ．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）如果当x ＞0，且x≠1时，恒成立，求实数a 的范围．【答案】（Ⅰ）（，a ﹣1+）．（Ⅱ）（﹣∞，2]．【解析】试题分析：（Ⅰ）先求了函数f （x ）的定义域和导数，构造函数g （x ）=x 2+2（1﹣a ）x+1，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出函数f （x ）的单调区间．（Ⅱ）“当x ＞0，且x≠1时，恒成立”，等价于“当x ＞0，且x≠1时，恒成立”，构造函数h （x ）=f （x ）﹣a ，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）．设g （x ）=x 2+2（1﹣a ）x+1，△=4a （a ﹣2）①当a≤0时，函数y=g （x ）的对称轴为x=a ﹣1，所以当x ＞0时，有g （x ）＞g （0）＞0，②当0＜a≤2时，由△=4a（a﹣2）≤0，得g（x）=x2+2（1﹣a）x+1≥0，所以f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，③当a＞2时，令g（x）=0得，令f′（x）＞0，解得0＜x＜x1或；令f′（x）＜0，解得x1＜x＜x2所以f（x）的单调递增区间（0，）和（，+∞）；f（x）的单调递减区间（，a﹣1+）．（Ⅱ）“当x＞0，且x≠1时，恒成立”，等价于“当x＞0，且x≠1时，（※）恒成立”，设h（x）=f（x）﹣a，由（Ⅰ）知：①当a≤2时，h（x）在（0，+∞）上是增函数，当x∈（0，1）时，h（x）＜h（1）=0，所以；当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，所以；所以，当a≤2时，※式成立．②当a＞2时，h（x）在（x1，1）是减函数，所以h（x）＞h（1）=0，※式不恒成立．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．32．如图，⊙O的半径为r，MN切⊙O于点A，弦BC交OA于点Q，BP⊥BC，交MN于点P（Ⅰ）求证：PQ∥AC；（Ⅱ）若AQ=a，AC=b，求PQ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）连结AB，推导出OA⊥MN，BP⊥BC，从而B、P、A、Q四点共圆，由此能证明PQ∥AC．（Ⅱ）过点A作直径AE，连结CE，则△ECA为直角三角形．推导出Rt△PAQ∽Rt△ECA，由此能求出PQ．证明：（Ⅰ）如图，连结AB．∵MN切⊙O于点A，∴OA⊥MN．又∵BP⊥BC，∴B、P、A、Q四点共圆，所以∠QPA=∠ABC．又∵∠CAN=∠ABC，∴∠CAN=∠QPA．∴PQ∥AC．解：（Ⅱ）过点A作直径AE，连结CE，则△ECA为直角三角形．∵∠CAN=∠E，∠CAN=∠QPA，∴∠E=∠QPA．∴Rt△PAQ∽Rt△ECA，∴=，故AQ EA PQCA⋅==考点：与圆有关的比例线段．33．已知f （x ）=|x ﹣a|+|2x ﹣a|，a ＜0．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小值；（Ⅱ）若不等式的解集非空，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（﹣1，0）．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，分段讨论f （x ）的解析式，可得，作出其图象，分析可得其最小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，分析可得要使不等式的解集非空，必须﹣＜，解可得a 的取值范围，即可得答案．解：（Ⅰ），函数的图象为；从图中可知，函数f （x ）的最小值为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f （x ）的最小值为，要使不等式的解集非空，必须﹣＜，即a＞﹣1．∴a 的取值范围是（﹣1，0）．考点：分段函数的应用；绝对值不等式的解法．34．设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，定义椭圆C 的“相关圆”方程为222222ba b a y x +=+.若抛物线x y 42=的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形. （1）求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；（2）过“相关圆”E 上任意一点P 作相关圆”E 的切线l 与椭圆C 交于B A ,两点，O 为坐标原点.若OB OA ⊥，证明原点O 到直线AB 的距离是定值，并求m 的取值范围.【答案】（1）椭圆C 的方程为1222=+y x ，“相关圆”E 的方程为3222=+y x ；(2) 36≥m 或36-≤m .【解析】试题分析：（1）抛物线焦点为()1,0，故1=c ，椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，即1b c ==，从而求出椭圆方程与相关圆方程；（2）设出直线l 的斜截式方程，联立直线的方程和椭圆的方程求出,A B 两点横坐标的韦达定理表达式，利用OB OA ⊥得到一个关系式022322=--k m ，利用直线和圆相切得到另一个关系式22211k m kmd +=+=，由着两个关系式得出m 的取值范围. 试题解析：（1）因为抛物线x y 42=的焦点为)0,1(与椭圆C 的一个焦点重合，所以1=c . 又因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以1==c b ，故椭圆C 的方程为1222=+y x ，“相关圆”E 的方程为3222=+y x . （2）设),,(),,(2211y x B y x A联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x m kx y 得2)(222=++m kx x ，即0224)21(222=-+++m kmx x k ， 0)12(8)22)(21(416222222>+--=-+-=∆m k m k m k ，即)(01222*>+-m k ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22212212122214k m x x k km x x ∴2222222222221212212121221421)22()())((kk m m k m k k m k m x x km x x k m kx m kx y y +-=++-+-=+++=++= 由条件OB OA ⊥得022322=--k m ，所以原点O 到直线l 的距离是22211k m km d +=+=，由022322=--k m 得36=d 为定值.此时要满足0>∆，即01222>+-m k ，又022322≥-=m k ，即⎩⎨⎧≥>231222m m ，所以322≥m ，即36≥m 或36-≤m .考点：1、直线和椭圆的位置关系；2、直线和圆的位置关系；3、抛物线的概念.【思路点晴】第一问是基本的抛物线定义和椭圆基本量分析.一个抛物线方程给出来，可以求出焦点和准线，相应的性质也可以知道；椭圆的短轴端点和焦点所对应的,,b c a 的关系，易得椭圆的方程；第二问有两个关键点，一个是直线和圆相切，转化为圆心到直线的距离等于半径，另一个关键点是直线和椭圆相交得到,A B ，OB OA ⊥，根据这两点，设出直线方程，列出方程组来求解.最后注意直线和椭圆相交，判别式要大于零.35．设函数)(ln )(2x x b ax x f -+=，x b x x g )1(21)(2-+-=.已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线01=+-y x 垂直. （1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的极值点；（3）若对于任意),1(+∞∈b ，总存在],1[,21b x x ∈，使得m x g x g x f x f +->--)()(1)()(2121成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）21-=a ；（2）证明见解析；（3）1-≤m .【解析】试题分析：（1）曲线的切线和某直线垂直，转化为导数值与直线斜率乘积等于1-，第一问容易解决；（2）求出()'fx 后通分，对分子进行分类讨论，从而求出函数()f x 的单调区间；（3）构造函数],1[),()()(b x x g x f x F ∈-=，存在性问题，转化为1)()(min max +>-m x F x F 来解决.试题解析：（1）)11(2)(-+='x b ax x f ，所以12)1(-=='=a f k ，所以21-=a .（2）)(ln 21)(2x x b x x f -+-=，其定义域为),0(+∞，xbbx x x b x x f +--=-+-='2)11()(，令),0(,)(2+∞∈+--=x b bx x x h ，b b 42+=∆，①当04≤≤-b 时，042≤+=∆b b ，有0)(≤x h ，即0)(≤'x f ，所以)(x f 在区间),0(+∞上单调递减，故)(x f 在区间),0(+∞无极值点.②当4-<b 时，0>∆，令0)(=x h ，有24,242221bb b x b b b x ++-=+--=，012>>x x ，当),0(1x x ∈时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),0(1x 上递减；当),(21x x x ∈时，0)(>x h ，即0)(>'x f ，得)(x f 在),(21x x 上递增；当),(2+∞∈x x 时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),(2+∞x 上递减，此时)(x f 有一个极小值点242bb b +--和一个极大值点242bb b ++-.③当0>b 时，0>∆，令0)(=x h ，有024,0242221>++-=<+--=bb b x b b b x ，当),0(2x x ∈时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),0(2x 上递增；当),(2+∞∈x x 时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),(2+∞x 上递减，此时)(x f 有唯一的极大值点242bb b ++-.综上可知，当4-<b 时，函数)(x f 有一个极小值点242b b b +--和一个极大值点242bb b ++-；当04≤≤-b 时，函数)(x f 在),0(+∞无极值点；当0>b 时，函数)(x f 有唯一的极大值点242bb b ++-，无极小值点.（3）令],1[),()()(b x x g x f x F ∈-=，则x x b x b x x x b x x F -=-+---+-=ln ])1(21[)(ln 21)(22，若总存在],1[,21b x x ∈，使得m x g x g x f x f +->--)()(1)()(2121成立，即总存在],1[,21b x x ∈，使得1)()()()(2211++->-m x g x f x g x f 成立，即总存在],1[,21b x x ∈，使得1)()(21+>-m x F x F 成立，即1)()(min max +>-m x F x F ，xxb x b x F -=-='1)(，因为],1[b x ∈，所以0)(≥'x F ，即)(x F 在],1[b 上单调递增，所以1ln )1()()()(min max +-=-=-b b b F b F x F x F ，即11ln +>+-m b b b 对任意),1(+∞∈b 成立，即m b b b >-ln 对任意),1(+∞∈b 成立，构造函数),1[,ln )(+∞∈-=b b b b b t ，b b t ln )(='，当),1[+∞∈b 时，0)(≥'b t ，∴)(b t 在),1[+∞上单调递增，∴对于任意),1[+∞∈b ，1)1()(-=>t b t ，所以1-≤m . 考点：1、函数与导数；2、分类讨论的数学思想.【思路点晴】第一问切线和另一条直线垂直，转化为斜率乘积等于1-，这种形式的问法高考中出现频率很高；第二问对()f x 求导后通分，对分子),0(,)(2+∞∈+--=x b bx x x h 的分类讨论是本题的难点.对于二次函数分类的标准，由于题目只需要考虑零点个数，所以这里用的是判别式来制定分类标准，有的题目需要对二次项系数进行分类，有的需要对对称轴或者区间进行分类；第三问是一个存在性问题，构造函数，转化为最值问题来解决.36．已知椭圆M ：2221(0)3+=>x ya a 的一个焦点为(1,0)-F ，左右顶点分别为A ，B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点.（1）求椭圆方程；（2）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2. 【解析】试题分析：（1）根据条件焦点坐标(1,0)F -以及222a b c =+即可求解；（2）对直线l 是否存在分类讨论，建立12||S S -关于斜率k 的函数关系式，从而求解.试题解析：（1）∵(1,0)F -为椭圆的焦点，∴1c =，又∵23b =，∴2224a b c =+=，∴椭圆方程为22143x y +=；（2）当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =-，此时3(1,)2D -，3(1,)2C --，ABD ∆，ABC ∆面积相等，12||0S S -=，当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设11(,)C x y ，22(,)D x y ，和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=，显然0∆>，方程有根，且2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-=+，此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k=++=+， ∵0k ≠，上式1234||||=≤==+k k ，（k =时等号成立），∴12||S S -考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的最值问题． 37．已知函数()sin xf x e x =，其中x R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[0,]2x π∈时，()f x kx ≥，求实数k 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间：3(2,2)44k k ππππ-+，单调递减区间：37(2,2)44k k ππππ++，k Z ∈；（2）(,1]-∞.【解析】试题分析：（1）求导，对导函数三角恒等变形后根据导函数的取值情况即可求解；（2）将原问题变形，可知其等价于()0f x kx -≥，求导，对k 的取值进行分类讨论判断函数()f x kx -的单调性，从而求解.试题解析：（1）'()sin cos (sin cos )x x x f x e x e x e x x =+=+，令sin cos 2sin()4y x x x π=+=+，当3(2,2)44x k k ππππ∈-+，'()0f x >，()f x 单增，37(2,2)44x k k ππππ∈++，'()0f x <，()f x 单减；（2）令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，即()0g x ≥恒成立，而'()(sin cos )xg x e x x k =+-，令()(sin cos )'()(sin cos )(cos sin )2cos xx x x h x e x x h x e x x e x x e x =+⇒=++-=，∵[0,]2x π∈，'()0()h x h x ≥⇒在[0,]2π上单调递增，21()h x e π≤≤，当1k ≤时，'()0g x ≥，()g x 在[0,]2π上单调递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意；当2k e π≥时，'()0()g x g x ≤⇒在[0,]2π上单调递减，()(0)0g x g ≤=，与题意不合；当21k e π<<时， '()g x 为一个单调递增的函数，而'(0)10g k =-<，2'()02g e k ππ=->，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得0'()0g x =，当0[0,)x x ∈时，'()0g x ≤，从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合，综上所述：k 的取值范围为(,1]-∞.考点：1.导数的运用；2.分类讨论的数学思想．38．如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点M ，BAC ∠的平分线分别交圆O 和BC 于点D ，E ，若5152MA MB ==.（1）求证：52AC AB =；（2）求AE ×DE 的值. 【答案】（1）详见解析；（2）4052. 【解析】试题分析：（1）利用条件证明ABM CAM ∆∆，再利用相似三角形的性质即可得证；（2）利用条件首先求得CE ，BE 的长度，再利用相交弦定理即可求解. 试题解析：（1）∵AM 是圆O 的切线，∴MAB ACB ∠=∠，且M ∠是公共角，∴ABMCAM ∆∆，∴52AC AM AB MB ==，∴52AC AB =；（2）由切割线定理得2MA MB MC =⋅，∴75=2MC ，又∵6MB =，∴63=2BC ，又∵AD 是BAC ∠的角平分线，∴52AC CE AB BE ==，∴52CE BE =，∴452CE =，9BE =，∴由相交弦定理得45405922AE DE CE BE ⋅=⋅=⋅=. 考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质；3.圆中的比例线段． 39．已知直线l 的参数方程为431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M 所得弦长为3，求实数a 的值. 【答案】（1）22(3)1x y +-=；（2）376a =或92a =. 【解析】试题分析：（1）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程化为普通方程，结合（1）中所得的圆的方程，再利用点到直线距离公式即可求解.试题解析：（1）∵2222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-⇒=-⇒+-=，∴圆M 的直角坐标方程为22(3)1x y +-=；（2）把直线l 的参数方程431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)化为普通方程得：34340x y a +-+=，∵直线l 截圆M 所得弦长为3，且圆M 的圆心(0,3)M 到直线l 的距离22|163|3191()5222a d a -==-=⇒=或376a =，∴376a =或92a =. 考点：1.导数的运用；2.分类讨论的数学思想． 40．已知不等式|2||2|18x x ++-<的解集为A ．（1）求集合A ；（2）若a ∀，b A ∈，(0,)x ∈+∞，不等式4a b x m x+<++ 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(9,9)A =-；（2）14m ≥. 【解析】试题分析：（1）对x 的取值情况分类讨论将绝对值号去掉，即可求解；（2）根据（1）中求得的A ，再结合问题，可知其等价于min 4()a b x m x+<++，再利用基本不等式求最值即可. 试题解析：（1）若|2||2|18x x ++-<，则2(2)(2)18x x x <-⎧⎨-+--<⎩或22(2)(2)18x x x -≤≤⎧⎨+--<⎩或2(2)(2)18x x x >⎧⎨++-<⎩，解得99x -≤≤，∴(9,9)A =-；（2）∵a ∀，b A a ∈⇒∀，(9,9)b ∈-， ∴(18,18)a b +∈-，∵442x m x m x x ++≥⋅+，∴min 4()4x m m x++=+，由题可知，418m +≥，∴14m ≥.考点：1.绝对值不等式；2.基本不等式求最值；3.恒成立问题；4.分类讨论的数学思想． 41．已知椭圆的离心率为，直线l ：y=x+2与以原点O 为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O 相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 与直线y=kx （k ＞0）在第一象限的交点为A ． ①设，且OA OB=6⋅，求k 的值；②若A 与D 关于x 的轴对称，求△AOD 的面积的最大值．【答案】（1）（226【解析】试题分析：（1）求得圆O 的方程，运用直线和相切的条件：d=r ，求得b ，再由离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，进而得到椭圆方程；（2）设出A 的坐标，代入椭圆方程，求得交点A 的坐标，①运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值；②由三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到所求最大值．解：（1）由题设可知，圆O 的方程为x 2+y 2=b 2，因为直线l ：x ﹣y+2=0与圆O 相切，故有，所以．因为，所以有a 2=3c 2=3（a 2﹣b 2），即a 2=3．所以椭圆C 的方程为．（2）设点A （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0），则y 0=kx 0．由解得，①∵22266K OA OB=623K23K⨯⋅+=++，∴（k=0舍去）．②∵，（当且仅当时取等号），∴S △AOD 的最大值为．考点：椭圆的简单性质．42．已知f （x ）=|x ﹣1|+|2x+3|．（1）若f （x ）≥m 对一切x ∈R 都成立，求实数m 的取值范围；（2）解不等式f （x ）≤4．【答案】（1）m≤（2）[﹣2，0]【解析】试题分析：（1）通过讨论x 的范围，求出f （x ）的最小值，从而求出m 的范围即可；（2）求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．解：（1）f （x ）=|x ﹣1|+|2x+3|，x≥1时，f （x ）=x ﹣1+2x+3=3x+2，f （x ）≥5，﹣＜x ＜1时，f （x ）=﹣x+1+2x+3=x+4，＜f （x ）＜5， x≤﹣时，f （x ）=﹣x+1﹣2x ﹣3=﹣3x ﹣2≥，若f （x ）≥m 对一切x ∈R 都成立，只需m≤即可；（2）x≥1时，f （x ）=x ﹣1+2x+3=3x+2≤4，解得：x≤，无解，﹣＜x ＜1时，f （x ）=﹣x+1+2x+3=x+4≤4，解得：x≤0， x≤﹣时，f （x ）=﹣x+1﹣2x ﹣3=﹣3x ﹣2≤4，解得：x≥﹣2，故不等式的解集是：[﹣2，0]．考点：绝对值不等式的解法．43．如图，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠PAB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连结CB ，并延长与直线PQ 相交于点Q ，若AQ=6，AC=5．（Ⅰ）求证：QC2﹣QA2=BC⋅QC；（Ⅱ）求弦AB的长．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）103 AB=【解析】试题分析：（Ⅰ）由于PQ与⊙O相切于点A，再由切割线定理得：QA2=QB⋅QC=（QC﹣BC）⋅QC=QC2﹣BC⋅QC 从而命题得到证明（Ⅱ）解：PQ与⊙O相切于点A，由弦切角等于所对弧的圆周角∠PAC=∠CBA，又由已知∠PAC=∠BAC，所以∠BAC=∠CBA，从而AC=BC=5，又知AQ=6，由（Ⅰ）可得△QAB∽△QCA，由对应边成比例，求出AB的值．试题解析：（Ⅰ）证明：∵PQ与⊙O相切于点A，∴由切割线定理得：QA2=QB⋅QC=（QC﹣BC）⋅QC=QC2﹣BC⋅QC．∴QC2﹣QA2=BC⋅QC．（Ⅱ）解：∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5又知AQ=6，由（Ⅰ）可知QA2=QB⋅QC=（QC﹣BC）⋅QC，∴QC=9由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，∴AB QAAC QC=，∴103AB=．考点：切割线定理及三角形相似.【方法点睛】（1）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角；（2）判断三角形相似：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.44．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【答案】（1）（2）2【解析】试题分析：（1）由题意可得直线l的参数方程为，化简可得结果．（2）圆C的参数方程化为普通方程，把直线的参数方程代入 x2+y2=4化简，利用根与系数的关系求得t1×t2的值，即可得到点P到A，B 两点的距离之积为2．解：（1）直线l的参数方程为，即（2）圆C的参数方程化为普通方程为x2+y2=4，把直线代入 x2+y2=4，可得，∴，t1×t2=﹣2，则点P到A，B 两点的距离之积为2考点：直线的参数方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．45．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=a2，直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0，（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ把圆C的极坐标方程，由消元法把直线l的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）根据直线l与圆C有公共点的几何条件，建立关于a的不等式关系，解之即可．解：（Ⅰ）由得，，则，∴直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0，由ρ=2acosθ得，ρ2=2aρcosθ又∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x∴圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=a2，（Ⅱ）∵直线l与圆C恒有公共点，∴，两边平方得9a2﹣40a﹣25≥0，∴（9a+5）（a﹣5）≥0∴a的取值范围是．考点：参数方程化成普通方程．46．已知：如图，BC是半圆O的直径，D，E是半圆O上两点，，CE的延长线与BD的延长线交于点A．（1）求证：AE=DE；（2）若，求CD．【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】试题分析：（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得到∠A=∠ADE，再根据等角对等边即可求得结论．（2）连接BE，根据等腰三角形，以及直角三角形，推出边长关系，利用射影定理求解即可．（1）证明：∵BC是半圆O直径，∴∠ADC=∠BDC=90°．∵，，∴∠EDC=∠ECD．∴∠A=∠ADE．∴AE=DE．（2）解：连接BE，∵，∴DE=EC．∴AE=EC=2 ．∵BC是半圆O直径，∴∠BEC=90°即BE⊥AC．∴BA=BC．∵Rt△BDC中，tan∠ABC=，设BD=3x，CD=4x，则BC=5x，∴AB=BC=5x，AD=2x．∵AE×AC=AD×AB，∴2 ×4 =2x×5x．解得：x=2，即CD=8．考点：与圆有关的比例线段．47．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当b=时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）当b＜时，求函数f（x）的极值点（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．【答案】（Ⅰ）函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增（Ⅱ）答案见解析（Ⅲ）证明见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）将b的值代入，求出函数的表达式、导数，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）通过讨论b的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点；（Ⅲ）将b=﹣1代入函数的表达式，求出函数f（x）的表达式，令h（x）=x3﹣f（x），求出h（x）的导数，得到ln（x+1）＞x2﹣x3，从而证出结论．解（Ⅰ）当，f（x）=x2+ln（x+1），（x＞﹣1），f′（x）=2x+=2（x+1）+﹣2≥2﹣2≥0，当且仅当x=﹣时，“=”成立，∴函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当时，解f′（x）=0得两个不同解：当b＜0时，∴x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，+∞），此时f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点当时，x1，x2∈（﹣1，+∞）f′（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）都大于0，f′（x）在（x1，x2）上小于0，此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点综上可知，时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点，b＜0，时，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点；（Ⅲ）当b=﹣1时，f（x）=x2﹣ln（x+1），。

湖北省枣阳市第一中学2015-2016学年高二数学5月月考试题文

湖北省枣阳市第一中学高二年级2015-2016学年度下学期五月月考数学（文科）试题时间：120分钟分值150分_ 第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．下列判断错误的是（） A ．“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件 B ．命题“32,10x R x x ∀∈--≤”的否定是“32,10x R x x ∃∈-->” C ．“若1a =，则直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直”的逆否命题 D ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题2．已知:p m R ∀∈，210x mx --=有解，0:q x N ∃∈，200210x x --≤则下列选项中是假命题的为（） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧ C ． p q ∨ D ．()p q ⌝∨3．已知a ∈R ，则“a＞2”是“a 2＞2a”成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．4．如果函数f （x ）=2x 2﹣4（1﹣a ）x+1在区间[3，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣2] B ．[﹣2，+∞） C ．（﹣∞，4] D ．[4，+∞）5．抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则的最小值为（）A ．B ．C ． 1D ．6．如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则该椭圆的离心率为（）A ．14B ．12C D7．已知直线1)y x =-与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，点(1,)M m -，若0⋅=MA MB ，则m =（）A B C ．12D ．0 8．已知函数f （x ）=﹣lnx+x+h ，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣1） B ．（﹣∞，e ﹣3） C ．（﹣1，+∞） D ．（e ﹣3，+∞）AC BC AB ,,的中点分别为Q N M ,,，且Q N M ,,的纵坐标分别为321,,y y y .若直线AC BC AB ,,的斜率之和为1-，则321111y y y ++的值为（）A ．p 21-B ．p 1-C ．p 1D ．p 2110．函数]),[()(cos ππ-∈=x xe x f x 的图象大致是（）11．正项等比数列{}n a 中的 1a ，4031a 是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点，则2016a =（）A ．1-B ．1 CD ．212．已知双曲线C ：﹣=1，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点且=3，则双曲线离心率的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．2二、填空题（20）13．曲线C ：y=xlnx 在点M （e ，e ）处的切线方程为．14．已知函数y=f （x ）是定义在R 上的单调递增函数，且1是它的零点，若f （x 2+3x ﹣3）＜0，则实数x 的取值范围为． 15．若双曲线的实轴长是离心率的2倍，则m= ．16．已知不等式组的解集是不等式2x 2﹣9x+a ＜0的解集的子集，则实数a 的取值范围是．三、解答题（70）17．设a ，b ∈R ，函数f （x ）=ax 2+lnx+b 的图象在点（1，f （1））处的切线方程为4x+4y+1=0．（1）求函数f （x ）的最大值；（2）证明：f （x ）＜x 3﹣2x 2．18．已知函数，g （x ）=x+lnx ，其中a ＞0．（1）若x=1是函数h （x ）=f （x ）+g （x ）的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的x 1，x 2∈[1，e]（e 为自然对数的底数）都有f （x 1）≥g（x 2）成立，求实数a 的取值范围．19．已知函数21()2f x x x=+，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意∈k R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.20．在平面直角坐标系中，已知椭圆11224:22=+y x C ，设点()00,y x R 是椭圆C 上一点，从原点O 向圆()()8:2020=-+-y y x x R 作两条切线，切点分别为Q P ,．(1) 若直线OQ OP ,互相垂直，且点R 在第一象限内，求点R 的坐标； (2) 若直线OQ OP ,的斜率都存在，并记为21,k k ，求证：01221=+k k21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(A ，，点12,F F 分别为其左右焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 面积的最小值．22．已知f （x ）=|2x ﹣1|+ax ﹣5（a 是常数，a ∈R ）（Ⅰ）当a=1时求不等式f （x ）≥0的解集．（Ⅱ）如果函数y=f （x ）恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．答案DBABD DBDBB BC13. y=2x﹣e 14. （﹣4，1） 15.16. （﹣∞，9]17【答案】（1）32ln24+-（2）证明见解析解：（1）∵，由在点（1，f（1））处的切线方程为4x+4y+1=0，∴解得，∴．，令f'（x）=0，得，令f′（x）＞0，得，此时f（x）单调递增；令f′（x）＜0，得，此时f（x）单调递减．∴．（2）证明：设，，令h′（x）=0，得x=1，令h′（x）＞0，得0＜x＜1，此时h（x）单调递增；令h′（x）＜0，得x＞1，此时h（x）单调递减．∴，∴h（x）＜0．从而f（x）＜x3﹣2x2．18. 【答案】（1）（2）解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x ∈[1，e]，a ＞0．①当0＜a ＜1且x ∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a 2≥e+1，得a≥，又0＜a ＜1，∴a 不合题意；②当1≤a≤e 时，若1≤x＜a ，则，若a ＜x≤e，则．∴函数在[1，a ）上是减函数，在（a ，e]上是增函数．∴[f （x ）]min =f （a ）=2a ．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a ＞e 且x ∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a ＞e ，∴a ＞e ；综上所述：a 的取值范围为．19. 【答案】（Ⅰ）函数21()2f x x x =+有极小值3，无极大值（Ⅱ）（Ⅲ）见解析试题解析：函数()f x 定义域为{|0}x x ≠，求导，得32()2f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值．（Ⅱ）证明：假设存在某个∈k R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切，设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x '=-，所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ，所以002300122(2)1x x x x +=--，即2031x =-，此方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意∈k R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线.（Ⅲ）解：“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x +=-的根的个数”.由方程2121x kx x +=-，得3112k x x =++. 令1t x =，则32k t t =++，其中∈t R ，且0t ≠.考察函数3()2h t t t =++，其中∈t R ，因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()∈h t R .而方程32k t t =++中， ∈t R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点.考点：导数的单调性与导数及导数的几何意义. 20. 【答案】（1），（2）证明见解析【解析】试题分析：(1)由题意易得可得四边形OPRQ 为正方形，求出42==r OR ，又()00,y x R 在椭圆C 上，及R 在第一象限，可解得00,x y 的值；(2)由直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x 均与圆R 相切，圆心到直线的距离等于半径可得k 1、k 2是方程082)8(2000220=-+--y k y x k x 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可得88202021--=x y k k ，又因为()00,y x R 在椭圆C 上，可得20202112x y -=，从而21821420221-=--=x x k k ，即2k 1k 2+1=0，得证．试题解析：(1)由题意得：圆R 的半径为22，因为直线OQ OP ,互相垂直，且与圆R 相切，所以四边形OPRQ 为正方形，故42==r OR ，即162020=+y x ① 又()00,y x R 在椭圆C 上，所以11224:2020=+y x C ②由①②及R 在第一象限，解得2200==y x ,(2)证明：因为直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x 均与圆R 相切，所以221||21001=+-k y x k ，化简得082)8(201002120=-+--y k y x k x 同理有082)8(202002220=-+--y k y x k x所以k 1、k 2是方程082)8(200022=-+--y k y x k x 的两个不相等的实数根，所以88202021--=x y k k ，又因为()00,y x R 在椭圆C 上，所以11224:2020=+y x C ，即20202112x y -=，所以218214202021-=--=x x k k ，即2k 1k 2+1=0．21. 【答案】(1) 2212x y +=;(2) .【解析】试题分析：(1)由离心率e =,,a b c 的关系可得,b c a ==，再将点(A 代入椭圆方程求出c ，即可求出椭圆的标准方程；(2)先讨论直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得4,MN PQ S ===，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠与抛物线方程联立由弦长公式得244MN k =+，设直线PQ 的方程为：1(1)y x k=--与椭圆方程联立，由弦，从而可求出四边形PMQN 的面积S ，换元利用函数的单调性求得S >.试题解析：（1）由题意得：222c e a b c a ==-=，得,b c a ==，因为椭圆过点(A ，则221112c c +=，解得1c =，所以a =，所以椭圆C 方程为：2212x y +=（2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得4,MN PQ S ===当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠ 与24y x =联立得2222(24)0k x k x k -++=，令1122(,),(,)M x y N x y ，则1212242,1+=+⋅=x x x x k，244k =+ ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为：1(1)y x k=--，将直线与椭圆联立得，222(2)4220k x x k +-+-=，令23344341222422(,),(,),,22-+=⋅=++k P x y Q x y x x x x k k ，=∴四边形PMQN 的面积S令21(1)t k t =+>，上式21)1S t ===+>-所以S ≥考点：1.椭圆的标准方程及几何意义；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.【名师点睛】本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线的斜率和两条直线的位置关系，属于中档题．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单，解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误. 22. 【答案】（Ⅰ）x≤﹣4（Ⅱ）（﹣2，2）．【解析】试题分析：（Ⅰ）(1)理解绝对值的几何意义，x 表示的是数轴的上点x 到原点的距离, (2) x 分类讨论，分11,22x x <≥三部分进行讨论；求得不等式f(x)的解集；（Ⅱ）由f （x ）=0得|2x ﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x ﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察函数的图像，当a 满足什么条件是两函数图像有两个不同的交点，即函数y=f （x ）有两个不同的零点．从而得到 a 的取值范围.试题解析：①当a=1时，f （x ）=|2x ﹣1|+x ﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f （x ）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}． ②由f （x ）=0得|2x ﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x ﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a ＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f （x ）有两个不同的零点．故a 的取值范围是（﹣2，2）．考点：绝对值不等式及函数的零点.30．已知函数21()ln(1)2f x x ax x =--+，其中a R ∈．（提示：[]1ln(1)1x x '+=+）（1）若2x =是()f x 的极值点，求a 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．【答案】(1) 13a =;(2) 当0a ≤时，()f x 的增区间是 (0,)+∞，减区间是(1,0)-；当01a <<时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是(1,0)-和1(1,)a-+∞；当1a =时，()f x 的减区间是(1,)-+∞；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；，减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞ ;(3) [)1,+∞.【解析】试题分析：(1)求函数()f x 的导数()f x '，由(2)0f '=求出a 即可；(2) 求函数()f x 的导数()f x '，由0a =，01a << ，1a = ，1a >，0a <分别讨论()f x '的正负，即可求出其相应的单调区间；(3)由（2）可知，0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，由(0)0f =，知不合题意，再分01a <<与1a ≥讨论，由max ()0f x ≤求之即可. 试题解析：（1）(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+．依题意，令(2)0f '=，解得13a =．经检验，13a =时，符合题意（2）①当0a =时，()1xf x x '=+，故()f x 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是(1,0)-．②当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-．当01a <<时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a -；单调减区间是(1,0)-和1(1,)a-+∞ 当1a =时，()f x 的单调减区间是(1,)-+∞．当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a -；单调减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞． ③当0a <时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是(1,0)- ．综上，当0a ≤时，()f x 的增区间是 (0,)+∞，减区间是(1,0)-；当01a <<时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是(1,0)-和1(1,)a-+∞；当1a =时，()f x 的减区间是(1,)-+∞；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；，减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞（3）由（2）知0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，由(0)0f =，知不合题意．当01a <<时，()f x 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-．由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意．当1a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递减．可得()f x 在[)0,+∞上的最大值是(0)0f =，符合题意，所以，()f x 在[)0,+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[)1,+∞考点：1.导数与函数的单调性；2.导数与函数的极值. 31．已知函数，a ∈R ．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）如果当x ＞0，且x≠1时，恒成立，求实数a 的范围．【答案】（Ⅰ）（，a ﹣1+）．（Ⅱ）（﹣∞，2]．【解析】试题分析：（Ⅰ）先求了函数f （x ）的定义域和导数，构造函数g （x ）=x 2+2（1﹣a ）x+1，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出函数f （x ）的单调区间．（Ⅱ）“当x ＞0，且x≠1时，恒成立”，等价于“当x ＞0，且x≠1时，恒成立”，构造函数h （x ）=f （x ）﹣a ，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）．设g （x ）=x 2+2（1﹣a ）x+1，△=4a （a ﹣2）①当a≤0时，函数y=g （x ）的对称轴为x=a ﹣1，所以当x ＞0时，有g （x ）＞g （0）＞0，②当0＜a≤2时，由△=4a（a﹣2）≤0，得g（x）=x2+2（1﹣a）x+1≥0，所以f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，③当a＞2时，令g（x）=0得，令f′（x）＞0，解得0＜x＜x1或；令f′（x）＜0，解得x1＜x＜x2所以f（x）的单调递增区间（0，）和（，+∞）；f（x）的单调递减区间（，a﹣1+）．（Ⅱ）“当x＞0，且x≠1时，恒成立”，等价于“当x＞0，且x≠1时，（※）恒成立”，设h（x）=f（x）﹣a，由（Ⅰ）知：①当a≤2时，h（x）在（0，+∞）上是增函数，当x∈（0，1）时，h（x）＜h（1）=0，所以；当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，所以；所以，当a≤2时，※式成立．②当a＞2时，h（x）在（x1，1）是减函数，所以h（x）＞h（1）=0，※式不恒成立．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．32．如图，⊙O的半径为r，MN切⊙O于点A，弦BC交OA于点Q，BP⊥BC，交MN于点P（Ⅰ）求证：PQ∥AC；（Ⅱ）若AQ=a，AC=b，求PQ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）连结AB，推导出OA⊥MN，BP⊥BC，从而B、P、A、Q四点共圆，由此能证明PQ∥AC．（Ⅱ）过点A作直径AE，连结CE，则△ECA为直角三角形．推导出Rt△PAQ∽Rt△ECA，由此能求出PQ．证明：（Ⅰ）如图，连结AB．∵MN切⊙O于点A，∴OA⊥MN．又∵BP⊥BC，∴B、P、A、Q四点共圆，所以∠QPA=∠ABC．又∵∠CAN=∠ABC，∴∠CAN=∠QPA．∴PQ∥AC．解：（Ⅱ）过点A作直径AE，连结CE，则△ECA为直角三角形．∵∠CAN=∠E，∠CAN=∠QPA，∴∠E=∠QPA．∴Rt△PAQ∽Rt△ECA，∴=，故AQ EA PQCA⋅==考点：与圆有关的比例线段．33．已知f （x ）=|x ﹣a|+|2x ﹣a|，a ＜0．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小值；（Ⅱ）若不等式的解集非空，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（﹣1，0）．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，分段讨论f （x ）的解析式，可得，作出其图象，分析可得其最小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，分析可得要使不等式的解集非空，必须﹣＜，解可得a 的取值范围，即可得答案．解：（Ⅰ），函数的图象为；从图中可知，函数f （x ）的最小值为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f （x ）的最小值为，要使不等式的解集非空，必须﹣＜，即a＞﹣1．∴a 的取值范围是（﹣1，0）．考点：分段函数的应用；绝对值不等式的解法．34．设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，定义椭圆C 的“相关圆”方程为222222ba b a y x +=+.若抛物线x y 42=的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形. （1）求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；（2）过“相关圆”E 上任意一点P 作相关圆”E 的切线l 与椭圆C 交于B A ,两点，O 为坐标原点.若OB OA ⊥，证明原点O 到直线AB 的距离是定值，并求m 的取值范围.【答案】（1）椭圆C 的方程为1222=+y x ，“相关圆”E 的方程为3222=+y x ；(2) 36≥m 或36-≤m .【解析】试题分析：（1）抛物线焦点为()1,0，故1=c ，椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，即1b c ==，从而求出椭圆方程与相关圆方程；（2）设出直线l 的斜截式方程，联立直线的方程和椭圆的方程求出,A B 两点横坐标的韦达定理表达式，利用OB OA ⊥得到一个关系式022322=--k m ，利用直线和圆相切得到另一个关系式22211k m kmd +=+=，由着两个关系式得出m 的取值范围. 试题解析：（1）因为抛物线x y 42=的焦点为)0,1(与椭圆C 的一个焦点重合，所以1=c . 又因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以1==c b ，故椭圆C 的方程为1222=+y x ，“相关圆”E 的方程为3222=+y x . （2）设),,(),,(2211y x B y x A联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x m kx y 得2)(222=++m kx x ，即0224)21(222=-+++m kmx x k ， 0)12(8)22)(21(416222222>+--=-+-=∆m k m k m k ，即)(01222*>+-m k ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22212212122214k m x x k km x x ∴2222222222221212212121221421)22()())((kk m m k m k k m k m x x km x x k m kx m kx y y +-=++-+-=+++=++= 由条件OB OA ⊥得022322=--k m ，所以原点O 到直线l 的距离是22211k m km d +=+=，由022322=--k m 得36=d 为定值.此时要满足0>∆，即01222>+-m k ，又022322≥-=m k ，即⎩⎨⎧≥>231222m m ，所以322≥m ，即36≥m 或36-≤m .考点：1、直线和椭圆的位置关系；2、直线和圆的位置关系；3、抛物线的概念.【思路点晴】第一问是基本的抛物线定义和椭圆基本量分析.一个抛物线方程给出来，可以求出焦点和准线，相应的性质也可以知道；椭圆的短轴端点和焦点所对应的,,b c a 的关系，易得椭圆的方程；第二问有两个关键点，一个是直线和圆相切，转化为圆心到直线的距离等于半径，另一个关键点是直线和椭圆相交得到,A B ，OB OA ⊥，根据这两点，设出直线方程，列出方程组来求解.最后注意直线和椭圆相交，判别式要大于零.35．设函数)(ln )(2x x b ax x f -+=，x b x x g )1(21)(2-+-=.已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线01=+-y x 垂直. （1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的极值点；（3）若对于任意),1(+∞∈b ，总存在],1[,21b x x ∈，使得m x g x g x f x f +->--)()(1)()(2121成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）21-=a ；（2）证明见解析；（3）1-≤m .【解析】试题分析：（1）曲线的切线和某直线垂直，转化为导数值与直线斜率乘积等于1-，第一问容易解决；（2）求出()'fx 后通分，对分子进行分类讨论，从而求出函数()f x 的单调区间；（3）构造函数],1[),()()(b x x g x f x F ∈-=，存在性问题，转化为1)()(min max +>-m x F x F 来解决.试题解析：（1）)11(2)(-+='x b ax x f ，所以12)1(-=='=a f k ，所以21-=a .（2）)(ln 21)(2x x b x x f -+-=，其定义域为),0(+∞，xbbx x x b x x f +--=-+-='2)11()(，令),0(,)(2+∞∈+--=x b bx x x h ，b b 42+=∆，①当04≤≤-b 时，042≤+=∆b b ，有0)(≤x h ，即0)(≤'x f ，所以)(x f 在区间),0(+∞上单调递减，故)(x f 在区间),0(+∞无极值点.②当4-<b 时，0>∆，令0)(=x h ，有24,242221bb b x b b b x ++-=+--=，012>>x x ，当),0(1x x ∈时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),0(1x 上递减；当),(21x x x ∈时，0)(>x h ，即0)(>'x f ，得)(x f 在),(21x x 上递增；当),(2+∞∈x x 时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),(2+∞x 上递减，此时)(x f 有一个极小值点242bb b +--和一个极大值点242bb b ++-.③当0>b 时，0>∆，令0)(=x h ，有024,0242221>++-=<+--=bb b x b b b x ，当),0(2x x ∈时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),0(2x 上递增；当),(2+∞∈x x 时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),(2+∞x 上递减，此时)(x f 有唯一的极大值点242bb b ++-.综上可知，当4-<b 时，函数)(x f 有一个极小值点242b b b +--和一个极大值点242bb b ++-；当04≤≤-b 时，函数)(x f 在),0(+∞无极值点；当0>b 时，函数)(x f 有唯一的极大值点242bb b ++-，无极小值点.（3）令],1[),()()(b x x g x f x F ∈-=，则x x b x b x x x b x x F -=-+---+-=ln ])1(21[)(ln 21)(22，若总存在],1[,21b x x ∈，使得m x g x g x f x f +->--)()(1)()(2121成立，即总存在],1[,21b x x ∈，使得1)()()()(2211++->-m x g x f x g x f 成立，即总存在],1[,21b x x ∈，使得1)()(21+>-m x F x F 成立，即1)()(min max +>-m x F x F ，xxb x b x F -=-='1)(，因为],1[b x ∈，所以0)(≥'x F ，即)(x F 在],1[b 上单调递增，所以1ln )1()()()(min max +-=-=-b b b F b F x F x F ，即11ln +>+-m b b b 对任意),1(+∞∈b 成立，即m b b b >-ln 对任意),1(+∞∈b 成立，构造函数),1[,ln )(+∞∈-=b b b b b t ，b b t ln )(='，当),1[+∞∈b 时，0)(≥'b t ，∴)(b t 在),1[+∞上单调递增，∴对于任意),1[+∞∈b ，1)1()(-=>t b t ，所以1-≤m . 考点：1、函数与导数；2、分类讨论的数学思想.【思路点晴】第一问切线和另一条直线垂直，转化为斜率乘积等于1-，这种形式的问法高考中出现频率很高；第二问对()f x 求导后通分，对分子),0(,)(2+∞∈+--=x b bx x x h 的分类讨论是本题的难点.对于二次函数分类的标准，由于题目只需要考虑零点个数，所以这里用的是判别式来制定分类标准，有的题目需要对二次项系数进行分类，有的需要对对称轴或者区间进行分类；第三问是一个存在性问题，构造函数，转化为最值问题来解决.36．已知椭圆M ：2221(0)3+=>x ya a 的一个焦点为(1,0)-F ，左右顶点分别为A ，B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点.（1）求椭圆方程；（2）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2. 【解析】试题分析：（1）根据条件焦点坐标(1,0)F -以及222a b c =+即可求解；（2）对直线l 是否存在分类讨论，建立12||S S -关于斜率k 的函数关系式，从而求解.试题解析：（1）∵(1,0)F -为椭圆的焦点，∴1c =，又∵23b =，∴2224a b c =+=，∴椭圆方程为22143x y +=；（2）当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =-，此时3(1,)2D -，3(1,)2C --，ABD ∆，ABC ∆面积相等，12||0S S -=，当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设11(,)C x y ，22(,)D x y ，和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=，显然0∆>，方程有根，且2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-=+，此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k=++=+， ∵0k ≠，上式1234||||=≤==+k k ，（k =时等号成立），∴12||S S -考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的最值问题． 37．已知函数()sin xf x e x =，其中x R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[0,]2x π∈时，()f x kx ≥，求实数k 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间：3(2,2)44k k ππππ-+，单调递减区间：37(2,2)44k k ππππ++，k Z ∈；（2）(,1]-∞.【解析】试题分析：（1）求导，对导函数三角恒等变形后根据导函数的取值情况即可求解；（2）将原问题变形，可知其等价于()0f x kx -≥，求导，对k 的取值进行分类讨论判断函数()f x kx -的单调性，从而求解.试题解析：（1）'()sin cos (sin cos )x x x f x e x e x e x x =+=+，令sin cos 2sin()4y x x x π=+=+，当3(2,2)44x k k ππππ∈-+，'()0f x >，()f x 单增，37(2,2)44x k k ππππ∈++，'()0f x <，()f x 单减；（2）令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，即()0g x ≥恒成立，而'()(sin cos )xg x e x x k =+-，令()(sin cos )'()(sin cos )(cos sin )2cos xx x x h x e x x h x e x x e x x e x =+⇒=++-=，∵[0,]2x π∈，'()0()h x h x ≥⇒在[0,]2π上单调递增，21()h x e π≤≤，当1k ≤时，'()0g x ≥，()g x 在[0,]2π上单调递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意；当2k e π≥时，'()0()g x g x ≤⇒在[0,]2π上单调递减，()(0)0g x g ≤=，与题意不合；当21k e π<<时， '()g x 为一个单调递增的函数，而'(0)10g k =-<，2'()02g e k ππ=->，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得0'()0g x =，当0[0,)x x ∈时，'()0g x ≤，从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合，综上所述：k 的取值范围为(,1]-∞.考点：1.导数的运用；2.分类讨论的数学思想．38．如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点M ，BAC ∠的平分线分别交圆O 和BC 于点D ，E ，若5152MA MB ==.（1）求证：52AC AB =；（2）求AE ×DE 的值. 【答案】（1）详见解析；（2）4052. 【解析】试题分析：（1）利用条件证明ABM CAM ∆∆，再利用相似三角形的性质即可得证；（2）利用条件首先求得CE ，BE 的长度，再利用相交弦定理即可求解. 试题解析：（1）∵AM 是圆O 的切线，∴MAB ACB ∠=∠，且M ∠是公共角，∴ABMCAM ∆∆，∴52AC AM AB MB ==，∴52AC AB =；（2）由切割线定理得2MA MB MC =⋅，∴75=2MC ，又∵6MB =，∴63=2BC ，又∵AD 是BAC ∠的角平分线，∴52AC CE AB BE ==，∴52CE BE =，∴452CE =，9BE =，∴由相交弦定理得45405922AE DE CE BE ⋅=⋅=⋅=. 考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质；3.圆中的比例线段． 39．已知直线l 的参数方程为431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M 所得弦长为3，求实数a 的值. 【答案】（1）22(3)1x y +-=；（2）376a =或92a =. 【解析】试题分析：（1）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程化为普通方程，结合（1）中所得的圆的方程，再利用点到直线距离公式即可求解.试题解析：（1）∵2222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-⇒=-⇒+-=，∴圆M 的直角坐标方程为22(3)1x y +-=；（2）把直线l 的参数方程431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)化为普通方程得：34340x y a +-+=，∵直线l 截圆M 所得弦长为3，且圆M 的圆心(0,3)M 到直线l 的距离22|163|3191()5222a d a -==-=⇒=或376a =，∴376a =或92a =. 考点：1.导数的运用；2.分类讨论的数学思想． 40．已知不等式|2||2|18x x ++-<的解集为A ．（1）求集合A ；（2）若a ∀，b A ∈，(0,)x ∈+∞，不等式4a b x m x+<++ 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(9,9)A =-；（2）14m ≥. 【解析】试题分析：（1）对x 的取值情况分类讨论将绝对值号去掉，即可求解；（2）根据（1）中求得的A ，再结合问题，可知其等价于min 4()a b x m x+<++，再利用基本不等式求最值即可. 试题解析：（1）若|2||2|18x x ++-<，则2(2)(2)18x x x <-⎧⎨-+--<⎩或22(2)(2)18x x x -≤≤⎧⎨+--<⎩或2(2)(2)18x x x >⎧⎨++-<⎩，解得99x -≤≤，∴(9,9)A =-；（2）∵a ∀，b A a ∈⇒∀，(9,9)b ∈-， ∴(18,18)a b +∈-，∵442x m x m x x ++≥⋅+，∴min 4()4x m m x++=+，由题可知，418m +≥，∴14m ≥.考点：1.绝对值不等式；2.基本不等式求最值；3.恒成立问题；4.分类讨论的数学思想． 41．已知椭圆的离心率为，直线l ：y=x+2与以原点O 为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O 相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 与直线y=kx （k ＞0）在第一象限的交点为A ． ①设，且OA OB=6⋅，求k 的值；②若A 与D 关于x 的轴对称，求△AOD 的面积的最大值．【答案】（1）（226【解析】试题分析：（1）求得圆O 的方程，运用直线和相切的条件：d=r ，求得b ，再由离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，进而得到椭圆方程；（2）设出A 的坐标，代入椭圆方程，求得交点A 的坐标，①运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值；②由三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到所求最大值．解：（1）由题设可知，圆O 的方程为x 2+y 2=b 2，因为直线l ：x ﹣y+2=0与圆O 相切，故有，所以．因为，所以有a 2=3c 2=3（a 2﹣b 2），即a 2=3．所以椭圆C 的方程为．（2）设点A （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0），则y 0=kx 0．由解得，①∵22266K OA OB=623K23K⨯⋅+=++，∴（k=0舍去）．②∵，（当且仅当时取等号），∴S △AOD 的最大值为．考点：椭圆的简单性质．42．已知f （x ）=|x ﹣1|+|2x+3|．（1）若f （x ）≥m 对一切x ∈R 都成立，求实数m 的取值范围；（2）解不等式f （x ）≤4．【答案】（1）m≤（2）[﹣2，0]【解析】试题分析：（1）通过讨论x 的范围，求出f （x ）的最小值，从而求出m 的范围即可；（2）求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．解：（1）f （x ）=|x ﹣1|+|2x+3|，x≥1时，f （x ）=x ﹣1+2x+3=3x+2，f （x ）≥5，﹣＜x ＜1时，f （x ）=﹣x+1+2x+3=x+4，＜f （x ）＜5， x≤﹣时，f （x ）=﹣x+1﹣2x ﹣3=﹣3x ﹣2≥，若f （x ）≥m 对一切x ∈R 都成立，只需m≤即可；（2）x≥1时，f （x ）=x ﹣1+2x+3=3x+2≤4，解得：x≤，无解，﹣＜x ＜1时，f （x ）=﹣x+1+2x+3=x+4≤4，解得：x≤0， x≤﹣时，f （x ）=﹣x+1﹣2x ﹣3=﹣3x ﹣2≤4，解得：x≥﹣2，故不等式的解集是：[﹣2，0]．考点：绝对值不等式的解法．43．如图，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠PAB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连结CB ，并延长与直线PQ 相交于点Q ，若AQ=6，AC=5．（Ⅰ）求证：QC2﹣QA2=BC⋅QC；（Ⅱ）求弦AB的长．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）103 AB=【解析】试题分析：（Ⅰ）由于PQ与⊙O相切于点A，再由切割线定理得：QA2=QB⋅QC=（QC﹣BC）⋅QC=QC2﹣BC⋅QC 从而命题得到证明（Ⅱ）解：PQ与⊙O相切于点A，由弦切角等于所对弧的圆周角∠PAC=∠CBA，又由已知∠PAC=∠BAC，所以∠BAC=∠CBA，从而AC=BC=5，又知AQ=6，由（Ⅰ）可得△QAB∽△QCA，由对应边成比例，求出AB的值．试题解析：（Ⅰ）证明：∵PQ与⊙O相切于点A，∴由切割线定理得：QA2=QB⋅QC=（QC﹣BC）⋅QC=QC2﹣BC⋅QC．∴QC2﹣QA2=BC⋅QC．（Ⅱ）解：∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5又知AQ=6，由（Ⅰ）可知QA2=QB⋅QC=（QC﹣BC）⋅QC，∴QC=9由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，∴AB QAAC QC=，∴103AB=．考点：切割线定理及三角形相似.【方法点睛】（1）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角；（2）判断三角形相似：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.44．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【答案】（1）（2）2【解析】试题分析：（1）由题意可得直线l的参数方程为，化简可得结果．（2）圆C的参数方程化为普通方程，把直线的参数方程代入 x2+y2=4化简，利用根与系数的关系求得t1×t2的值，即可得到点P到A，B 两点的距离之积为2．解：（1）直线l的参数方程为，即（2）圆C的参数方程化为普通方程为x2+y2=4，把直线代入 x2+y2=4，可得，∴，t1×t2=﹣2，则点P到A，B 两点的距离之积为2考点：直线的参数方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．45．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=a2，直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0，（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ把圆C的极坐标方程，由消元法把直线l的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）根据直线l与圆C有公共点的几何条件，建立关于a的不等式关系，解之即可．解：（Ⅰ）由得，，则，∴直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0，由ρ=2acosθ得，ρ2=2aρcosθ又∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x∴圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=a2，（Ⅱ）∵直线l与圆C恒有公共点，∴，两边平方得9a2﹣40a﹣25≥0，∴（9a+5）（a﹣5）≥0∴a的取值范围是．考点：参数方程化成普通方程．46．已知：如图，BC是半圆O的直径，D，E是半圆O上两点，，CE的延长线与BD的延长线交于点A．（1）求证：AE=DE；（2）若，求CD．【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】试题分析：（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得到∠A=∠ADE，再根据等角对等边即可求得结论．（2）连接BE，根据等腰三角形，以及直角三角形，推出边长关系，利用射影定理求解即可．（1）证明：∵BC是半圆O直径，∴∠ADC=∠BDC=90°．∵，，∴∠EDC=∠ECD．∴∠A=∠ADE．∴AE=DE．（2）解：连接BE，∵，∴DE=EC．∴AE=EC=2 ．∵BC是半圆O直径，∴∠BEC=90°即BE⊥AC．∴BA=BC．∵Rt△BDC中，tan∠ABC=，设BD=3x，CD=4x，则BC=5x，∴AB=BC=5x，AD=2x．∵AE×AC=AD×AB，∴2 ×4 =2x×5x．解得：x=2，即CD=8．考点：与圆有关的比例线段．47．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当b=时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）当b＜时，求函数f（x）的极值点（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．【答案】（Ⅰ）函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增（Ⅱ）答案见解析（Ⅲ）证明见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）将b的值代入，求出函数的表达式、导数，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）通过讨论b的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点；（Ⅲ）将b=﹣1代入函数的表达式，求出函数f（x）的表达式，令h（x）=x3﹣f（x），求出h（x）的导数，得到ln（x+1）＞x2﹣x3，从而证出结论．解（Ⅰ）当，f（x）=x2+ln（x+1），（x＞﹣1），f′（x）=2x+=2（x+1）+﹣2≥2﹣2≥0，当且仅当x=﹣时，“=”成立，∴函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当时，解f′（x）=0得两个不同解：当b＜0时，∴x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，+∞），此时f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点当时，x1，x2∈（﹣1，+∞）f′（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）都大于0，f′（x）在（x1，x2）上小于0，此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点综上可知，时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点，b＜0，时，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点；（Ⅲ）当b=﹣1时，f（x）=x2﹣ln（x+1），。

湖北省襄阳市枣阳一中2015-2016学年高二数学下学期3月月考试卷文(含解析)

2015-2016学年某某省襄阳市枣阳一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5D．∃x0∈R，2≠52．“x=30°”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知p：∃x∈R，mx2+1≤0，q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为假命题，则实数m 的取值X围为（）A．m≥2B．m≤﹣2C．m≤﹣2或m≥2D．﹣2≤m≤24．设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件5．已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）A．B．C．D．6．椭圆的焦距为（）A．10B．5C．D．7．若椭圆经过原点，且焦点分别为F1（0，1），F2（0，3）则该椭圆的短轴长为（）A．B．2C．2D．48．椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．9．“4＜k＜6”是“方程表示椭圆”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件10．已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4B．5C．7D．811．椭圆=1中，以点M（﹣1，2）为中点的弦所在的直线斜率为（）A．B．C．D．﹣12．命题p：函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是．【点评】本题考查了复合命题的判断，结合真值表和函数的性质是解题的关键．18．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）•（x﹣m﹣1）≤0，若¬p是¬q的充分而不必要条件，某某数m的取值X围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据不等式的性质求解命题p，q以及￢p和￢q，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解由题意p：﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5．∴￢p：x＜1或x＞5．q：m﹣1≤x≤m+1，∴￢q：x＜m﹣1或x＞m+1．又￢p是￢q的充分而不必要条件，∴2≤m≤4，即实数m的取值X围是．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求解p，q以及￢p和￢q的等价条件是解决本题的关键．19．已知a为实数，p：点M（1，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=4的内部；q：∀x∈R，都有x2+ax+1≥0．（1）若p为真命题，求a的取值X围；（2）若q为假命题，求a的取值X围；（3）若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，求a的取值X围．【考点】复合命题的真假；复合命题．【专题】简易逻辑．【分析】对于命题p为真，要利用点与圆的位置关系；对于命题q为真，要利用一元二次函数图象的特点，最后利用复合命题真假解决．【解答】解：（1）∵p：点M（1，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=4的内部∴（1+a）2+（1﹣a）2＜4，解得﹣1＜a＜1，故p为真命题时a的取值X围为（﹣1，1）．（2）∵q：∀x∈R，都有x2+ax+1≥0∴若q为真命题，则△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故q为假命题时a的取值X围（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（3）∵“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题∴p与q一真一假，从而①当p真q假时有，无解；②当p假q真时有，解得﹣2≤a≤﹣1或1≤a≤2．∴实数a的取值X围是∪．【点评】此题考查复合命题真假，此外考查点与圆的位置关系的判别，一元二次函数等问题．20．设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P（4，1）在椭圆上，求该椭圆的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；分类讨论；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆的焦点在x轴上或在y轴上加以讨论，分别根据题意求出椭圆的长半轴a与短半轴b的值，由此写出椭圆的标准方程，可得答案【解答】解：①当椭圆的焦点在x轴上时，设方程为+=1（a＞b＞0）．∵椭圆过点P（4，1），∴+=1，∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a=2•2b，即a=2b，可得a=2，b=，此时椭圆的方程为+=1；②当椭圆的焦点在y轴上时，设方程为+=1（m＞n＞0）．∵椭圆过点P（4，1），∴+=1，∵长轴长是短轴长的3倍，可得a=2b，解得m=，n=，此时椭圆的方程为=1．综上所述，椭圆的标准方程为=1或=1．【点评】本题给出椭圆的满足的条件，求椭圆的标准方程，着重考查了利用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，属于基础题．21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆方程为，根据题意可得a=2且c=，从而b==1，得到椭圆的标准方程；（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为，∴a=2，，可得b==1因此，椭圆的标准方程为．（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，整理得，∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴可得，化简整理得，由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．22．过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，结合M（2，1）为AB 的中点吗，求出直线的斜率，即可得到直线的方程．【解答】解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2）∵M（2，1）为AB的中点∴x1+x2=4，y1+y2=2∵又A、B两点在椭圆上，则，两式相减得于是（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0∴，即，故所求直线的方程为，即x+2y﹣4=0．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．。

2015-2016年湖北省襄阳市枣阳市高级中学高一(下)期中数学试卷和答案

18．（12 分）已知等比数列{an}满足：a1=2，a2•a4=a6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列 bn= ，求该数列{bn}的前 n 项和 Sn．
19 ．（ 12 分）已知数列 {an} 的各项均为正数， Sn 是数列 {an} 的前 n 项和，且 4Sn=an2+2an﹣3．（1）求数列{an}的通项公式；
相邻公共点之间的距离等于 π，则 f（x）的单调递减区间是（ A．[kπ+ C．[2kπ+ ，kπ+ ，2kπ+ ]，k∈z ]，k∈z B．[kπ﹣ D．[2kπ﹣ ，kπ+ ，2kπ+
]，k∈z ]，k∈z ）
3．（5 分）、是两个非零向量，且| |=| |=| ﹣ |，则与 + 的夹角为（ A．30° B．45° C．60° D．90°
D．不能确定
6．（5 分）在△ABC 中，B=45°，C=60°，c=1，则 b=（ A． B． C．
7．（5 分）在三角形 ABC 中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么 A 等于（ A．30° B．60° C．120° D．150° ）
）
8．（5 分）在等差数列{an}中，若 a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则 S9=（ A．66 B．99 C．144 D．297
2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳市高级中学高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．（5 分）向量、的夹角为 60°，且| |=1，| |=2，则 2| A．1 B． C． |等于（ D．2 ）

湖北省部分重点中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题文

某某省部分重点中学2015-2016学年度下学期高二期中考试数学试卷（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

1．函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=02．抛物线的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．D．3．函数在点处的切线斜率为（）A．0B．C．1D．4．K为小于9的实数时，曲线与曲线一定有相同的（）A．焦距B．准线C．顶点D．离心率5. 曲线在点处切线的倾斜角为，则实数（）A．1 B．－1 C．7 D．－76．设是椭圆：的左，右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．已知函数，且，则的值是（）A. B. C. D.8．实半轴长等于，并且经过点B（5，﹣2）的双曲线的标准方程是（）A．或B．C．D．9．抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足. 过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．B．1 C．D．210．设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A,B两点，F为该双曲线的右焦点．若, 则该双曲线的离心率的取值X围是( )A．B．C．D．11.函数的定义域为R，，对任意的，都有成立，则不等式的解集为（）A．（-2，+）B. （-2,2）C.（-，-2）D.（-，+）12. 已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线PA,PB,切点为A,.B使得，则椭圆的离心率的取值X围是（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）。

13．设点P、Q分别是曲线是自然对数的底数）和直线上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为14．设为曲线上一点,曲线在点处的切线的斜率的X围是,则的取值X围是_______．点纵坐标．．．15．已知P（x，y）是双曲线=1上任意一点，F1是双曲线的左焦点，O是坐标原点，则的最小值是。

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